RENDICONTI DEL CIRCOLO MATEMATICO D1 PALERMO Scrie I1, Tomo XXVIII (1979), pp. 80-90

ANNEAUX POLYNOMIAUX A DEUX VARIABLES

ALFRED DONEDDU

Some types of extensions of skew fields are now known: Galois quadratic extensions ([7]), cyclic extensions ([1]), general quadratic extensions ([4]), binomial extensions ([5]). AI1 these extensions belong to the class of pseudolinear exten- sions ([8]).

A new class of extensions, the so-called ~ hexaphic extensions ,, which extends the class of pseudo-linear extensions, will be studied in the other papers in future. For this study, we introduce in this paper skew polynomials rings in two variables over a ring, which extend the well-known skew polynomial rings in one variable (pseudolinear) first studied by O. Ore ([10]).

1 . - Soit R u n a.nneau unitaire. On nommera anneau polyn6mial it deux variables xt et x2 sur R, l 'anneau H engendr6 par R, xl et x2 et v6rifiant les conditions suivantes:

1 ~ Tou t 616ment I de H s 'exprime de fa~on unique sous la forme d 'une somme finie

(1) l ---- ao + E x~,, ... x~,,. aa ......

o~ ~ E { 1 , 2}, aoER et a~...~,,.f:R.

2 ~ L'applicat ion d:H.- ,-N d6finie pa r :

(2) d ( / ) = t 0 si t E R *

( max{r/a~l. . .~,#O } si ] E H * - - R *

avec, de plus, d(0) . . . . est une fonction-degrd, i.e. v6rifie les axiomes:

(D~) d(1--g) <__ max{d(/), d(g)},

(Dz) d (/g) = d (/) --k d (g).

ANNEAUX POLYNOMIAUX A DEUX VARIABLES 81

On peut remarquer que a l . . . t~, est la repr6sentation dans la base 3 d'un nombre naturel, reprdsentation ne contenant pas le chiffre 0. On ddsigne par P

l'ensemble de ces figurations et on adjoint 0 ~t P.

A tout a l . . . t~r E P - {0} correspond un arrangement avec r6p6tition

x ~ , . . , x,r des variables xl, xz, de sorte que l'ensemble de tels arrangements est en correspondance biunivoque avec P--{0}. Le 0 de P e s t r6serv6 h l'indice des constantes (616ments de R). Remarquons que (D2) exige que R et H soient intSgres. I1 exige de plus l'existence d'applications A, B, C, D, E, F de R dans R

telles que :

(3)

(4)

Les relations :

a x t = a A + xl . aB + xz. aC

a x 2 = a D + x r a E + x2.aF.

( a + b)x i = axi + bx,

(a E R)

(a, b E R , iE{1, 2})

exigent que A, B, C, D, E, F appartiennent h End (R). De plus, les relations

(ab) xi = a (bxi) exigent clue, pour tous a et b de R :

(5) (ab) A = a. bA + aA �9 bB + aD. bC,

(6) ( a b ) B = aB. bB + a E . bC,

(7) ( ab ) C = aC . b B + aF . bC ,

(8) (ab) D = a. bD + aA �9 b E + aD . bF,

(9) (ab) E = aB . bE + a E . bF,

(10) (ab) F = aC . bE + aF . bF.

I1 est ~t noter que (D2) exige aussi:

(11) ker B O ker C = ker E f) ker F = 0.

Enfin, a = l dans (3) et (4) exige:

(12) 1 B = I F = I ; 1 A = I C = I D = I E = O .

82 ALFRED DONEDDU

Dans l'anneau End (R)a des matrices 3 x 3 ~ d~ments dans End (R), soit

(13) ~ = B ;

C

alors (5)-(10) montre que a - ~ a ~ est un anneau-morphisme injectif de R dans R Par (12) ce morphisme envoie 1 sur 13.

R6ciproquement, consid6rons un anneau unitaire int6gre R avec des A. 1 C, D, E, F E End (R) v6rifiant (5)-(12). P 6tant totalement ordonn6 par l'ordl naturel des figurations, considErons R p comme R-module h droite M et dEfini~

sons xl, x2 E End (M) par:

(c ....... )x~=(c~ ..... A+c~, . . .~ , , _ ,X) avec X = B si 0~,=1 et X = C si ~,=~

(c~l . , . , , )x2=(c, ~ ..... D + c . . . . . . . . ~ Y ) avec Y = E si ~ r = l et Y = F si ~,=~

On convient de plus que si r = l on prend t~l...0~r_~=0 et si ~ t . . . a , = 0 o prend Cal...ar_l.~-O.

