Assemblage de structures une à une invariantes dans une direction

Mécanique & Industries 3 (2002) 211–225

Assemblage de structures une à une invariantes dans une direction

S. Meoa,b,∗, O. Débordesa, A. Boukamela,b

a Laboratoire de Mécanique et d’Acoustique de Marseille UPR CNRS 7051 IMT/ESM2, Technopole de Château Gombert 13451, Marseille cedex 20, Franceb École Supérieure d’Inégnieurs de Marseille, Technopole de Château Gombert 13451, Marseille cedex 20, France

Reçu le 28 mai 2001; accepté le 1er février 2002

Résumé

Cet article traite de la modélisation par la méthode des éléments finis d’un assemblage de structures invariantes dans une direction. Onapplique cette méthode au Bras Élastomérique, pièce développée par la Société EUROCOPTER. Les deux principales difficultés résidentdans l’hétérogénéité de la pièce et dans la prise en compte d’une non-linéarité géométrique due à la force centrifuge. Une combinaison dedeux types de sous structuration est utilisée. La première est une sous structuration multi-niveaux et la seconde, une méthode classique desous structuration en déplacement. Cette étude permet d’obtenir la solution complète en déplacements, le champ de contraintes complet ainsique l’amortissement global (par une méthode énergétique) de la structure. 2002 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. All rightsreserved.

Abstract

This paper deals with the modelisation of an assembly of structures in one direction. This methods is applied to the Elastomeric Flex Beam,part developed by the society EUROCOPTER. The main difficulties are the heterogeneity of the different components and the geometricalnon linearities due to the centrifugal forces. The coupling between two sub-structuring methods is used. The first one is multi-level sub-structuring method and the second one is more classical. This study gives the complete solution in displacement, the stress field and thedamping (via an energetical method) of the structure. 2002 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. All rights reserved.

Mots-clés : Élément finis ; Composites ; Grand nombre de degrés de liberté ; Sous structuration ; Viscoélasticité

Keywords: Finite elements method; Composites; Large number of degrees of freedom; Sub-structuring methods; Viscoelasticity

1. Introduction

Le bras élastomérique, ou encore EFB (Elastomeric FlexBeam), est développé dans l’industrie aéronautique par lasociété EUROCOPTER. Il est composée d’une centaines debaguettes en composite (carbone unidirectionnel ou verreunidirectionnel) noyées dans différentes matrices et doitassurer la liaison entre le moyeu rotor et la pale d’unhélicoptère. Cette pièce remplace les trois articulationsdes moyeux classiques dans le but de diminuer les forcesaérodynamiques ainsi que les coûts d’entretien.

Les écarts entre les différentes caractéristiques des ma-tériaux constitutifs font qu’il apparaît de nombreux pro-blèmes mécaniques tels que la fissuration, des concentra-tions de contraintes ou encore des problèmes de fatigue exi-

* Correspondance et tirés à part.Adresse e-mail : [email protected] (S. Meo).

geant une connaissance précise de certains résultats méca-niques comme les champs de contraintes et de déplacements.On s’attache aussi à déterminer l’amortissement global de lapièce.

La détermination de grandeurs à la fois globales telles quel’amortissement, mais aussi locales comme la déterminationprécise d’une discontinuité ou d’une concentration du champdes contraintes obligent à une modélisation complète etfine de la pièce. Numériquement, le nombre insuffisant debaguettes et la trop grande hétérogénéité entre les différentsmatériaux rendent difficile et peu fiable un calcul parhomogénéisation [1]. On est donc amené à résoudre leproblème 3D complet par la méthode des éléments finiset ce en tenant compte des non-linéarités géométriquesimputables à la force centrifuge. Ce problème qui nécessiteplusieurs millions de degrés de libertés, est résolu par lacombinaison de différentes méthodes de sous structuration.

On présente, dans un premier temps, les deux différentesméthodes de sous structurations utilisées. Puis est présenté

1296-2139/02/$ – see front matter 2002 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. All rights reserved.PII: S1296-2139(02 )01160-0

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Fig. 1. Exemple de sous structures de niveau 1.

l’algorithme mis en place de façon à combiner ces deuxméthodes. On étudie par la suite, trois cas de chargementrencontrés en condition de vol par le bras élastomérique.Enfin, on détermine l’amortissement de la pièce sous unesollicitation de traînée.

2. Méthodes de sous structuration

Les techniques de sous structurations sont de plus en plusutilisées. Elles présentent en effet de nombreux avantagescomme notamment :

• la préparation et la vérification des modèles de sous-structures indépendamment les uns des autres [2],

• la modification d’une sous structure indépendammentdes autres [3],

• la possibilité de résoudre un problème présentant unnombre important de degrés de liberté en le ramenantà plusieurs calculs de tailles raisonnables [4],

• la minimisation de la préparation des données et dutemps de calcul dans le cas de structures constituées desous-ensembles identiques [5,6].

• la compatibilité avec les résolutions parallèles [7].

2.1. Méthode classique : approaches en déplacement

La méthode présenée dans ce paragraphe est aoujourd’huicourament utilisée, elle fut introduite par [8,9]. Pour enexpliquée la démarche, on se place dans le cas d’une d’unestructure divisée en sous structures de niveau 1 (Fig. 1).

