Aspects théoriques et expérimentaux en détonique liquide GDR IFS 1er colloque Nice 26-27 septembre 2005 Sur la réponse d une plaque couplée à un liquide

Aspects théoriques et expérimentaux en détonique

liquide

GDR IFS 1er colloque Nice 26-27 septembre 2005

Sur la réponse d ’une plaque couplée à un liquide et soumise à une pression mobile.


Laboratoire Energétique Explosions Structures

André LANGLET (Mc), Jérôme RENARD (Pr)

Laboratoire Energétique, Explosions, Structures

UPRES EA 1205

Université d’Orléans - IUT de Bourges

63, av. de Lattre de Tassigny

18020 Bourges cedex


Objectif global

Réponse des structures aux explosions

détonation

Champs d’application

Maîtrise des risques liés aux explosions

• Chargement mobile réponse calculée et mesurée pendant le temps d’application de la pression de l’explosion

• Grandes vitesses du front de chargement

• Interaction fluide structure

Particularités de l’étude

temps

Chargement uniformep

temps

Déflagrationp

temps

DétonationpOnde de chocDéterministe Reproductible

2


Distribution spatiale de la pression

Pre

ssio

n en

A

temps

A

Chargement d’une plaque par une détonationChargement d’une plaque par une détonation

Création d’une onde de choc sphérique

Développement sur la structure d’un chargement axisymétrique

Déterministe & Reproductible

k

t +

t -

p +

tA

Pression réfléchie sur la plaque :

])(exp[]sin[

])(sin[

tttktt

ttttpP A

Aext

Paramètres fonctions de :Atkttp ,,,,

• la distance : • l’énergie : 0E

0E

Réflection de l’onde de choc sur la plaque

(Brossard et al.)

3


Similitude en détonique : La loi de Hopkinson

Pour des détonations « homothétiques », les valeurs de pression sont identiques, et les temps d’applications sont multipliés par l’échelle des longueurs.

Structure plane de 30 cm de côtéépaisseur : 1 mm(10-4 kg eq. TNT)

Structure plane de 30 m de côtéépaisseur : 10 cm(100 kg eq. TNT)

en des points homologues, et ont des valeurs identiques

-

t t+ -

p+

p-

Echelle :

3100

bulleRk

bulleR

Ndk

Nd

tk

tk

Ik

Ik

p

p

4

I

I


PROBLEMEPROBLEMETRAITTRAITÉÉ

Pext plaque

fluide

t0 = 0

t1 = 150 µsv = 5300 m/sP0 = 16 bar

v = 930 m/sP0 = 8 bar t3 = 250 µs

Chargement par une détonation

pres

sion

structure

structure

fluide

détonation

R

Z

v = 720 m/sP0 = 4 bar t5 = 350 µs(valeurs typiques d’une détonation expérimentale)

Pext t0 > 0 (Force)Pext t0 > 0 (Pression)

Pint

plate

fluide

Partie transitoire Partie Vibratoire

Chargement p-V constant (“uniforme”)

5


z

w

x

intp Fluid

Plate

vp

u

Hypothèses : théorie des plaques • Hypothèses de Mindlin – Reissner• Non linéarités géométriques

Variables cinématiques : • déplacement dans le plan :• rotation de la section droite :• déplacement hors plan :

uΨ

w

EQUATIONS DYNAMIQUES DE LA PLAQUEEQUATIONS DYNAMIQUES DE LA PLAQUE

1e2e

ze

2N

1N

1Q

2M

1M

22 dNN

11 dQQ 11 dMM

1212 dMM

11 dNN 22 dQQ

12M22 dMM

2Q

ieQ iQ

2

2

h

h

izi dzQwith 2,1i

tensions de membrane :

jeN ijN

2

2

h

h

ijij dzNavec 2,1, ji

Efforts tranchants :

moments de flexion :

jeM ijM

2

2

h

h

ijij dzzMwith 2,1, ji

Eq.dynamiques :

Nu

div2

2

t

h

MΨ

div2

2

t

I

extint ppwt

wh

NQdiv2

2

Cas « linéaire »

