Janson de Sailly PC*1 / PC*2 / PC Devoir surveillé de physique n°8

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PC*1 / PC*2 / PC DEVOIR SURVEILLE DE PHYSIQUE N°8 11 mars 2017

ASPECTS DE LA TELEPHONIE MOBILE Partie 1 : les dangers de la téléphonie Les risques liés au développement de la téléphonie mobile font l’objet de débats de plus en plus fréquents. L’influence de ces rayonnements sur le corps humain et la santé n’est pas encore bien connue, et l’on évoque par défaut un principe de précaution consistant à éviter d’une manière générale une exposition prolongée.

La puissance moyenne d’un téléphone dépend de son mode de fonctionnement. En France, les trois systèmes actuels sont : le GSM 900 (fréquence porteuse entre 872 et 960 MHz), le GSM 1800 (fréquence porteuse de 710 à 1 875 MHz) et le système UMTS (3G), qui utilise une bande de fréquence située autour de 2100 MHz. Les téléphones de type GSM émettent des signaux par impulsions, avec une puissance moyenne égale à un huitième de sa puissance maximale affichée, alors que ceux de type UMTS émettent de façon continue. La puissance maximale d’émission est de 2W pour les GSM 900, de 1 W pour les GSM 1800, et de 125 mW pour les UMTS. Pour communiquer, un téléphone portable reçoit et émet des signaux avec une station portant une antenne relais. Ces macro-antennes assurent l'essentiel de la couverture réseau. Elles sont situées en hauteur, sur les toits des immeubles, les pylônes, etc, et leurs puissances théoriques d'émission sont de l’ordre de 100 W.

Des normes européennes limitent, selon leur fréquence, la valeur maximale du champ électrique autorisé dans les lieux de vie : il est de 41 V.m-1 à 900 MHz, de 58 V.m-1 à 1800 MHz et de 61 V.m-1 à 2100 MHz. Cependant, ces normes sont basées sur des valeurs d’exposition temporaires d’une durée inférieure à 6 min, durée permettant à l’organisme de se rétablir ( !!) alors qu’en pratique l’exposition est plus prolongée. Certains pays adoptent des valeurs de précaution en fonction de l’impact sur l’organisme, toutes fréquences confondues. Ainsi, on considère en Allemagne que les impacts sanitaires sont les suivants : - pour un champ électrique inférieur à 0,006 V.m-1 , l’impact est négligeable - pour un champ compris entre 0,006 V.m-1 et 0,06 V.m-1, l’impact est faible - pour un champ compris entre 0,06 V.m-1 et 0,6 V.m-1, l’impact est important - pour un champ supérieur à 0,6 V.m-1, l’impact est intense.

Pour quantifier les effets thermiques engendrés par un champ électromagnétique pénétrant dans l’organisme, les constructeurs de téléphone ont défini un indice de pénétration d’onde dans le corps, appelé DAS (débit d’absorption spécifique) ou SAR en anglais (specific absorption rate). Le DAS exprimé en W.kg-1 est la puissance absorbée sous forme thermique par unité de masse de corps humain, typiquement la tête et le cerveau, et doit être indiqué sur la notice de chaque téléphone. La législation française impose un DAS maximum de 2 W.kg-1. Cette information globale ne rend cependant pas compte en détail de l’effet du rayonnement …

Une nouvelle charte de téléphonie mobile sera soumise fin mars 2017 au Conseil de Paris, qui propose d’abaisser à 5 V.m-1 à 900 MHz le seuil d’exposition dans les lieux de vie fermés. Cela fera de Paris la métropole la plus protectrice d’Europe vis à vis des rayonnements électromagnétiques. Questionnaire 1) Comparer la puissance moyenne des différents téléphones. 2) Comparer la puissance surfacique, ou intensité, moyenne reçue à 100 m d’une antenne relais avec celle reçue à 10 cm d’un portable. Commenter. 3) Justifier rapidement qu’une onde électromagnétique peut être assimilée localement à une onde plane à partir d’une certaine distance de son émetteur. Estimer cette distance et établir que dans ce cas, l’amplitude

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du champ électrique reçu à la distance d de l’émetteur peut se mettre sous la forme avec P

la puissance moyenne émise et K une constante que déterminera. Calculer K en précisant son unité. 4) Déterminer la distance minimale à laquelle il faudrait se placer d’une antenne relais selon les normes européennes ? Commenter. 5) a) A quelle distance minimale du téléphone faudrait-il se placer pour respecter les normes européennes ? Commenter b) L’hypothèse d’une onde plane pour le calcul des puissances reçues par l’utilisateur est elle légitime ? Commenter 6) Déterminer les nouvelles distances minimales à laquelle il faudrait se placer d’une antenne relais ou d’un téléphone pour éviter un impact important sur l’organisme, en suivant les recommandations allemandes de précaution. Commenter Pour analyser la notion de DAS, on va modéliser l’organisme comme un diélectrique linéaire homogène et isotrope de permittivité diélectrique complexe ε = ε0εr 1− jβ( ) où β est caractéristique du milieu. Les équations de Maxwell dans l’organisme sont donc les mêmes que dans le vide, à ceci près que la permittivité ε0 est remplacée par ε . 7) Etablir l’équation de dispersion dans l’organisme, en postulant un champ électrique sous la forme d’une onde plane monochromatique de la forme

!E( z,t ) =

!E0t exp j ωt − kz( )

avec k a priori complexe et une propagation dans une direction arbitraire z.

