mrdeakin.pbworks.commrdeakin.pbworks.com/w/file/fetch/139021653/11e année module 2.… · Mo d u l e 2 Gé o M é t r i e à t r o i s d i M e n s i o n s Introduction Au cours de

M a t h é M a t i q u e s a u q u o t i d i e n 1 1 e a n n é e ( 3 0 s )

Module 2 Géométrie à trois dimensions

M o d u l e 2 G é o M é t r i e à t r o i s d i M e n s i o n s

Introduction

Au cours de mathématiques au quotidien de 10e année, tu as étudié les systèmes de mesure international (métrique) et impérial. Tu as exploré les mesures linéaires et la géométrie à deux dimensions (ou 2D). Dans le module 2, tu passeras à la géométrie à trois dimensions (3D), où tu étudieras les prismes, les pyramides, les sphères, les cylindres et les cônes. Tu te familiariseras avec les concepts d’aire totale, de volume et de capacité, et tu feras des comparaisons entre les trois méthodes pour mesurer des objets à trois dimensions (3D). Pour faire ces comparaisons, tu devras notamment trouver des régularités pour approfondir ta compréhension de la géométrie à trois dimensions.

Pour ce module, tu dois disposer d’une règle avec des unités métriques et impériales (centimètres et pouces). Il serait bon d’avoir aussi :

un ruban à mesurer un micromètre un pied de coulisse

La géométrie et la mesure sont des connaissances qui sont intimement liées à notre vie quotidienne. Les sujets abordés dans ce module te seront sans doute utiles et importants. Bonne chance!

Devoir du module 2

Lorsque tu auras complété ce module, tu devras envoyer les quatre devoirs suivants à ton tuteur ou correcteur. Ta note d’évaluation du module 2 sera basée sur ces devoirs.

Leçon Numéro du devoir Nom du devoir

Devoir d’introduction 2 Figures géométriques

2 Devoir 2.1 L’aire totale

4 Devoir 2.2 Le volume

6 Devoir 2.3 L’application du volume et de la capacité

M o d u l e 2 : G é o m é t r i e à t r o i s d i m e n s i o n s 3

Fiche-ressource

Quand tu te présenteras à l’examen de mi session, tu auras le droit d’apporter une fiche ressource, c’est à dire une feuille de papier format lettre (8½ po sur 11 po) écrite à la main ou dactylographiée des deux côtés. Tu devras remettre cette feuille avec ton examen au correcteur, mais aucun point ne sera alloué à cette fiche-ressource.

Pour beaucoup d’élèves, préparer une fiche ressource d’examen est un excellent moyen de réviser la matière car elle fournit un résumé des points importants de chaque module. Tu devrais rédiger une fiche ressource pour chaque module pour faciliter ton étude et ta révision. Des résumés de leçons et des sommaires de modules sont fournis pour te servir de guide.

Tu peux utiliser la liste d’instructions ci dessous pour t’aider à préparer la fiche ressource du module 2 . Tu peux y noter des termes et des définitions de mathématiques, des formules, des exemples de questions ou la liste des endroits où tu commets souvent des erreurs. Tu devrais aussi y noter les numéros de page des sujets particuliers qui exigent une plus grande attention ou davantage de révision.

Quand tu auras préparé les fiches ressources de chaque module, tu pourras résumer les fiches des modules 1, 2 et 3 pour préparer la fiche ressource d’examen de mi session.

Fiche-ressource du module 2 Pour chaque leçon :

1. Écris une liste des termes mathématiques importants et inclus leur définition au besoin.

2. Écris la liste de toutes les formules qui sont données et ajoute un exemple montrant comment les utiliser.

3. Au besoin, écris les solutions à certains problèmes, en montrant les calculs détaillés.

4. Transcris les questions qui sont représentatives des points importants des leçons, et les réponses au besoin.

5. Indique les problèmes qui étaient plus difficiles et écris une liste des numéros de pages dans ta fiche-ressource afin que tu puisses refaire ces problèmes avant l’examen. Tu peux écrire les problèmes et leur solution dans la fiche ressource du module puis sur la fiche-ressource de l’examen de mi session.

6. Écris tout commentaire, idée, raccourci ou autre truc aide-mémoire qui peut t’aider durant l’examen.

M a t h é m a t i q u e s a u q u o t i d i e n 3 0 S , 1 1 e a n n é e4


Si tu ne possèdes pas une règle ayant des mesures métriques ou impériales, découpe ce modèle et sert-en lorsque tu en auras besoin.

pouces



d e v o i r d ’ i n t r o d u c t i o nF i G u r e s G é o M é t r i q u e s

Les figures géométriques sont utilisées partout dans le monde à diverses fins, qui ne sont pas toutes reliées aux mathématiques. On peut voir des figures géométriques, par exemple dans les peintures, les vitraux et les motifs de carreaux de plancher utilisés en décoration. Un type de figure géométrique qui est apparu récemment est la fractale. Une fractale est une figure qui répète un motif à l’intérieur de son propre motif, chaque motif étant de plus en plus petit.

Tu peux t’amuser à regarder des motifs de fractale en faisant des recherches sur des sites internet avec le mot “fractale” ou “générateur de fractales“ ou en anglais “fractal generator”.

Comme c’est le cas avec les fractales, une figure peut être formée de plusieurs formes différentes.

Exemple 1Combien y a t il de triangles dans l’image suivante?


SolutionIl y a 1 triangle de cette taille et de cette forme.

Il y a 6 triangles de cette taille et de cette forme.





Le nombre total de triangles : 1 + 6 + 6 + 6 + 6 + 12 = 37 triangles.


Figures géométriques

Total : 28 points1. Combien y a-t-il de triangles dans chacun des diagrammes suivants? (15 points)

a)

b)

c)

��

petit : moyen : grand : très grand : Total :

��

petit : moyen : grand : très grand : Total :

��

petit : moyen : grand : très grand: Total :

Devoir d’introduction du module 2


Devoir d’introduction du module 2 - Figures géométriques (suite)

2. a) Dessine le diagramme qui continue la série de la question 1. (3 points)

b) Combien y a-t-il de triangles dans ce diagramme? (6 points)

petit : moyen : grand : très grand : très très grand : Total :

3. En examinant le nombre de triangles de chaque taille comparativement aux autres diagrammes, explique deux régularités que tu as remarquées. (4 points)


l e ç o n 1 - a i r e t o t a l e

Objectif de la leçon

Dans cette leçon, tuq observeras la relation entre l’aire et l’aire de surface totaleq réviseras les caractéristiques des prismes, des pyramides et des

sphèresq utiliseras le développement d’objets, l’approche par les faces et

des formules pour calculer les aires totales d’objets 3Dq calculeras les aires totales d’objets composés 3D

Introduction

Dans les cours de mathématiques précédents, tu as calculé les périmètres (le périmètre est la longueur de la ligne qui fait le tour d’une figure 2D fermée et l’aire (la superficie occupée) de figures à deux dimensions. La leçon 1 s’appuiera sur ces connaissances en y ajoutant une dimension supplémentaire – tu calculeras les aires totales d’objets 3D. Savoir calculer l’aire totale est une connaissance que tu devras sans doute utiliser souvent. Par exemple, tu auras peut-être besoin de calculer l’aire totale d’une pièce avant de peindre les murs et le plafond pour pouvoir acheter assez de peinture, mais pas trop.

Transition de 2 dimensions à 3 dimensions

Révision de la géométrie de 10e année

Avant d’étudier l’aire totale, il serait bon de réviser ce que tu as appris sur le périmètre et l’aire. Voici un rapide survol.

Périmètre

Pour trouver le périmètre d’une figure géométrique 2D, additionne les longueurs de tous ses côtés. La circonférence est le périmètre d’un cercle. La circonférence d’un cercle égale environ trois fois son diamètre, et le diamètre est la longueur de la corde qui passe par le centre du cercle. La formule de la circonférence d’un cercle est : C = pd


La valeur de p (prononcé pi) est un nombre irrationnel (dont l’écriture décimale est infinie et qui ne se répète jamais). Les 100 premières décimales de p sont :3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164

062862089986280348253421170679

Pour ce cours, nous considérerons que p égale environ 3,14. Quelle que soit la taille du cercle, C ¸ d = p

Tu pourrais inclure cette information dans ta fiche-ressource pour t’en souvenir.

Exemple 1Trouve le périmètre de chacune des figures suivantes :

a) b)

Solutionsa) Un carré comporte 4 côtés égaux. Pour trouver le périmètre, additionne tous

les côtés. Périmètre = 4 + 4 + 4 + 4 = 16 m

b) Le périmètre d’un cercle est la circonférence. C = (3)p = 9,42 pouces. N’oublie pas que tu peux le saisir dans ta calculatrice en appuyant sur la

touche p (tu devras peut-être appuyer d’abord sur la touche «2nd function»).

Aire

Quand il est utilisé en géométrie, le mot aire désigne la mesure d’une région. L’aire d’une figure géométrique est le nombre d’unités carrées nécessaires pour couvrir la région intérieure d’une figure géométrique 2D.

Le tableau suivant comprend les formules de l’aire pour différentes figures. Note ces formules sur ta fiche-ressource du module pour ne pas être obligé d’y revenir en avançant dans les leçons.

carré�


Formules d’aire

Figure Diagramme Aire(en unités carrées)

Carré �

�

a2

Rectangle�

�bh

Parallélogramme �

�

�bh

Trapèze �

�

�

�� 12a b h+( )

Triangle �

�

� � 12bh

Cercle � pr2

Exemple 2Trouve l’aire de chacune des figures suivantes :a) b)

c) d)

��

��

��

��

12 po12

6 po14

4po


Solutionsa) A = bh = (10 mm)(3 mm) = 30 mm2

b)

A a b h 12

12

34 42 29 1 102 2cm cm cm cm

c) A bh= = ′′( ) ′′( )=

12

1212 5 6 25 39 1 2, , , pouces

d) A = pr2 = p(4’)2 = 50,2 pieds2 (La réponse en utilisant la touche p au lieu de 3,14 est 50,3 pi2)

Comparaison des aires

Comme tu l’as vu dans l’exemple ci-dessus, pour calculer l’aire de différentes figures, il faut utiliser des formules différentes. Cependant, quelle est la relation entre les aires de deux figures qui ont la même forme mais des tailles différentes?

Carré

Carré

Carré

Carré

Aire du carré 1 = (1) (1) = 1 cm2

Aire du carré 2 = (2) (2) = 4 cm2

Aire du carré 3 = (3) (3) = 9 cm2

Aire du carré 4 = (4) (4) = 16 cm2

Avant de continuer ta lecture, note certaines régularités que tu as observées concernant les aires de ces carrés.


Tu auras peut-être noté les trois points suivants :1. chaque fois que tu augmentes de 1 la longueur d’un côté, tu augmentes l’aire

d’un nombre impair consécutif au précédent : 1, 1 + 3 = 4, 4 + 5 = 9, 9 + 7 = 162. le nombre obtenu est pair, ensuite impair, ensuite pair, ensuite impair, etc. 3. les aires sont des carrés : 12 = 1, 22 = 4, 32 = 9, 42 = 16

As-tu remarqué d’autres régularités?

En règle générale, on peut dire que quand on double les dimensions des côtés d’un carré, l’aire du carré est multipliée par 4. Quand les longueurs des côtés d’un carré sont triplées, l’aire est multipliée par 9. Quand les longueurs des côtés d’un carré sont augmentées par un facteur de quatre, l’aire de ce carré est multipliée par 16.

Ce qui est intéressant, c’est que cet énoncé est vrai pour tous les carrés!

Carré A

3 piCarré B

6 pi

Les longueurs des côtés du carré B sont le double des longueurs des côtés du carré A.Aire du carré A = (3) (3) = 9 pi2 Aire du carré B = (6) (6) = 36 pi2

L’aire du carré B est 4 fois plus grande que l’aire du carré A.

Quand on veut trouver les aires de figures semblables, on cherche le même genre de régularité que pour les carrés montrés ci-dessus. Par exemple, quand les dimensions sont deux fois plus grandes, l’aire est quatre fois plus grande.

Figures 3D

Maintenant que tu as révisé les notions de géométrie à deux dimensions (2D) de la 10e année, il est temps d’examiner les objets 3D. Mais d’abord, tu dois reconnaître des objets 3D et savoir les nommer. Tu voudras peut-être inclure un croquis de chaque type d’objet sur ta fiche-ressource.


Prismes

Tu as peut-être déjà étudié les prismes en sciences. Un prisme est une figure (solide) à trois dimensions qui comporte deux côtés ayant la même forme et la même taille. Ces deux côtés sont opposés et parallèles l’un à l’autre et ils forment les « bases » du prisme. Les autres faces sont des parallélogrammes ou des rectangles qui relient les deux bases.

Exemples

Ce module portera principalement sur les prismes droits, où les bases sont perpendiculaires aux autres côtés et où les autres côtés (appelés faces) sont tous des rectangles. Il est important de comprendre que la base n’est pas nécessairement le bas du prisme – c’est la figure qui garde sa forme d’un bout à l’autre de l’objet. Dans les prismes rectangulaires montrés ci-dessus, toute paire de côtés parallèles peut servir de bases, mais dans le prisme triangulaire, les côtés en forme de triangles sont les « bases » et les côtés rectangulaires sont les « faces ». En gardant cela à l’esprit, on peut dire que la figure de la base détermine le nom du prisme.

Pyramides

Dans un prisme, la figure de la base garde la même forme sur toute la hauteur de l’objet. Une pyramide est un objet dans lequel la forme de la base se réduit en un simple point sur la hauteur de l’objet. La base d’une pyramide est un polygone et ses faces latérales sont des triangles qui ont un sommet commun (apex). Tout comme dans les prismes, la figure de la base détermine le nom de la pyramide.

Exemple

��

��apex

base


Cylindres

Un cylindre est une forme de prisme, mais comme sa base est ronde, il n’a qu’une face qui s’enroule autour de deux extrémités circulaires en les reliant.

Exemple

��

��

��

Cônes

Tout comme le cylindre, le cône est une forme de pyramide avec une base ronde. Et comme la base est ronde, au lieu d’avoir de multiples faces latérales triangulaires (comme une pyramide), un cône a une seule face latérale qui s’enroule autour de la base circulaire et se termine en un point (sommet ou apex).

Exemple

��

��

Sphères

Une sphère est un objet 3D en forme de ballon dans lequel tous les points sont équidistants (à égale distance) du centre.

Exemple

centre

apex

base


Mesure de l’aire totale

Tu sais déjà ce qu’est l’aire, mais qu’entend-on par aire totale? L’aire totale est l’étendue de la surface totale d’un objet 3D. Pour calculer l’aire totale d’un objet 3D, tu dois trouver l’aire de toutes les faces de l’objet. Cela signifie que les unités de l’aire totale sont les mêmes que celles de l’aire (unités2, par exemple, m2 ou po2). Tu dois apprendre trois façons différentes de calculer l’aire totale dans cette leçon.

1. Mesure de l’aire totale à l’aide d’un développement

Une façon de démontrer la relation entre l’aire et l’aire totale d’un objet 3D est de faire le développement (2D) de toutes ses faces. On n’utilise les développements que pour décrire des objets ayant des côtés droits, ce qui exclut les cylindres, les cônes et les sphères.

��

�� Développement Objet Développement Objet

Pour tracer un développement, tu dois imaginer que tu déplies (ou déconstruis) l’objet. Chaque face de l’objet, une fois qu’il est déplié, doit encore toucher au moins une des autres faces avec lesquelles elle partageait une arête dans la version 3D. L’ordre des faces qui forment une ligne droite dans un diagramme plat doit être le même que dans la phase 3D.

Par exemple, imagine que tu regardes un dé à jouer. Tu remarques qu’il y a un 1 sur le dessus, sur le devant un 3, sur le dessous, un 6 et au dos, un 4.

Si tu étales ces faces de sorte que le dessus, le devant, le bas et le dos soient en ligne droite, l’ordre des chiffres sera l’un des suivants :

(i) 1 3 6 4 (ii) 3 6 4 1 (iii) 6 4 1 3 (iv) 4 1 3 6


ou si tu as inversé le diagramme :

(v) 4 6 3 1 (vi) 1 4 6 3 (vii) 3 1 4 6 (viii) 6 3 1 4

Le 1 est toujours entre le 4 et le 3, le 3 est toujours entre le 1 et le 6, le 4 est toujours entre le 6 et le 1, et le 6 est toujours entre le 3 et le 4.

On utilisera les diagrammes plats pour trouver l’aire totale de prismes rectangulaires et carrés. Avant d’apprendre comment procéder, complète l’activité d’apprentissage suivante.


Activité d’apprentissage 2.1

Complète les questions suivantes puis vérifie tes réponses à l’aide du corrigé des activités d’apprentissage situé à la fin de ce module.

