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AZOULAY Florian CAUX Alex HANQUIEZ Thomas

Jω

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Lors de notre année de première, nous avons étudié un sujet de notre choix. Pour nous, ce fut l'œuf. Durant une étude de la structure de l'œuf, nous avons remarqué son étrange comportement lorsque nous tournions un œuf cuit dur très vite en position couché : il se relevait. Cela nous intriguait, mais c'est un an plus tard que nous avons remarqué que l'œuf n'était pas le seul à posséder cette sorte de particularité lorsqu'il était en rotation : La toupie tippe-top, ou toupie magique, lorsqu'elle est lancée, se retourne

D'autres objets possèdent aussi ce type de particularités. Qui n'a jamais lancé une pièce de 20 ou 50 centimes ? La plupart du temps, elle se met à rouler sur les bords, puis s’arrête. Et si cette pièce était parfaitement plate et qu’elle était lancée sur un sol parfaitement plat, alors ce roulement pourrait durer très longtemps, malgré les frottements avec l'air. Cependant, notre étude porte sur un objet qui nous a encore plus surpris : l'anagyre.

Mais qu'est-ce qu'un anagyre ?

Les physiciens Wolfgang Pauli et Niels Bohr observant une toupie tippe-top. (1954)

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Sommaire

I Etude de l’objet………………………………………….3

1) Etude physique de notre anagyre ……..……………………………………………….3

2) Etude de son mouvement…………………………………………………………………..3

II Recherche de facteurs……………………………….5

1) La matière constituant l’anagyre………………………………………………………..5

2) Le milieu où l’anagyre est en rotation…………………………………………………5

3) La matière sur laquelle il tourne…………………………………………………………6

4) La répartition des masses……………………………………………………………………7

III Acquisition de la vitesse de l’anagyre……….8

IV Recherche d’une théorie………………………….9

1) L’anagyre : Une démonstration du principe de conservation de l’énergie……………………………………………………………………………………………………………9

2) Décomposition du système, inertie des masses et frottements………10

V Fabrication d’un anagyre XXL !..................15

VI D’autres sortes d’anagyres..……………………16

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I Étude de l'objet

1) Étude physique de notre anagyre

A première vue, cet objet ressemble à un genre de kayak miniature. Il est en plastique dans le cas de notre anagyre, d'une dizaine de centimètres de long, de 2cm de largueur et d'un centimètre de haut. Cette forme correspond à un demi-ellipsoïde de révolution, comme par exemple un ballon de rugby plus allongé et couché. Cependant, on observe que ce n'est pas parfaitement un demi-ellipsoïde de révolution, car il y a de légers creux sur 2 des côtés opposés.

Photo d’un anagyre en bois où l’on peut observer cette forme atypique

2 Étude du mouvement

Les mouvements de l’anagyre sont vraiment impressionnants quand on le regarde de plus près, en effet l’anagyre effectue plusieurs types de mouvements en fonction du sens où on le fait tourner.

A) Dans le sens inverse des aiguilles d'une montre

Lorsque on lance l'anagyre dans ce sens, on observe une rotation semble-t-il normale. Elle s’arrête au bout de quelques secondes. Dans ce sens de rotation le point de contact semble bouger et l’axe de rotation effectue des tours autour de l’axe perpendiculaire à la surface du centre de gravité toutefois ceci ne se produit qu’avec l’anagyre en plastique mais pas avec ceux en plomb donc on peut supposer que c’est dû à la masse plutôt faible de celui en plastique, par conséquent à la force exercée par les frottements. Peut-être est-ce aussi dû au fait qu’il n’est pas parfaitement équilibré.

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B) Dans le sens des aiguilles d'une montre

Dès lors qu'on le lance dans ce sens, l'affaire se corse... En effet, dès les premiers tours, l'anagyre se met à tanguer de plus en plus, tout en ralentissant considérablement jusqu'à l’arrêt total, accompagné de vibrations. Mais le plus surprenant est qu'il se remet à tourner dans l'autre sens d’où son nom anglais rattleback, de plus les vibrations se réduisent dès les premières rotations dans l'autre sens. Nous l’appellerons l’effet « anagyre ».

C) En donnant une pichenette sur l’un des bords

Le mouvement le plus impressionnant est surement celui que l’on obtient en donnant une simple pichenette sur l’un des 2 bords de l’anagyre dans le sens de sa longueur. Dès la première vibration, l’anagyre se met en rotation de plus en plus rapidement jusqu’à ce que le tangage cesse. Puis la rotation s’atténue avec le temps, comme dans le cas d’un lancement dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

A quoi est dû l’effet anagyre ?