8) Montrer que si β <<1 , k peut s’écrire k = k0 εr 1− jβ2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

en précisant l’expression de k0

9) Ecrire la forme réelle du champ électrique de l’onde en introduisant une distance caractéristique δ dont on précisera la signification.

10) Etablir l’expression <!Π >=

εr2µ0c

E0t2 exp − 2z

δ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟!uz

de la valeur moyenne du vecteur de Poynting dans

l’organisme. 11) En effectuant un bilan d’énergie thermique dans une tranche d’épaisseur dz du milieu, déterminer l’expression de l’intensité thermique absorbée par une épaisseur L d’organisme. Commentaire. 12) On donne les caractéristiques de différents tissus organiques vis à vis des rayonnements électromagnétiques : Les milieux proposés sont-ils dispersifs ? 13) Quels sont les tissus les plus affectés par le rayonnement ? Comment cet impact varie-t-il avec la fréquence ? Commentaires. On se propose de caractériser plus précisément l’impact des ondes sur le cerveau. Le cerveau humain est essentiellement constitué de substance blanche les axones), entouré d’une fine couche de substance grise (les neurones), le tout protégé par de la matière osseuse, la boite crânienne.

E0 = KPd

900 MHz 18900 MHz900 MHz 1800 MHz 2100 MHz Milieu δ en cm δ en cm δ en cm Os 12,4 13 11,8 6,6 11,6 5,6 Cerveau « gris » 52,7 4,1 50,1 2,7 49,5 2,4 Cerveau « blanc » 38,9 5,6 37,0 3,5 36,6 3,0 Graisse 5,5 24 5,3 15,7 5,3 13,6 Muscle 55,0 4,2 53,5 2,9 53,1 2,6

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3 14) Montrer que dans le cas du cerveau, on peut déduire très simplement de l’expression de <

!Π( z )>

la puissance thermique totale Pth absorbée par le cerveau. On considérera que la surface S traversée par l’onde représente la section diamétrale du crane de diamètre D. 15) On peut établir, mais on ne le demandera pas ici, que le champ électrique dans le milieu s’exprime en

fonction du champ électrique incident par la relation Eot =2

1+ εrE0

Déterminer Pth en fonction de la puissance P de l’émetteur, de la distance d entre l’émetteur et le cerveau, du diamètre D de la tête et des caractéristiques du milieu. Montrer que la puissance absorbée est égal à la puissance incidente atténuée d’un facteur T que l’on exprimera en fonction de εr . 16) Estimer l’expression du DAS. On fera un choix très simple, mais que l’on justifiera, pour définir la profondeur de la zone irradiée. On notera ρ la masse volumique du cerveau. Estimer la valeur du DAS pour un téléphone UMTS. Conclusion. Partie 2 : les problèmes de réception On désire étudier les problèmes liés à la réception d’un signal en téléphonie mobile. L’onde émise par la base placée sur l’abscisse x = O est plane, polarisée rectilignement suivant l’axe des z, de fréquence f = 900 MHz,

de champ électrique complexe , avec .

Un immeuble situé en x = L réfléchit l’onde sans l’atténuer et sans modifier sa polarisation. On va traiter cette onde radio comme si elle appartenait au domaine du visible, hypothèse est un peu abusive… 1) On admet que le champ électrique de l’onde réfléchie s’écrit :

Interpréter cette expression puis écrire et donner l’expression de l’onde résultante . 2) On admet que la puissance P( x ) reçue par le récepteur, situé en x, est proportionnelle à la moyenne temporelle du carré du champ électrique résultant, soit en notation complexe P ∝

!E.!E* .

Il existe par ailleurs une puissance en dessous de laquelle la réception d’un signal est impossible.

Enfin, on suppose que la moyenne spatiale de P est égale à 10 .

a) Déterminer l’expression de la puissance P( x ) en fonction (entre autres) de Pc b) Le téléphone, porté par un piéton, se déplace à une vitesse de 4 km.h-1 suivant l’axe des x. Déterminer la durée moyenne des coupures. c) Même question pour un téléphone utilisé dans une voiture se déplaçant à 40 km.h-1. 3) a) En milieu urbain, les retards des trajets réfléchis par rapport aux trajets directs sont de l’ordre de 1 µs. Quelle est la valeur typique de associée à ce retard ? b) On suppose que pour cette valeur typique de et pour la fréquence f, le signal reçu par le mobile a une puissance nulle. On augmente alors la fréquence de f à . Déterminer numériquement la valeur minimale à donner à pour retrouver une réception.