Partie A - Calcul mental

Réponds aux questions suivantes sans l’aide d’une calculatrice et sans papier ni crayon. Cela ne devrait te prendre que quelques minutes.1. Si 12 % de 250 égale 30, que vaut 12 % de 500?2. Il y a 52 cartes dans un jeu de cartes, 13 cartes de chaque sorte. Si les sortes

sont le cœur (rouge), le pique (noir), le trèfle (noir) et le carreau (rouge) – quel est le pourcentage des cartes noires?

3. Si x = 2, trouve la valeur de 4x – 18.4. Tu gagnes 9 $ l’heure plus 5 % de commission. Si tu travailles 20 heures par

semaine et tes ventes sont de 700 $, quelle sera ta paie brute?5. Sheniqua ne va pas s’asseoir près d’Arjun et de Tepanga. Tepanga refuse

de s’asseoir à côté de Soloman. Dejon veut s’asseoir avec Tepanga. S’ils s’asseoient en cercle, qui sera assis près de Sheniqua?

Partie B - Qu’est-ce qu’un développement?

N’oublie pas que ces questions ressemblent à celles qui te seront posées dans les devoirs et dans l’examen de mi-session. Donc si tu peux y répondre correctement, tu auras probablement de bons résultats à tes devoirs et ton examen de mi-session. Si tu n’as pas eu la bonne réponse, révise ta leçon et apprends les notions qui te manquent.

L’activité d’apprentissage suivante t’aidera à comprendre ce qu’on entend par développement. Il faut du matériel que tu peux trouver à la maison ou dans ta classe. Demande à tes parents ou au facilitateur OEI où tu peux les trouver. Si tu ne peux pas te procurer le matériel nécessaire pour faire les deux exercices, ne t’inquiète pas mais assure-toi de faire au moins l’un des deux exercices.

Matériel : dé à 6 faces (un carré de sucre, un bloc jouet avec des lettres de l’alphabet, etc. peuvent faire l’affaire) - une feuille de papier - une boîte à 6 côtés que tu peux découper - marqueur à pointe feutre large


Activité d’apprentissage 2.1 (suite)

1. Pour répondre à la question, tu auras besoin d’un dé à 6 faces et d’une feuille de papier. Tu dessineras le contour des faces du dé en suivant attentivement les instructions. Les images qui accompagnent chaque étape sont des exemples de ce que tu devrais voir sur ta page. (Note : tu peux commencer par n’importe quel chiffre apparaissant sur la face du dessus. L’exemple suivant commence par le chiffre 1 visible sur la face du dessus et le chiffre 4 te faisant face.) A. Place le dé sur la feuille de papier à environ 1 cm du bord de la feuille

à droite et à environ 5 cm sous le bord du haut. Du côté gauche de la page, écris le chiffre se trouvant sur la face du dessus du dé (d’après le diagramme ci-dessous, ce chiffre serait 1). En tenant le dé en place, trace la forme du dé.

�

�

B. Fais tourner le dé une fois, vers le haut de la page. Le bord du bas du dé dans la nouvelle position devrait être contre la ligne du haut du dé que tu as tracée à l’étape A. Écris du côté gauche de la page le nouveau chiffre qui se trouve sur la face du haut, sous le dernier chiffre qui était sur la face supérieure. En tenant bien le dé en place, trace la forme du dé. Les lignes pointillées du diagramme suivant représentent les lignes que tu as tracées.

� ��

��



C. Tourne une fois le dé vers la gauche. Le côté droit du dé qui est dans la nouvelle position devrait être contre la ligne gauche que tu as tracée à l’étape B. Du côté gauche de la page, sous le dernier chiffre qui était sur la face du dessus, écris le nouveau chiffre qui apparaît sur la face du haut. En tenant bien le dé en place, trace la forme du dé.

��

��

D. Fais tourner le dé une fois vers la gauche. Le côté droit du dé dans la nouvelle position devrait s’aligner le long de la ligne de gauche que tu as tracée à l’étape C. Écris le nouveau chiffre qui se trouve sur la face du haut le long du côté gauche de la page. Tiens bien le dé en place pendant que tu traces sa forme.

��

��



E. Fais tourner le dé une fois vers la gauche. Le côté droit du dé dans la nouvelle position devrait être alignée sur la ligne de gauche que tu as tracée à l’étape D. Du côté gauche de la page, écris le nouveau chiffre qui se trouve sur la face du haut. Tiens le dé en place pendant que tu traces son contour.

��

� ��

F. Fais tourner le dé une fois vers le haut de la page. La ligne du bas du dé dans la nouvelle position devrait être alignée sur la ligne du haut que tu as tracée à l’étape E. Écris le nouveau chiffre qui se trouve sur la face du haut, du côté gauche de la page, sous le dernier chiffre qui était sur la face du haut à l’étape précédente. En tenant bien le dé en place, trace le contour du dé.

��

��



Avant de vérifier ta réponse, assure-toi que chaque chiffre (de 1 à 6) n’apparait qu’une seule fois dans la liste que tu as faite du côté gauche de la page. S’il te manque un chiffre ou si tu en as répété un, cela signifie que tu as tracé la même face deux fois, donc ton développement aura deux faces qui vont se chevaucher si tu plies le diagramme. Recommence l’exercice et assure-toi de suivre précisément les instructions.

2. Trouve chez toi une boîte à 6 côtés que tu pourras découper.A. Avec un crayon feutre, trace les bords de chaque face. Étiquette chaque

face (devant, dos, dessus, dessous, côté gauche, côté droit).

côté gauchecôté droit

dessous

devant

dessus

dos

B. Fais de ton mieux pour dessiner le développement de la boîte sur une feuille de papier sans découper la boîte. Étiquette chaque section selon la face qu’elle représente, à ton avis.

C. Découpe la boîte le long des bords de sorte que chaque face soit rattachée à au moins une autre face. La boîte devrait être encore d’une seule pièce. Tu devrais pouvoir étaler la boîte découpée sur la table ou au sol.

D. Étale la « boîte » avec les marques sur le dessus. Dessine ce que tu vois sur une feuille de papier (tu peux dessiner sur la même feuille que tu as prise pour l’exercice 1). Étiquette ton dessin.

Est-ce que ton diagramme ressemble à la boîte que tu as découpée? Si oui, tu as fait du beau travail. Sinon, le développement que tu as fait n’est peut-être pas correct?


Comment tracer un développement

Il y a plusieurs méthodes pour dessiner un développement. Les deux développements dessinés à l’activité d’apprentissage 2.1 peuvent être différents en apparence. Les étapes générales pour dessiner un développement pour un prisme rectangulaire sont les suivantes :Étape 1 : Choisis une face. Dessine-la sur le papier quadrillé.Étape 2 : Choisis une face qui partage la même arête que la face que tu as

dessinée à l’étape 1. Dessine cette face de sorte qu’elle partage un côté avec la face de l’étape 1.

Étape 3 : Continue de dessiner les faces qui partagent un côté avec une face que tu as déjà dessinée. Assure-toi que tu ne dessines pas la même face deux fois.

C’est une description très générale de la façon de dessiner un développement. Pendant que tu examines les exemples ci-dessous, essaie de commencer avec des faces différentes ou de « déplier » la boîte dans des directions différentes, et trouve quelle méthode tu préfères.

Maintenant que tu peux dessiner un développement, pose-toi la question : « Qu’est ce que je peux en déduire sur la relation entre l’aire et l’aire totale? » Si tu essaies de trouver l’aire totale d’un prisme rectangulaire ou carré, tu peux dessiner le développement de l’objet sur du papier quadrillé. Ainsi, tu auras une représentation visuelle de l’aire totale de l’objet, d’après le nombre de carrés du quadrillage contenus dans le diagramme.

unités

unités

unités

Essaie de tracer le développement pour ce prisme sur une autre feuille de papier avant de continuer.


Voici le développement du prisme.

� � ��

��

��

��

��

��

Aire totale : 72 unités2

Ou bien, tu peux trouver l’aire de chaque segment du développement puis additionne les aires ensemble pour trouver l’aire totale.

�

��

�

6 + 18 + 6 + 12 + 18 + 12 = 72 unités2


Exemple 1Trouve l’aire totale du prisme rectangulaire à l’aide d’un développement (utilise du papier graphique ou quadrillé).

unités

unités

unités

SolutionTon développement pour ce prisme pourrait ressembler à ceci :

Méthode 1Si tu comptes tous les carrés à l’intérieur du développement, tu obtiendras une aire totale de 52 unités2.

� � ��

� � � ��

��

��

��


Méthode 2Si tu comptes les carrés dans chaque segment du développement et si tu les additionnes, tu obtiens une aire totale de 12 + 8 + 12 + 8 + 6 + 6 = 52 unités2.

��

�

��

�

Tu trouveras du papier quadrillé à la fin de cette leçon. Tu peux aussi utiliser ton papier graphique.

Méthode 3 : Mesure de l’aire totale avec l’approche des faces

Une autre façon de trouver l’aire totale d’un objet est de calculer l’aire de chaque face de l’objet, puis d’additionner toutes ces aires ensemble. Cette méthode est l’approche des faces.

Exemple 2Pour le problème suivant, nomme le type d’objet 3D et trouve l’aire totale en suivant l’approche des faces. Trace le développement de a).a) b)

c)

��

��

��

��

��

��

��

��


Solutionsa) Cette figure représente un prisme rectangulaire. Son développement est le

suivant :

��

��

Aire du dessus et du dessous du prisme = L × l Aire du devant et de l’arrière du prisme = L × h Aire des deux côtés du prisme = l × h Aire totale = 2 L × l + 2 L × h + 2 l × h = 2(10) (5) + 2(10) (3) + 2(5) (3) = 100 + 60 + 30 = 190 mm2

b) Cette figure représente un cylindre. Aire du dessus et du dessous (cercles) = pr2

Aire du côté = Ch = (2pr)h (Note : C est la circonférence) Aire totale = 2(pr2) + (2pr)h = 2p(3)2 + 2p(3)(24) = 18p + 144p = 56,55 + 452,39 = 508,94 m2

c) Cette figure représente une pyramide carrée. Aire de la base (carrée) = L × l

Aire des faces le long de la longueur de la base =

12

long. h´L × h

Aire des faces le long de la largeur de la base =

12

larg. h´ l x h

Aire totale

=

=( )( ) +

212

12

4 4 212

4(( )( ) + ( )( )

= + + =

6 5 212

4 6 5

16 26 26 68 2

, ,

cm

L l× + L × h 2+ l × h( () )( ) ( )


Dans cet exemple, on a trouvé l’aire de chacune des faces de l’objet, puis on a additionné les aires. Cette méthode illustre très clairement la relation entre l’aire et l’aire totale.

Méthode 4 : Mesure de l’aire totale à l’aide de formules

La troisième façon de trouver l’aire totale d’un objet 3D est d’utiliser les formules générales pour les prismes, les pyramides et les sphères. Ces formules décrivent une régularité qu’on a observée en cherchant la solution des aires totales d’objets de forme précise.

Pour trouver l’aire totale d’un prisme, la formule générale est : AT = 2B + Ph , où

B = est l’aire de la baseP = périmètre de la base (c’est pourquoi la circonférence est utilisée dans l’exemple 1b)h = hauteur du prisme

Tu devrais inscrire cette formule sur ta fiche-ressource.

Exemple 3Utilise la formule de l’aire totale d’un prisme pour calculer l’aire totale du prisme rectangulaire de l’exemple 2a).

��

��

��

SolutionComme il s’agit d’un prisme rectangulaire, tu peux choisir n’importe quelle paire de deux côtés opposés comme bases. Pour ce problème, on choisit le haut et le bas du prisme comme bases.B = L × l = (10)(5) = 50 mm2

P = 2 L + 2 l = 2(10) + 2(5) = 30 mmAT = 2B + Ph =2(50) + (30)(3) = 100 + 90 = 190 mm2

Cette réponse est la même que celle trouvée à l’exemple 2a).


Tout comme il existe une formule générale pour l’aire totale de prismes, il y a une formule générale pour l’aire totale de pyramides à base rectangulaire et de cônes.

AT B P= +

12

, oùa

B = l’aire de la baseP = le périmètre de la basea = l’apothème (la hauteur oblique de la pyramide le long d’une face latérale)

aa

Tu devrais inscrire cette formule sur ta fiche-ressource.

Exemple 4Utilise la formule générale de l’aire totale d’une pyramide pour trouver l’aire totale de la pyramide de l’exemple 2c).

��

��

��

SolutionB = L × l = (4)(4) = 16 cm2

P = 2 L + 2 l = 2(4) + 2(4) = 8 + 8 = 16 cm

AT B Pa

12

1612

16 6 5

16 52 68 2

,

cm


Cette réponse est la même que celle trouvée à l’exemple 2c).

La troisième formule générale que tu devrais inscrire sur ta fiche-ressource est la formule pour calculer l’aire totale d’une sphère. AT = 4pr2

Cette formule est assez différente des formules pour trouver l’aire totale des prismes et celle des pyramides, mais elle ressemble à la formule pour trouver l’aire d’un cercle, qui est : A=pr2. L’aire totale d’une sphère est en réalité quatre fois plus grande que l’aire d’un cercle ayant le même rayon!

Exemple 5Calcule l’aire ou l’aire totale des objets suivants.a) b)

Solutiona) A = pr2

= p(2)2 = 4p = 12,56 pouces2

b) AT = 4pr2

= 4p(2)2

= 12,56 ´ 4 = 4p(4) = 50,2 pouces2

��

� �


Objets composés

Maintenant que tu peux calculer l’aire totale d’objets 3D simples, tu peux appliquer ces méthodes à des objets composés. Un objet composé est un objet fait de plus d’un objet 3D. Les exemples ci-dessous illustrent la façon de résoudre un problème comportant un objet composé.

Exemple 1Calcule l’aire totale des objets suivants.a) b)

Solutiona) Cet objet est fait d’un prisme rectangulaire et d’un prisme triangulaire. La

face supérieure (du haut) du prisme rectangulaire et la face inférieure (du bas) du prisme triangulaire ne font pas partie de l’aire totale de surface, donc elles ne sont pas incluses dans les calculs.

Prisme rectangulaire Puisque la face du haut du prisme rectangulaire et la face du bas du prisme

triangulaire sont la même face, on ne la compte qu’une seule fois dans la formule de l’aire totale de l’objet composé.

AT = B + Ph B = 3 ´ 4 = 12 m2

P = 3 + 3 + 4 + 4 = 14 m AT = 12 + (14 ´ 6) = 96 m2

Prisme triangulaire ht est la hauteur du triangle. ht = 7,3 – 6 = 1,3 m

chaque base:

12

123 1 3 1 95 2bht= ×( )=, , m

chaque face: 2 ´ 4 = 8 m2

AT = 2(1,95) + 2(8) = 3,9 + 16 = 19,9 m2

L’aire totale est 96 + 19,9 soit 115,9 m2.

,

pi

pi

pi


b) Cet objet est formé d’un cône et d’un cylindre. La base du cône et une des bases du cylindre ne sont pas incluses dans l’aire totale car elles ne sont pas en surface.

Cylindre Puisque la face du haut du cylindre et la face du bas du cône sont la même

face, on ne la compte qu’une seule fois dans la formule de l’aire totale de l’objet composé.

AT = B + Ph B = pr2 = p(5)2 = p(25) = 78,54 pi2

P = 2pr = 2p(5) = (10)p = 31,42 pi AT = 78,54 + (31,42 ´ 15) = 78,54 + 471,24 = 549,78 pi2 ou 549,5 pi2 si tu as utilisé 3,14 pour p

Cône La base n’est pas incluse, donc la formule de l’aire totale est :

AT Pa

P r

AT

12

2 2 5 10 31 4212

31 42 10 157 1

,

, ,

pi

pi22

L’aire totale de l’objet est de 549,78 + 157,1 = 706,88 pi2 ou 157 pi2 si tu as utilisé 3,14 pour p ou 549,5 + 157 = 706,5 pi2

Si tu veux exprimer l’aire totale en verges carrées, alors, sachant qu’il y a 3 pi dans 1 vg et 9pi2 dans 1 vg2, l’aire totale est : 706,88 ÷ 9 = 78,54 vg2 ou

706,5 ÷ 9 = 78,5 vg2.Maintenant que tu as appris trois méthodes différentes pour trouver l’aire totale d’un objet 3D, il est temps de les appliquer. Pour l’activité d’apprentissage suivante, tu dois avoir en main une orange, du papier et un compas pour explorer davantage le concept de l’aire totale. Dans cet exercice, tu pourras également t’exercer à appliquer les différentes méthodes de calcul de l’aire totale.





Réponds aux questions suivantes sans l’aide d’une calculatrice et sans papier ni crayon. Cela ne devrait te prendre que quelques minutes.1. Travis investit 1 500 $ pour 1 an à un taux d’intérêt de 5 %. Combien vaudra

cet investissement après 1 an?

2. Trouve la valeur de 48

14´ .

3. Liu et Goh sont sortis pour souper et le coût total du repas est de 28,50 $, taxes comprises. Goh paye en laissant 30 $ sur la table en incluant le

pourboire. Combien a-t-il donné de pourboire?4. Fran a un taux de précision de 60 % au volley-ball. Sa précision au basket

ball est 20 % plus élevée qu’au volley ball. Au badminton, sa précision est la moitié de sa note au basket-ball. Quel est le taux de précision de Fran au badminton?

