Apports de La Modélisation Numérique

Toute repr

Relation ré

Apports de la

silience – ténacité

modélisation numériquepar Clotilde BERDIN

Maître de Conférences, École Centrale Paris

et Claude PRIOULProfesseur à l’Université Paris 13 (IUT de Saint Denis)

1. Essais de résilience et de ténacité ...................................................... M 4 168 - 21.1 Mesure de résilience ................................................................................... — 2

1.1.1 Principe de l’essai Charpy.................................................................. — 21.1.2 Développements................................................................................. — 3

1.2 Évaluation de la résistance à l’amorçage d’une fissure ........................... — 41.2.1 Essai de ténacité ................................................................................. — 41.2.2 Relations empiriques ténacité-résilience.......................................... — 4

2. Modélisation numérique de la rupture : approche locale............. — 52.1 Approche locale ........................................................................................... — 52.2 Modèle de rupture fragile ........................................................................... — 52.3 Modèle de rupture ductile........................................................................... — 7

3. Modélisation numérique des essais.................................................... — 83.1 Aspects généraux ........................................................................................ — 83.2 Essai CT ........................................................................................................ — 83.3 Essai Charpy................................................................................................. — 9

3.3.1 Modèle numérique ............................................................................. — 93.3.2 Aspects dynamiques de l’essai Charpy ............................................ — 93.3.3 Analyse quasi-statique de l’essai Charpy ......................................... — 123.3.4 Contact................................................................................................. — 14

4. Prévision de la ténacité à partir de la résilience ............................ — 144.1 Palier bas ...................................................................................................... — 14

4.1.1 Identification des paramètres du modèle de rupture fragile .......... — 144.1.2 Prévision de la ténacité ...................................................................... — 15

4.2 Transition...................................................................................................... — 16

5. Bilan et voies d’amélioration ................................................................ — 17

oduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copieest strictement interdite. − © Editions T.I. M 4 168 − 1

’essai Charpy, proposé il y a plus d’un siècle, fait l’objet d’un regain d’intérêt du fait des développements expérimentaux et des progrès

considérables effectués dans le domaine de la modélisation numérique du comportement, de l’endommagement et de la rupture des matériaux.

La modélisation numérique permet actuellement de décrire convenablement le comportement élasto-viscoplastique des matériaux, la déchirure ductile et la rupture fragile dans le cadre de l’approche locale de la rupture.

Un congrès, à l’occasion du centenaire de l’essai Charpy, a fait le point sur les développements de ses aspects expérimentaux et sur sa modélisation utilisée pour déterminer la transition ductile-fragile de différents matériaux. On souhaite, en général, en tirer des caractéristiques qui permettent le dimension-nement de structure et, en particulier, la résistance à la propagation de fissure, la ténacité.

Références bibliographiques ......................................................................... — 18

L

RELATION RÉSILIENCE – TÉ

M 4 168 − 2

Ce dossier présel’essai Charpy et sol’approche locale de

Pour modéliser l’eest nécessaire :

— caractérisation— effets d’inertie — raideur de la m— conditions de c— prise en compte

et au chargement ra— simulation bi o— effet de la déchOn présente ens

prévoir la « ténacitématériaux présentadans un domaine d

Les applications trun premier temps, ilniques entrant dans d’abord la modélisala transition ductile-ftile sur le déclenche

1. Essais det de té

On rappelle ici les ténacité avant d’aborddossier [24] pour plus d

1.1 Mesure de

L’essai Charpy est trèfragilité des matériaux loppement, qui a condpour les plastiques, ISOde la facilité et de la rala faible quantité de m

1.1.1 Principe de

■ Le principe de base crupture lors du choc 10 × 10 × 55 mm3, préseen son milieu (cas de l’flexion 3 points (figure

Cet essai permet deriau en présence d’ugéométrie.

On définit alors la l’éprouvette pendant la section à fond d’en

KC

NACITÉ ________________________________________________________________________________________________________

nte quelques aspects de la modélisation numérique de n utilisation pour prévoir la « ténacité » dans le cadre de la rupture.ssai Charpy, l’étude de l’influence des conditions suivantes

des champs mécaniques et développement de la plasticité ;;achine d’essai ;
ontact ; de l’élévation de température due à la déformation plastique
pide ;u tri-dimensionnelle ;irure ductile.

uite l’application de l’approche locale de la rupture pour » dans la transition ductile-fragile. On s’intéresse donc aux nt de la rupture fragile et ductile, ainsi qu’une transition e température défini.aitent du cas des métaux mais la démarche est générale. Dans est nécessaire de déterminer précisément les variables méca-le modèle de prévision de la rupture fragile. Ainsi, on présente tion de l’essai de ténacité et de l’essai Charpy dans le bas de ragile. On s’intéresse ensuite à l’influence de la déchirure duc-ment du clivage dans le domaine de la transition.

e résilience nacitéprincipes des essais de résilience et de er leur modélisation. On se reportera au e précisions.

résilience

s utilisé industriellement pour caractériser la et principalement des métaux [1]. Son déve-uit à l’établissement de normes (ISO 179 Figure 1 – Géométrie des éprouvettes Charpy entaillées en V

22,5°

27,527,5

22,5°

R 0,25

10

55

10 8

Détail A

Détail A

Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copieest strictement interdite. − © Editions T.I.

1456 pour les aciers, par exemple), résulte pidité de son exécution, mais également de atière nécessaire.

l’essai Charpy

onsiste à mesurer l’énergie absorbée par la d’un barreau rectangulaire de dimensions ntant une entaille de 2 mm de profondeur

éprouvette avec entaille en V), et sollicité en 1).

■ Le dispositif expérimental (figure 2) est constitué d’un brasoscillant sur lequel est fixé le percuteur (ou marteau) qui vientfrapper en son milieu l’éprouvette en butée sur deux appuis distantsde 40 mm.

Au moment du choc, la vitesse du marteau est d’environ 5 m/s(selon la géométrie du pendule). Sous le choc, l’éprouvette sedéforme et se rompt entièrement, ou non, selon la résistance dumatériau ; elle quitte les appuis, entraînée par le marteau quicontinue sa course pendulaire. L’énergie absorbée par l’éprouvettependant le choc, est donnée par l’écart entre la hauteur initiale hidu marteau et la hauteur finale atteinte hf :

KV = mg (hi – hf ) (1)

avec m masse du marteau,

g accélération de la pesanteur.

Cette différence d’énergie potentielle est déterminée, dans laversion la plus simple de l’appareillage, à l’aide d’un cadran per-mettant de mesurer l’angle de rotation du pendule. Les forces de

mesurer la résistance au choc d’un maté-ne entaille dite en U ou en V, selon sa

résilience comme l’énergie absorbée par le choc KV ou KU , rapportée à la surface de taille S :

V = KV /S et KCU = KU /S

_______________________________________

Toute repr

frottement de l’appareillage sont en génénéanmoins les déterminer par un essai à

■ Une autre analyse des résultats repose relatives de rupture ductile et fragile, mesrupture de l’échantillon (figure 3).

Cependant, le « taux de cristallinité »,centage de rupture fragile par rapport à pas, toujours, être relié de manière simpcours du choc. Ces deux types d’analyse ctère principalement qualitatif pour évalueà la rupture fragile sous choc, en fonction et des différents traitements thermo-mécsoumis.

■ Classiquement, on trace la résilience (éde surface) en fonction de la température. Don met en évidence une transition, entre ugile, associé à une faible dissipation d’énrupture ductile caractérisé par une forte én

C’est ce type de comportement qui ser

1.1.2 Développements

Deux développements expérimentauxl’essai Charpy plus quantitatif.

■ Le premier développement consiste àd’une part en équipant le marteau d’un dforce appliquée pendant la durée de l’imassurant la mesure de la déflexion de ll’essai.

À l’aide d’un système d’acquisition rapainsi obtenir un enregistrement précis dcement. L’intérêt de ces enregistrementspar la figure 5 montrant deux courbes comportements et des modes de rupture

Pour le matériau 1, aucun adoucisseendommagement ne se produit avant la ruproduire par clivage.

Figure 2 – Principe et géométrie de l’essai

Éprouvette

Marteau

________________________________________________________________ RELATION RÉSILIENCE – TÉNACITÉ

ral négligeables. On peut vide (sans éprouvette).

sur le calcul des surfaces urées sur les surfaces de

qui représente le pour-la surface totale, ne peut le à l’énergie dissipée au onservent donc un carac-r la sensibilité d’un métal de la température d’essai aniques auxquels il a été

nergie dissipée par unité ans les aciers ferritiques,

n domaine de rupture fra-ergie, et un domaine de

Appuis

Cadrande mesure

55 · 10 · 10 mm Figure 3 – Surface de rupture obtenue dans le bas de la transition ductile-fragile

Figure 4 – Courbe de transition ductile-fragile obtenue sur un acier bainitique de type 16MND5 (d’après [21])

Du bas vers le haut de la photographie : l’entaille mécanique, puis la déchirure ductile délimitée par la ligne blanche, puis la rupture fragilepar clivage.

1 mm

– 200 – 100 0 100 200 300 4000

50

100

150

200

250

KC

V (

J/cm

2 )

Température (°C)

Rompue Non rompue

oduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. − © Editions T.I. M 4 168 − 3

ergie (figure 4).

a décrit dans ce dossier.

permettent de rendre

« instrumenter » l’essai, ispositif pour mesurer la pact et, d’autre part, en ’éprouvette au cours de

ide de données, on peut es courbes force-dépla-

est clairement souligné distinctes traduisant des différents.

ment lié à un éventuel pture brutale qui peut se

Figure 5 – Courbe force-déflexion (déplacement du marteau)de 2 matériaux aux comportements différents mais avec des énergies de rupture proches (d’après [22])

Matériau 1rupture fragile

Matériau 2rupture ductile

Charge

Déplacement


M 4 168 − 4

Le matériau 2 se rdéchirure ductile. Néanénergies de rupture trèsous chacune des courrupture seule est insufpropagation de fissure.

À partir des courbes der à la limite d’écoulela contrainte de rupturecité généralisée de l’ép

■ Le second développéprouvettes Charpy prprofondeur égale à 55 %d’adapter la géométrie rupture.

