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7/27/2019 Automatique Modelisation
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Dpartement de Gnie Electrique
3me
Anne GE
AUTOMATIQUEMODELISATION
Fernand LEGER 1930 Contrainte dobjets
Edition 2008 J.M RETIF
Institut National des Sciences Appliques de Lyon
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[JM. RETIF], [2007], INSA de Lyon, tous droits rservs. [JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
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Chapitre I
VARIABLES DETAT CONTINUES
1. PREAMBULE....................................................................................................................... 12. FORMULATION PAR DES EQUATIONS DETAT CONTINUES.............................. 2
2.1 Solution analytique des quations dtat. .............................................................................................. 22.2 Calcul de la matrice de transition........................................................ ................................................... 32.3 Exemple : rponse dun second ordre. ....................................................... ............................................ 3
3. PHENOMENES ENERGETIQUES. .................................................................................. 44. MODELISATION DETAT A PARTIR DEQUATIONS DIFFERENTIELLES......... 5
4.1 Domaine lectrique. ...................................................... .................................................................. ......... 64.2 Domaine mcanique en translation. .................................................................... ................................. 134.3 Domaine mcanique en rotation. ................................................................... ....................................... 19
5. CHANGEMENT ENTRE LES FORMALISMES DETAT ET DETRANSMITTANCE................................................................................................................... 22
5.1 Passage des quations dtat une matrice de transfert. ................................................................... 225.2 Passage dune transmittance aux quations dtat. ......................................................... ................... 22
6. EXEMPLE........................................................................................................................... 276.1 Moteur courant continu................................... ........................................................... ........................ 27
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Chapitre II
LES BOND GRAPHS
1. PREAMBULE..................................................................................................................... 332. LIENS ET PORTS.............................................................................................................. 33
2.1 Dfinitions. ............................................................. .............................................................. ................... 332.2 Expressions de la puissance et de lnergie.......................... ................................................................ 342.3 Variables de flux et deffort. ........................................................... ...................................................... 36
3. ELEMENTS DU LANGAGE BOND GRAPH. ............................................................... 373.1 Les lments actifs.................... ........................................................... ................................................... 373.2
Elments passifs......................................................... ........................................................... .................. 38
3.3 Les dtecteurs. .......................................................... ............................................................ .................. 423.4 Jonctions. ...................................................... ........................................................... ............................... 433.5 Elments de transformation. .............................................................. ................................................... 45
4. PROCEDURES DE CONSTRUCTION DE MODELES. .............................................. 474.1 Exemple 10 : Filtre elliptique. .................................................. ............................................................ . 484.2 Exemple 11 : Poulie entranant une charge. ........................................................... ............................. 49
5. CAUSALITE DUN BOND GRAPH. ............................................................................... 505.1 Notion de causalit. ........................................................ ............................................................... ......... 505.2 Les lments actifs.................... ........................................................... ................................................... 505.3 Les lments passifs. ........................................................... ........................................................... ........ 515.4 Jonctions. ...................................................... ........................................................... ............................... 525.5 Elments de transformation. .............................................................. ................................................... 525.6 Procdure daffectation de la causalit. ................................................................... ............................ 535.7 Rcapitulatif des causalits. ........................................................... ....................................................... 54
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Chapitre III
MODLISATION PAR LES BOND GRAPHS
1. PREAMBULE..................................................................................................................... 572. CHEMINS CAUSAUX DUN BOND GRAPH. ............................................................... 57
2.1 Gain dun chemin causal. .......................................................... ........................................................... . 572.2 Gain dune boucle causale. ............................................................... ..................................................... 59
3. ETABLISSEMENT DUNE FONCTION DE TRANSFERT. ....................................... 614. ELABORATION DES EQUATIONS DETAT............................................................... 625. APPLICATIONS DES BOND GRAPHS A LA MODELISATION. ............................. 65
5.1 Exemple A : Filtre passif. ........................................................ .............................................................. 655.2 Exemple B : Traction dune charge par une poulie. ................................................................. .......... 735.3 Exemple C : Suspension dun vhicule.................................................................................. ............... 76
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INSA 3GE JM RETIF Modlisation par variables dtat
VARIABLES DETAT CONTINUES
1. Prambule.La formulation par variables dtat est une approche directe dans le domaine temporel qui
sexprime par une quation diffrentielle matricielle du premier ordre.
Les systmes qui peuvent tre reprsents par variables dtat sont rgis par des quations
diffrentielles et peuvent tre multi variables (plusieurs entres et plusieurs sorties).Pour reprsenter les informations dues lordre et aux diffrentes entres sorties, lquation
diffrentielle est matricielle.
Le vecteur de sortie est exprim en fonction du vecteur dentre et dun vecteur intermdiaire qui
traduit ltat du systme.
Les quations dtat ont la forme suivante :
X(t) A X(t) B U(t)= + Equation dtat (1.1)Y (t) C X(t) D U(t)= + Equation de sortie (1.2)
U(t) Vecteur dentre de dimension (e,1) (1.3)Y(t) Vecteur de sortie de dimension (s,1) (1.4)
X(t) Vecteur dtat de dimension (n,1) (1.5)
A Matrice dtat de dimension (n,n) (1.6)
B Matrice dentre de dimension (n,e) (1.7)
C Matrice de sortie de dimension (s,n) (1.8)
D Matrice de couplage direct entre sortie, de dimension (s,e) (1.9)
Les quations (1.1) et (1.2) correspondent au schma bloc de simulation suivant :
Be
U(t)+
Cn n nX(t) + Y(t)
A
+
n
D
+
s
s
sX(t)
Figure 1 schma bloc dune reprsentation dtat.
Dans le cas mono variable s e 1= = , la taille du vecteur dtat sera gale lordre de lquationdiffrentielle.
Non unicit de la formulation dtat.
Le choix dun vecteur dtat nest pas unique, pour un vecteur dtat donn il est possible, via
une transformation T, de faire un changement de base. Il existe donc une infinit de
dcompositions dtat qui seront videments identiques dans leurs reprsentations entre sortie
mais qui auront des vecteurs dtat diffrents.
La non unicit de la reprsentation dtat peut se montrer aisment, en effet, appliquons une
dcomposition dtat quelconque la transformation linaire dfinie par une matrice T de
dimension (n,n) tel que :X(t) T X(t)= avec X(t) le nouveau vecteur dtat.
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INSA 3GE JM RETIF Modlisation par variables dtat
En utilisant les relations (1.1) et (1.2) nous aurons les quations dtat suivantes :
1 1X(t) T A T X(t) T B U(t)
= + A.X(t) B U(t)= +
Y(t) C T X(t) D U(t)= + C X(t) D U(t)= + Nous obtenons ainsi un nouveau systme dtat avec :
1A T A T= , 1B T B= , C C T= .
2. Formulation par des quations dtat continues.2.1 Solution analytique des quations dtat.
Pour tablir lvolution temporelle de la sortie, il est ncessaire de rsoudre lquation dtat
(1.1) ceci tant fait, puisque la sortie Y(t) est une combinaison linaire de lentre U(t) et de
ltat X(t) , la relation (1.2) assurera le calcul de la sortie.
Pour rsoudre cette quation dtat prenons en la transforme de Laplace.
[ ]X (t) A X(t) B U(t) = + L L
Le systme est ici considr avec une condition initiale non nulle 0X
0p.X(p) A X(p) X B U(p)= + + [ ] 0p I A X(p) X B U(p) = + Do lon tire :
[ ] [ ]1 1
0X(p) p I A X p I A B U(p) = +
Loriginal dans le temps est alors obtenu par la transforme de Laplace inverse soit :
[ ]( ) [ ]( )1 10X(t) p I A X p I A B U(t) = + L L-1 -1 (2.1)Posons maintenant la matrice de transition
[ ]( )1(t) p I A = L-1 (2.2)Cette matrice prenant pour valeur :
A t(t) e = (2.3)
Lquation (2.1) devient : 0X(t) (t) X (t)*B U(t)= +
t
0
0
X(t) (t) X (t ) B U( ) d = + (2.4)
Le premier terme de lquation (2.4) correspond au rgime libre ne dpend que des
caractristiques du systme et de la condition initiale. Le second terme correspond au rgime
forc li la commande.
Cas particulier dune commande constante.
Si la commande est constante sur lhorizon dintgration nous aurons :t
0
0
X(t) (t) X (t ) B U d = +
t
0
0
X(t) (t) X ( ) d B U= + (2.5)
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INSA 3GE JM RETIF Modlisation par variables dtat
2.2 Calcul de la matrice de transition.La rsolution de lquation (2.4) fait appel la matrice de transition dont il faut trouver la
formulation.
Comme cette matrice est dfinie par lexponentielle de la matrice dtat (2.3), il est alors
possible de la dcomposer en srie :
( )
2 2 3 3A t A t A tt e A t
2! 3!
= = + + + +I (2.6)
Cette dcomposition en srie est adapte lorsque lon dsire un calcul numrique de la matrice
de transition. Si lon dsire une expression analytique il est prfrable dutiliser la relation (2.2)
[ ]( )1(t) p I A = -1L 2.3 Exemple : rponse dun second ordre.
Considrons la fonction de transfert apriodique suivante :( )( ) ( ) ( )1 2
Y p 1
U p 1 T p 1 T p=
+ + .