5. Écris deux fractions qui sont équivalentes à 0,20.

Partie B - Calcul de l’aire totale


1. Voici un autre exercice pratique. Tu auras besoin d’une orange (les oranges Navel sont l’idéal, mais d’autres variétés d’oranges et de fruits peuvent aussi faire l’affaire – tu as besoin d’un objet sphérique que tu peux peler facilement), de 2 feuilles de papier, d’une règle et d’un compas. Si tu n’as pas d’orange à portée de la main, utilise un autre objet sphérique dont tu peux enlever la couche externe facilement.A. Utilise ta règle pour mesurer le diamètre de l’orange en trois directions

différentes (p. ex. du dessus au dessous, d’un côté à l’autre et en diagonale). Inscris chacune de ces mesures au coin de ta feuille.



B. Trouve la valeur moyenne de ces trois mesures. C’est le diamètre approximatif de l’orange. Calcule le rayon de l’orange.

C. Ajuste ton compas de façon à avoir le même rayon que l’orange de la partie B. Utilise ta règle pour mesurer la distance entre les branches de ton compas. Dessine six cercles ayant ce rayon, trois sur chaque page (fais ces dessins sur deux feuilles différentes car tu ne pourras pas voir l’endos).

D. Pèle ton orange en petits morceaux d’environ 1 cm2 ou moins. Assemble les morceaux dans les cercles que tu as dessinés sur tes feuilles de papier de sorte que tu ne puisses plus voir le papier à l’intérieur des cercles, sans que les morceaux ne se chevauchent. Essaie de faire entrer tous tes morceaux d’orange dans le moins de cercles possible.

Combien de cercles as-tu réussi à remplir? Qu’est-ce que cela te fait penser concernant l’aire totale d’une sphère? Mange ton orange tout en continuant cette activité d’apprentissage.

2. Nomme les objets suivants et calcule leur aire totale. Utilise la méthode de calcul indiquée en regard de l’objet.a) Trouve l’aire totale à l’aide d’un développement.

��

��

b) Trouve l’aire totale en utilisant la formule.

pi

pi



c) Trouve l’aire totale à l’aide de l’approche des faces. La base est un triangle rectangle.

d) Trouve l’aire totale à l’aide de la formule.

po

e) Trouve l’aire totale à l’aide d’un développement.

��

��

��

f) Trouve l’aire totale à l’aide de la formule OU de l’approche des faces.

po

popo

po

3. Décris brièvement comment tu procèdes pour tracer le développement d’un prisme. Indique où tu commences, comment tu décides où commencer et les étapes que tu suis.


Résumé de la leçon

Dans cette leçon, tu as calculé l’aire totale d’une variété d’objets 3D, y compris des objets composés, à l’aide de trois méthodes différentes. Ces méthodes sont :QQ le développement,QQ l’approche des faces,QQ les formules de l’aire totale.

Dans la prochaine leçon, tu appliqueras à des situations de la vie courante l’information contenue dans cette leçon.










l e ç o n 2 - a p p l i c a t i o n s d e l ’ a i r e t o t a l e


Dans cette leçon, tuq observeras comment des changements dans les dimensions

modifient l’aire totale d’objetsq résoudras des problèmes de la vie courante comportant des aires

totales, notamment l’aire totale d’objets composésq estimeras l’aire totale à l’aide de référents

Introduction

La leçon 2 explore des applications de l’aire totale dans des situations de la vie quotidienne. Une utilisation très commune de l’aire totale concerne les rénovations à une maison, mais il y en a beaucoup d’autres. Tu calculeras les variations de l’aire totale quand les dimensions d’un objet sont changées. Dans certains cas, il est utile de savoir calculer approximativement les dimensions et l’aire totale, sans l’aide d’instruments de mesure et sans calculatrice.

Changements de dimensions

Quand tu changes une ou plusieurs dimensions d’un objet, l’aire totale de l’objet change aussi. Un changement dans les dimensions a un effet différent sur chaque type d’objet (prisme, pyramide et sphère) parce qu’on calcule l’aire totale de figures différentes avec des méthodes différentes. Le tableau suivant démontre l’effet du doublage de différentes dimensions d’un objet. (Pour garder les réponses simples, nous les écrirons en fonction de p plutôt que d’utiliser une calculatrice.)


Air

e to

tale

Pris

me

rect

angu

lair

e

��

��

��

Cyl

indr

e ��

��

�

Pyra

mid

e re

ctan

gula

ire

a a

Côn

e

��

��

�

Sphè

re ��

�

Obj

et o

rigi

nal

Ava

nt/

arri

ère

:

Lh =

1 ´

1 =

1 c

m2

2 cô

tés :

lh

= 1

´ 1

= 1

cm

2

Des

sus/

dess

ous :

Ll

= 1

´ 1

= 1

cm

2

Air

e to

tale

:(2

´ 1

) + (2

´ 1

) + (2

´ 1

) =

6 cm

2

Des

sus/

dess

ous :

p

r2 = p

(1)2 =

p c

m2

Côt

é :

Ch

= 2

pr ´

h

= 2p

(1) ´

1

= 2p

cm

2

Air

e to

tale

:(2

´ p

) + 2

p =

4p

cm

2

Base

:

Ll =

1 ´

1 =

1 c

m2

4 cô

tés :

1 2

1 21

11 2

2La

=(

) =cm

×

Air

e to

tale

:

1

41 2

32

+×

=

cm

Base

:

pr2 =

p(1

)2 = p

cm

2

Côt

é :

1 21 2

2

1 22

11

2

Car

a= =

()

=

π π

πcm

×

×

Air

e to

tale

:p

+ p

= 2

p c

m2

Air

e to

tale

:4p

r2 = 4

p(1

)2 = 4

p c

m2

La lo

ngue

ur e

st

doub

lée

(la la

rgeu

r et

la h

aute

ur o

u l’a

poth

ème

= 1

cm)

Ava

nt/

arri

ère

:

Lh =

2 ´

1 =

2 c

m2

2 cô

tés :

lh

= 1

´ 1

= 1

cm

2

Des

sus/

dess

ous :

Ll

= 2

´ 1

= 2

cm

2

Air

e to

tale

:(2

´ 2

) + (2

´ 1

) + (2

´ 2

) =

10 c

m2

Base

:

Ll =

2 ´

1 =

2 c

m2

2 cô

tés :

1 2

1 22

11

2La

=(

) =cm

×

2 cô

tés :

1 2

1 21

11 2

2 la

cm×

Air

e to

tale

:

22

12

1 25

2

+×

() +

×

=cm

La la

rgeu

r est

do

ublé

e (la

lo

ngue

ur e

t la

haut

eur o

u l’a

poth

ème

= 1

cm)

Ava

nt/

arri

ère

:

Lh =

1 ´

1 =

1 c

m2

2 cô

tés :

lh

= 2

´ 1

= 2

cm

2

Des

sus/

dess

ous :

Ll

= 1

´ 2

= 2

cm

2

Air

e to

tale

:(2

´ 1

) + (2

´ 2

) + (2

´ 2

) =

10 c

m2

Base

:

Ll =

1 ´

2 =

2 c

m2

2 cô

tés :

1 2

1 21

11 2

2La

=(

) =cm

×

2 cô

tés :

1 2

1 22

11

2 la

=(

) =cm

×

Air

e to

tale

:

22

1 22

1

52

+×

+

×(

)

=cm

SUIT

E...


Air

e to

tale

(su

ite)

Pris

me

rect

angu

lair

e

��

��

��

Cyl

indr

e ��

��

�

Pyra

mid

e re

ctan

gula

ire

aa

Côn

e

��

��

�

Sphè

re ��

�

La h

aute

ur

(l’ap

othè

me)

est

do

ublé

e (la

lo

ngue

ur e

t la

larg

eur O

U le

ra

yon

= 1

cm)

Ava

nt/

arri

ère

:

Lh =

1 ´

2 =

2 c

m2

2 cô

tés :

lh

= 1

´ 2

= 2

cm

2

Des

sus/

dess

ous :

Ll

= 1

´ 1

= 1

cm

2

Air

e to

tale

:(2

´ 2

) + (2

´ 2

) + (2

´ 1

) =

10 c

m2

Des

sus/

dess

ous :

p

r2 = p

(1)2 =

p c

m2

Côt

é :

Ch

= 2

pr ´

h

= 2p

(1) ´

2

= 4p

cm

2

Air

e to

tale

:(2

´ p

) + 4

p =

6p

cm

2

Base

:

Ll =

1 ´

1 =

1 c

m2

2 cô

tés :

1 2

1 21

21

2La

=(

) =cm

×

2 cô

tés :

1 2

1 21

21

2 la

=(

) =cm

×

Air

e to

tale

:

1 +

(2 ´

1) +

(2 ´

1)

=

5 cm

2

Base

:

pr2 =

p(1

)2 = p

cm

2

Côt

é :

1 21 2

2

1 22

12

1 2 2

2 2

Car

a= =

()

= =

π π π π

cm cm

×

×

Air

e to

tale

:p

+ 2

p =

3p

cm

2

Le ra

yon

est

doub

lé (l

a ha

uteu

r ou

l’ap

othè

me

et

haut

eur =

1 c

m)

Des

sus/

dess

ous :

p

r2 = p

(2)2 =

4p

cm

2

Côt

é :

Ch

= 2

pr ´

h

= 2p

(2) ´

1

= 4p

cm

2

Air

e to

tale

:(2

´ 4

p) +

4p

= 1

2p c

m2

Base

:

pr2 =

p(2

)2 = 4

p c

m2

Côt

é :

1 21 2

2

1 22

21

22

Car

a= =

()

=

π π

πcm

×

×

Air

e to

tale

:4p

+ 2

p =

6p

cm

2

Air

e to

tale

:4p

r2 = 4

p(2

)2 = 1

6p c

m2

Tout

es le

s di

men

sion

s son

t do

ublé

es

Ava

nt/

arri

ère

:

Lh =

2 ´

2 =

4 c

m2

2 cô

tés :

lh

= 2

´ 2

= 4

cm

2

Des

sus/

dess

ous :

Ll

= 2

´ 2

= 4

cm

2

Air

e to

tale

:(2

´ 4

) + (2

´ 4

) + (2

´ 4

) =

24 c

m2

Des

sus/

dess

ous :

p

r2 = p

(2)2 =

4p

cm

2

Côt

é :

Ch

= 2

pr ´

h

= 2p

(2) ´

2

= 8p

cm

2

Air

e to

tale

:(2

´ 4

p) +

8p

= 1

6p c

m2

Base

:

Ll =

2 ´

2 =

4 c

m2

2 cô

tés :

1 2

1 22

22

2La

=(

) =cm

×

2 cô

tés :

1 21 2

22

22

la=

() =

cm×

Air

e to

tale

:4

+ (2

´ 2

) + (2

´ 2

) =

12 c

m2

Base

:

pr2 =

p(2

)2 = 4

p c

m2

Côt

é :

1 21 2

2

1 22

22

42

Car

a= =

()

=

π π

πcm

×

×

Air

e to

tale

:4p

+ 4

p =

8p

cm

2

Air

e to

tale

:4p

r2 = 4

p(2

)2 = 1

6p c

m2


En regardant chaque colonne de haut en bas, tu remarqueras qu’il n’y a aucune régularité évidente entre les aires totales quand tu changes une seule dimension. Comme il n’y a pas de régularité, quand tu ne changes pas toutes les dimensions, tu dois quand même trouver l’aire totale en additionnant les aires de toutes les faces. Tu devrais peut être inclure cet énoncé sur ta fiche-ressource pour t’en rappeler.

Observe ce qui arrive quand tu compares les aires totales d’objets originaux avec les aires d’objets similaires dont les dimensions sont doublées.

Dimensions Prisme Cylindre Pyramide Cône Sphère

Originales 6 cm2 4p cm2 3 cm2 2p cm2 4p cm2

Doublées 24 cm2 16p cm2 12 cm2 8p cm2 16p cm2

Quand tu doubles toutes les dimensions, le multiplicateur dimensionnel est 2. De plus, si tu doubles toutes les dimensions, l’aire totale sera quadruplée (4 fois plus grande). Cela signifie que le multiplicateur total égale 4 parce que les unités utilisées pour mesurer l’aire totales sont des unités au carré (unités2). Par conséquent,

Originales Doubléesdimensions ´ 1unités de dimension : cmunités de l’aire : cm2

dimensions ´ 2unités de dimension : cmunités de l’aire : cm2

Puisque les unités de dimension sont élevées au carré, le multiplicateur dimensionnel est aussi élevé au carré.aire totale ´ (1)2 = ´ 1 aire totale ´ (2)2 = ´ 4

Un multiplicateur est le nombre par lequel on multiplie. Quand on double une dimension, on la multiplie par 2, « 2 » devient le multiplicateur. Quand on triple une dimension, 3 est le multiplicateur parce qu’on a multiplié par 3.

Ce principe s’applique à toutes les variations (changements) de dimensions, à condition que toutes les dimensions changent avec le même facteur. Tu devrais écrire cette règle dans tes propres mots sur ta fiche-ressource pour ne pas l’oublier.

Ce principe s’accorde aussi avec ce que tu as appris sur la conversion des unités d’aire dans des cours de mathématiques précédents. Souviens-toi : 1 m = 100 cm (1 m)2 = (100 cm)2

1 m2 = 10 000 cm2


Pour étudier plus en profondeur l’effet de changements dans les dimensions, complète l’activité d’apprentissage ci-dessous et vérifie tes réponses quand tu l’auras terminée.




Réponds aux questions suivantes sans l’aide d’une calculatrice et sans papier ni crayon. Cela ne devrait te prendre que quelques minutes.1. Sharmaine doit se lever à 5 h le matin et ne peut pas fonctionner si elle n’a

pas eu au moins 9 heures de sommeil. Quelle est l’heure la plus tardive à laquelle Sharmaine doit aller au lit?

2. La longueur de côté d’un cube est de 4 cm. Quelle est l’aire totale du cube?3. Quelle est la moyenne de ces valeurs : 4, 6, 8, 2?4. Shannon a 4 ans de plus que Cheri. Si Cheri a le double de l’âge de Shannon,

quel âge a Shannon?5. Il y a 5 tranches de pepperoni dans une pointe de pizza du Pizza Parlour de

Santa Monica. Si la pizza comprend 8 pointes, combien y a-t-il de tranches de pepperoni dans toute la pizza?

Partie B - Changements de dimensions


1. a) Complète le tableau suivant.b) Quelle est la régularité observée entre l’aire totale originale et l’aire totale

de l’objet avec des dimensions triplées (3 fois plus grandes)? Quelle est la relation entre cette régularité et celle que nous avons trouvée quand toutes les dimensions ont été doublées?



Air

e t

ota

lePr

ism

e re

ctan

gula

ire

��

��

��

Cyl

indr

e ��

��

�

Pyra

mid

e re

ctan

gula

ire

a

Côn

e

��

��

�

Sphè

re ��

�

Obj

et o

rigi

nal

Ava

nt/

arri

ère

:

Lh =

1 ´

1 =

1 c

m2

2 cô

tés

:

lh =

1 ´

1 =

1 c

m2

Des

sus/

dess

ous

:

Ll =

1 ´

1 =

1 c

m2

Air

e to

tale

:(2

´ 1

) + (2

´ 1

) + (2

´ 1

) =

6 cm

2

Des

sus/

dess

ous

:

pr2 =

p(1

)2 = p

cm

2

Côt

é :

C

h =

2pr

´ h

=

2p(1

) ´ 1

=

2p c

m2

Air

e to

tale

:(2

´ p

) + 2

p =

4p

cm

2

Base

:

Ll =

1 ´

1 =

1 c

m2

4 cô

tés

:

1 2

1 21

11 2

2La

=(

) =cm

×

Air

e to

tale

:

1

41 2

32

+×

=

cm

Base

:

pr2 =

p(1

)2 = p

cm

2

Côt

é :

1 21 2

2

1 22

11

2

Ca

ra

= =(

)

=

π π

πcm

×

×

Air

e to

tale

:p

+ p

= 2

p c

m2

Air

e to

tale

:4p

r2 = 4

p(1

)2 = 4

p c

m2

Tout

es le

s di

men

sion

s so

nt

trip

lées

(× 3

)

a


Calcul de l’aire totale dans des situations courantes

Les exemples suivants montrent des applications de l’aire totale. Quand tu liras ces exemples, s’il y a des points qui te semblent obscurs, demande de l’aide à ton partenaire d’apprentissage. N’oublie pas que tu peux ajouter des exemples et des trucs utiles sur ta fiche-ressource.

