Équations polynomiales et nombres complexes Équations du ...homepages.ulb.ac.be/~bpremose/assets/files/Cours_30_2018...Équations polynomiales et nombres complexes Équations du

Équations polynomiales et nombres complexes Équations du second degré

Suite du cours de Math F112

Le cours d’aujourd’hui est le dernier cours du Module T. À partir deVendredi 22 Février le cours se sépare en deux parties:

Les B1-BIOL, B1-CHIM, B1-IRBI, B1-SCIE + B2/3 GEOL-GEOGsuivront le Module S avec César Lecoutre. (Fin du cours pour lesB1-GEOG et B1-GEOL) Le local est le même qu’aujourd’hui:l’amphithéâtre Lameere. Les horaires du cours restent inchangés.Les B1-INFO suivront le Module SI du cours, avec Julie deSaedeleer. Il aura lieu à la Plaine dès le 22 Février (voir GeHolpour le local, qui risque de changer pendant les tout premierscours pour se stabiliser ensuite).Important: l’horaire du module SI change un peu: ce sera le lundide 14h à 16h et le vendredi de 8h à 10h.Toutes les infos du cours seront sur l’UV dans la section moduleSI. Les slides seront uploadés la veille du cours.



Le cours d’aujourd’hui est le dernier cours du Module T.

À partir deVendredi 22 Février le cours se sépare en deux parties:









Les B1-BIOL, B1-CHIM, B1-IRBI, B1-SCIE + B2/3 GEOL-GEOGsuivront le Module S avec César Lecoutre. (Fin du cours pour lesB1-GEOG et B1-GEOL)

Le local est le même qu’aujourd’hui:l’amphithéâtre Lameere. Les horaires du cours restent inchangés.Les B1-INFO suivront le Module SI du cours, avec Julie deSaedeleer. Il aura lieu à la Plaine dès le 22 Février (voir GeHolpour le local, qui risque de changer pendant les tout premierscours pour se stabiliser ensuite).Important: l’horaire du module SI change un peu: ce sera le lundide 14h à 16h et le vendredi de 8h à 10h.Toutes les infos du cours seront sur l’UV dans la section moduleSI. Les slides seront uploadés la veille du cours.




Les B1-BIOL, B1-CHIM, B1-IRBI, B1-SCIE + B2/3 GEOL-GEOGsuivront le Module S avec César Lecoutre. (Fin du cours pour lesB1-GEOG et B1-GEOL) Le local est le même qu’aujourd’hui:l’amphithéâtre Lameere.

Les horaires du cours restent inchangés.Les B1-INFO suivront le Module SI du cours, avec Julie deSaedeleer. Il aura lieu à la Plaine dès le 22 Février (voir GeHolpour le local, qui risque de changer pendant les tout premierscours pour se stabiliser ensuite).Important: l’horaire du module SI change un peu: ce sera le lundide 14h à 16h et le vendredi de 8h à 10h.Toutes les infos du cours seront sur l’UV dans la section moduleSI. Les slides seront uploadés la veille du cours.




Les B1-BIOL, B1-CHIM, B1-IRBI, B1-SCIE + B2/3 GEOL-GEOGsuivront le Module S avec César Lecoutre. (Fin du cours pour lesB1-GEOG et B1-GEOL) Le local est le même qu’aujourd’hui:l’amphithéâtre Lameere. Les horaires du cours restent inchangés.

Les B1-INFO suivront le Module SI du cours, avec Julie deSaedeleer. Il aura lieu à la Plaine dès le 22 Février (voir GeHolpour le local, qui risque de changer pendant les tout premierscours pour se stabiliser ensuite).Important: l’horaire du module SI change un peu: ce sera le lundide 14h à 16h et le vendredi de 8h à 10h.Toutes les infos du cours seront sur l’UV dans la section moduleSI. Les slides seront uploadés la veille du cours.




Les B1-BIOL, B1-CHIM, B1-IRBI, B1-SCIE + B2/3 GEOL-GEOGsuivront le Module S avec César Lecoutre. (Fin du cours pour lesB1-GEOG et B1-GEOL) Le local est le même qu’aujourd’hui:l’amphithéâtre Lameere. Les horaires du cours restent inchangés.Les B1-INFO suivront le Module SI du cours, avec Julie deSaedeleer.

Il aura lieu à la Plaine dès le 22 Février (voir GeHolpour le local, qui risque de changer pendant les tout premierscours pour se stabiliser ensuite).Important: l’horaire du module SI change un peu: ce sera le lundide 14h à 16h et le vendredi de 8h à 10h.Toutes les infos du cours seront sur l’UV dans la section moduleSI. Les slides seront uploadés la veille du cours.




Les B1-BIOL, B1-CHIM, B1-IRBI, B1-SCIE + B2/3 GEOL-GEOGsuivront le Module S avec César Lecoutre. (Fin du cours pour lesB1-GEOG et B1-GEOL) Le local est le même qu’aujourd’hui:l’amphithéâtre Lameere. Les horaires du cours restent inchangés.Les B1-INFO suivront le Module SI du cours, avec Julie deSaedeleer. Il aura lieu à la Plaine dès le 22 Février (voir GeHolpour le local, qui risque de changer pendant les tout premierscours pour se stabiliser ensuite).

Important: l’horaire du module SI change un peu: ce sera le lundide 14h à 16h et le vendredi de 8h à 10h.Toutes les infos du cours seront sur l’UV dans la section moduleSI. Les slides seront uploadés la veille du cours.




Les B1-BIOL, B1-CHIM, B1-IRBI, B1-SCIE + B2/3 GEOL-GEOGsuivront le Module S avec César Lecoutre. (Fin du cours pour lesB1-GEOG et B1-GEOL) Le local est le même qu’aujourd’hui:l’amphithéâtre Lameere. Les horaires du cours restent inchangés.Les B1-INFO suivront le Module SI du cours, avec Julie deSaedeleer. Il aura lieu à la Plaine dès le 22 Février (voir GeHolpour le local, qui risque de changer pendant les tout premierscours pour se stabiliser ensuite).Important: l’horaire du module SI change un peu: ce sera le lundide 14h à 16h et le vendredi de 8h à 10h.

Toutes les infos du cours seront sur l’UV dans la section moduleSI. Les slides seront uploadés la veille du cours.






Pour ne pas se tromper

Julie de Saedeleer(Module SI)

César Lecoutre(Module S)


















Visite des copies de Math F112

La visite des copies de Math F112 aura lieu:

Le Mardi 26 Février 2019, de 10h à 14h, au local 5.06 du bâtiment N/O

Modalités pratiques: on vous fera rentrer dans la salle par groupesde 10 élèves à la fois, et vous aurez au maximum 10 minutes pourconsulter votre copie. Il se peut donc que vous deviez attendre un peu.