Il existe plusieurs approches pour dterminer les quations dtat de cette transmittance, en
utilisant la mthode des modes (cf 5.2.1) nous aurons les quations dtat suivantes :
( )( )
( )( )
( )11 12 2
2
10
Tx t x t 1u t
x t x t1 10
T
= +
et ( )
( )( )
1
1 2 1 2 1
x t1 1y t
x tT T T T
=
A partir de la relation (2.2) nous obtenons pour la matrice de transition :
[ ]( )
1
1 1
2
1p 0
T(t) p I A
10 pT
+ = = +
-1 -1L L
1
2
10
1p
T
101
pT
+ = +
-1L
1
2
t
T
tT
e 0
0 e
=
Pour une entre constante la rsolution temporelle de lquation dtat donne (Eq (2.2)) :
1 1
2 2
t
tT T
0t0
T T
e 0 e 0X(t) X d B U
0 e 0 e
= +
1
1
2 2
t
Tt 1
T
0t t
T T2
T 1 e 0
e 0 1X(t) X U
1
0 e 0 T 1 e
= +
La sortie y(t) est la combinaisons des rponses de deux premiers ordre de constante de temps
1 2T et T . Dans le premier terme de lquation dtat nous avons le rgime libre dun premier
ordre et dans le second les rponses indicielles correspondantes au rgime forc.
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INSA 3GE JM RETIF Modlisation par variables dtat
3. Phnomnes nergtiques.Afin dtablir une procdure systmatique de modlisation quelque soit le domaine de la
physique abord nous allons nous appuyer sur un vocabulaire gnral traduisant les phnomnes
nergtiques mis en jeux.
Variables de puissances.
La puissance est considre comme le produit dun effort par un flux.
Effort :e(t) Flux : f(t)
Par exemple, pour un mouvement en translation, leffortsera la force exprime en newton
et leflux la vitesse linaire en m/s. Pour les phnomnes lectriques leffortsera la tension
en volt et la variable deflux le courant en ampre.
Puissance P(t)=e(t).f(t).
Energie ( )
0
t
0
t
E(t) E(t ) P d = + ( ) ( )0
t
0
t
E(t) E(t ) d = + e f (3.1)
Il est possible de dfinir les variables dnergie sous deux formes diffrentes :
Le moment gnralis
Le moment gnralis est dfini par lintgrale de leffort.
( ) ( )0
t
0
t
(t) (t ) d d (t) d = + = p p e p e (3.2)
Le dplacement gnralis
Le dplacement gnralise correspond lintgrale du flux.
( ) ( ) ( )0
t
0
t
(t) (t ) d d t d = + = q q f q f (3.3)
Energies potentielles et inertielles.
Dans un systme lnergie est stocke ou dissipe. Les mcanismes de dissipations sont
multiples mais aboutissent tous une transformation en chaleur. Cest par exemple, leffet joule
pour les courants lectriques, les frottements mcanique aux interfaces des dplacements.
Si lon prend une voiture en mouvement uniforme, toute la puissance du moteur se dissipe enchaleur ; tout dabord les dperditions thermique de la combustion du carburant, ces calories
svacuant par les changes thermiques du moteur, le radiateur et les gaz dchappements ;
ensuite nous avons tous les frottements solide/solide dans les pices mcaniques en contact
(paliers, engrenages de la boite vitesse roues ) ; enfin et cest la plus grande partie, lorsque la
vitesse saccrot, les frottements de lair sur la carrosserie.
Maintenant, si la voiture se trouve en haut dune cote, elle disposera en plus de la puissance du
moteur de lnergie cintique due la vitesse (nergie inertielle) dun plus provenant dun
dnivel (nergie potentielle).
Nous allons maintenant gnraliser ces deux formes dnergie stocke.
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INSA 3GE JM RETIF Modlisation par variables dtat
Stockage de type inertiel.
La puissance tant le produit dun effort par un flux lnergie sera dfinie par la relation
intgrale suivante : ( ) ( ) ( )t
0
0
E(t) d E t= + e f . La dfinition du moment gnralis (3.2)
permet de faire le changement de variable ( )d d p = e il vient :
( ) ( ) ( )E d E= 0
p
0
p
p f p p+ p (3.4)
Le stockage inertiel est ainsi dfini comme lintgrale dunflux.
Nous retrouverons dans cette catgorie les masses en mouvement, les inerties en rotation les
inductances
Stockage de type potentiel.
Ici nous allons dfinir le stockage de type potentiel comme lintgrale dun effort. Comme nous
lavons vu prcdemment lnergie a la forme suivant : ( ) ( ) ( )t
0
0
E(t) d E t= + e f . Pour
faire apparatre leffortnous prendrons la dfinition du dplacement gnralis (3.3) qui permet
doprer au changement de variable ( )d d q = f , ce qui donne :
( ) ( ) ( )E e d E= 0
q
0
q
q q q+ q (3.5)
Ici lnergie stocke correspond lintgrale dun effort.
Leffort accumul dans un ressort ou la tension stocke dans un condensateur sont de type
potentiel.
4. Modlisation dtat partir dquations diffrentielles.Il existe de multiples approches pour dterminer les quations dtat partir dun jeu dquations
diffrentielles.
Nous prsenterons ici deux mthodes.
La premire utilisera des grandeurs de type effortouflux, telles la tension, le courant, la vitesse,
la force, le couple.
La seconde sappuiera sur une notion dnergie. Lide directrice sera ici de prendre commevariable dtat une quantit lie lnergie stocke. Nous prendrons ainsi comme variables
dtat ( ) ( )etp t q t correspondant respectivement au moment gnralis et au dplacement
gnralis.
Nous allons maintenant dcliner ces 2 mthodes par lintermdiaire de divers exemples
lmentaires des domaines lectriques et mcaniques.
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INSA 3GE JM RETIF Modlisation par variables dtat
4.1 Domaine lectrique.4.1.1Le condensateur.
Pour un condensateur la tension correspond lintgrale du courant : ( )t
0
1u(t) i d
C= . (4.1)
Cette relation pouvant se formuler sous forme drive : i(t) C u(t)= i
. (4.2)
Charge du condensateur (dplacement gnralis).
La quantit dlectricit exprime en Coulomb vaut : ( )t
0
Q(t) i d = .
En regard de la relation(4.1) il vient : Q(t) C u(t)= (4.3)Si nous formulons la quantit dlectricit accumule laide des variables dnergies formules
au paragraphe 3 nous obtenons : ( )0
t
0
t
(t) (t ) d = +
q q f ( )
0
t
0
t
(t ) d = +
q i .
Nous pouvons constater, que pour le condensateur, le dplacement gnralis q(t) correspond
la charge du condensateur en Coulomb.
Energie stocke (type potentiel).
( ) ( )t
0
E(t) u i d = , comme ( )i( ) d C d u( ) = nous aurons :
( ) ( )t
0
E(t) C u d u( )= 2C u
E2
= (4.4)
Si nous formulons lnergie stocke partir de la charge du condensateur exprim en Coulomb
(Eq (3.3)) nous obtenons :2Q
E2 C
=
(4.5)
Cette dernire relation aurait pu tre directement obtenu avec lquation (3.5), lnergie stocke
est lintgrale dun effort et sera donc de type potentiel.
Choix de la variable dtat.
Pour tablir les quations dtat il est ncessaire dexprimer la drive du vecteur dtat en
fonction de lui mme et de lentre.
Premire approche.
Pour un condensateur la relation (4.1) montre que la tension est proportionnelle lintgrale du
courant, si nous prenons la tension u(t) comme variable dtat nous
aurons : ( ) ( ) ( )( )
1 1
i tx t u t x t
C= =
Seconde approche.
Si nous choisissons comme variable dtat le dplacement gnralis correspondant ici la
charge Q(t) en Coulomb nous pourrons crire :
( ) ( ) ( ) ( )1 1x t Q t C u(t) x t i t= = = .
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4.1.2Linductance.Pour une inductance le courant est lintgrale de la tension ( )
t
0
1i(t) u d
L= . (4.6)
Soit sous sa forme drive : u(t) L i(t)= i
(4.7)
Flux dans linductance (moment gnralis) U.
Le flux dans linductance, exprim en weber, vaut ( )t
0
(t) u d = .
Exprimons maintenant le moment gnralis ( )t
0
(t) d = p e = ( )t
0
(t) d = p u . Nous vrifions
ici que le moment gnralis exprime le flux magntique emmagasin dans linductance.
En considrant la relation (4.7) nous retrouvons la relation classique reliant le flux au courantsoit : (t) (t) L i(t)= = p (4.8)
Energie stocke (type inertiel) U.
( ) ( )t
0
E(t) u i d = , pour laquelle (Eq (4.6)) ( )u( ) d L d i( ) = , nous obtenons :
( ) ( )t
0
E(t) L i d i( )= .2L i
E2
= (4.9)
Maintenant si nous reportons dans cette quation la relation du flux (4.8) nous aurons :
2
E2 L
=
qui prend la forme gnrale
2
E2 L
=
p(4.10)
Choix de la variable dtat.
Premire approche.
Nous rechercherons, comme pour linductance, une relation intgrale pour le choix de la variable
dtat. Ici la relation (4.6) montre que le courant est proportionnel lintgrale de la tension.
Nous prendrons comme variable dtat le courant i(t) soit :
( ) ( ) ( )( )
1 1
u tx t i t x t
L= =
Seconde approche.
Ici nous prendrons comme variable dtat le moment gnralissoit le flux en Wb (t) L i(t) = ce qui nous conduit :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1x t t L i t x t u t= = =
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4.1.3Exemple 1 : Filtre passif de Butterworth (structure en ).Nous allons, partir du filtre passif suivant, tablir ses quations dtat.
T
2RE
a 1i
1R
2i
3ib
C
4i
5ic
C
L
1V
2V 4V
3V
Figure 4-1 Schma lectrique du filtre de Butterworth.