Néanmoins, la faibledéveloppement d’une pchargement. Dans ces ccomplexe. Par ailleurs, une opération délicate couramment pratiqué.

1.2 Évaluationà l’amorçag

1.2.1 Essai de tén

La mesure de la résid’utiliser des éprouvetgénéral par une sollicit

Il existe trois modes

— le mode I ou « mdans lequel on ouvre l

— le mode II dans lecisaillement plan perpe

— le mode III dans lecisaillement anti-plan c

Dans le cas des strucdu matériau constitutifpointe de fissure, le caractérisé par le facteIII selon le mode de ch

Le facteur d’intensidu problème et des co

Il a été déterminé pet pour les éprouvetrisation de la résistmatériaux.

Par exemple, pour unlicitée en mode d’ouver

avec F force appliqB épaisseur da longueur deW longueur caf fonction dé

NACITÉ ________________________________________________________________________________________________________

ompt par endommagement progressif et moins ces deux matériaux présentent des

s voisines, accessibles par le calcul de l’aire bes. Cet exemple confirme que l’énergie de fisante pour caractériser la résistance à la

force-déplacement, on peut également accé-ment généralisé et calculer analytiquement , si cette dernière intervient avant la plasti-rouvette.

ement expérimental consiste à utiliser des éfissurées. Une préfissuration jusqu’à une

de la hauteur de l’éprouvette permet ainsi de l’éprouvette Charpy à la mécanique de la

taille de l’éprouvette Charpy conduit au lasticité généralisée à un stade précoce de onditions, l’analyse de l’essai est alors plus la préfissuration des éprouvettes Charpy est qui pénalise la simplicité de l’essai Charpy

de la résistance e d’une fissure

acité

stance à la propagation de fissure nécessite tes présentant une pré-fissure obtenue en ation en fatigue.

de sollicitation d’une fissure :

ode d’ouverture », souvent le plus sévère a fissure perpendiculairement à son plan ;quel la fissure est sollicitée par un mode de ndiculaire au front de fissure ;quel la fissure est sollicitée par un mode de ar parallèle au front de fissure.

tures sollicitées dans le domaine d’élasticité , ou lorsque la plasticité reste confinée en chargement de la structure fissurée est

ur d’intensité des contraintes K i où i = I, II, argement de la fissure.

Lorsque la plasticité se développe en pointe de fissure de sorteà ne pouvoir être négligée, on utilise la variable de chargement Jqui tient compte de la non-linéarité de comportement induite parla plasticité. Le chargement critique, qui conduit à l’amorçage de lafissure, permet de définir la ténacité du matériau, par exemple enmode I, KIC ou JIC .

En pratique, en mode I, la courbe force-ouverture qui résulte dela sollicitation d’une éprouvette pré-fissurée permet d’obtenir laténacité du matériau en suivant des procédures qui dépendent del’existence ou non de la déchirure ductile.

Lorsque l’on fait varier la température de l’essai, on trouve uneévolution de la ténacité avec la température tout à fait comparableà celle observée en figure 4 pour la résilience : un palier bas, unpalier haut et une transition au cours de laquelle la ténacité évoluerapidement avec la température mais présente également unedispersion importante.

1.2.2 Relations empiriques ténacité-résilience

Comme rappelé précédemment, l’essai Charpy fournit unecaractérisation essentiellement qualitative de la sensibilité desmatériaux à la rupture brutale. Les résultats de l’essai Charpy nesont donc pas directement utilisables pour une approche quanti-tative de tolérance au dommage telle qu’elle peut être développéedans le cadre de la mécanique de la rupture.

En effet, cette démarche quantitative nécessite la connaissancede la ténacité K IC du matériau, mais l’énergie de rupture KVmesurée par essai Charpy et la ténacité K IC ne peuvent pas êtrereliées de manière simple. Effectivement, plusieurs différencesfondamentales entre ces deux mesures doivent être soulignées :

— la ténacité K IC correspond à la valeur du facteur d’intensitédes contraintes pour laquelle une fissure devient instable. Le fac-teur d’intensité des contraintes est un paramètre global caractéri-sant aussi les champs locaux de déformation et de contrainte à lapointe d’une fissure ;

— l’énergie de rupture KV est un paramètre global non direc-tement lié aux variables locales car cette énergie est la somme del’énergie de déformation plastique et de l’énergie de rupture.L’éprouvette Charpy n’étant pas préfissurée, une partie de l’énergieest consommée pour amorcer la fissuration. Ces diversescontributions ne sont pas séparables expérimentalement.

La différence majeure entre la courbe de transition ductile-fragile en ténacité et en résilience est la gamme de tempéra-tures dans laquelle cette transition apparaît, décalée vers lestempératures plus élevées pour la ténacité.

Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. − © Editions T.I.

Néanmoins, de nombreuses formules empiriques ont été pro-posées pour évaluer la ténacité à partir de l’énergie de rupturedéterminée par essai Charpy. La plupart de celles-ci, rappeléesdans le tableau 1, concernent les valeurs mesurées au niveau dupalier bas correspondant à un mode de rupture fragile et sontdéfinies dans un domaine étroit de propriétés mécaniques.

Deux types d’approches peuvent être distinguées. Les corré-lations les plus simples, comme celles proposées par Barsom etRolfe (1970), Sailors et Corten (1972) et encore Barsom (1975)reposent sur un passage direct entre les deux grandeurs. D’autres,plus élaborées, tiennent compte du décalage des températures detransition ductile/fragile entre les mesures de ténacité et d’énergieCharpy. C’est le cas des formulations proposées par Marandet etSanz (1976), d’une part, et Wallin (1989), d’autre part, égalementrappelées tableau 1.

té des contraintes dépend de la géométrie nditions aux limites.

our un certain nombre de cas élémentaires tes normalisées utilisées pour la caracté-ance à la propagation de fissures des

e éprouvette comportant une fissure plane sol-ture on a :

(2)

uée à l’éprouvette fissurée, e l’éprouvette, la fissure, ractéristique du ligament non fissuré, pendante de la géométrie du problème.

KIF

B W---------------------f a /W( )=

Il faut noter que le degré de conservatisme de ces formulesempiriques dépend très fortement du matériau et qu’il n’existepas de corrélation unique permettant de couvrir l’ensemble dudomaine de transition.

_______________________________________

Toute repr

2. Modélisation nude la rupture :approche locale

Il n’existe pas de corrélation simple entgie KV et K IC . On peut cependant appliqurupture dont la démarche est rappelée ci-

On trouvera dans [2] une introduction rupture, ainsi qu’une présentation apdiscutés ci-après, et dans [3] et [4] quelqmodèles.

2.1 Approche locale

Le dimensionnement des structureclassiquement par l’approche globale de la comparaison entre une grandeur mchargement de la structure fissurée Ki opropagation de fissure du matériau, la tén

■ Néanmoins, cette approche, largementsouffre de quelques défauts incontournab

— le paramètre de chargement Ki n’est ctures simples ; sinon il est nécessaire de lproblème mécanique ce qui nécessite sméthodes numériques, comme celle des

Tableau 1 – Formules empiriquerésilience-ténaci

Référence Formule(pour E = 207 GPa)

Barsom et Rolfe (1970)

K IC = 6,76 (CVN)3/4

Sailors et Corten (1972)

K IC = 14,6 (CVN)1/2

Barsom (1975) K Id = 11,5 (CVN)1/2

Marandet et Sanz (1976)

TK IC = 9 + 1,37 · TK28

K IC = 19 (CVN)1/2

Décalage en températu

(TK IC = TK28 )

Wallin (1989) K IC = 20 + (11 + 77· exp(0,019(T – TK28 +

))· (25/B)1/4 · (ln (1/1 – PF

/4

avec B épaisseur de l’éprouvette (mmCVN énergie de rupture Charpy,E module de Young,K IC ténacité statique (MPa · m1/2),K Id ténacité dynamique (MPa · m1

P F probabilité de rupture,T température (oC),TK IC température (oC) correspondanTK28 température (oC) correspondaσy limite d’élasticité (MPa) à temp


(0)

mérique

re les grandeurs en éner- er l’approche locale de la

— la valeur critique du chargement, la ténacité, est souventcoûteuse à mesurer ;

— la valeur critique peut dépendre de la géométrie del’éprouvette ;

— les chargements thermo-mécaniques complexes sont difficilesà prendre en compte dans cette approche.

Pour ces raisons, la transférabilité des résultats obtenus suréprouvettes de laboratoire vers des structures industriellescomplexes n’est pas assurée.

■ Une approche alternative est « l’approche locale de la rupture »développée depuis plusieurs dizaines d’années. Elle permet de pré-voir l’évolution de l’endommagement et de la rupture des structures,quelle que soit leur géométrie, que la structure soit déjà fissurée ounon.

Elle est basée sur les trois étapes suivantes :— identification des mécanismes physiques d’endommagement

et des variables physiques associées ;— établissement des relations entre les variables mécaniques

locales et les variables d’endommagement ;— calcul des variables mécaniques en tout point de la structure

pour obtenir le niveau d’endommagement local via les relationsétablies à la seconde étape.

La première étape nécessite, au minimum, de réaliser des obser-vations de surfaces de rupture analogues à celles que l’on pourraitobtenir sur les composants en service. La dernière étape est, engénéral, réalisée grâce à la méthode des éléments finis. Ladeuxième étape est a priori la plus délicate. Cependant, des modè-les déjà éprouvés existent dans la littérature pour les mécanismesd’endommagement les plus fréquents.

■ On s’intéresse à la modélisation de l’essai Charpy et donc àl’endommagement et à la rupture, sous chargement monotone, sui-vant les deux modes : rupture fragile et rupture ductile.

On en rappelle ici les modèles et les aspects numériques asso-ciés à ces deux modes.

2.2 Modèle de rupture fragile

s de corrélation té

Domaine de validité

CVN

(J) (MPa)

4-82 270-1 700

7-68 410-480

2,7-61 250-345

5-(110) 274-820

re

18)

))1

),

/2),

t à K IC = 100 MPa · m1/2,nt à CVN = 28 J,érature ambiante.