Si vous n’êtes pas disponibles le 26 Février: vous pouvez donnerprocuration à un-e autre élève qui suit le cours de Math F112. Pour cefaire, vous devez signer une demande de procuration (un modèle deprocuration est disponible sur MonULB, dans Document Manager).

Si aucune procuration (déjà signée) n’est fournie au moment de lavisite des copies, vous ne pourrez pas avoir accès à la copie de

quelqu’un d’autre.













Modalités pratiques:

on vous fera rentrer dans la salle par groupesde 10 élèves à la fois, et vous aurez au maximum 10 minutes pourconsulter votre copie. Il se peut donc que vous deviez attendre un peu.








Modalités pratiques: on vous fera rentrer dans la salle par groupesde 10 élèves à la fois,

et vous aurez au maximum 10 minutes pourconsulter votre copie. Il se peut donc que vous deviez attendre un peu.








Modalités pratiques: on vous fera rentrer dans la salle par groupesde 10 élèves à la fois, et vous aurez au maximum 10 minutes pourconsulter votre copie.

Il se peut donc que vous deviez attendre un peu.

















Si vous n’êtes pas disponibles le 26 Février:

vous pouvez donnerprocuration à un-e autre élève qui suit le cours de Math F112. Pour cefaire, vous devez signer une demande de procuration (un modèle deprocuration est disponible sur MonULB, dans Document Manager).








Si vous n’êtes pas disponibles le 26 Février: vous pouvez donnerprocuration à un-e autre élève qui suit le cours de Math F112.

Pour cefaire, vous devez signer une demande de procuration (un modèle deprocuration est disponible sur MonULB, dans Document Manager).








Si vous n’êtes pas disponibles le 26 Février: vous pouvez donnerprocuration à un-e autre élève qui suit le cours de Math F112. Pour cefaire, vous devez signer une demande de procuration

(un modèle deprocuration est disponible sur MonULB, dans Document Manager).



















Équations polynomiales et nombres complexes Racines n-èmes d’un nombre complexe

Contenu de la section

5 Équations polynomiales et nombres complexesÉquations du premier degréRacines carréesÉquations du second degréRacines n-èmes d’un nombre complexeÉquations polynomiales de degrés supérieur


Racines n-èmes

Rappel

On ne parle jamais de la racine carrée (ou cubique, etc...) d’un nombrecomplexe, mais des racines.

DéfinitionSoit un entier n ≥ 1 et z un complexe. On appelle racine ne de z toutnombre complexe w tel que wn = z .

Exemple

i est racine quatrième de 1: car i4 = (i2)2 = (−1)2 = 1. −i aussi.

Si ρ > 0 est un nombre réel, ρ1n (la racine ne dans R) est encore

une racine ne dans C.Si z = exp(iθ), alors exp

(i θn

)est une racine ne de z : car(

exp(iθ

n

))n= exp

(niθ

n

)= exp(iθ).


Racines n-èmes

Rappel


DéfinitionSoit un entier n ≥ 1 et z un complexe.

On appelle racine ne de z toutnombre complexe w tel que wn = z .

Exemple




(i θn


exp(iθ

n

))n= exp

(niθ

n

)= exp(iθ).


Racines n-èmes

Rappel


DéfinitionSoit un entier n ≥ 1 et z un complexe. On appelle racine ne de z

toutnombre complexe w tel que wn = z .

Exemple




(i θn


exp(iθ

n

))n= exp

(niθ

n

)= exp(iθ).


Racines n-èmes

Rappel



Exemple




(i θn


exp(iθ

n

))n= exp

(niθ

n

)= exp(iθ).


Racines n-èmes

Rappel



Exemple

i est racine quatrième de 1:

car i4 = (i2)2 = (−1)2 = 1. −i aussi.



(i θn


exp(iθ

n

))n= exp

(niθ

n

)= exp(iθ).


Racines n-èmes

Rappel



Exemple

i est racine quatrième de 1: car i4 = (i2)2 = (−1)2 = 1.

−i aussi.



(i θn


exp(iθ

n

))n= exp

(niθ

n

)= exp(iθ).


Racines n-èmes

Rappel



Exemple




(i θn


exp(iθ

n

))n= exp

(niθ

n

)= exp(iθ).


Racines n-èmes

Rappel



Exemple



une racine ne dans C.

Si z = exp(iθ), alors exp(i θn


exp(iθ

n

))n= exp

(niθ

n

)= exp(iθ).


Racines n-èmes

Rappel



Exemple




(i θn

)est une racine ne de z :

car(exp

(iθ

n

))n= exp

(niθ

n

)= exp(iθ).


Racines n-èmes

Rappel



Exemple




(i θn


exp(iθ

n

))n=

exp(niθ

n

)= exp(iθ).


Racines n-èmes

Rappel



Exemple




(i θn


exp(iθ

n

))n= exp

(niθ

n

)=

exp(iθ).


Racines n-èmes

Rappel



Exemple




(i θn


exp(iθ

n

))n= exp

(niθ

n

)= exp(iθ).


Expression des racines ne

Le théorème suivant donne une manière pratique de calculer desracines ne à partir de la forme polaire:

Théorème

Si z est donné sous forme polaire z = ρexp(iθ) (ρ ≥ 0), alors lesracines ne de z sont les nombres w0, . . . ,wn−1 définis par

wk = n√ρ exp

(i

(θ+ 2kπ)

n

)où k = 0, . . . ,n −1

En particulier, si z , 0, il y a exactement n racines ne de z.

Il y a deux choses à démontrer dans ce théorème :que chaque wk , pour un k entre 0 et n −1, est bien une racine ne

de zet qu’il n’y en a pas d’autres.




Théorème


wk = n√ρ exp

(i

(θ+ 2kπ)

n

)où k = 0, . . . ,n −1







Théorème

Si z est donné sous forme polaire z = ρexp(iθ) (ρ ≥ 0)

, alors lesracines ne de z sont les nombres w0, . . . ,wn−1 définis par

wk = n√ρ exp

(i

(θ+ 2kπ)

n

)où k = 0, . . . ,n −1







Théorème


wk = n√ρ exp

(i

(θ+ 2kπ)

n

)où k = 0, . . . ,n −1







Théorème


wk = n√ρ exp

(i

(θ+ 2kπ)

n

)où k = 0, . . . ,n −1







Théorème


wk = n√ρ exp

(i

(θ+ 2kπ)

n

)où k = 0, . . . ,n −1







Théorème


wk = n√ρ exp

(i

(θ+ 2kπ)

n

)où k = 0, . . . ,n −1


Il y a deux choses à démontrer dans ce théorème :

que chaque wk , pour un k entre 0 et n −1, est bien une racine ne





Théorème


wk = n√ρ exp

(i

(θ+ 2kπ)

n

)où k = 0, . . . ,n −1



de z

et qu’il n’y en a pas d’autres.