Exemple 1Tu veux repeindre ta chambre à coucher, qui mesure 4 m de large et 6 m de long. Les murs mesurent 2,5 m de hauteur. La porte et la fenêtre ont une aire combinée de 1,8 m2, que tu ne repeindras pas. Un gallon de peinture couvre 37,2 m2. De combien de gallons de peinture auras tu besoin pour appliquer deux couches de peinture? Si un contenant renferme un gallon de peinture, combien dois-tu acheter de gallons? (Suppose que tu repeins seulement les murs de ta chambre).

4 m

2,5 m

6 m

SolutionTu peux calculer l’aire totale des murs (sans la porte et la fenêtre) en éliminant les bases de la formule de l’aire totale du prisme original puisque tu ne repeins ni le plancher ni le plafond. AT = 2B + Ph P = 2(4) + 2(6) = 20 m AT = (20) (2,5) = 50 m2 s’il n’y avait pas de porte ni de fenêtre

L’aire totale des murs, si tu ne peins pas la porte et la fenêtre, égale 50 – 1,8 = 48,2 m2. Comme tu appliques deux couches de peinture, tu dois doubler l’aire totale, donc : 48,2 ´ 2 = 96,4 m2.

1 gallon de peinture couvre 37,2 m2. Tu as besoin de couvrir 96,4 m2. Pour déterminer le nombre de gallons de peinture que tu dois acheter, suis les étapes suivantes.


Étape 1 : Établis un ratio comparant ce que tu as et ce dont tu as besoin. Tu peux calculer le nombre de gallons dont tu as besoin en utilisant un raisonnement proportionnel. Assure-toi d’aligner les gallons dans une même colonne, et les m2 dans l’autre colonne.

1 gallon 37,2 m2

g gallons 96,4 m2

1g

37,296,4

Étape 2 : Multiplie en croix (multiplication croisée) (1)(96,4) = (37,2)(g)

Étape 3 : Résous

g

96,437,2

2,59 gallons

Tu aurais besoin de 2,6 gallons de peinture. Tu devrais acheter 3 gallons de peinture puisque tu ne peux pas acheter une partie d’un contenant de peinture.

Exemple 2Au Jus Frais, une compagnie qui produit des jus de fruits, essaie de déterminer si elle doit vendre son nouveau jus en boîte de conserve ou dans un carton. La compagnie a une politique d’économie des ressources, donc elle veut utiliser un minimum de matériel d’emballage pour diminuer les quantités de déchets. Quel emballage doit-elle choisir si les deux contenants, la boîte (cylindre) et le carton (prisme rectangulaire), contiennent la même quantité de jus?

,,


Solution Boîte CartonAT = 2B + Ph AT = 2B + Ph B = pr2 = p(3)2 = 28,274 cm2 B = (5,3)(5,3) = 28,09 cm2

P = C = pd = p(6) = 18,850 cm P = 2(5,3) + 2(5,3) = 21,2 cmAT = 2(28,274) + (18,850)(9) AT = 2(28,09) + (21,2)(9) = 56,548 + 169,65 = 226,198 cm2 = 56,18 + 190,8 = 246,98 cm2

L’aire du matériel nécessaire pour L’aire du matériel nécessaire pour fabriquer la boîte est de 226,2 cm2. fabriquer la boîte est de 247,0 cm2.

Au Jus Frais devrait choisir la boîte parce qu’une aire de 226,2 cm2 est moins grande que 247,0 cm2, donc il faut moins de matériel pour fabriquer la boîte que le carton.

Exemple 3Cherida a posé un revêtement sur sa maison. Chaque planche de revêtement mesure 10 cm sur 2 m. Elle a utilisé 1 344 planches de revêtement. Cherida n’a pas couvert les fenêtres et les portes, qui ont une aire totale de 7,2 m2. Quelle est l’aire totale de la maison de Cherida? (Pour cet exemple, l’aire totale ne comprend ni le toit, ni le plancher.)

SolutionLes dimensions d’une planche de revêtement sont de 10 cm sur 2 m. Avant de calculer l’aire, tu dois avoir toutes les mesures dans la même unité. 10 cm = 0,1 m.Aire d’une planche de revêtement = 0,1 ´ 2 = 0,2 m2

Aire de toutes les planches de revêtement utilisées = 1 344 ´ 0,2 = 268,8 m2. C’est l’aire totale de la maison, mais en excluant les fenêtres et les portes.Aire totale de la maison (avec portes et fenêtres) = 268,8 + 7,2 = 276 m2.


Exemple 4Oliver mesure les dimensions de la maison de Cherida (exemple 3). Il a mesuré la largeur, qui est de 9 m, et la longueur, 14 m. D’après l’aire totale des 4 murs, Oliver calcule la hauteur de la maison, soit 12 m. Est ce correct? Sinon, quelle est la bonne réponse?

�

��

��

�

Solution Note : Une bonne façon de trouver une erreur dans des calculs est de

résoudre la question comme si tu n’avais pas de réponse.

AT = 2B + Ph 276 m2 = (46)h P = 2(9) + 2(14) = 46 m et B = 0 276 ¸ 46 = 46h ¸ 46 Divise les deux côtés par 46. h = 276 ¸ 46 = 6 m

Oliver s’est trompé. La maison de Cherida mesure 6 m de haut.

Exemple 5

Jeremiah construit une remise. Il a 20 m2 de métal en feuilles qu’il utilise pour couvrir les côtés et le toit de la remise, mais pas la porte. La porte mesure 1 m sur 1,5 m. Est ce qu’il a assez de métal en feuilles pour couvrir la remise si l’apothème du toit est de 1,5 m?

��

��

��


SolutionL’aire totale de la remise est l’aire de surface combinée de : a) les côtés d’un prisme carré, et b) les côtés d’une pyramide carrée, excluant l’aire de la porte.

Prisme rectangulaire (sans haut ni base) 1 côté = 2 ´ 2 = 4 m2

les 4 côtés = 4 ´ 4 = 16 m2

Pyramide rectangulaire (sans base)

112

12

2 1 5 1 5 2côté m= = ( )( )= ba , ,

4 côté = 4 ´ 1,5 = 6 m2

Porte 1 ´ 1,5 = 1,5 m2

L’aire totale des feuilles de métal dont Jeremiah a besoin est : 16 + 6 – 1,5 soit 20,5 m2. Il n’en a que 20 m2, donc il n’en a pas assez.

Exemple 6Rosselle sait qu’elle a utilisé 12,05 m2 de tissu pour confectionner une tente, y compris le plancher. Quelle est la longueur de la tente d’un bout à l’autre?

,

,

,

SolutionLa formule de l’aire totale de la tente est :

AT B Ph

B bh

P

= +

= = ( )=

= + + =

212

12

1 5 1 5 1 125

1 5 1 7 1 7 4 9

12 05

2, , ,

, , , ,

,

m

m

== ( )+ ⋅( )= + ⋅( )

⋅( )

2 1 125 4 9

12 05 2 25 4 9

12 05 2 25 4 9

9 8

, ,

, , ,

,

,

h

h

h

44 9 4 9 4 92

, , ,= ⋅( )=

hhm

, ,

×

×

×

×

×÷ ÷

=_

soustrait 2,25 des deux côtés

divise les deux côtés par 4,9

La longueur de la tente est 2 m.


Estimation de l’aire totale

Tu te demandes peut être pourquoi tu dois apprendre à estimer l’aire totale d’un objet quand tu sais déjà la calculer. Si tu traînes toujours une règle ou un ruban à mesurer dans ta poche ou ton sac, tu n’auras pas à estimer d’aire totale, mais il est fort possible que tu n’aies pas d’instrument de mesure à portée de la main à un moment donné; tu devras alors estimer la longueur et la taille de certains objets. En 10e année, tu as appris ce que sont les référents (un référent est un objet de dimensions connues qui t’aide à estimer ou à comparer la taille des objets). Si tu n’as pas d’instrument de mesure à portée de la main, tu peux te servir d’un référent pour estimer la taille d’un objet.

La façon d’utiliser des référents pour estimer l’aire totale est différente de celle qu’on prend pour mesurer des lignes droites. La raison en est que l’aire totale comporte plusieurs éléments (toutes les faces additionnées ensemble), donc il n’y a pas de règle précise pour lier le changement d’une dimension et le changement de l’aire totale de la surface. Voilà pourquoi, quand on estime l’aire totale, on utilise des référents pour trouver les dimensions d’un objet. On trouve ensuite la valeur de l’aire totale. Les exemples suivants montrent comment utiliser un référent pour estimer l’aire totale.

Exemple 1Ben a reçu une maquette de pyramide avec une base carrée qui mesure 5 cm de long et a un apothème de 6 cm. La pyramide à base carrée d’Éric semble 4 fois plus grande que la pyramide de Ben (toutes les dimensions semblent 4 fois plus grandes).a) Quelle est l’aire totale de la pyramide de Ben? b) Estime l’aire totale de la pyramide d’Éric. Écris ta réponse en cm2 et en m2.

Solution

a)

La pyramide de Ben a une aire totale de 85 cm2.

b) D’après ce que tu as appris au début de cette leçon, comme les dimensions de la pyramide d’Éric sont environ 4 fois plus grandes :

L’aire totale devrait être environ de : 42 = 16 fois plus grande.

AT B Ph

BP

AT

= +

= × =

= + + + =

= + ×( )

= + =

12

5 5 255 5 5 5 20

251220 6

25 60 85

2cmcm

cmm2


L’aire approximative de la pyramide d’Éric égale 85 cm2 ´ 16 = 1 360 cm2 Convertis en m2 : 1 360 cm2 ¸ (100)2 » 0,14 m2

Exemple 2Dmitri a une feuille de papier verte. Il ne connaît pas ses dimensions, mais il veut en savoir l’aire totale. Il a aussi une feuille de papier ordinaire (8,5 po sur 11 po). Dmitri compare les deux feuilles de papier et trouve que la largeur de la feuille verte égale environ la même longueur que la feuille ordinaire. Il constate aussi que la longueur de la feuille verte est environ le double de la largeur de la feuille ordinaire. Quelle est l’aire approximative de la feuille verte?

SolutionLa largeur de la feuille verte est d’environ 11 po.La longueur de la feuille verte égale environ 2 ´ 8,5 = 17 po.L’aire de la feuille verte est de 11 ´ 17 = 187 pouces2.

En revanche, si on suppose que 8,5 po était la longueur de la feuille ordinaire, on aurait trouvé :La largeur de la feuille verte est d’environ 8,5 po.La longueur de la feuille verte égale environ 2 ´ 11 po = 22 poL’aire de la feuille verte est de 8,5 ´ 22 = 187 pouces2.

Les deux réponses seraient correctes, mais la première est plus probable parce que 11 po sur 17 po est un format de papier plus courant, alors que 8,5 po sur 22 po est plus rare.

Exemple 3Tania a deux cadeaux à emballer dans des boîtes en forme de prisme rectangulaire. La largeur et la hauteur des deux boîtes sont les mêmes, mais la longueur d’une boîte est presque le triple de l’autre. Combien de papier de plus faudra-t-il à Tania pour envelopper la plus grande boîte si les dimensions de la petite boîte sont de 1 pi sur 1 pi sur 1 pi?

Solution

Petite boîte Grande boîtedessus/dessous : l × L = 1 ´ 1 = 1 pi2

avant/arrière : l × L = 1 ´ 1 = 1 pi2

2 côtés : l × h = 1 ´ 1 = l pi2

Aire totale = 2(1) + 2(1) + 2(1) = 6 pi2

dessus/dessous : l × L = 3 ´ 1 = 3 pi2

avant/arrière : l × L = 3 ´ 1 = 3 pi2

2 côtés : l × h = 1 ´ 1 = l pi2

Aire totale = 2(3) + 2(3) + 2(1) = 14 pi2

Dans ce cas, Tania aura besoin d’environ 8 pi2 de plus de papier d’emballage pour la grosse boîte.


La liste ci-dessous présente d’autres référents que tu peux utiliser pour estimer les dimensions d’un objet :QQ La poignée d’une porte ordinaire se trouve à environ 1 verge du plancher.QQ Un trombone ordinaire mesure environ 2 pouces de long.QQ Quand tu étales tes doigts autant que possible, la distance entre ton pouce

et ton petit doigt est d’environ 20 cm ou 8 pouces (cette distance s’appelle l’empan).

QQ Le périmètre d’une feuille de papier standard est de 99 cm (presque 1 m).QQ Le diamètre du fil utilisé pour un trombone standard, l’épaisseur d’une

pièce de monnaie et l’épaisseur d’une carte de crédit sont d’environ 1 mm.QQ La longueur de 2 pas et la distance du plancher à la taille d’une femme de

grandeur moyenne sont d’environ 1 m.QQ Le diamètre d’une pièce de 1 $ (huard), la largeur du pouce et l’épaisseur

d’une rondelle de hockey sont d’environ 1 pouce.QQ La distance qu’une personne en forme peut courir en 7 minutes, la distance

entre les routes de campagne et la distance séparant 15 à 20 rues dans une ville (selon la façon dont les rues sont construites, cela peut être plus ou moins) sont tous des référents pour 1 mille.

Maintenant que tu as vu certaines applications de l’aire totale et la façon d’estimer l’aire totale, complète l’activité d’apprentissage suivante pour t’assurer d’avoir compris ce que tu as lu. N’oublie pas de vérifier tes réponses et au besoin, demande de l’aide à ton partenaire d’apprentissage.




Réponds aux questions suivantes sans l’aide d’une calculatrice et sans papier ni crayon. Cela ne devrait te prendre que quelques minutes.1. Tu achètes une chemise à 10,00 $, une paire de pantalons à 25,00 $ et un

chandail à 20,00 $. Tous les articles sont en rabais à 10 %. Combien dois-tu débourser, avant taxes?



2. Un paquet de 3 stylos coûte 10 $, alors qu’un paquet de 5 stylos coûte 15 $. Quel est le meilleur achat?

3. Jil fait de la course ou du vélo tous les jours sauf le vendredi. S’il court tous les lundis, mercredis et samedis, combien de jours fait il du vélo?

4. Complète la suite 36, 33, 30, ___, ___.5. Trouve la valeur de m dans 3 – m = 10.

Partie B - Applications de l’aire totale


1. La NBA veut produire un nouveau ballon de basket ball pour la prochaine saison. Le ballon doit avoir une circonférence de 29,5 po. Combien de matériel sera nécessaire pour fabriquer le ballon de basket ball?

2. De combien de papier as-tu besoin pour confectionner un verre conique?

2,5 pouces

3,5 pouces

3. Tina et Pedro fabriquent un carré de sable pour leurs enfants. Après avoir coupé le bois et l’avoir assemblé, ils aimeraient le peindre. Les dimensions qu’ils mesurent à l’extérieur du cadre de bois sont de 2,2 m sur 2,2 m. À l’intérieur du cadre, les dimensions sont de 2,1 m sur 2,1 m.

, ,

,

,

,



a) Quelle est l’aire totale du carré de sable?b) Si une bonbonne de peinture en vaporisateur couvre 10 m2, combien leur

faudra-t-il de bonbonnes pour peindre le carré de sable?4. Max a emballé une boîte en utilisant 352 po2 de papier d’emballage, sans

chevauchement. Quelle est la hauteur de la boîte?

1 pied 8 pouces

h

5. Quel choix offre la plus grande quantité de pizza : 2 petites pizzas (11 po) ou 1 grande pizza (15 po)? (Les mesures sont les diamètres.)

6. Trouve l’aire totale d’un objet 3D à la maison ou à l’école. L’objet pourrait être par exemple une boîte de carton ou de conserve, un ballon ou tout autre objet 3D.a) Utilise l’un des référents de cette leçon (ou un autre qui te semble plus

approprié) pour estimer l’aire totale de l’objet.b) Utilise une règle ou un autre outil pour mesurer les dimensions de l’objet

de la question précédente, puis utilise ces mesures pour recalculer l’aire. Ton estimation était elle assez précise? Pourquoi ton estimation serait-elle différente de l’aire totale réelle?


Dans cette leçon, tu as exploré l’effet que peuvent avoir des changements de dimensions d’un objet 3D sur son aire totale. Tu as vu aussi plusieurs exemples de la façon d’utiliser l’aire totale dans des situations courantes, et comment estimer les dimensions de divers objets à l’aide de référents.

Avant de commencer la prochaine leçon, complète le devoir suivant, que tu remettras à la fin du module.


Devoir 2.1

Aire totale

Total : 30 points

Note à l’élève : Avant de commencer ce devoir, assure-toi que ta fiche-ressource contient toutes les formules des deux dernières leçons et toute définition que tu juges utile. Il serait bon également d’utiliser ta fiche-ressource pour compléter ce devoir. Si ta fiche-ressource ne présente pas toute l’information dont tu as besoin pour résoudre un problème, tu devrais la compléter maintenant.

