Avant-propos...Ce document est un recueil d’exercices destinés aux étudiants de la 1ère année ... Donner la ou les différences entre un acier faiblement allié et celui fortement

Fascicule de travaux dirigés de Caractérisation des Matériaux pour les étudiants de 1er A. Licence G. Mécanique A.U. 2017/2018

HIDOURI Abdelmoumen ISET de Gafsa Licence Appliquée en Génie Mécanique 1

Avant-propos

Ce document est un recueil d’exercices destinés aux étudiants de la 1ère année

de la licence Génie Mécanique.

Dans ce recueil, j’ai essayé de regrouper le nombre maximum d’exercices et

de problèmes en relation avec le programme officiel de la matière

caractérisation des matériaux.

Pour la collecte de ces exercices, j’ai suivi une méthode qui a consisté par

débuter par des exercices sous formes de questions de cours que j’ai vu très

intéressants pour que l’étudiant puisse bien enregistrer le maximum

d’informations qu’ils acquises durant les séances de cours.

Puis, j’ai passé aux sujets qui contiennent des exercices et des problèmes

selon un degrés de difficulté croissant.

Il faut noter que la majorité de ces exercices et problèmes sont des sujets

d’examens que j’ai proposés durant presque dix ans d’enseignement de cette

matière. Je n’ai pas donné, volontairement, les réponses à ces problèmes pour

obliger l’étudiant à fournir des efforts pour faire ces exercices chez lui et aussi

pour l’obliger à assister les séances de cours et de travaux dirigés qu’on fait en

classe.

Ce fascicule peut contenir des erreurs ou des fautes que j’invite les chers

lecteurs de me communiquer pour les corriger.

J’espère que recueil soit à la hauteur de mes chers étudiants et mes chers

collègues et qu’il puisse les aider à bien comprendre cette branche de la science

des matériaux.

HIDOURI Abdelmoumen

2018



Enoncées des exercices et des problèmes

Partie A : Questions de cours et de réflexion :

1. Qu’est-ce qu’un matériau ? Donner des exemples de certains matériaux en précisant leurs utilisations.

2. Donner les origines possibles des différents matériaux que vous connaissez.

3. Donner les classes des différents matériaux que vous connaissez.

4. Quelles sont les caractéristiques mécaniques, thermiques, électriques, etc. des différents matériaux ?

5. Définir un matériau composite et définir un alliage. Quelles différences existent entre ces deux types

de matériaux ?

6. Définir un acier.

7. Définir une fonte.

8. Donner les différents types de matières plastiques.

9. Donner quelques applications des céramiques.

10. Donner la définition d’un matériau composite.

11. Donner les différences entre un matériau cristallin et un matériau amorphe.

12. Les défauts cristallins peuvent être classés d’un point de vue géométrique en défauts ponctuels,

défauts linéaires et défauts répartis sur une surface interne. On vous demande de donner les catégories

des défauts ponctuels et les défauts linéaires.

13. Définir un polymère.

14. Donner les grandes classes de polymères que vous connaissez ?

15. Définir la polymérisation. En donner et expliquer ses types ?

16. Définir un alliage. Donner ses principales classes existant dans l’industrie

17. Donner la ou les différences entre un acier faiblement allié et celui fortement allié.

18. Qu’est-ce qu’un site interstitiel ? quels sont les types de sites que vous connaissez ?

19. Remplir le tableau suivant :

20. Qu’est-ce qu’un essai mécanique ? pourquoi le fait-on ?

21. Quels sont les essais mécaniques que vous connaissez ? Décrire le but et le principe de chaque

essai.

22. Définir un acier faiblement allié.

23. Définir un acier fortement allié.

Quelques propriétés usuelles des grandes familles de matériaux

Famille de matériaux Métaux Polymères et

élastomères

Céramiques et

verres

Densité Élevée Faible Faible

Rigidité (module d’Young)

Coefficient de dilatation

thermique

Dureté

Ductilité (déformation à la

rupture)

Élevée sauf à l’état

vitreux

Conductivité électrique,

thermique

Électrique :

thermique :

Résistance à corrosion

Température max.

d’utilisation

Mise en forme



24. Donner le principe de l’essai de dureté et les caractéristiques mécaniques que vous pouvez

dégager de cet essai.

25. Une ´éprouvette en cuivre de module d’Young E et de longueur l0 est tirée à l’aide d’une

charge unitaire σ. Si la déformation est élastique, quelle sera son élongation ∆l ?

A.N. : l0 = 305 mm, σ = 275 MPa et E = 110 GPa.

26. Un barreau cylindrique de bronze de module d’Young E et de coefficient de Poisson ν a un

diamètre d0. Quelle charge unitaire de traction uniaxe σ dans le domaine élastique faut-il lui

appliquer pour produire un allongement ∆d dans le sens transverse ?

A.N. : E = 97 GPa, ν = 0,34, d0 = 10 mm et ∆d = -2,5 × 10-3 mm.

Partie B : exercices et problèmes :

Exercice N°1

On vous présente la courbe suivante d’un tel essai.

Figure 1

1. De quel essai on parle ?

2. Rappeler le principe d’un essai de traction.

3. Commenter la courbe en précisant les différents domaines.

4. Déterminer les grandeurs suivantes : le module d’élasticité (module d’Young), la limite élastique,

la limite conventionnelle d’élasticité à 0,002, la résistance maximale à la traction et l’allongement

maximal. 4. Citer au moins deux moyens de durcir un acier

Exercice N°2

La figure ci-après représente schématiquement la courbe d’un essai mécanique réalisé sur une

éprouvette en acier de section circulaire a un diamètre initial D0 = 20 mm et une longueur initiale

L0 = 100 mm.

Les coordonnées des points A, B et C sont les suivants :

A B C

F(N) 65940 157000 94200

L(mm) 0,1 12 16,4

( )

( )

Tableau N°1



Figure 2

a- De quel essai s’agit-il ? quel est son but ? quel est son principe ?

b- Calculez les contraintes et les déformations ε aux points A, B et C et reportez les valeurs dans

le tableau cité prés la courbe (indiquez les unités entre parenthèses dans la première colonne).

c- Déterminez graphiquement la limite élastique Re et la résistance à la traction Rm de l'acier ainsi

que son allongement relatif après rupture A%

d- Calculez le module d'Young E de l'acier.

Exercice N°3 :

La figure ci-dessous représente la courbe d’un essai réalisé sur une éprouvette en acier :

Figure 3

L’éprouvette de section circulaire a un diamètre initial D0=20 mm et une longueur initiale

l0=92mm.

a) De quel essai mécanique s’agit-il ?

b) Décrire son principe et dire quelles sont les caractéristiques qu’il peut nous fournir ?



c) Définir les caractéristiques aux points A, B et C

d) Calculer alors la contrainte σ et la déformation nominale en chaque point A, B et C.

e) Calculer le module d’Young de l’acier. Expliquer bien votre méthode de travail.

f) Calculer l’allongement relatif après rupture Ar de cet acier.

Exercice N°4 :

Le résultat d’un essai mécanique réalisé sur une éprouvette plate d’aluminium, ainsi que

la photo de l’éprouvette testée, sont présentés ci-dessous.

Figure 4

1. De quel essai s’agit-il ? décrire son but et son principe. Est-il un essai destructif ou non ?

pourquoi ?

Les deux courbes ci-après présentent l’évolution de la contrainte normale en fonction de la

déformation longitudinale et l’évolution de la contrainte normale en fonction de la déformation

transversale. L’éprouvette a une section rectangulaire initiale de largeur l0 = 15,11 mm et d’épaisseur

e0 = 4,96 mm. La longueur utile de l’éprouvette est L0 = 100 mm

Figure 5

2. En observant cette figure répondre aux questions suivantes :

a) Quelle est la courbe de la déformation longitudinale ?

b) Quelle est la courbe de la déformation transversale ?

c) Sur chacune d’elle identifier la zone élastique et la zone plastique.



d) En justifiant votre méthode de travail, calculer le module d’élasticité longitudinale ou le

module d’Young et le module d’élasticité transversale ou le module de Poisson .

e) Calculer la limite d’élasticité Re.

f) Calculer la limite d’élasticité conventionnelle Re0.2. Expliquer bien votre méthode de travail.

Exercice N°5 :

Un essai mécanique a été réalisé sur une éprouvette plate (comme indiquée sur la figure n°6) de

longueur initiale L0 = 80 mm, de largeur initiale l0=10 mm et d’épaisseur e0 =5 mm

Figure 6

La courbe brute de cet essai F = f (ΔL) est donnée dans les fig.7 et 8 suivantes.