Lois des mailles :
1 2E V V= + (4.11) avec 1 1 1V R I= (4.12) soit 1 1 2E R I V= + (4.13)
2 3 4V V V= + (4.14) avec 3 3V L I= (4.15) soit 2 3 4V L I V= + (4.16)
4 2 5V R I= (4.17)
Lois des nuds :
1 2 3I I I= + avec 2 2I C V= (4.18)
3 4 5I I I= + avec 4 4I C V= (4.19)Pour tablir les quations dtat il faut prendre une variable dtat par lment de stockage. Nous
avons ici deux condensateurs et une inductance, il nous faudra donc trois variables dtat.
Premire approche.Ici nous prendrons comme variable dtat les tensions aux bornes des condensateurs et le courant
dans linductance soit :
[ ]T 2 4 3X V V I= (4.20)
La grandeur dentre sera la tension E et la sortie la tension 4V soit:
4 2Y V x= = (4.21) U=E (4.22)Avec ces notations les quations du circuit deviennent :
1 1 1U R I x= + (4.23) 1 3 2x L x x= + (4.24)
2 2 5x R I= (4.25) 1 1 3I C x x= + 3 2 5x C x I= + (4.26)
Pour la premire composante dtat nous avons :
1 2 1 2x V x V= = soit partir de (4.18)1 32
1I II
xC C
= = 1 3
I x
C
= en remplaant 1I dans
lquation (4.23) nous obtenons : 3111
xU xx
R C C
=
(4.27)
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INSA 3GE JM RETIF Modlisation par variables dtat
Pour la seconde composante du vecteur dtat nous oprons de manire similaire.
2 4 2 4x V x V= = soit partir de (4.19)3 54
2I II
xC C
= = 3 5
x I
C
= en remplaant 5I dans
lquation (4.26) nous obtenons 3 222
x xx
C R C=
(4.28)
Enfin pour la troisime composante il vient :
3 3 3 3x I x I= = soit partir de (4.15)3
3V
xL
= en remplaant 3V dans lquation (4.14)
2 43
V Vx
L
= soit 1 23
x xx
L
= (4.29)
Les quations (4.27) (4.28) et (4.29) expriment la drive du vecteur dtat en fonction de lui
mme et de lentre U, la premire quation dtat est donc dfinie.
111 1
2 22
3 3
1 1
0 1R C CR Cx x
1 1x 0 x 0 U
R C Cx x 0
1 10
L L
= +
(4.30)
La sortie se confondant avec la seconde composante du vecteur dtat nous obtenons :
[ ]1
2
3
x
Y 0 1 0 x
x
=
(4.31)
Seconde approche.
Nous prendrons ici lnergie stocke dans les condensateurs et le flux dans linductance soit :
1 1 2x Q C V= = 2 2 4x Q C V= = 3 3x L I= =
[ ]T 1 2X Q Q=
La sortie et la commande restant les mmes que prcdemment, 4Y V= et U=E.En drivant comme prcdemment les composantes dtat nous obtenons :
1 2 1 2 2x C V x C V I= = = comme2
2 1 3 31
U VI I I I
R
= = avec 312 3
xxV et I
C L= = .
Il vient : 3111 1
xx Ux
R C L R = +
2 4 2 4 4x C V x C V I= = = comme 4 3 5I I I= avec3 4 2
3 52 2
x V xI et I
L R R C= = =
.
ce qui donne 3222
xxxR C L
= +
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3 3 3 3 3x L I x L I V= = = comme 3 2 4V V V= avec1 2
2 4x x
V et VC C
= = .
Nous aurons 1 23x x
xC C
=
Les matrices dtat sont alors :
111 1
2 22
3 3
1 10 1
R C LRx x
1 1x 0 x 0 U
R C Lx x 0
1 10
C C
= +
(4.32)
1
2
3
x
1Y 0 0 xC
x
=
(4.33)
Les valeurs des composants de ce filtre tant les suivants :
1 2R R 50= = , L 15 H= C 3, 2 nF= .
Avec la seconde approche nous obtenons pour lquation dtat :
6 4
1 1
6 42 2
8 83 3
6,25 10 0 6,667 10x x 0,02
x 0 6,25 10 6,667 10 x 0 E
x x 03,125 10 3,125 10 0
= + + +
18
2
3
x
Y 0 3,125 10 0 x
x
= +
Pour tablir le schma de simulation il est possible de faire appel un bloc Simulink assurant
directement la simulation dun systme dtat ou en dveloppant les quations dtat en utilisantque des intgrateurs des sommateurs et des gains.
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Dans ce cas, nous aurons le schma suivant :
x1
x2
x3
1
V4
1
s
1
s
1
s
1/C
1/C
1/C
1/(R2*C)
1/L
1/(R1*C)
1/R11
E
Figure 4-2 Schma de simulation dun filtre de Butterworth.
U
Calcul MatlabU
.
A partir de la premire approche il est possible dlaborer un programme Matlab (script *.m)
pour calculer les matrices dtat et tracer le diagramme de Bode correspondant.
Script Matlab
%- - Fi l t r e de But t er wor t h - - - - %cl ear ,R1=50; R2=50;C=3. 2e- 9; L=15e- 6;
%- For mul at i on deuxi me approche %A2=[ - 1/ ( R1*C) 0 - 1/ L; 0 - 1/ ( R2*C)1/ L; 1/ C - 1/ C 0]B2=[ 1/ R1; 0; 0] ;
C2=[ 0 1/ C 0] ;D2=0;
S2=ss( A2, B2, C2, D2) ,bode( S1) , gr i d;f i gurest ep( S2)
Excution>> S2
a =x1 x2 x3
x1 -6.25e+006 0 -6.667e+004x2 0 -6.25e+006 6.667e+004x3 3.125e+008 -3.125e+008 0
b =u1
x1 0.02x2 0x3 0
c =x1 x2 x3
y1 0 3.125e+008 0
d =u1
y1 0
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-150
-100
-50
0
Magnitude(
dB)
105
106
107
108
109
-270
-180
-90
0
Phase(
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Figure 4-3 Reprsentation de Bode du filtre de Butterworth.
Nous pouvons vrifier, que le module et la phase dfinies dans le plan de Bode, sont
caractristiques dun filtre passe bas.
0 0.5 1 1.5
x 10-6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7Step Response
Time (sec)
Amplitude
Figure 4-4 Rponse indicielle du filtre de Butterworth.
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4.2 Domaine mcanique en translation.4.2.1La masse.
Une masse M, en mouvement de translation, est rgie par lquation fondamentale de la
dynamique F(t) M v(t)= i
. (4.34)
Exprime sous forme intgrale nous aurons : ( )t
0
1v(t) F d M
= (4.35)
Quantit de mouvement (moment gnralis).
La quantit de mouvement exprim en kg.m/s vaut ( )t
0
(t) F d = p , en considrant la relation
intgrale (4.35) (t) M v(t)= p (4.36)
Avec les variables de puissance lnergie sexprime par ( )0
t
t
(t) d = p e = ( )0
t
t
F d et
correspond au moment gnralis.
Energie stocke (type inertiel).
( ) ( )t
0
E(t) F v d = , partir de la relation (4.35), ( )F( ) d M d v( ) = nous retrouvons
lexpression classique de lnergie cintique.
( ) ( )( )
t
0E(t) M v d v=
2M v
E 2
= (4.37)
Si nous exprimons maintenant lnergie cintique en fonction de la quantit de mouvement nous
aurons :2
E2 M
=
p
Lnergie stocke est ici lintgrale dun flux, donc de type inertiel.
Choix de la variable dtat.
Premire approche.
Nous associerons dans ce cas la vitesse v(t) la variable dtat soit
x(t) v(t) x(t) v(t)= =i i
.
Seconde approche.
Dans ce cas, cest la quantit de mouvement exprimant ici le moment gnralis qui sera la
variable dtat.
x(t) (t) M v(t) x(t) M v(t) F(t)= = = =i i
p
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4.2.2Le ressort.Maintenant considrons un lment lastique comme un ressort de raideur k (N/m), la
dformation est proportionnelle la force de sollicitationF(t)
x(t)k
= . En drivant cette relation
nous obtenons nous obtenons lexpression qui relie la vitesse de compression la force F :
F(t)v(t)k
=
i
(4.38)
En exprimant maintenant la force en fonction de la vitesse de compression du ressort nous
obtenons : ( )t
0
F(t) k v d = (4.39)
Dplacement gnralis.
Par analogie avec le condensateur calculons la grandeur ( )t
0
(t) v d = q qui peut tre considre
comme une force accumule.F(t)
(t )k
=q (4.40)
Ici (t)q reprsente le dplacement exprim en mtre.
Energie stocke (type potentiel).
Un ressort accumule une nergie potentielle ( ) ( )t
0
E(t) F v d =
Sachant que ( )( )( )d F
v d
k
= ,
( ) ( )( )t
0
1E(t) F d F
k= .
2FE
2 k=
(4.41)
Si nous exprimons cette nergie avec la quantit Q nous obtenons :2k
E2
=
q(4.42)
Choix de la variable dtat.
Premire approche.
La variable dtat sera ici la force de compression F.
( ) ( )x t F(t) x t F(t)= =i i
Seconde approche.
Dans ce cas cest la grandeur ( )q t (dplacement gnralis) qui sera la variable dtat.
( )F(t) F(t)
x(t) Q(t) x t v(t)k k
= = = =
ii
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4.2.3Exemple :Masse suspendue.Soit une masse M suspendue une rfrence fixe par lintermdiaire dun ressort de raideur k et
dun amortisseur de coefficient de frottement fluide b. Une force F sollicite cet ensemble qui se
dplacera suivant une trajectoire rectiligne conformment la figure ci-dessous.