Identifions les homothEfies de End (M) avec les ElEments de R. Alors, pot tout a de R :

(c~ ...... )axl = (cal...~, a)xl = ((c~1...~, a) A + (c~, . . . . . . ~ a) X) .

Appliquons (5)-(7):

(c~...~ a)A = c ..... . . �9 a A + c ..... ~ A �9 a B + c ~ ...... D" aC,

(c . . . . ~,-1 a ) X = c~,...~, X " aB + c~,...~,_~ Y . aC,

et par consequent:

(c ....... ) axl = ( c~,...~,) ( aA + xl" aB W xz" aC).

De m~me en partant de:

(c~,...~,)ax2 = (c~, ..... a)x2 = ((c~,..., a)D+(c~x...~,_~a) Y )

et en appliquant les relations (8)-(10), on obtient:

( c ~ . , . J axz = (ca~...,r) (aD q- xl . aE -t- x2. aF).

ANNEAUX POLYNOMIALrX A DEUX VARIABLES 8 3

I1 en rdsulte que le sous-anneau H de End (M) engendrE par xl, x2 et les homothdties vErifie (3), (4), et tout ElEment de H peut se mettre sous la forme (1). Cette expression de [ E H est unique, car si on applique f h (1, 0, 0 . . . . ), on obtient (a0, al, a2 . . . . ) ~t cause de (12). Enfin la fonction d dEfinie en (2) est une fonction-degrd sur H, car eUe vErifie dvidemment (DI) et pour (Dz), si on consid&e le produit f = (x,, . . . x~ ,a ) ( x lb ) avec a, bER*, on obtient:

f = (x~l . . . x ~ , x i . a B q- x . . . . . x ~ , x ~ . a C + x~, . . . x ~ , . a A ) b

et, puisque R est int~gre, aBb=aCb=O exigerait a B = a C = 0 , et par (11), a = 0 (contradiction). Done d ( / ) = r + 1. La preuve pour le produit gEnEral (x~, . . . x~a) • • xoq b) s'en ddduit p'g.r recurrence sur q.

On nommera hexaphisme d'un anneau unitaire R, tout syst~me (A, B, C, D, E, /7) de six ElEments de End (R) vdrifiant (5)-(12). Pour abrEger, on notera le plus souvent cet hexaphisme par ~ E End (R)3 donne en (13) et on Ecrira ~ = ( A , B , C , D , E , F ) .

On a obtenu le thdor~me suivant:

THI~OR~ME 1. Soit R u n anneau unitaire int~gre. Pour tout anneau polyn6mial

deux variables xl et x~ sur R, il existe un hexaph&me ~ de R vdrifiant (3), (4), et rdciproquement, pour tout hexaphisme ~ de R, il existe un anneau polyn6mial

deux variables sur R.

Un tel anneau se notera R[x,, x2; ~].

2 . - Remarquons d'abord que si (A, B, C, D, E, F) est un hexaphisme de R, alors (D, F, E, A, C, B) en est un autre. Par suite, les propriEtEs qui seront trouvEes pour le premier hexaphisme seront valables pour le second en dchangeant simul- tandment A et D, B et F, C et E.

Maintenant soient A, B, C, D, E, F six ElEments de End (R) vErifiant le syst~me (5)-(10). Alors 1 B = I F = I entraine (12). En effet, avee a = b = l , par (7) 1C=0, par (9) 1E=0, par (5) 1A = 0 et par (8) 1D=0.

1 ~ Si C = 0 , alors B e t F sont des anneau-endomorphismes de R, A est une B-dErivation, E une (F, B)-derivation. On dira alors que D est une (A, E)-haute derivation, i.e., D E End (R) vErifie (8).

Pour que (A, B, O, D, E, F) soit un hexaphisme de R, il faut et il suffit que B soit injectif, k e r E n k e r F = 0 et 1 B = I F = I .

2 ~ Si C = E = 0, alors le cas prEcEdent s'applique mais ici D est une F-dEri-

vation. De plus (A, B, O, D, O, F) est un hexaphisme de R si et seulement si B et F sont injectifs avee 1 B = I F = I .

8 4 ALFRED DONEDDU

Dans le cas oh R est int~gre, soit H=R[Xl , X2; A , B , O , D , O , F ) ] . Alors x~ engendre sur R le sous-anneau pseudo-lindaire h une variable R[xl; B ,A] et x2 engendre sur R le sous-anneau pseudolindaire R[x2; F, D ] e t H est le libre produit de ces deux sous-anneaux ([2]).

