AVEC DES FRACTIONS

- Les fractions chez les égyptiens Le scribe Ahmès (1650 avant J-C.) écrivait toute fraction comme somme de fractions différentes

et telles que chaque numérateur soit égal à 1.

Par exemple : 25

820

520

220

120

14

110

120

= = + + = + +

Procède de la même façon pour les fractions suivantes :

56 12= = + = .......................................

611 22

= = + = ..............................................................

27

8= = ........................................................... 5

13 52= = .................................................................................

79= ........................................................................................................................................................................................

- Suite de Nicolas Oresme : Nicolas Oresme, évêque de Lisieux, s’est intéressé à la suite suivante (écrire les dix termes suivants)

12

24

38

416

532

664

; ; ; ; ; ; ..........................................................................................................

Il a étudié les sommes suivantes :

S1 = + =12

24

............................................. Donne chaque résultat

uniquement sous la forme d’un nombre à virgule.

S2 = + +12

24

38

= .............................................

S3 = + + +12

24

38

416

= .............................................

S4 = + + + +12

24

38

416

532

= .............................................

S5 = + + + + +12

24

38

416

532

664

.= .............................................

S6 = + + + + + +12

24

38

416

532

664

.......... = .............................................

S7 = + + + + + +12

24

38

416

532

664

........ + .......... = .............................................

S8 = + + + + + +12

24

38

416

532

664

........ + .......... + .......... = .............................................

S9 = + + + + + +12

24

38

416

532

664

........ + .......... + .......... + .......... = .............................................

S10 = + + + + + +12

24

38

416

532

664

........ + .......... + .......... + .......... + .......... = ...........................................

S11 = + + + + + +12

24

38

416

532

664

........ + .......... + .......... + .......... + .......... + .......... = .............................................

S12 = + + + + + +12

24

38

416

532

664

........ + .......... + .......... + .......... + .......... + .......... + .......... = .............................................

S13 = + + + + + +12

24

38

416

532

664

........ + .......... + .......... + .......... + .......... + .......... + .......... + .......... = ....................................

Nicolas Oresme a prouvé que cette suite se rapproche d’un certain nombre. Lequel ? ......................

UNE TECHNIQUE DE CONSTRUCTION

Examine attentivement la construction ci-dessous. Poursuis cette construction puis relie les points obtenus. Ces points sont situés à l’intersection des constructions verticales et des constructions horizontales ainsi qu’aux intersections du petit cercle et du diamètre vertical et aux intersections du grand cercle et du diamètre horizontal. Quel nom peux-tu donner à la courbe obtenue ? Renseigne-toi !

......................................................................................

LE CRIBLE D’ÉRATOSTHÈNE

Le génie d’Ératosthène (276-194) s ‘exerça dans divers domaines : il a su mesurer le rayon de la Terre et publia un Atlas du monde connu à son époque; il fut aussi un poète et un grammairien réputé ; il trouva aussi le moyen d’établir la liste des premiers nombres premiers (personne n’a découvert depuis une méthode plus efficace !).

Un nombre premier est un nombre qui ne peut se diviser que par 1 et par lui-même. Exemples : 5 est un nombre premier car on ne peut le diviser que par 1 et par 5.

15 n’est pas premier car il est, par exemple, divisible par 3 ; (15 = 3 ). 5×

Pour les nombres entiers de 2 à 100, la méthode d’Ératosthène est la suivante : a) On barre tous les multiples de 2 (excepté 2, qui est premier) b) On barre tous les multiples de 3 (excepté 3 qui est premier) c) On barre les multiples du premier nombre non encore barré. d) On répète cette opération jusqu’à ce que le nombre non barré ait un carré supérieur ou égal à 100. e) Les seuls nombres non barrés sont « passés au crible » ; ce sont les nombres premiers inférieurs à 100.

2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Colorie tous les nombres premiers du tableau.

Ces nombres premiers sont-ils répartis de manière logique ?...............................................................................................

Utilise le crible pour décomposer les nombres suivants en produits de nombres premiers : (Attention, tous les facteurs doivent être des nombres premiers et rien que des nombres premiers)

Exemple : 540 2 2 3 3 3 5 2 3 52 3= × × × × × = × ×

882 =.............................................................................................................................................................................................................. 1155 =............................................................................................................................................................................................................ 1296 =............................................................................................................................................................................................................ 1375 =............................................................................................................................................................................................................ 1573 =............................................................................................................................................................................................................ 4500 =............................................................................................................................................................................................................ 4715 =............................................................................................................................................................................................................ 5187 =............................................................................................................................................................................................................

DIVISEURS D’UN NOMBRE ENTIER - Décompose les nombres suivants en produits de facteurs aussi petits que possible : Exemple : 12 2 2 3= × ×

18 = ................................................ 30 = ................................................