Figure 7

1. De quel essai s’agit-il ?

2. Donner son principe.

3. Calculer la section initiale de l’éprouvette en mm2.

Grâce aux données et aux graphiques, calculer (justifier bien la méthode de travail avec les

graphiques sur les figures 7 et 8 et faire vos calculs avec les explications nécessaires) :

4. Le module d’Young E (en GPa) du matériau ;

5. Sa limite proportionnelle d’élasticité Re (en MPa) ;

6. Sa limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 (en MPa) ;

7. Sa résistance à la traction Rm (en MPa) ;



Figure 8

8. Sa déformation totale 𝜖𝑡 (en %) juste avant la rupture ;

9. Son allongement final A (en %) après rupture. Expliquer bien votre méthode de travail.

Exercice N°6 :

Pour un alliage d’aluminium, des essais ont donné les résultats suivants assemblés dans le

tableau suivant :

Amplitude de la contrainte (MPa) 400 350 300 250 220 180 170 160

Nbre de cycles à la rupture N 2.104 5.104 2.105 106 6.106 5.107 108 109

Tableau N°2

1. Tracer la courbe - N en nommant les axes des abscisses et des ordonnées. Choisir le papier

convenable, de la page suivante, pour tracer cette courbe. Justifier ce choix. Expliquer bien

votre méthode de travail.

2. De quel essai s’agit-il alors ? décrire son principe.

3. D’après la courbe obtenue, quelle est la limite de contrainte conventionnelle à 107 cycles ?

expliquer votre méthode de travail.



Exercice N°7 :

Un essai de traction a été réalisé sur une éprouvette cylindrique d’acier inoxydable 316. Le plan de

cette éprouvette est donné ci-dessous (figure 9) et la courbe brute de traction F = f (ΔL) est donnée

dans les figures 10 et 11. L0 = 150,000 mm, D = 15,000 mm

Figure 9

Grâce à ces données, calculer :

1. Le module d’Young E (en GPa) du matériau ;

2. Sa limite proportionnelle d’élasticité Re (en MPa) ;

3. Sa limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 (en MPa) ;

4. Sa résistance à la traction Rm (en MPa) ;

5. Sa déformation totale 𝜖𝑡 (en %) juste avant la rupture ;

6. Son allongement final A (en %) après rupture.

7. Quelle est l’énergie élastique libérée par unité de volume de matériau à l’instant de sa rupture,

dans la section réduite ?

Lorsque l’éprouvette était soumise à une force F = 40 kN, son diamètre était alors égal à 14,995 mm.

8. Quelle est la valeur du coefficient de Poisson ν de l’acier inoxydable 316 ?

Après avoir imposé un allongement initial ΔL = 30 mm à une éprouvette de traction identique à la

précédente, on supprime la force appliquée à cette éprouvette. Puis, on réalise un nouvel essai de

traction sur cette éprouvette de matériau pré-écroui.

9. Quel sera le module d’Young E du matériau pré-écroui ?

10. Quelle est la nouvelle limite d’élasticité Re du matériau pré-écroui si l’on suppose que la

déformation plastique se fait à volume constant ?

11. Quelle sera la nouvelle résistance à la traction Rm du matériau pré-écroui si l’on suppose que

la déformation plastique se fait à volume constant ?

Figure 10



Figure 11

Exercice N°8 :

On donne ci-après la courbe d’un essai mécanique réalisé sur une éprouvette en acier.


2. Donner un dessin ou une figure d’une éprouvette d’essai ;

3. Chercher la température de transition ductile-fragile. Faire les justifications nécessaires sur la

courbe suivante en laissant les traces de votre travail.

Figure 12

Exercice N°9 :

On vous donne ci-après la courbe d’un essai mécanique réalisé dans le laboratoire des sciences

des matériaux de l’ISET de Gafsa sur un matériau M.



Figure 13

1. Identifier cet essai

2. Décrire son principe.

3. Quelles sont les caractéristiques que vous pouvez dégager de cet essai ?

4. Sur quel type de matériau on a fait cet essai ?

5. En vous aidant de cette figure et de la figure suivante dégagez toutes les caractéristiques de

ce matériau.

Figure 14



Exercice N°10 :

On procède à un essai mécanique sur une éprouvette E à l'aide d'un mouton pendule dit de

Charpy. Le marteau est lâché sans vitesse initiale à partir d'une position horizontale ; on note G0 la

position initiale du centre de gravité. Le centre de gravité décrit l’arc G0E, et, après rupture de

l'éprouvette, décrit l’arc EG.

Figure 15: Principe de l'essai

Données

Masse du bras marteau m = 40 kg.

Intensité de la pesanteur g = 10 N. kg-'.

Angle de remontée θ = 20°.

Longueur : OG0 = 800 mm.

Section de l'éprouvette S = 0,7 cm².

Travail demandé


2. Dessiner l’éprouvette, à entaille en V, correspondante.

3. Décrire brièvement son principe.

4. Calculer le travail W, de poids P du marteau de G0 à E avant rupture de l’éprouvette.

5. Après le choc, le marteau s'écarte de l’angle θ.

i- Calculer OH en mm,

ii- En déduire h2,

iii- Calculer le travail W2 résiduel (après choc) du poids P du marteau de E à G’.

6. Répondre aux questions suivantes :

i- Calculer l’énergie W=W1-W2, sous quelle forme cette énergie se manifeste –t-elle ?

ii- On suppose maintenant que toute l’énergie absorbée W correspond au travail de rupture Wa de

l’éprouvette E. Calculer alors la résilience KCV de l’échantillon en j.cm-2

Exercice N°11 :

Pour une application donnée, vous avez le choix de réaliser une pièce en composite ayant une

matrice d’époxy pouvant être renforcée par des fibres continues alignées soit de verre, soit de carbone.

Le tableau suivant résume les propriétés mécaniques de ces composants.

Composant E (GPa) Re (MPa) Rm (MPa) A (%)

Epoxy 4 65 90 4

Verre 70 _ _ _ 1700 Non disponible

Carbone 200 _ _ _ 3000 Non disponible Tableau N°3



Pour l’application considérée, vous avez déterminé que le composite « Carbone – Époxy » ayant

une fraction volumique Vf de renfort égale à 22 % pouvait satisfaire le critère de rigidité imposé.

Toutefois, une analyse de coûts révèle que le prix de la pièce sera trop élevé si l’on prend en compte

le fait que le coût d’un renfort de carbone est 20 fois plus élevé que celui d’un renfort de verre. Vous

décidez alors de réaliser le composite en « Verre – Époxy » en ajustant comme il se doit la fraction

volumique de renfort pour obtenir la même rigidité recherchée.

1. Quelle est la valeur recherchée du module d’Young EC (en GPa) du composite ?

2. Quelle est la fraction volumique Vf (en %) de fibres de verre que vous devez utiliser pour obtenir

cette rigidité ?

3. Lequel de ces composites (« Verre – Époxy » ou « Carbone – Époxy ») se comportera de façon

purement élastique jusqu’à sa rupture ? Justifiez quantitativement votre réponse.

4. Quelle est la résistance à la traction Rmc (en MPa) du composite déterminé à la question

précédente ?

Exercice N°12 :

La structure tubulaire de la navette spatiale comprend plusieurs éléments (entretoises, raidisseurs)

qui sont faits d’un matériau composite ayant une matrice d’aluminium renforcée de fibres continues

et alignées de bore. Ces fibres sont parallèles aux chargements. La fraction volumique du renfort Vf

est égale à 45 %. Les propriétés des composants sont données au tableau suivant :

Tableau N°3

1. Quelle est la valeur (en GPa) du module d'Young EC du composite ?

2. Quelle est la valeur du rapport EC/Em, où Em est le module d'Young de la matrice ?

3. Quelle est la valeur (en MPa) de la limite d'élasticité ReC du composite ?

4. À la limite d’élasticité du composite, quelle est la valeur du rapport r = Ff/Fm de la force Ff

supportée par les fibres à la force Fm supportée par la matrice ?

5. Quelle est la valeur (en %) de l'allongement relatif final à la rupture AC du composite ?

6. Dans le cas où les fibres sont perpendiculaires aux chargements :

a. Donner l’expression du module d’Young Ec_per du composite.

b. Calculer la valeur (en GPa) du module d'Young Ec_per du composite. Comparer avec

1° et conclure.

Exercice N°13 :

On fabrique au laboratoire SDM de ISET Gafsa par

thermocompression un matériau composite MC formé par le

Polyéthylène basse densité PEBD de module d’Young Em =

200 MPa et une limite d’élasticité Rem = 15 MPa et un renfort

de fibre d’Alfa de forme cylindrique (voir fig.3). Le module

d’Young des fibres d’Alfa est de l’ordre Ef = 17 GPa et une

limite d’élasticité Ref = 200 MPa.

Soit une section Sc de ce composite de largeur l = 6 mm et d’épaisseur e = 3 mm contenant 10 fibres

de section circulaire de diamètre df = 0,5 mm.

1. Calculer la section Sc en mm2 du composite.

2. Calculer la section Sf en mm2 des fibres.

3. Calculer la section Sm en mm2 de la matrice.

4. Evaluer la fraction surfacique Vf des fibres.

Composant E (GPa) Re (MPa) Rm (MPa) A (%)

Aluminium 70 400 600 12 Bore 400 …. 3600 ?

