Application des nombres complexes à l’éléctricité

Soit un courant alternatif sinusoïdal dont l’expression en fonction du temps est :

i = I sin (t + )

I : valeur efficace (en A)

 : pulsation (en rad/s)

 : phase à l’origine (en rad)

2

xO

I

A cette grandeur sinusoïdale, nous associons un vecteur de Fresnel noté .I

 

Il en est de même pour la tension u : 

Nous pouvons aussi associer à i un nombre complexe : 

I = [ I, ] ou = I (cos + j sin )I

etu = U sin (t) = [ U, 0 ]U

U : valeur efficace (en V)

 : pulsation (en rad/s)

Le module correspond à la valeur efficace et l’argument au déphasage.

Exemple :

Un dipôle est parcouru par un courant i = 2 sin (314t + ) quand il est soumis à une tension u = 220 sin (314t ).

26

= 314 rad/s

= 6

U = 220 V

I = 2 A 2

Valeurs réelles Valeurs complexes

= [ 220; 0 ] =220(cos 0 + j sin 0) = 220U

I = [ 2 , ] = 2 (cos + j sin )26

2

6

6

= 2 ( + j ) = + j 2

3

2

12 6 2

Impédance complexe d’un dipôle

Soit un dipôle d’impédance Z, soumis à une tension alternative sinusoïdale u et parcouru par un courant d’intensité i, on appelle impédance complexe du dipôle, le nombre complexe :

I

UZ

où et sont les grandeurs complexes associées à u et i. U I

Exemple :

Un dipôle est parcouru par un courant i = 2 sin (314t + ) quand il est soumis à une tension u = 220 sin (314t ).

26

Valeurs complexes

= 220U

I = + j 6 2

2j62j6

2j6220

2j6

220

I

UZ

25,27j65,2726

2220j6220

2j6

2220j622022

9,38j4,67

L’impédance complexe est donc :Z

Impédance complexe des récepteurs élémentaires

Résistance pure : R Capacité pure : CInductance pure : L

Schéma du circuit Représentation de Fresnel

Impédance complexe

Déphasage

R

u

iR u

iZ RZR 0

Résistance pure : R

Schéma du circuit Représentation de Fresnel

Impédance complexe

Déphasage

LjZL2

L

u

i

u

i

L

2

Inductance pure : L

Schéma du circuit Représentation de Fresnel

Impédance complexe

Déphasage

C

1jZC 2

Capacité pure : C

C

u

i

u

i

2

C

1

Impédance dans un circuit en série

Soient Z1 et Z2 deux récepteurs montés en série alors l’impédance du

récepteur équivalent est Z avec

21 ZZZ

Impédance dans un circuit en dérivation

Soient Z1 et Z2 deux récepteurs montés en parallèle alors l’impédance du

récepteur équivalent est Z avec

21

21

ZZ

Z.ZZ

Exemple

On considère un circuit RLC alimenté sous une tension alternative sinusoïdale de fréquence 50 Hz.

On donne R = 30 , L = 0,2 H et C = 100 F.

1- Calculer la pulsation .

2- Calculer l’impédance complexe du résistor.

3- Calculer l’impédance complexe de la bobine.

4- Calculer l’impédance complexe du condensateur.

5- En déduire l’impédance complexe du circuit RLC série.

1- Calculer la pulsation .

s/rad314100502f2

30RZR

j8,623142,0jLjZL

j8,310314,0

j

31410.100

j

C

1jZ

6C

j3130j8,31j8,6230ZZZZ CLR

2- Calculer l’impédance complexe du résistor.

3- Calculer l’impédance complexe de la bobine.

4- Calculer l’impédance complexe du condensateur.

5- En déduire l’impédance complexe du circuit RLC série.