!Ei( M ,t ) = E0 exp j ωt − kx( ) !uz k = 2π

λ

!Er( x,t ) = E0 exp j ωt + k x − 2L( )+ π( ) !uz

!E( x,t )

PcPc

L − xL − x

f + δfδf

z

x 0

récepteur

onde réfléchie

L

immeuble

x

base

onde incidente

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LA POELE QUI LEVITE… Bien faire sauter les crêpes et les rattraper retournées dans la poêle permet toujours de se rendre intéressant en société, mais c’est assez finalement assez commun… Plus original est d’essayer de faire léviter la poêle au dessus de la plaque chauffante. Le problème suivant va déterminer si ce tour est réalisable… La plaque chauffante doit être une plaque à induction. Cette plaque est constituée d’une bobine parcourue par un courant I( t ) de fréquence 50 kHz. On modélise cette bobine par une spire circulaire de rayon r0 = 10 cm centrée sur l’origine O d’un axe vertical et parcourue par le courant d’intensité variable I( t ) = I0 sinωt . On peut facilement calculer, (mais c’est hors programme, donc vous y échappez) le champ magnétique en un point quelconque de l’axe Oz de la spire : !B( r = 0,z ,t ) = B0( z )sinωt

!uz avec B0( z ) =µ0I02

r20r20 + z

2( )3/2

et aussi le champ magnétique en un point M( r,z ) au voisinage

de l’axe : !B( r,z,t ) = B0( z )sinωt

!uz −r2dB0( z )dz

sinωt !ur

La poêle est modélisée par une spire de rayon a < r0 , de résistance R et d’inductance propre L, placée à la hauteur h au dessus du plan de la bobine. 1) Justifier la validité de l’approximation des régimes quasistationnaires. 2) Montrer que le champ

!B proposé au voisinage de l’axe est bien à flux conservatif.

3) Etablir l’équation différentielle dont est solution l’intensité i( t ) du courant dans la « spire-poêle » en supposant le champ créé par la plaque comme uniforme sur la surface de la spire-poêle. En déduire l’expression de i( t ) en régime établi. On écrira i( t ) sous la forme i( t ) = αcosωt +β sinωt où α et β sont des constantes que l’on exprimera en fonction des paramètres du problème. 4) Exprimer la force de Laplace

!F exercée sur la spire–poêle, puis sa moyenne temporelle <

!F > .

La lévitation de la poêle est elle envisageable ? 5) Comment évolue la force moyenne < F > avec la fréquence (ou la pulsation) du courant inducteur ? A quelle condition portant sur la pulsation (et faisant intervenir L et R ) peut-on considérer que < F > a atteint une valeur limite optimale ? Ecrire dans ce cas la forme simplifiée de < F >op . On supposera par la suite que cette condition est toujours réalisée.

6) Montrer que < F >op peut s’expliciter sous la forme avec X terme

sans dimension fonction de h et de r0 .

En déduire maintenant qu’il existe une hauteur hmax à déterminer, pour laquelle < F >op est maximale.

Exprimer < F >op( )max

sous la forme < F >op( )max= k π2a4

Lµ02I02

r30 avec k une constante numérique dont on

donnera la valeur. 7) Le système de chauffage à induction est prévu pour dissiper la puissance thermique moyenne P = 2 kW dans la poêle.

< F >op

< F >op = − π2a4

2Lr03

µ0I02

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2X

1+ X 2( )4

h

a z

plaque

poêle

O

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5 Exprimer la puissance moyenne P dissipée par effet Joule dans la spire à la hauteur hmax .

Montrer qu’on peut l’écrire sous la forme P = k' Rµ0I0r0

πa2

L⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

2

, avec k' une constante numérique très

voisine de k. On rappelle que l’on se place toujours dans l’hypothèse Lω >> R 8) En déduire en considérant k = k' l’expression de la force < F >op( )max en fonction de P, L, R et r0 .

9) En assimilant la couronne à un conducteur filiforme de rayon égal à son rayon moyen, calculer R. 10) Exprimer le champ magnétique créé au centre de la spire parcourue à un courant d’intensité i. En supposant ce champ uniforme sur la surface de la spire, évaluer le flux magnétique propre à travers la spire. En déduire l’inductance propre de la spire. 11) La condition portant sur L et R faite à la question 5) est-elle légitime ? 12) Calculer la force maximale exercée sur la poêle. Conclusion. On donne : En coordonnées cylindriques, pour

!A = Ax( x,y,z )

!ux + Ay( x,y,z )

!uy + Az( x,y,z )

!uz

div!A = 1

r∂( rAr )∂r

+ 1r∂Aθ∂θ

+∂Az∂z

rot! "!! "A = 1

r∂Az∂θ

−∂Aθ∂z

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟!ur +

∂Ar∂z

−∂Az∂r

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟!uθ +

1r

∂( rAθ )∂r

−∂Ar∂θ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟!uz