Présenté par: Elias Richa

Marwan El Hachem

Arbre B et B+

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PLAN• Arbre B

– Définition– Structure – Propriétés– Recherche– Insertion– Suppression

• Arbre B+– Définition– Structure – Propriétés– Recherche– Insertion– Suppression

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Arbre B

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Définition

• Un arbre B (ou B-Tree) est un arbre binaire de recherche équilibré

• Chaque chemin de la racine à une feuille est de la même longueur h (hauteur)

• Stocke les données sous une forme triée• Permet une exécution des opérations

d'insertion et de suppression

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Structure de nœud d'un arbre B

• K clés avec k1 < k2 < ... < kk

• (k+1) pointeurs

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Propriétés

• La racine, si elle n’est pas une feuille, doit avoir au minimum deux fils

• Chaque nœud contient k clés avec– 1 ≤ k ≤ 2m (nœud racine)– m ≤ k ≤ 2m (nœud non racine)

• Toutes les clés d’un nœud sont triées (i.e. k1< k2 < · · · < kk pour k clés)

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Exemple d’arbre B d’ordre m = 2

• Chaque nœud, sauf la racine, contient k clés (2 ≤ k ≤ 4)

• La racine contient k clés (1 ≤ k ≤ 4)

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Recherche dans arbre B

• A partir de la racine, pour chaque nœud on examine :– La clé est présente succès– K < k1 recherche dans P0

– K > k recherche dans Pk

– ki < K < ki+1 recherche dans Pi

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Recherche de 15

10

• Nombre de clé dans un Arbre B d’ordre m, et de hauteur h– Nb clés min = 2*(m+1) h - 1– Nb clés max = (2*m+1) h+1 - 1

o Par exemple si m = 100, h = 2– Nb clés min = 20401 et – Nb clés max =8 120 600

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Insertion dans un arbre B d’ordre m

• Recherche de la feuille d’insertion• Si la feuille n’est pas pleine insérer la clé a sa

place• Sinon (la feuille est pleine)

– Laisser les m plus petites clés dans le nœud– Allouer un nouveau nœud et y placer les m plus

grandes clés– Remonter la clé médiane dans le nœud père – Application récursive de ce principe jusqu’à la racine

Principe :

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Insertion d’un élément dans un arbre B• Exemple 1 : Insertion de la clé 75 dans l’arbre B d’ordre 2

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• Éclatement du nœud en 2• Les 2 plus petites clés restent dans le nœud

(68 et 69)• Les 2 plus grandes clés sont insérées dans un

nouveau nœud (75 et 76)• Remontée de la clé médiane (71) dans le

nœud père

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Insertion d’un élément dans un arbre B• Exemple 2 : Insertion de la clé 9 dans l’arbre B d’ordre 2

15

• Éclatement du nœud par l'arrivée de la clé 9• Remontée de la clé 8 au nœud père• Éclatement du nœud par l'arrivée de la clé 8• Création d'une nouvelle racine avec la clé 11• Augmentation d'une unité de la hauteur

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Principe

• Cas 1 : suppression dans un nœud feuille

– Le nombre de clé est m tasser les clés dans le nœud – Le nombre de clé devient < m combiner avec un

nœud adjacent ce qui entraine la descente d’une clé du nœud père avec éventuellement une réorganisation locale

– La réduction du nœud père avec moins de m clés entraine la combinaison de ce nœud père avec un nœud voisin du même niveau remontée éventuelle jusqu’à la racine

Suppression d’un élément dans un arbre B

17

Principe

• Cas 2 : suppression dans un nœud non feuille– Rechercher une clé adjacente à la clé à

supprimer – Soit la plus petite du sous arbre droit– Soit la plus grande du sous arbre gauche– Remplir la clé à supprimer par la clé adjacente

trouvée– Supprimer la clé adjacente (Équivalent à la

suppression dans une feuille)

Suppression d’un élément dans un arbre B

18

Suppression d’un élément dans un arbre B

• Exemple 1 : suppression de la clé 25 de la table B d’ordre 2

19

• Suppression dans une feuille le nombre d’élément devient <2

• Combinaison avec un nœud voisin• Descente de la clé(15) • Suppression du nœud (20,25)

20

Suppression d’un élément dans un arbre B

• Exemple 2 : suppression de la clé 4 de la table B d’ordre 2

21

• Suppression dans une feuille le nombre d’élément devient <2

• Combinaison avec un nœud voisin• Descente de la clé(3) • Suppression du nœud (4,7)

22

• La hauteur de l'arbre est passée de 2 à 1

• le nombre d’élément devient <2 (8)• Combinaison avec un nœud voisin(16,21)• Descente de la clé(11)

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Suppression dans un nœud non feuille

• Exemple 1 : suppression de la clé 5 de la table B d’ordre 2

• Recherche d’une clé adjacente de la clé on prend la plus grande clé du sous arbre gauche de la clé(4)

• Remplacement de la clé par la clé adjacente trouvée• Suppression de la clé trouvée dans un nœud feuille

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Suppression dans un nœud non feuille

• Exemple 2 : Suppression de la clé 5

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Suppression dans un nœud non feuille

• Exemple 3 : Suppression de la clé 4

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L’arbre devient

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Arbre B+

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Définition

• Un arbre B + est un arbre B ou les feuilles contiennent toutes les clés

• C’est un arbre équilibré où chaque chemin de la racine à une feuille est de même longueur H (hauteur)

• Chaque nœud (bloc) contient n pointeurs et n-1 valeurs (clés), où n est l’ordre de l’arbre