1. Décris dans tes propres mots la relation entre l’aire et l’aire totale. Indique en quoi elles sont différentes et en quoi elles sont semblables. Tu peux utiliser des exemples dans ton explication. (2 points)


Devoir 2.1 : Aire totale (suite)

2. Trace le développement et trouve l’aire totale du prisme. (2 points)

��

��

��

3. Maddry veut peindre l’extérieur d’une cabane à oiseaux qu’elle a bâtie. Chaque pot de peinture couvre 80 pouces carrés. Combien devra-t-elle acheter de pots de peinture? Le diamètre du trou est de 2 pouces et il y a un seul trou. Résous cette question à l’aide de la méthode de l’approche par les faces. (6 points)

8 po

6 po 6 po

2,5 po

6,25 po

suite



4. La compagnie Soupe Bampell fabrique les étiquettes pour ses boîtes de conserve de soupe à partir de papier de 23 cm sur 28 cm. Si toutes les boîtes de soupe ressemblent au diagramme ci-dessous, avec les mêmes dimensions, combien d’étiquettes la compagnie peut-elle découper dans ce morceau de papier? Reste-t-il du papier inutilisé? (4 points)

7 cm

9 cm

Bampell’sSoup

5. L’aire totale d’un cône de crème glacée portant une demi sphère de crème glacée est de 117,8 cm2. Le rayon du cône et de la demi-boule de crème glacée est de 2,5 cm. Quelle est la valeur de l’apothème du cône de crème glacée? (6 points)

r = 2,5 cm

a

Soupe Bampell



6. Le diagramme montre un bâtiment avec un toit pyramidal. Utilise ce diagramme pour écrire un problème comportant l’aire totale, puis donne la solution du problème. Montre tes calculs. Assure-toi également d’étiqueter les dimensions sur le bâtiment. (8 points)

7. Quel serait un référent approprié pour trouver l’aire totale des objets suivants?a) balle de baseball (1 point)

b) boîtier de DVD (1 point)


l e ç o n 3 : u n i t é s d e v o l u M e


Dans cette leçon, tuq calculeras les volumes en unités impériales et métriquesq convertiras des unités de volume du système impérial au système

impérial, et du système métrique au système métriqueq transformeras une formule pour calculer la dimension d’un volume donné

Introduction

Tu as déjà étudié l’aire totale dans ce module. Le volume est une autre façon de décrire un objet 3D. La leçon 3 présente une introduction au concept du volume, et la leçon 4 permettra d’explorer ce concept plus en profondeur. Voici une histoire sur le volume qui a changé l’histoire.

Archimède était un mathématicien grec bien connu pour son esprit brillant. Un jour, le roi rencontre Archimède et lui pose un problème qu’il doit résoudre. Le roi donne de l’or pur à un orfèvre pour que celui-ci puisse lui faire une couronne. Le roi se méfie un peu de l’orfèvre – il a peur que ce dernier ajoute de l’argent à la couronne, ce qui réduirait évidemment la densité de l’or dans la couronne. Il veut qu’Archimède détermine la densité de la couronne sans la faire fondre. Ce dernier détail complique la tâche, car comment peut-on trouver le volume de quelque chose qui a une forme aussi complexe, et si on n’a pas le volume, on ne peut pas trouver la densité. En prenant son bain, Archimède se rend compte que quand il est entré dans le bain, le niveau de l’eau a monté et quand il en est sorti, le niveau du bain a descendu. Il déduit que la hausse du niveau du bain est égale au volume de l’eau déplacée quand il est entré dans le bain. Ainsi, il imagine que s’il immerge la couronne dans l’eau, il pourra déterminer le volume de la couronne en mesurant l’augmentation du niveau de l’eau dans le contenant.

Cette méthode pour trouver le volume d’un objet est encore utilisée aujourd’hui. Tu as peut être fait une expérience semblable (pas nécessairement dans ton bain) les années passées.


Calcul du volume

Avant d’apprendre comment calculer un volume, tu devrais savoir ce que ce mot signifie. Le volume est la quantité d’espace en 3D occupée par un objet. (C’est pourquoi l’expérience du « bain » a été si instructive.) Le volume est mesuré en unités cubiques.

Prismes

Tu peux mesurer le volume de l’objet ci-dessous en comptant le nombre de cubes que contient la figure.

h

Ll

Le dessus de l’objet est formé d’une couche de 12 cubes. Comme il y a deux couches identiques, le volume de l’objet peut être calculé de la façon suivante :

Nombre total de cubes = Nombre de cubes/couche × nombre de couches = 12 × 2 = 24 cubes

Il est approprié de compter le nombre de cubes lorsqu’il s’agit de formes rectangulaires. Cependant, pour des objets qui n’ont pas une forme rectangulaire, tu as besoin d’une autre méthode. Ainsi, pour trouver le volume d’un prisme, tu peux multiplier l’aire de la base par sa hauteur.

Si tu examines la base du prisme ci-haut, tu trouveras que son aire est de 12 unités carrées.

B = Ll = 3 × 4 = 12 u2

Puisque la hauteur de l’objet est la même le long de cette aire, comme c’est le cas pour l’exemple ci-haut, le volume peut-être trouvé en multipliant l’aire par la hauteur.

V = Bh où B est l’aire de la base et h, la hauteur

Donc pour le prisme :

V = 12 × 2 = 24 u3

Ainsi, tu peux trouver le volume de n’importe quel prisme (objet 3D dont la hauteur ne varie pas le long de la base) en multipliant l’aire de la base par la hauteur.


Pyramides

Une pyramide est un objet 3D dans lequel la forme de la base est ramenée en seul point (apex ou sommet) le long de la hauteur. Le volume de ces objets est équivalent au tiers du volume des prismes correspondants.

V Bh13

.

Ll

h

Tu trouveras ci-dessous des formules pour calculer le volume et l’aire totale. Il serait utile de les inscrire sur ta fiche ressource. Cependant, souviens-toi que l’aire totale est la somme des aires de l’objet 3D et que le volume correspond au produit de la hauteur et de l’aire de la base de l’objet 3D.

Volume et aire totale de l’objet 3D

Volume Aire totaleFormule générale

Aire de la base (B)

Formule spécifique

Formule générale

Périmètre ou circonférence de

la base (P)

Formule spécifique

Prisme rectangulaire ou triangulaire

Bh Base rectan-gulaire : Ll

Ll × h 2B + Ph 2 (L + l) 2Ll + 2h (L + l)

Base triangulaire : 12bht

12bh ht ´

2B + Ph somme des 3 côtés bht + (somme des 3 côtés) × h

Cylindre Bh pr2 pr2 ´ h 2B + Ph 2pr 2pr2 + 2prhPyramide rectangulaire ou triangulaire

13Bh

Base rectan-gulaire : Ll

12

Ll h( )L + l+

B Ph+12

2 (L + l)

Base triangulaire : 12bht

16

Bh ht × B Ph+12

somme des 3 côtés12

bh

h

t

×

(somme +

des 3 côtés)

Cône 13Bh

pr2 13

2π r h( )× B Pa+12

2pr pr2+ pra

Sphère 43

pr3 Pas de base 43

pr3 4pr2 Pas de base 4pr2

a : apothème b : base B : aire de la base h : hauteur de l’objet ht : hauteur du triangle l : largeur du rectangle L : longueur du rectangle P : périmètre ou circonférence de la base r : rayon du cercle

12

Ll h( )L + l+


Il est important de noter que les formules du volume de pyramides et de cônes ne tiennent pas compte de l’apothème de l’objet 3D mais de sa hauteur.

Les unités de volume sont aussi différentes des unités pour l’aire totale. Le volume est une vraie mesure à trois dimensions (3D), contrairement à l’aire totale, donc au lieu d’unités au carré (unités2), on utilise des unités3 (unités au cube) pour le volume. En gardant ce point à l’esprit, fais attention d’utiliser les unités appropriées en répondant aux questions.

Unités métriques Unités impériales

Centimètres cubes (cm3) = millilitres (mL)Mètres cubes (m3)

Pouces cubes (po3)Pieds cubes (pi3)

Exemple 1Calcule les volumes des objets suivants.

a) b)

c) d)

3“

4“

ht

ht = 2,6“

��

��

,

pi


Solutions

a)

b)

c) d)

Tu peux utiliser le volume d’un objet pour trouver l’une des dimensions si tu connais les autres dimensions.

Exemple 2Le volume d’une sphère est de 41 m3. Quel est le diamètre de la sphère?

SolutionLa formule du volume d’une sphère est :

V r=

43

3π ,

donc tu n’as qu’à trouver le volume pour calculer le rayon (c’est la seule autre variable – souviens-toi que p est un nombre, en réalité)

4143

3= π r

tu veux trouver la valeur de r, alors divise les deux côtés de

l’équation par 43π

.

41

43

43

43

3÷

= ÷

π π πr

9,788 = r3 pour trouver la valeur de r, calcule la racine carrée de 9,788.

B bh

V Bh

t=

= ( )( )=

= = =

1212

3 2 6 3 9

3 9 4 15 6

2

3

,

,

,

,

po

po×

B Ll

V Bh

=

= =

= = ( )( )

= =

12 14 16813

13

168 11

616 616

2

3

cm

cm mL

×

B r

V Bh

=

= ( ) =

= = ( )( )=

π

π

2

2 2

3

0 5 0 78513

13

0 785 2 0 52

m

m

,

, ,

,V = ( )

= ( )=

43

8

43

512 2 145

3

3

π

π pi


La séquence des touches que tu dois enfoncer sur ta calculatrice dépend de la marque que tu utilises. En voici deux exemples.

3

2nd

^

9.788

)

=

MATH

4

9.788

)

=

Dans les encadrés ci-dessous, indique les étapes que tu dois suivre sur ta calculatrice.

9 7882 14

3 33=

=

rr

,,

Comme d = 2r, le diamètre de la sphère est 2 × 2,14 = 4,28 m.

Exemple 3Le volume d’un prisme rectangulaire est de 720 mm3. Si la largeur est de 6 mm et la hauteur égale 10 mm, quelle est la longueur?

SolutionLa formule du volume d’un prisme rectangulaire est :

V = Bh = L´ l´ h 720 = L ´ 6 ´ 10 Comme la longueur est la seule variable inconnue, tu peux résoudre le problème. 720 = L ´ 60 Divise par 60 les deux côtés de l’équation 720 ¸ 60 = (L ´ 60) ¸ 60 12 = L

La longueur du prisme est de 12 mm.


Conversion du volume dans un même système

Le calcul du volume ressemble un peu au calcul de l’aire totale, car tu utilises les mêmes variables, en grande partie. Parfois, quand la réponse est un nombre très élevé, on peut convertir le volume en une unité différente pour que ce soit plus facile de visualiser la réponse. Par exemple, la réponse de l’exemple 1d) est 2 145 pi3; cette réponse peut être plus facile à visualiser si elle est convertie en vg3.

Dans les cours de mathématiques précédents, tu as appris comment convertir des unités métriques et impériales pour des mesures linéaires (unités) et l’aire/aire totale (unités2). Maintenant, tu apprendras à convertir les unités de mesure du volume.

Unités métriques

Comme tu l’as appris dans la leçon précédente, puisque 1 m = 100 cm (1 m)2 = (100 cm)2 1 m2 = 10 000 cm2

On peut porter ce calcul un peu plus loin pour trouver combien il y a de cm3 dans 1 m3.

1 m = 100 cm (1 m)3 = (100 cm)3

(1 ´ 1 ´ 1) m3 = (100 ´ 100 ´ 100) cm3

1 m3 = 1 000 000 cm3

Tu peux procéder de la même façon pour toutes les unités qui sont égales, donc tu peux calculer combien de millimètres cubes il y a dans 1 centimètre cube.

Longueur Volume

1 cm = 10 mm1 m = 100 cm

1 km = 1 000 m

1 cm3 = (10 mm)3 = 1 000 mm3

1 mv = (100 cm)3 = 1 000 000 cm3

1 km3 = (1 000 m)3 = 1 000 000 000 m3


Unités impériales

Tout comme pour les unités du système métrique, on peut convertir les unités de longueur du système impérial. Cela signifie également qu’on peut faire la conversion entre différentes unités de volume.

Avec la même méthode que ci-dessus, on sait que : 1 vg = 3 pi (1 vg)3 = (3 pi)3

(1 ´ 1 ´ 1) vg3 = (3 ´ 3 ´ 3) pi3

1 vg3 = 27 pi3

En résumé,

Longueur Volume

1 pi = 12 po1 vg = 3 pi

1 mille = 1 760 vg

1 pi3 = (12 po)3 = 1 728 po3

1 vg3 = (3 pi)3 = 27 pi3

1 mi3 = (1 760 vg)3 = 5 451 776 000 vg3

Tu voudras peut être inclure les équivalents de mesures métriques et impériales sur ta fiche-ressource pour ne pas avoir à revenir aux pages précédentes quand tu voudras résoudre des problèmes dans le reste de la leçon et du module.

Rapport de conversion

Tu peux convertir d’une unité à une autre en utilisant le raisonnement proportionnel si tu connais le rapport des unités.

Exemple 1Un camion transporte 216 pi3 de gravier. Il est plus facile de visualiser ce volume de gravier quand il est mesuré en verges cubes. Convertis ce volume en verges cubes.

SolutionUtilise le raisonnement proportionnel pour faire cette conversion. D’après le tableau ci-dessus, on sait que 1 vg3 : 27 pi3

Assure-toi d’aligner les pieds cubes dans une colonne et les verges cubes dans l’autre.

27 pi3 1 vg3

216 pi3 x vg3


27216

1

27

= ( )

( )x

x

x

multiplie en croix et trouve la valeur de

(( )=( )( )

=

=

216 121627

8 3

x

x vg de gravier

Exemple 2Le volume d’un aquarium égale 857,4 cm3. Quel est le volume de l’aquarium en m3? Ce résultat est-il facile à visualiser?

,

,,

SolutionPour convertir des cm3 en m3, utilise le rapport de conversion :

11 000 000

3

3m

cm

Assure-toi d’aligner les cm3 dans une colonne et les m3 dans l’autre colonne. 1 000 000 cm3 1 m3

857,4 cm3 x m3

1 000 000857 4

1,

=x

fais la multiplication croisée et trouve la valeur de x

x

x

x

( )

( )( )=( )( )

=

=

1 000 000 857 4 1857 4

1 000 000

0 00

,,

, 00 857 4 3m

Ce nombre est très petit, donc il serait préférable de laisser le volume en 857,4 cm3. Aussi, puisque 1 cm3 = 1 mL, donc 857,4 cm3 = 857,4 mL, soit presque un litre.


Avant de passer à la relation entre l’aire totale et le volume, complète l’activité d’apprentissage suivante pour vérifier ta compréhension. Assure-toi d’avoir répondu correctement aux questions en vérifiant tes réponses dans le corrigé à la fin de ce module. Si tu ne comprends pas comment utiliser les formules, demande de l’aide à ton partenaire d’apprentissage ou à ton tuteur/correcteur.




Réponds aux questions suivantes sans l’aide d’une calculatrice et sans papier ni crayon. Cela ne devrait te prendre que quelques minutes.1. Bjork veut acheter un ordinateur qui coûte 700 $ avant taxes. Si Bjork a

seulement 750 $, pourra-t-il payer l’ordinateur? (taxes = 12 % en tout)2. Marco est à la page 150 du livre qu’il doit lire pour le cours d’anglais. Si le

livre compte 500 pages, a-t-il lu la moitié de son livre?3. Ina mesure 5 pouces de moins que Ra. Si Ra mesure un demi-pied de plus

que Horus, qui est la plus petite personne?4. Le pointage à 1 minute de la fin d’un match de football est de 28 à 34. Quel

est le nombre minimum de points que l’équipe en difficulté doit marquer pour gagner la partie?

5. Trouve la valeur de 4 x – 32 si x = 9.



Partie B - Calcul et conversion du volume


1. Calcule le volume de chacun des objets suivants. Convertis toute solution qui serait très petite ou très grande aux unités appropriées.a) b)

c) d)

e) f)

��

6 pi

10 pi

hth = 5,2 pit

� ��

��

� �

,

��

��



2. Convertis les valeurs suivantes.a) 9 280 mm3 en cm3 b) 319 po3 en pi3 c) 4 vg3 en pouces cubesd) 0,637 m3 en centimètres cubes

3. Trouve la valeur de la dimension inconnue.a) Un cône a un volume de 5 236 pouces3. Si le rayon est de 2 pieds, quelle

est la hauteur du cône?b) Un prisme triangulaire a un volume de 1 950 cm2. La hauteur du triangle

est 13 cm, et la hauteur du prisme est de 20 cm. Quel est le périmètre du triangle (à supposer que tous les côtés sont égaux)?

4. Trouve chez toi un objet 3D comme une boîte ou un ballon ou peut être une maquette de pyramide. À l’aide d’une règle, d’un ruban à mesurer, d’un pied à coulisse ou d’un micromètre, mesure les dimensions de l’objet. Tu sais les dimensions que tu dois mesurer d’après la formule du volume – tu dois savoir les valeurs de toutes les dimensions, sauf le volume proprement dit. Calcule le volume.

Révision

Dans cette leçon, tu as étudié les unités utilisées pour mesurer le volume, y compris les unités métriques (mm3, cm3 et m3) et les unités impériales (po3, pi3 et vg3). Tu as utilisé les formules pour calculer le volume. Dans certaines questions, tu avais déjà le volume, et tu devais calculer une dimension. Tu as aussi converti des unités dans le même système de mesure (métrique et impérial).