F
Ressortraideurk
Amortisseur
Masse M
Masse M
FM.g
1F 2F
v
Figure 4-5 Masse suspendue et quilibre de celle-ci.
Premire approche.
Nous avons deux lments de stockage le premier, la masse, de type inertiel pour lequel nous
prendrons comme variable dtat 1x v= ; le second, le ressort, de type potentiel, aura pourvariable dtat 2 1x F= .
Lanalyse de lquilibre dynamique de la masse M permet dcrire :
1 2F M g F F M v = Sachant que la force de frottement fluide 2F b v= .En drivant le vecteur dtat nous obtenons :
( ) ( )1 1 2 2 11 1
x v F M g F F F M g x b xM M
= = =
2 1 1x F k v k x= = = .Si nous considrons la vitesse de la masse comme grandeur de sortie et la grandeur de
commande constitu du vecteur [ ]T
U F M g= , nous obtenons les quations dtat suivantes :
1 1
2 2
b 1 1 1x x
UM M M Mx x
k 0 0 0
= +
[ ] 1
2
xY 1 0
x
=
Pour obtenir le dplacement, not ici par x, il suffit dintgrer la vitesse.
Afin deffectuer une simulation correcte avec une valeur initiale de la force F nulle il est
impratif de calculer les valeurs initiales du vecteur dtat et lallongement 0x provoqu par le
poids de la charge.
Pour F=0 nous aurons lquilibre 0XM g
= et un allongement initial 0
M.gxk
= U
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Simulation Matlab Simulink.
Le programme Simulink de simulation de la masse suspendue, est programm avec des variables
qui doivent tre affects par un script dinitialisation. Ici le calcul des quations dtat est
effectu avec un bloc standard de Simulink.
Condition initiale
x1=0
x2=-M.g
Condition initiale
x=-M.g/k
V To Workspace4
F To Workspace3
x
To Workspace2
U To Workspace1t
To Workspace
Step
x' = Ax+Bu
y = Cx+Du
State-Space
1
s
Integrator
M*g
Constant
Clock
Figure 4-6 Schma de simulation Simulink de la masse suspendue.
Aprs la simulation, il est commode de visualiser les rsultats, via les variables archives dans
lespace de travail, par lintermdiaire dun autre script Matlab.
Script dinitialisation%- - - - - - - - Masse en suspensi on - - - %cl ear ;%- - donnes pour l a si mul at i on - - %t f i n=20; Tpl ot =0. 1;%- - donnes du probl mes - - %M=100; b=100; k=1000;g=9. 81;
%- - Val eur i ni t i al e F=0 - - %x0=- M*g/ k;%- - Mat r i ces d' t at - - %A=[ - b/ M - 1/ M; k 0] ;B=[ 1/ M - 1/ M; 0 0] ;C=[ 1 0] ; D=0;
Script de visualisation
%- - Vi sual i sat i on - - %cl ose al l ,subpl ot ( 2, 1, 1) ;pl ot ( t , F, t , U) , l egend( ' F' , ' U' ) ;gr i d;subpl ot ( 2, 1, 2) ;
pl ot ( t , x) , l egend( ' x' ) ; gr i d;
Le dplacement est lintgrale de la
vitesse : ( )t
0
0
x(t) v d x= +
Avec une initialisation correcte de
2 1x F M g= = et 0M.g
xk
=
Nous pouvons vrifier que le
dplacement x nvolue pas avant
lapplication de lchelon de force
F=100 N appliqu t=0,5 s.
Ensuite nous avons une dynamique
oscillatoire du second ordre.
Figure 4.7 rponses un chelon de force
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1000
-500
0
500
Temps (s )
F
U
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1
-0.95
-0.9
-0.85
-0.8
Tempd (s)
x
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Deuxime approche.
Nous prendrons pour la premire composante de ltat la quantit de mouvement (moment
gnralis) (t) M v(t)= p grandeur lie lnergie cintique par2
E2 M
=
p:
( ) ( )1 1 1 2x (t) M v(t) x M v(t) F M g F F= = t = p t =
La seconde variable dtat correspond au dplacement gnralis qui ici correspond au
dplacement rel 1F (t)
(t)k
=q . Lnergie potentielle accumule dans le ressort
valant :2k
E2
=
q. Nous aurons pour cette variable dtat :
( ) ( ) ( )( )11 1
2 2
x tF (t) F (t)x (t) x v t
k k M= = =
t = q t =
En posant comme prcdemment [ ]T
U F M g= , nous pouvons maintenant expliciter la
formulation de la premire composante de ltat soit :
( ) ( ) ( )1 2 1bx M v(t) U k x t x tM
= t =
Les quations dtat sont alors :
1 1
2 2
bk
x x 1 1MU
x x1 0 00
M
= +
[ ] 1
2
xY 0 1
x
=
Simulation Matlab Simulink.
Lors de la formulation prcdente, nous avions utilis le bloc standard de simulation dquationsdtat, ici nous avons fait appel uniquement des intgrateurs, des gains et des sommateurs.
Condition initiale
x1=0
x2=-M.g/k
1
s
x2
1
s
x1
x2
x1
V
FU
t
To Workspace
Step1/M
Gain3
1/M
Gain2
k
Gain1
b/M
Gain
M*g
Constant
Clock
Figure 4-8 Schma de simulation Simulink de la masse suspendue.
La variable 2x reprsente la compression du ressort qui est gale au mouvement de la masse M,
il nest donc pas utile dintgrer la vitesse.
Comme prcdemment se pose le problme dinitialisation des intgrateurs du schma desimulation.
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Pour F=0 lquilibre des variables dtat lieu pour
0
X M g
k
=
.
Dans les mmes conditions de simulation que prcdemment (application dune force de 100N
t=5 s) nous avons reprsent les variables dtat lies lnergie cintique et potentielle.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-20
-10
0
10
20
30
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1
-0.95
-0.9
-0.85
-0.8
x2 dplacement gnralis du ressort
x1 quantit de mouvement de la masse M
Dplacement de 0,1 m
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
1
2
3
4
Energie cintique
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
5
10
15
Energie potentielle du ressort
Figure 4-9 variables dtat Figure 4-10 Energies cintique et potentielle
Lors de lapplication de la force de 100N la figure 4-9 montre un dplacement de la masse M de
0,1 mtre.
Sur la figure 4-10 nous trouvons les reprsentations de lnergie cintique et potentielle du
ressort.
A lquilibre, il est normal que lnergie cintique soit nulle, nous avons dans cet essais appliqu
une force de 100N vers le haut qui sest oppos llongation du ressort due au poids de lamasse M. Nous pouvons vrifier que le ressort tant moins distendu son nergie potentielle a
augment de 5 joule.
Nous pouvons observer que la force de 100N comprimant un ressort de 0,1 m fourni un travail
de100x0,1
5 J2
= qui est quivalent lnergie accumule dans le ressort.
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4.3 Domaine mcanique en rotation.4.3.1Linertie.
En rotation cest linertie J qui est lquivalent dune masse en translation, dans ce cas lquation
fondamentale de la dynamique donne mC (t) J (t)= i
. (4.43)
Dans cette relation mC (t) reprsente le couple dentranement en Nm et (t) la vitesseangulaire en rad/s.
Sous forme intgrale nous aurons : ( )t
m
0
1(t) C d
J = (4.44)
Quantit de mouvement (Moment gnralis).
La quantit de mouvement exprim en 2Kg.m / s vaut ( )t
m
0
(t) C d = p en considrant la
relation intgrale (4.44) (t) J (t)= p (4.45)
Energie stocke (type inertiel).
( ) ( )t
0
E(t) F v d = partir de la relation (4.44) ( )C( ) d J d ( ) = nous retrouvons
lexpression classique de lnergie cintique.
( ) ( )( )t
0
E(t) J d = 2J
E2
= (4.46)
Si nous exprimons maintenant lnergie cintique en fonction de la quantit de mouvement nous
aurons : E2 J
=
p
Choix de la variable dtat.
Premire approche.
Nous associerons dans ce cas la vitesse (t) la variable dtat soit :
x(t) (t) x(t) (t)= = i i
Seconde approche.
Dans ce cas cest la quantit de mouvement (moment gnralis) qui sera la variable dtat.
mx(t) (t) J (t) x(t) J (t) C (t)= = = =i i
p
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4.3.2Le ressort spirale ou barre de torsion.Un ressort spirale ou un arbre sollicit en torsion pure aura un angle de dformation
proportionnel au couple de sollicitation. La relation reliant langle de dformation au couple est
la suivante :
mC (t)(t) =
, reprsentant la raideur en mN/rad.
Pour obtenir la vitesse angulaire il suffit de driver la relation prcdente soit :
mC (t)(t) =
i
(4.47)
Le couple du ressort spirale sexprime vis vis de la vitesse angulaire par la relation intgrale :
( )t
m
0
C (t) d = (4.48)
Dplacement gnralis.
Nous allons comme dans le cas linaire calculer la charge de couple stocke soit ici :
( )t
0
(t) d = q mC (t)
(t) =
q
Cette grandeur correspond langle de dformation exprime en radian.
Energie stocke (type potentiel).
Maintenant calculons lnergie potentielle accumule par le ressort spirale.
( ) ( )t
m
0
E(t) C d = sachant que ( )( )( )md C
d
=
nous aurons :
( ) ( )( )t
m m
0
1E(t) C d C=
.2
mCE2
=
(4.49)
Si nous exprimons cette nergie avec la quantit Q nous obtenons :2
E2
=
q(4.50)
Choix de la variable dtat.