Hypothèses : • théorie linéaire, mouvements irrotationnels• fluide compressible parfait

EQUATIONS DU MOUVEMENT DU FLUIDEEQUATIONS DU MOUVEMENT DU FLUIDE

Equations d’Euler linéarisées: Conservation quantité de mouvement+conservation de la masse+loi de comportement

Dynamique du fluide:

Pression fluidet

p f

: 222

2

fct

Potentiel des vitesses

6


Système couplé

Nu

div2

2

t

h

MΨ

div12 2

23

t

h

extf Pt

wtwh

interface2

2

div gradNQ

• Modèle linéaire et • Modèle avec grandes rotations• Hypothèses de Mindlin

Equations de la plaque

Δ22

2

fct

• Modèle linéaire (« acoustique »)• Fluide parfait compressible

Equation du fluide

interface

zt

w

interface

t

P fint

• Continuité des vitesses normales• Continuité des efforts normaux

Conditions d’interface

7


Calcul des incréments plastiques(à chaque pas de temps & pour chaque noeud)

Calcul de Ekl

Calcul de kl

Calcul de eq

Calcul de eq

Calcul dePkl

Calcul dePkln

?0eqTest :

Mise à jour : eq0

Calcul dePkl

Eklkl

Oui Non

8

)0,(div inodeH N

)0,(div inodeextpwF gradNQ

)0,(div inodeI M

)0,(2

inodefcG Δ

),(2

jinodefcJ Δ

Fonctions spatiales discrétisées :

interface ( Z = 0 ) :

Jtpf22 Dans le liquide ( Z < 0 ) :

I

H

G

F

Mtu

w

Nu

w

Mu

w

p

p

p

p

f

f

f

f

22

Schéma aux différences finies notation :)( ttff f • Différences finies centrées

• Intégration explicite• 2nd ordre )( ttff p

Shéma de résolution :Shéma de résolution :

)(tff

1200

2100

0010

0001

1

1N

100

100

0010

0001

1

1M

th

f

2

z

tc f

2

‘’following value’’

‘’previous value’’

‘’actual value’’


Plaque circulaire :

h = 1 × 10-3 m

Eau:

cf = 1500 m.s-1

r = 1 × 10-4 m

z = 1 × 10-4 m

t = 1.2 × 10-7 s

L = 0.5 m

f = 1000 kg.m-3

H0.33m

Paramètres numériques :

0.6 1.0 1.4 1.8 2.2

-20

0

20

(× 10-6 m/m)

t (× 10-4 s)

rr rgauge = 0.3 m

= 0.3 mE0 = 13 KJ

Chargement par une détonation : influence de la charge Chargement par une détonation : influence de la charge

1.0 1.4 1.8 2.2

-50

0

50

(× 10-6 m/m)

t (× 10-4 s)

rr

0.6

rgauge = 0.3 m

E0 = 103 KJ

= 0.3 m

0.6 1.0 1.4 1.8 2.2

-200

0

200

(× 10-6 m/m)

t (× 10-4 s)

rr rgauge = 0.3 m

E0 = 820 KJ= 0.3 m

0.5 0.6 0.7

(×10-8 m/m)

- 2

0

3

rr

- 50

5

(×10-7 m/m)rr

0.5 0.6 0.7

9


Dispositif expérimental

Jaugede déformations

10


Corrélation essais – modèle : réponse linéaire

Paramètres : rB = 0,05 m ; dN = 0,283 m ; rjauge = 0,28 m

Épaisseur : h = 5 mm

MESURE

300 400 500 600 700

50

-50

(µm/m)

t (µs)

Épaisseur : h = 0,5 mm

MESURE

(µm/m)

t (µs)

40

-40

530 590 650 710

CALCUL

330 430 530 630 730

50

-50

(µm/m)

t (µs)

CALCUL

540 600 660 720

40

-40

t (µs)

(µm/m)