Dans la prochaine leçon, tu approfondiras tes connaissances sur le volume en examinant l’effet de changements d’une ou de plusieurs dimensions d’une variété d’objets 3D. En outre, tu en apprendras davantage sur la relation entre l’aire totale et le volume.


l e ç o n 4 - v o l u M e s d e d i v e r s o b j e t s


Dans cette leçon, tu explorerasq la relation entre les volumes de prismes et de pyramidesq comment les changements de dimensions d’un objet changent le

volume de l’objetq la relation entre l’aire totale et le volume

Introduction

Dans la leçon 3, tu as appris comment calculer le volume, et les unités utilisées pour mesurer le volume. Dans la leçon 4, tu verras les volumes de différents types d’objets et tu les compareras. Tu analyseras également la relation existant entre l’aire totale et le volume. L’une des meilleures façons d’assimiler vraiment une notion est de découvrir les relations entre les différentes habiletés que tu as acquises. Tu t’es déjà familiarisé avec le concept de volume en faisant les calculs pour trouver sa valeur; maintenant, c’est l’heure d’aborder le volume sous un autre aspect.

Comparaison des volumes

Prismes et pyramides

Les prismes et les pyramides sont des objets 3D complètement différents en apparence quand tu les vois l’un à côté de l’autre.

e e

Les prismes ont deux bases tandis que les pyramides en ont une seule; les pyramides ont des côtés triangulaires alors que les prismes ont des côtés rectangulaires. Malgré ces différences, il existe une relation entre leurs volumes.


Complète l’activité d’apprentissage suivante pour découvrir cette relation. Vérifie tes réponses dans le corrigé de l’activité d’apprentissage à la fin de ce module.




Tu devrais pouvoir répondre aux cinq questions suivantes sans l’aide d’une calculatrice et sans papier ni crayon. Cela ne devrait te prendre que quelques minutes.1. Samuel travaille 25 heures par semaine et gagne 11 $ l’heure. Calcule la paie

brute de Samuel pour deux semaines.2. Il y a 6 bonbons rouges, 4 jaunes, 4 oranges, 4 verts et 2 mauves dans un

paquet. Quel est le pourcentage des bonbons verts?3. Un triangle a une aire de 20 m2. Si la base mesure 10 m, quelle est la hauteur

du triangle?4. Après avoir ajouté 20 chansons à ton lecteur mp3, tu as utilisé 100 Mo

(mégaoctets) de la mémoire de ton lecteur. Quel est le nombre moyen de mégaoctets d’une chanson?

5. Trouve la valeur de 3 + 5 – (8 ´ 3) + 1.


Partie B - Volumes des prismes et des pyramides


1. Calcule les volumes des paires de prismes et de pyramides. Inscris les valeurs des volumes dans un tableau (colonne de gauche = volume du prisme, colonne de droite = volume de la pyramide).

a)

b)

c)

2. Compare les valeurs de la colonne de gauche avec celles de la colonne de droite de la question 1. Qu’est-ce que tu remarques?

h = 4 m

��

��

0 5‘

1“

,

1“

h = 0 5‘

h

,

3,5

,


Relation entre les volumes des prismes et des pyramides

Ce que tu as remarqué dans cette activité d’apprentissage est vrai pour tous les prismes et pyramides qui ont des dimensions égales. Une pyramide ayant la même base et la même hauteur qu’un prisme a un volume égal au tiers du volume du prisme.

Tu devrais écrire cet énoncé sur ta fiche-ressource.


Cet énoncé est validé dans les formules générales et spécifiques pour les prismes et les pyramides :

Formules de prismes et de pyramides

Volume

Formule générale Formule spécifique

Prisme rectangulaire

Bh

(L ´ l) ´ h

Prisme triangulaire 12

bh ht ×( )Cylindre (pr2) ´ h

Pyramide rectangulaire

13Bh

13

(L × l) × h

Pyramide triangulaire13

12

bh ht( ) ×

Cône 13

2π r h( )×

Tout ce qui vient après le « un tiers » dans la formule de la pyramide est pareil à ce qu’il y a dans la formule du prisme.


Changements de dimensions

Le tableau ci-dessous montre l’effet du changement d’une, de deux ou de trois dimensions de prismes, de pyramides, de cylindres, de cônes et de sphères.

Chan

gem

ent

des

dim

ensi

ons

Pris

me

rect

angu

laire

��

��

��

Cylin

dre ��

�

��

��

Pyra

mid

e re

ctan

gula

ire

a

Cône ��

��

��

Sphè

re ��

��

�

Obj

et O

rigin

alB

= Ll

= 1

´ 1

= 1

cm2

Volu

me :

V =

Bh =

1 ´

1 =

1 cm

3

B = pr

2 = p(

1)2 =

1p

cm2

Volu

me :

V =

Bh =

1p ´

1 =

p cm

3

B =

Ll =

1 ´

1 =

1 cm

2

Volu

me :

VBh

= =×

() =

1 3 1 31

11 3

3cm

B = pr

2 = p(

1)2 =

p cm

2

Volu

me :

VBh

= =(

)=

1 3 1 31 3

3π

πcm

× 1

Volu

me :

Vr

= =()=

4 3 4 31

4 3

3

33

π ππ

cm

Dou

ble l

a lo

ngue

ur(la

larg

eur e

t la

haut

eur =

1 cm

)

B =

Ll =

2 ´

1 =

2 cm

2

Volu

me :

V =

Bh =

2 ´

1 =

2 cm

3

B =

Ll =

2 ´

1 =

2 cm

2

Volu

me :

VBh

= =×

() =

1 3 1 32

12 3

3cm

Dou

ble l

a la

rgeu

r (la

long

ueur

et

la h

aute

ur =

1 cm

)

B =

Ll =

1 ´

2 =

2 cm

2

Volu

me :

V =

Bh =

2 ´

1 =

2 cm

3

B =

Ll =

1 ´

2 =

2 cm

2

Volu

me :

VBh

= =×

() =

1 3 1 32

12 3

3cm

Dou

ble l

a ha

uteu

r/l’a

poth

ème

(la lo

ngue

ur et

la la

rgeu

rO

Ule

rayo

n =

1 cm

)

B =

Ll =

1 ´

1 =

1 cm

2

Volu

me :

V =

Bh =

1 ´

2 =

2 cm

3

B = pr

2 = p(

1)2 =

1p

cm2

Volu

me :

V =

Bh =

1p ´

2 =

2p

cm3

B =

Ll =

1 ´

1 =

1 cm

2

Volu

me :

VBh

= =×

() =

1 3 1 31

22 3

3cm

B = pr

2 = p(

1)2 =

p cm

2

Volu

me :

VBh

= =(

)=

1 3 1 32 3

3π

πcm

× 2

Dou

ble l

e ray

on(la

hau

teur

/l’a

poth

ème

= 1

cm)

B = pr

2 = p(

2)2 =

4p

cm2

Volu

me :

V =

Bh =

4p ´

1 =

4p

cm3

B = pr

2 = p(

2)2 =

4p

cm2

Volu

me :

VBh

= =×

() =

1 3 1 34

14 3

3π

πcm

Volu

me :

Vr

= =()=

4 3 4 32

32 3

3

33

π ππ

cm

Dou

ble t

oute

sle

s dim

ensio

nsB

= Ll

= 2

´ 2

= 4

cm2

Volu

me :

V =

Bh =

4 ´

2 =

8 cm

3

B = pr

2 = p(

2)2 =

4p

cm2

Volu

me :

V =

Bh =

4p ´

2 =

8p

cm3

B =

Ll =

2 ´

2 =

4 cm

2

Volu

me :

VBh

= =×

() =

1 3 1 34

28 3

3cm

B = pr

2 = p(

2)2 =

4p

cm2

Volu

me :

VBh

= =×

() =

1 3 1 34

28 3

3π

πcm

Volu

me :

Vr

= =()=

4 3 4 32

32 3

3

33

π ππ

cm


Note que le changement d’une dimension a un effet différent sur différents types d’objets.

Pour les objets triangulaires ou rectangulaires,QQ si une dimension est doublée, le volume double aussi. Le multiplicateur

dimensionnel est 2, et le multiplicateur total est 2 aussi.QQ si deux dimensions sont doublées, le volume augmente par un facteur de

2 × 2, soit 4. Dans ce cas, le multiplicateur total est 4.QQ si les trois dimensions sont doublées, le volume augmente par un facteur de

2 × 2 × 2, soit 8. Dans ces cas, le multiplicateur pour chaque dimension est 2, et le multiplicateur total est 8.

Pour les cylindres et les cônes,QQ si la hauteur est doublée, le volume double aussi. Le multiplicateur de la

hauteur est 2, et le multiplicateur total est 2 également.QQ si le rayon double, le volume augmente par un facteur de r2 = 22, soit 4. Le

multiplicateur dimensionnel du rayon est 2, et le multiplicateur total est 4.

Pour les sphères,QQ une sphère a une seule dimension, qui est le rayon, et si le rayon est

doublé, le volume augmente par un facteur de r3 = 23, soit 8. Dans ce cas, le multiplicateur dimensionnel est 2, et le multiplicateur total est 8.


Ch

ang

emen

t d

es d

imen

sion

sPr

ism

e re

ctan

gula

ire

��

��

��

Cyl

indr

e ��

��

�

Pyra

mid

e re

ctan

gula

ire

a

Côn

e

��

��

�

Sphè

re ��

�

Obj

et o

rigi

nal

B =

Ll =

1 ´

1 =

1 c

m2

Vol

ume

:V

= B

h =

1 ´

1 =

1 c

m3

B =

pr2

= p

(1)2 =

p c

m2

Vol

ume

:V

= B

h =

p ´

1 =

p c

m3

B =

Ll =

1 ´

1 =

1 c

m2

Vol

ume

:

VBh

= =×

() =

1 3 1 31

11 3

3cm

B =

pr2

= p

(1)2 =

p c

m2

Vol

ume

:V

Bh= =

()=

1 3 1 31 3

3π

πcm

× 1

Vol

ume

:

Vr

= =()=

4 3 4 31

4 3

3

33

π ππcm

Trip

le to

utes

les

dim

ensi

ons

B =

Ll =

3 ´

3 =

9 c

m2

Vol

ume

:V

= B

h =

9 ´

3 =

27

cm3

B =

pr2

= p

(3)2 =

9p

cm

2

Vol

ume

:V

= B

h =

9p ´

2

=

27p

cm

3

B =

Ll =

3 ´

3 =

9 c

m2

Vol

ume

:

VBh

= =×

() =

1 3 1 39

327 3

3cm

B =

pr2

= p

(3)2 =

9p

cm

2

Vol

ume

:

VBh

= =×

() =

1 3 1 39

327 3

3π

πcm

Vol

ume

:

Vr

= =()=

4 3 4 33

108 3

3

33

π ππcm


Par conséquent, pour tous les objets ayant une forme géométrique,QQ si toutes les dimensions sont doublées, le volume augmente par un facteur

de 8 (23); chaque multiplicateur dimensionnel est 2 et le multiplicateur total est 8.

De même, QQ si toutes les dimensions sont augmentées par un facteur de 3, le volume

augmente par un facteur de (33) 27. Chaque multiplicateur dimensionnel égale 3 et le multiplicateur total est 27. Regarde le tableau ci-dessus.

De plus,QQ si toutes les dimensions sont augmentées par un facteur de 1,5, le volume

augmente par un facteur 1,53, ce qui égale environ 3,38. Dans ce cas, chacun des multiplicateurs dimensionnels égale 1,5, et le multiplicateur total est 3,38.

Tu devrais mémoriser ces principes, surtout en vue de la discussion sur l’estimation du volume dans la prochaine leçon. Il serait sage d’écrire ces énoncés sur ta fiche-ressource.

Comparaison entre l’aire totale et le volume

L’aire totale et le volume font tous les deux références à des objets 3D. Le volume est une mesure de la quantité d’espace qu’un objet occupe. Les unités utilisées lors de la mesure d’un volume sont toujours des unités cubiques (cm3, m3, pi3, vg3 …). Dans la leçon 5, tu apprendras ce que sont des unités de capacité, lesquelles comprennent les gallons et les litres. Elles sont semblables mais pas identiques aux unités de volume.

L’aire totale comprend toutes les aires des surfaces appartenant à un objet 3D. Un prisme rectangulaire comme une boîte ou un dé possède 6 surfaces bidimensionnelles. Les unités utilisées lors de l’aire totale sont des unités carrées (cm2, m2, pi2, vg2).

Le tableau suivant montre l’aire totale et le volume de différents objets 3D.


Ch

ang

emen

t d

es d

imen

sion

sPr

ism

e re

ctan

gula

ire

��

��

��

Cyl

indr

e ��

��

�

Pyra

mid

e re

ctan

gula

ire

a,

Côn

e

,a

Sphè

re ��

�

Air

e to

tale

Ava

nt/A

rriè

re :

Lh

= 1

´ 1

= 1

cm

2

2 cô

tés

:

lh =

1 ´

1 =

1 c

m2

Des

sus/

dess

ous

:

Ll =

1 ´

1 =

1 c

m2

Air

e to

tale

:(2

´ 1

) + (2

´ 1

) + (2

´ 1

) =

6 cm

2

Des

sus/

dess

ous

:

pr2 =

p(1

)2 = p

cm

2

Côt

é :

Ch

= 2

pr ´

h

= 2p

(1) ´

1

= 2p

cm

2

Air

e to

tale

:(2

´ p

) + 2

p =

4p

cm

2

Base

:

lw =

1 ´

1 =

1 c

m2

4 cô

tés

:

1 21 2

11

1

055

2

la=

()

=cm×

,

,

Air

e to

tale

:

1 +

(4 ´

0,5

5) =

3,2

cm

2

Base

:

pr2 =

p(1

)2 = p

cm

2

Côt

é :

1 21 2

2

1 22

11

4

14

2

Car

a= =

()

=

π π πcm

×

×

,A

ire

tota

le :

p +

1,4

p =

2,4

p c

m2

Air

e to

tale

:4p

r2 = 4

p(1

)2 = 4

p c

m2

Vol

ume

B =

Ll =

1 ´

1 =

1 c

m2

Vol

ume

:V

= B

h =

1 ´

1 =

1 c

m3

B =

pr2

= p

(1)2 =

p c

m2

Vol

ume

:V

= B

h =

p ´

1 =

p c

m3

B =

Ll =

1 ´

1 =

1 c

m2

Vol

ume

:

VBh

= =×

() =

1 3 1 31

11 3

3cm

B =

pr2

= p

(1)2 =

p c

m2

Vol

ume

:

VBh

= =×

() =

1 3 1 31

1 33

ππcm

Vol

ume

:

Vr

= =()=

4 3 4 31

4 3

3

33

π ππcm

Note que les unités de l’aire totale (unités au carré) et du volume (unités au cube) sont différentes, donc elles ne fournissent pas les mêmes informations. De plus, la mesure de l’aire est une mesure 2D, tandis que le volume est une mesure 3D.



Dans cette leçon, tu as appris les relations entre les volumes de différents types d’objets et ceux d’objets de différentes dimensions. Tu as aussi comparé l’aire totale et le volume pour constater que ce sont des types de mesures très différents, bien qu’ils décrivent tous deux des objets 3D. Dans la prochaine leçon, tu étudieras la notion de capacité, qui est liée au volume.

Avant de passer à la prochaine leçon, fais le devoir suivant. Tu devras le remettre avec les autres devoirs du module 2 quand tu auras terminé tout le module.


Devoir 2.2

Volume

Total : 28 points

Note aux élèves : Nous t’encourageons fortement à utiliser ta fiche-ressource pour faire ce devoir. Pendant que tu fais ce devoir, si tu te rends compte qu’il manque une information importante à ta fiche-ressource, tu peux l’ajouter. Cela te sera certainement utile.

1. Calcule le volume de chacun des objets suivants.a) (3 points)

�

��

��

b) (2 points)

6 vg

6 vg

4 vg


Devoir 2.2 : Volume (suite)

c) (3 points)

��

d) (2 points)

,

,

,,

pi

pi

pipi

pi

suite



2. Convertis les valeurs suivantes. (3 points)a) 2 915 po3 en pieds cubes

b) 0,267 verges cubes en pi3

c) 0,000 026 4 m3 en mm3

suite



3. Trouve la valeur de la dimension inconnue.a) Le volume d’une pyramide rectangulaire égale 0,045 m3. La hauteur de la

pyramide est de 60 cm, et la longueur égale 0,5 m. Quelle est la largeur de la pyramide? (4 points)

b) Un cylindre a un volume de 14,1 pi3. Si le diamètre du cylindre est de 3 pi, quelle est la hauteur du cylindre? (4 points)

4. Un cylindre a un volume de 30 po3. Quel est le volume d’un cône ayant le même rayon et la même hauteur? Explique comment tu le sais. (2 points)

suite



5. Explique dans tes propres mots l’effet qu’a le changement d’une ou de plusieurs dimensions d’un objet sur son volume. Tu peux utiliser des exemples dans ton explication. (2 points)

6. D’après ce que tu as appris au sujet de l’aire totale et du volume, explique dans tes propres mots la relation entre les deux types de mesures. En quoi sont ils semblables? En quoi sont ils différents? (3 points)


l e ç o n 5 - c o M p a r e r v o l u M e e t c a p a c i t é


Dans cette leçon, tuq exploreras la relation entre le volume et la capacité q apprendras les unités utilisées pour mesurer la capacitéq calculeras la capacité d’un contenantq convertiras des unités de volume en unités de capacitéq feras des estimations de volume et de capacité

IntroductionDans les deux leçons précédentes, tu as étudié le volume. La capacité est une notion très similaire au volume – tellement que les gens utilisent ces deux concepts de façon interchangeable. Tu as probablement entendu le terme « capacité » pour décrire un seau, un avion ou un stade de hockey. Dans cette leçon, tu verras en quoi le volume et la capacité sont semblables, et en quoi ils sont différents.