Figure 16



5. Enoncer la règle des mélanges dans un composite appliquée aux modules d’Young.

6. Calculer alors le module d’Young de ce composite Ec.

Exercice N°14 :

Un axe, de section circulaire et schématisé ci-dessous, est constitué de deux parties ayant des

diamètres différents (D et d1) reliées par un congé de raccordement de hauteur h1 et de rayon de

courbure r1. De plus, la section la plus grosse de l’axe possède une gorge de profondeur h2 et de

rayon de courbure r2.

Figure 17

Les dimensions des différentes parties de l’axe sont les suivantes :

D = 91 mm, h1 = 13 mm, r1 = 6,5 mm, h2 = 9,1 mm, r2 = 9,1 mm.

Les figures 18 et 19 donnant la valeur du coefficient de concentration de contrainte selon la

géométrie du défaut.

Le matériau de cet axe est un alliage d’aluminium dont les propriétés mécaniques sont :

E = 70 GPa, Re0,2 = 390 MPa, Rm = 475 MPa, A = 10 %, KIC = 38 MPa.m½

En service, est apparue dans l’axe une fissure très aigue localisée au fond de la gorge (voir schéma

ci-dessus). Cette fissure a une profondeur a de 6 mm et le facteur de géométrie α associé à cette

fissure est égal à 1,9.

1. Quelle est la valeur du coefficient de concentration de contrainte (Kt)C associé au congé de

raccordement et celle de (Kt)G associé à la gorge ?

2. Si l’on fait abstraction de la présence de la fissure, quelle est la valeur maximale de la force F

(en kN) à ne pas dépasser afin que tout élément de volume de l’axe reste en état de déformation

élastique ?

3. Quel phénomène se produirait si la force F dépassait la valeur maximale calculée à la question

2) ci-dessus ? Précisez dans quelle région de l’axe se produirait ce phénomène.

4. Si l’on tient compte maintenant de la présence de la fissure, quelle est la valeur maximale de

la force F (en kN) à ne pas dépasser si l’on veut éviter la rupture brutale de l’axe ?

On donne : 𝐾𝐼𝐶 = 𝛼𝜎𝑛𝑜𝑚√𝜋𝑎



Figure 18:Facteur de concentration de contrainte associé à un congé

Figure 19: Facteur de concentration de contrainte associé à une gorge

Exercice N°15 :

Le nylon 6-6 est désigné ainsi parce que l'un de ses monomères (la héxaméthylène diamine)

contient 6 groupes CH2 dans sa molécule (figures 20); l'autre monomère est l'acide adipique dont la

molécule est aussi représentée comme indiqué sur la figure 20 :

1. De quel type est la réaction de polymérisation de ces deux monomères ?

Deux échantillons de nylon 6-6 ont des masses volumiques et des pourcentages de cristallinité

différents, donnés au tableau suivant :

Échantillon Masse volumique (g/cm

3)

Cristallinité (%)

A 1,188 67

B 1,152 43

Tableau N°4



Figure 20

2. Si on suppose que la masse volumique du polymère varie linéairement en fonction du

pourcentage de cristallinité, calculez la masse volumique 𝜌0du nylon 6-6 entièrement amorphe

et celle 𝜌100du nylon 6-6 entièrement cristallisé.

3. La courbe (figures 21) représente la variation du logarithme du module d’Young en fonction

de la température. À quoi correspondent les températures T1 et T2 sur ce diagramme ?

4. Selon quelle direction (a ou c) les propriétés suivantes sont-elles les plus élevées : le module

d’Young E, le coefficient de dilatation thermique 𝛼.

Figure 21

Exercice N°16 :

Les trois courbes de résilience A, B et C d’un acier (figures 22.a) ont été obtenues au cours de

trois séries d’essais Charpy, chacune des séries étant caractérisée par les conditions expérimentales

suivantes :

1. Série 1 : Éprouvette Charpy avec entaille classique en V, hauteur initiale de chute du pendule H0

2. Série 2 : Éprouvette Charpy avec entaille modifiée en U, hauteur initiale de chute du pendule H0

3. Série 3 : Éprouvette Charpy avec entaille classique en V, hauteur initiale de chute du pendule H1

> H0

diamine Acide adipique



La figure 22.b présente le détail des entailles en V ou en U des éprouvettes Charpy.

À chacune des courbes de résilience, associez l’une des séries 1, 2 ou 3 d’essais. Justifiez vos

réponses.

Figure 22

Exercice N°16 :

On souhaite connaître les caractéristiques mécaniques d'un acier utilisé comme renfort du béton

armé (Figure ci-après).

Figure 23 : Poutre en béton renforcée par des armatures en acier

Pour cela, une éprouvette de dimensions ; D0 = 8 mm et de longueur initiale L0 = 100 mm a été

utilisée pour réaliser un essai de traction.

Le résultat Effort - Allongement de cet essai est présenté sur la Figure ci-après et un zoom du

même essai sur l’autre figure. (Attention aux unités de l'effort sur les graphiques (x 10 4 N))

Figure 24: Essai de traction ; Effort - Allongement

1



Figure 25: Agrandissement du début de l'essai Effort- Allongement On vous demande, à partir des graphes et des définitions suivantes : contrainte et déformation de :

1. Calculer de module d'Young E de ce matériau en expliquant votre méthode de travail.

2. Calculer la limite d'élasticité Re.

3. Déterminer la limite conventionnelle Re0.2 en expliquant votre technique de travail.

4. Déterminer la limite à rupture Rm.

5. Quelle est la valeur de l'allongement total à rupture A%.

6. Cet acier a-t-il un comportement ductile ? Justifier votre réponse. Quelle est la particularité de

la forme de la courbe qui permet également d'obtenir la même conclusion.

7. Pourquoi le béton armé est dit un matériau composite. En quoi les armatures en acier sont-

elles importantes pour la résistance de ce composite ?

Cette poutre, une fois en service, doit pouvoir supporter des chocs importants. Pour vérifier

sa résistance aux chocs, un essai mécanique est réalisé sur cet acier.

8. Identifier cet essai, est-il destructif ou non ?

9. En quoi consiste cet essai ? Expliquer bien son principe et ses conditions de réalisation. Quelle

grandeur mécanique est utilisée pour mesurer cette propriété mécanique ? Quelle est son unité ?

L’énergie admissible par unité de surface doit être de 50J/cm2, à partir des données et des résultats

de cet essai, vérifier que cet acier respecte bien cette contrainte.

La géométrie de l'éprouvette utilisée (acier (dit fer à béton) et les conditions d'essai sont les

suivantes.

• Masse du marteau : 10 kg,

• Hauteur de départ : 1,1 m,

• Hauteur d’arrivée : 0,6107 m, L'éprouvette a une entaille en V de dimension : 10x10x55 :

Figure 26

2



10. Est-ce que la réalisation d'un essai de dureté apporterait une information supplémentaire ?

justifier et/ou expliquer votre réponse.

11. Qu'est-ce qu'un essai de dureté ?

12. Décrire clairement son principe. (Faire des explications claires et par des schémas).

13. Quelles les m méthodes ou les techniques adoptées pour évaluer ou mesurer la dureté d’un

matériau ?

14. Pour chacune de ces techniques, écrire la formule donnant la dureté d’un matériau.

15. Un matériau fortement résilient, est-il un matériau très dur ? Expliquez votre réponse.

16. Sachant que les essais de dureté selon une technique ont été réalisée dans les conditions

suivantes :

Bille de diamètre D = 10 mm,

Diamètre de l’empreinte d = 2 mm,

Charge ou masse appliquée = 3000 kg.

Quelles est cette technique et calculer la dureté selon cette technique de cet acier.

17. Selon une autre technique, les résultats sont en moyenne :

Mesures des diagonales de l’empreinte : d1 = 3,384 mm et d2 = 3,317 mm

De quelle technique parle-t-on ? calculer alors la valeur de la dureté selon cette technique de

cet alliage. Conclure.

18. Quelle est la caractéristique mécanique estimée à partir d'un essai de fatigue ? Est-elle supérieure ou inférieure à la limite élastique ? Comment est-elle définie à partir des courbes de fatigue ?

19. Quelle est la particularité du chargement de cet essai ?

20. Expliquer comment se propage une fissure en fatigue (un schéma peu améliorer la compréhension.). La réponse doit contenir les mots suivants : amorçage, propagation, rupture.

Exercice N°17 :

1. Dessiner une maille élémentaire où les atomes sont placés uniquement à ses huit sommets.

2. Qu’appelle-t-on cette structure ?

3. Calculer le nombre d’atomes dans cette structure.

4. Si on assimile les atomes à des sphères de rayon R, calculer le paramètre a de cette maille.

(Justifier clairement votre réponse en vous aidant de schémas explicatifs).

5. Evaluer la compacité de cette structure. Commenter le résultat trouvé.

Exercice N°18 :

Le carbure de silicium SiC cristallise selon le système cubique et sa maille est représentée dans la

figure 27.

1. Quel est le réseau de Bravais du carbure de silicium ?

2. Quel est le motif associé aux nœuds de ce réseau ? Entourez les atomes constitutifs de ce

motif sur la figure donnée (redessiner une figure dans la feuille de réponse).

