Terminale S TP 13_Application des lois de Newton

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APPLICATION DES LOIS DE NEWTON

Objectifs : - Mettre en œuvre une démarche expérimentale pour étudier un mouvement.

- Retrouver l’équation horaire paramétrique et l’équation de la trajectoire du mouvement d’un solide lancé avec une vitesse initiale afin d’analyser l’influence des paramètres.

Les tentatives pour battre les records mondiaux de saut en longueur avec une voiture, une moto ou même

des rollers ne cessent de se multiplient ; un saut périlleux arrière a même été réalisé en voiture !

Guerlain Chicherit a réussi le week-end du 9-10 février 2013 en public et pour la première fois un backflip automobile

sans assistance à bord d'une Mini de rallye-raid.

http://www.20min.ch/ro/news/insolite/story/Un-saut-perilleux-arriere-realise-en-voiture-21990914

Mais comment les ingénieurs ont-ils déterminé, par le calcul, la position et la hauteur du tremplin d’arrivée pour permettre

un tel exploit ?

C’est ce que l’on se propose de modéliser au cours de ce TP :

Une rampe est placée sur le bureau. Une bille de masse m, lâchée d’une hauteur h, sans vitesse initiale

V0 = 0, roule sur la rampe, puis doit tomber dans une boite placée sur le sol.

Il s’agit de déterminer, par le calcul, la position de la boite pour que la bille, guidée par la rampe, tombe dans la

boîte. On supposera pour cela, que toutes les actions de l’air sont négligeables.

Document 1 : Schéma de l’expérience

Document 2 : Energie mécanique et conservation

L’énergie mécanique EM d’un système de masse m est la quantité (exprimée en joule, J) pour désigner

l’énergie emmagasinée sous forme d’énergie cinétique EC et d’énergie potentielle EP :

EM = EC + EP

Et comme le disait Henri Poincaré : « Comme nous ne pouvons pas donner une définition générale de l’énergie, le principe de

conservation de l’énergie veut dire simplement qu’il y a quelque chose qui reste constant. Quelles que soient les nouvelles notions

que des expériences futures peuvent nous donner, nous savons d’avance qu’il y aura toujours quelque chose qui reste constant et

que nous pourrons appeler énergie »

NB : Si les frottements sont négligeables devant les autres forces appliquées au système, alors l’énergie mécanique

EM est conservée.

α

tremplin de

lancement tremplin de

réception

Matériel disponible : une balance de précision, une règle, un pied à coulisse, un mètre ruban, un toboggan, une bille et une boîte pour récupérer la bille.

h’

h

𝑉1

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Document 3 : Enoncé des lois de Newton (1666)

* 1ère loi de Newton : le principe d’inertie

Dans un référentiel galiléen, si la variation du vecteur-vitesse du centre d’inertie G d’un système est nulle, alors la

somme vectorielle des forces qui s’exercent sur le système est nulle et réciproquement.

∑

* 2ème loi : le principe fondamental de la dynamique (P.F.D)

Dans un référentiel galiléen, la variation du vecteur-quantité de mouvement d’un système par rapport au temps est

égale à la somme des forces extérieures appliquées à ce système :

∑

On peut également l’écrire : ∑

avec la masse m du système est constante.

* 3ème loi : le principe d’action-réaction

Lorsque deux corps A et B sont en interaction, A exerce sur B la force et B exerce sur A la force

telles que :

Document 4 : Energie cinétique et énergie potentielle

D’après Wikipédia, pour un solide indéformable non ponctuel, l’énergie cinétique d’un solide de masse m est

égale à la somme de l’énergie cinétique de translation ECT et de l’énergie cinétique de rotation ECR.

De la même façon, l’énergie potentielle d’un système de masse m, en interaction avec la Terre, est égale à :

Avec : m : masse du système en kg g : l’accélération de la pesanteur (g=9,81m.s

-2)

z : l’altitude (en mètre) par rapport à la table v : la vitesse de la bille en m.s-1

r : le rayon de la bille (en m).