90 = ................................................ 120 =................................................

- Les diviseurs de 12 et de 18 : Avec 12 personnes, on peut faire 2 équipes de 6 ou 6 équipes de 2,

3 équipes de 4 ou 4 équipes de 3, 1 équipe de 12 ou 12 équipes de 1. Toutes les possibilités ont été envisagées.

Les nombres 1, 2, 3, 4, 6, 12 sont appelés les diviseurs de 12. Ils sont représentés sur le schéma ci-dessous :

Deux opérateurs interviennent : × 2 (opérateur horizontal)

et : × 3 (opérateur vertical) Procède de la même façon

pour trouver les diviseurs de 18 (où n’interviennent que les opérateurs 2 et 3) Les diviseurs de 18 sont : .......................................................................

× 3

× 5

× 2

- Les diviseurs de 30, 90 et 120 : En utilisant le codage ci-contre, complète les schémas :

Diviseurs de 30

...................................................... Diviseurs de 120

Diviseurs de 90 ........................................................................................................

...........................................................................

DES SOMMES DE NOMBRES ENTIERS - Donne l’exemple illustrant et vérifiant chacune des affirmations suivantes : La somme des deux premiers nombres impairs est un carré

..................................................................................................................................... La somme des trois premiers nombres impairs est un carré

..................................................................................................................................... La somme des quatre premiers nombres entiers impairs est un carré

..................................................................................................................................... ... et la somme des dix premiers nombres impairs ?

..................................................................................................................................... - Donne deux exemples illustrant et vérifiant l’affirmation suivante : La somme de deux nombres pairs est un nombre pair

..................................................................................................................................... Si n est un nombre entier, que peut-on dire de 2n ?

..................................................................................................................................... Si n et p sont deux nombres entiers, que peut-on dire de 2n + 2p ?

..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... - Donne deux exemples illustrant et vérifiant l’affirmation suivante : La somme de deux nombres impairs est un nombre pair

..................................................................................................................................... Si n est un nombre entier, que peut-on dire de 2n + 1 ?

..................................................................................................................................... Si n et p sont deux nombres entiers, que peut-on dire de (2n + 1) + (2p + 1) ?

..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... - Donne deux exemples illustrant et vérifiant l’affirmation suivante : La somme de deux nombres impairs consécutifs est divisible par 4

..................................................................................................................................... Si n est un nombre entier, que peut-on dire de (2n + 1) + (2n + 3) ?

..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... - Donne quatre exemples illustrant et vérifiant l’affirmation suivante : La somme de deux entiers consécutifs est égale à la différence de leurs carrés

..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... Remarque : la démonstration sera faite ultérieurement...

LA FORMULE DE PICK

George Alexander Pick est un mathématicien autrichien né à Vienne en 1859 et mort en 1942 dans un camp de concentration.

On lui doit notamment la formule que tu vas découvrir ci-dessous :

On considère des polygones dont les sommets sont des points (ou noeuds) du quadrillage. Il s’agit de calculer l’aire de chacun de ces polygones (l’unité d’aire étant le carreau) et de compléter le tableau ci-après.

Tu peux représenter d’autres polygones dans le quadrillage

5

Nombre de

points intérieurs : i

Nombre de points sur le

bord : b i 1b

2+ − Aire du

polygone

Exemple 1

0

4 0 14

2+ − =

1

Exemple 2

1

6 1 16

2+ − =

3

Exemple 3

2

9 2 19

2+ − =

Exemple 4

4

9 4 19

2+ − =

Exemple 5

4321

AVEC DES FRACTIONS

- Les fractions chez les égyptiens Le scribe Ahmès (1650 avant J-C.) écrivait toute fraction comme somme de fractions différentes

et telles que chaque numérateur soit égal à 1.

Par exemple : 25

820

520

220

120

14

110

120

= = + + = + +

Procède de la même façon pour les fractions suivantes :

10 4 6 1 112 12 36 12 2

5+ = += =

12 11 1 1 122 22

611 22 2 22

+ = += =

7 1 1 128 2

2 88 28 4 287+ = += = 20 13 4 2 1 1 1 1 1

52 52 525

13 5 52 4 13 262 52+ + + = + + += =

28 18 9 1 1 1 136 36 36 36 2 4 36

79= = + + = + +

- Suite de Nicolas Oresme : Nicolas Oresme, évêque de Lisieux, s’est intéressé à la suite suivante (écrire les dix termes suivants)

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16; ; ; ; ; ; ; ; ;128 256 512 1024 20

1 2 3 4 5 6; ; ; ; ; ;2 4 8 16 3 48 4096 8192 16384 32 2768 664 5536

Il a étudié les sommes suivantes :