Théorème


wk = n√ρ exp

(i

(θ+ 2kπ)

n

)où k = 0, . . . ,n −1





Preuve du théorème.

Rappel

wk = n√ρ exp

(i

(θ+ 2kπ)

n

)où k = 0, . . . ,n −1

Démonstration.On commence par vérifier que chaque wk est une racine ne dez = ρexp(iθ). En effet:

wnk =

(n√ρ exp

(i

(θ+ 2kπ)

n

))n

= ρexp(ni(θ+ 2kπ)

n)

= ρexp(i(θ+ 2kπ))

= ρ(cos(θ+ 2kπ) + i sin(θ+ 2kπ))

= ρ(cos(θ) + i sin(θ))

= ρexp(iθ) = z



Rappel

wk = n√ρ exp

(i

(θ+ 2kπ)

n

)où k = 0, . . . ,n −1


wnk =

(n√ρ exp

(i

(θ+ 2kπ)

n

))n


n)




= ρexp(iθ) = z



Rappel

wk = n√ρ exp

(i

(θ+ 2kπ)

n

)où k = 0, . . . ,n −1


wnk =

(n√ρ exp

(i

(θ+ 2kπ)

n

))n


n)




= ρexp(iθ) = z



Rappel

wk = n√ρ exp

(i

(θ+ 2kπ)

n

)où k = 0, . . . ,n −1


wnk =

(n√ρ exp

(i

(θ+ 2kπ)

n

))n


n)




= ρexp(iθ) = z



Rappel

wk = n√ρ exp

(i

(θ+ 2kπ)

n

)où k = 0, . . . ,n −1


wnk =

(n√ρ exp

(i

(θ+ 2kπ)

n

))n


n)




= ρexp(iθ) = z



Rappel

wk = n√ρ exp

(i

(θ+ 2kπ)

n

)où k = 0, . . . ,n −1


wnk =

(n√ρ exp

(i

(θ+ 2kπ)

n

))n


n)




= ρexp(iθ) = z



Rappel

wk = n√ρ exp

(i

(θ+ 2kπ)

n

)où k = 0, . . . ,n −1


wnk =

(n√ρ exp

(i

(θ+ 2kπ)

n

))n


n)




= ρexp(iθ) = z



Rappel

wk = n√ρ exp

(i

(θ+ 2kπ)

n

)où k = 0, . . . ,n −1


wnk =

(n√ρ exp

(i

(θ+ 2kπ)

n

))n


n)




= ρexp(iθ)

= z



Rappel

wk = n√ρ exp

(i

(θ+ 2kπ)

n

)où k = 0, . . . ,n −1


wnk =

(n√ρ exp

(i

(θ+ 2kπ)

n

))n


n)




= ρexp(iθ) = z


Suite de la preuve.

Pour le second point, considérons w une racine ne de z = ρexp(iθ) quenous écrivons sous la forme:

w = r exp(iϕ).Alors wn = rn exp(inϕ) = ρexp(iθ), et en particulier|wn |= rn = |z |= ρ. Ceci montre déjà que r = n

√ρ.

Par ailleurs, puisque wn = z et ρ= rn , on a aussi exp(inϕ) = exp(iθ).C’est-à-dire :

cos(nϕ) = cos(θ) et sin(nϕ) = sin(θ)

Or deux angles ont même sinus et même cosinus si et seulement si ilssont égaux à 2π près : dès lors, nϕ = θ+ 2kπ pour un certain k ∈Z,d’où

ϕ =θ+ 2kπ

n.


Suite de la preuve.


w = r exp(iϕ).

Alors wn = rn exp(inϕ) = ρexp(iθ), et en particulier|wn |= rn = |z |= ρ. Ceci montre déjà que r = n

√ρ.




ϕ =θ+ 2kπ

n.


Suite de la preuve.


w = r exp(iϕ).Alors wn = rn exp(inϕ) = ρexp(iθ),

et en particulier|wn |= rn = |z |= ρ. Ceci montre déjà que r = n

√ρ.




ϕ =θ+ 2kπ

n.


Suite de la preuve.


w = r exp(iϕ).Alors wn = rn exp(inϕ) = ρexp(iθ), et en particulier|wn |= rn =

|z |= ρ. Ceci montre déjà que r = n√ρ.




ϕ =θ+ 2kπ

n.


Suite de la preuve.


w = r exp(iϕ).Alors wn = rn exp(inϕ) = ρexp(iθ), et en particulier|wn |= rn = |z |=

ρ. Ceci montre déjà que r = n√ρ.




ϕ =θ+ 2kπ

n.


Suite de la preuve.


w = r exp(iϕ).Alors wn = rn exp(inϕ) = ρexp(iθ), et en particulier|wn |= rn = |z |= ρ.

Ceci montre déjà que r = n√ρ.




ϕ =θ+ 2kπ

n.


Suite de la preuve.



√ρ.




ϕ =θ+ 2kπ

n.


Suite de la preuve.



√ρ.

Par ailleurs, puisque wn = z et ρ= rn ,

on a aussi exp(inϕ) = exp(iθ).C’est-à-dire :



ϕ =θ+ 2kπ

n.


Suite de la preuve.



√ρ.

Par ailleurs, puisque wn = z et ρ= rn , on a aussi exp(inϕ) = exp(iθ).

C’est-à-dire :cos(nϕ) = cos(θ) et sin(nϕ) = sin(θ)


ϕ =θ+ 2kπ

n.


Suite de la preuve.



√ρ.




ϕ =θ+ 2kπ

n.


Suite de la preuve.



√ρ.



Or deux angles ont même sinus et même cosinus si et seulement si ilssont égaux à 2π près : dès lors,

nϕ = θ+ 2kπ pour un certain k ∈Z,d’où

ϕ =θ+ 2kπ

n.


Suite de la preuve.



√ρ.



Or deux angles ont même sinus et même cosinus si et seulement si ilssont égaux à 2π près : dès lors, nϕ = θ+ 2kπ pour un certain k ∈Z,

d’où

ϕ =θ+ 2kπ

n.


Suite de la preuve.



√ρ.




ϕ =θ+ 2kπ

n.


Fin de la preuve.

Pour l’instant, on a donc montré qu’une racine n-ème de z = ρexp(iθ)est de la forme

wk = n√ρexp

(θ+ 2kπ

n

)pour un certain k ∈Z.

Il reste à vérifier qu’il suffit de se limiter à kcompris entre 0 et n −1.Pour cela, remarquons simplement l’égalité :

wk+n = n√ρ exp

(iθ+ 2(k + n)π

n

)= n√ρ exp

(i(θ+ 2kπ

n+ 2π

))= n√ρ exp

(iθ+ 2kπ

n

)= wk .

Donc, quelle que soit la valeur de k , wk se trouve parmi w0,w1, . . . ,wn−1.