On distingue, pour chaque sous structures, les degrésde liberté internes(qs

i ) et ceux de liaison(qsj ). Le système

classique d’équilibre peut dès lors être décomposé de lamanière suivante :[

Ksii Ks

ij

Ksj i Ks

jj

]{qs

i

qsj

}=

{F s

i

F sj

}(1)

On définit alors la matrice de rigidité condensée et le vecteursecond membre condensé, par :

Ksjj = Ks

ij − Ksj iK

s−1

ii Ksij (2)

F sj = F s

j − Ksj iK

s−1

ii F si (3)

Ksjjq

sj = F s

j (4)

Si l’on noteqj les degrés de liberté de liaison de la structurecomplète, ils peuvent être reliés à(qs

j ) parβs la matrice delocalisation de la sous structures :

qsj = βs qj (5)

L’assemblage des équations (4) donne la matrice conden-sée globale et le vecteur second membre condensé global telsque :

Kjj qj − F j = 0 (6)

et définis par :

Kjj =Ns∑s=1

βsTKs

jjβs (7)

F j =Ns∑s=1

βsTF s

j (8)

où Ns est le nombre de sous structures. On obtient alors lasolution complète par :{

qsj = βs qj

qsi = �s

ijqsj + qs

i0(9)

où{�s

ij = −Ks−1

ii Ksij

qsi0 = Ks−1

ii F i

(10)

L’algorithme peut être schématisé comme indiqué Fig 2.

2.2. Méthode de sous structuration multi-niveau

2.2.1. IntroductionCette méthode peut être appliquée à toute structure

invariante dans une direction [1,10,11]. L’idée généraleest d’assembler deux couches identiques d’éléments etd’éliminer les nœuds milieux. la première couche ayantun seul élément dans la direction d’invariance et étant delongueur L0, aprèsn pas de cette méthode, on obtientla matrice de rigidité, condensée aux extrémités, d’unestructure de longueur 2nL0 et composée de 2n éléments danssuivant l’axe d’invariance (voir Fig. 4).

2.2.2. Propriété des structures invariantes dans unedirectionHypothèse 1.

• Seules des structures possédant une propriété d’inva-riance dans la directionz sont prises en compte (cf.Fig. 3),

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Fig. 2. Méthode de sous structuration classique.

Fig. 3. Structure invariante suivant la directionz et symétrique par rapportà (O,x, y).

• on considère le plan(O,x, y) comme un plan desymétrie de la structure (cf. Fig. 3),

• le comportement est considéré élastique linéaire.

Les degrés de libertés d’une telle structure son associésà des points géométriques appelés nœuds et répartis demanière symétrique par rapport au plan(O,x, y). Les d.d.l.mesurés suivant la directionz sont affectés de l’exposantz,ceux associés àx et y sont indifféremment affectés del’exposantp. On différencie enfin les degrés de liberté situésà droite (z ≥ 0) et à gauche (z ≤ 0) du plan de symétrie parrespectivement d et g. Les mêmes notations sont adoptéespour les forces nodales. Ainsi, siK est la matrice de raideurde la structure,F et u respectivement ses vecteurs forcesnodales et degrés de liberté, on a :

F gz

F gp

F dz

F dp

=

Kgzgz Kgzgp Kgzdz Kgzdp

sym. Kgpgp Kgpdz Kgpdp

sym. sym. Kdzdz Kdzdp

sym. sym. sym. Kdpdp

ugz

ugp

udz

udp

(11)

On montre sous les Hypothèses 1 que les sous matrices deK

vérifient les propriétés suivantes :

Kdzdz = Kgzgz, Kdzdp = Kgzgp

Kgzdz = KgzdzT, Kgzdp = −KgpdzT

Kdzdp = −Kgzdp, Kdpdp = Kgpdp

Kgpdz = −KgzdpT, Kgpdp = KgzdpT

(12)

Si bien queK se met sous la forme :

K =[

Sg Sgd

Sgd Sg

]+

[Qg Qgd

−Qgd −Qg

](13)

avec

Sg =[

Kgzgz 0n,2n

02n,n Kgpgp

], Sgd =

[Kgzdz 0n,2n

0n,2n Kgpdp

]

Gg =[

0n,2n Kgzgp

KgzgpT0n,2n

], Ggd =

[0n,2n Kgzdp

−KgzdpT0n,2n

]

De plus, la symétrie deK permet d’obtenir la symétriedeSg, Sgd etQg, ainsi que l’antisymmétrie deQgd.

2.2.3. Calcul de la matrice de rigidité condensée auxextrémités d’une structure composée de n structuresidentiques

On veut maintenant calculer la matrice de rigidité conden-sée aux extrémités d’une structure invariante dans une di-rection. Comme, il a été dit en introduction, on assembledeux couches identiques, comportant un seul élément sui-vant l’axe d’invariance, puis on élimine par condensationstatique les nœuds milieux (voir Fig. 4). La matrice de rigi-dité de ces deux couches d’éléments est notée0K . Les deuxentités vérifiant l’Hypothèse 1,0K prend la forme :

0K =[

0Sg 0Sgd

0Sgd 0Sg

]+

[0Qg 0Qgd

−0Qgd −0Qg

](14)


Fig. 4. Méthode de sous structuration multi-niveaux.

