Applications de la proportionnalité - Académie de Grenoble · passée de 19,6% à 5,5%, en France métropolitaine. Au 30 juin 2009, un restaurateur d’une ville de France, proposait

Applications de la

proportionnalité

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Longueur du cercle

1) Expérimentation

- Mesure du diamètre

- Mesure du périmètre

Tableau des résultats

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Longueur du cercle2) Questions à poser aux élèves:

Si le diamètre est de 16 cm , quel sera

le périmètre ?

Si le périmètre est de 60 cm, quel est le

diamètre?

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Réponses possibles:

Faire un graphique pour voir

Supposer un proportionnalité et regarder si la

linéarité est vérifiée, puis déduire.

Une expérience

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Une expérience

• Par deux ou trois:

Prendre une petite boîte.

Prendre une ficelle qui mesure:

le périmètre de la petite boîte + 1 mètre

Faire un cercle avec cette ficelle autour de la

boîte.

Quelle est la distance entre l’extérieur de la

boîte et la ficelle?

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Une expérience

• Par deux ou trois:

Prendre une petite boîte.

Prendre une ficelle qui mesure:

le périmètre de la petite boîte + 1 mètre

Faire un cercle avec cette ficelle autour de la boîte.

A quelle distance de la boîte se situe ce cercle.

Mise en commun.

Constatation.

Pourquoi?

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En poussant l’idée à l’extrême• Vous prenez une balle de ping pong, dont le diamètre

fait 4 centimètres.

A l'aide d'une ficelle, vous vous en faites exactement le

tour. Vous ajoutez un mètre à votre bout de ficelle, et

vous écartez le tout pour former un nouveau cercle

parfait centré sur votre balle.

schéma

• De quelle distance la ficelle s'écarte-t-elle de la balle ?

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En poussant l’idée à l’extrême

2/ Imaginons maintenant que vous puissiez faire le tour de la Terre à l'équateur avec une ficelle. On suppose que la Terre est parfaitement ronde le long de la ligne d'équateur, et on prendra un diamètre de 12 756 km. Vous ajoutez un mètre à votre ficelle, vous écartez le tout pour que ça fasse un cercle parfait centré sur la terre.

De quelle distance votre ficelle s'écarte-t-elle de la surface de la Terre ?

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La boîte à problème

• Dans cette bande de papier: 30 cm X 10 cm,

Construire une boîte à crayons cylindrique de hauteur 10 cm .(sans couvercle ).

pas de couvercle

fond

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• Dans cette bande de papier: 30 cm X 10 cm,

Construire la plus grande boîte à crayons cylindrique de hauteur 10 cm, possible (sans couvercle ).

pas de couvercle

fond

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1) Faire des essais et constater que l’on a échoué:

Rayon 5 cm; on ne peut fermer la boîte.

Rayon plus petit et corps obtenu en faisant rouler le disque: il reste de la place.

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2) Arriver à la conclusion L+D=30

L D

3) Besoin de calculer L en fonction de D

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Si les élèves ne connaissent pas la longueur du cercle

- On mesure sur différents cylindres (boîtes de conserve), le diamètre et le rayon. Attention aux mesures de diamètres,

c’est l’occasion de rappeler que c’est la plus grande corde.

- On fait un tableau. Puis on le reconnait comme tableau de proportionnalité.

- Le professeur introduit π et la longueur du cercle .

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Si les élèves connaissent la longueur du cercle:

- On constate que D+ π D doit être égal à 30.

- On fait des tableaux

D L=π D D+L conclusion

10 31 41 Trop grand

5 15,5 20,5 Trop petit

7 22 29 Trop petit

… … … ….

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- Résolution

- Par tâtonnement

- Par graphique: on trace D en abscisse et D+L

en ordonnée.

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Monter une séquence sur la

proportionnalité pour votre classe

Plan de séquence;

Choix des problèmes et activités;

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Agrandissement et réduction de

figures planes

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Agrandies? Réduites?