Travail à effectuer

* Dans un premier temps, rédigez vos prévisions. Pour cela, il faudra :

- décrire la méthode utilisée pour établir la trajectoire ;

- préciser les mesures à effectuer pour que les conditions initiales déterminent les valeurs souhaitées ;

- réaliser ces mesures et calculer enfin la position prévue.

* Puis, dans un second temps, vous réaliserez l’expérience et si la bille ne tombe pas dans la boîte, vous

déterminerez les origines des erreurs éventuelles.

Votre compte-rendu devra comporter des schémas, l’énoncé des lois utilisées, les mesures, les

résultats ainsi qu’une critique du dispositif et des résultats.

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Correction

Le but est de déterminer l’endroit où la bille va atterrir. Il faut donc établir la trajectoire de la bille

quand elle va quitter la rampe.

Le seul moyen pour cela est d’utiliser les lois de la mécanique, celles de Newton, pour relier l’accélération

aux forces subies par la bille.

Connaissant l’accélération, nous serons alors capables d’en déduire la vitesse puis la position de la bille en

fonction du temps et donc sa trajectoire dans le plan xOz.

Détermination de la trajectoire et du point d’impact :

1. système {la bille de masse m}

2. L’étude se réalise le référentiel du laboratoire : il s’agit d’un référentiel

terrestre considéré comme galiléen.

3. Bilan des forces : le poids de la bille On néglige l’action de l’air (frottements et poussée d’Archimède).

Rq : Seul le poids agit comme force, on se trouve dans une situation de chute libre.

4. Résultante des forces : ∑ Il faut donc appliquer la 2

ème loi de Newton, le P.F.D

5. PFD : Dans un référentiel galiléen ∑ => ∑ => =

6. Afin de pouvoir déterminer vitesse et position, on projette les vecteurs sur chaque axe : {

Rq : L’accélération est nulle selon Ox et constante selon Oz. Le mvm est donc uniformément accéléré selon l’axe Oz.

7. Intégration pour établir les équations de la vitesse en fonction du temps :

{

{

Or à t = 0 : { 1

D’où les équations horaires de la vitesse : { 1

d’après les expressions

à gauche en t = 0 d’après le schéma

z

O

y

x

𝑉1

𝑔

-h’

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8. Intégration pour établir les équations de la position en fonction du temps :

{ 1

{ 1

Or à t = 0 : {

D’où les équations horaires de la position : { 1

Rq : La position ne variant pas par rapport à Oy, le mouvement est dit plan.

9. L’équation de la trajectoire se déduit des équations horaires de la position :

{ 1

=> {

1

(

)

(1

)

Rq : La trajectoire est décrite par un polynôme du second degré, la bille décrit donc une portion de parabole.

10. On cherche où placer la boite c’est-à-dire le point d’impact avec le sol qui est obtenu pour : z = - h’

En utilisant l’équation de la trajectoire : - h’ = (1

)

=> xsol = √

Problème : On ne connaît pas la vitesse V1.

Détermination de la vitesse V1 :

Sa détermination se fait en utilisant la conservation de l’énergie mécanique lors de la prise de vitesse

dans la rampe :

En l’absence de frottement, l’énergie mécanique d’un système se conserve : EM(EI) = EM(EF)

avec EI, l’état initial lorsqu’on lâche la bille d’une hauteur zEI = h sans vitesse initiale vEI = 0 ;

EF, l’état final lorsque la bille quitte la rampe à l’altitude zEF = 0 avec la vitesse finale vEF = V1 .

En utilisant les documents 2 et 4, on peut écrire : EC(EI) + EPP(EI) = EC(EF) + EPP(EF)

1 .m.vEI² + m.g.zEI =

1 .m.vEF² + m.g.zEF

En remplaçant les grandeurs par les données : 0 + m.g.h =

1 .m.V1² + 0

On en déduit alors la vitesse V1 recherchée : V1 = √1

Conclusion : On en déduit donc l’expression littérale de la position d’impact : xsol =√

Il ne reste plus qu’à mesurer les hauteurs h et h’ afin de déterminer xsol et de vérifier nos prédications !

en espérant qu’on ait eu raison de négliger les frottements avec l’air …