La matrice de rigidité1H qui résulte de l’assemblage de cesdeux couches est définie par :

1H =[ 1Sg 1Sgd 03n,3n

1Sgd 21Sg 1Sgd

03n,3n1Sgd 1Sg

]

+[ 1Qg 1Sgd 03n,3n

−1Sgd 03n,3n1Sgd

03n,3n −1Sgd −1Sg

](15)

On élimine alors les nœuds milieux (Fig. 4, pas 1),1K lamatrice condensée ainsi obtenue se met sous la forme :

1K =[

1Sg 1Sgd

1Sgd 1Sg

]+

[1Qg 1Qgd

−1Qgd −1Qg

](16)

avec

1Sg = 0Sg − 1

20Sgd 0Sg−1 0Sgd − 0Qgd 0Sg−1 0Qgd (17a)

1Qg = 0Qg − 1

20Qgd 0Sg−1 0Sgd − 0Sgd 0Sg−1 0Qgd (17b)

1Sgd = −1

20Sgd 0Sg−1 0Sgd − 0Qgd 0Sg−1 0Qgd (17c)

1Qgd = −1

20Qgd 0Sg−1 0Sgd − 0Sgd 0Sg−1 0Qgd (17d)

On montre par récurrence qu’il est possible de mettreiK ,la matrice de rigidité condensée aux extrémités aprèsi

pas (i.e. la matrice de rigidité condensée aux extrémitésd’une structure de longueur 2i fois la longueur de la coucheinitiale) sous la forme :

iK =[

iSg iSgd

iSgd iSg

]+

[iQg iQgd

−iQgd −iQg

](18)

avec

iSg = i−1Sg − 1

2i−1Sgd i−1Sg−1 i−1Sgd

− i−1Qgd i−1Sg−1 i−1Qgd (19a)

iQg = i−1Qg − 1

2i−1Qgd i−1Sg−1 i−1Sgd

− i−1Sgd i−1Sg−1 i−1Qgd (19b)

Fig. 5. Déduction des degrés de liberté milieux.

iSgd = −1

2i−1Sgd i−1Sg−1 i−1Sgd − i−1Qgd i−1Sg−1 i−1Qgd

(19c)

iQgd = −1

2i−1Qgd i−1Sg−1 i−1Sgd − i−1Sgd i−1Sg−1 i−1Qgd

(19d)

On peut donc considérer qu’aprèsn pas de sous struc-turation multi-niveaux, on est en présence d’un « super-élément » au sens de [12] ayant pour longueur 2nL0 — si L0est la longueur de la sous structure génératrice (cf. Fig. 4) —et dont la matrice de rigidité estnK ; ses seuls nœuds se si-tuant aux extrémités.

2.2.4. Détermination de la solution complètesur la structure

L’obtention de la solution complète s’obtient de manièrerécursive (Fig. 5) à partir de la solution sur le super-élément,c’est à dire aux extrémités de la structure. En effet, onremarque que si l’on connaît(iug,

iud), les déplacement auxextrémités du tronçon de l’étapei (Fig. 5), il est possiblepar la relation (20) d’accéder aux déplacements des nœudslocalisés sur le plan de symétrie de ce même tronçon, cesdéplacement devenant à leur tour les déplacements extrêmesdes tronçons de l’étapei − 1 :

ium = 1

2i−1Sg((−i−1Sgd + i−1Qgd) iud

− (i−1Sgd + i−1Qgd) iug

)(20)

Cette étape de restitution nécessite le stockage desn ma-tricesiK .

2.2.5. Prise en compte des non linéarités géométriquesdues à la force centrifuge

En accord avec [12] on décomposeiK de la manièresuivante :

iK = iK0 + iKσ + iKL (21)

aveciK0, la matrice de rigidité classique

en petits déplacementsiKσ , une matrice symétrique

dépendant des pré-contraintesiKL, la matrice résultant

des grandes déformations

(22)


Fig. 6. Structure composée des structures une à une invariantes dans unedirection.

Si les déplacements sont suffisamment petits (hypothèsevérifiée a posteriori), iKL peut être négligée. La forcecentrifuge considérée comme une précontrainte, est prise encompte dansiKσ . Delorme [1] démontre queiKσ admet unedécomposition analogue àiK0, i.e. :

iKσ =[

iSgσ

iSgdσ

iSgdσ

iSgσ

]+

[iQ

gσ

iQgdσ

−iQgdσ −iQ

gσ

](23)

La prise en compte de la non-linéarité géométrique nemodifie donc pas la méthode précédemment exposée.

3. Assemblage de structures une à une invariantespar translation

3.1. Introduction

On traite maintenant le cas d’une structure pouvant êtrevue comme un assemblage des sous structures, chacunede ces entités étant invariante par une translation de mêmedirection (l’axez, cf. Fig. 6).

L’idée est ici de remplacer ces sous structures par leursuper-élément équivalent obtenu par la méthode de sousstructuration multi-niveau présentée à la Section 2.2. La

structure complète est alors vu comme un assemblage desuper-éléments sur lesquels, il est alors possible d’appliquerla méthode de sous structuration classique décrite à laSection 2.1.