Extraits des documents d’application Cycle 3

« Géométrie »

• Les mots « agrandir » et « réduire» ont, en géométrie, un sens particulier (différent de celui qu’ils ont souvent dans le langage courant) : ils impliquent la conservation

- des angles, - du parallélisme,- de la perpendicularité, - des milieux - la proportionnalité des longueurs des côtés qui se

correspondent.

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La puzzle de Brousseau

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Le puzzle de Brousseau

1) Reconstituer un puzzle à partir des 6 pièces

distribuées

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2) Fabriquer un autre puzzle, plus grand, tel que

le côté qui mesure 4 cm sur celui-ci doit mesurer 7 cm sur le nouveau puzzle.

Chaque personne agrandit une ou deux pièces.

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3) Reconstituer un puzzle à partir des 6 pièces

construites

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Agrandir le puzzle : 4cm 7 cm

Ancien puzzle (en cm) 4 2 6 1 5 7 9

Nouveau puzzle (en cm) 7 3,5 10,5 1,75 8,75 12,25 15,75

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• D’après vous:

- Utilité didactique du puzzle de Brousseau?

- Quelles procédures erronées amène-t-il ?

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• Essayer un puzzle en ajoutant 3

• Essayer un puzzle en faisant « fois 2 , puis

moins 1 »

• Que se passe-t-il lors de la reconstitution du

puzzle

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• Un peu complexe pour des élèves de l’école

élémentaire.

• D’autres manuels ont proposé des variantes.

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• Variante dans EURO-MATHS CM2

• 4cm 6 cm

2 cm 6 cm

2cm

8 cm

4cm

6 cm

2cm2cmG.Martiel-2014


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Vous devez faire un agrandissement de votre puzzle de manière à ce que.

4 cm sur le petit puzzle correspondent à 6cm sur le puzzle agrandi.

Variante ERMEL CM2

4cm 6 cm

A 4 cm 4 cm

B 2 cm 6 cm

C 2 cm 4 cm

D 6 cm 10 cm

E 4 cm 16 cm

Le puzzle

• Erreur possible des élèves avec le puzzle

d’Euro-Maths ou celui d’ERMEL.

Ajouter 2 à chaque dimension.

Fabriquer les pièces de l’un de ces puzzle en

ajoutant 2.

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Agrandissement réduction

Trace écrite

Quand on réduit ou quand on agrandit une figure, les

longueurs de la nouvelle figure sont proportionnelles

aux longueurs du modèle

Exemple: la longueur LM du modèle était de 4cm, sa longueur dans le

nouveau modèle est de 6cm

La longueur AD du modèle mesure 8cm donc sa longueur dans le nouveau

modèle est de 12 cm

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Exercices de reconnaissance

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exercices avec agrandissement donné

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Exercice de réinvestissement

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Sources

• Petit Phare CM2 de chez Hachette Education (pour les traces écrites et exercices)

• CAP MATH CM1 et CM2 Hatier (exercices et bilans)

• Euro maths CM2 Hatier (pour les agrandissements de figures)

• Diagonale CM2 Nathan (pour les pourcentages)

Echelles

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Echelles

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Grossissement : 25.000 X

Une bactérie: grossissement

Introduction par une situation concrète

• Faire mesurer la longueur et la largeur de la

classe, la largeur des fenêtres et de la ou les

portes ainsi que leur emplacement par rapport au

tour de la classe (ne pas introduire, dans un

premier temps, les tables et les armoires).

• Puis demander aux élèves de faire, à main levée,

une représentation du plan de la classe en

plaçant les portes et fenêtres et en y notant les

mesures prises réellement.

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Introduction par une situation concrète

• Se mettre d’accord ensuite sur une échelle simple: 1 mètre est représenté par 1 cm. On peut aussi dire: 1/100

• Faire ensuite calculer les mesures sur le plan que devront avoir les différents éléments mesurés.

