Au sujet du débit maximal de la rivière Mistassibi durant la période printanière

NOTE

Au sujet du débit maximal de la rivière Mistassibidurant la période printanière

Mario Lefebvre

Résumé: On trouve d’abord un modèle stochastique pour le débit maximal de la rivière Mistassibi, au Québec, pen-dant chacun des mois d’avril, mai et juin, ainsi que pour le débit maximal au cours de la période de 3 mois. Ensuite,on considère le problème de prévoir le débit maximal en mai en se basant sur le débit maximal en avril.

Mots clés: modélisation stochastique, prévision hydrologique, loi gaussienne, loi lognormale, régression linéaire, corré-lation, coefficient de pointe.

Abstract: First a stochastic model is found for the maximal flow of the Mistassibi river, in Québec, during each of themonths of April, May, and June, as well as for the maximal flow during the 3-month period. Next, the problem offorecasting the maximal flow in May, based on the maximal flow in April, is considered.

Key words: stochastic modeling, hydrological forecast, Gaussian distribution, lognormal distributrion, linear regression,correlation, peak criterion. Note 1045

1. Introduction

Labib et al. (2000) ont considéré le problème de prévoir ledébit de la rivière Mistassibi, au Québec, en se basant sur unprocessus de diffusion. L’objectif des auteurs était d’arriverà des prévisions hydrologiques assez précises jusqu’à 7 joursd’avance; cependant, ils n’ont obtenu des prévisions très fia-bles que pour 1 ou 2 jours d’avance. Le travail de Labib etal. a été poursuivi par l’auteur qui a réussi à obtenir des pré-visions de qualité pour une plus longue période.

Les différents modèles développés dans les articles men-tionnés ci-dessus ont été mis à l’épreuve pendant la périodede crue de la rivière, soit du début d’avril jusque tard en maiou même en juin. Dans le présent article, nous nous intéres-sons à un problème qui est encore plus difficile au point devue statistique, soit celui de prévoir le débit maximal de larivière Mistassibi pendant un mois donné, ou encore pendanttoute la période de crue.

À la section 2, nous allons d’abord trouver un modèle sto-chastique pour le débit maximal de la rivière Mistassibi pen-dant chacun des mois d’avril, mai et juin, puis pour le débitmaximal au cours de ces 3 mois.

Le problème d’essayer de prévoir le débit maximal de larivière en mai, qui est également la plupart du temps le« maximum » pendant les trois mois, et ce en se basant surle débit maximal de la rivière en avril, sera considéré à lasection 3. Enfin des remarques concluront cette note à lasection 4.

2. Un modèle stochastique pour les débitsmaximaux

Nous disposons des débits quotidiens de la rivière Mistas-sibi et d’observations météorologiques pour la période de1953 à 1995. Toutefois, en raison de nombreuses donnéesmanquantes pour les années 1953 à 1962, nous allons nouslimiter à la période de 1963 à 1995.

Nous avons appliqué le test d’Anderson–Darling pour vé-rifier si l’on peut considérer que les données proviennentd’une loi gaussienne. Les valeurs des statistiques utiliséespour prendre la décision et les valeursp correspondantes,c’est-à-dire, la plus petite valeur du paramètreα que l’onpeut utiliser pour rejeter l’hypothèse de normalité, sont pré-sentées dans le tableau 1. En consultant ce tableau, on voitque l’hypothèse de normalité des données, sauf dans le casdu débit maximal en avril, est très réaliste, particulièrementpour ce qui est du débit maximal d’avril à juin, où la valeurp est supérieure à 0,9, ce qui est remarquable.

Maintenant, si on applique le test d’Anderson–Darlingaux logarithmes des débits maximaux en avril, on obtientune statistique de 0,314 et une valeurp de 0,529. Donc, onpeut conclure qu’un excellent modèle pour le débit maximalen avril est la loi lognormale.

Il existe sûrement d’autres modèles qui pourraient être ex-cellents pour les données recueillies. Cette note n’a pas pour

Can. J. Civ. Eng.28: 1041–1045 (2001) © 2001 CNRC Canada

1041

DOI: 10.1139/cjce-28-6-1041

Reçu le 25 juin 2001. Révision acceptée le 2 octobre 2001.Publié au site Web des Presses scientifiques du CNRC, àhttp://rcgc.cnrc.ca, le 30 novembre 2001.

M. Lefebvre. Département de mathématiques et de génieindustriel, École Polytechnique de Montréal, C. P. 6079,Succursale Centre-ville, Montréal, QC H3C 3A7, Canada(courriel : [email protected]).