Fin de la preuve.


wk = n√ρexp

(θ+ 2kπ

n

)pour un certain k ∈Z. Il reste à vérifier qu’il suffit de se limiter à kcompris entre 0 et n −1.

Pour cela, remarquons simplement l’égalité :

wk+n = n√ρ exp

(iθ+ 2(k + n)π

n

)= n√ρ exp

(i(θ+ 2kπ

n+ 2π

))= n√ρ exp

(iθ+ 2kπ

n

)= wk .



Fin de la preuve.


wk = n√ρexp

(θ+ 2kπ

n

)pour un certain k ∈Z. Il reste à vérifier qu’il suffit de se limiter à kcompris entre 0 et n −1.Pour cela, remarquons simplement l’égalité :

wk+n = n√ρ exp

(iθ+ 2(k + n)π

n

)

= n√ρ exp

(i(θ+ 2kπ

n+ 2π

))= n√ρ exp

(iθ+ 2kπ

n

)= wk .



Fin de la preuve.


wk = n√ρexp

(θ+ 2kπ

n


wk+n = n√ρ exp

(iθ+ 2(k + n)π

n

)= n√ρ exp

(i(θ+ 2kπ

n+ 2π

))

= n√ρ exp

(iθ+ 2kπ

n

)= wk .



Fin de la preuve.


wk = n√ρexp

(θ+ 2kπ

n


wk+n = n√ρ exp

(iθ+ 2(k + n)π

n

)= n√ρ exp

(i(θ+ 2kπ

n+ 2π

))= n√ρ exp

(iθ+ 2kπ

n

)

= wk .Donc, quelle que soit la valeur de k , wk se trouve parmi w0,w1, . . . ,wn−1.


Fin de la preuve.


wk = n√ρexp

(θ+ 2kπ

n


wk+n = n√ρ exp

(iθ+ 2(k + n)π

n

)= n√ρ exp

(i(θ+ 2kπ

n+ 2π

))= n√ρ exp

(iθ+ 2kπ

n

)= wk .



Fin de la preuve.


wk = n√ρexp

(θ+ 2kπ

n


wk+n = n√ρ exp

(iθ+ 2(k + n)π

n

)= n√ρ exp

(i(θ+ 2kπ

n+ 2π

))= n√ρ exp

(iθ+ 2kπ

n

)= wk .



Fin de la preuve.


wk = n√ρexp

(θ+ 2kπ

n


wk+n = n√ρ exp

(iθ+ 2(k + n)π

n

)= n√ρ exp

(i(θ+ 2kπ

n+ 2π

))= n√ρ exp

(iθ+ 2kπ

n

)= wk .



Les racines de l’unité

Un cas particulier est z = 1.

Dans ce cas, les racines n-èmes de 1sont appelées racines ne de l’unité et sont données par :

wk = exp(i

2kπn

)où k = 0, . . . ,n −1.

w14k = 1

y

xw13

w12

w11w10

w9

w8

w7

w6

w5

w4 w3

w2

w1

w0

Nous pouvons les représentergéométriquement : ce sont lessommets d’un polygone régulier àn côtés centré en 0.

On voit par exemple que les ra-cines 4-èmes de 1 sont 1,i ,−1,− i :les sommets d’un carré centré en0.



Un cas particulier est z = 1. Dans ce cas, les racines n-èmes de 1sont appelées racines ne de l’unité et sont données par :

wk = exp(i

2kπn

)où k = 0, . . . ,n −1.

w14k = 1

y

xw13

w12

w11w10

w9

w8

w7

w6

w5

w4 w3

w2

w1

w0






wk = exp(i

2kπn

)où k = 0, . . . ,n −1.

w14k = 1

y

xw13

w12

w11w10

w9

w8

w7

w6

w5

w4 w3

w2

w1

w0






wk = exp(i

2kπn

)où k = 0, . . . ,n −1.

w14k = 1

y

xw13

w12

w11w10

w9

w8

w7

w6

w5

w4 w3

w2

w1

w0






wk = exp(i

2kπn

)où k = 0, . . . ,n −1.

w14k = 1

y

xw13

w12

w11w10

w9

w8

w7

w6

w5

w4 w3

w2

w1

w0






wk = exp(i

2kπn

)où k = 0, . . . ,n −1.

w14k = 1

y

xw13

w12

w11w10

w9

w8

w7

w6

w5

w4 w3

w2

w1

w0


On voit par exemple que les ra-cines 4-èmes de 1 sont 1,i ,−1,− i :

les sommets d’un carré centré en0.




wk = exp(i

2kπn

)où k = 0, . . . ,n −1.

w14k = 1

y

xw13

w12

w11w10

w9

w8

w7

w6

w5

w4 w3

w2

w1

w0




Question

Déterminez les 4 racines 4-èmes de i .

Réponse

En ecrivant i = exp(i π2

), les racines 4-èmes de i sont données par:

wk = exp(i(π

8+

2kπ4

))pour 0 ≤ k ≤ 3.

Ces racines sont donc:

exp(iπ

8

), exp

(i(π

8+π

2

))= exp

(i5π8

),

exp(i(π

8+π

))= −exp

(iπ

8

), exp

(i(π

8+

3π2

))= exp

(− i

3π8

).


Question


Réponse


),

les racines 4-èmes de i sont données par:

wk = exp(i(π

8+

2kπ4

))pour 0 ≤ k ≤ 3.


exp(iπ

8

), exp

(i(π

8+π

2

))= exp

(i5π8

),

exp(i(π

8+π

))= −exp

(iπ

8

), exp

(i(π

8+

3π2

))= exp

(− i

3π8

).


Question


Réponse



wk = exp(i(π

8+

2kπ4

))pour 0 ≤ k ≤ 3.


exp(iπ

8

), exp

(i(π

8+π

2

))= exp

(i5π8

),

exp(i(π

8+π

))= −exp

(iπ

8

), exp

(i(π

8+

3π2

))= exp

(− i

3π8

).


Question


Réponse



wk = exp(i(π

8+

2kπ4

))pour 0 ≤ k ≤ 3.


exp(iπ

8

), exp

(i(π

8+π

2

))= exp

(i5π8

),

exp(i(π

8+π

))= −exp

(iπ

8

), exp

(i(π

8+

3π2

))= exp

(− i

3π8

).


Question


Réponse



wk = exp(i(π

8+

2kπ4

))pour 0 ≤ k ≤ 3.


exp(iπ

8

),

exp(i(π

8+π

2

))= exp

(i5π8

),

exp(i(π

8+π

))= −exp

(iπ

8

), exp

(i(π

8+

3π2

))= exp

(− i

3π8

).


Question


Réponse



wk = exp(i(π

8+

2kπ4

))pour 0 ≤ k ≤ 3.


exp(iπ

8

), exp

(i(π

8+π

2

))=

exp(i5π8

),

exp(i(π

8+π

))= −exp

(iπ

8

), exp

(i(π

8+

3π2

))= exp

(− i

3π8

).