�y

La rupture fragile se produit généralement par clivage pourles matériaux cristallins.

Elle est assez bien prédite par le modèle de Weibull appliquéau cas du clivage des métaux [5].

Ce modèle, décrit dans le dossier [24], repose sur l’hypothèsedu maillon le plus faible : la présence d’un seul point faibleentraîne la rupture de la structure.


après.

à l’approche locale de la profondie des modèles ues applications de ces

s fissurées est réalisé la rupture [24] basée sur écanique, qui définit le u J, et la résistance à la acité.

utilisée dans l’industrie, les :onnu que pour des struc-e calculer en résolvant le ouvent le recours à des « éléments finis » ;

■ Le modèle est écrit en supposant que la distribution spatiale despoints faibles suit une loi de Poisson.

On fait de plus l’hypothèse que la résistance des points faiblesest à comparer à la contrainte principale maximale et que la distri-bution volumique des résistances est une loi puissance. Les pointsfaibles sont assimilés à des micro-fissures qui, dans le cas du cli-vage des métaux, proviennent des mécanismes de plasticité àfroid, par exemple : rupture des particules de seconde phase(modèle de Smith), empilement des dislocations sur les joints degrain (modèle de Stroh), intersection de systèmes de glissement(modèle de Cottrell).

■ Dans le cas d’un modèle à deux paramètres, on calcule la proba-bilité cumulée de rupture par clivage d’une structure au temps t par :

(3)

La probabilité de rupture de la structure soumise à un char-gement dépendant du temps est alors la probabilité de trouver,au moins, un point faible.

Pr t( ) 1 exp�–σw t( )

σu------------------

m�–=


M 4 168 − 6

avec cont

Vpl volufaiblplast

m, V0 para

Les paramètres du m(et pour chaque mécanexemple : clivage amopar des mécanismes d

La fonction « max » sibilité de la rupture.

■ La probabilité de rupchamps mécaniques régcalculés par la méthodtement ces résultats en

L’intégrale spatiale une double somme sd’intégration igau sur le

avec contrainau point

Vigau volume

■ La contrainte principdont la valeur varie de q(de 5 à 30 environ), il pela contrainte principald’élasticité du matériacontrainte principale m

Les points d’intégratceux où la plastificatios’y soient développés s

En pratique, on les dtype :

avec tenseur tau

composan

εc paramètplastificati

où les variables sont es

La déformation εc depeut montrer que, en dne change pas. L’ESIpropose εc = 10–6 pour

■ Si on calcule les champar des considérationvolume sur lequel est c

avec Ksym coefficie

σw t( )

σ 1τ

σum

�Vpl

σ 1τ( )md

σ 1τ

ε eqp τ( ) =

εεεε˜˙p

ε ijp

Pr t( ) =

NACITÉ ________________________________________________________________________________________________________

(4)

rainte principale maximale au temps τ,

me dans lequel on peut trouver les points es, c’est-à-dire, pour les métaux, le volume ifié à basse température,

mètres du modèle.

odèle sont à identifier pour chaque matériau isme de clivage, s’il en existe plusieurs, par rcé par la rupture de particules fragiles, ou e plasticité du type « Cottrell-Stroh »).

intervient pour rendre compte de l’irréver-

ture d’une structure est obtenue à partir des nant dans la structure. Ceux-ci sont souvent

e des éléments finis. On utilise alors direc- réalisant un post-traitement.

apparaissant dans l’expression (4) devient ur les éléments finis iel et sur les points squels la limite d’élasticité est dépassée :

(5)

te principale maximale calculée au temps τ, d’intégration igau de l’élément iel ,

associé à ce point d’intégration.

ale maximale étant élevée à la puissance m, uelques unités à quelques dizaines d’unités

ut être intéressant de normaliser la valeur de e maximale en la divisant par la limite u (classiquement en pointe de fissure, la aximale vaut 2 à 3 fois la limite d’élasticité).

ion sur lesquels l’intégrale est évaluée sont n est suffisante pour que des points faibles elon les mécanismes cités plus haut.

étermine au temps τ par une condition du

(6)

■ Les calculs de structure en plasticité sont souvent réalisés à l’aided’éléments à interpolation linéaire, ou quadratique mais, dans cecas, on utilise des éléments à intégration réduite.

En plasticité, le comportement incompressible conduit à desoscillations numériques de la contrainte moyenne qui peuvent êtreimportantes et que l’on retrouve dans la valeur de la contrainteprincipale maximale.

Il est alors intéressant d’utiliser des éléments dans lesquelsl’intégration des parties sphérique et déviatorique du tenseur descontraintes tient compte de cette difficulté, ou bien, si on utilise leséléments à interpolation quadratique, intégration réduite, d’intro-duire une moyenne sur les points d’intégration par élément.

On remplace alors l’équation (3) par :

�Vpl

max σ 1τ( )m dV

V0----------m

=0�τ�t

V σ 1τ igau( )( )m ∆V igau( )

igau

∑iel

∑=

�τ

εεεε p : εpdt �τ

εεεε ijp ε ij

p dt εc�=

Figure 6 – Profil de la contrainte principale maximale (normée par la limite d’élasticité ) en pointe de fissure – influence de la taille de maille

On donne par exemple Ksym = 2 pour une demi-structure modé-lisée, Ksym = 4 pour un quart de structure modélisée et, pour unedemi-structure modélisée en deux dimensions (déformations oucontraintes planes), Ksym = 2B, B épaisseur de la structure (si celle-cin’est pas prise en compte dans la modélisation par éléments finis).

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,50

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4σ1/σy

Distance à la pointe de fissure (mm)

50 µm

200 µm

500 µm

�y

τ mσ 1

τ igau( ) ∆V igau( )( )i∑

m


x de déformation plastique,

tes de ce tenseur dans un repère,

re définissant le n i veau min imal de on.

timées au point d’intégration igau considéré.

vient un paramètre supplémentaire et l’on essous d’une valeur de εc = 10–4, le résultat S (European Structural Integrity Society) plus de sécurité [6].

ps mécaniques sur une structure tronquée s de symétrie, on modifie simplement le alculé la probabilité de rupture et :

(7)

nt de symétrie.

(8)

(9)

■ En pointe de fissure, les gradients mécaniques sont élevés. Ladiscrétisation spatiale joue donc un rôle important sur l’évaluationde la contrainte principale maximale et, donc, sur la probabilité derupture.

Le résultat dépend alors de la taille de maille en pointe de fissure(figure 6). En élasto-plasticité le résultat numérique converge àpartir d’une certaine taille de maille, voisine de 50 µm pour lesapplications classiques.

La valeur de la contrainte de Weibull donnée par l’expression (4)est également sensible à la taille de maille et au type d’élémentutilisé (figures 7 et 8).

■ En plasticité, les déformations sont importantes en pointe defissure et l’hypothèse, petites ou grandes déformations, modifie les

0 ˜ 0

1 exp�– Ksymσw t( )

σu------------------

m�–

�Vpl

σ 1( ) dV gau

∆V iel( )-------------------------------------------------------------

∆V iel( )

iel

∑=

∆V iel( ) ∆V igau( )igau

∑=

_______________________________________

Toute repr

résultats [7] (figure 8). Les calculs en élasbles à la taille de maille sauf pour m < 4 (l’isi l’émoussement de la fissure (calcul en traréactualisant la géométrie) est pris en comp

2.3 Modèle de rupture duc

Dans les alliages, la présence d’inclusiest souvent à l’origine de l’endommagcomportement entre la matrice et ces incture de ces dernières ou à la rupturela matrice. Les fissures ainsi créées s’ouvgement et donnent lieu à des cavités quvite que l’état des contraintes est triaxial.

Figure 7 – Contrainte de Weibull (m = 22) edu chargement

Figure 8 – Contrainte de Weibull (m = 22) edu chargement – influence des hypothèses

0 0,1 0,2 0,20,05 0,15500

1 000

1 500

2 000

2 500

3 000

Co

nra

inte

de

Wei

bu

ll (M

Pa)

Paramètre de

50 µm

200 µm

500 µm

(KI / (Eσy), KI facteur d’intensité de contrainet σy limite d’élasticité) dans le cas d’uneinfluence de la taille de maille

2

0 0,4 00,2 0,61 000

1 500

2 000

2 500

3 000

3 500

Co

nra

inte

de

Wei

bu

ll (M

Pa)

Paramètre de

QuadratiqueQuadratique

LinLinéaireaire

LinLinéaire HPPaire HPP

Quadratique

Linéaire

Linéaire HPP

(KI / (Eσy), KI facteur d’intensité de contrainet σy limite d’élasticité) dans le cas d’uneinfluence des hypothèses numériques : élémou quadratiques – Grandes déformations ouperturbations (HPP)

2


Lorsque les cavités ont atteint une taille telle qu’elles interagis-sent, elles se rejoignent : c’est la « coalescence » et la formationd’une macro-fissure.

■ L’endommagement ductile est donc composé de 3 phases : l’amorçage ou germination des cavités, leur croissance et leurcoalescence.

Lorsque le niveau d’endommagement avant rupture reste faible,on peut utiliser une approche dite « découplée » dans le sens oùles contraintes et les déformations sont considérées commeindépendantes du niveau d’endommagement. Le modèle de Riceet Tracey, qui fait partie de ces approches, est présenté dans ledossier [24].

Lorsque le niveau d’endommagement est tel que l’on ne peutplus négliger son couplage avec le comportement mécanique, ondoit mettre en œuvre des lois de comportement adaptées.

L’endommagement ductile faisant intervenir la présence decavités, le matériau devient compressible, même en plasticité. Lasurface de charge doit alors dépendre de la trace du tenseur descontraintes.

Les modèles de Rousselier (1986) ou de Gurson (1977) per-mettent d’introduire ces aspects. Ce dernier modèle a été modifiépar Tvergaard et Needleman [13] afin de prédire des déformationsà rupture des métaux conformes à la réalité.

On trouvera des précisions dans le dossier [25]. On ne rappelleici que le modèle de Gurson-Tvergaard-Needleman pour lequel lasurface de charge s’écrit :

(10)

avec f * fraction volumique effective de porosité,

σeq contrainte équivalente de von Mises,

trace du tenseur des contraintes,

σ 0 limite d’écoulement du matériau sans cavité,

σy limite d’élasticité (MPa) à température ambiante.