3.2. Organisation des calculs

L’organisation des calculs s’articule autour de cinq étapes.La première et la dernières correspondent aux deux étapes dela sous structuration multi-niveau et les trois autres se rap-portent aux trois étapes d’une sous structuration classique(Fig. 7). De manière plus détaillée :

1. On détermine less matrices de rigiditénkKk (k ∈1, . . . , s) condensées aux extrémités de chacune dess

structures, en accord avec les notations de (18), on a :

nkKk =[

nkSgk nkSgdk

nkSgdk nkSgk

]+

[nkQgk nkQgdk

−nkQgdk −nkQgk

]k ∈ {1, . . . , s} (24)

avecnk le nombre de pas de la méthode multi-niveauutilisé pour lakèmesous structure.

2. On détermine les différentes grandeurs condensées à lafrontière des super-éléments, que l’on a préalablementdéterminée :nkKs

jj ,nkF s

jj , k ∈ {1, . . . , s} (25)

3. On assemble les différentes grandeurs condensées aprèsavoir déterminé les matrices de localisation.

4. on résout afin d’obtenir la solution à la frontière (nsujs ),

ce qui permet par le biais des Éqs. (9) et (10) ladéduction de la solution sur less super-éléments.

5. Enfin, on obtient les déplacements sur l’ensemble descouches de chaque sous structure (c’est-à-dire sur l’in-tégralité de la structure) grâce à la restitution récursivedétaillée par l’Éq. (20).

Fig. 7. Combinaison des méthodes de sous structuration.


Fig. 8. Bras élastomérique et chargements.

Fig. 9. Sections des maillages adoptés pour la partie courantes et l’attache.

4. Modélisation du bras élastomérique

4.1. Présentation de la pièce et des cas de chargementétudiés

Le bras élastomérique est composé de 70 baguettes enverre unidirectionnel et de 28 baguettes en carbone unidirec-tionnel. Ces baguettes sont noyées dans trois matrices diffé-rentes permettant de distinguer trois entités :

• l’ attache dont la matrice est un assemblage de couchesd’élastomère et de verre unidirectionnel (voir Fig. 9),

• la zone intermédiaire qui possède une matrice en élasto-mère,

• et la partie courante dont la matrice est aussi enélastomère. Ce dernier est cependant plus souple quecelui utilisé dans la zone intermédiaire.

Ces deux dernières zones définissent la partie torsible dubras.

Deux cas de sollicitation sont étudiés dans la suite de ceparagraphe :

• un chargement detraction, simulant uniquement lesefforts centrifuges,

• un chargement detraînée sous force centrifuge.

Ces chargements sont illustrés à la Fig. 8.

Avertissement. Pour des raisons de confidentialité, aucunedimension n’est reportée dans le présent article. Pour lesmêmes raisons, les graphiques et courbes présentés sont a-dimensionnés.

4.2. Choix des sous structures et des discrétisationsspatiales

On constate Fig. 8 que les trois entités définissantle bras, sont une à une invariantes (géométriquement etmatériellement) dans la directionz. Il est donc possibled’appliquer l’algorithme présenté à la Section 3.

Afin de bien cerner les différents phénomènes, desmaillages fins sont adoptés pour les trois différentes partiesdu bras. La Fig. 9 décrit les sections de maillages adoptéspour la zone torsible (partie courante et la zone intermé-diaire) et pour l’attache.

Les chargements précédemment décrits en introductionpouvant être décomposés en parties symétrique et antisymé-trique, l’étude est réduite à un quart de structure et ce en uti-lisant des conditions limites appropriées. On adopte respec-tivement 64, 16 et 256 couches d’éléments (i.e., nombre de


Fig. 10. Bras élastomérique et dispositif expérimental.

pas de l’algorithme de sous structuration multi-niveau) pourl’attache, la zone intermédiaire et la partie courante. Sachantqu’une couche d’éléments (de type 3D iso-paramétrique) re-présente 10 406 degrés de liberté pour les zones intermé-diaire et courante et 14 754 degrés de liberté pour l’attache,le problème 3D complet équivalent représenterait environ2 millions de degrés de liberté et ce en tenant compte dessymétries et antisymétries (i.e. : 4 fois plus sans ces simplifi-cations). La méthode de sous structuration permet de passeroutre cette difficulté, car n’est traitée qu’une couche d’élé-ments à la fois, soit au maximum 14 754 équations.

4.3. Résultats sur les différents cas de chargement

4.3.1. Dispositif expérimentalLes résultats expérimentaux présentés au cours de ce

article ont été obtenus par EUROCOPTER. Le dispositifutilisé est présenté sur la Fig. 10.

Le bras élastomérique (Fig. 10,3©) est fixé au bâti vial’attache rotor 1©. L’attache coté pale (pièce non prise encompte dans la modélisation) est, quant à elle, liée aux vérinset aux câbles qui imposent les différentes sollicitations.