• Faire un plan de la classe : la salle, les fenêtres, les portes, à l’échelle choisie.

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Echelles

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Echelles

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Echelles

Trace écrite:

Sur une carte à l’échelle, les longueurs sur la

carte sont proportionnelles aux longueurs

réelles.

Exemple:

Sur une carte à l’échelle, une longueur réelle de 4 km est

représentée par 2 cm

Une longueur de 2 km est donc représentée par 1 cm.

Une longueur de 1 km est représentée par 0,5cm

Echelles

Observe cette voiture.

• Sur cette représentation ; la voiture a-t-elle la même taille qu’une voiture réelle ?

• Que signifie « échelle 1/43 » ?

• Peux-tu établir un lien entre les mesures des longueurs de la représentation et les mesures des longueurs de la voiture réelle ?

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Echelle : 1/43

Echelles

• Sur cette représentation ; la coccinelle a-t-elle la même taille qu’une coccinelle réelle ?

• Que signifie « échelle 7/1 » ?

• Peux-tu établir un lien entre les mesures des longueurs de la représentation et les mesures des longueurs d’une coccinelle réelle ?

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Echelle : 7/1

Echelles

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Echelles

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L’échelle est le rapport entre les mesures sur le

plan d’un objet et ses mesures réelles, exprimées

dans la même unité.

1/43 signifie que 1cm sur le papier représente 43

cm en réalité

1/200 000 signifie que 1 cm sur le papier

représente 200 000 cm=2 km en réalité.

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Echelles

Exercices.

1) Sur une carte à l’échelle, une distance réelle de 4 km est représentée par une longueur de 2cm. Par quelle longueur est représentée une longueur réelle de 5,6 km?

2) Sur une carte à l’échelle, une longueur réelle de 150 km est représentée par une longueur de 6 cm. Quelle longueur réelle est représentée par une longueur de 8,4 cm sur la carte?

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Echelles

Exercices.

3) Par quelle mesure représentera-t-on à l’échelle 1/1 500 un bâtiment qui a une hauteur dans la réalité 210 m ?

4) Quelle est la mesure réelle d’une distance représentée sur le plan par un segment de 3,8 cm si l’échelle est 1/1200 ?

5) Un monument a une hauteur réelle de 60 m et sur un plan a une hauteur de 2 cm. Quelle est l’échelle utilisée ?

Ne pas oublier les échelles dans les

graphiques

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Dessins gradués

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Pourcentages

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Un exercice du CRPE

Le 1er juillet 2009, la TVA dans la restauration est

passée de 19,6% à 5,5%, en France métropolitaine.

Au 30 juin 2009, un restaurateur d’une ville de

France, proposait un menu « dégustation » à ses

clients pour un prix de 35€.

Au 1er juillet 2009, ce même restaurateur indique

qu’il passe le prix de son menu « dégustation » de

35€ à 33 € en raison de la baisse de la TVA.

A t-il répercuté la baisse de la TVA?

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Un exercice du CRPE

Le 1er juillet 2009, la TVA dans la restauration est passée de 19,6% à 5,5%, en France métropolitaine.

Au 30 juin 2009, un restaurateur d’une ville de France, proposait un menu « dégustation » à ses clients pour un prix de 35€.

Au 1er juillet 2009, ce même restaurateur indique qu’il passe le prix de son menu « dégustation » de 35€ à 33 € en raison de la baisse de la TVA.

S’il avait répercuté la baisse de la TVA, quel serait le prix du menu « dégustation »?

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Difficultés des élèves

• Les notions n’utilisent qu’une seule grandeur: euros du prix et euros de la réduction. Cela rend plus difficile les raisonnements de proportionnalité sur les pourcentages et les échelles.

• La connaissance des nombres, des multiples de nombres comme 20, 25 est essentielle et peut être une difficulté

• Les calculs sont souvent avec des nombres qui ne sont pas entiers: les élèves ne sont pas très à l’aise sur les décimaux.