■ La fraction volumique effective de porosité est introduite pourrendre compte de l’accélération de la croissance de porositéobservée à partir d’une fraction critique f c lorsque les porositésinteragissent.

Elle est définie comme suit :

(11)

(12)

n fonction de l’intensité

5 0,3 0,35 0,4 chargement (mm)

tes, E module de Young éprouvette fissurée –

,8 1 1,2 chargement (mm)

tes, E module de Young éprouvette fissurée –ents linéaires hypothèse des petites

f σ( )σeq

σ0-----------

22q1f * cosh q2

Tr σ( )2σ0

----------------- 1– q 1

2f *2–+=

Tr σσσσ( )

f * f= f fc�

f * fc δ f fc–( )+= f fc�


ticité sont toujours sensi-ntégrale (5) converge), ou nsformations finies ou en te.

tile

ons (carbures, oxydes...) ement : la différence de lusions conduit à la rup- de leur interface avec rent sous l’effet du char-i croissent d’autant plus

(13)

q 1 et q 2 sont deux paramètres à identifier en fonction dumatériau. Ils dépendent de l’écrouissage de la matrice.

Le matériau perd toute capacité à transmettre des efforts pourf * = 1/q 1 . On peut poser dans un premier temps q 1 = 1,5 et q2 = 1,mais ces paramètres peuvent également être ajustés [2].

Les fractions volumiques critiques (ou à coalescence) et àrupture sont respectivement notées fc et f f . Ces deux paramètressont également à identifier en fonction du matériau, ainsi quel’écrouissage du matériau sans cavité (pour obtenir σ0).

■ L’évolution de la fraction volumique de cavités f provient de lacroissance des cavités existantes, mais aussi de la germination denouvelles cavités.

La loi d’évolution de la fraction volumique de cavités est doncdonnée par :

(14)

n fonction de l’intensité numériques

δ1/q1 fc–

ff fc–------------------------=

f˙ 1 f–( )Tr �εεεε˜˙p � fgermination+=


M 4 168 − 8

Le résultat ne convelier car l’endommagemculée dont la valeur au

Les approches non blème au prix d’un maparticuliers. Dans le caon identifie une taille dl’on maintiendra consta

3. Modélisdes essa

La détermination dstructure nécessite de cd’endommagement.

Les problèmes mécanalytiquement, on utilméthode des éléments

On présente ici une mténacité sur éprouvetteet la modélisation deaspects liés à la dynam

3.1 Aspects géLes calculs présenté

par éléments finis réali— avec des lois de

viscoplastiques [27] ;— en transformation— en statique ou qua

d’inertie) ;— en dynamique t

équations du mouveme— par un contact m

sans limite supérieureentre 0 et 0,2 ;

— avec des calculs ifement dû à la dissipat

— dans ce dernier catempérature et le calcul’élévation de températ

avec α proportion formée en c

tenseur des

tenseur des

tenseur taux

σij tenseur des

ρ masse volum

C chaleur spéc

L’utilisation de ce mcate à cause du complevées au paragraphdépend de la discrétisniques sont importantion de l’endommagel’endommagement se

∆Tα--=

σσσσ˜ε˜˙p

ε ijp

NACITÉ ________________________________________________________________________________________________________

rge pas vers un résultat unique, en particu-ent dépend de la déformation plastique cal-gmente lorsque la taille de maille diminue.

locales permettent de contourner ce pro-illage fin et de développements numériques s où l’on ne dispose pas de cette extension, e maille associée à un type d’élément que nte pour toutes les simulations.

ation numérique is

u niveau d’endommagement local d’une onnaître les variables mécaniques de la loi

aniques étant, en général, non solubles ise une méthode numérique, par exemple la finis.

odélisation par éléments finis de l’essai de CT (« Compact Tension »), assez classique, l’essai de résilience en développant les ique de l’essai, mais aussi aux contacts.

nérauxs sont, sauf mention contraire, des calculs sés :comportement élasto-plastiques ou élasto-

s finies ;si-statique (sans prise en compte des effets

ransitoire avec résolution implicite des nt ;

odélisé avec une loi de Coulomb classique

Les calculs des essais Charpy proviennent en grande partie destravaux [8] [9] [20] et [21].

3.2 Essai CT

On souhaite modéliser un essai de ténacité. La géométrie del’éprouvette compacte de traction (CT) [24] est choisie à titred’exemple.

■ Étant données les symétries, on ne modélise que la moitié del’éprouvette (figure 9). Dans l’expérience, une goupille permetd’imposer le chargement à l’éprouvette. Modéliser le contactgoupille-éprouvette est numériquement coûteux. En pratique, lagoupille est représentée par un secteur angulaire de comportementélastique linéaire ; le déplacement (ou la charge) est appliqué aucentre de la goupille, c’est-à-dire sur la pointe du secteur angulaire(figure 9).

La prise en compte de la géométrie réelle de la fissure de fatiguenécessiterait de réaliser un maillage très fin, en pointe de défaut ;

odèle dans un code de calcul reste déli-ortement adoucissant. Les difficultés sou-e précédent restent valables : le résultat ation spatiale lorsque les gradients méca-ts, c’est-à-dire lorsque l’on calcule l’évolu-ment en avant d’une fissure, ou lorsque localise dans une bande de matière.

Figure 9 – Géométrie et conditions aux limites pour la modélisation bi-dimensionnelle de l’éprouvette CT

On notera que ce type de conditions aux limites pose desproblèmes avec des éléments linéaires à intégration réduite,couramment utilisés dans ces modélisations dynamiques, carces éléments présentent alors un mode de déformation dit « ensablier ».

1

2

Le point 1 est bloqué dans la direction horizontale et on applique une force ou un déplacement dans la direction verticale, le point 2 permet de mesurer l’ouverture de la fissure : COD (crack opening displacement) ; la zone bleu représente la goupille et on assigne à cette zone un comporte-ment élastique linéaire.


, avec un coefficient de frottement variant

sothermes ou prenant en compte l’échauf-ion plastique ;s, le comportement plastique dépend de la l est réalisé sous l’hypothèse adiabatique ; ure est calculée par :

(15)

d’énergie de déformation plastique trans-haleur,

contraintes,

déformations plastiques,

de déformation plastique,

contraintes,

ique,

ifique.

le rayon de courbure d’une telle fissure étant de quelques micro-mètres. La plasticité, pour les chargements auxquels on s’inté-resse, est telle qu’une modélisation aussi fine n’est pas nécessaire.

La fissure est représentée par une simple condition de surfacelibre. Pour prendre en compte, dans le calcul des contraintes,l’émoussement de la fissure induit par la plasticité, on décrit lechangement de géométrie (hypothèse des transformations finiesou réactualisation de la géométrie). La finesse de la discrétisationspatiale est à ajuster pour l’application des modèles locauxd’endommagement (voir § 2).

Le choix d’une modélisation tridimensionnelle ou bidimen-sionnelle se pose.

■ Dans le cas d’une simulation tridimensionnelle, le quart del’éprouvette suffit. Ce choix modifie très nettement les résultats, à lafois sur le comportement global (figure 10), mais aussi sur la prédic-tion de la rupture (figure 11), dans le cas d’éprouvette CT25 (25 mmd’épaisseur) ; le calcul tri-dimensionnel se situe entre l’hypothèsedes contraintes planes, valables sur les surfaces latérales de l’éprou-vette, et l’hypothèse de déformations planes, correcte dans la sec-tion centrale de l’éprouvette.

�0

t

σ : ε˜˙pdt

ρC-------------------------------

α�0

t

σij ε ijp dt

ρC-------------------------------------=

_______________________________________

Toute repr

3.3 Essai Charpy

La simulation numérique de l’essai Chaspécifiques liés aux aspects dynamiques

Par rapport à la modélisation de l’essaiéprouvette CT, les effets d’inertie doiveégalement nécessaire d’identifier la loi devitesses de déformation très élevées, voviscosité du matériau doit être introduite vitesse de déformation.

Par ailleurs, d’éventuels effets thermiqplastique, sont susceptibles d’apparaîtrecontact entre l’éprouvette et le marteau, d’autre part, ne peut être négligé, surtouconduisant à une résilience élevée pour lel’éprouvette, au niveau de ces contacts, est

3.3.1 Modèle numérique

En utilisant les conditions de symétrmailler une demi-éprouvette en 2D et un

Figure 10 – Courbes globales simulées : fode l’ouverture de fissure (« Crack Opening – influence de l’hypothèse liée à la troisièm

Figure 11 – Probabilité de rupture en fonctde chargement monotone croissant avec leexemple : ouverture de fissure (« Crack Op– influence des hypothèses mécaniques

On note que l’hypothèse des petites conservative (figure 11).

Ces tendances, obtenues sans déchiruplus marquées lorsque la déchirure duct

Ch

arg

e

Déformations planesformations planes

ContraintesContraintes

SimSimtridimtridim

Déformations planes

Contraintes

Simtridim

Pro

bab

ilité

de

rup

ture

Déforfor

SimulatioSimulatiotridimenstridimenscas dcas d’uneunesans entasans enta

hypothypothèsedes petitesdes petites

peperturbationturbations Défor

hypothèsedes petites

perturbations

Simulatiotridimenscas d’unesans enta


La figure 12 montre l’exemple d’un maillage 3D qui comporte10 couches dans l’épaisseur. Pour bien décrire les gradients decontraintes et de déformations dans l’épaisseur, tout en limitant lenombre de degrés de liberté, une taille de maille décroissante versla surface externe peut être appliquée.

Les techniques de maillage mixte 2D/3D (au voisinage del’entaille) présentent peu d’intérêt car elles nécessitent de définirune zone 3D très étendue pour bien décrire la plasticité généraliséeintervenant très tôt dans l’histoire du chargement. Un maillage finest nécessaire dans les zones de contact et des surfaces rigidespeuvent être utilisées pour modéliser le marteau et les appuis. Lechargement de l’éprouvette est classiquement effectué enimposant une vitesse définie au marteau.