Premire approche.
La variable dtat sera ici le couple de dformation mC du ressort spirale.
( ) ( )11 m mx t C (t) x t C (t)= =i i
Seconde approche.
Dans ce cas cest la grandeur Q(t) qui sera la variable dtat.
( )m m1C (t) C (t)
x (t) (t) x t (t)= = = =
ii
q
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INSA 3GE JM RETIF Modlisation par variables dtat
Elment Formulation
Intgrale et drive
p(t) ou q(t) Energie stocke Variable d
Mthode 1
Condensateur
( )t
0
1u(t) i d
C
= i(t) C u(t)= i
Coulomb
(t) C u(t)= q
Type potentiel2C u
E 2
=
2
E 2 C= q
x(t)=u(t)
x(t) u(t)=i i
Translation
Ressort( )
t
0
F(t) k v d = F(t)
v(t)k
=
i
mtre
F(t)(t)
k=q
Type potentiel2F
E2 k
=
2k
E2
=
q
( )x t F(t)=
( )x t F(t)=i i
Ressort
spirale oubarre de
torsion
( )t
m
0
C (t) d = mC (t)
(t) =
i
radian
mC (t)(t) =
q
Type potentiel2
mC
E 2=
2
E 2
=
q
( ) mx t C=
( ) mx t C=
i i
Inductance ( )t
0
1i(t) u d
L= u(t) L i(t)=
i
weber
( )t (t) = p
(t) L i(t) =
Type inertiel2L i
E2
=
2
E2 L
=
p
x(t) i(t)=
x(t) i(t)=i i
Translation
Masse( )
t
0
1v(t) F d
M= F(t) M v(t)=
i
(t) M v(t)= p Type inertiel
2M vE
2
=
2
E2 M
=
p
x(t) v(t)=
x(t) v(t)=i i
Rotation
Inertie ( )t
m
0
1(t) C d
J = mC (t) J (t)=
i
(t) J (t)= p Type inertiel
2JE
2
=
2
E2 J
=
p
x(t) (t)=
x(t) (t)= i i
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22
INSA 3GE JM RETIF Modlisation par variables dtat
5. Changement entre les formalismes dtat et de transmittance.Pour les systmes rgis par une ou plusieurs quations diffrentielles linaires, il est possible de
dfinir, soit une fonction de transfert dans le cas mono variable, soit une matrice de transfert
dans le cas multi variable.
5.1 Passage des quations dtat une matrice de transfert.La reprsentation par quations dtat est une formulation multi variable, dans le cas gnral,
nous aboutirons une reprsentation par matrice de transfert de la forme :
( )( )
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( )
1 11 11 1e 1
2 21 21 2e 2
s s1 s2 se e
Y p H p H p H p U p
Y p H p H p H p U p
Y p H p H p H p U p
=
(5.1)
Il est clair que dans le cas mono variable nous retrouvons la reprsentation classique par
transmittance.Pour obtenir ce type de reprsentation, reprenons la dfinition des quations dtat dont nous
allons prendre la transforme de Laplace qui prsuppose une condition initiale nulle.
X(t) A X(t) B U(t)= + p X (p) A X(p) B U(p) = + L (5.2)
Y (t) C X(t) D U(t)= + Y (p) C X(p) D U(p) = + L (5.3)
La relation (5.2) conduit : [ ] [ ] 1p. A X(p) B U(p) X(p) p. A B U(p) = = I I
En reportant X(p) dans (5.3) nous obtenons :
[ ] [ ]( )1 1Y (p) C p. A B U(p) D U(p) C p. A B D U(p) = + = + I I la matrice de transfert vaudra donc : ( ) [ ] 1p C p. A B D
= +H I (5.4)
5.2 Passage dune transmittance aux quations dtat.Lorsque lanalyse dun systme physique conduit un systme dquations diffrentielles et
algbriques, nous pouvons, comme nous lavons vu, tablir les quations dtat. Dans certains
cas, cette analyse conduit ltablissement dune fonction de transfert ou une matrice de
transfert.
Dans la situation o nous disposons dune transmittance il est possible dtablir directement les
quations dtat partir de celle-ci.
Nous allons, dans un premier temps, considrer une transmittance dont le degr du numrateur
est strictement infrieur au degr du dnominateur.
Soit une transmittance de la forme :
( )( )( )
2 m0 1 2 m
2 n0 1 2
Y p b b p b p b pH p
U p 1 a a p a p p
+ + + + = =
+ + + + +
avec n>m
La transmittance, ici dordre n, correspond une quation diffrentielle du mme ordre. La taille
du vecteur dtat devra tre gal n.
Il existe deux grandes mthodes pour choisir les n composantes du vecteur dtat.
La premire associera une composante dtat chaque ple de la transmittance. Cette approche
sera appele mthode des modes.
La seconde utilisera une sortie intermdiaire et ses n-1 drives, cette mthode sera appeledcomposition canonique.
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INSA 3GE JM RETIF Modlisation par variables dtat
5.2.1Mthode des modes.Cette mthode consiste calculer les ples de la transmittance et dassocier chacun deux une
composante du vecteur dtat.
Selon le type de ples (simple ou multiples) ou leur nature (rel ou complexe) les formes prises
par les matrices des quations dtat sont diffrentes. Cependant la trame mthodologique reste
la mme et nous allons tout dabord lillustrer dans le cas de ples rels distincts.
Cas de ples rels distincts.
Aprs le calcul des ples la fonction de transfert est dcompose en lments simples.
( )( )
1 2 n
1 2 n
Y pH(p)
p p p U p
= + + + =
+ + + (5.5)
En associant chaque ple les composantes du vecteur dtat suivant :
( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )
1 1 1 11
2 2 2 2
2
n n n nn
U px p x t x t u t
p
U px p x t x t u t
p
U px p x t x t u t
p
= = ++
= = +
+
= = ++
(5.6)
Les quations dtat sont alors :
( )( )
( )
( )( )
( )( )
1 11
2 22
n nn
x t x t0 0 1
x t x t0 0 1
U t
x t x t0 0 1
= +
(5.7)
La matrice est diagonale et nous retrouvons videmment sur celle-ci les valeurs propres qui sont
les ples de la transmittance.
La forme diagonale de la matrice A simplifie grandement les formulations faisant appel son
inversion.
Avec ces variables dtat la sortie vaut :
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 n ny t x t x t x t= + + + (5.8)
Ce qui donne pour lquation de sortie :( ) [ ] ( )1 2 ny t X t= (5.9)
Cas de ples complexes conjugus.
La dmarche est la mme que prcdemment, cependant les matrices A et B contiendront des
nombres complexes.
Par exemple, si nous prenons un systme du troisime ordre possdant deux ples complexes et
un ple rel tel que :
( )( ) ( ) ( )
1 2 2
1 1 1 1
Y pH(p)
U p p r j c p r j c p 2
= = + +
+ + + + (5.10)
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Nous prendrons comme prcdemment des variables dtat associes aux ples :
( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 11 1
2 2 1 1 21 1
3 3 2 32
U px p x t r j c x t u t
p r j c
U px p x t r j c x t u t
p r j c
U px p x t x t u tp
= = + ++ +
= = ++
= = ++
(5.11)
Pour ce choix de variables dtat la sortie sexprime par :
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 3 3Y t x t x t x t= + + (5.12)
Nous obtenons une forme similaire la prcdente
( )
( )( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
1 1 1 1
2 1 1 2
3 2 3
x t r j c 0 0 x t 1
x t 0 r j c 0 x t 1 u tx t 0 0 x t 1
+
= +
(5.13)
( ) [ ]( )( )( )
1
1 1 2 2
3
x t
Y t x t
x t
=
(5.14)
Cas dun ple multiple.
Considrons une fonction de transfert dfini par un ple multiple dordre r.
( ) ( ) ( )( )( )
r r 1 2 1r r 1 2
Y pH(p)p U pp p p
= + + + + =+ + + +
(5.15)
Dans ce cas nous prendrons r composantes du vecteur dtat :
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
1 r
2 r 1
r 1 2
r
U px p
p
U px p
p
U px p
p
U px p
p
=+
=+
=+
=+
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
21
32
rr 1
r
x px p
p
x px p
p
x px p
p
U px p
p
=+
=+
=+
=+
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1 1 2
2 2 3
r 1 r 1 n
r r
x t x t x t
x t x t x t
x t x t x t
x t x t U t
= +
= +
= +
= +
(5.16)
Avec ces variables dtat la sortie vaut :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )r 1 r 1 2 2 r 1 1 r Y t x t x t x t x t = + + + + (5.17)
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Les quations dtat seront alors :
( )( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
1 1
2 2
r 1 r 1
r r
x t x t1 0 0 0
x t x t0 1 0 0
U(t)0 0 1 0 0
x t x t
x t x t0 0 0 1
= +
(5.18)
[ ]
( )( )
( )( )
1
2
r r 1 2 1
r 1
r
x t
x t
Y(t)
x t
x t
=
(5.19)
A nest plus diagonale, cest une matrice de Jordan. Dans le cas de la coexistence de ples rels,
complexes et multiples ces derniers introduirons des sous matrices de Jordan.
5.2.2Dcomposition canonique.