Question


Réponse



wk = exp(i(π

8+

2kπ4

))pour 0 ≤ k ≤ 3.


exp(iπ

8

), exp

(i(π

8+π

2

))= exp

(i5π8

),

exp(i(π

8+π

))= −exp

(iπ

8

), exp

(i(π

8+

3π2

))= exp

(− i

3π8

).


Question


Réponse



wk = exp(i(π

8+

2kπ4

))pour 0 ≤ k ≤ 3.


exp(iπ

8

), exp

(i(π

8+π

2

))= exp

(i5π8

),

exp(i(π

8+π

))=

−exp(iπ

8

), exp

(i(π

8+

3π2

))= exp

(− i

3π8

).


Question


Réponse



wk = exp(i(π

8+

2kπ4

))pour 0 ≤ k ≤ 3.


exp(iπ

8

), exp

(i(π

8+π

2

))= exp

(i5π8

),

exp(i(π

8+π

))= −exp

(iπ

8

),

exp(i(π

8+

3π2

))= exp

(− i

3π8

).


Question


Réponse



wk = exp(i(π

8+

2kπ4

))pour 0 ≤ k ≤ 3.


exp(iπ

8

), exp

(i(π

8+π

2

))= exp

(i5π8

),

exp(i(π

8+π

))= −exp

(iπ

8

), exp

(i(π

8+

3π2

))=

exp(− i

3π8

).


Question


Réponse



wk = exp(i(π

8+

2kπ4

))pour 0 ≤ k ≤ 3.


exp(iπ

8

), exp

(i(π

8+π

2

))= exp

(i5π8

),

exp(i(π

8+π

))= −exp

(iπ

8

), exp

(i(π

8+

3π2

))= exp

(− i

3π8

).

Équations polynomiales et nombres complexes Équations polynomiales de degrés supérieur


5 Équations polynomiales et nombres complexesÉquations du premier degréRacines carréesÉquations du second degréRacines n-èmes d’un nombre complexeÉquations polynomiales de degrés supérieur


Équations polynomiales de degrés supérieur

Soit P(z) = anzn + · · ·+ a1z + a0 est un polynôme de degré n àcoefficients complexes. Nous définissons :

DéfinitionUne racine r ∈C de P est dite de multiplicité m ≥ 1 si on peut écrire

P(z) = (z − r)mQ(z),où Q est un polynôme de degré n −m dont r n’est pas une racine.

Nous énonçons le théorème fondamental suivant, que nous nemontrerons pas:

Théorème (Théorème fondamental de l’algèbre)

Tout polynôme de degré n admet exactement n racines complexes(comptées avec leur multiplicité).




Définition

Une racine r ∈C de P est dite de multiplicité m ≥ 1 si on peut écrireP(z) = (z − r)mQ(z),

où Q est un polynôme de degré n −m dont r n’est pas une racine.







DéfinitionUne racine r ∈C de P est dite de multiplicité m ≥ 1 si

on peut écrireP(z) = (z − r)mQ(z),









P(z) = (z − r)mQ(z),









P(z) = (z − r)mQ(z),où Q est un polynôme de degré n −m

dont r n’est pas une racine.




































Applications des nombres complexes


6 Applications des nombres complexes

Applications des nombres complexes Fonctions réelles à valeurs complexes


6 Applications des nombres complexesFonctions réelles à valeurs complexesRésolution d’équations différentielles homogènes avec lesnombres complexes


Fonctions réelles à valeurs complexes

Une fonction réelle à valeurs complexes est

une fonction f :R→C.Comme C est identifiable à R2, un certain nombre de définitions setransposent aisément du cas

« fonction réelle à valeurs dans R2 »au cas

« fonction réelle à valeurs complexes ».

En particulier la notion de dérivée: pour dériver une fonction à valeurscomplexes, il suffit de dériver en considérant que i est une constante.

Ceci revient effectivement à dériver « composante par composante ».



Une fonction réelle à valeurs complexes est une fonction f :R→C.

Comme C est identifiable à R2, un certain nombre de définitions setransposent aisément du cas







Une fonction réelle à valeurs complexes est une fonction f :R→C.Comme C est identifiable à R2,

un certain nombre de définitions setransposent aisément du cas







Une fonction réelle à valeurs complexes est une fonction f :R→C.Comme C est identifiable à R2, un certain nombre de définitions setransposent aisément du cas








« fonction réelle à valeurs dans R2 »

au cas« fonction réelle à valeurs complexes ».






















En particulier la notion de dérivée:

pour dériver une fonction à valeurscomplexes, il suffit de dériver en considérant que i est une constante.







En particulier la notion de dérivée: pour dériver une fonction à valeurscomplexes,

il suffit de dériver en considérant que i est une constante.

















Exemple

Dérivons la fonction y définie par

y(x) = exp(λx),où x ∈R et λ ∈C. Écrivons λ= a + ib : alors, par définition del’exponentielle complexe,

y(x) = exp(ax + ibx) = exp(ax)(cosbx + i sin(bx)).La dérivée de y vaut alors :y ′(x) = a exp(ax)(cos(bx) + i sin(bx)) + exp(ax)(−b sin(bx) + bi cos(bx))

ce que nous pouvons ré-écrire comme:y ′(x) = a exp(ax)exp(ibx) + bi exp(ax)(i sin(bx) + cos(bx))

et doncy ′(x) = (a + bi)exp(ax)exp(ibx) = λexp(λx) = λy(x).

Cet exemple montre que la fonction exponentielle complexe suit lamême propriété de dérivation que l’exponentielle réelle.


Exemple

Dérivons la fonction y définie pary(x) = exp(λx),

où x ∈R et λ ∈C. Écrivons λ= a + ib : alors, par définition del’exponentielle complexe,






Exemple


où x ∈R et λ ∈C.

Écrivons λ= a + ib : alors, par définition del’exponentielle complexe,






Exemple








Exemple



y(x) = exp(ax + ibx) =

exp(ax)(cosbx + i sin(bx)).La dérivée de y vaut alors :y ′(x) = a exp(ax)(cos(bx) + i sin(bx)) + exp(ax)(−b sin(bx) + bi cos(bx))





Exemple



y(x) = exp(ax + ibx) = exp(ax)(cosbx + i sin(bx)).