Quels types d’exercices dans les

manuels ?

Sur les pourcentages.

Relever les différents types de

questions.

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Pourcentages

Attention :

1) Bien passer par la compréhension de la

signification, avant de calculer.

2) Les manuels scolaires, passent trop vite à des

augmentations et des diminutions de

pourcentages, avec peu de calculs du

pourcentage d’une quantité.

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Pourcentages:

introduction pour les élèves

Fiche Harry-Potter : à faire

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Pourcentages

Objectif: comprendre l’utilité du pourcentage pour

comparer des proportions

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Comparaisons

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Comparaisons

Résolution pour Ron:

Miel 25 g

Potion 200g 100g

Pour 100g de potion, deux fois mois que pour 200g. Donc 12,5g de miel.

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Pourcentages, liens avec les fractions

Lien entre certains pourcentages et les fractions:

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Pourcentages

Trace écrite: il y a 18 grammes de miel pour 100g de potion d’HP.

On dit qu’il y a « 18 pour cent » de miel dans la potion.

On l’écrit: 18%

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Pourcentages : autre comparaison

Autre exercice: Il y a 25 élèves dans la classe A dont 14 filles.

Dans la classe B il y a 20 élèves et 13 filles.

Dans quelle classe la proportion de filles est-elle la plus

grande?

Résolution: On ramène à 100 pour comparer.

14 filles pour 25 enfants donc pour 100 enfants 4 fois plus de

filles, c’est-à-dire 14x4=56 filles. Il y a 56% de filles dans la

classe A

13 filles pour 20 élèves donc pour 100 élèves 5 fois plus donc

13x5= 65 élèves. Il y a 65% de filles dans la classe B.

On a utilisé la linéarité multiplicative

La proportion de files est plus grande dans la classe B.

Comparaisons

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Comparaisons

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Fiches de l’EN

• http://www.banqoutils.education.gouv.fr/fic/C3MIGRT09.pdf

• http://www.banqoutils.education.gouv.fr/fic/C3MIGST01.pdf

• http://www.banqoutils.education.gouv.fr/fic/C3MRXCL02.pdf

Faire ces fiches d’exercices et en déduire un plan pour

l’enseignement des pourcentages.

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Pourcentages

Plan d’enseignement:

1) Des exercices de comparaison où l’on doit se ramener à 100 pour comparer.

2) Des exercices de compréhension d’un pourcentage. Lien avec demi, quart …

3) Des calculs d’un pourcentage d’une quantité.

4) Des calculs de montant de l’augmentation ou de la diminution.

5) Des calculs de montant augmenté ou diminué.

6) Des calculs du pourcentage quand on a une proportion.

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Pourcentages

Objectif: pratiquer la recherche d’un pourcentage

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Pourcentages

Objectif:

appliquer un pourcentage, en utilisant la proportionnalité

Exercice d’introduction: dans l’école, il y a 200 élèves et

68% des élèves aiment les aventures de Harry Potter.

Combien d ’élèves aiment les aventures d’Harry Potter?Résolution:

Aiment HP

68

sur 100 200

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Pourcentages

Pour appliquer un pourcentage, on utilise la proportionnalité

Trace écrite: 68% des élèves aiment HP signifie que

sur 100 élèves, 68 aiment HP

sur 200 élèves, 2 fois plus donc 136 aiment HP.

sur 50 élèves , 2 fois moins donc 34 aiment HP

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Pourcentages

Objectif: appliquer un pourcentage,exercices d’entraînement

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Pourcentages

Prix 100 25 20 35 10 180

Remise 20 5 4 5+2 2 20+4+4+4+4

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Pourcentages

Quantité 100 1litre 5kg 100g

En plus 25 0,25litre

25:20 25g

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Pourcentages

Objectif : Résoudre des problèmes plus complexes avec augmentation ou diminution

d’un certain pourcentage

Vitesses

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Un exercice de CRPE

• Un cycliste monte un col à une vitesse de

15km/h et le descend par le même chemin à

une vitesse de 30km/h.