3. Quel type de site est occupé par les atomes de carbone ?

4. Dans quelle proportion (en %) ces sites sont-ils occupés par les atomes de carbone ?

5. Quelle est la masse volumique théorique 𝜌 du carbure de silicium ?

6. Calculer le rayon atomique du silicium Si.

7. Calculer la compacité du carbure de silicium.

8. Les plans d’indices (111) donnent une réflexion pour un angle 𝜃=63.25° lorsque la longueur

d’onde des rayons X incidents est 𝜆 qu’on déterminera.

9. Représenter sur une figure les premiers plans, après l’origine, d’indice (111), (101), (222) et

(220).

Données : N = 6,022.1023 mole-1, C = 12,01 g/mole, Si = 28,09 g/mole, RC = 0.772 A°



Exercice N°19 :

Le fluorure de calcium (appelé fluorite) cristallise selon le système cubique. Deux plans

atomiques particuliers de cette structure cristalline sont représentés dans la figure 28.

Figure 28: Plans atomiques particuliers de la fluorite

1. Quel est le réseau de Bravais de la fluorite ? Justifiez votre réponse.

2. Quel type de sites occupent les atomes de fluor (F) dans le réseau formé par les atomes de

calcium (Ca).

3. Quelle est la formule chimique de la fluorite ? Justifiez votre réponse par des considérations

Cristallographiques.

4. Quelle est la masse volumique théorique 𝜌 (en g/cm3) de la fluorite ?

Données : N = 6,023.1023 at/mole, MCa = 40,09 g/mole, MF = 19 g/mole.

Exercice N°19 :

Structure cristalline du fer et de l’acier

1. Dessiner la maille cristalline du fer γ qui adopte la structure cubique à faces centrées.

2. Combien cette maille renferme-t-elle d’atomes ?

3. Calculer la compacité d’une structure CFC (modèle de sphères dures indéformables).

4. Le rayon atomique du fer γ est Rγ = 129 pm. Calculer le paramètre aγ de la maille cubique.

5. Evaluer le volume massique ν(γ) du fer γ .

Le carbone, dont le rayon atomique vaut RC = 77 pm, doit s’insérer dans les sites octaédriques

des mailles cristallines de fer α ou de fer γ .

6. Où sont situés les sites octaédriques dans le fer γ ? S’agit-il d’octaèdres réguliers ?

7. Quel serait le rayon maximal RMγ d’un atome qui s’insérerait dans ce site sans déformer la

structure cristalline ? Calculer RMγ.

8. Que pouvez-vous en conclure sur la solubilité par insertion du carbone dans le fer γ solide ?

Données numériques :M(Fe) = 55,85 g.mol -1, M(C) = 12 g.mol -1,

Nombre d’Avogadro : N =6,02.1023 mol-1.

particuliers de cette structure cristalline sont représentés ci-dessous.

1. Quel est le réseau de Bravais de la fluorite ? Justifiez votre réponse.

Quel type de sites occupent les atomes de fluor (F) dans le réseau

Figure 27: Maille élémentaire du Carbure de Silicium SiC



Exercice N°20 :

Le chlorure de sodium est un composé chimique ionique de formule NaxCly. On l'appelle

couramment le sel de table ou sel de cuisine, ou tout simplement sel dans le langage courant. Cette

roche évaporite a l'aspect d'une matière cristalline, sèche et solide, de densité 2,2, de dureté Mohs 2

et surtout friable, très soluble dans l'eau, avec un goût âcre et une saveur salée caractéristique. Cet

exhausteur de goût, plus ou moins raffiné, est utilisé depuis longtemps pour l'assaisonnement, la

préservation et la conservation des aliments.

La maille élémentaire de ce sel a la forme donnée dans les figures suivantes :

1ere partie

Dans cette partie, on s’intéresse aux ions chlorure

1. Donner, avec les justifications nécessaires, le réseau de Bravais de ces ions.

2. Calculer alors le nombre des ions chlorure.

3. Donner la coordinence des ions chlorures.

4. A) Dessiner la direction 1 [110] sur la maille puis toute seule sur votre feuille d’examen en

y précisant les ions qui y sont présents.

B) Calculer, en fonction du paramètre a de la maille, la densité linéique de chaque type d’ions.

2eme partie

Dans cette partie, on s’intéresse aux ions Sodium 5. Où sont placés les ions sodium ?

6. Qu’appelle-t-on ces endroits et quel est leur nombre dans cette structure?

7. Évaluer alors le nombre des ions sodium.

8. Donner la coordinence des ions Sodium.

3eme partie

Dans cette partie, on s’intéresse au chlorure de sodium tout entier

9. En déduire, avec les justifications requises, la formule stœchiométrique de chlorure de sodium

NaxCly. ?

10. Calculer la masse molaire de ce composé,

11. En observant la figure 3. b) dire selon quelle direction les ions sont-ils tangents ?

12. Calculer alors le paramètre a1 de la maille élémentaire.

13. Calculer ainsi la masse volumique ρ, en g/cm3 de ce composé.

14. Définir et évaluer alors sa compacité.

15. Interpréter ce résultat.

Figure 30: Structure de la maille élémentaire de NaxCly Figure 29: Emplacement des anions Sodium et des anions

Chlorure

https://fr.wikipedia.org/wiki/Compos%C3%A9_chimiquehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Ionhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Sodiumhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Chlorurehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Sel_alimentairehttps://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89vaporitehttps://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89chelle_de_Mohs



16.

a) Dessiner la direction 2 [111] sur la maille puis toute seule sur votre feuille d’examen en

y précisant les ions qui y sont présents.

b) Calculer la densité linéique de chaque type d’ion.

c) Les plans d’indices de Miller (110) donnent une réflexion pour un angle =30° lorsque la

longueur d’onde des rayons X incidents est =3,9315 A°

i- Dessiner le plan 1 d’indices de Miller (110) sur la maille, puis tout seul en y précisant les

différents types d’ions qui y sont présents.

ii- Enoncer la loi de Bragg dans le cas général.

iii- En appliquant cette loi dans notre cas, calculer le paramètre a2 de la maille de NaxCly.

Comparer la valeur a2 à la valeur a1 trouvée dans la question 12 .

Données utiles :

Nombre d’Avogadro : N = 6,023.1023 at/mole. Masse molaire de Sodium = 23 g/mol

Rayons des ions Chlorures R1=181 pm. Masse molaire de Chlorure = 35,5 g/mol

Rayon des ions Sodium R2 = 97 pm. 1 pm =10-12m = 10-10 cm = 10-2 A°

N.B : La coordinence d’un atome ou d’un ion est le nombre de plus proches voisins à la même

distance suivant les trois directions de l’espace.

Exercice N°21 :

Cristaux d'iodure de césium et d'iodure de sodium :

Les iodures de sodium et de césium possèdent des structures cubiques dans lesquelles les

coordinences des ions Na+ et Cs- sont respectivement de 6 et 8.

1. Préciser et décrire le(s) type(s) structural(aux) au(x)quel(s) appartiennent ces iodures.

2. Calculer la valeur approximative du rayon de l'ion I- dans l'iodure de sodium. En déduire si le

réseau des anions est compact ou non.

3. Déterminer la valeur approximative du paramètre aCsI de l'iodure de césium.

4. Calculer la masse volumique et la compacité de ces deux iodures.

Données

MNa = 23 g/mol, MI = 126.9 g/mol, MCs = 132.9 g/mol

rNa+ = 97 pm, rCs+ = 169 pm, a NaCl = 648 pm

Nombre d’Avogdro N = 6.02×1023mol-1

Exercice N°22 :

Cristal d'oxyde de magnésium:

L’oxyde de magnésium MgO a une structure type NaCl.

a- Dessiner la structure

b- Montrer que cette structure est en accord avec la composition stoechiométrique de MgO

c- L’arête de la maille mesure 4,1 x 10-10 m. Calculer la masse volumique et la compacité.

d- Parmi les composés suivants : KF, RbF, NaI, FeO, MgCl2 quels sont ceux qui a priori

cristallisent avec une même structure ?

Données : MMg = 24,3 g.mol-1 ; MO = 16,0 g.mol

-1

Rayons ioniques en nm :

Tableau N°5

Élément O2- Mg2+ K+ Fe2+ F+ Rb+ Cl- Na+ I-

Rayon 0,140 0,065 0,138 0,063 0,136 0,149 0,181 0,102 0,220



Exercice N°23 :

On vous présente la maille élémentaire d’un métal A hypothétique :

Figure 31

1. A quel système cristallin cette maille appartient-elle ?

2. Quel est son réseau ?

3. Calculer le nombre d’atomes par maille. En déduire la masse volumique de ce matériau, sachant

que sa masse molaire est de 50 g/mol. (a=0,30nm, b=0,45nm et c= 0,65nm)

4. Représenter les plans (011) et (001). Calculer alors la densité de ces deux plans (RA=150pm)

5. En substituant, 10% des atomes de A par des atomes B dont la masse molaire est de 30 g/mol.

Calculer alors la masse volumique de cette solution solide en supposant que la maille n’a pas

changé de volume.