Comparaison entre le volume et la capacitéLes énoncés suivants font des comparaisons entre la capacité et le volume. La capacité décrit la quantité que peut renfermer un contenant. Le volume décrit l’espace occupé concrètement par un objet ou substance. Par exemple, une tasse à mesurer peut avoir une capacité de huit onces liquides mais ne contenir que cinq onces d’eau.

Voici quelques exemples.

Capacité VolumeUn carton de lait peut contenir jusqu’à 4 L de lait

Il y a 1 L de lait dans le carton

La capacité indique combien de lait le carton peut contenir, tandis que le volume décrit la quantité de lait contenue.

Un contenant peut renfermer 3 tasses de riz

Il y a 2 tasses de riz dans le contenant

La capacité indique combien de substance le contenant peut renfermer, tandis que le volume décrit la quantité de riz contenue.


Capacité VolumeUn cartable peut contenir au maximum 400 pages (ou feuilles)

Il y a 350 pages dans le cartable

La capacité indique combien de pages le cartable peut contenir, le volume décrit le nombre de pages dans le cartable.

Unités

Le volume est mesuré en unités cubiques, par exemple des mm3, cm3 et m3 dans le système métrique, et des po3, pi3 et vg3 dans le système impérial. Les unités utilisées pour mesurer la capacité ne sont habituellement pas les mêmes que celles utilisées pour mesurer le volume. Les « unités » employées pour décrire la capacité varient grandement et ne se limitent pas aux seules unités métriques et impériales. Quand tu décris la capacité d’un avion, l’unité utilisée est le nombre de personnes ou de sièges. De même, quand on a exprimé la capacité d’un cartable, on l’a indiqué par le nombre de pages. La présente section mettra l’accent sur les unités métriques et impériales utilisées couramment pour décrire la capacité. Il serait bon d’inclure ces unités sur ta fiche-ressource de ce module.

Les mesures de la capacité dans le système métrique sont les millilitres (mL), les litres (L) et plus rarement les kilolitres (kL).

Unités métriques de capacité1 000 mL = 1 L1 000 L = 1 kL

Par ailleurs, le système impérial de mesure comporte différentes unités de capacité, qui varient d’un pays à l’autre. Ces unités ont été instaurées parce qu’il était difficile de mesurer la capacité en unités cubiques il y a quelques siècles, donc les gens ont utilisé des contenants « standard » comme référents. Les termes les plus fréquemment employés sont les onces liquides et les gallons. Il est important d’indiquer « onces liquides » parce que le terme once désigne une unité de masse.

Unités impériales de capacité(américaines)

128 oz liq = 1 gallon US(canadiennes)

160 oz liq = 1 gallon can.À noter que 1 oz liq US est légèrement plus grande que 1 oz liq can.


On utilise plusieurs unités différentes pour décrire la capacité dans la vie quotidienne.

Nom standard Impérial amér. Impérial can. Capacité métrique

tasse* 8 oz liq 8 oz liq 250 mL

pinte 32 oz liq 946 mL (presque 1 L)

gallon 128 oz liq **160 oz liq 3.785 L per US gallon4.546 L per CDN gallon

boisseau, liquides

8 gallons1 024 oz liq

8 gallons1 280 oz liq

36,37 L par boisseau can.30,28 L par boisseau US

* Note : une tasse du système impérial américain égale plus que une tasse du système impérial canadien, et les deux égalent moins de 250 mL. Fais attention au système de mesure que tu utilises. Dans une cuisine, on utilise souvent 8 oz comme équivalent de 1 tasse.

** La norme appliquée par le gouvernement canadien est que 1 gallon vaut 160 oz liq.

À noter que dans certains cas, les mesures du système impérial au Canada sont les mêmes que celles du système britannique, et que dans d’autres cas, elles correspondent aux mesures du système américain. On emploie les mêmes mots mais les équivalents sont différents. La conversion de mesures d’un système impérial à un autre peut facilement porter à confusion. Deux sites Web qui peuvent être utiles pour la conversion entre les systèmes de mesure canadien, américain et métrique sont les suivants :QQ http:/www.immofrance.com/convert_unit.htmQQ http://www.convertir-unites.info/QQ http://www.convertworld.com/fr/

Calcul de la capacité

Maintenant que tu connais les unités qui expriment des mesures de capacité, tu es prêt à apprendre comment calculer la capacité.

Pour calculer la capacité d’un objet, tu dois connaître ses dimensions intérieures. Pour trouver les dimensions intérieures d’un objet, tu peux les mesurer directement, OU mesurer les dimensions extérieures et l’épaisseur des côtés et du fond.

Une façon d’aborder les problèmes de capacité est d’imaginer que tu trouves le volume de l’intérieur du contenant.


Exemple 1Calcule la capacité du contenant ci-dessous si les côtés ont tous 0,25 pied d’épaisseur, et le fond, 0,5 pied.

3 pi

2 pi

2 pi

SolutionDimensions de l’intérieur :

longueur = 3 pi – (2 ´ 0,25)= 2,5 pi largeur = 2 pi – (2 ´ 0,25) = 2 – 0,5 = 1,5 pi hauteur = 2 pi – (0,5) = 2 – 0,5 = 1,5 pi

Intérieur

1,5 pi

2,5 pi1,5 pi

Capacité = Bh = L × l × h = 2,5 ´ 1,5 ´ 1,5 = 5,625

Par conséquent, la capacité de ce contenant est d’environ 5,6 pi3.

Mais attends une seconde! Le pied cube n’est pas une unité pour décrire la capacité – le pied cube est une unité de volume.


Conversion du volume en capacité

Tu devras convertir des unités décrivant le volume en unités décrivant la capacité. Étant donné que 1 cm3 (volume) = 1 mL (capacité), il est possible de déterminer, par exemple, le nombre de litres dans un mètre cube.

1 1

1 000 000 1 1 1 000 000

1 000 000 1 000 000

1 1 0

3

3

3

3

cm mL

cm mL

cm mL

m

=

=

=

= 000 000

11 000 000

1 0001 1 000

3

3

mL

m L

m L

=

=

××

et on sait que 1 000 000 cm = 1 m , donc . . .

; on sait aussi que 1 000 mL = 1 L, donc . . .

( )

3 3

Conversions entre volume et capacitéMétrique

1 cm3 = 1 mL 1 000 cm3 = 1 L1 m3 = 1 000 000 mL1 m3 = 1 000 L 0,001 m3 = 1 L1 m3 = 1 kL

ImpérialComme il s’agit du système impérial américain, on applique les onces liquides US.

1 po3 = 0,554 oz liq 1 oz liq = 1,81 po3

1 pi3 = 958 oz liq 1 oz liq = 0,001 0 pi31 pi3 = 7,5 gallons 1 gallon = 0,13 pi31 vg3 = 35 853 oz liq1 vg3 = 202 gallons 1 gallon = 0,005 vg3

Tu voudras sans doute noter ces conversions sur ta fiche-ressource pour ne pas avoir à revenir à cette page constamment durant cette leçon et la prochaine.

Dans l’exemple 1, tu peux utiliser les données de conversion ci-dessus pour calculer la capacité.

Utilise la conversion : 1 pi3 = 7,5 gallons

1 pi3 7,5 gal

5,6 pi3 x gal


15 6

7 5

1 5 6 7 542

,,

, ,

=

( )( )=( )( )

=

xxx gallons

Une autre façon de calculer la capacité est de trouver les dimensions de l’intérieur d’un contenant, de calculer le volume et de convertir en unités de capacité.

Exemple 2Calcule la capacité du cylindre ci-dessous si les côtés et le fond ont 2 cm d’épaisseur.

��

��

Solution

Note : Les diagrammes ne sont pas à l’echelle.

Le diamètre intérieur est de 4 cm, donc le rayon du cylindre égale 2 cm.

4

8


La hauteur intérieure ou « profondeur » est de 11 cm. Capacité = Volume intérieur = pr2 ´ h = p(2)2 ´ (11) = 4p ´ 11 = 138,23 cm3

Volume de 1 cm3 = capacité de 1 mL donc, 138,23 cm3 = 138,23 mL

La capacité du cylindre est de 138 mL.

Dans l’activité d’apprentissage suivante, tu dois calculer les capacités de divers contenants. Vérifie tes réponses dans le corrigé à la fin de ce module.




Réponds aux questions suivantes sans l’aide d’une calculatrice et sans papier ni crayon. Cela ne devrait te prendre que quelques minutes.

1. Quelle est la moyenne des valeurs suivantes : 5 8 2 7 32. Draco, Dora et Luna doivent se partager l’argent que leurs parents leur

ont donné pour un voyage en Europe, soit 750 $. Si l’argent est partagé également entre les trois personnes, combien chacune aura-t-elle?

3. Trouve la valeur de q dans 4 q – 10 = 14.4. Si 19 % de 1 053 égalent 200, à quoi équivalent 38 % de 1 053? 5. Les trois côtés d’un triangle rectangle mesurent 3,6 cm, 6,7 cm et 5,6 cm.

Combien mesure l’hypoténuse?


Partie B - Calcul de la capacité


1. Calcule la capacité des objets suivants.a) Les côtés ont 15 cm d’épaisseur et la pointe du sommet, 25 cm

d’épaisseur.

,

b) Le sommet mesure 6 mm d’épaisseur.

��

��

��

c) L’épaisseur tout autour est de 1 pouce.

pi



2. Écris ta stratégie pour calculer la capacité en indiquant les instructions étape par étape.

3. Trouve un objet chez toi qui a une ouverture faite pour le remplir d’une substance, par exemple une boîte, un coffre à bijoux, un bouchon de bouteille, une boîte de conserve ouverte.

Étape 1 – Utilise une règle ou un pied à coulisse pour mesurer la longueur et la largeur intérieures ou le diamètre intérieur de l’objet. Souviens-toi que si tu utilises un pied à coulisse, tu dois te servir des becs intérieurs.

� � � � � �

��

� � � ��

Si tu as mesuré le diamètre, calcule le rayon. Étape 2 – Utilise la même règle ou le même pied à coulisse pour mesurer la

profondeur de l’intérieur. Si tu utilises un pied à coulisse, tu peux te servir de la jauge de profondeur.

��

��

��

��

��

��

��

��

��

Étape 3 – À partir des mesures des étapes 1 et 2, calcule le volume de

l’espace à l’intérieur de l’objet. Étape 4 – Convertis les unités de volume en unités de capacité.


Estimation de la taille d’un objet

Volume

Plus tôt dans ce module, tu t’es servi de référents pour estimer l’aire totale d’un objet. Quand on estime le volume d’un objet, il est toujours plus facile de comparer ce volume avec un objet qui a la même forme mais une taille différente. Comme tu l’as fait pour l’aire totale, tu devrais comparer les dimensions afin de trouver approximativement de combien le volume changerait. Dans la leçon 4, tu as appris en quoi une modification d’une, de deux ou de toutes les dimensions peut changer le volume de l’objet. Les régularités que tu as observées variaient selon la forme des bases (les objets rectangulaires et triangulaires sont affectés différemment des objets circulaires). Les exemples suivants montrent comment appliquer les principes énoncés dans la leçon précédente pour estimer le volume d’un objet.

Exemple 1Tu as un cylindre A et un cylindre B. Le diamètre des deux objets est le même. Le cylindre B mesure 10 cm de haut, et son volume est de 503 cm3. Si tu as empilé deux cylindres B l’un par-dessus l’autre, ils auraient la même hauteur que le cylindre A. Estime le volume du cylindre A.

Cylindre A Cylindre B

SolutionComme le diamètre des cylindres A et B est le même, leurs rayons sont aussi les mêmes. Cela signifie que pour construire le cylindre A à partir du cylindre B, la seule différence est la hauteur. La hauteur du cylindre A est le double de celle du cylindre B, donc le volume est aussi doublé.

2 ´ 503 = 1 006 cm3

Dans cet exemple, on a utilisé le plus petit objet pour estimer le volume du plus gros.


Le volume du petit contenant est multiplié par 2, parce qu’une seule dimension a changé, et le multiplicateur est 2. (Souviens-toi qu’un multiplicateur est le nombre par lequel tu multiplies la dimension de l’objet original pour obtenir la dimension du nouvel objet).

Exemple 2Il y a deux boîtes. La boîte A semble une fois et demie plus grande, et une fois et demie plus longue que la boîte B. La largeur des deux boîtes est à peu près la même. Le volume de la boîte A est de 512 po3. Quel est le volume approximatif de la boîte B?

Boîte A Boîte B

SolutionSi la boîte A mesure 1,5 fois la hauteur et 1,5 fois la longueur de la boîte B, alors le volume de la boîte A devrait être environ 1,5 ´ 1,5 = 2,25 fois le volume de la boîte B. Dans une équation, on l’exprimerait ainsi : 2,25 ´ V (boîte B) = V (boîte A) Insère la ou les valeurs que tu connais 2,25 ´ V (boîte B) = 512 On veut savoir V (boîte B) donc on divise les deux côtés de l’équation par 2,25 [2,25 ´ V (boîte B)] ¸ 2,25 = 512 ¸ 2,25 V (boîte B) = 227,555… Le volume de la boîte B est 228 po3.

Cet exemple est l’inverse de l’exemple 1. On utilise l’objet le plus gros pour estimer le volume du plus petit objet. Le multiplicateur dans cet exemple (2,25) est une combinaison de deux multiplicateurs (1,5 et 1,5) parce que deux dimensions ont été changées. On multiplie 1,5 par 1,5 parce que pour calculer le volume, on multiplie les dimensions et on traite les multiplicateurs de la même façon que les dimensions.

Tu peux utiliser beaucoup de référents pour estimer le volume d’un objet, mais ce référent doit avoir la même forme que l’objet (un prisme rectangulaire pour estimer un prisme rectangulaire, une sphère pour une sphère, ...). Tu aurais intérêt à noter ceci sur ta fiche-ressource.

La prochaine activité d’apprentissage t’invitera à trouver chez toi un référent et à l’utiliser pour estimer le volume d’un autre objet.


Capacité

Tu peux utiliser la même méthode que tu as appliquée pour estimer le volume d’un objet afin d’estimer la capacité d’un contenant.

Exemple 3Le carton A a une capacité de 1 L. La hauteur du carton B est la même que celle du carton A, mais sa longueur et sa largeur sont 1,4 fois plus grandes que celles du carton A. Quelle est la capacité approximative du carton B, au litre le plus près?

,

,,

,

Solution Pour estimer la capacité du carton B, tu peux trouver le multiplicateur total comparant les cartons A et B, puis l’appliquer à la capacité du carton A :Les dimensions de la longueur et de la largeur sont toutes les deux multipliées par 1,4, donc : 1,4 ´ 1,4 = 1,96 » 2 Puisque 2 est le multiplicateur total, tu t’attendrais à ce que la capacité du carton B soit deux fois plus grande que celle du carton A, donc la capacité estimée du carton B serait : 2 ´ 1 L = 2 LPour vérifier tes calculs : L × l = 1,4 ´ 6,5 = 9,1 cm V = L × l × h = (9,1)(9,1)(23,6) = 1 954,3 cm3

Capacité = 1 954,3 mL ≈ 2 L, qui est la même réponse que notre estimation

Tu peux également estimer la capacité en utilisant comme référents les contenus prévus pour le contenant. Le problème suivant décrit le genre de situation où on peut procéder ainsi.


Luca vient de faire des muffins et doit les placer dans un contenant. Il utilise les dimensions d’un muffin pour estimer le nombre de muffins qu’il peut placer dans un contenant rectangulaire.

Vue du dessus

Luca estime qu’il pourra placer trois muffins sur la largeur et quatre muffins sur la longueur du contenant, mais seulement un étage de muffins en hauteur, donc la capacité du contenant est d’environ (3×4×1) 12 muffins. Luca pourra utiliser ce contenant pour ranger douze muffins.