Les efforts centrifuges sont imposés longitudinalementpar rapport au bras par l’intermédiaire de deux câbles deprécontraintes6©. Le vérin 2©, par son excentrage, permetd’imposer un chargement de torsion, tandis que le vérin4©,centré sur l’axe neutre du bras, impose la flexion. Afin depouvoir imposer des flexion avec différent rapports entrele moment fléchissant et l’effort tranchant, il peut prendredifférentes positions5©.

Enfin, afin de mesurer les déformations locales (et doncles contraintes locales par le biais d’une loi de comportementélastique), des jauges de déformations locales sont disposéessur quatre baguettes (Fig. 11) à un douzième, un sixième età la moitié de la partie torsible.

4.3.2. Force centrifugeOn impose un déplacement uniforme (rigide) suivantz

sur la section extrême de la partie courante (Fig. 12) dont laréaction est égale à 183 000 N.

Fig. 11. Section du bras élastomérique et positions des jauges de déforma-tions.

Fig. 12. Chargement de traction pure — force centrifuge.

On s’intéresse dans un premier temps à la répartition dela composante normale (σzz) du champ des contraintes etce, aux deux frontières définies par les trois sous structures.L’hétérogénéité des matériaux dans ces deux zones risquentde créer de fortes singularités de contraintes.

Répartition des contraintes sur les baguettes aux frontières.

Remarque 1. Les échelles des champs de contraintesprésentés Figs. 13 et 14, sont normées par une même valeur.Cette valeur est adoptée pour tous les résultats en contraintesprésentés par la suite.

Une approche simple d’une structure telle que le brasélastomérique serait de négliger les effets de l’élastomèreet de ne considérer cette pièce que comme un réseau depoutre. Mais, une telle hypothèse donnerait une composanteσzz constante. Or, on constate que si un tel résultat est vérifiéà la frontière entre la zone intermédiaire et la partie courante(cf. Fig. 13), il n’en va pas de même lors de la transitionentre l’attache et la zone intermédiaire. En effet, la Fig. 14montre qu’il n’y a ni uniformité deσzz d’une baguette à uneautre (il semble que la contrainte moyenne d’une baguetteaugmente avec son éloignement de l’axeOy), ni, d’ailleurssur une même baguette (la composanteσzz va du simple audouble sur la baguette en verre la plus excentrée Fig. 14).Une modélisation trop simple du bras ne mettrait pas en évi-dences les différents phénomènes singuliers décrits précé-demment.


Fig. 13. Champ de contrainteσzz sur la frontière côté pale sous chargementde traction.

Fig. 14. Champ de contrainteσzz sur la frontière côté rotor sous chargementde traction.

Répartition aux frontières des déformations dans l’élasto-mère. Afin d’essayer d’appréhender l’état de déformationde l’élastomère, on choisit de s’intéresser à la répartition dudeuxième invariant des déformations dans les deux sectionsde frontière (Figs. 15 et 16). Une première constatation vi-suelle indique que le comportement des deux frontières estcomplètement différents. En effet, sur la frontière côté pale,les déformations se localisent de manière préférentielle entreles baguettes en verre (1©, Fig. 15), alors que, côté rotor, lesecond invariant est plus important à l’extérieur du quart depièce modélisé (2©, Fig. 15).

Le premier phénomène est plus endommageant pour lematériau, l’épaisseur de ce dernier étant moindre entre lesbaguettes. Il peut témoigner d’un écrasement de l’élastomèreentre les baguettes. Le second comportement sembleraitplutôt traduire un simple effet Poisson de l’élastomère.

Afin de mieux comprendre et de valider le phénomèned’écrasement avancé pour d’expliquer la répartition visuali-

Fig. 15. Répartition du second invariant sur la frontière côté pale souschargement de traction.

Fig. 16. Répartition du second invariant sur la frontière côté rotor souschargement de traction.

sée sur la Fig. 15, on s’intéresse maintenant au comporte-ment des baguettes numérotées 15 et 21 (cf. Fig. 11) et quisont particulièrement sollicitées. Ces baguettes étant de plusinstrumentées, il est possible de comparer et d’éventuelle-ment valider notre modélisation.

Comportement des baguettes les plus sollicitées. On s’in-téresse dans un premier temps, au champ de déplacementsdes baguettes 15 et 21 (voir Fig. 11).

Remarque 2. Les valeurs de déplacements présentées sontnormalisées par le déplacement imposé suivant l’axez afind’obtenir une résultante en force équivalente à celle dueaux efforts centrifuges. Les repères 1, 2 et 3 indiquentrespectivement, dans les graphiques à venir, l’attache, lazone intermédiaire et la partie courante.

Les déplacements moyens des baguettes 15 et 21 (Figs. 17et 18) montrent, dans les deux cas, une forte discontinuitédes composantesux et uy à la frontière entre l’attache et lazone intermédiaire. Ceci est dû à la discontinuité à la foisgéométrique et matérielle dans cette partie du bras. Une dis-continuité moindre est constatée au niveau de la zone inter-médiaire et de la partie courante car cette zone ne présentequ’une faible discontinuité matérielle et une continuité géo-métrique (sections identiques). On remarque, pour la compo-santeuz, une discontinuité faible à la jonction entre la par-tie torsible et l’attache (quelque peu plus marquée pour labaguette de verre 21) et pratiquement aucune variation dueà l’écart de rigidité entre les matrices élastomériques de lazone intermédiaire et de la partie courante.