PROPOSITION 1. Soient R un anneau unitaire et A, B, C, D, E, F six dldments de End (R).

a) (A, B, O, D, E, F) est un hexaphisme de R si et seulement si B e t F sont des anneau-endomorphismes de R avec B injectif et 1 B= 1 F = I , A une B-ddriva- tion, E une (F,B)-ddrivation, D une (A,E)-haute ddrivation et k e r E N k e r F = 0 .

b) 8 = ( A , B, O, D, O, F) est un hexaphisme de R si et seulement si B et F sont des anneau-endomorphismes in]ectifs de R avec 1 B = I F = 1, A une B-ddriva- tion et D u n e F-ddrivation. Dam le cas o~ R e s t int~gre, R[xt , x2; 8] est le libre produit de R[xf i B , A ] et R[x2; F,D] .

Si A, B, C, D, E, F sont six 616ments de End(R) v6rifiant le syst~me (5)-(10), alors ker B f~ ker C est un id6al h gauche de R; en effet, a E R et b B = b C = O entrainent (ab)B=(ab)C----0. De m~me ker E Nker F est un id6al it gauche de R. Supposons que R soit un corps. Alors ces id6aux sont 0 et R. C'est certaine- ment 0 si 1 B = I F = I . Done

PROPOSlTIOS 2. Soit R un corps. Six dldments A, B, C, D, E, F de End (R) constituent un hexaphisme de R si et seulement si le syst~me (5)-(10) est vdrifid avec 1 B = 1 F = I .

Soit un hexaphisme (A, B, C, D, E, F) d'un anneau unitaire R. Si a C = bC =0 , alors par (7), (ab)C=O. Donc k e r C est un sous-anneau de R. Par (6) on a alors (ab) B = a B . b B et la restriction de B h ker C est un anneau-morphisme injectif dans R. De m~me par (10), la restriction de F h ker C est un anneau-morphisme dans R (pas n6cessairement injectif). Enfin (5) montre que la restriction de A h ker C est une B-d6dvation dans R, (9) montre que la restriction de E ~t ker C est une (F,B)-d6rivation et par (8) la restriction de D h k e r C est une (A, E)-haute d6rivation dans R.

Supposons maintenant que R soit un corps et prenons a ~ 0 dans k e r C Alors 1 C = 0 entra~me:

0 = ( a -1 a)C = a -1C . aB +a -1F. a C = a -1C" aB.

Par (11), on a aB~O. Doric a-~C=O et par suite ke rC est un sous-corps de R

PROPOSITION 3. Soit R un anneau unitaire avec un hexaphisme (A, B, C, D E, F). Alors ke rC est un sous-anneau de R. Les restrictions de B e t F d kerC sont des anneau-morphismes clans R et celles de .4, E, D sont respectivemen, une B-ddrivation, une (F, B)-ddrivation et une (A, E)-haute ddrivation.

Si R est un corps, kerC est sous-corps de R et k e r C N k e r F = 0 .

ANNEAUX POLYNOMIAUX A DEUX VARIABLES 8 5

Un anneau polyn6mial h deux variables n'est pas un anneau d'Ore, ni h gauche, ni h droite, m~me si R est un anneau d'Ore. Par suite, m~me si R e s t noethdrien, un anneau polyn6mial h deux variables sur R n'est pas noethdrien, ni h droite, ni ~ gauche.

3. - C h a n g e m e n t de variables .

Soit R u n anneau unitaire int~gre avec un hexaphisme ~ = ( A , B, C, D, E, F). On cherche h quelles conditions l'anneau polyn6mial H = R [xl, x2; ~] est engendr6 sur R par deux nouvelles variables y~, Y2 de H. I1 est d'abord ndcessaire, h cause de la fonction degr6, que y~, Y2 soient lin6aires en x~, xz:

(14)

( m n ) De plus, la matrice

m" n'

y l = h + x l m -4-x2n

y 2 : h ' + xl m' W x2 n'

(h, m, n, h', m', n' E R).

doit ~tre inversible dans R2. Maintenant, pour tout

a E R, ayl et ay2 doivent avoir le degrr 1 en Xl et x2. Or, par exemple pour yt,

on a:

ayl = ah + aA m + aDn + Xl " a (Bin + En) + x2 " a (Cm + Fn).

On doit avoir, par cons6quent:

(15)

Si on pose:

(16)

ker (Bm + En ) f3 ker (Cm + Fn ) = O,

ker (Bm" + En') N ker (Cm' + Fn') = O.