11


Réponse linéaire

dN = 0,283 m rB = 0,05 m

h = 0,5 mm

h = 5 mm

t = 0

t = 350 µs

t = 0

t = 350 µs

pext

r

t = 35 µs

r

27 cm40 µm/m

r

TNTeq.g8,0~

bar5,1~

t

r

Solution obtenue avant Réflexion sur un bord

12


temps

R

255 µs

R j 500 mm

15 µs

Approx. 600 m

/s

13

Aspects théoriques et expérimentaux en détonique14


Résultats de simulations dans le domaine linéaire :Résultats de simulations dans le domaine linéaire :

Flexural stresses Σ(X)

VP0plaque

fluide


Z

XVP0

P

P

c

c1

P

f

c

c

12

f

Plaque : hypothèsesde Mindlin-Reissner

Fluide : parfait &compressible

Équationsde plaque

Équationdu fluide

Continuitédes vitesses

Changement de variable : TVXY Z

Y

2

2

2

22

2

22

ZYYV

YPY

VdY

d

dY

Wd

Y

WdV EXT

Z

02

22

2

22

dY

dW

dY

d

dY

dV 2

2

2

2

22

0

ZZdY

dWV

Présentation du cas stationnaire :Présentation du cas stationnaire :

cp : vitesse des ondes de plaque - cs : vitesse des ondes de cisaillement - cf : vitesse des ondes acoustiques

P

S

c

c


asP PPYHPYHP ))(()( 2

1020

0 )(00,,2

,22 YHPVdWdV

ZYYYY

0ΨWdθΨdV1 Y,

2YY,

2

0ΦδΦ)Vδ( ZZ,2

YY,22

0ZZ,Y, ΦWVd

Recherche de la solution par transformées de Fourier

222

2222223 1

ΩSgn1F V

VVVVÉquation caractéristique :

Équation caractéristique :

222222223 )1(

2)1)(()( V

ViVVVP

Cas supersonique : V> /22 VΩ

Φ(Y,Z)=f(Y-Ω.Z)+g(Y+Ω.Z)

Système hyperbolique

Cas subsonique : V< /22 VΩ

ZeCZ )(),(

Système en partie elliptique


La solution transitoire converge vers la solution stationnaire au voisinage du front de chargement

Cas d ’une force se déplaçant à la vitesse V=0.2

Cross-section angular rotation Ψ

Potential Φ Z=0 in the liquid at the interface


Pression dans le liquide et son atténuation avec la profondeurCas d ’une force se déplaçant à la vitesse V=0.2


-2

0

2 analytique

-80 -40 0 40 80-2

0

2 numérique

-300

-100analytique

-80 -40 0 40 80

-300

-100numérique

Comparaison avec la simulation numérique :Comparaison avec la simulation numérique :

T = 400

V = 0.2

X = 20000

T = 5000

X = 20000

T = 5000W(X,T)(X,T)


V = 1.2 ( 1 < V )

V = 0.2 ( V < ) V = 0.4 ( < V < )

V = 0.8 ( < V < )

dY

dY

2

1)(Exemple : contrainte de flexion :

Évolution de la forme de la réponse en fonction de la vitesse de chargement

Cas où < <1


LaboratoireEnergétiqueExplosions

Structures

Risque d'explosionRéponse dynamique des structures et des matériaux

Université d’Orléans – EA 1205



MESURES DES DÉFORMATIONS

Jauge VISHAY :• Longueur de grille : LG = 0,8 mm• Fréquence théorique : fmax = 675 KHz

Conditionneur SEDEME TS205 :bande passante à -3 dB : [1,6 - 105] Hz

fréquence f (KHz)

atténuation G (dB)

40 80 200

0

- 2

- 4

retard t (µs)

60 100 140 180fréquence f (KHz)

2

1

Problème :Mesures dynamiques à hautes fréquences

0 2,7 8,0 15,0 23,3

f (KHz)

e (%)

40 80 120 160 200

Erreur sur l’amplitude des déformations :

4 Etude expérimentale4 Etude expérimentale


partition des déformations :

(E : elastic - P : plastic)