Pour cette approche nous allons dfinir une sortie intermdiaire S(p), la transmittance tant de la
forme : ( )( )( )
2 m0 1 2 m
2 n 1 n0 1 2 n 1
Y p b b p b p b pH p
U p a a p a p a p p
+ + + + = =
+ + + + +
(5.20)
nous poserons :
( )( ) 2 n 1 n0 1 2 n 1
S p 1
U p a a p a p a p p
=+ + + + +
(5.21)
ce qui conduit nexprimer la sortie quavec la sortie intermdiaire S.
( ) ( ) ( )2 m0 1 2 mY p b b p b p b p S p= + + + + (5.22)
Les composantes dtat seront la sortie S et ses n-1 premires drives.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
2
2
3
n 2n 1
n 1n
x p S p
x p p S p
x p p S p
x p p S p
x p p S p
=
=
=
=
=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2
2 3
3 4
n 1
n 1 nn 1
n
n n
x t S t x t
x t S t x t
x t S t x t
dx t S t x t
dt
dx t S t
dt
= =
= =
= =
= =
=
(5.23)
Pour exprimer la dernire composante du vecteur dtat, partir de la relation (5.21) nous
obtenons :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n 0 1 1 2 2 3 n 1 nx t a x t a x t a x t a x t u t= + (5.24)
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Les quations dtat seront alors les suivantes :
( )( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )
( )
1 1
2 2
3 3
n 1 n 1
0 1 2 n 2 n 1n n
0 1 0 0 0x t x t 0
0 0 1 0 0x t x t 0
0 0 0 1 0x t x t 0u t
0 0 0 0 0 1x t x t 0
a a a a ax t x t 1
= +
(5.25)
Pour exprimer la sortie en fonction de ltat la relation (5.22) donne :
( ) [ ]
( )( )( )
( )( )
1
2
30 1 2 m
n 1
n
x t
x t
x tY t b b b b 0 0
x t
x t
=
(5.26)
Cette dcomposition est particulirement simple car nous retrouvons dans la dernire ligne de la
matrice A les coefficients du dnominateur et la matrice C est compose du numrateur.
Cette dcomposition canonique aboutit une forme dite de matrice compagne.
5.2.3 Cas particulier ou m=n.Dans le cas ou le degr du numrateur est gal au degr du dnominateur un traitement pralable
doit tre fait pour se ramener une formulation ou la transmittance aura un degr du numrateurinfrieur au degr du dnominateur.
( )( )( )
2 n0 1 2 n
2 n 1 n0 1 2 n 1
Y p c c p c p c pH p
U p a a p a p a p p
+ + + + = =
+ + + + +
En isolant le coefficient de transmission directe qui correspond au gain de la transmittance pour
une frquence infinie nous obtenons :
( )( ) ( ) ( ) ( )2 n 10 0 n 1 1 n 2 2 n n 1 n 1 n
n 2 n 1 n0 1 2 n 1
c a c c a c p c a c p c a c pH p c
a a p a p a p p
+ + + + = +
+ + + + +
( )
2 n 1
0 1 2 n 1n 2 n 1 n0 1 2 n 1
b b p b p b pH p c
a a p a p a p p
+ + + + = + + + + + +
Pour tablir les quations dtat on utilise lune des deux mthodes prcdentes pour la
transmittance, le coefficient nc correspondant la matrice D.
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6. Exemple.6.1 Moteur courant continu.
Nous allons considrer un moteur courant continu aliment par une tension sV au stator
linducteur produisant un flux ( )iI , iI reprsentant le courant dexcitation.
E
sR
sL
sV
Inducteur
Induit
eV
mC
Figure 6-1 Montage technologique Figure 6-2 Schma de principe du moteur
Les notations utilises sont les suivantes :
E(t) : Force contre lectromotrice en volt iI (t) Courant dans linducteur en ampre
( )sI t Courant de linduit en ampre ( )sV t Tension de linduit en volt
sR Rsistance de linduit en sL Inductance de linduit en henry
0k Coefficient technologique ( )t Flux de linducteur en weber
( )eV t Tension dexcitation de linducteur ( )mC t Couple moteur en NmJ Inertie du moteur et de sa charge en 2 gm K f frottement fluide en Nms/rad
Les quations du moteur courant continu et la relation fondamentale de la dynamique nous
donne les quations suivantes :
( ) ( ) ( ) ( )s s s s sV t E t R I t L I t= + + (6.1) ( ) ( ) ( )m 0 i sC t k I I t= (6.2)
( ) ( ) ( )0 iE t k I t= (6.3) ( ) ( ) ( )mJ t C t f t = (6.4)
Le moteur courant continu et sa charge sont rgis par deux quations diffrentielles, il nous
faut donc choisir deux variables dtat.
Nous avons ici deux stockages de type inertiel, le premier dans linductance du stator et pour
lequel nous associeront la premire composante du vecteur dtat soit : 1 s sx (t) L I (t)= , lesecond stockage a lieu dans linertie du moteur et de sa charge et nous prendrons comme
deuxime composante dtat : ( )2x (t) J t=
En drivant le vecteur dtat il vient :
1 s sx (t) L I (t)=
( )2x (t) J t=
Si nous posons pour la commande et la sortie ( ) ( )sU t V t= et ( ) ( ) ( )T sY t t I t= partir
des quations (6.1) (6.4) nous auront :
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( )( )
( ) ( ) ( )0 i s2 1 1s
k I RU t x t x t x t
J L
= + + ( ) ( )
( )( ) ( )0 is1 1 2
s
k IRx t x t x t U t
L J
= +
( )( )
( ) ( )0 i2 1 2s
k I fx t x t x t
L J
=
Ce qui donne les quations dtat suivantes :
( )( )
( )
( )
( )( )
0 is
s1 1
2 20 i
s
k IRL Jx t x t 1
U(t)x t x t 0k I f
L J
= +
( )
( )( )
1
2
s
10x tJ
Y t1 x t
0L
=
(6.5)
Simulation Matlab.
Comme dans lexemple prcdemment nous allons crire un script dinitialisation et un script de
visualisation.
Script dinitialisation
%- - - - - - Si mul at i on d' un MCC - - - - %cl ear , cl c;Rs=5. 5; Ls=582e- 3; k1=1. 1911;et a=0. 85;Wnom=157; Unom=220; I nom=6;Pmecanom=Unom*I nom*et a;Cnom=Pmecanom/ Wnom;J =0. 1; f =Cnom/ Wnom;t f i n=3; Tpl ot =0. 01;
A=[ - Rs/ Ls - k1/ J ; k1/ Ls - f / J ] ;B=[ 1; 0] ;C=[ 0 1/ J ; 1/ Ls 0] ;D=[ 0; 0] ;Mcc=ss( A, B, C, D) ;Mcc. Output Name{1}=' Vi t esse' ;Mcc. Out put Name{2}=' Cour ant ' ;
Script de visualisation
subpl ot ( 3, 1, 1) ;pl ot ( t , U) , l egend( ' U' ) ; gr i d;axi s( [ 0 t f i n 0 250] ) ;subpl ot ( 3, 1, 2) ;Nr =W*30/ pi ;pl ot ( t , Nr ) , l egend( ' Vi t esset r / mi n' ) ; gr i d;axi s( [ 0 t f i n 0 1600] ) ;subpl ot ( 3, 1, 3) ;pl ot ( t , I s) , l egend( ' I s' ) ; gr i d;
W
To Workspace4
Is
To Workspace2
U To Workspace1 t
To Workspace
Step
x' = Ax+Bu
y = Cx+Du
State-Space
m
Clock
Figure 6-3 Schma Simulink pour la simulation du moteur courant continu
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
100
200U
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
500
1000
1500
Vitesse tr/min
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
10
20
30
Is
Figure 6-4 Rsultats de simulation pour un chelon de tension.
Pour une mise en tension sous charge nominale nous pouvons constater un dpassement
important du courant nominal qui conduit avoir une puissance lectrique crte denviron 5 fois
la puissance nominale.
U
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
2000
4000
6000
8000
Pe
Pm
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
rendement
Pe=1300 W
Pm=1100 W
Pe=6400 W
Pm=2800 W
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
2000
4000
6000
8000
Pe
Pm
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
rendement
Pe=1300 W
Pm=1100 W
Pe=6400 W
Pm=2800 W
Figure 6-5 Puissances et rendement pour un chelon de tension.
Passage une formulation par transmittances.
Si le courant de linducteur est maintenu constant nous pouvons poser : ( )1 0 ik k I= les
quation dtat (5.5) deviennent :
( )( )
( )( )
s 1
s1 1
2 21
s
R k
L Jx t x t 1U(t)
x t x t 0k f
L J
= +
( )
( )( )
1
2
s
10
x tJY t
1 x t0
L
=
(6.6)
Pour tablir la matrice de transfert nous avons vu prcdemment (5.4) quelle est issue delquation matricielle :
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INSA 3GE JM RETIF Modlisation par variables dtat
[ ] 1H(p) C p I A B D= + , soit :1
s 1
s
1
s s
R k1p0
L J 1JH(p)
1 0k f0 p
L L J
+ = +
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
s 1 s2 2
s s 1 s s 1
s s12 2s
s s 1 s s 1
L J p f k L10
J p f L p R k J p f L p R k 1JH(p)
1 0J L p R k J0L
J p f L p R k J p f L p R k
+ + + + + + + = + + + + + + +
( )
( ) ( )
( ) ( )
s
2
s s 1
12s
s s 1
L J p f 10
J p f L p R k JH(p) 1 k J0
L J p f L p R k
+ + + + = + + +
( ) ( )
( )
( ) ( )
12
s s 1
2s s 1
k
J p f L p R k
H(p)J p f
J p f L p R k
+ + + = + + + +
Ce qui donne :
( )( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
12
s s 1s
s
2s s 1
k
J p f L p R k pV (p)
I p J p f
J p f L p R k
+ + + = + + + +
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INSA 3GE JM RETIF Modlisation par variables dtat
Annexe
Le systme SI (MKSA)
LES UNITES DANS DIVERS SYSTEMES.