Exercice N°24 :

Structure et propriétés de la fluorine CaF2 (figure N°32)

La fluorine possède une structure cubique de paramètre de

maille a. Ce système est constitué d’ions Ca2+ distribués sur un

réseau CFC et d’ions F- placés dans tous les sites tétraédriques.

1- Construire la maille cristallographique de la fluorine.

2- Calculer la coordinence du cristal.

3- Déterminer le nombre de motif par maille.

4- Calculer la valeur de a. Les ions F- sont-ils en contact.

5- Calculer la compacité de la structure.

6- Calculer la masse volumique ρ de la fluorine.

On donne :

r(Ca2+) = 0,099 nm; r(F-) = 0,133 nm;

M(CaF2) = 78,08 g.mol-1.

Exercice N°25 :

Structure cristalline du fer et de l’acier

1- Dessiner la maille cristalline du fer γ qui adopte la structure cubique à faces centrées.

2- Combien cette maille renferme-t-elle d’atomes ?

3- Calculer la compacité CCFC d’une structure CFC (modèle de sphères dures indéformables).

4- Le rayon atomique du fer γ est Rγ = 129 pm. Calculer le paramètre aγ de la maille cubique.

5- Evaluer le volume massique ν(γ) du fer γ .

Le carbone, dont le rayon atomique vaut RC = 77 pm, doit s’insérer dans les sites octaédriques des

mailles cristallines de fer α ou de fer γ .

6- Où sont situés les sites octaédriques dans le fer γ ? S’agit-il d’octaèdres réguliers ?

Figure 32



7- Quel serait le rayon maximal RMγ d’un atome qui s’insérerait dans ce site sans déformer la

structure cristalline ? Calculer RMγ.

8- Que pouvez-vous en conclure sur la solubilité par insertion du carbone dans le fer γ solide ?

Données numériques :M(Fe) = 55,85 g.mol -1, M(C) = 12 g.mol -1, nombre d’Avogadro : NA =

6,02.1023 mol -1.

Exercice N°26 :

Transformations allotropiques du Fer

À l’état solide, le fer pur présente la particularité de voir sa structure cristalline changer en

fonction de la température. De tels changements de structure cristalline affectant un élément ou un

composé chimique à l’état solide sont appelés des transformations allotropiques. Dans le cas du fer

pur, voici sa structure cristalline en fonction de la température :

a) (°C) < 910 structure cubique Cα, appelée ferrite α ;

b) 910 < (°C) < 1394 structure cubique Cγ appelée austénite γ ;

c) 1394 < (°C) < 1535 structure cubique Cδ appelée ferrite δ.

Dans ce problème, nous nous intéresserons à la ferrite α et à l’austénite γ qui joueront un rôle

important dans le traitement thermique des aciers.

Le diamètre d’un atome de fer est égal à 0,251 nm vers 910 °C.

1. La maille cubique Cα de α a la forme suivante

Figure 33: Structure C du Fer

a) A quel système cubique du réseau de Bravais appartient la structure Cα ? Justifier.

b) Calculer le nombre Nα d’atomes de Fer dans cette structure.

c) Calculer le paramètre aα de cette structure.

d) Calculer la compacité α de cette structure.

e) Calculer la masse volumique ρα en g/cm3du Fer dans cette structure.

f) Dessiner les directions α1 d’indices [100] et α2 d’indices [111], calculer la densité linéique de

Fe sur chaque direction et les comparer.

g) Dessiner les plans α1 d’indices (100) et α2 d’indices (101), calculer la densité surfacique de Fe

sur chaque plan et les comparer.

2. La maille cubique Cγ de γ a la forme suivante

Figure 34: Structure de C du Fer

a) A quel système cubique du réseau de Bravais appartient la structure Cγ ? Justifier.

b) Calculer le nombre Nγ d’atomes de Fer dans cette structure.

c) Calculer le paramètre aγ de cette structure.

d) Calculer la compacité γ de cette structure.



e) Calculer la masse volumique ργ en g/cm3 du Fer dans cette structure.

f) Dessiner les directions γ3 d’indices [100] et γ4 d’indices [110], calculer la densité linéique

de Fe sur chaque direction et les comparer.

g) Dessiner les plans γ3 d’indices (100) et γ4 d’indices (101), calculer la densité surfacique de

Fe sur chaque plan et les comparer

3. Dans chacune des deux structures, procéder à comparer :

a) Les nombres d’atomes dans les deux structures : Nα et Nγ.

b) Les paramètres des mailles dans les deux structures : aα et aγ.

c) Les compacités des deux structures α et γ.

d) Les masses volumiques du Fer dans les deux structures : ρα et ργ.

4. En se basant sur les questions 1.f), 2. f), 1. g) et 2. g) quels sont les indices de Miller des :

a) Directions de plus forte densité atomique dans la ferrite α et dans l’austénite γ ?

b) Plans de plus grande densité atomique dans la ferrite α et dans l’austénite γ ?

5. En vous aidant des questions 1. e) et 2. e), si la température d’une certaine masse m de fer

baisse de 911 à 909 °C, que se passe-t-il pour le volume Vγ de cette masse ? Quantifiez votre

réponse et précisez le sens de variation (dilatation ou contraction). (Indication : Nommez Vα

le volume de cette même masse à la température 909°C).

6. Une tige de fer, de diamètre d, a une longueur lγ = l00 cm à 911 °C. Quelle est la longueur lα

(en cm) de cette tige à 909 °C, si l’on suppose que la variation du diamètre est négligeable

devant la variation de longueur ?

Données utiles :

✓ Masse atomique du fer MFe = 56 g.mol-1.

✓ Nombre d’Avogadro : N = 6,023.1023 at/mole

1 pm =10-12m = 10-10 cm ; 1 nm = 10-9m = 10-7 cm ; 1 A° = 10-10 m = 10-8 cm

Exercice N°27 :

La figure 34 représente la disposition des atomes d’or (Au) et de cuivre (Cu) dans la maille

élémentaire d’un composé de ces deux métaux. Afin d’assurer plus de lisibilité, les atomes représentés

sur la figure ne sont pas tangents, mais en réalité, les atomes de Au et de Cu se touchent selon les

directions .

1. Quel est le réseau de Bravais qui décrit ce composé ?

2. Quel type de sites occupent les atomes de cuivre (Cu) dans le réseau formé par les atomes d’or

(Au). En déduire la formule chimique de ce cristal.

3. Sur la figure de ce cristal, tracez le plan (110).

4. Quelle est la densité surfacique (en at/nm2) d’atomes de cuivre et celle d’atomes d’or dans ce plan

(110)?

5. Quelle est la compacité (exprimée en %) de ce cristal ?

6. Quelle est la masse volumique théorique (en g/cm3) de ce cristal ?

Données :

Rayon atomique r : rCu = 0,128 nm ; rAu = 0,144 nm

Masse molaire M : MCu = 63,54 g/mole, MAu = 197,0 g/mole

Nombre d’Avogadro : N = 6,023.1023 at/mole



Figure 35: Disposition des atomes d’or (Au) et de cuivre (Cu) dans la maille élémentaire.

Exercice N°28 :

Soit la maille élémentaire du composé SixCy ou les atomes sont disposés comme indiqué sur la

figure suivante. La maille a une arrête égale a a = 0,4358 nm

Figure 36: Maille de SixCy

1. Quel est le réseau de Bravais de ce compose ? Justifier votre réponse.

2. Déterminer, en justifiant votre réponse, le nombre d’atomes de carbone par maille.

3. Quel type de site occupent les atomes de carbone ? Justifier votre réponse.

4. Dans quelle proportion (en %) ces sites sont-ils occupés par les atomes de carbone ? Justifier

votre réponse.

5. Déterminer, en justifiant votre réponse, le nombre d’atomes de silicium par maille.

6. En déduire la formule stœchiométrique du composé SixCy.

7. Quel est alors le motif associé aux nœuds de ce réseau ? Entourer les atomes constitutifs de

ce motif sur la figure donnée (redessiner une figure dans la feuille de réponses).

8. Calculer la masse volumique théorique de ce composé SixCy.

9. Calculer le rayon atomique du silicium RSi.

10. Calculer la compacité du composé SixCy.

11. Les plans d’indices (111) donnent une réflexion pour un angle = 63,25 lorsque la longueur

d’onde des rayons X incidents est qu’on déterminera.

12. Représenter sur une figure les premiers plans, après l’origine, d’indices (111), (222) et (220).

13. Représenter les directions d’indices [100] et [110] quelle est la direction la plus dense.

Justifier.

Données : N = 6,022×1023 mole-1, MC = 12,01 g/mole, MSi = 28,09 g/mole, RC = 0,772 A

1 A = 10-10 m= 10-8 cm, 1 nm = 10-9 m

Nombre d’Avogadro : N = 6,023.1023

at/mole

BON TRAVAIL



Exercice N°29 :

Dans le cristal de chlorure de sodium, les ions Cl- déterminent un réseau cubique à faces

centrées, les ions Na+ occupent le centre des sites octaédriques déterminés par les ions Cl-.