Cependant, pour une analyse dynamique plus précise de l’essai,la vitesse doit être imposée au marteau rigide par l’intermédiaired’un ressort destiné à simuler la complaisance de la machine. Eneffet, ainsi que nous le montrerons dans le paragraphe suivant, lapériode des oscillations de l’éprouvette dépend fortement de lacomplaisance de la machine d’essai et, notamment, de celle dumarteau.

3.3.2 Aspects dynamiques de l’essai Charpy

■ Réponse globale de l’éprouvette à la sollicitation dynamique

La prise en compte des effets d’inertie est indispensable pouraborder la modélisation de la courbe globale force-déplacement aucours de l’essai qui, comme le montre la figure 13, comporte de

rce en fonction Displacement ») e direction

ion d’un paramètre temps ; ening Displacement »)

perturbations (HPP) est

re ductile, sont encore ile intervient.

COD

planes planes

ulationulationensionnelleensionnelle

planes

ulationensionnelle

Temps COD

mations planesmations planes

nnionnelle,ionnelle, éprouveprouvetteille latille latéralerale

mations planes

nionnelle, éprouvetteille latérale

Figure 12 – Maillage 3D du quart de l’éprouvette Charpy (les surfaces analytiques de contact ne sont pas représentées)

1

3 22

22,5 mm


rpy pose des problèmes de l’essai.

de ténacité classique sur nt être examinés. Il est comportement pour des isines de 104 · s–1 et la dans toute la gamme de

ues, liés à la dissipation en fond d’entaille. Le

d’une part, et les appuis, t pour les températures squelles l’indentation de

le plus souvent observée.

ie, on peut se limiter à quart en 3D.

fortes oscillations en début de chargement.

Cette figure présente deux courbes expérimentales obtenues surun acier testé à – 60 oC, en comparaison avec le résultat d’un calculnumérique 3D effectué en condition quasi-statique. Les deuxexpériences conduisent à des courbes pratiquement identiques, àl’exception du déplacement à rupture, conformément à la grandedispersion de résilience mesurée dans la transition ductile-fragiledes aciers et qui est associée au déclenchement aléatoire de larupture par clivage.

Les oscillations apparaissant sur les courbes expérimentalesmontrent bien l’importance des effets d’inertie. La courbe, obtenuepar modélisation quasi-statique 3D, suit assez bien la valeurmoyenne des courbes expérimentales.

● Afin de modéliser les vibrations de l’éprouvette il est nécessairede mettre en place un calcul dynamique. La figure 14 présente lesconditions aux limites appliquées.

Un calcul dynamique 3D étant très lourd et sans apport essentielpour l’analyse dynamique de l’essai, on peut se limiter à un calcul2D mais, comme le montrent les figures 15a et 15b, il est néces-saire de tenir compte de la complaisance de la machine.


M 4 168 − 10

En effet, si l’on consila période des oscillacement calculée (figufaible par rapport à cel

En revanche, si le dd’un ressort dont la machine (essentiellemedes courbes expérimaméliorée (figure 15b )

Cette identification pdéplacements à ruptucompare aux résultats

● Le tableau 2, obtegistrées sur quatre macoscillations peut varierest donc indispensablemachine le plus précisé

On peut accéder à d’essais à faible énergcédure décrite dans [10

Néanmoins, les valraissent toujours surévanalyse modale, en intsentées dans la figure 1manière à reproduire complaisance ainsi obtableau.

Figure 13 – Courbes expde l’essai Charpy d’un arésultat d’un calcul qua

Figure 14 – Conditions dynamiques (avec ou samachine)

0 0,20

5

10

15

20

25

Ch

arg

e (k

N)

R(compla

du mo

NACITÉ ________________________________________________________________________________________________________

dère que la machine est parfaitement rigide, tions, obtenue sur la courbe force-dépla-re 15a ), est pratiquement deux fois trop le de la courbe expérimentale.

éplacement est imposé par l’intermédiaire raideur est représentative de celle de la nt la raideur du marteau), la coïncidence

entale et numérique est très nettement

érimentales force-déplacement relevées lors cier testé à – 60 oC. Comparaison avec le si-statique 3D

aux limites imposées pour les calculs ns prise en compte de la complaisance de la

0,4 0,6 0,8 1,2 1,41 1,6Déplacement (mm)

Test Tesest

Simulation tridimentionnelleSimulation tridimentionnelle

Test

Simulation tridimensionnelle

Vitesse imposéeessortisancentage)

Figure 15 – Influence de la prise en compte de la complaisancede la machine dans la prévision de la courbe globale d’un essai Charpy instrumenté à T = – 90 oC (d’après [20])

Tableau 2 – Complaisance de différentes machines

Machine Période apparente d’oscillations

Complaisance (expérience)

Complaisance (analyse modale)

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,2 1,41 1,60

5

10

15

20

25

Ch

arg

e (k

N)

Déplacement (mm)

TesestTest

Simulation tbidimentionnelle Simulation tbidimentionnelle Cm = 0 = 0Simulation bidimensionnelle Cm = 0

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,2 1,41 1,60

5

10

15

20

25

Ch

arg

e (k

N)

Déplacement (mm)

TesestTest

Simulation tbidimentionnelle Simulation tbidimentionnelle CmSimulation bidimensionnelle Cm

complaisance non nulleb

complaisance nullea


.

ourra permettre de corriger les valeurs de re mesurés expérimentalement, si on les d’une simulation avec « machine rigide ».

nu à partir de l’analyse des courbes enre-hines différentes, montre que la période des notablement suivant la machine utilisée. Il de connaître la complaisance de chaque ment possible. (0)

cette valeur, expérimentalement, à l’aide ie (« low blow test »), en suivant la pro-].

eurs déduites de ces expériences appa-aluées par rapport aux résultats obtenus par roduisant les conditions aux limites repré-4. La rigidité du ressort est alors ajustée de la courbe expérimentale. Les valeurs de tenues sont également reportées dans ce

● L’analyse vibratoire de l’éprouvette montre que les conditionsaux limites les plus proches des conditions réelles de l’essai corres-pondent à celles représentées sur la figure 16a et conduisent aumode propre de la figure 16b.

On remarque que ces conditions aux limites ne font pas apparaîtred’interaction avec les appuis et que la prise en compte de la raideurde la liaison, entre le marteau et l’éprouvette, est nécessaire.

Le calcul montre que c’est le mode 3, représenté sur lafigure 16b, qui est dominant, du fait que les modes 1 et 2 sontinhibés par la présence des appuis. Seul le mode 3, qui conduit àune très faible interaction avec les appuis, apparaît ainsi.

(µs) (10–8 m · N–1) (10–8 m · N–1)

A 39 0,47 0,18

B 47 0,63 0,36

C 39 – 0,18

D 55 1,16 0,72

_______________________________________

Toute repr

C’est en ajustant la complaisance du remode que l’on obtient la meilleure valeumachine.

Une analyse plus précise de l’interactionappuis au cours de l’essai montre que, dade contact entre l’éprouvette et les appuavec l’analyse modale et les observatéchantillons de grande taille [11].

● Les calculs numériques 2D, conduits ede déterminer la partition de l’énergie eélastique et l’énergie plastique dissipée da

La figure 17 présente l’évolution de cesau cours de la simulation d’un essai scourbes font apparaître, qu’après deucinétique peut être négligée par rapport à

■ Évolution des grandeurs locales au dynamique

L’évolution de la vitesse de déformatipremier élément de l’entaille est reportéconfirme l’existence de vitesses de défoniveau de l’entaille de l’éprouvette Charpyavec les vitesses de déformation apparaid’une éprouvette CT, lors d’un essai de té

Par ailleurs, l’analyse dynamique révèlede cette vitesse de déformation, particuliè

● L’évaluation de la vitesse de déformatl’entaille dépend de la finesse du maillaggradient et varie entre 2 000 et 5 000 s–1.

Figure 16 – Conditions aux limites (a) et mpar l’analyse modale (b), mode 3

Il faut également mentionner que,dynamique de l’essai Charpy, la compexpérience doit être effectuée sur des mcertains constructeurs introduisent des fides données expérimentales afin, juscourbes.

Il est, dans ce cas, indispensable dedonnées brutes acquises par le système

Cette figure 17 montre donc que le« 3τ » [12], imposant que la rupture n3 oscillations pour pouvoir analyser l’eapparaît trop sévère pour les essais réatransition.

modes de vibration donnés par lb

conditions aux limia


ssort sur la valeur de ce r de complaisance de la

entre l’éprouvette et les ns certains cas, une perte is se produit, en accord

ions effectuées sur des

n dynamique, permettent ntre l’énergie cinétique, ns l’éprouvette.

différentes composantes ur acier à – 90 oC. Ces x oscillations, l’énergie l’énergie totale.

odes de vibration donnés

concernant l’analyse araison entre calcul et esures non filtrées, car ltres dans le traitement tement, de lisser les

pouvoir accéder aux .

’analyse modale

tes

Figure 17 – Partition de l’énergie lors d’un essai Charpy à – 90 oC sur un acier (calcul dynamique transitoire 2D)

Figure 18 – Évolution de la vitesse de déformation en fond d’entaille pour un acier à – 90 oC

0 0,2 0,4 0,6 0,8 10

4

8

12

16

Én

erg

ie (

J)

Déplacement (mm)

Énerge totalenerge totaleÉnergei plastiquenergei plastiqueÉnerge nerge élastiquelastiqueÉnerge cinnerge cinétiquetique

Énergie totaleÉnergie plastiqueÉnergie élastiqueÉnergie cinétique

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,2 1,4 1,6 1,81 20

1 000

2 000

3 000

4 000

5 000

6 000

Vit

esse

de

déf

orm

atio

n (

s–1 )

Déflexion (mm)

2D maillage fin2D maillage findynamiquedynamique

2D maillage fin2D maillage finquais-statiquequais-statique

3D maillage grossier3D maillage grossierquais-statiquequais-statique

2D maillage findynamique

2D maillage finquasi-statique

3D maillage grossierquasi-statique


cours de la sollicitation

on longitudinale dans le e figure 18. Cette figure rmation très élevées au , surtout en comparaison ssant en fond de fissure nacité.

de grandes fluctuations rement en début d’essai.ion plastique en avant de e ; elle présente un fort

Même si les résultats obtenus sont dépendants de la taille desmailles en fond d’entaille, ces fluctuations de vitesse de déformationpeuvent néanmoins être considérées comme négligeables vis-à-visdes phénomènes de durcissement éventuellement associés.