Les commentaires sur le contenu de cet note doivent êtreenvoyés au directeur scientifique de la revue avant le 30 avril2002.

DOI: 10.1139/cjce-28-6-1041

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objectif de trouver la meilleure distribution de probabilitéspour la prévision de crues. Cependant, étant donné que ladistribution gaussienne ne peut pas être rejetée pour le débitde la rivière ou pour son logarithme, et compte tenu des pro-priétés intéressantes que possède cette distribution, nous al-lons l’utiliser pour les prévisions des débits à la section 3.

Le tableau 2 donne les moyennesµ et écarts-typesσ desvariables lnmax-avril, max-mai, max-juin et maximum, tan-dis que le tableau 3 présente les coefficients de corrélationρentre ces quatre variables. On s’aperçoit que le coefficient decorrélation entre lnmax-avril et max-mai est assez faible(0,279).

En se servant des valeurs numériques des tableaux 2 et 3,on peut construire des intervalles de confiance (approxima-tifs) pour le débit maximal (ou pour son logarithme) lorsd’un mois donné, de même que pour le débit maximal lorsd’un mois donné étant donné une valeur quelconque d’uneautre variable. Par exemple, puisque

[1] X Y y N yX X Yx

YY X X Y| ~ ( ), ( ), ,= + − −

µ ρ σ

σµ σ ρ2 21

si le vecteur aléatoire (X,Y) suit une loi binormale de para-mètresµX, µY, σX

2 , σY2, ρX Y, , un intervalle de confiance avec

coefficient de confiance 95 % pour la valeur du débit maxi-mal en mai, étant donné que le logarithme du débit maximalen avril est de 5,8, est 1056,2 ± 448,15. Comme on peut leconstater, le fait que le coefficient de corrélation soit faibleentre lnmax-avril et max-mai a pour conséquence quel’intervalle de confiance est grand.

Nous pouvons aussi calculer des valeurs des débits maxi-maux que la rivière n’a qu’une chance sur 100 de dépasser,par exemple. Ainsi, la valeurx0 du débit maximal en maique la rivière ne dépasse (en moyenne) qu’une fois sur 100est

[2] x0 ≅ + ≅1056,5 2,326 238,1 1610,32( ) ( )

Pour conclure cette section, nous allons nous intéresser àla date à laquelle le débit maximal a été atteint pendant lapériode avril à juin. Si l’on numérote les jours de 1 à 91, ontrouve que la moyenne de la variable date est 45,36 et son

écart-type est 10,55. Donc, le plus souvent, le débit maximalest atteint vers la mi-mai. De plus, si l’on applique le testd’Anderson–Darling à cette variable, on trouve que la valeurp est de 0,329 (avec une statistique égale à 0,408). Ainsi, ladate du débit maximal semble également suivre une loigaussienne. Cependant, la date et le débit maximal sont trèspeu corrélés : le coefficient de corrélationρ entre les deuxvariables est environ de 0,073. Puisque les deux variablessont approximativement gaussiennes, on peut (presque) af-firmer que la valeur du débit maximal d’avril à juin est pra-tiquement indépendante de la date à laquelle ce maximumest observé. En effet, si l’on teste l’hypothèse H0 : ρ = 0contre H1 : ρ ≠ 0, on trouve que la valeurp du test est supé-rieure à 0,6.

Dans la section qui suit, nous allons essayer de prévoir ledébit maximal en mai en nous basant sur la valeur du débitmaximal de la rivière en avril.

3. Prévision du débit maximal en mai

Le problème de trouver un modèle pour le débit maximalde rivières ou de bassins hydrologiques a été considéré parplusieurs auteurs en hydrologie. Gupta et al. (1976), parexemple, ont obtenu une expression exacte pour la distribu-tion conjointe du débit maximal et de son moment d’arrivée.D’autres auteurs ont essayé de trouver, en plus d’un modèle,un estimateur pour la valeur du débit maximal. Rosbjerg(1987), en particulier, a développé un modèle pour la distri-bution du débit maximal prévu. Toutefois, son travail est dif-férent du nôtre, car il s’est intéressé à la valeur du débit quidépasse un certain seuil et il a obtenu, sous certaines hypo-thèses, un estimateur du débit maximal qui dépend du coeffi-cient de corrélation entre deux sommets consécutifs. Dansnotre cas, il n’y a pas de seuil fixé un peu arbitrairement. Deplus, nous voulons essayer de prévoir le débit maximal enmai en nous basant sur la valeur du débit maximal en avril;or, le débit maximal de la rivière Mistassibi en avril est leplus souvent observé le 30 avril et n’est généralement pas unsommet.