1. Faire un schéma de la maille cristalline.

2. La masse volumique du chlorure de sodium cristallisé est de 2163 kg.m-3 : en déduire la

longueur de l’arrête de maille.

3. Vérifier que ce résultat est compatible avec les valeurs des rayons ioniques qui sont de 181

pm pour l’ion chlorure et 97 pm pour l’ion sodium.

4. Calculer la compacité (ou coefficient de remplissage) de ce cristal.

Données :

• Masse molaire M : MNa = 22,99 g.mol-1, MCl = 35,45 g.mol-1,

• 1pm=10-12 m

• Nombre d’Avogadro : N = 6,023.1023 at/mole

Exercice N°29 :

La figure 37 représente la disposition des atomes de titane (Ti) et d’Aluminium (Al) dans la maille

élémentaire d’un composé intermétallique ordonné TixAly (qui fut largement étudié dans l'objectif

d'applications aéronautiques).

7. Quel est le réseau de Bravais qui décrit ce composé ?

8. Quel type de sites occupent les atomes d’Aluminium (Al) dans le réseau formé par les atomes de

titane (Ti). En déduire la formule chimique de ce cristal.

9. Sur la figure de ce cristal, tracez les plans (100), (020) et (010).

10. Calculer la densité surfacique (en at/nm2) d’atomes de titane et celle d’atomes d’Aluminium dans

chacun de ces plans (100), (020) et (010). Conclure.

11. Quelle est la compacité (exprimée en %) de ce cristal ?

12. Quelle est la masse volumique théorique (en g/cm3) de ce cristal ?

Données :

• Rayon atomique r : rAl = 0,143 nm ; rTi = 0,147 nm

• Masse molaire M : MAl = 26,98 g/mole, MTi = 47,90 g/mole


• a = 4,07Å

Figure 37: Structure de TiAl : perspective et projection cotée. Ti en noir, Al (hachures)

Exercice N°30 :

Le magnésium cristallise dans une structure hexagonale compacte qu’on admettra idéale.

1. Dessiner la maille.

2. Calculer la compacité ou coefficient de remplissage de la structure.


Figure 1 : Structure de TiAl : perspective et projection cotée. Ti en noir, Al en gris ; a =

4,07Å



3. La densité du magnésium par rapport à l’eau est d = 1,74. Calculer le rayon métallique du

magnésium.

Données :

• Masse molaire : MMg = 24,3 g.mol-1


• La hauteur c de la maille est liée à la distance interatomique a (côté de l’hexagone) par la

relation : c = a. √8

3

Exercice N°31 :

L’alliage métallique nichrome, alliage de nickel et de chrome de composition 80% Ni – 20% Cr

(pourcentages atomiques), est largement utilisé industriellement pour la réalisation de résistances

chauffantes bobinées, pouvant fonctionner, dans l’air, jusqu’à 900°C environ (radiateurs électriques

ou allume-cigares par exemple). Il se protège, en service, contre l’oxydation catastrophique par

formation d’une mince couche compacte, adhérente et très étanche d’oxyde de chrome (III) qui l’isole

alors parfaitement de l’atmosphère ambiante.

L’alliage nichrome est une solution solide monophasée de chrome dans le nickel cubique à faces

centrées.

1. Faire un schéma de la maille élémentaire CFC du nickel pur.

2. Indiquer le plan le plus dense et la direction la plus dense dans la figure de la question 1°.

3. Calculer la compacité du nickel pur.

4. Dans l’alliage, les atomes de chrome occupent 20% des positions atomiques, de façon

aléatoire (solution solide de substitution). Combien y a-t-il, en moyenne, d’atomes de chrome

et de nickel par maille ?

5. Calculer le paramètre a, en picomètres, de la maille cubique de l’alliage.

6. En déduire la distance entre deux atomes voisins de l’alliage, qu’on comparera à celle calculée

pour le nickel pur.

Données :

✓ Masses molaires (g.mol-1) : MCr = 52,0 MNi = 58,7

✓ Masses volumiques (g.cm-3) : alliage nichrome : 8,9 ; nickel pur : 8,4

✓ 1 pm = 10-12 m

✓ Nombre d’Avogadro : N = 6,023.1023 mol-1

Exercice N°32 :

Le titanate de baryum, appelé aussi perovskyte, est un matériau

céramique utilisé pour ses propriétés piézo-électriques. La disposition

des ions Ba2+, Ti4+ et O2- dans la maille élémentaire est représentée

ci-contre.

1. Quel est le réseau de Bravais du perovskyte. (Donner les

explications nécessaires).

2. Tracer les directions cristallographiques [110] et [111].

(Chaque direction toute seule).

3. Donner la définition et la formule de la densité atomique

linéique. Calculer la densité atomique linéique de chacune des

directions cristallographiques précédentes pour chaque type d’ions.

4. Tracer les plans cristallins (110) et (111). (chaque plan tout seul).

Figure 38



5. Donner la définition et la formule de la densité atomique surfacique. Calculer la densité

atomique surfacique de chacun des plans cristallins précédents pour chaque type d’ions.

6. Quels sont les indices de Miller de l’intersection des plans (110) et (111) ?

7. Quelle est la formule chimique de la perovskyte, c'est-à-dire les valeurs de x, y et z dans la

formule chimique BaxTiyOz ?

8. Quel type de site occupe l’ion Ti4+ dans le réseau de Bravais de perovskyte ?

9. Sachant que l’arête de la maille de la pérovskite a pour longueur a = 0,4 nm, calculer la masse

volumique théorique en (g/cm3) de la perovskyte.

10. Calculer le rayon de Ba2+ sachant que celui de O2- est égale à 6010-12m.

11. Déterminer les indices des directions les plus denses. (Utiliser la question 3)

12. Déterminer les indices des plans les plus denses. (Utiliser la question 5).

13. Donner la définition et la formule de la compacité. Calculer alors la compacité de ce matériau

et la comparer à celle du réseau correspondant.

On donne :

N=6,0231023 mole-1, MBa=137,33 g/mole, MO=16 g/mole, MTi=47,86 g/mole et

rTi4=14410-12m.

Exercice N°33 :

Le niobium Nb, élément de numéro atomique Z = 41, cristallise à température ambiante dans une

structure cubique centré (CC), de paramètre de maille a = 330 pm.

On donne : M(Nb) = 92 g.mol-1 ; N = 6,023.1023 mol-1 ; 1 pm = 10-12 m.

1. Dessiner la maille de la structure du cristal de Nb.

2. Dessiner les plans de famille (111), (222), (110) et (100) et calculer leurs inter-distances dhkl.

3. Déterminer le nombre d'atomes n de Nb par maille.

4. Calculer la masse volumique ρ du Nb, et exprimer le résultat numérique en kg.m-3.

5. Dans un modèle de sphères, déterminer le rayon atomique R du Nb.

6. Définir et calculer la compacité C de la structure CC en fonction de a et n.

7. Les plans d’indices (212) donnent une réflexion pour un angle θ = 52° lorsque la longueur

d’onde des rayons X incidents est λ = 1.6 A°. A quel angle observera-t-on la réflexion

précédente si la longueur d’onde employée est λ = 0.85 A°.

Exercice N°34 :

L'alliage le plus utilisé dans l'industrie aéronautique a pour formule brute AlxNiyTiz. Le titane y

est présent sous forme β : son système cristallographique est le cubique à faces centrées. Les atomes

d'aluminium occupent la totalité des sites octaédriques, et ceux du nickel occupent la totalité des sites

tétraédriques. Le paramètre de la maille est a = 589 pm.

1. Représenter la maille cubique en perspective.

2. Déterminer la formule de l'alliage.

3. Calculer la compacité et la masse volumique de cet alliage.

4. Comparer les valeurs trouvées précédemment aux caractéristiques moyennes d'un acier

courant : ρ(acier) = 7800 kg.m-3 ; compacité C = 0,7. A qualités mécaniques équivalentes,

expliquer en quoi l'alliage de titane présente de l'intérêt. On donne : N = 6,023.1023mol-1 ;

1 pm = 10-12 m.

Atome Rayon atomique

(pm)

Masse molaire atomique

(g/mol-1) Ti 147 47,90

Al 143 26,98

Ni 124 58,70



Exercice N°35 :

À l’état solide, le fer pur présente la particularité de voir sa structure cristalline changer en

fonction de la température. De tels changements de structure cristalline affectant un élément ou un

composé chimique à l’état solide sont appelés des transformations allotropiques. Dans le cas du fer

pur, voici sa structure cristalline en fonction de la température :

𝜃 (°C) < 910 structure cubique centrée (C.C), appelée ferrite 𝛼 ;

910 < 𝜃 (°C) < 1394 structure cubique à faces centrées (C.F.C), appelée austénite 𝛾 ;

1394 < 𝜃 (°C) < 1535 structure cubique centrée (C.C), appelée ferrite 𝛿.