S112 4

12= + =

Donne chaque résultat uniquement sous la forme

d’un nombre à virgule. S2

1 2 32 4 8

1,375= + + =

S31 2 3 42 4 8 16

1,625= + + + =

S41 2 3 4 52 4 8 16 32

1,78125= + + + + =

S51 2 3 4 5 62 4 8 16

1,87532 64

= + + + + + =

S61 2 3 4 5 62 4 8 16 32 64

7 1,9296875128

= + + + + + + =

S71 2 3 4 5 62 4 8 16 32 64

7 8 1,9609375128 256

= + + + + + + + =

S81 2 3 4 5 62 4 8 16 32 6

7 8 9 1,978128 256 54 12

= + + + + + + + + ≈

S97 8 9 10 1,988

128 2561 2 3 4 5 62 4 8 16 3 512 12 6 04 24

= + + + + ≈+ ++ + +

S107 8 9 10 11 1,994

128 256 512 1024 21 2 3 4 5 62 4 8 01 86 32 64 4

+ + += ++ ≈+ + + + +

S117 8 9 10 11 12 1,997

128 256 512 1024 2048 40961 2 3 4 5 62 4 8 16 32 64

+ + + + + ≈= + + + + + +

S127 8 9 10 11 12 13 1,998

128 256 512 1024 201 2 3 4 5 62 4 488 16 3 4096 81922 64

+ + + + += + + + + + + + ≈

S137 8 9 10 11 12 13 14 1,999

128 256 512 1024 2048 41 2 3 4

05 6

2 4 8 16 32 64 96 8192 16384+ + + + + += + + + + + + + ≈

Nicolas Oresme a prouvé que cette suite se rapproche d’un certain nombre. Lequel ? Le nombre 2

UNE TECHNIQUE DE CONSTRUCTION

Examine attentivement la construction ci-dessous. Poursuis cette construction puis relie les points obtenus. Ces points sont situés à l’intersection des constructions verticales et des constructions horizontales ainsi qu’aux intersections du petit cercle et du diamètre vertical et aux intersections du grand cercle et du diamètre horizontal. Quel nom peux-tu donner à la courbe obtenue ? Renseigne-toi !

C’est une ellipse

LE CRIBLE D’ÉRATOSTHÈNE

Le génie d’Ératosthène (276-194) s ‘exerça dans divers domaines : il a su mesurer le rayon de la Terre et publia un Atlas du monde connu à son époque; il fut aussi un poète et un grammairien réputé ; il trouva aussi le moyen d’établir la liste des premiers nombres premiers (personne n’a découvert depuis une méthode plus efficace !).

Un nombre premier est un nombre qui ne peut se diviser que par 1 et par lui-même. Exemples : 5 est un nombre premier car on ne peut le diviser que par 1 et par 5.

15 n’est pas premier car il est, par exemple, divisible par 3 ; (15 = 3 ). 5×

Pour les nombres entiers de 2 à 100, la méthode d’Ératosthène est la suivante : a) On barre tous les multiples de 2 (excepté 2, qui est premier) b) On barre tous les multiples de 3 (excepté 3 qui est premier) c) On barre les multiples du premier nombre non encore barré. d) On répète cette opération jusqu’à ce que le nombre non barré ait un carré supérieur ou égal à 100. e) Les seuls nombres non barrés sont « passés au crible » ; ce sont les nombres premiers inférieurs à 100.

2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Colorie tous les nombres premiers du tableau.

Ces nombres premiers sont-ils répartis de manière logique ?non mais les chercheurs cherchent encore !

Utilise le crible pour décomposer les nombres suivants en produits de nombres premiers : (Attention, tous les facteurs doivent être des nombres premiers et rien que des nombres premiers)

Exemple : 540 2 2 3 3 3 5 2 3 52 3= × × × × × = × ×

882 = 2 22 3 3 7 7 2 3 7× × × × = × × 1155 =. 3 5 7 11× × × 1296 = 4 42 2 2 2 3 3 3 3 2 3× × × × × × × = × 1375 = 35 5 5 11 5 11× × × = × 1573 = 211 11 13 11 13× × = × 4500 =. 2 2 32 2 3 3 5 5 5 2 3 5× × × × × × = × × 4715 = 5 23 41× × 5187 =. 3 7 13 19× × ×

DIVISEURS D’UN NOMBRE ENTIER - Décompose les nombres suivants en produits de facteurs aussi petits que possible : Exemple : 12 2 2 3= × ×

18 = 30 = 2 3 3× × 2 3 5× ×

90 = 120 =.2 3 3 5× × × 2 2 2 3 5× × × ×

- Les diviseurs de 12 et de 18 : Avec 12 personnes, on peut faire 2 équipes de 6 ou 6 équipes de 2,

3 équipes de 4 ou 4 équipes de 3, 1 équipe de 12 ou 12 équipes de 1. Toutes les possibilités ont été envisagées.