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Structure de nœud d'un arbre B+

Valeurs < C1 Valeurs >=C1 et < C2

• n-1 clés avec C1 < C2 < ... < Cn-1

• n pointeurs

P1 C1 P2 C2 … P n-1 C n-1 Pn

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Propriétés

• Racine a au moins 2 fils (sauf si elle est feuille)• Chaque nœud sauf la racine a entre [n/2 ] et

[n] pointeurs (ex. pour n=4, on a entre 2 et 4 pointeurs)

• Chaque feuille contient entre [n-1/2 ] et [n-1] clés (ex. pour n=4, on a entre 2 et 3 clés)

31

Exemple d’un arbre B+ pour n=4

32

Recherche dans arbre B+

33

Recherche de 43

10

Bloc 0

20

25 40 45

Bloc 2

25

Bloc 3

30 40

Bloc 1

43 44 60

Bloc 4

7050

Bloc 5

53

60

Bloc 6

50

Bloc 7

45 48

Bloc 8

34

Insertion dans arbre B+

• Insertion simple• Débordement et division du bloc

• Division de la racine • Division de feuille• Division de feuille et racine

35

Insertion simple

20 ... 30 ...

B loc 0

40 ... 60 ...

B loc 1

40

Bloc 2

40

Bloc 2

20

Bloc 0

25 30 40

Bloc 1

60

• Insertion de 25

36

Débordement et division (Racine)• Insertion de 30• Débordement et la division du bloc 0• 40 est promue• Nouvelle racine

20 ... 40 ... 60 ...

B loc 0

20 ... 30 ...

B loc 0

40 ... 60 ...

B loc 1

40

Bloc 2

37

Débordement et division (Feuille)• Insertion de 10• Débordement et la division du bloc 0 (Nouvelle feuille)• 25 est promue

40

Bloc 2

20

Bloc 0

25 30 40

Bloc 1

60

10

Bloc 0

20

25 40

Bloc 2

25

Bloc 3

30 40

Bloc 1

60

38

Débordement et division (Feuille, Racine)• Insertion de 45• Débordement et division du bloc 1 (Nouvelle feuille)• 50 est promue• Division de la racine

10

Bloc 0

20

25 40 60

Bloc 2

25

Bloc 3

30 40

Bloc 1

50 53 60

Bloc 4

70

10Bloc 0

20

25 40Bloc 2

25Bloc 3

30 40Bloc 1

45 60Bloc 4

7050Bloc 5

53

60Bloc 6

50Bloc 7

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Suppression dans arbre B+• Uniquement dans une feuilleTypes:• Suppression simple• Suppression et redistribution au niveau nœud

racine • Suppression par violation du minimum• Cas de fusion de feuilles et de redistribution

au niveau nœud racine

40

Suppression simple

10

Bloc 0

20

25 40

Bloc 2

25

Bloc 3

30 40

Bloc 1

60 70

10

Bloc 0

20

25 40

Bloc 2

25

Bloc 3

30 40

Bloc 1

60

• Suppression de 70

41

Suppression et redistribution au niveau nœud racine

• Suppression de 50

10

Bloc 0

20

25 40 45

Bloc 2

25

Bloc 3

30 40

Bloc 1

43 44 60

Bloc 4

7050

Bloc 5

53 55

60

Bloc 6

50

Bloc 7

45 48

Bloc 8

10

Bloc 0

20

25 40 45

Bloc 2

25

Bloc 3

30 40

Bloc 1

43 44 60

Bloc 4

7053

Bloc 5

55

60

Bloc 6

53

Bloc 7

45 48

Bloc 8

42

Violation du minimum : redistribution si possible

40Bloc 2

20Bloc 0

25 30 40Bloc 1

60

30Bloc 2

20Bloc 0

25 30Bloc 1

60

• Suppression de 40

43

Cas de fusion de feuilles et de redistribution au niveau du parent

10

Bloc 0

20

25 40

Bloc 2

25

Bloc 3

30 40

Bloc 1

45 60

Bloc 4

7050

Bloc 5

53

60

Bloc 6

50

Bloc 7

Violation de larègle du minimum

10

Bloc 0

20

25 40

Bloc 2

25

Bloc 3

30 40

Bloc 1

45 50

Bloc 5

60 70

60

Bloc 6

50

Bloc 7

Violation de larègle du minimum

Redistribution

Fusion des deux frères

• Suppression de 53

44

Cas de fusion de feuilles et de redistribution au niveau du parent (suite)

10Bloc 0

20

25 40Bloc 2

25Bloc 3

30 40Bloc 1

45 50Bloc 5

60 70

60Bloc 6

50Bloc 7

Violation de la règle du minimum

Redistribution

10Bloc 0

20

25Bloc 2

25Bloc 3

30 40Bloc 1

45 50Bloc 5

60 70

50Bloc 6

40Bloc 7

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Références• [1] Dr.Mounir GRARI. LA STRUCTURE D'ARBRE-B. Institut

National des Sciences Appliquées– Rouen. 40 diapos. Accédé le 10/12/2013.

• [2] Sofian MAABOUT. Arbre-B+. Laboratoire Bordelais de Recherche en Informatique. 21 diapos. Accédé le 10/12/2013.

www.labri.fr/perso/maabout/L3M/index.ppt

• [3] Pr. Eamonn Keogh. Chapter 9 of DBMS – B-Tree. 37 diapos. Accédé le 9/12/2013.

www.cs.ucr.edu/~eamonn/teaching/cs166materials

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