La deuxième remarque, se dégageant des graphiquesFigs. 17(a) et 18(a), concerne la composanteux qui prenddes valeurs positives dans l’attache et la zone intermédiaire.


Fig. 17. Déplacements normalisés moyens de la baguette 15 sous charge-ment de traction.

Un phénomène similaire semble s’initier sur la compo-santeuy (Figs. 17(b) et 18(b)) sans pour autant contraindrecelle-ci à prendre des valeurs positives. Ceci ne témoigne pasde coefficients de Poisson négatifs, mais d’une déformationde la structure en tonneau due à l’encastrement de l’attachedu côté rotor et au déplacement rigide imposé à l’extrémitéde la partie torsible. Les Figs. 19 et 20 illustrent ce phéno-mène. De telles déformations des baguettes créent, commeavancé lors de l’analyse de la répartition du second invariant,un pincement de l’élastomère amenant ce dernier à des tauxde déformations importants entre les baguettes.

Remarque 3. Dans le but de valider la déformation entonneau du bras élastomérique, on réalise, à partir d’unestructure simplifiée, un calcul complet sous l’hypothèse descontraintes planes. Les résultats obtenus montrent, et ce quelque soit le degré d’interpolation des éléments, une déforméeprésentant les même caractéristiques que celles énoncéesprécédemment.

Enfin, on s’intéresse à l’évolution de la composante nor-male du tenseur des contraintes (σzz) le long des baguettes15 et 21. Une corrélation correcte existe entre les résultatsnumériques et expérimentaux.

L’évolution donnée par le calcul numérique (cf. Fig. 21)permet de constater que le tenseur des contraintes n’estpas constant le long d’une baguette. Ceci appuie doncl’impossibilité de modéliser le bras par un assemblage depoutres en parallèle sous un chargement de traction.

Fig. 18. Déplacements normalisés moyens de la baguette 21 sous charge-ment de traction.

De plus, il semble que la baguette de verre présente uneforte concentration de contraintes localisée entre l’attache etla zone intermédiaire. Cette singularité n’existe pas sur labaguette de carbone.

4.3.3. TraînéeOn aborde à présent un cas de sollicitation de traînée sous

force centrifuge. Trois composantes peuvent être isolées :

• les efforts centrifuges,• un mouvement de translation rigide suivant l’axex

appliqué à l’extrémité de la zone torsible,• et une rotation rigide autour dey de cette même section.

Répartition des contraintes sur les baguettes aux frontières.Ce cas de chargement donne une répartition de contraintenormale assez différente de celle résultant d’un effort detraction pure (Figs. 24 et 25). En effet, on constate unerépartition assez peu homogène sur une même baguette etune réponse assez disparate d’une baguette à l’autre. Lesbaguettes excentrées par rapport à l’axeOy sont les plussollicitées. La zone de transition entre l’attache et la zoneintermédiaire constitue une fois de plus un site privilégié auxconcentrations de contraintes et donc à l’endommagement.

Répartition aux frontières des déformations dans l’élasto-mère. La répartition du second invariant des déformationsà la frontière côté rotor est sensiblement la même que celle


Fig. 19. Détail de la déformée de la baguette 15 sous chargement de traction.

Fig. 20. Détail de la déformée de la baguette 21 sous chargement de traction.

Fig. 21. Évolution, sous chargement de traction, deσzz (normalisé) le longde la baguette 15.

obtenue sous chargement de traction, à savoir une valeur plusimportante sur l’extérieur du quart de pièce modélisé (voirFigs. 26 et 27). A la frontière des zones de même section,on retrouve une localisation des déformations entre les ba-guettes en verres, à laquelle vient se superposer, par rapportau chargement de traction, un phénomène analogue entre lesbaguettes de carbone situées prêt de l’axeOy ( 1©, Fig. 27).

Fig. 22. Évolution, sous chargement de traction, deσzz (normalisé) le longde la baguette 21.

Comportement des baguettes les plus sollicitées. LesFigs. 28 et 29 donnent les déformations des baguettes 15et 21 à proximité des zones de discontinuités géométriqueset/ou matérielles.

On constate sur la Fig. 28 que l’effet « tonneau » est trèsatténué sur la baguette 15. Il ne réside plus qu’une très légèrediscontinuité à la frontière entre l’attache feuilletée et la


Fig. 23. Chargement de traînée.

Fig. 24. Champ de contrainteσzz sur la frontière côté pale sous chargementde traînée.

zone intermédiaire. La Fig. 29 montre, sur la baguette 21,la présence toujours marquée de l’effet « tonneau » du auefforts centrifuges, ainsi qu’une forte discontinuité à lafrontière entre l’attache et la zone intermédiaire.

L’existence de ces singularités sur la baguette 21 et leuratténuation sur la baguette 15 explique le comportementmoins homogène des baguette en verre, dans les sectionsfrontières, constaté sur les Figs. 24 et 25.

On s’intéresse maintenant à la répartition de la compo-sante normale des contraintes le long de ces deux baguettes.Les graphiques Figs. 30 et 31 présentent la valeur normali-sée de la composanteσzz due aux seuls effets de traînée1.