Dans cet exercice, nous nous intéresserons à la ferrite 𝛼 et à l’austénite 𝛾 qui joueront un rôle



1. Quels sont les indices de Miller des directions de plus forte densité atomique dans la ferrite 𝛼

et dans l’austénite 𝛾 ?

2. Quels sont les indices de Miller des plans de plus grande densité atomique dans la ferrite

et dans l’austénite 𝛾 ?

3. Quelle est la valeur du paramètre a (en nm) de la maille de la ferrite 𝛼 et de celle de l’austénite

𝛾 ?

4. Quelle est la masse volumique 𝜌 du fer (en g/cm3) selon que celui soit sous forme de ferrite 𝛼

à 909 °C ou sous forme d’austénite 𝛾 à 911 °C ?

5. Lorsque la température d’une certaine masse de fer baisse de 911 à 909 °C, que se passe-t-il

pour le volume de cette masse ? Quantifiez votre réponse et précisez le sens de variation.

6. Une tige de fer, de diamètre d, a une longueur l0 = l00 cm à 911 °C. Quelle est la longueur l

(en cm) de cette tige à 909 °C, si l’on suppose que la variation du diamètre est négligeable

devant la variation de longueur ?

7. Déterminer le nombre de sites possibles (octaédriques ou tétraédriques) par maille dans

chacune des structures CC (ferrite 𝛼) et CFC (austénite 𝛾).

8. A partir des sites d’insertion possibles octaédriques et tétraédriques, déterminer la solubilité

maximale théorique du carbone dans la ferrite 𝛼 et l’austénite 𝛾.

9. Comparer les valeurs obtenues aux valeurs réelles, conclure.

On donne :

✓ Masse atomique du fer MFe = 56 g.mol-1.

✓ Masse atomique du fer MC = 12 g.mol-1.

✓ Solubilité maximale réelle du carbone dans la ferrite 𝛼 =0.02%.

✓ Solubilité maximale réelle du carbone dans la ferrite 𝛾 =1.7%.

✓ Nombre d’Avogadro : N=6,023.1023.

Exercice N°36 :

I. L’or métallique cristallise dans le système cubique à faces centrées CFC. Les atomes d’or sont

assimilés à des sphères rigides de rayon R = 1.442 A°. Par ailleurs, l’or peut former de nombreux

alliages par insertion ou par substitution.

1. Représenter sur un schéma clair la maille élémentaire de l’or.

2. Etablir la relation entre le rayon R et le paramètre a de maille CFC.

3. Calculer le paramètre a.

II. Les plus grands sites d’insertion dans la maille CFC sont les sites octaédriques.

1. Sur le schéma de la maille élémentaire de la question 1, représenter les centres des sites

octaédriques.



2. Etablir la condition pour qu’un atome étranger, de rayon R0 puisse occuper un site octaédrique.

III. L’or blanc des bijouteries est un alliage d’or et de Nickel.

1. Montre que le Nickel ne peut pas former un alliage d’insertion avec l’or.

2. Un alliage Au-Ni a une maille CFC dans laquelle un atome d’or par maille est substitué par

un atome de Nickel. La masse volumique de cet alliage est ρ =17.63 g.cm3. Déterminer le

nouveau paramètre a’ de cette maille.

On donne :

✓ Masse atomique de l’or : MAu = 197 g.mol-1.

✓ Masse atomique du Nickel : MNi = 58.7 g.mol-1.

✓ Nombre d’Avogadro : N = 6.023.1023.

✓ Le rayon de l’atome de Nickel RNi = 1.246 A°.

Exercice N°37 :

On considère le composé intermétallique Mg2Sn cristallisant dans le système cubique de

paramètre a = 7.44 A° avec 𝜌 =3. 69g.cm-3.

1. Déterminer le nombre de groupements formulaire (Mg2Sn) par maille.

2. Dans ce composé, les atomes d’étain (Sn) sont disposés aux nœuds d’un réseau cubique à

faces centrées.

a. Dessiner une maille C.F.C et indiquer sur ce dessin la position des sites octaédriques.

b. Représenter la projection d’une maille C.F.C dans le plan de base (�⃗�, �⃗⃗�) et indiquer sur cette

projection la position des sites tétraédriques.

3. Calculer la distance réticulaire de la famille de plans (111) et en déduire l’angle de diffraction

pour une longueur d’onde 𝜆 =1.54A°.

On donne : MMg=24.3g.mol-1 et MSn=118.7.mol

-1

Exercice N°38 :

Le carbure de silicium SiC cristallise selon le système cubique et sa maille est représentée dans

la figure 39.

1. Quel est le réseau de Bravais du carbure de silicium ?

2. Quel est le motif associé aux nœuds de ce réseau ?

Entourez les atomes constitutifs de ce motif sur la figure

donnée (redessiner une figure dans la feuille de

réponses).

3. Quel type de site est occupé par les atomes de

carbone ?

4. Dans quelle proportion (en %) ces sites sont-ils occupés

par les atomes de carbone ?

5. Quelle est la masse volumique théorique ρ du carbure

de silicium ?

6. Calculer le rayon atomique du silicium Si.

7. Calculer la compacité du carbure de silicium.

8. Représenter sur une figure les premiers plans, après l’origine, d’indices (111) et (101) puis

calculer la densité atomique surfacique de chacun de ces plans

Données : N=6,0231023 mole-1, MC=12,01 g/mole, MSi=28,09 g/mole, MTi=47,86 g/mole et

RC=0,772 A°.

Figure 39: Maille élémentaire du SiC



Exercice N°39 :

L’or (Au), de masse molaire atomique égale à 197 g.mol-1, cristallise dans le système cubique. Le

paramètre de la maille élémentaire est égal à 4.070 A° et la masse volumique est de 19.32 g.cm-3.

1. Déterminer le nombre d’atomes d’or par maille.

2. Déduire le type de réseau cristallin de l’or.

3. Faire une représentation en perspective de la maille élémentaire et représenter les motifs.

4. Quel est le rayon atomique de l’or.

5. Calculer l’inter distance des familles : (200) ; (110) ; (222) et (111).

Exercice N°40 :

Le tantale cristallise dans le réseau cubique centré. Sa masse volumique est de 16.6 g.cm-3. Sa

masse molaire est M=180.947 g.mol-1.

1. Combien y a-t-il d’atomes de tantale dans la maille élémentaire.

2. Quelle est la longueur de l’arête de la maille élémentaire.

Exercice N°41 :

A la température ambiante, le sodium a une structure cubique centrée avec un paramètre

a=4.2906 A°. A la température -195°C, sa densité est de 4% plus grande. Le paramètre de maille est

a’=5.350 A°, quel est le réseau cubique adopté par ce métal à cette température.

Exercice N°42 :

Un élément métallique E cristallise dans un système cubique. Les plans d’indices (222) donnent une

réflexion pour un angle =54.12° lorsque la longueur d’onde des rayons X incidents est

=1.5418 A°.

1. Représenter sur une figure le premier plan, après l’origine, d’indice (222).

2. A quel angle observera-t-on la réflexion précédente si la longueur d’onde employée est

=0.7107 A°.

3. Déterminer le paramètre a de la maille cubique de l’élément E.

4. Calculer les distances réticulaires d100, d110, d111.

5. La masse volumique de E est égale à 16.6 g.cm-3 et sa masse atomique vaut

M=180.947g.mol-1. Préciser le type de réseau dans lequel cristallise E.

6. Déterminer le rayon atomique de cet élément E.

Exercice N°43 :

Le Zinc Zn, de masse molaire atomique égale à 65.39 g.mol-1, cristallise selon une structure

hexagonale compacte avec un paramètre a égal à 2.68 A°, sa masse volumique étant égale à

7. 14g.cm-3.

1- Dans l’hypothèse d’un assemblage parfaitement compact d’atomes supposés sphériques,

calculer la masse volumique théorique du Zinc.

2- Comparer avec la valeur donnée et déterminer le paramètre c de la maille du Zinc.

Exercice N°44 :

La structure cristalline du chlorure de césium (CsCl) est représentée ci-

contre.

1. Quel est le réseau de Bravais du CsCl ?

2. Quel type de site occupent les ions Cs+ dans CsCl ?

3. Calculer le paramètre a de la maille.

4. Quelle est la compacité du CsCl ?

Figure 40



5. Quelle est la masse volumique théorique (en g/cm3) du CsCl ?

Données : Nombre d’Avogadro N=6,0231023 mole-1

Masse atomique (g/mole) Rayon ionique (nm)

Cs 132.9 0.165

Cl 35.5 0.181

Tableau N°6

Exercice N°45 :

1. Le cuivre cristallise dans le système cubique à faces centrées. Sachant que sa masse volumique

vaut 8. 92g.cm-3, calculer le paramètre a de la maille correspondante à cette structure. On

donne : MCu=63.546 g.mol-1.

2. Trouver le diamètre maximal d’une particule qui peut être logée au centre de la maille sans

provoquer de déformations. Ce site est-il tétraédrique ou octaédrique.