Ensuite, le modèle de Rosbjerg (1987) repose sur les hy-pothèses que les sommets se produisent selon un processusde Poisson et que la distribution de la valeur du débit qui dé-passe le seuil choisi est exponentielle. Nous avons vu à lasection précédente que les débits maximaux de la rivièreMistassibi en avril, mai et juin semblent plutôt suivre une loigaussienne ou une loi lognormale (en avril).

Enfin, il peut arriver que pendant la période de crue de larivière Mistassibi le débit augmente constamment de la finde mars au maximum en mai, de sorte que l’on ne peut pascalculer le coefficient de corrélation entre deux sommetsconsécutifs.

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Variable Statistique Valeurp

maximum 0,167 0,932max-avril 0,932 0,016max-mai 0,291 0,589max-juin 0,423 0,303

Tableau 1. Tests de normalité pour lesdébits maximaux.

Variable Moyenne Écart-type

lnmax-avril 5,810 0,783max-mai (m3/s) 1056,5 238,1max-juin (m3/s) 608,5 237,3maximum (m3/s) 1083,5 215,7

Tableau 2. Moyennesµ et écarts-typesσ desdébits maximaux en m3/s.

lnmax-avril max-mai max-juin

max-mai 0,279max-juin –0,358 0,128maximum 0,319 0,940 0,191

Tableau 3. Coefficients de corrélationρ entre lesdébits maximaux.



Maintenant, en se basant sur les résultats de la section 2,on peut affirmer que le meilleur estimateur du débit maximalen mai, dénoté parX, étant donné le logarithme du débitmaximal de la rivière Mistassibi en avril, dénoté parY, estdonné approximativement par

[3] E X Y y y[ | ] ( ) ( )= = +

−1056,5 0,279

238,10,783

5,810

Cependant, pour juger de la qualité de cet estimateur pourles années futures, il faut calculer les moyennes, variances etcoefficient de corrélation deX et Y pour un certain nombred’années et comparer les estimations obtenues par le modèleaux valeurs observées les années subséquentes. Ainsi, nousavons choisi d’utiliser les années 1963 à 1982 pour estimerles paramètres requis, pour ensuite vérifier la précision del’estimateur des débits maximaux pendant les années 1983 à1995. On trouve les valeurs numériques suivantes pour la pé-riode de 20 ans de 1963 à 1982 :

[4] µ σ µ σX X Y Y= = = =1052,1 230,1 5,695 0,844; ; ; ;

ρX Y, = 0,427

On remarque que le coefficient de corrélation est tout demême assez élevé entre les deux variables aléatoires. L’esti-mateur prend la forme

[5] E X Y y y[ | ] ( )= ≅ + −1052,1 116,41 5,695

Comme critères de qualité des prévisions obtenues aveccette formule, nous allons considérer deux statistiques, à sa-voir la somme des erreurs au carré SC et le coefficient depointe CP, définies par (Ribeiro et al. 1998),

[6] SC = −=∑ ( $ )i

x kX X1

132

et

[7] CP =

−

=

=

∑

∑

( $ )

/

ik k k

ki

X X X

X

1

132 2

1 4

2

1

131/ 2

où Xk est le débit maximal observé en mai lake année (k = 1correspond à 1983) et$Xk est le débit maximal prévu pourcette même année. On peut montrer que le coefficient depointe, qui sert à mesurer la qualité des prévisions hydrolo-giques pour les débits élevés, est compris entre 0 et 1; enoutre, plus la valeur de la statistique CP est proche de 0, plusles prévisions sont bonnes.

Afin de vérifier si la connaissance du débit maximal de larivière Mistassibi en avril aide vraiment à prévoir le débitmaximal en mai, nous allons comparer les valeurs des statis-tiques SC et CP obtenues avec l’estimateur défini par [5] àcelles que l’on obtient en estimantX simplement par lamoyenne des débits maximaux en mai au cours des 20 an-nées précédentes, c’est-à-dire 1052,1. Nous dénotons par$X1l’estimateur défini par [5] et$X2 = 1052,1 (tableau 4). Onconstate que, bien que l’estimation donnée par la formule [5]

soit meilleure pour prévoir les sommets très élevés, l’erreurstandard, définie par

[8] STDSC=12

est inférieure lorsque l’on prévoit le débit maximal en maipar la moyenne des débits maximaux en mai au cours des20 années précédentes : STD1 ≅ 269,79 comparativement àSTD2 ≅ 259,68.