La dérivée de y vaut alors :y ′(x) = a exp(ax)(cos(bx) + i sin(bx)) + exp(ax)(−b sin(bx) + bi cos(bx))





Exemple



y(x) = exp(ax + ibx) = exp(ax)(cosbx + i sin(bx)).La dérivée de y vaut alors :

y ′(x) = a exp(ax)(cos(bx) + i sin(bx)) + exp(ax)(−b sin(bx) + bi cos(bx))





Exemple



y(x) = exp(ax + ibx) = exp(ax)(cosbx + i sin(bx)).La dérivée de y vaut alors :y ′(x) =

a exp(ax)(cos(bx) + i sin(bx)) + exp(ax)(−b sin(bx) + bi cos(bx))





Exemple



y(x) = exp(ax + ibx) = exp(ax)(cosbx + i sin(bx)).La dérivée de y vaut alors :y ′(x) = a exp(ax)(cos(bx) + i sin(bx))

+ exp(ax)(−b sin(bx) + bi cos(bx))





Exemple








Exemple




ce que nous pouvons ré-écrire comme:

y ′(x) = a exp(ax)exp(ibx) + bi exp(ax)(i sin(bx) + cos(bx))




Exemple








Exemple





et doncy ′(x) =

(a + bi)exp(ax)exp(ibx) = λexp(λx) = λy(x).Cet exemple montre que la fonction exponentielle complexe suit lamême propriété de dérivation que l’exponentielle réelle.


Exemple





et doncy ′(x) = (a + bi)exp(ax)exp(ibx) =

λexp(λx) = λy(x).Cet exemple montre que la fonction exponentielle complexe suit lamême propriété de dérivation que l’exponentielle réelle.


Exemple





et doncy ′(x) = (a + bi)exp(ax)exp(ibx) = λexp(λx) =

λy(x).Cet exemple montre que la fonction exponentielle complexe suit lamême propriété de dérivation que l’exponentielle réelle.


Exemple








Exemple






Cet exemple montre que la fonction exponentielle complexe

suit lamême propriété de dérivation que l’exponentielle réelle.


Exemple







Applications des nombres complexesRésolution d’équations différentielles homogènes avec les

nombres complexes


6 Applications des nombres complexesFonctions réelles à valeurs complexesRésolution d’équations différentielles homogènes avec lesnombres complexes


nombres complexes

Retour sur les ÉDOs

Considérons l’équation différentielle ordinaire suivante :

anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = foù a0, . . . ,an sont des constantes (réelles ou complexes) et f est unefonction donnée.

Rappel: Une solution de cette ÉDP est une fonction y :R→R quiverifie:

anyn(x) + an−1y(n−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = f(x)

pour tout x ∈R.

Nous avons déjà étudié les cas n = 1 et n = 2 dans le cas réel(équations du premier et second ordre), mais nous allons maintenantdiscuter brièvement le cas général à l’aide des nombres complexes.

Les nombres complexes vont nous permettre ici de résoudrel’équation linéaire homogène associée en toute généralité.


nombres complexes


Considérons l’équation différentielle ordinaire suivante :anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = f

où a0, . . . ,an sont des constantes (réelles ou complexes) et f est unefonction donnée.



pour tout x ∈R.




nombres complexes



où a0, . . . ,an sont des constantes (réelles ou complexes)

et f est unefonction donnée.



pour tout x ∈R.




nombres complexes






pour tout x ∈R.




nombres complexes






pour tout x ∈R.




nombres complexes






pour tout x ∈R.




nombres complexes






pour tout x ∈R.

Nous avons déjà étudié les cas n = 1 et n = 2 dans le cas réel(équations du premier et second ordre)

, mais nous allons maintenantdiscuter brièvement le cas général à l’aide des nombres complexes.



nombres complexes






pour tout x ∈R.




nombres complexes






pour tout x ∈R.




nombres complexes

Méthode de résolution d’ÉDO homogènes

Considérons une équation linéaire homogène:anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0.

Cherchons une solution sous la forme:y(x) = exp(λx)

pour un certain nombre complexe λ. On a y ′(x) = λexp(λx),y ′′(x) = λ2 exp(λx), etc... Dès lors:

ayyn+an−1y(n−1)+· · ·+a1y ′+a0y =(anλ

n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0

)y .

En particulier, ce y sera solution de l’ÉDO si et seulement si:P(z) = anλ

n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0 = 0.

Cette équation polynomiale est appelée équation caractéristique del’ÉDO. On sait qu’elle admet généralement n solutions (comptéesavec multiplicité.)


nombres complexes




pour un certain nombre complexe λ.

On a y ′(x) = λexp(λx),y ′′(x) = λ2 exp(λx), etc... Dès lors:


n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0

)y .


n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0 = 0.



nombres complexes




pour un certain nombre complexe λ. On a y ′(x) = λexp(λx),

y ′′(x) = λ2 exp(λx), etc... Dès lors:


n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0

)y .


n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0 = 0.



nombres complexes




pour un certain nombre complexe λ. On a y ′(x) = λexp(λx),y ′′(x) = λ2 exp(λx), etc...

Dès lors:


n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0

)y .


n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0 = 0.



nombres complexes






n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0

)y .


n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0 = 0.



nombres complexes





ayyn+an−1y(n−1)+· · ·+a1y ′+a0y =

(anλ

n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0

)y .


n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0 = 0.



nombres complexes






n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0

)y .


n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0 = 0.



nombres complexes






n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0

)y .


n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0 = 0.

Cette équation polynomiale est appelée équation caractéristique del’ÉDO.

On sait qu’elle admet généralement n solutions (comptéesavec multiplicité.)


nombres complexes






n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0

)y .


n + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0 = 0.



nombres complexes

Résultat général

Mentionnons maintenant le résultat général:

ThéorèmeLes solutions de l’équation

anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0sont obtenues comme combinaison linéaire à coefficients complexesde n fonctions particulières. Ces fonctions sont déterminées commesuit : si λ1, . . . ,λk sont les solutions distinctes de l’équationcaractéristique, de multiplicités respectives m1, . . . ,mk , alors les nfonctions à considérer sont:

exp(λ1x), x exp(λ1x), . . . , xm1−1 exp(λ1x)

...

exp(λk x), x exp(λk x), . . . , xmk−1 exp(λk x).


nombres complexes

Résultat général



anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0

sont obtenues comme combinaison linéaire à coefficients complexesde n fonctions particulières. Ces fonctions sont déterminées commesuit : si λ1, . . . ,λk sont les solutions distinctes de l’équationcaractéristique, de multiplicités respectives m1, . . . ,mk , alors les nfonctions à considérer sont:


...



nombres complexes

Résultat général



anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0sont obtenues comme combinaison linéaire à coefficients complexesde n fonctions particulières.