• Quelle est sa vitesse moyenne?

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Un exercice de CRPE• Un cycliste monte un col à une vitesse de 15km/h et le descend par

le même chemin à une vitesse de 30km/h.

• Quelle est sa vitesse moyenne?

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Montée du col

Distance (en km) 15 d

Temps (en h) 1 d/15

Descente du col

Distance (en km) 30 d

Temps (en h) 1 d/30

Trajet total

Distance (en km) 2d 2 20

Temps (en h) d/15 + d/30 1/15+1/30=3/30=1/10 1

: d X 10

Quelques travaux d’élèves

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Travaux d’élèvesPetit X N°90 Arnaud Simard

Un train roule à la vitesse de 120 km par heure. Combien de kilomètres le train parcourt-il en 2heures et demie?

Peut-on trouver la réponse?

Si NON, pourquoi? Si OUI, quelle est la réponse?

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Vitesse moyenne pas comprise.



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Retour à l’unité sans le dire.



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Linéarité sans le dire.



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Coefficient de proportionnalité



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Retour à l’unité sans le dire.



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Linéarité.



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2 heures et demie transformé en 2,30h.

Difficultés des élèves

• Des difficultés relatives au fait qu'il faut supposer une vitesse uniforme fictive;

• Des difficultés de gestion des unités de longueur et de durée;

• Des erreurs concernant le traitement des vitesses comme s’il s’agissait de nombres ordinaires. Les vitesses sont donc ajoutées et divisées pour calculer une vitesse moyenne par exemple.

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Aides à apporter

• Revenir au sens: vitesse moyenne et Km par

heure, ou mètre par seconde.

• Faire du calcul mental concernant les durées.

Les élèves doivent pouvoir dire sans hésiter

que 30 min c’est une demi heure, 15 min un

quart d’heure, 20 min un tiers d’heure, 10 min

un sixième d’heure.

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Progression

• Regarder la progression de TFM.

• En dégager un plan général.

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Vitesses moyennes

Objectif: prendre conscience que les problèmes de vitesses se

ramènent à des problèmes de proportionnalité

Introduction

Un camion roule sur autoroute a une vitesse constante. En 30

minutes, il parcourt 52 km de distance.

1) Combien parcourt-il en 1 heure? Comment appelle-t-on ce

nombre?

2) Quelle distance ce camion va-t-il parcourir en 2 h 30

minutes?

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Vitesses moyennes

Trace écrite:

Si la vitesse est constante, la distance parcourue est proportionnelle à

la durée du trajet.

Exemple: un cycliste roule a la vitesse moyenne de 20 km par heure.

Il parcourt 20 km en 1 heure.

Il parcourt donc, 40 km en 2 heures et 10 km en une demi-heure.

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Vitesses moyennes

Quelques exercices.

1) Escargot parcourt 4m en 10 minutes.

Quelle distance va-t-il parcourir en:

a) 5 min? b)15 min? c) 45 min?

Quelle est sa vitesse moyenne en mètres par heure?

2) Un lapin parcourt 300m en 4 min.

Quelle est sa vitesse en mètres par minute?

Quelle distance parcourt-il en 15min?

3) Une tortue parcourt 15 m en 3 min. Quelle est sa vitesse en km par heure?

Tâches complexes

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Tâche complexe 1

Le bouchon LEMA

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Tâche complexe 2

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A vous

• Monter une séquence sur (au choix):

• la multiplication (CE2)

• la division (CE2)

• la proportionnalité

• Les agrandissements de figure et les échelles

• Les vitesses et les pourcentages

Ou

• Une situation complexe à mettre en place sur ces thèmes

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Fin

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Documents

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