La prévision du débit maximal en mai, en se basant sur ledébit maximal en avril, est sûrement plus précise lorsque ledébit maximal en avril s’est produit le 30 avril. En fait,parmi les 33 années considérées, le débit maximal en avrils’est produit 26 fois le 30 avril (et une autre fois le 29 avril).Par conséquent, il est intéressant de refaire les calculs en neconservant que ces années où le débit maximal en avril a étéobservé le 30 avril. Les estimations ponctuelles des paramè-tres des variables aléatoiresX et Y, calculées maintenant àpartir de 16 années, sont données approximativement par

[9] µ σ µ σX X Y Y= = = =1058,3 235,4 5,558 0,868; ; ; ;

ρX Y, = 0,630

On remarque l’augmentation significative (de plus de47,5 % en fait) du coefficient de corrélation entreX et Y, tan-dis que les autres quantités ont peu varié.

Les valeurs des statistiques SC et CP (tableau 5) nousamènent aux mêmes conclusions que précédemment.Puisque le débit maximal en avril a été observé le 30 pour10 des 13 années de la période 1983 à 1995, on calculeSTD1 ≅ 202,34 et STD2 ≅ 186,27. Donc, pour ces années,l’erreur est nettement inférieure aux valeurs correspondantesobtenues avec les 13 années, ce qui confirme l’affirmationfaite ci-dessus selon laquelle il est beaucoup plus facile deprévoir le débit maximal en mai pour les années où le débitmaximal en avril a été observé le 30.

Bien que la valeur du débit maximal en avril de la rivièreMistassibi lorsque ce débit maximal s’est produit le 30 avrilne permette pas de prévoir le débit maximal en mai avecplus de précision, en moyenne, qu’en utilisant l’estimateur$X2, si l’on compare les débits maximaux prévus pour les 10

années considérées aux débits maximaux observés (tableau6), on s’aperçoit que pour trois de ces 10 années la prévision

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Note 1043

Estimateur SC CP$X1 873 458 0,2160$X2 809 180 0,2264

Tableau 4. Valeurs de SC et de CPobtenues avec$X1 et $X2 .

Estimateur SC CP$X1 368 473 0,2017$X2 312 263 0,2246

Tableau 5. Valeurs de SC et de CPobtenues pour les années où le débitmaximal en avril a été observé le30 avril.



est exceptionnelle, ce qui n’est pas le cas avec la moyenne1058,3. En effet, pour les années 1986, 1990 et 1991, lespourcentages d’erreur sont respectivement d’environ 0,05 %,0,46 % et 0,04 %!

Pour conclure cette section, nous allons faire appel à deuxtechniques qui ont bien fonctionné dans le passé. D’abord,nous allons utiliser la régression linéaire pour déterminercomment tenir compte à la fois du débit de la rivière le 30avril et de la température en cette même journée pour pré-voir le débit maximal en mai. En se basant sur les 16 annéesconsidérées ci-dessus, on trouve que

[10] X D T= + −924 0,458 8,2

où D est le débit etT est la température le 30 avril.En se servant de cette équation de régression, on obtient

une somme des carrés des erreurs SC de 307 979 et un coef-ficient de pointe CP de 0,1974. Il faut toutefois ajouter que,parce que nous ne disposons pas de la température du 30avril 1995, nous avons dû éliminer l’année 1995 aussi et, parconséquent, l’erreur standard est d’environ 196,21.

En fait, nous avons aussi utilisé la régression linéaire avecla variableD uniquement, et les résultats obtenus sont légè-rement moins bons qu’avec la variableT dans le modèle : er-reur standard de 200,82 m3/s et CP≅ 0,2012 (sans l’année1995). Donc, contrairement à ce qui a été observé dansd’autres travaux, l’utilisation de la valeur de la températurele jour où l’on doit fournir la prévision hydrologique amé-liore peu cette prévision.

Enfin, la deuxième technique utilisée avec succès parl’auteur dans d’autres travaux consiste à prendre la moyennedes prévisions fournies par différents modèles, de façon à di-minuer la variance. Ainsi, si l’on calcule la moyenne arith-métique des prévisions$X1, $X2 et celles fournies par laformule [10], on obtient (avec 9 années) : SC≅ 276 823 etCP ≅ 0,1950. Notons que l’erreur standard d’environ 186,02est inférieure à celle obtenue avec$X1 et avec l’équation derégression. De plus, nous avons ici le meilleur coefficient depointe CP.