La vitesse de déformation plus faible, relevée dans le calculquasi-statique 3D, résulte de la taille de maille plus grossièreadoptée pour ce calcul.

● Comme l’approche locale de la rupture par clivage est baséesur un critère de contrainte normale maximale, il est importantd’examiner les fluctuations de la contrainte normale en fondd’entaille, lors de l’essai Charpy.

L’étude des différentes conditions expérimentales (matériauélastique ou elasto-viscoplastique, machine molle ou rigide) montreque les oscillations calculées sur cette grandeur sont faibles.

La figure 19 présente, pour un matériau élasto-viscoplastique etune machine rigide, l’évolution de la contrainte normale maximaleen 2 points différents de l’éprouvette : dans le premier élément, enfond d’entaille, puis à 0,2 mm du fond d’entaille, pour tenir comptedu fait que la contrainte normale maximale est décalée vers l’inté-rieur de l’entaille du fait de la plastification.

critère classique des ’intervienne pas avant ssai en quasi-statique, lisés dans le bas de la


M 4 168 − 12

Cette figure montre qdébut de l’essai et quetrès amortie du fait de 10 % de la valeur moye

● Cependant, une machine « molle » (mapparaître des fluctuapurement élastique, lconstante mais décroîtmentation de la contradevient inférieure à 10 à 40 µs.

Cette faible fluctuativoisinage de l’entailledynamiques pour mettfragile.

Ce résultat importancalculs quasi-statiques l’essai Charpy, uniquemde la viscosité du maté

● Un autre paramètrrelation avec la vitestempérature.

En effet, compte tecalculées en fond d’enplastique, un échauffempouvant conduire à un

Des conditions quasipour les essais à grancomportement a été limà 5 %. Ainsi, l’adoucissebatique local, n’est pasIl peut cependant être éen considérant que 90 convertie en chaleur (α

La figure 20 montredans le ligament et la dla contrainte normale déflexion de 1 mm.

Figure 19 – Évolution dsection à fond d’entaillestatique)

0 10 20

0,75

1,5

2,25

3

σ1/σy

StaSta

StaSta

DyDy

DyDy

Sta

Sta

Dy

Dy

NACITÉ ________________________________________________________________________________________________________

ue la contrainte commence à saturer dès le la fluctuation de la contrainte normale est la plastification. Celle-ci ne dépasse jamais nne.

simulation effectuée en considérant une odélisée avec un élément « ressort ») fait tions plus importantes. Pour un matériau ’amplitude absolue des oscillations reste très vite en valeur relative, du fait de l’aug-inte. La fluctuation relative de la contrainte % dès que la durée de l’essai est supérieure

on de la contrainte normale maximale, au , permet ainsi de s’affranchir de calculs re en œuvre l’approche locale de la rupture

t justifie de limiter la modélisation à des rendant compte des effets de vitesse liés à ent en les introduisant par l’intermédiaire

Une élévation de température de 200 oC, en accord avec desmesures expérimentales [14] est relevée en fond d’entaille,entraînant une forte diminution de contrainte au voisinageimmédiat de l’entaille.

Si l’on compare avec un calcul isotherme, le maximum decontrainte dans le ligament n’est que très peu modifié, mais il estdécalé vers l’intérieur de l’éprouvette.

● On peut également envisager de prendre en compte lecaractère adiabatique de la déformation en considérant une loi decomportement incluant directement cet effet, à partir de donnéesétablies en conditions adiabatiques.

Tvergaard et Needleman [13] ont signalé que l’endommagementductile conduisait à un adoucissement beaucoup plus prononcéque celui résultant de l’échauffement adiabatique. On peut doncconsidérer que, dans le domaine de clivage pur, la prise en comptede l’échauffement adiabatique est utile et illustrative, mais nonindispensable.

En revanche, sa prise en compte sur le déclenchement de ladéchirure ductile peut améliorer la qualité de la modélisationcomme on le verra paragraphe 4.2.

● On peut donc conclure de l’analyse dynamique qu’une modé-

e la contrainte normale principale dans la (normalisée par , la limite d’élasticité en

0 30 40 60 7050 80Temps (µs)

tique (entaille)tique (entaille)

tique (0,2 mm de ltique (0,2 mm de l’entaille)entaille)

namique (entaille)namique (entaille)

namique (0,2 mm de lnamique (0,2 mm de l’entaille)entaille)

tique (entaille)

tique (0,2 mm de l’entaille)

namique (entaille)

namique (0,2 mm de l’entaille)

�y

Figure 20 – Influence de l’échauffement adiabatique

0 0,2 0,4 0,8 1,4 1,81,60,6 1,21 20

50

100

150

200

250

Distance à l’entaille (mm)

ContrainteContrainte(isotherme)(isotherme)

ContrainteContrainte(adiabatique)(adiabatique)

Élévation de tempvation de température (K)rature (K)

Contrainte(adiabatique)

Contrainte(isotherme)

Élévation de température (K)

Calcul 2D (déformations planes) de l’augmentation de températureet de l’évolution de la contrainte principale maximale dans le ligament.Comparaison entre calculs isotherme et adiabatique (T = – 90 °C,déflexion de 1 mm)


riau.

e local mérite, cependant, d’être étudié en se de sollicitation en fond d’entaille : la

nu des vitesses de déformation élevées taille (figure 18) et de la forte déformation ent adiabatique local ne peut pas être exclu, adoucissement du matériau.

-isothermes ont été recherchées, notamment de vitesse pour lesquels l’identification du itée aux déformations plastiques inférieures ment du matériau, lié à l’échauffement adia- pris en compte dans les calculs classiques. valué à l’aide d’une analyse adiabatique et,

% de l’énergie de déformation plastique est = 0,9 dans l’équation (15)).

l’augmentation de température calculée ifférence qu’elle entraîne sur l’évolution de maximale lorsque l’échantillon a subi une

lisation numérique quasi-statique de l’essai Charpy, avec une loi decomportement élasto-viscoplastique, suffit à décrire convena-blement les champs locaux et leur évolution en fonction du temps,pour les températures correspondant au bas de la transition, avantque la déchirure ductile n’intervienne.

Pour les déflexions plus importantes, une modélisation de ladéchirure ductile (voir § 4.2) sera rendue nécessaire pour calculerles contraintes et les déformations dans l’éprouvette.

En revanche, pour les très basses températures, où le compor-tement est élastique fragile, la rupture apparaît très précocement,dans un domaine où la fluctuation des grandeurs locales estencore importante et, dans ce cas, un calcul dynamique complet,prenant en compte les effets d’inertie, reste nécessaire.

3.3.3 Analyse quasi-statique de l’essai Charpy

Les conclusions de l’analyse dynamique permettent d’aborderune modélisation fine de l’essai car des calculs quasi-statiques 2Dou 3D (avec influence du temps dans la loi de comportement, maispas d’effet d’inertie), beaucoup moins coûteux en temps de calcul,peuvent être conduits sur des maillages suffisamment fins.

_______________________________________

Toute repr

Nous aborderons successivement les dmodélisations, en précisant les champdéformation obtenus dans les différementales, ainsi que les problèmes liés à entre l’éprouvette Charpy et les appuis.

■ Loi de comportement

La plupart des codes d’éléments finis dard pour des matériaux à comportemenNéanmoins, l’identification des paramètrlarge gamme de vitesse et de températuredonnées expérimentales très large.

Comme il a été montré précédemment, leen fond d’entaille d’une éprouvette Charpy Il est donc nécessaire d’avoir recours à grande vitesse, par exemple sur barres d’H

Si l’on envisage un découplage entre mécaniques, une identification d’un jeu dtempérature sera suffisante. On podossiers [26] et [27] pour plus de détailcomportement et leur identification.

La figure 21 confirme l’importance de viscosité pour simuler la courbe force-défl

■ Influence de la vitesse de sollicitation

La figure 22 présente l’influence de ladistribution des contraintes longitudincorrespondant au plan de symétrie de l’épcalcul 3D.

Deux déflexions (0,5 et 2 mm) et (0,25 mm/mn et 5 m/s) ont été étudiées, daà – 90 oC.

Cette figure 22 montre que les contraélevées dans le cas de l’essai à grandel’effet de viscosité du matériau. L’augmconduit à un décalage du pic de contrainet à une augmentation de son intensité.

Il faut cependant noter que la déchirure la déflexion est supérieure à 0,5 mm, cecette comparaison.

En sollicitation dynamique, la contrainélevée qu’en sollicitation quasi-statique, dLa déchirure ductile qui s’amorce, podéflexion dans les deux cas, avance rapidement dans le cas des sollicitations du marteau [14] et [21].