Tenseur des contraintes élastiques

klEmm

Eklkl

E

1

1 2

Tenseur des déformations élastiques :

2,,,,,2

1lkkllkkllk

Ekl wzuu

Matériau : approximation “bilinéaire”

eq

eq

0

PaE 91072PaEp

9105.1

Pa60 1090

E

pE

Non linéarité géométrique et comportementNon linéarité géométrique et comportement

Pkl

Eklkl

Eq. de Prandtl – Reuss

Peqn

eq

klPkln

S

2

3

ENDN

n

Pkln

Pkl

1

Plastic strain increment :

Total plastic strain :

:S Deviatoric stress tensor

:eq calculée avec leCritère de Von – Mises


Evolution spatio-temporelle des contraintes de flexion

Développement des ondessous un chargement uniforme en vitesse et en pression

7

2000

T = 400

X = 0.2 T

X0

T

5000

X

21

5 les ondes se développent au voisinage du front…5 les ondes se développent au voisinage du front…


wU

zuU

zuU

3

222

111

l

m

k

m

k

l

l

kkl x

UxU

xU

xU

e21

iii

ijjiij

iiijjiij

xwq

xxm

xwxwxuxun

/

//21

////21

(Hypothèses « grandes rotations »)lklklk x

UxU

xU

xU

xU

xU

332211 ,

iiz

ijijij

qe

zmne

21

Déformations de tractions

Déformations associées aux moments de flexion

Déformations associées aux efforts tranchants

plaque (1)

Avec :


klmmkll

m

k

m

k

l

l

kkl Ex

UxU

xU

xU

e

1

21

iziz

ijkkijij

eE

eeE

1

)1(1

2

i

h

h izi

ijkkij

h

h ijij

ijkkij

h

h ijij

qEhdzQ

nnEhdzN

mmEIdzzM

)1(2

)1(1

)1(1

2/

2/

2

2/

2/

2

2/

2/

jieeM ijM

plaque (2)

(Loi de Hooke)

Coefficient correcteur de cisaillement

jieeN ijN

ieQ iQ


pt

V

F

1

V Udivcp FF

2

2

2

2

22

2

2

zxc

tF

Euler linéarisé

tp ffluide

Petits mouvements irrotationnels à potentiels des vitesses

Loi de comportement (« Lamé » sans termes de cisaillement)

« Eq. D’Helmoltz »

Equations du fluide


Chargement p et V constantes : influence de pChargement p et V constantes : influence de p

z

r

v

H

Lextp

Plaque circulaire :

h = 1 × 10-3 m

Chargement extérieur :

Fluide (eau) :

cf = 1500 m.s-1

r = 1 × 10-4 m

z = 1 × 10-4 m

t = 1.2 × 10-7 s

L = 0.5 m

f = 1000 kg.m-3

H0.33m

Paramètres numériques

v = 500 m.s-1

Pext = 35 bar

Pext = 50 barrr

-2

0

2

4

6

(× 10-3 m/m)

0 2 4 time t

50 bar

35 bar

(× 10-4 s)

extpextp

500 µs

50 barextp

0 0.50 m

35 barextp

t

r

rr

0.20 m 0.20 m

30


Résolution numérique explicite par différences finies. Axisymétrique

Schéma aux différences finies : Notations :

)( ttff f

GcFcwcwccc ppf 262524232221 GcFcccwcwcw ppf 161514131211

Htpf22

Jtpf22

Interface ( Z = 0 ) :

Domaine liquide ( Z < 0 ) :

Ituuu pf22

,div )(inodeNI

,div )(inodeextpwF gradNQ

,div )(inodeH M

)(2

inodefcG Δ

),(2

jinodefcJ Δ

• Second ordre• Intégration temporelle

)( ttff p

Fonctions « spatiales »discrétisées :

)(tff précédent

actuelsuivant

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Aspects théoriques et expérimentaux en détonique liquide GDR IFS 1er colloque Nice 26-27 septembre 2005 Sur la réponse d une plaque couplée à un liquide