Grandeur Nom Symbole Expression avec
les units debase
Equation aux
dimensions
longueur mtre m L
Masse Kilo
grammegk M
temps seconde s T
Courant lectrique ampre A A 1T Q
Potentiel lectrique, fem, volt V W
A
2 2 1L MT Q
Rsistance lectrique ohm VA
2 1 1L MT Q
Capacit lectrique farad F C
V
2 1 2L M TQ
Inductance henry H bW
A
2 2L MQ
Flux dinduction magntique weber Wb V.s 2 1 1L MT Q
Densit dinduction
magntique
tesla T b2
W
m
1 1MT Q
Force newton N g2
k m
s
2LMT
Pression pascal Pa
2
N
m
1 2L MT
Energie, travail, quantit de
chaleur
joule J N.m 2 2L MT
puissance watt W J
s
2 3L MT
Rgle dcriture.
Lorsquune unit porte le nom dun chercheur, le nom de lunit est crit en minuscule,
sauf Celcius.
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INSA 3GE JM RETIF Modlisation par variables dtat
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INSA 3GE JM RETIF Les Bond Graphs
33
LES BOND GRAPHS
1. Prambule.Le bond graph est un langage graphique qui constitue un intermdiaire entre le systme physique
que lon tudie et la formulation mathmatique ncessaire sa modlisation. La conception dun
bond graph ou graphe de liens repose sur lchange dnergie entre les lments du systme
tudi et sappuie sur la notion de causalit. Cette prise en compte de la causalit reprsente un
avantage majeur de cette approche. Dautres formalismes, tels les graphes de fluences ou les
graphes dinterconnections de ports, ne prennent pas en compte cet aspect.
Afin de prciser cette notion de causalit nous prendrons deux exemples :
Si nous sommes dans le domaine mcanique, pour une masse en mouvement, la force constitue
la cause et la vitesse leffet. En lectronique, lvolution de la tension aux bornes dun
condensateur est la consquence du courant le traversant.
La mthodologie des bond graphs suppose que le systme soit paramtres localiss, dans ce
cas, il est possible de dcomposer lensemble tudi en lments appels ports. Entre cesports
lnergie est transmise, celle-ci se dcomposant entre un effort et un flux, ces dnominations
gnrales pourront se dcliner dans plusieurs domaines de la physique. Cette dernire remarque
constitue un autre atout de la reprsentation dun systme par bond graphs. En effet, il serapossible avec le mme formalisme, de reprsenter des phnomnes lectriques, mcaniques,
thermiques, chimiques
Avant dentrer dans les dtails du formalisme par bond graph nous allons spcifier ses
principales caractristiques.
Cest un langage unifi quelque soit le domaine physique considr. Il est bas sur une formulation nergtique des changes entre les sous systmes ;
Afin de dcrire la varit des phnomnes dans diffrents domaine de la physiques une typologie
dlments que nous dtaillerons ultrieurement est dfinie.
Source idale dnergie Stockage dnergie Dissipation dnergie Transformation et conversion de lnergie
2. Liens et ports.2.1 Dfinitions.
Comme nous venons de lentrevoir, cette approche permet de reprsenter les changes dnergie
en terme deflux et deffortentre les lments du systme physique appelports.
Ainsi si le vhicule A entrane la charge B, la force de traction F sera leffortet la vitesse leflux ;la demi-flche donne alors le sens de passage de lnergie.
AB
V
IF FCircuit
B
Circuit
A
V
U
Entranement mcanique Circuits lectriques
A B A BF
V
U
I Figure 2-1 Conventions dun lien
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
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INSA 3GE JM RETIF Les Bond Graphs
34
Dans le domaine lectrique, lorsque le circuit A alimente le circuit B, la tension U reprsente
leffortet le courant I leflux (au sens des bond graphs).
Pour rsumer, si deux composants dun systme physique schangent de lnergie. Par
convention la demi-flche appele lien indique le sens du transit. Pour ce sens, le transfert de la
puissance sera considr comme positive. Par convention, A sera le port dentre et B le port de
sortie.
A B
A B
e
f
A B
e
f
Port de sortiePort d'entre
effort
flux
Figure 2-2 Reprsentations dun lien entre deux ports
Le lien comportera deux grandeurs, la variable de flux note f est une variable extensive et
correspond un nombre de particules par unit de temps. La variable deffort, note e est une
variable intensive indpendante de toute quantit de matire. La variable fde flux est note ducot de la demi-flche et lefforte sur le cot oppos. Le produit de leffortpar leflux reprsente
la puissance change.
Lors de llaboration dun bond graph, chaque lment est schmatis par un ensemble de ports
communiquant par des liens indiquant le sens de transfert de la puissance.
Pour des ensembles importants, il est parfois utile de faire une analyse plus macroscopique en
dfinissant des sous-systmes, dans ce cas le bond graph mots est utilis.
Afin dillustrer cette approche, pour un vhicule lectrique, une analyse par bond graph mots
donne la dcomposition suivante :
OnduleurBatterieBatterie
tension
Courant MoteurtensionCourantCoupleVitesse
angulaire
tensionCourant
Boite
devitesse
Transmission
CoupleVitesse
angulaire
vitesse
forceVhicule
&Environnement
Figure 2-3 Bond graph mots
2.2 Expressions de la puissance et de lnergie.A partir des grandeurs deflux et deffortdautres variables peuvent tre dfinies :
2.2.1 La variable de puissance (P)La puissance change rsulte du produit dunflux par un effort. P = e f Exemples :
En mcanique leffort, est la force ou le couple et le flux la vitesse linaire ou angulaire,
nous aurons dans ce domaine les expressions classiques
P F V= avec laforce en newton et leflux en m/s.P C= Ici laforce correspond au couple en Nm et leflux la vitesse angulaire en rad/s.
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2.2.2 La variable de moment gnralis p(t).Le moment gnralisnotp(t) correspond lintgrale de leffort. ( ) ( )
t
0
(t) e d 0= +p p
Exemples :
Domaine lectrique.
Ici leffortet leflux sont reprsents, respectivement par la tension et le courant, il vient :
( ) ( )t
0
(t) V d 0= +p p .
Domaine mcanique.
Pour un mouvement de translation, leffortest la force et leflux la vitesse linaire.
Dans le cas dune translation ( ) ( )t
0
(t) F d 0= +p p .
Ici, le moment gnralisp(t) reprsente limpulsion en Ns.
Pour les mouvements de rotation, leffort est le couple et le flux la vitesse de rotation
angulaire.
En rotation ( ) ( )t
0
(t) C d 0= +p p et le moment gnralis p(t) sera limpulsion
angulaire en Nms.
2.2.3 La variable de dplacement gnralis q(t).Cette notion de dplacement est la grandeur duale du moment gnralis. Cette variable
sexprime par lintgrale duflux soit : ( )t
0
(t) ( ) d 0= +q f q
Exemples :
Domaine lectrique.
Comme nous lavons vu prcdemment, leffortet leflux correspondent respectivement
la tension et au courant.
( ) ( )t
0
(t) I d 0= +q q .
Dans le domaine lectrique le dplacementreprsente la charge en Coulomb.
Domaine mcanique.
Pour un mouvement de translation ( ) ( )t
0
(t) V d 0= +q q .
Lintgrale de la vitesse est ici le dplacement exprim en m.
0
t
0
t
x(t) x V( ) d = + .
Cest de la particularit, de cette variable dans le domaine mcanique, que vient la
dnomination de dplacement.
Pour un mouvement en rotation
( ) ( )
t
0
(t) d 0= +
q q
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Lintgration de la vitesse angulaire donne langle, dans ce domaine le dplacement
correspond donc la rotation angulaire exprime en rad.
0
t
0
t
(t) ( ) d = +
2.2.4 Variable dnergie E(t).Lnergie correspond lintgration de la puissance . ( ) ( ) ( )
t
0
E(t) e f d E 0= +
Exemples :
Domaine lectrique.
Dans le domaine lectrique nous aurons :
( ) ( ) ( )t
0
E(t) V I d E 0= +
Domaine mcanique.
Pour un mouvement de translation leffort est la force et le flux la vitesse linaire. En
rotation leffortest le couple et leflux la vitesse de rotation.
En translation ( ) ( ) ( )t
0
E(t) F V d E 0= + .
En rotation ( ) ( ) ( )t
0
E(t) C d E 0= + .
2.3 Variables de flux et deffort.Rsum des variables deffort et de flux
Domaine Effort e Fluxf Momentp Dplacement q
Electrique La tension en
Volt
Le courant en
ampre
Impulsion p
en V.s
Magntique La force
magntomotrice
La drive du flux
magntique
Le flux
magntique
Mcanique
translation
La force en N La vitesse en m/s Impulsion p
en N.s
Dplacement en
mtre
Mcanique
rotation
Le couple en Nm La vitesse en rad/s Impulsion p
en N.m.s
Angle en radian
Hydraulique Pression en
Pascal ( 2N / m )
Dbit Volume en 3m
Thermique Temprature K Drive de
lentropie S
Entropie S
Chimique Potentiel
chimique Flux molaire Nombre de
moles
Tableau 2-1
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3. Elments du langage bond graph.Les phnomnes mis en jeux sont analyss en termes de sources deffortet sources de flux. La
puissance tant le produit dun effortpar unflux.