1 h h' )

M : 0 m m'

0 n r/ '

alors M est aussi inversible dans Ra et les relations (14) donnent dans le (R, R3)- bimodule H a :

Mais on a dans H3:

"ce qui entraine:

(17)

(1, Yl, Y2) = (1, Xl, x2)M,

a (1, xl, x2)= (1, xl, x2)(a ~) (a E R)

a(1, Yl, Y2)= (1, Yl, y2)M-I(a~) M.

86 ALFRED DONEDDU

REciproquement, soit M une matrice de type (16) inversible dans R 3 et sup- posons que ~ et ~ '= M - ~ M = ( A ", B', C', D', E', F') vErifient (15). II est d'abord

immEdiat que 1 ~ ' = 13. De plus,

( )(: ,=( ) mm) m n B" a E ' ] a B a E

m" n" C" a F ' / a C a F n" (a E R).

On voit alors aisEment que (15) entraine:

kerB' N ke rC ' = ke rE ' N ker F ' = 0.

Comme MZ1M est un automorphisme intErieur de R3, alors a ~ a ~ " est un

anneau-morphisme injectif de R dans R3 et par suite ~' est un hexaphisme de R. Si on dEsigne par yl et Y2 les deux ElEments de H donne par (14), alors { l,y~, y2}

est R-libre h droite et la loi de commutation est donne par (17). Par le ThEor~me 1, Yi et Y2 engendrent sur R l'anneau R [ya, Y2; ~']. Sa fonction degrE coincide Evi-

demment avec celle de R [x~, x2; ~], et par suite R [Ya, Y2; ~'] = R [xa, x2; ~],

THI~OR~ME 2. Soient R u n anneau unitaire intOgre avec un hexaphisme ~ et

H = R [ xl,x2; ~ ] un anneau polynomial d deux variables surR. Alors H = R [Yl, Y2; ~']

si et seulement s'il existe une matrice inversible M de type (16) darts R3 telle que :

a) (1, Yi, Y2)= (1, xl, x2)M dans le (R, R3)-bimodule H 3,

b) ~'= ~ M71 M darts End (R)a,

c) les relations (15) ont lieu.

Notons que si R e s t un corps, alors la condition (c) est une consequence des autres conditions du thEor~me (Prop. 2).

Nous avons maintenant la propriEtE suivante"

PROPOSITION 4. Soient R un anneau unitaire intOgre et (A, B, C, D, E, F)

un hexaphisme de R. Supposons qu'il existe deux ~ldments m e t n non simulta-

ndments nuls dans R, et S E End (R) tels que:

(18) Bm + En = Smt ,

Cm + Fn = Snt .

Alors S est un anneau-endomorphisme de R. De plus, U = A m + Dn est une S-ddrivation de R.

ANNEAUX POLYNOMIAUX A DEUX VARIABLES 87

Si par exemple m ~ 0 , on utilise la premiere relation (18) (sinon on utilise

la seconde):

m �9 (ab) S = (aB. bB + aE . bC) m + (aB. bE + aE. bF) n (a, b E R)

= a B m . b S + a E n . b S = m . a S . b S ,

et en simplifiant par m ~ 0, voit que S est un anneau-endomorphisme de R. De plus :

(ab) U = (a. bA + aA �9 bB + aD. bC) m + (a. bD + aA �9 bE 4- aD. bF) n

= a . b U + a A m . b S + a D n . b S = a . b U + a U . b S ,

et U est bien une S-d6rivation de R. S'il existe r n e t n non simultan6ment nuls dans R et un anneau-endomorphi-

sme S de R vfrifiant (18), on dira que l 'hexaphisme ~ est du type (m, n, S). On caract6rise maintenant le libre produit de deux anneau pseudo-lin6aires

d'une variable.

THI~ORI~ME 3. Un anneau polynC)mial ?z deux variables R [xl, x2; ~] est le

libre produit de deux anneaux pseudo-linda&es d'une variable R [y~; S, U] et

R[y2; T, V] si et seulement si l'hexaphisme ~ est des types simultands (m, n, S) (m m) et (m', n', 7) avec S et T in]ecti]s et inversible dans R2.

n p

Soit en effet R [x~, x~; ~] un anneau-polyn6mial ~ deux variables sur R avec un hexaphisme 8 = (A, B, C, D, E, F) ayant les propri~t~s de l'6nonc~. Alors, pour tous h et h ' de R, il existe une S-d~rivation U et une T-d~rivation V de R telles que, si l 'on pose:

m ' , ~ ' = , M = m S

n n ' 0

on ait ~ ' = ~ M~tM. Ce sont en effet:

U = A m + D n + l h - - S h t ,

V = A m ' + D n ' + l h ' - - T h ~ .