Voici des exemples de référents de capacité que tu peux utiliser :QQ un carré de sucre mesure environ 1 cm3 ou 1 mL QQ une cuillerée à thé égale 5 mL QQ une cuillerée à soupe égale 15 mL QQ un petit verre à eau contient environ 1 tasse

En général, les étapes pour estimer le volume ou la capacité sont les suivantes:I . Compare chaque dimension des objets connus et inconnus – de combien

environ l’un est-il plus long/plus large/plus grand que l’autre? Par exemple, au lieu de dire qu’un objet est plus long qu’un autre, tu pourrais déterminer combien de fois cet objet est plus long. Tu aurais ainsi déterminer le multiplicateur.

II. Combine les multiplicateurs comme si tu les utilisais dans la formule. Par exemple, si tu estimes que le rayon d’une sphère est le double de l’autre, alors le volume devrait être 23 = 8 fois plus grand parce que la formule du volume

d’une sphère est V = 3

34 rπ (le rayon est élevé au cube).

III. Applique le multiplicateur total au volume de l’objet connu pour calculer le volume de l’objet inconnu.


L’activité d’apprentissage suivante présente des questions où tu devras estimer le volume et la capacité. Vérifie tes réponses dans le corrigé à la fin du module si tu as besoin d’aide, ou demande à ton partenaire d’apprentissage.




Réponds aux questions suivantes sans l’aide d’une calculatrice et sans papier ni crayon. Cela ne devrait te prendre que quelques minutes.1. Combien de réflexions, dans l’axe de réflexion dessiné, sont nécessaires pour

reproduire l’image originale?

2. Trouve la valeur de k dans 8 – 2k = 2

3. La longueur d’un livre est de pied. Quelle est sa longueur en pouces?

4. Tu finis l’école à 15 h 30. Il faut 20 minutes pour te rendre à ton lieu de travail par autobus. Tu travailles pendant 5 heures. Un copain te ramène à la maison, ce qui prend 10 minutes seulement. Tu fais tes devoirs pendant une heure avant d’aller au lit. À quelle heure te couches-tu?

5. Après avoir fait le plein d’essence de ta voiture, le coût total est de 36,75 $. Tu donnes 40,00 $ au caissier et tu lui demandes une pièce de 2 $. Combien lui as-tu donné de pourboire?

Partie B - Estimer le volume et la capacité


1. Pour répondre à cette question, tu devras trouver deux objets :i) un objet d’un volume inconnu, comme une boîte,

34


ii) un objet comme un carré de sucre, dont tu connais le volume et qui a la même forme que l’objet de la question i).

Ne te sens pas obligé d’utiliser une boîte; n’importe quel objet 3D fera l’affaire, mais si tu choisis un objet d’une forme bizarre qu’on n’a pas encore utilisée, cela rendra les choses plus difficiles.

Une fois que tu auras tes deux objets, trouve le multiplicateur total comparant les deux objets et estime le volume de l’objet i). Sers-toi d’une règle ou d’un ruban à mesurer pour trouver les mesures réelles de l’objet i) et calcule le volume. Est-ce que ton estimation était proche de la réalité? Sinon, pourquoi?

2. Pour répondre à cette question, tu dois trouver deux objets :i) un objet dont la capacité t’est inconnue, comme un carton de lait ou un

pot;ii) un objet qui a la même forme que l’objet i), dont tu connais la capacité

- comme un carton de lait plus petit ou plus grand, ou une boîte de conserve d’un autre format.

Quand tu auras trouvé ces deux objets, trouve le multiplicateur total en comparant les deux objets et estime la capacité de l’objet i). Utilise une règle ou un ruban à mesurer pour trouver les mesures réelles de l’objet i) et calcule la capacité. Ton estimation était elle rapprochée de la valeur réelle? Pourquoi?


Dans cette leçon, tu as étudié la relation entre capacité et volume. Tu as aussi appris à reconnaître les unités de capacité et de volume, et que ce sont des unités différentes. Dans la prochaine leçon, tu résoudras des problèmes comportant des volumes et des capacités dans des situations de la vie courante.


Notes


l e ç o n 6 - a p p l i c a t i o n s d u v o l u M e e t d e l a c a p a c i t é


Dans cette leçon, tuq calculeras les volumes et les capacités d’objets 3D, y compris les

objets composés

Introduction

Le réservoir d’essence d’une voiture a une certaine capacité, peut-être de 75 litres. Quand tu achètes de l’essence, tu peux avoir besoin de 50 litres pour remplir le réservoir. Le volume de l’essence à acheter est de 50 litres. La capacité est la quantité de substance qu’un contenant peut renfermer, et le volume est la quantité que le contenant renferme réellement – dans ce cas, le nombre de litres d’essence dans le réservoir.

Les problèmes suivants sont des applications de calculs du volume et de la capacité dans des situations de la vie courante.

Situations de la vie courante

Tu peux maintenant estimer le volume et la capacité comme si tu l’avais toujours fait. Peux-tu imaginer d’autres exemples où tu peux avoir à estimer le volume ou la capacité?

Les exemples suivants montrent où et comment on calcule le volume et la capacité dans la vie quotidienne, après quoi tu auras l’occasion de t’exercer dans l’activité d’apprentissage de cette leçon.

Exemple 1Une compagnie d’entreposage empile les boîtes de la manière suivante : 3 de large, 4 de profondeur et 5 de hauteur. Quel volume ces piles représentent-elles?


SolutionTrace un diagramme de cette situation.

L’aire de la base de la pile est 3 × 4 boîtes, ou 12 boîtes. B = 3 ´ 4 B = 12La hauteur de la pile est de 5 boîtes, donc le volume est V = Bh V = 12(5) V = 60La pile comprend 60 boîtes.

Exemple 2Une remise à outils a la forme suivante. Détermine l’espace de stockage à l’intérieur de la remise.

Dimensions intérieures : hauteur totale : 12 pi hauteur du prisme rectangulaire : 8 pi longueur : 7,5 pi largeur : 4,5 pi

SolutionDans ce cas, la meilleure unité pour décrire l’espace de stockage (la capacité) est la même que pour le volume – les pi3.

Cet objet est composé d’un prisme rectangulaire et d’une pyramide rectangulaire. Calcule le volume des deux espaces et combine-les.


Prisme V = BhLa base est rectangulaire, donc l’aire est : A = L ´ l A = 7,5 ´ 4,5 A = 33,75 pi2

alors V = 33,75 ´ 8 V = 270 pi3

Volume total = 270 + 45Volume total = 315La remise a un espace de stockage ou une capacité de 315 pieds cubes.

Exemple 3Une épicerie a un présentoir d’oranges de 1 mètre cube, qui sont disposées en pyramide avec une base carrée de 1,5 m de côté. Quelle est la hauteur du présentoir?

,

SolutionDans cette question, tu connais le volume et tu dois trouver la valeur d’une dimension inconnue, dans ce cas, la hauteur de la pyramide.

Écris la formule, en substituant toutes les valeurs connues, et trouve la valeur de la dimension inconnue.

PyramideLa pyramide a la même forme de base que le prisme, donc son aire égale aussi 33,75 pi2. La hauteur du toit est la différence entre la hauteur totale et la hauteur du prisme. Le volume de la pyramide égale :

V Bh

V

V

=

= ( )( )

=

131333 75 4

45 3

,

pi


V Bh B

h

h

h

h

= =

= ( )

=

=

=

13

1 5

1131 5

1 0 7510 751 333

2

2

, ,

,

,

,,

où

Le présentoir d’oranges mesure 1,3 m de hauteur.

Exemple 4

Trouve le volume d’un ballon de volley-ball si sa circonférence est de 26 po.

SolutionD’abord, tu dois calculer la longueur du rayon.

C rr

r

r

=

=

=( )

=

226 2

262

4 138 028 52

ππ

π, pouces

V r

V

V

=

= ( )

=

4343

4 138 028 52

296 803 520 5

3

3

π

π ,

,

Le volume du ballon de volley-ball est d’environ 296,8 pouces cubes.


Exemple 5Trouve le volume d’une carotte qui mesure 9 pouces de long et 1 pouce de diamètre à l’extrémité du haut.

SolutionUne carotte a une forme à peu près conique.

V Bh

V r h

V

V

=

= ( )

= ( )≈

131313

0 5 9

2 4

2

2

π

π ,

,

Le volume de cette carotte est d’environ 2,4 po3

Exemple 6La tour d’un château a un toit en forme de cône au-dessus d’une structure cylindrique. Cette tour sera fréquentée par des touristes, donc les spécialistes de la sécurité doivent connaître le volume d’air qu’elle contient (sa capacité) parce qu’ils doivent prévoir un ventilateur qui remplace l’air à l’intérieur de la tour chaque heure. Détermine la capacité de la tour, en supposant que les mesures données sont les dimensions intérieures. Arrondis ta réponse finale au centième de mètre cube près.

,

,

,


Solution Cône Pyramide

V r h=

= ( ) ( )

=

1313

1 75 5 4

17 318

2

2

π

π , ,

, . . .

×

V r h=

= ( ) ( )

=

π

π

2

21 75 6 259 65099

, ,, . . .

×

×

La capacité de la tour est de 17,32 + 59,65 = 76,97 m3.


Réponds aux questions suivantes sans l’aide d’une calculatrice et sans papier ni crayon. Cela ne devrait te prendre que quelques minutes.


Complète les questions suivantes puis vérifie tes réponses à l’aide du corrigé des activités d’apprentissage situé à la fin de ce module.1. Complète cette suite : 1, 4, 9, 16, ___ , ___. 2. À la partie de hockey, Murphy a acheté un hot dog à 3,50 $, une boisson

gazeuse à 2,75 $ et du maïs soufflé à 3,25 $. Combien a-t-il dépensé en tout?3. Pour la question 2, Murphy donne un billet de 20 $ au caissier, qui lui remet

11 $? Murphy a-t-il reçu le bon montant d’argent?4. À l’école de Marcel, les cours durent 72 minutes, sauf le vendredi, où ils

se terminent après 45 min. Si Marcel est en mathématiques ce semestre, combien de temps passera-t-il aux cours de mathématiques dans une semaine?

5. Trouve la valeur de t dans 4 t – 8 = 0


Partie B - Applications du volume et de la capacité


1. Une tablette de chocolat a la forme d’un prisme triangulaire de 14 cm de long. Sa base triangulaire mesure 3,5 cm de long sur 2,9 cm de haut. Calcule le volume du chocolat contenu dans la tablette.

,

,

2. Peter a une sculpture en forme de pyramide rectangulaire dont le volume égale 0,094 3 m3. Les dimensions de la base sont 0,35 m sur 0,47 m. Détermine la hauteur de la pyramide.

,,

,

3. Une rondelle de hockey a un diamètre de 7,62 cm et un volume de 115,83 cm3. Calcule l’épaisseur de la rondelle de hockey.

,

suite


4. Un cône de crème glacée a un rayon de 1,25 po et une hauteur de 5 po. Si tu achètes un cône avec une seule boule pour 2 $, le cône est complètement rempli de crème glacée et il y a une demi-sphère de crème glacée qui dépasse du cône. Si tu commandes un cône à deux boules pour 4 $, il y aura une boule (sphère) ajoutée par-dessus. Lequel est le meilleur achat? Explique pourquoi.

Une boule2 $

Deux boules4 $

r = 1,25” r = 1,25”

h = 5”

5. Fred veut estimer le poids d’une grosse poutre de bois. Il a un bout de bois de la même espèce dont les dimensions sont 1 × 2 × 6 et qui pèse 12 livres. Il utilise son bout de bois comme référent pour déterminer le poids approximatif de la poutre. Après avoir « mesuré » la poutre avec sa pièce de bois, il constate que la poutre est 12 fois plus longue, 6 fois plus large et 4 fois plus épaisse que sa pièce.a) Calcule le multiplicateur du poids.b) Calcule le poids approximatif de la poutre.

Résumé de leçon

Dans cette leçon, tu as exploré beaucoup d’applications différentes du volume et de la capacité, et tu as résolu des problèmes qui comportent ce genre de mesures. Le devoir suivant est le dernier du module et porte sur ce que tu as appris dans cette leçon et dans la leçon 5.


Devoir 2.3

Applications du volume et de la capacité

Total : 30 points

Note à l’élève : Assure-toi que ta fiche-ressource est complète. Nous t’encourageons à l’utiliser pour t’aider à faire ce devoir, et s’il y manque des informations, n’hésite pas à les ajouter à ta fiche.

1. Écris dans tes propres mots la définition de capacité. (1 point)

2. Un fermier presse son foin en balles. Il a le choix de former des balles de forme cylindriques (balles rondes) ou en forme de prisme (balles carrées).

Les balles rondes ont un diamètre de 6 pieds et mesurent 72 pouces de long. Les balles carrées ont une base de 16 pouces de côté et une longueur de 40 pouces.

= 6 pieds

16 pouces

16 pouces72 pouces40 pouces

suite


Devoir 2.3 - Application du volume et de la capacité (suite)

a) Détermine le volume de foin dans chaque type de balle. Écris chaque réponse en pouces cubes. (5 points)

b) Une balle ronde peut nourrir son troupeau de 50 vaches pendant une journée. Combien de balles carrées le fermier doit-il presser pour égaler la quantité de foin d’une balle ronde? (1 point)

3. Calcule la circonférence d’un ballon de plage dont la capacité est de 22,7 L. Arrondis la réponse finale au dixième de mètre près. (5 points) [Conseil : convertis la capacité en unités de volume] (5 points)

suite


Devoir 2.3 - Application du volume et de la capacité (suite)

4. Durant la classe de chimie, Angela utilise un ballon qui ne porte pas d’indication de capacité. Le diamètre extérieur de l’ouverture est de 2 cm, et l’épaisseur du verre dans tout le ballon est de 3 mm.

��

��

a) Quelles sont les deux figures qui forment le ballon? (2 points)

b) Quelles sont les dimensions intérieures de ces deux formes? (3 points)

c) Quelle est la capacité approximative du ballon en mL, au dixième de mL près? (5 points)

suite


5. Présente un problème demandant à quelqu’un de déterminer la capacité du bâtiment suivant. Assure-toi d’indiquer l’usage prévu pour le bâtiment. (1 point)

Calcule la capacité du bâtiment. N’oublie pas d’expliquer ton raisonnement. (3 points)

,

6. Jess veut estimer la capacité d’un pichet à eau cylindrique. Le seul référent qu’elle a est une canette de boisson gazeuse de 355 mL. En tenant la canette à côté du pichet, elle constate que le pichet est environ 2,5 fois plus haut et 5 fois plus large que la canette.

a) Calcule le multiplicateur de la capacité. (2 points)

b) Calcule la capacité approximative du pichet à eau. Arrondis ta réponse au litre près. (2 points)


s o M M a i r e d u M o d u l e 2

Tu as terminé un autre module! Dans ce module, tu as exploré la géométrie d’objets 3D, y compris de prismes, de pyramides et de sphères. Tu as appris comment calculer et estimer l’aire totale, le volume et la capacité de ces objets, et tu as exploré la relation entre ces trois propriétés (s’il y a lieu). Ensuite, tu as résolu des problèmes de la vie courante en utilisant des formules d’aire totale et de volume.

Si tu as encore des questions concernant la matière étudiée dans cette leçon, prends quelques minutes pour réviser tes travaux ou demande de l’aide à ton partenaire d’apprentissage ou à ton tuteur/correcteur. Assure-toi également de compléter ta fiche-ressource du module 2, si ce n’est pas déjà fait.

Tu as terminé plus de la moitié de la première partie de ce cours et tu devras bientôt faire ta demande d’inscription à l’examen de mi-session – au moins trois semaines avant de te présenter à l’examen. Assure-toi de te laisser assez de temps pour réviser la matière du cours quand tu auras complété le module 3.

Le prochain module est très différent de celui-ci. Tu étudieras les statistiques, et l’accent sera mis sur le traçage et l’analyse de graphiques.

C’est maintenant le temps d’envoyer tes devoirs du module 2 à ton tuteur ou correcteur; il pourra ainsi t’informer de tes progrès. Tu dois envoyer tes devoirs par la poste. Organise tout ton matériel selon l’information suivante et n’oublie pas d’y joindre la feuille de présentation du module 2 qui se trouve à la fin de l’introduction.N’oublie pas également de photocopier toutes tes feuilles et tes devoirs avant de les envoyer pour en avoir une copie si jamais ton envoi est perdu en cours de route.Page de présentation du module 2Devoir d’introduction 2 Figures géométriquesDevoir 2.1 Aire totaleDevoir 2.2 VolumeDevoir 2.3 Applications du volume et de la capacitéPlace tout ton matériel dans une enveloppe et adresse-le à l’adresse suivante :

Tuteur ou correcteur du OEI/ISO555, rue MainWinkler (Manitoba) R6W 1C4

Ton tuteur ou correcteur corrigera ton travail et te le retournera par la poste.

Remise des devoirs

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mrdeakin.pbworks.commrdeakin.pbworks.com/w/file/fetch/139021653/11e année module 2.… · Mo d u l e 2 Gé o M é t r i e à t r o i s d i M e n s i o n s Introduction Au cours de