4. Conclusion

Dans cette note, nous nous sommes intéressés à la modéli-sation et à la prévision du débit de la rivière Mistassibi, auQuébec, pendant la période de crue de la rivière, soit d’avrilà juin. À la section 2, nous avons obtenu des modèles, pourle débit maximal lors de chacun des 3 mois considérés et ledébit maximal pendant toute la période de crue, quis’approchent des valeurs observées. De plus, étant donnéque ces modèles sont soit gaussiens ou lognormal, il est fa-cile d’en tirer des intervalles de confiance pour les prévi-sions des débits futurs.

À la section 3, nous avons tenté, de diverses façons, deprévoir le débit maximal de la rivière en mai en nous basantsur la valeur du débit maximal en avril. Nous avons vu qu’ils’agit d’un problème difficile, car les deux quantités, soit ledébit maximal (ou son logarithme) en avril et le débit maxi-mal en mai, sont peu corrélées. Il s’ensuit que l’utilisationdu débit maximal moyen en mai au cours des années précé-dentes permet d’obtenir des prévisions qui sont, enmoyenne, plus proches de la réalité que celles déduites desmodèles de la section 2, ou encore obtenues par l’entremised’autres techniques, comme la régression linéaire.

Cependant, nous avons aussi vu que les modèles dévelop-pés permettent de mieux prévoir les débits très élevés, ce quiest important, et donnent assez souvent des prévisions tout àfait remarquables. Ces modèles ne sont donc pas sans inté-rêt, même pour la prévision des débits maximaux futurs.

Finalement, il serait intéressant d’effectuer le même genrede travail que dans cette note, mais pour une rivière ou unbassin hydrologique où les débits journaliers présentent plu-sieurs sommets bien définis pendant la période de crue. Ilserait alors probablement plus facile de fournir des prévi-sions hydrologiques relativement précises.

5. Remerciements

Cette recherche a été subventionnée par le Conseil de re-cherches en sciences naturelles et en génie du Canada.

Bibliographie

Gupta, V.K., Duckstein, L., et Peebles, R.W. 1976. On the jointdistribution of the largest flood and its time of occurrence. Wa-ter Resources Research,12 : 295–304.

Labib, R., Lefebvre, M., Ribeiro, J., Rousselle, J., et Trung, H.T.2000. Application of diffusion processes to runoff estimation.Journal of Hydrologic Engineering,5 : 1–7.

Ribeiro, J., Lauzon, N., Rousselle, J., Trung, H.T., et Salas, J.D.1998. Comparaison de deux modèles pour la prévision journa-lière en temps réel des apports naturels. Revue canadienne degénie civil, 25 : 291–304.

Rosbjerg, D. 1987. On the annual maximum distribution in de-pendent partial duration series. Stochastic Hydrology and Hy-draulics,1 : 3–16.

Liste des symboles

CP coefficient de pointeD débit le 30 avril

E[X|Y = y] espérance conditionnelle deX, étant donné queY = ylnmax-avril logarithme du débit maximal de la rivière Mistassibi

en avril

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Année 1983 1984 1985 1986 1988 1989 1990 1991 1992 1995

Débit observé 972 986 1100 1290 770 1110 1250 1120 1380 1178Débit prévu ($X1) 1201,64 1243,81 1027,87 1290,61 1107,09 886,74 1244,26 1119,50 1114,36 1078,00% d’erreur avec$X1 23,63 26,15 6,56 0,05 43,78 20,11 0,46 0,04 19,25 8,49% d’erreur avec$X2 8,88 7,33 3,79 17,96 37,44 4,66 15,34 5,51 23,31 10,16

Tableau 6. Débits maximaux (en m3/s) en mai observés et prévus ($X1) pour les années 1983 à 1995, sauf 1987, 1993 et 1994, etpourcentages d’erreur avec$X1 et $X2 .



maximum débit maximal de la rivière Mistassibi pendant lesmois d’avril à juin

max-avril débit maximal de la rivière Mistassibi en avrilmax-juin débit maximal de la rivière Mistassibi en juin

max-maiX débit maximal de la rivière Mistassibi en maivaleur p plus petite valeur deα pour laquelle on peut rejeter la

normalitéSC somme des erreurs au carré

STD erreur standard

T température le 30 avrilXk débit maximal observé en mai lake année$Xk estimateur deXk

$ , $X X1 2 estimateurs deXY logarithme du débit de la rivière Mistassibi le 30 avrilα risque de première espèce du test de normalité

µX moyenne de la variable aléatoireXρX Y, coefficient de corrélation des variables aléatoiresX et Y

σX2 variance de la variable aléatoire X

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