Ces fonctions sont déterminées commesuit : si λ1, . . . ,λk sont les solutions distinctes de l’équationcaractéristique, de multiplicités respectives m1, . . . ,mk , alors les nfonctions à considérer sont:


...



nombres complexes

Résultat général



anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0sont obtenues comme combinaison linéaire à coefficients complexesde n fonctions particulières. Ces fonctions sont déterminées commesuit :

si λ1, . . . ,λk sont les solutions distinctes de l’équationcaractéristique, de multiplicités respectives m1, . . . ,mk , alors les nfonctions à considérer sont:


...



nombres complexes

Résultat général



anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0sont obtenues comme combinaison linéaire à coefficients complexesde n fonctions particulières. Ces fonctions sont déterminées commesuit : si λ1, . . . ,λk sont les solutions distinctes de l’équationcaractéristique

, de multiplicités respectives m1, . . . ,mk , alors les nfonctions à considérer sont:


...



nombres complexes

Résultat général



anyn + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0sont obtenues comme combinaison linéaire à coefficients complexesde n fonctions particulières. Ces fonctions sont déterminées commesuit : si λ1, . . . ,λk sont les solutions distinctes de l’équationcaractéristique, de multiplicités respectives m1, . . . ,mk ,

alors les nfonctions à considérer sont:


...



nombres complexes

Résultat général





...



nombres complexes

Résultat général




exp(λ1x),

x exp(λ1x), . . . , xm1−1 exp(λ1x)

...



nombres complexes

Résultat général




exp(λ1x), x exp(λ1x),

. . . , xm1−1 exp(λ1x)

...



nombres complexes

Résultat général





...



nombres complexes

Résultat général





...

exp(λk x),

x exp(λk x), . . . , xmk−1 exp(λk x).


nombres complexes

Résultat général





...

exp(λk x), x exp(λk x),

. . . , xmk−1 exp(λk x).


nombres complexes

Résultat général





...



nombres complexes

Exemple

Considérons l’équation différentielle y4 = y .

Quelles sont lesfonctions y :R→R qui sont solution de cette équation?

Le polynôme caractéristique est: λ4 −1. Les racines (complexes) sontdonnées par : exp

(i 2kπ

4

), pour k compris entre 0 et 3, c’est-à-dire:

exp(i0),exp(iπ

2

),exp(iπ),exp

(i3π2

)ou encore:

1, i , −1, − i .Chacune est donc de multiplicité 1.Dès lors la solution générale y est combinaison linéaire des fonctionssuivantes :

exp(x), exp(ix), exp(−ix), exp(−x),c’est-à-dire :

y(x) = A expx + B exp(ix) + C exp(−ix) + D exp(−x),où A ,B ,C ,D ∈C sont des constantes complexes.


nombres complexes

Exemple

Considérons l’équation différentielle y4 = y . Quelles sont lesfonctions y :R→R qui sont solution de cette équation?


(i 2kπ

4


exp(i0),exp(iπ

2

),exp(iπ),exp

(i3π2

)ou encore:





nombres complexes

Exemple


Le polynôme caractéristique est: λ4 −1.

Les racines (complexes) sontdonnées par : exp

(i 2kπ

4


exp(i0),exp(iπ

2

),exp(iπ),exp

(i3π2

)ou encore:





nombres complexes

Exemple


Le polynôme caractéristique est: λ4 −1. Les racines (complexes) sontdonnées par

: exp(i 2kπ

4


exp(i0),exp(iπ

2

),exp(iπ),exp

(i3π2

)ou encore:





nombres complexes

Exemple



(i 2kπ

4

), pour k compris entre 0 et 3,

c’est-à-dire:

exp(i0),exp(iπ

2

),exp(iπ),exp

(i3π2

)ou encore:





nombres complexes

Exemple



(i 2kπ

4


exp(i0),exp(iπ

2

),exp(iπ),exp

(i3π2

)ou encore:





nombres complexes

Exemple



(i 2kπ

4


exp(i0),exp(iπ

2

),exp(iπ),exp

(i3π2

)

ou encore:1, i , −1, − i .

Chacune est donc de multiplicité 1.Dès lors la solution générale y est combinaison linéaire des fonctionssuivantes :




nombres complexes

Exemple



(i 2kπ

4


exp(i0),exp(iπ

2

),exp(iπ),exp

(i3π2

)ou encore:





nombres complexes

Exemple



(i 2kπ

4


exp(i0),exp(iπ

2

),exp(iπ),exp

(i3π2

)ou encore:

1, i , −1, − i .

Chacune est donc de multiplicité 1.Dès lors la solution générale y est combinaison linéaire des fonctionssuivantes :




nombres complexes

Exemple



(i 2kπ

4


exp(i0),exp(iπ

2

),exp(iπ),exp

(i3π2

)ou encore:

1, i , −1, − i .Chacune est donc de multiplicité 1.

Dès lors la solution générale y est combinaison linéaire des fonctionssuivantes :




nombres complexes

Exemple



(i 2kπ

4


exp(i0),exp(iπ

2

),exp(iπ),exp

(i3π2

)ou encore:





nombres complexes

Exemple



(i 2kπ

4


exp(i0),exp(iπ

2

),exp(iπ),exp

(i3π2

)ou encore:


exp(x),

exp(ix), exp(−ix), exp(−x),c’est-à-dire :



nombres complexes

Exemple



(i 2kπ

4


exp(i0),exp(iπ

2

),exp(iπ),exp

(i3π2

)ou encore:


exp(x), exp(ix),

exp(−ix), exp(−x),c’est-à-dire :



nombres complexes

Exemple



(i 2kπ

4


exp(i0),exp(iπ

2

),exp(iπ),exp

(i3π2

)ou encore:


exp(x), exp(ix), exp(−ix),

exp(−x),c’est-à-dire :



nombres complexes

Exemple



(i 2kπ

4


exp(i0),exp(iπ

2

),exp(iπ),exp

(i3π2

)ou encore:


exp(x), exp(ix), exp(−ix), exp(−x),

c’est-à-dire :y(x) = A expx + B exp(ix) + C exp(−ix) + D exp(−x),

où A ,B ,C ,D ∈C sont des constantes complexes.


nombres complexes

Exemple



(i 2kπ

4


exp(i0),exp(iπ

2

),exp(iπ),exp

(i3π2

)ou encore:





nombres complexes

Exemple



(i 2kπ

4


exp(i0),exp(iπ

2

),exp(iπ),exp

(i3π2

)ou encore:



y(x) = A expx + B exp(ix) + C exp(−ix) + D exp(−x),

où A ,B ,C ,D ∈C sont des constantes complexes.


nombres complexes

Exemple



(i 2kπ

4


exp(i0),exp(iπ

2

),exp(iπ),exp

(i3π2

)ou encore:





nombres complexes

Exemple (Suite)

La solution générale s’écrit donc:y(x) = A expx + B exp(ix) + C exp(−ix) + D exp(−x),

avec A ,B ,C ,D ∈C.

Attention: nous n’avons pas encore terminé la résolution, car oncherche des fonctions y à valeurs réelles qui sont solution.