Figure 21 – Courbe force-déflexion simuléeélasto-viscoplastique ou une loi élasto-plasle comportement du matériau à 0,01 s–1

Élasto-

Élasto-plast

Force

Déplacem


ifférents aspects de ces s de contrainte et de

ntes conditions expéri-la description du contact

proposent des lois stan-t élasto-viscoplastiques.

es de ces lois, dans une s, nécessite une base de

s vitesses de déformation sont supérieures à 103 s–1. des essais mécaniques à

opkinson.

les effets thermiques et e paramètre pour chaque urra se reporter aux

s concernant les lois de

la prise en compte de la exion d’un essai Charpy.

vitesse de l’essai sur la

avec une loi tique caractérisant

viscoplastique

ique (0,01 s–1)

ent du marteau

Figure 22 – Distribution de la contrainte longitudinale (normalisée par , la limite d’élasticité en statique) pour différentes vitesses d’impact et deux déflexions (calcul 3D quasi-statique, acier à – 90 oC)

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,4 1,81,2 1,61 2

1,5

3

2,25

3,75

Distance au fond d’entaille (mm)

σ1/σy

5 m/s ; d5 m/s ; déplacemnt 0,5 mmplacemnt 0,5 mm

5 m/s ; d5 m/s ; déplacemnt 2 mmplacemnt 2 mm

0,25 mm/min ; d0,25 mm/min ; déplacemnt 0,5 mmplacemnt 0,5 mm

0,25 mm/min ; d0,25 mm/min ; déplacemnt 2 mmplacemnt 2 mm

5 m/s ; déplacement 0,5 mm

5 m/s ; déplacement 2 mm

0,25 mm/min ; déplacement 0,5 mm

0,25 mm/min ; déplacement 2 mm

�y

2D/d2D/déformation planesformation planes

3D/plan central3D/plan central

3D/1,5 mm du plan central3D/1,5 mm du plan central

3D/4 mm du3D/4 mm duplan centralplan central

3D/surface3D/surface

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,4 1,81,2 1,61 20,94

2,82

1,88

3,74

σ1/σy

2D/déformations planes

3D/plan central

3D/1,5 mm du plan central

3D/4 mm duplan central

3D/surface


ales dans le ligament rouvette Charpy, pour un

deux vitesses extrêmes ns le cas d’un acier testé

intes obtenues sont plus vitesse, en accord avec entation de la déflexion te en amont de l’entaille

ductile intervient dès que qui limite la portée de

te d’écoulement est plus ue à l’effet de viscosité.

ur le même niveau de par conséquent moins à haute vitesse d’impact

■ Comparaison entre calculs 2D et 3D

La figure 23 démontre que le profil de la contrainte longi-tudinale, calculée en fond d’entaille, avec une hypothèse de défor-mations planes, est très voisin de celui obtenu au centre del’éprouvette par un calcul complet 3D.

En revanche, ainsi qu’il était prévisible, un calcul 2D avec l’hypo-thèse des déformations planes ne permet pas de décrire les profilsproches des surfaces latérales de l’éprouvette. L’écart entre lesrésultats obtenus, en 3D ou 2D déformations planes, reste limité,tant que les déflexions sont faibles, c’est-à-dire essentiellementavant la déchirure ductile.

Figure 23 – Comparaison des résultats de simulation en 2D (DP)et 3D sur la contrainte principale (normalisée par , la limite d’élasticité en statique) le long du ligament (cas d’un acier à – 90 oC),à 0,5 mm de déflexion

Distance au fond d’entaille (mm)

�y


M 4 168 − 14

Cependant un calcuamorçage de déchirurlisation tri-dimensionncontrainte de Weibull.

3.3.4 ContactLa modélisation du c

n’est pas possible de cola déflexion importanteniveau des contacts ap

Par contre, on peut met le marteau, comme dne modifie pas les résu

Un coefficient de frode la fissure ductile, écourbe globale et l’uniquement après amAinsi la valeur du colorsque les niveaux d’é

4. Prévisioà partir

Lorsque l’on disposCharpy, on peut envisatification de modèles loensuite les utiliser afin d

On aborde ici essductile-fragile et la tran

Figure 24 – Influence dde la courbe globale et ductile à partir de 2 mm

On rappelle qu’il edistincts, pour les mfragile, lesquels dépe

— le palier bas, pavec des mécanisme

— le palier haut dassociée à une plasti

— un domaine de précède la rupture fra

0 10

10

20

30

40

50

Forc

e (k

N)

Weib

Forc

NACITÉ ________________________________________________________________________________________________________

l 2D en déformations planes conduit à un e ductile précoce par rapport à la modé-elle et donc à une surestimation de la

ontact est également un point important. Il nsidérer des appuis ponctuels, étant donné

de l’éprouvette et les matages observés au rès essai.

ontrer que le fait de considérer les appuis es surface rigides ou élastiques déformables, ltats.

ttement plus important retarde l’amorçage lève le niveau des contraintes, modifie la

évaluation de la contrainte de Weibull, orçage de la déchirure ductile (figure 24). efficient de frottement devient importante nergie augmentent.

4.1 Palier bas

Dans le palier bas de la transition, on n’observe pas de déchirureductile préalable à la rupture par clivage. Modéliser la résiliencerevient donc essentiellement à prévoir le déclenchement de larupture fragile.

Nous avons vu dans le chapitre 2 qu’un modèle probabiliste étaitbien adapté à ce phénomène et que le plus utilisé est le modèle deWeibull qui comporte 2 paramètres dans sa version la plus simple :

m et V0 .

Les résultats d’essais de résilience vont servir à identifier cesparamètres. Leur utilisation pour la modélisation de l’essai deténacité permettra ensuite de déterminer la distribution de ténacitédu matériau dans le palier bas.

4.1.1 Identification des paramètres du modèle de rupture fragile

Le volume élémentaire V0 est le volume qui comporte, enmoyenne, un point faible de résistance inférieure ou égale à σ u . Ces deux paramètres sont dépendants et le choix arbitraire de lavaleur de l’un de ces paramètres impose la valeur de l’autre.

■ En pratique, le paramètre V0 est imposé de sorte à ne pas êtreinférieur à la taille de la microstructure critique pour la rupture. Onle choisit égal à quelques grains pour la rupture par clivage desaciers. Il correspond au paramètre de longueur interne évoqué dansles approches locales ou non locales. La taille de maille est choisieen fonction de ce paramètre, mais ce n’est pas obligatoire.

Différentes stratégies sont possibles pour identifier les paramè-tres m et σ u , le module de Weibull m étant le plus délicat à iden-tifier.

Toutes ces méthodes donnent une estimation, plus ou moinsbiaisée, des paramètres de Weibull [16]. Il s’agit de trouver lesextremas d’une fonctionnelle dans l’espace des paramètres β :

(16)

u coefficient de frottement sur le calcul la contrainte de Weibull (m = 22, déchirure de déflexion)

2 3 54 60

700

1 400

2 100

2 800

3 500

Co

ntr

ain

te d

e W

eib

ull

(MPa

)

Déplacement (mm)

ull

e

f = 0,2

f = 0,2

f = 0

f = 0

On retiendra en particulier la méthode du « maximum devraisemblance » (MLM pour « maximum likelihood method »[15]) et la méthode des « moindres carrés généralisés » (MCG) ou linéaires (identification de ln(ln(1/(1 – Pr))).

σ um

∂�∂β

---------- 0=

n


n de la ténacité de la résiliencee d’une modélisation correcte de l’essai ger d’utiliser cette modélisation pour l’iden-caux d’endommagement du matériau, pour e prévoir les résultats d’un essai de ténacité.

entiel lement le bas de la transit ion sition.

avec (17)

ou

(18)

avec n e nombre de résultats expérimentaux par type de test e,

évaluation de la probabilité de rupture expérimentale,

S paramètre de chargement, par exemple, le temps,

S i paramètre de chargement à rupture de la ième éprou-vette.

■ La première méthode est préconisée par l’ESIS (1997) pour laprévision de la rupture par clivage des aciers, car elle donne l’inter-valle de confiance le plus étroit sur l’estimation des paramètres,comparée à la méthode des moindres carrés linéaires. La procédurepréconisée propose alors de déterminer des paramètres« débiaisés ».

xiste trois domaines de température bien atériaux présentant une transition ductile- ndent des conditions de sollicitation :our lequel l’énergie dépensée est faible s de rupture de type clivage ;ans lequel on mesure une forte énergie cité étendue ;transition pour lequel la déchirure ductile gile.

� � Si, Pr S, β( )( )∂Pr S, β( )

∂S----------------------------

Sii=1∏

tests e∏ pour MLM= =

� � Si, Pri , Pr S, β( )( ) 1

ne--------

Pr Si( ) Pri

–

δPri

-------------------------------- 2

i=1

ne

∑tests e∑ pour MCG= =

Pri

_______________________________________

Toute repr

■ La seconde méthode a l’avantage d’êtrechange de loi de probabilité dès lors qunumérique de minimisation. Elle permet identifications sur une base expérimentalessais.

Cependant, elle pose le problème du probabilité de rupture expérimentale Pr (S

Il existe dans la littérature un cestimateurs [16], tous équivalents pourrésultats n e ; les deux estimateurs les plu

avec i nombre d’éprouvettes rompues

■ Le premier de ces estimateurs, la mobservée, est proposé en [17]. Le deuxièmla fréquence excluant le premier test et test.

Le choix de l’estimateur dépend de ll’identification. On peut montrer que l’esintervalles de confiance plus étroits sur l’Weibull davantage en utilisant la méthodgénéralisés », que celle des moindres car

C’est l’inverse qui se produit lorsquebabilité de rupture expérimentale est exp

Au final, si on compare les meilleures enote que la MCG avec (19) est préférable(figure 25a ). On note aussi que le MCGdans le sens de la sécurité par rapport à l’méthode du « maximum de vraisemblanc

Cependant, la vitesse de convergence diminue également. 30 est le nombre ointervalle de confiance étroit à faible coût

■ En pratique, on va donc réaliser une séLes résultats vont ensuite être classés par de rupture, ou toute autre variable, à la cmonotone croissante avec le temps : la dl’énergie absorbée Kv , si les conditions ede sollicitation sont identiques pour toute

L’estimation de la probabilité de rupréalisée avec l’un des deux estimateurs p

Un simple post-traitement du calcul parde résilience permet de déterminer, poument, la probabilité de rupture cumuléepourra donc identifier les paramètres duσ u , à partir de la méthode du « maximummaximisant le produit des densités de prolées aux points expérimentaux) ou par la carrés généralisés » (en minimisant l’écartture simulée et expérimentale).