Nous allons distinguer 3 types dlments :
Les lments actifs, les lments passifs, les lments dtecteurs, les jonctions et les lments de
transformation.
3.1 Les lments actifs.Dans un systme, lnergie peut tre apporte soit par une source deffortsoit par une source de
flux. Dans le domaine lectrique, ce sont respectivement les sources de tension et de courant.
Ces sources sont orientes par une demi-flche oppose la source considre.
3.1.1 Source deffort.La variable effortest suppose indpendante duflux fourni par la
source. Pour une source de tension, cela revient dire que sa
rsistance interne est nulle.
Exemples 1.
Domaine lectrique. Domaine mcanique.
u Z Se :Tension u
F
Se :Force F
Source de tension, alimentation par une
source dimpdance nulle.
Moteur dentranement ayant des pertes nulles et
fournissant une force de propulsion F.
3.1.2 Source de flux.Ici cette source est la duale de la prcdente. Dans le domaine
lectrique cela correspond une source de courant dimpdance
infinie.
Exemples 2.
Domaine lectrique. Domaine mcanique.
i
Z Sf :Courant i
Sf :
Vitesse v
Vitesse v
Source de courant, alimentation par une
source dimpdance infinie.
Moteur dentranement ayant une inertie infinie et
fournissant une vitesse constante.
Sef
e
Sff
e
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3.2 Elments passifs.Ce sont les lments passifs qui dgradent lnergie en chaleur, une rsistance lectrique, le
frottement qui soppose un mouvement etc
3.2.1 Elment R.Cet lment est utilis pour modliser un phnomne physique
liant les variables flux et effort, la puissance tant dissipe sous
forme calorifique.Dans le domaine lectrique se sont les rsistances, en mcanique,
les amortisseurs ou tout phnomne de frottement, en hydraulique une restriction. En fait tout
phnomne dgradant lnergie en chaleur.
Exemples 3.
Domaine lectrique. Domaine mcanique.
U1R
I
R:R1I
U
Force F=b.V F
Vitesse V
R:bV
F
La rsistance :
Puissance dissipe2
1P U I R I= = .
Frottement sopposant un dplacement.
Frottement sec ; F constant, P V F= Frottement fluide ; F b V=
P V F= 2b V=
3.2.2 Elments de stockage.Les lments de stockage sont des lments passifs mais rversibles en nergie. Un barrage
accumule de lnergie potentielle, une inertie en rotation stocke de lnergie cintique. Dans le
domaine lectrique, un condensateur contient une quantit dlectricit et une inductance de
lnergie magntique. Deux types dlments de stockage existent selon quils accumulent un
flux ou un effort.
3.2.3 Elment C (stockage de type potentiel).Cet lment prend en compte le stockage dun effort.
Llment C est utilis pour tout phnomne physique liant la
variable deffort la variable de dplacement, ce stockage est dit
potentiel.
Le dplacement est dfini par la relation ( )c C,= q e , dans le cas linaire C= q e .
Lnergie stocke peut sexprimer :
( ) ( ) ( )t
0
E(t) d E 0= + e f
Le dplacement sexprimant vis--vis duflux par
t
0
(t) ( ) d = q f , il vient :
Cf
e
Rf
e
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( ) ( )0
0E(q) d E= +q
q
e q q q .
Exemples :
Energie stocke dans un ressort.
Pour un ressort la force est proportionnelle lcrasement soit : F k x= ,
( ) ( ) ( )0 0
x x
0 0
x x
E(x) F x dx E x k x dx E x= + = + 2k x
2
=
Energie stocke dans un condensateur.
Pour un condensateur la charge Q (dplacement) est relie la tension (effort) par la
relation Q C U= .
( ) ( ) ( )0 0
x 2
0 0
x
E(x) F d E d EC 2 C
= + = + =
q
q
q qq q q q q , si on exprime cette nergie stocke
en fonction de la tension, nous retrouvons la relation classique 21E C U2
= .
Llment C peut sexprimer par deux causalits :
Causalit intgrale :1
C= e f , leffortet lintgrale dunflux.
Causalit drive : C= f e , leflux et la drive de leffort.
Exemples 4.
Domaine lectrique. Domaine mcanique.
U
I
C Courant IC : C
Tension UC : C
Ressort de
raideur k
Force F
F Compression k.x
C :Vitesse V
Force FC :
1
k
Le condensateur permet lorsquil reoit un
courant (flux) demmagasiner une chargelectrique exprime en Coulomb
(dplacement).
Dplacement : = q f ( )t
0
t i( ) d = q
sachant que pour un condensateur :
( ) ( )t
0
1u t i d
C= C u= q
Nous retrouvons la relation gnrique en
rgime linaire C= q e ou q reprsente laquantit dlectricit en Coulomb.
Le ressort permet lorsquil est soumis une
vitesse (flux) demmagasiner un dplacementexprim en mtre.
Dplacement : = q f ( )t
0
t V( ) d = q
Pour un ressort, la force due la compression
vaut : ( ) ( )t
0
F t k V d = F
k=q et nous
retrouvons comme pour le condensateur la
relation valable dans le cas linaire C= q e .Nous vrifions ici que le dplacement
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Causalit.
Pour avoir une causalit intgrale, un
condensateur doit tre aliment par une source
de courant, la tension tant la consquence.
En causalit intgrale :t
0
0
1u(t) u i( ) d
C= + .
En causalit drive : ( ) ( )i t C u t=
correspond la compressionF
xk
= et que la
valeur de la variable C de cet lment vaut
1C
k=
.
Causalit.
En causalit intgrale :
t
0
0
F F k V( ) d = + .
En causalit drive : ( ) ( )1
v t F tk
=
3.2.4 Elment I (stockage de type inertiel).Cet lment permet de modliser un phnomne physique liant la
variableflux la variable moment.
( )I
I,= p f . Si le systme est linaire I= p f
Cet lment de stockage est de type inertiel.
Lnergie stocke peut sexprimer :
( ) ( ) ( )t
0
E(t) d E 0= + e f Le dplacement sexprimant vis--vis du flux part
0
(t) ( ) d = p e ,
il vient : ( ) ( )0
0E( ) d E= +p
p
p f p p p .
Energie emmagasine dans une masse.
Icip reprsente la quantit de mouvement M V= p
( ) ( ) ( )0 0
22
0 01 1
E(p) V d E d E M VM 2 M 2
= + = + = = p p
p p
p pp p p p p , qui correspond lnergie
cintique.
Energie emmagasine dans une inductance.
Dans le domaine lectrique, p reprsente le limpulsion en V.s, p=L.I.
( ) ( ) ( )0 0
22
0 01 1
E( ) I d E d E L IL 2 I 2
= + = + = = p p
p p
p pp p p p p p , nous retrouvons la relation
usuelle donnant lnergie magntique emmagasine dans une inductance.
Llment I peut sexprimer par deux causalits :
Causalit intgrale1
I= f e , leflux et lintgrale de leffort.
Causalit drive I= e f , leffortet la drive duflux.
Pour des circuits lectriques le courant reprsente le flux dans le formalisme des graphes de
fluence cest linductance qui reprsente llment I.
En mcanique leflux tant la vitesse cest linertie qui est llment de stockage.
If
e
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Exemples 5.
Domaine lectrique. Domaine mcanique.
i
u Courant i
Tension u
I : LL
F
MasseM
Vitesse v
Force FI : M
Linductance permet lorsquelle est soumise
une tension (effort) demmagasiner une
impulsion en V.s.
=
p e
( )
t
0
t v( ) d =
p , sachant que pour
une inductance : ( ) ( )t
0
1i t v d
L=
Qui correspond bien au cas linaire
I= p fpour lequel le paramtre I estlinductance.
( ) ( )t
0
(t) v d 0= +p p
Causalit :
Avec une formulation intgrale la cause est la
tension et la consquence est le courant.t
0
0
1i(t) i u( ) d
L= +
En causalit drive nous retrouvons la relation
classique :
u(t) L.i(t)=
En mcanique llment I est la masse M pour
un mouvement de translation ou linertie pour
une rotation.
La masse soumise une force (effort)
emmagasine une quantit de mouvement en
Kg.m/s (moment).
= p e ( )t
0
t F( ) d = p , la loi
fondamentale de la dynamique donne :
( ) ( )t
0
1v t F d
M=
Ce qui fourni M v= p qui est bien la quantitde mouvement.
Causalit :
Pour un mouvement la vitesse est la
consquence de la force.t
0
0
1v(t) v F( ) d
M= +
Avec une formulation drive nous retrouvons
la loi fondamentale de la dynamique.
F(t) M.v(t)=
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3.3 Les dtecteurs.Ce sont des lments qui plac dans le bond graph indiquent la prsence dun capteur ou dun
instrument de mesure suppos idal.
Ainsi aucune puissance nest consomme par le dtecteur, nous distinguerons selon le type de
mesure faite deux type de dtecteur :
3.3.1 Dtecteur deffort.
0=f
eeD
3.3.2 Dtecteur de flux.
f
= 0efD
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3.4 Jonctions.3.4.1 Jonction 0.
La jonction 0 permet de coupler des lments
soumis un mme effort.
Les efforts sont identiques : 1 2 3= = =e e e e
Le flux entrant est gal la somme des flux
sortants 1 2 3= +f f f
Le corollaire de ces 2 proprits se traduit
par un bilan de puissance nulle
1 1 2 2 3 3 0 =e f e f e f .
Exemples 6.
Domaine lectrique. Domaine mcanique.
Alimentation par une source de tension dune
inductance et dune rsistance en parallle.
Association srie dlments soumis une
mme force.
uR