Quelques secondes

plus tard

ROTATION ARRET

Quelques secondes

plus tard

ROTATION ARRET

1à 2secondes plus

tard

Puis

progressivement

ARRET +

VIBRATION

B

ROTATION

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II Recherche des facteurs

L’anagyre étant assez particulier, nous nous sommes intéressés aux facteurs provoquant le phénomène d’arrêt puis de rotation en sens inverse. Nous allons étudier la surface de l’anagyre, la surface où il peut tourner, les frottements dus à son milieu et sa matière.

1) La matière constituant l'anagyre

Ne disposant que d'un seul anagyre, fait en plastique, nous avons voulu savoir si la matière était à l'origine de l'effet. Tout d’abord, nous avons réalisé un moule dans du plâtre afin de dupliquer notre modèle dont la forme inférieure était tellement spéciale qu’elle était difficile à reproduire autrement alors que la surface supérieure était plane. Une fois notre moule terminé, nous pouvions faire des anagyres dans toutes les matières capables de fondre. Nous en avons tout d’abord réalisé en métal : un en plomb que nous avons fondu puis purifié en enlevant les impuretés puis nous avons coulé trois anagyres que nous avons refroidis à l’eau froide. Ensuite, nous en avons fait deux en zinc par la même méthode. On a pu ainsi vérifier que l’anagyre modèle en plastique était plein et homogène. De plus, le comparatif plomb-zinc-plastique nous a montré que la masse globale de l’objet ne changeait pas son phénomène d’inversion rotative.

2) Le milieu où l'anagyre est en rotation

Ensuite, nous nous sommes demandé si l’anagyre, en fonction du milieu où il se trouvait, aurait encore cet effet. Fonctionnant parfaitement dans l’air, nous avons placé notre anagyre dans une cloche à vide. Après avoir fait le vide, un balancier donnait un coup sur le bord de l’anagyre, et ainsi le mettait en rotation. Malgré l’absence d’air, on observe encore l’effet d’arrêt, et de rotation en sens inverse. Ainsi, le milieu ne semble pas être à l’origine de l’effet.

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Nous avons réitéré cette expérience, mais cette fois dans l’eau, avec l’un des anagyres en plomb que nous avions fabriqué. Le constat fut le même : l’effet est toujours présent, certes ralenti par les frottements dans l’eau, mais on observe quand même l’arrêt de l’anagyre, puis son inversion de sens. Ainsi, même si le milieu influence plus ou moins la vitesse de l’anagyre, il n’est pas responsable de l’effet. On peut aussi en conclure que ce n’est pas l’aérodynamisme de l’objet qui rentre en jeu, car en absence d’air l’effet se produit. Les frottements liés à l’air peuvent donc être considérés comme négligeables car augmentés ou supprimés ils ne font pas varier beaucoup l’effet anagyre et la vitesse.

3) La matière sur laquelle il tourne.

Dans la continuité de notre recherche sur les facteurs influençant et pouvant être à l’origine des particularités de l’anagyre nous avons observé les variations du phénomène de l’anagyre en fonction de la surface où il était posé et où nous le faisions tourner. Et nous avons pu en déduire que l’effet « anagyre » variait selon les frottements dû à la matière sur laquelle il tournait.

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Les frottements dépendent des deux matières qui se rencontrent et qui effectuent des mouvements l’une sur l’autre, on peut d’ailleurs calculer un coefficient de frottements de deux matières et il existe des tableaux retranscrivant ces chiffres. Toutes nos expériences sur les variations de la vitesse de rotation et de l’effet « anagyre » par rapport aux coefficients de frottements de matière ont toutes été réalisées sur des matières sèches. Après avoir réalisé ces tests sur plusieurs matériaux différents, nous avons pu conclure que l’anagyre tourne plus vite et réussit à tourner plus longtemps dans l’autre sens lorsque les frottements sont plus faibles que sur une surface provoquant beaucoup de résistance. Pour en arriver à ces conclusions nous avons fait tourner l’anagyre sur différentes matières comme par exemple sur le disque du disque dur, qui est une matière extrêmement lisse et ne provoquant que peu de frottements comparable à celui plastique-verre. Sur du lino, matière provoquant beaucoup de frottements avec le plastique, l’anagyre tournait beaucoup moins longtemps aussi bien à l’endroit qu’à l’envers.

La matière support de l’anagyre n’est donc pas directement responsable de l’effet anagyre dans la mesure où elle ne fait qu’atténuer l’effet toupie mais théoriquement l’anagyre a besoin d’une matière provoquant un minimum de frottements afin d’entamer son rebroussement.

4) La répartition de la masse de l'anagyre.

Un des facteurs qui semble le plus important est bien sûr la masse de l’anagyre et il apparaissait sur notre anagyre plastique que la forme faisait une asymétrie. Cette différence de masse semble être faite de tel sorte que nous avons pu conjecturer qu’il était possible d’observer des différences et des points communs entre les différentes masses des 4 différents quarts de l’anagyre.