On cherche donc les valeurs possibles de A ,B ,C ,D pour avoiry(x) = y(x) pour tout x ∈R. Comme:

y(x) = A expx + B exp(−ix) + C exp(ix) + D exp(−x),on voit donc en identifiant les coefficients qu’il faut choisir:

A = A (donc A ∈R ) , C = B et D = D (donc D ∈R ) .


nombres complexes

Exemple (Suite)



Attention: nous n’avons pas encore terminé la résolution,

car oncherche des fonctions y à valeurs réelles qui sont solution.





nombres complexes

Exemple (Suite)








nombres complexes

Exemple (Suite)




On cherche donc les valeurs possibles de A ,B ,C ,D pour avoiry(x) = y(x) pour tout x ∈R.

Comme:y(x) = A expx + B exp(−ix) + C exp(ix) + D exp(−x),

on voit donc en identifiant les coefficients qu’il faut choisir:A = A (donc A ∈R ) , C = B et D = D (donc D ∈R ) .


nombres complexes

Exemple (Suite)





y(x) = A expx + B exp(−ix) + C exp(ix) + D exp(−x),

on voit donc en identifiant les coefficients qu’il faut choisir:A = A (donc A ∈R ) , C = B et D = D (donc D ∈R ) .


nombres complexes

Exemple (Suite)








nombres complexes

Exemple (Suite)






A = A (donc A ∈R ) ,

C = B et D = D (donc D ∈R ) .


nombres complexes

Exemple (Suite)






A = A (donc A ∈R ) , C = B

et D = D (donc D ∈R ) .


nombres complexes

Exemple (Suite)








nombres complexes

Exemple (Suite)

La solution cherchée s’écrit donc désormais:y(x) = A expx + B exp(ix) + B exp(−ix) + D exp(−x),

avec A ,D ∈R et B ∈C.

On écrit alors B = E + iF pour des constantes réelles E et F . Dès lors,C = B = E − iF . Pour trouver l’expression générale de la solution y , onremplace les fonction exp(ix) et exp(−ix) par leur expression explicite:

y(x) = A expx + (E + iF)exp(ix) + (E − iF)exp(−ix) + D exp(−x)

= A expx + (E + iF)(

cos(x) + i sin(x))

+ (E − iF)(

cos(x)− i sin(x))

+ D exp(−x)

= A expx + 2E cos(x)−2F sin(x) + D exp(−x).Comme E et F sont arbitraires, ceci montre donc que toute solutiony :R→R de l’équation s’écrit finalement:

y(x) = αexpx + βcosx + γ sinx + δexp(−x),avec α,β,γ,δ ∈R des constantes réelles arbitraires.


nombres complexes

Exemple (Suite)



On écrit alors B = E + iF pour des constantes réelles E et F .

Dès lors,C = B = E − iF . Pour trouver l’expression générale de la solution y , onremplace les fonction exp(ix) et exp(−ix) par leur expression explicite:



cos(x) + i sin(x))

+ (E − iF)(

cos(x)− i sin(x))

+ D exp(−x)




nombres complexes

Exemple (Suite)



On écrit alors B = E + iF pour des constantes réelles E et F . Dès lors,C = B =

E − iF . Pour trouver l’expression générale de la solution y , onremplace les fonction exp(ix) et exp(−ix) par leur expression explicite:



cos(x) + i sin(x))

+ (E − iF)(

cos(x)− i sin(x))

+ D exp(−x)




nombres complexes

Exemple (Suite)



On écrit alors B = E + iF pour des constantes réelles E et F . Dès lors,C = B = E − iF .

Pour trouver l’expression générale de la solution y , onremplace les fonction exp(ix) et exp(−ix) par leur expression explicite:



cos(x) + i sin(x))

+ (E − iF)(

cos(x)− i sin(x))

+ D exp(−x)




nombres complexes

Exemple (Suite)






cos(x) + i sin(x))

+ (E − iF)(

cos(x)− i sin(x))

+ D exp(−x)




nombres complexes

Exemple (Suite)






cos(x) + i sin(x))

+ (E − iF)(

cos(x)− i sin(x))

+ D exp(−x)




nombres complexes

Exemple (Suite)





= A expx

+ (E + iF)(

cos(x) + i sin(x))

+ (E − iF)(

cos(x)− i sin(x))

+ D exp(−x)




nombres complexes

Exemple (Suite)






cos(x) + i sin(x))

+ (E − iF)(

cos(x)− i sin(x))

+ D exp(−x)




nombres complexes

Exemple (Suite)






cos(x) + i sin(x))

+ (E − iF)(

cos(x)− i sin(x))

+ D exp(−x)




nombres complexes

Exemple (Suite)






cos(x) + i sin(x))

+ (E − iF)(

cos(x)− i sin(x))

+ D exp(−x)




nombres complexes

Exemple (Suite)






cos(x) + i sin(x))

+ (E − iF)(

cos(x)− i sin(x))

+ D exp(−x)

= A expx

+ 2E cos(x)−2F sin(x) + D exp(−x).Comme E et F sont arbitraires, ceci montre donc que toute solutiony :R→R de l’équation s’écrit finalement:



nombres complexes

Exemple (Suite)






cos(x) + i sin(x))

+ (E − iF)(

cos(x)− i sin(x))

+ D exp(−x)

= A expx + 2E cos(x)

−2F sin(x) + D exp(−x).Comme E et F sont arbitraires, ceci montre donc que toute solutiony :R→R de l’équation s’écrit finalement:



nombres complexes

Exemple (Suite)






cos(x) + i sin(x))

+ (E − iF)(

cos(x)− i sin(x))

+ D exp(−x)

= A expx + 2E cos(x)−2F sin(x)

+ D exp(−x).Comme E et F sont arbitraires, ceci montre donc que toute solutiony :R→R de l’équation s’écrit finalement:



nombres complexes

Exemple (Suite)






cos(x) + i sin(x))

+ (E − iF)(

cos(x)− i sin(x))

+ D exp(−x)

= A expx + 2E cos(x)−2F sin(x) + D exp(−x).

Comme E et F sont arbitraires, ceci montre donc que toute solutiony :R→R de l’équation s’écrit finalement:



nombres complexes

Exemple (Suite)






cos(x) + i sin(x))

+ (E − iF)(

cos(x)− i sin(x))

+ D exp(−x)




nombres complexes

Exemple (Suite)






cos(x) + i sin(x))

+ (E − iF)(

cos(x)− i sin(x))

+ D exp(−x)


y(x) = αexpx + βcosx + γ sinx + δexp(−x),

avec α,β,γ,δ ∈R des constantes réelles arbitraires.


nombres complexes

Exemple (Suite)






cos(x) + i sin(x))

+ (E − iF)(

cos(x)− i sin(x))

+ D exp(−x)



Documents

Équations polynomiales et nombres complexes Équations du ...homepages.ulb.ac.be/~bpremose/assets/files/Cours_30_2018...Équations polynomiales et nombres complexes Équations du