Les nombres 1, 2, 3, 4, 6, 12 sont appelés les diviseurs de 12. Ils sont représentés sur le schéma ci-dessous :

Deux opérateurs interviennent : × 2 (opérateur horizontal)

et : × 3 (opérateur vertical)

2

6

18

3

9 Procède de la même façon

pour trouver les diviseurs de 18 (où n’interviennent que les opérateurs 2 et 3) Les diviseurs de 18 sont :

1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 12

x3

× 5

× 2

- Les diviseurs de 30, 90 et 120 : En utilisant le codage ci-contre, complète les schémas :

1 2

3

5 10

6

15 30

1 2

3

5

6

10

9

15

18

30

45 90

1 2 4 8

5 10 20 40

3 6 12 24

15 30 60 120

Diviseurs de 30

1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30 Diviseurs de 120

Diviseurs de 90 1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6 ;8 ;10 ;12 ;15 ;20 ;24 ;30 ;40 ;60 ;120

1 ;2 ;3 ;5 ;6 ;9 ;10 ;15 ;18 ;30 ;45 ;90

DES SOMMES DE NOMBRES ENTIERS - Donne l’exemple illustrant et vérifiant chacune des affirmations suivantes : La somme des deux premiers nombres impairs est un carré 21 3 4 2+ = = La somme des trois premiers nombres impairs est un carré 21 3 5 9 3+ + = = La somme des quatre premiers nombres entiers impairs est un carré 21 3 5 7 16 4+ + + = = ... et la somme des dix premiers nombres impairs ? 21+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10 100= - Donne deux exemples illustrant et vérifiant l’affirmation suivante : La somme de deux nombres pairs est un nombre pair et 4 6 10 2 5+ = = × 22 38 60 2 30+ = = ×

Si n est un nombre entier, que peut-on dire de 2n ? est un nombre pair 2n Si n et p sont deux nombres entiers, que peut-on dire de 2n + 2p ? est la somme de deux nombres pairs 2 2n + p

) La somme de deux nombres pairs est un nombre pair (2 2 2n p n p+ = + - Donne deux exemples illustrant et vérifiant l’affirmation suivante : La somme de deux nombres impairs est un nombre pair et 5 9 14 2 7+ = = × 11 17 28 2 14+ = = ×

Si n est un nombre entier, que peut-on dire de 2n + 1 ? est le suivant du nombre pair ; c’est donc un nombre impair 2n +1

)

2n Si n et p sont deux nombres entiers, que peut-on dire de (2n + 1) + (2p + 1) ? ( ) ( ) (2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1n p n p n p n p+ + + = + + + = + + = + +

La somme de deux nombres impairs est un nombre pair - Donne deux exemples illustrant et vérifiant l’affirmation suivante : La somme de deux nombres impairs consécutifs est divisible par 4 et 5 7 12 4 3+ = = × 17 19 36 4 9+ = = × Si n est un nombre entier, que peut-on dire de (2n + 1) + (2n + 3) ? et sont deux nombres impairs consécutifs 2n +1 3

)2n +

( ) ( ) (2 1 2 3 2 2 1 3 4 4 4 1n n n n n n+ + + = + + + = + = + ; c’est un multiple de 4. - Donne quatre exemples illustrant et vérifiant l’affirmation suivante : La somme de deux entiers consécutifs est égale à la différence de leurs carrés et 3 74+ = 2 24 3 1 9 76− = − = et 9 110 9+ = 2 210 9 100 81 19− = − = et 25 526 1+ = 2 226 25 676 62 55 1− = − = et 98 99 197+ = 2 299 98 9801 960 1974− = − = Remarque : la démonstration sera faite ultérieurement...

LA FORMULE DE PICK

George Alexander Pick est un mathématicien autrichien né à Vienne en 1859 et mort en 1942 dans un camp de concentration.

On lui doit notamment la formule que tu vas découvrir ci-dessous :

On considère des polygones dont les sommets sont des points (ou noeuds) du quadrillage. Il s’agit de calculer l’aire de chacun de ces polygones (l’unité d’aire étant le carreau) et de compléter le tableau ci-après.

1

2 3 4

5

6

7 8

Tu peux représenter d’autres polygones dans le quadrillage

Nombre de

points intérieurs : i

Nombre de points sur le

bord : b i 1b

2+ − Aire du

polygone

Exemple 1

0

4 0 14

2+ − =

1

Exemple 2

1

6 1 16

2+ − =

3

Exemple 3

2

9 2 19

2+ − = 5,5

Exemple 4

4

9 4 19

2+ − = 7,5

Exemple 5 6 16 6 116

2+ − = 13

Exemple 6 22 11 11 1222

+ − = 26,5

Exemple 7 13 8 13 182

+ − = 16

Exemple 8 21 16 16 1212

+ − = 28

À vérifier …en comptant les carreaux…