La comparaison des résultats numériques et expérimen-taux donne une moins bonne cohérence que pour le casdu chargement de traction (cf. Figs. 21 et 22). En effet, lacontrainte est surévaluée dans la partie courante respective-ment de 15 % et 20 % pour les baguettes 15 et 21.

1 Le zéro des jauges de déformations a été fait après application desefforts centrifuges.

Fig. 25. Champ de contrainteσzz sur la frontière côté rotor sous chargementde traînée.

Fig. 26. Répartition du second invariant sur la frontière côté pale souschargement de traînée.

Fig. 27. Répartition du second invariant sur la frontière côté rotor souschargement de traînée.

Cependant, même si les niveaux de contraintes ne pré-sentent pas la qualité espérée, l’évolution globale le long desbaguettes semble assez cohérente. Cette dernière met en évi-dence une répartition assez régulière de la contrainte nor-male le long de la baguette de carbone (Fig. 30). L’excen-trage important de la baguette 21 fait que celle ci est for-tement sollicitée en traction suivant l’axez. Ceci explique,d’une part le niveau de contrainte normale plus élevé quedans la baguette de carbone et ce malgré un module deYoung du verre deux fois moins important et, d’autre part,la présence de la déformation en tonneau constatée à laFig. 29 et qui témoigne d’une sollicitation en traction (voirla Section 4.3.2). On met en évidence sur cette même ba-guette deux singularités, respectivement situées à 10 mmdu début de la zone intermédiaire (1©, Fig. 31) et à 8,4mm de la partie courante (2©, Fig. 31). Il est intéressant


Fig. 28. Détail de la déformée de la baguette 15.

Fig. 29. Détail de la déformée de la baguette 21.

Fig. 30. Évolution, sous chargement de traînée, deσzz (normalisé) le longde la baguette 15.

Fig. 31. Évolution, sous chargement de traînée, deσzz (normalisé) le longde la baguette 21.


Fig. 32. Répartition du second invariant à 10 mm de l’attache souschargement de traînée.

Fig. 33. Champ de contrainteσzz sur la frontière à 10 mm de l’attache souschargement de traînée.

de voir que ces deux phénomènes bien qu’induits par lesdiscontinuités géométriques et/ou matérielles sont décaléspar rapport aux frontières. La Fig. 32 donne la répartitiondu second invariant sur une section située à 10 mm de l’at-tache2.

La répartition du second invariant des déformations pré-sente un couplage des comportement rencontrés sur les fron-tières attache/zone intermédiaire (cf. Fig. 27) et zone inter-médiaire/partie courante (cf. Fig. 26, à savoir une forte lo-calisation des déformations entre les baguettes ainsi que surl’extérieur du quart de pièce modélisé). On en déduit doncune forte sollicitation de l’élastomère dans cette section pou-vant amené une détérioration.

4.4. Facteur de perte de la structure dans le casd’un chargement de traînée [13,14]

4.4.1. IntroductionOn veut déterminer, dans un cas d’un chargement de traî-

née supposé harmonique, le facteur de perte du bras élasto-mérique. Cette grandeur est à rapprocher de l’amortissementde la structure, à savoir sa capacité à transformer une par-tie de son énergie élastique sous forme d’énergie dissipée.Les différents matériaux composites constituant le bras élas-

2 Zone présentant la singularité enσzz dans les baguettes en verre.

Fig. 34. Modèle de Kelvin–Voigt.

tomérique sont supposésélastiques orthotropes linéaires,les élastomères sont supposésviscoélastiques linéaires iso-tropes.

La démarche présentée ci-dessous se place dans uncadre monodimensionnel, qui se généralise aisément au castridimensionnel.

4.4.2. Équations de la viscoélasticité (modèle rhéologiquede Kelvin–Voigt)

On choisit adopter le modèle rhéologique de Kelvin–Voigt constitué d’un ressort et d’un amortisseur en paral-lèle (voir Fig. 34). De manière classique, on définitσ lacontrainte dans les deux branches du modèle etε la défor-mation. On obtient :

σ = kε + ηε (26)

4.4.3. Régime harmoniqueDans le cas de la rotation d’un rotor à vitesse constante,

on considère le matériau soumis à une sollicitation harmo-nique. On adopte une notation complexe. L’indice∗ indiqueune grandeur complexe. Les déformations peuvent se mettresous la forme :

ε∗ = ε0 eiωt avecε0 ∈ R+ (27)

Le tenseur des contraintes se met, par le biais de (26), sousla forme :

σ ∗ = σ0 eiωt+ϕ (28)

avec

σ0 = ε0

√k2 + η2ω2 (29a)

ϕ = tan−1(

ηω

k

)(29b)

ϕ est appeléangle de perte du matériau et tanϕ facteur deperte.