En pratique, les résultats d’identificatides (MCG et MLM), à partir de comportant plus de 20 essais, sont sens

En effet, c’est la taille de la baconditionne la confiance dans l’estimatio

La figure 25 montre que l’intervalle denue lorsque le nombre de tests augmen

Pr Si( ) ine 1+------------------=

Pr Si( ) i 0,5–ne

-----------------=


plus souple lorsque l’on e l’on dispose d’un outil de faire simplement des e constituée de plusieurs

choix de l’estimateur de i ).

ertain nombre de ces un grand nombre de s fréquents sont :

(19)

(20)

pour un temps .

oyenne de la fréquence e est la moyenne entre

celle excluant le dernier

a méthode utilisée pour timateur (19) donne des

estimation du module de e des « moindres carrés

rés linéaires.

l’estimateur de la pro-rimé par (20).

stimations entre elles, on à la régression avec (20)

avec (19) va également estimation donnée par la e » (figure 25b ).

on par les deux métho-bases expérimentales iblement identiques.se expérimentale qui n des paramètres. confiance sur m dimi-

te.

t ti�

Figure 25 – Valeur médiane et intervalle à 90 % de confiance sur le

5 10 15 20 25 30 350

0,5

1

1,5

2

2,5

m (

x%)/

m

Nombre de tests

5 10 15 20 25 30 350

0,5

1

1,5

2

2,5

m (

x%)/

mth

Nombre de tests

MLM MCG pr = i /(1 + n)

MCL pr = (i – 0,5/n) MCG pr = i /(n + 1)

comparaison de la méthode du « maximum de vraisemblance » (MLM)telle qu’elle est proposée dans l’ESIS et de la méthode des« moindres carrés généralisés » (MCG) avec l’estimateur (19)

b

comparaison de la méthode des « moindres carrés généralisés » (MCG)avec l’estimateur (19) et des « moindres carrés linéaires » (MCL)avec l’estimateur (20)

a


vers la valeur théorique ptimal de tests pour un .

rie d’essais de résilience. ordre croissant de temps ondition que celle-ci soit éflexion à la rupture ou

n température et vitesse la série d’essais.

ture expérimentale sera résentés ci-avant.

éléments finis de l’essai r tout niveau de charge- par l’expression (3). On modèle de Weibull m et

de vraisemblance » (en babilité de rupture calcu-méthode des « moindres entre probabilité de rup-

4.1.2 Prévision de la ténacité

Les paramètres du modèle de rupture fragile étant déterminés etne dépendant, a priori, que du matériau et des mécanismes de rup-ture, ils peuvent servir à prédire la rupture par clivage d’éprouvet-tes de tout type, en particulier d’éprouvette CT servant à mesurerla ténacité.

Comme pour l’essai de résilience un post-traitement d’un calculpar éléments finis, présentant des résultats à différents niveaux dechargement, suffit à calculer la distribution de rupture.

En utilisant la relation entre les niveaux de chargement et laténacité, on obtient la distribution de ténacité du matériau. Cettedémarche répétée pour différentes températures permet de tracerl’intervalle de confiance sur la ténacité en fonction de la tempéra-ture (figure 26).

« module de Weibull » rapporté au module théorique, en fonction du nombre de tests


M 4 168 − 16

4.2 Transition

L’augmentation de l’sition ductile-fragile se ductile qui précède lecomme le montre la fidéformation plastique gne [18].

En effet, la figure 17associée à l’énergie dchement de la ruptureductile, détermine la rpas, a priori, envisagecorrectement l’avancée

Figure 28 – Distributiondéchirure ductile

1 – β

β

Pr

Entaille

A

B

a

NACITÉ ________________________________________________________________________________________________________

Figure 26 – Principe de détermination de l’intervalle de confiance de la ténacité en fonction de la température

Figure 27 – Relation entre la surface de déchirure ductile et la résilience

Kic

T1 T2 T3

Kic

Kic (β)

Kic (1 – β)

Température

0 20 40 80 12060 100 1400

2

4

6

8

10

12

Su

rfac

e d

e d

éch

iru

red

uct

ile A

(m

m2 )

KCV (J · cm–2)

b

– 90

2 300

σ1 (MPa)


énergie de rupture qui caractérise la tran-corrèle très bien à l’avancée de la déchirure déclenchement de la rupture par clivage, gure 27. Cette corrélation provient de la

qui précède la déchirure et qui l’accompa-

indique que l’énergie totale est rapidement e déformation plastique. C’est le déclen- par clivage qui, en limitant la déchirure

ésilience (ou la ténacité). On ne peut donc r de prévoir la résilience sans modéliser de la déchirure ductile.

S’il s’agit d’une simple simulation, on peut modéliser cetteavancée par la méthode de relâchement de nœuds, selon la ciné-tique mesurée expérimentalement sur les surfaces de rupture deséprouvettes (figure 27). Cette tâche peut être rendue malaisée dansle cas où l’on souhaite rendre compte de la forme du front de fis-sure, en général courbée (voir figure 3).

Par ailleurs, si l’on souhaite disposer d’un outil prédictif, il faututiliser un modèle prédictif d’endommagement ductile, par exem-ple le modèle présenté § 2.3. Il existe plusieurs procédures pourl’identification des paramètres de ce modèle, qui reste cependantdélicate ; on trouvera des recommandations dans [2].

L’avancée de la déchirure ductile ainsi modélisée peut êtrecalculée pour tout niveau de chargement. Elle modifie les champsmécaniques, comme la contrainte principale maximale qui est la

de la contrainte principale maximale dans l’éprouvette Charpy à différents niveaux de chargement et en présence de

_______________________________________

Toute repr

variable mécanique pour la prédiction(figure 29). Avec l’avancée de fissure, la vcontrainte augmente et se déplace vers l(figure 29a ). Cela implique que le volumélevé de contrainte et cumulé dans le tem

Ceci n’est pas sans conséquence surbabilité de rupture par clivage qui dépendet du volume sollicité.

L’hypothèse sur les échanges de chaleudéchirure (figure 29a ) et les niveaux de vette à fond d’entaille, comme il a été é3.3.2). Cependant, elle ne modifie pas beacontrainte de Weibull et, donc, celle de (figure 29b ).

Lorsque l’on dispose de cette modélisapeut s’en servir pour identifier les paramètselon la procédure proposée § 4.1, pour ténacité du matériau à l’aide d’une modélicité prenant également en compte l’endo

Figure 29 – Influence des hypothèses sur ldans le cas d’une éprouvette KCV testée à –

0 1 2 30

500

1 000

1 500

2 000

2 500

3 000

Co

ntr

ain

te p

rin

cip

ale

max

imal

e (M

Pa)

Distance au

0 1 2 30

1 000

2 000

3 000

4 000

5 000

6 000

7 000

σ w (

MPa

)

Distance au

Isotherme A

contrainte de Weibull en fonctionde l’éprouvette (m = 9,5)

b

contrainte principale maximale lepour différentes avancées de fissu

a


5. Bilan et voies d’améliorationLa prévision de la distribution de ténacité à partir de la résilience

par des approches non empiriques est donc possible. Elle nécessitela modélisation numérique des essais et, en particulier, celle del’essai Charpy qui présente quelques difficultés.

Réaliser le calcul en conditions adiabatiques (avec un compor-tement dépendant de la température) permettra d’améliorer lamodélisation. Avec ces hypothèses, on obtient une modélisation« satisfaisante » de cet essai, à savoir une évaluation correcte de lacontrainte principale maximale qui sert à calculer la probabilité derupture par clivage, tout en minimisant l’effort numérique (lescalculs dynamiques ne sont pas nécessaires).

La prise en compte de la complaisance de la machine pourra sefaire par une correction sur les valeurs de déplacements à rupture.

Pour les cas des faibles temps à rupture, le calcul dynamique entransitoire est nécessaire.

En revanche, pour des temps à rupture élevés, on pourra s’inter-roger sur les conditions thermiques liées à la dissipation de l’éner-gie de déformation plastique.

La procédure appliquée ensuite suit celle de l’approche locale dela rupture. On doit noter que celle-ci nécessite souvent une baseexpérimentale conséquente pour l’identification des paramètresdes modèles.

Par ailleurs, l’utilisation de ces paramètres, identifiés sur un typed’essai et utilisés pour simuler un autre type d’essai (ou la ruptured’une structure industrielle), suppose implicitement que lesmécanismes d’endommagement soient les mêmes.

On doit impérativement vérifier, au moins par des analysesfractographiques, que cette hypothèse est justifiée. Ce point est,sans doute, particulièrement critique pour la rupture par clivage :des résultats montrent que ces mécanismes peuvent évoluer avec

es échanges de chaleur 30 oC

4 5 fond d’entaille (mm)

4 5 fond d’entaille (mm)

diabatique

de la déflexion

long du ligamentre

On retiendra que la modélisation de l’essai Charpy dans latransition ductile-fragile nécessite au moins les conditionssuivantes :

— un calcul élasto-viscoplastique (sans prise en compte deseffets d’inertie) ;

— la modélisation des contacts ;— la prise en compte de la déchirure ductile précédant le

clivage ;— un calcul tri-dimensionnel.


de la rupture fragile aleur maximale de cette

’intérieur de l’éprouvette e sollicité, à un niveau

ps, augmente.

l’évaluation de la pro- du niveau de contrainte

r modifie la cinétique de contraintes dans l’éprou-

voqué précédemment (§ ucoup l’évaluation de la

la probabilité de rupture

tion de l’essai Charpy, on res du modèle de clivage, prédire la distribution de sation d’un essai de téna-mmagement ductile.

la température [18] et [21]. On ne peut alors utiliser les paramètresdu modèle de Weibull, identifiés sur le palier bas, pour prévoir lesdistributions de ténacité dans la transition.

Au final, on peut avoir un jeu de paramètres par température [19].

D’autres résultats montrent, qu’à température fixée, les étatsmécaniques qui diffèrent d’une éprouvette à l’autre peuventfavoriser d’autres mécanismes [21] et [23]. Dans ce cas, les résul-tats ne sont pas non plus transférables d’une éprouvette à l’autre.

Ces difficultés proviennent de l’identification phénoménologiquede paramètres censés représenter une certaine physique. Unemeilleure compréhension de ces phénomènes physiques permettrade développer des approches plus prédictives.

En attendant, la modélisation numérique, associée à l’approchelocale, constitue un cadre intéressant pour la prévision de la ténacitéà partir de la résilience. Il permet, par exemple, d’envisager l’uti-lisation d’autres éprouvettes pour déterminer les distributions deténacité des matériaux, comme les mini-éprouvettes Charpy.

Mais, on restera vigilant sur la validité des hypothèses issues dela démarche, en particulier celles concernant la physique supposéedans les modélisations mises en œuvre.


M 4 168 − 18

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