De plus, puisque S est injectif et (m, n) ~ (0, 0), on a par (18):

ker (Bin + En) O k e r ( C m + Fn) = O,

ker (Bin' + En') 0 ker (Cm' + Fn') --__ O.

8 8 ALFRED DONI~DDU

Maintenant, il suffit de dffinir deux nouvelles variables Yt et y2 par (1, yt, Y2)= =(1,xt, x2)M, et d'appliquer le Th6or~me 2 et la Proposition 1 (b) pour voir que R [xL, x2; ~] est le libre produit de R[yt; S, U] et R[yz; T, V].

R6ciproquement, on consid~re deux anneaux pseudo-lin~aires R[ yl; S, U] et R [Y2; T, V]. Evidemment S et T sont injectifs. Le libre produit de ces deux anneaux est un anneau polyn6mial h deux variables soit R [Yl, Y2; ~'] avec ~'= (U, S, O, V, O, T). Alors, pour toute matrice inversible du type (16), si on

prend (l,x~,x2)=(1,yt, y2) M -~, le Th6or~me 2 donne R[yv yz; ~'] =R[x~,x2; ~] a v e c :

~M = ~'Mt,

et il suffit de d6velopper cette 6galit6 pour voir que ~ est des types simultan6s

(m, n, S) et (m', n', T).

4 . - Tdtraphismes.

Soit R u n anneau unitaire avec un hexaphisme (A, B, C, D, E, 17). Remar-

quons que les relations (6) (7) (9) (10) prouvent que

09) a..._>(aB a E )

aC aF

est un anneau-morphisme de R dans Rz. De plus 1 B = I F = I et (11) est vrai.

On dira que quatre 616merits B, C, E, F de End (R) constituent un tdtraphisme de R si (19) est un anneau-morphisme de R dans R2 qui envoie 1 sur 12 et qui v6rifie (11).

Consid6rons alors le R-module ~t droite R ~ et choisissons une R-base h droite { el. ez } dans R 2. D6finissons une multiplication ~t gauche R x R z ---> R 2 par:

(19) ael = el .aB+ez .aC,

ae2 = el .aE+e2 .aF.

On munit ainsi R 2 d'une structure de R-bimodule unitaire (i. e., pour tout x E R 2, I x : x ) . De plus (11) montre que ae~=O entraine a = 0 , i.e., l'annulateur h gauche Ann (el)=0 ( i= 1, 2).

R6ciproquement, consid6rons un R-bimodule M unitaire ayant une R-base droite {el, e2} telle que Ann (ei)=0 ( i= 1, 2). (En particulier, si R est un corps,

cette derni6re condition est satisfaite ipso facto). I1 existe alors quatre 616ments B, C, E, F de End (R) v6rifiant (20) et l'application (19) est un anneau-morphisme

ANNEAUX POLYNOMIAUX A DEUX VARIABLEs 8 9

de R dans R2 qui envoie 1 sur 12 et v6rifie (11), et par cons6quent (B, C, E, F)

est un t6traphisme de R. Donc:

PROPOSITION 5. Soit R u n anneau unitaire. Quatre dldments (B, C, E, F) de

End (R) constituent un Mtraphisme de R si et seulement s'il existe un R-bimodule

M ayant une R-base ?~ droite {el, e2} v#ifiant (20) avec A n n ( e i ) = 0 ( i = l . 2).

On a alors le th6or~me suivant:

THI~ORi~ME 4. Soit R u n anneau unitaire. Pour tout tdtraphisme (B, C, E, F)

de R et tous ~l~ments v, w de R, les dl~ments A et D de End (R) ddfinis par:

aA = av- -v . aB- -w .aC

aD -- aw- -v . aE- -w .aF (a E R)

ddterminent un hexaphisme (A, B, C, D, E, F) de R.

(On le n o m m e r a (B, C, E, F)-hexaphisme int6rieur induit par - -v , --w).

On a en effet:

a. bA +aA �9 b B + a D . b C = a (bv - -v , b B - - w , b C ) + ( a v - - v . a B - - w .aC)bB +

+(aw- -v . a E - - w .aF) bC

= (ab) v-- v (aB. bB + aE. bC)-- w (aC. bB + aF. bC)

= (ab) A

et (5) est v6rifi6. On prouve de mSme que (8) est vrai.

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Pervenuto il 23 febbraio 1973, in forma definitlva il 25 marzo 1979

10 Allde des Gardes Royales

78000 - Versailles

(Francia)