Le retour en notation réelle donne alors :

σ = σ0 cos(ωt + ϕ) (30)

4.4.4. Caractérisation de l’amortissementL’ amortissement d’un matériau est la part d’énergie

élastique dissipée. Si les grandeurs�W et W représententrespectivement l’énergie locale dissipée par le matériau


Fig. 35. Caractérisation de l’amortissement.

et l’énergie locale élastique, on a, pour une déformationd’amplitudeε0, de pulsationω et de déphasage nul [15] :

�W =2π/ω∫0

σ ε dt = π

2σ0ε0 sinϕ (31a)

W = 1

2σ0ε0 cosϕ (31b)

si bien que le facteur de perte se met sous la forme :

�W

W= π tanϕ = πη (32)

Dans le cas d’une structure constituée den matériaux,d’après [15], l’énergie locale dissipée est vue comme lasomme des énergies dissipées par chacun des matériaux :

�W =n∑

i=1

�Wi (33)

avec�Wi l’énergie dissipée par leièmematériau.En notantηi et Wi (= �Wi/(πηi)) le facteur perte et

l’énergie emmagasinée par ceièmematériau, l’équation (32)devient :

η =n∑

i=1

ηiWi

W(34)

Dans le cas oùηi � 1, on montre que l’énergie de défor-mation du problème viscoélastique est équivalente à celledu problème élastique associé [1,16]. Ceci permet de défi-nir le facteur de perte de la structure complète à partir d’uneunique modélisation élastique et d’aboutir à l’expression dufacteur de perte suivante :

η =n∑

i=1

ηi

Weli

Wel(35)

Dans l’expression (35),Weli etWel représentent les énergies

de déformation associées auième matériau et à la structurecomplète.

Tableau 1Facteur de perte de la structure

Fréquence Facteur de perte

6 Hz 3,2 %3,5 Hz 3,45 %

4.4.5. Facteur de perte du bras élastomérique souschargement de traînée

On s’intéresse au facteur de perte du bras élastomériqueà deux fréquences différentes correspondant, d’une part,au régime nominal du rotor (6 Hz) et, d’autre part, à lapremière fréquence propre du rotor (3,5 Hz) qui sollicitele bras en traînée. L’utilisation d’élastomère permet enthéorie d’apporter de l’amortissement à la structure et ce afind’éviter tout problème d’instabilité.

Les matériaux élastiques qui constituent le bras élastomé-rique sont, par définition, affectés d’un facteur de perte nul.Les différents élastomères utilisés sont peu amortissants, sibien que leurs facteurs de perte sont suffisamment faibles(η ≈ 0,1) pour permettre l’application de l’Éq. (35). Le Ta-bleau 1 donne les facteurs de pertes du bras pour les deuxfréquences précitées.

On constate du Tableau 1 que les valeurs de l’amortisse-ment diminuent avec l’augmentation de la fréquence, c’està dire avec les efforts centrifuges. Ceci est du à l’apport derigidification amené par les efforts centrifuges qui augmen-tent l’énergie élastique totale sans pour autant engendrer dedissipation d’énergie supplémentaire.

5. Conclusion

Cet article est dédié à la modélisation d’assemblagede structures une à une invariantes dans une direction.Pour ce faire, on met en place une méthode de sousstructuration pouvant être vue comme le couplage d’uneméthode classique et d’une méthode multi-niveau de sousstructuration. La première consiste à résoudre un problèmeà la frontière et la seconde est dédiée à la modélisation d’uneunique structure invariante dans une direction.

Cette technique permet la résolution d’un problème in-dustriel, à savoir la modélisation par la méthode des élé-ments finis du bras élastomérique, pièce développée par laSociété EUROCOPTER et, remplaçant sur un hélicoptère,le mécanisme classique de liaison entre le mat rotor et lapale. La difficulté d’un tel problème réside dans la grandehétérogénéité des caractéristiques des différents matériauxet dans la trop faible répétition des motifs, rendant impos-sible un calcul par homogénéisation. De plus, étant inté-ressé par des phénomènes locaux dans les zones de discon-tinuité géométrique et/ou matérielle, un maillage précis doitêtre adopté. La résolution du problème 3D, en adoptant unmaillage d’une telle précision, conduirait à un problème àplusieurs millions de degrés de liberté alors que l’applica-tion de la technique de sous structuration développée ne de-mande la prise en compte d’au plus une dizaine de milliersd’équations à la fois.


L’analyse des différents résultats obtenus sur le BrasÉlastomérique met en avant les points principaux suivants :

• La confirmation de la présence de singularités dansles zones de transition entre les différentes partiesconstitutives, singularités d’autant plus marquées à lafrontière entre l’attache et la zone intermédiaire.

• La mise en évidence d’une déformation en tonneau desbaguettes, quand celles-ci sont sollicitées en traction.Ce phénomène est naturellement présent pour le charge-ment simulant les uniques efforts centrifuges, mais aussisur les baguettes les plus excentrées pour le chargementde traînée.

• Enfin, la zone d’élastomère située entre les paroislatérales des baguettes semblent être un site privilégié delocalisation des déformation et donc d’endommagementdu matériau.

On calcule, pour finir, à partir d’une méthode énergétiquedéveloppée par [1], l’amortissement de la structure pourla fréquence nominale de rotation du rotor, ainsi que pourla première fréquence propre du rotor. Une diminution del’amortissement est constatée avec l’augmentation de lafréquence.

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Documents

Assemblage de structures une à une invariantes dans une direction