Exercice N°46 :

On considère le composé intermétallique Mg2Sn cristallisant dans le système cubique de paramètre

a = 7.44 A° avec =3.69g.cm-3.

1. Déterminer le nombre de groupements formulaire (Mg2Sn) par maille.

2. Dans ce composé, les atomes d’étain (Sn) sont disposés aux nœuds d’un réseau

cubique à faces centrées.

Dessiner une maille C.F.C et indiquer sur ce dessin la position des sites octaédriques.

Représenter la projection d’une maille C.F.C dans le plan de base ( ba

, ) et indiquer sur cette

projection la position des sites tétraédriques.

3. Calculer la distance réticulaire de la famille de plans (111) et en déduire l’angle de

diffraction pour une longueur d’onde =1.54A°.

On donne : MMg=24.3g.mol-1 et MSn=118.7.mol

-1

Exercice N°47 :

Le fluorure de calcium cristallise selon le système cubique et la figure ci-contre montre la disposition des ions Ca et F dans cette maille cubique. Le paramètre a de la maille est égal à 0,5463 nm.

Figure 41

1. Quels sont les indices de Miller du plan qui contient les directions 011 et 110 ? 2. Dans le plan ( )011 , quelle est la valeur de (Ca/F) représentant le rapport de la densité

surfacique d’ions Ca à la densité surfacique d’ions F ?



3. Quel est le réseau de Bravais du fluorure de calcium ?

4. Quel est le motif associé à ce réseau ? Donnez la position relative dans la maille des ions

constituant ce motif et, sur le formulaire de réponse, encerclez un motif dans la maille

représentée.

5. Quelle est la formule chimique du fluorure de calcium ? Justifiez votre réponse par des

considérations cristallographiques.

6. Quelle est la masse volumique théorique (en g/cm3) du fluorure de calcium ?

Données :

• Masse atomique (g/mole) : Ca = 40,08 ; F = 19,00

• Nombre d’Avogadro : N = 6,022x1023 mol-1

Exercice N°48 :

L’or (Au) cristallise dans le système cubique avec une arête de longueur aAu=4.07A° et une masse

volumique =19. 32g.cm-3.

1. Déterminer le nombre d’atomes d’or par maille et en déduire le type du réseau dans lequel

cristallise ce métal (masse atomique de l’or M=197g.mol-1).

2. Déterminer le rayon atomique de l’or.

3. Calculer la compacité de cette structure.

4. Déterminer les plans et les directions les plus denses de cette structure.

5. Le cuivre cristallise dans le système cubique à faces centrées avec une arête aCu=3.61A° et

MCu=63.546 g.mol-1. Déterminer alors le rayon atomique du cuivre.

6. Dire si le cuivre et l’or peuvent former une solution solide d’insertion ou de substitution, on

donnera une définition précise de ces deux types de solutions solides et on justifiera la réponse

donnée.

7. La solution solide formée sera-t-elle plus dense ou moins dense que l’or pur. Justifier la

réponse.

8. Présenter sur la maille élémentaire les plans (111), (222) et (110). Calculer l’inter distance

d222, d111.

Exercice N°49 :

À l’état solide, le fer pur présente la particularité de voir sa structure cristalline changer en fonction

de la température. De tels changements de structure cristalline affectant un élément ou un composé

chimique à l’état solide sont appelés des transformations allotropiques. Dans le cas du fer pur, voici

sa structure cristalline en fonction de la température :

(°C) < 910 structure cubique centrée (C.C), appelée ferrite ;

910 < (°C) < 1394 structure cubique à faces centrées (C.F.C), appelée austénite ;

1394 < (°C) < 1535 structure cubique centrée (C.C), appelée ferrite .

Dans cet exercice, nous nous intéresserons à la ferrite et à l’austénite qui joueront un rôle



1. Quels sont les indices de Miller des directions de plus forte densité atomique dans la

ferrite et dans l’austénite ?

2. Quels sont les indices de Miller des plans de plus grande densité atomique dans la

ferrite et dans l’austénite ?

3. Quelle est la valeur du paramètre a (en nm) de la maille de la ferrite et de celle de

l’austénite ?



4. Quelle est la masse volumique du fer (en g/cm3) selon que celui soit sous forme de

ferrite à 909 °C ou sous forme d’austénite à 911 °C ?

5. Lorsque la température d’une certaine masse de fer baisse de 911 à 909 °C, que se

passe-t-il pour le volume de cette masse ? Quantifiez votre réponse et précisez le sens de

variation.

6. Une tige de fer, de diamètre d, a une longueur l0 = l00 cm à 911 °C. Quelle est la

longueur l (en cm) de cette tige à 909 °C, si l’on suppose que la variation du diamètre est

négligeable devant la variation de longueur ?

7. Déterminer le nombre de sites possibles (octaédriques ou tétraédriques) par maille

dans chacune des structures CC (ferrite ) et CFC (austénite ).

8. A partir des sites d’insertion possibles octaédriques et tétraédriques, déterminer la

solubilité maximale théorique du carbone dans la ferrite et l’austénite .

9. Comparer les valeurs obtenues aux valeurs réelles, conclure.

On donne :

✓ Masse atomique du fer MFe = 56g.mol-1.

✓ Masse atomique du fer MC = 12g.mol-1.

✓ Solubilité maximale réelle du carbone dans la ferrite =0.02%.

✓ Solubilité maximale réelle du carbone dans la ferrite =1.7%.

✓ Nombre d’Avogadro : N=6.023.1023.

Exercice N°50 :

I. L’or métallique cristallise dans le système cubique à faces centrées CFC. Les atomes d’or sont

assimilés à des sphères rigides de rayon R = 1.442 A°. Par ailleurs, l’or peut former de nombreux

alliages par insertion ou par substitution.

4. Représenter sur un schéma clair la maille élémentaire de l’or.

5. Etablir la relation entre le rayon R et le paramètre a de maille CFC.

6. Calculer le paramètre a.

II. Les plus grands sites d’insertion dans la maille CFC sont les sites octaédriques.

3. Sur le schéma de la maille élémentaire de la question 1, représenter les centres des

sites octaédriques.

4. Etablir la condition pour qu’un atome étranger, de rayon R0 puisse occuper un site

octaédrique.

III. L’or blanc des bijouteries est un alliage d’or et de Nickel.

3. Montre que le Nickel ne peut pas former un alliage d’insertion avec l’or.

4. Un alliage Au-Ni a une maille CFC dans laquelle un atome d’or par maille est substitué

par un atome de Nickel. La masse volumique de cet alliage est =17.63 g.cm3. Déterminer

le nouveau paramètre a’ de cette maille.

On donne :

✓ Masse atomique de l’or : MAu = 197 g.mol-1.

✓ Masse atomique du Nickel : MNi = 58.7 g.mol-1.

✓ Nombre d’Avogadro : N = 6.023.1023.

✓ Le rayon de l’atome de Nickel RNi = 1.246 A°.



ANNEXES

Tableau 7 : Distribution des différents métaux parmi les structures cristallines. Notons que certains

métaux apparaissent dans plusieurs colonnes. Ils cristallisent dans des différentes structures suivant

la température appliquée. On parle de polymorphisme.

C.C C.F.C H.C

Li, K, Rb, Cs, Ba, V, Nb, Ta,

Cr, Mo, W, Eu, -Fe, -Ti -Ca, -Sr, -Co, -Fe, Rh,

Ir, Ni, Pd, Pt, Cu, Ag, Au, Al,

Pb

-Na, -Be, -Ti, -Zr, -Hf, -Y, -La, -Tl, - Sc, Mg, Os, Zn, Cd, Re, Ru, -Co

Densité linéique et densité surfacique de nœuds

(a) Exemple de calcul sur une longueur : maille C.F.C, direction [100]

(b) Exemple de calcul sur une surface : maille C.F.C, plan (100)

Relation avec la diffraction

On considère une famille de plan réticulaire. La relation de Bragg donne une condition suffisante

pour avoir une diffraction des rayons X. On calcule la différence de marche entre deux faisceaux de

rayons X incidents, de vecteur d'onde ki, se réfléchissant sur deux plans consécutifs. Cette différence

de marche est 2d sin . La condition d'interférence constructive s'écrit : 2d sin = n

2

2 214

14

aaxd =

+=

(100

) x

y

z a

[100]

x

y

z a

[100

]

x

z

a

aaxd

1

2

12 =

=

y

z a

(100)



BIBLIOGRAPHIE

1. Didacticiel Des Matériaux Presses Internationales Polytechniques Montréal canada.

2. Cahier des exercices caractérisation des matériaux et matériaux métalliques ISET Nabeul

2014/2015

3. Fascicule d’exercices corrigés de caractérisation des matériaux : GAMMOUDI Khaled et

HIDOURI Abdelmoumen ISET Gafsa 2013/2014

Documents

Avant-propos...Ce document est un recueil d’exercices destinés aux étudiants de la 1ère année ... Donner la ou les différences entre un acier faiblement allié et celui fortement