Même si l'anagyre semble être symétrique, en réalité soit il ne l'est pas vraiment et la forme

varie d'un anagyre à l'autre. Soit il y a une différence de matière composant l'anagyre. Nous avons pu le prouver en coupant ou plutôt sciant un des anagyres en plomb en 4 :

Quarts de l’anagyre

1 2 3 4

Masse 35g 31g 30g 34g

Ici, 1 et 4 sont les diagonales opposées. Les masses sont donc réparties asymétriquement de façon à ce que les quarts diagonalement opposés soient plus lourds que les deux autres. C’est ce qui est, selon nous, à la base du « phénomène anagyre ». Elle permettrait grâce à une première oscillation de l’anagyre d’en provoquer de plus en plus amples.

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III Acquisition de la vitesse de l'anagyre

Puis, nous avons voulu étudier les variations de vitesse linéaire de l’extrémité de l’anagyre afin de savoir si la vitesse de départ influençait sur l’instant que l’on appellera « ∆R » : le moment de rebroussement de l’anagyre. Mais aussi si la vitesse post-∆R était proportionnelle à la vitesse pré-∆R.

Nous avons effectué à la suite de la recherche des facteurs, une acquisition de la vitesse de rotation de notre anagyre en fonction du temps. Grâce à un logiciel, nous avons pu filmer notre anagyre, en rotation sur une surface en verre, avec une vitesse initiale qui peut être quelconque. Ici, nous l’avons lancé à 0.8m/s. On remarque que cette vitesse ralentie rapidement, et au bout d’une seconde après le lancer, notre anagyre a une vitesse rotative nulle. Cependant, il n’est pas immobile. En effet, à ce moment précis, il y a un mouvement de tangage. C’est alors que la vitesse rotative reprend, mais cette fois si dans l’autre sens. Dans ces conditions, la vitesse rotative est de 0.2 environ, soit 3 à 4 fois inférieure à la vitesse initiale. Cette vitesse ralentie ensuite doucement, à partir du moment où le mouvement de tangage cesse.

De plus, avec la formule de la vitesse angulaire dans un mouvement circulaire uniforme, on peut calculer la vitesse angulaire :

Graphique de la vitesse de l’anagyre en fonction du

temps (Courbe lissé en haut, brut en bas)

G

((

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G

IV Recherches d'une théorie

1) L’anagyre : Une belle démonstration du principe de conservation de l’énergie.

Nous avons ensuite voulu expliquer par la théorie la particularité si spéciale que possède l’anagyre : repartir dans son sens antihoraire après avoir atteint une vitesse nulle. De où l’anagyre tire-t-il cette énergie ?

Prenons l’anagyre lors d’une rotation dans le sens horaire. Lorsque l’anagyre ralentit, on peut observer de larges mouvements de tangage et un léger mouvement de roulis. Le tangage et le roulis permettent en réalité à l’anagyre de repartir, le fait qu’il soit inerte est une illusion, en réalité il conserve de l’énergie. En effet, lorsque l’anagyre tourne, il possède une certaine quantité d’énergie de mouvements appelée cinétique et notée Ec =1/2 m.v². Puis celui-ci ralentit très rapidement. On peut bien sûr mettre en compte les frottements mais lors de ce freinage l’anagyre oscille. Il y a donc une partie de l’énergie qui se transfère. L’énergie cinétique se convertit en énergie potentielle de pesanteur dans les oscillations de roulis et de tangage de l’anagyre , puis cette énergie se transforme à nouveau en énergie cinétique mais cette fois ci l’anagyre tourne dans le sens antihoraire dû aux

Graphique de la vitesse angulaire (en radian/s)

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frottements comme nous l’expliquerons ensuite, qui exercent une force tendant à faire tourner l’anagyre dans son sens « privilégié » ici antihoraire.

L’anagyre ne défie pas les lois de la mécanique mais nous dupe grâce à des transferts d’énergie.

2) Décomposition du système, inertie des masses et frottements

Pour étudier les forces qui s’exercent dans notre anagyre, nous avons décidé de le simplifier,

c'est-à-dire qu’au lieu de considérer nos 2 côtés opposés plus lourds que les 2 autres, nous les

considérons comme égaux, cependant ils possèdent en plus une masse S et S’ de masse (m).

a) L’anagyre vu du dessus

Nous étudions tout d’abord l’anagyre d’une vue du dessus. On fixe notre repère XYZ, puis nous plaçons les masses S et S’, de masse équivalente m, l’anagyre possédant, sans les masses de S et S’, une masse M. Les masses sont distantes de l’origine O, centre de la surface, d’une distance d.

b) L’anagyre vu de face

Nous reproduisons ce même dessin mais d’un point de vue de face.

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c) L’anagyre vu en bout

Nous allons ensuite représenter l’anagyre en bout. De plus, nous intégrerons au schéma au fur et à mesure les différents vecteurs que nous calculerons. Nous partons de ce schéma, qui est le même que les deux autres, mais dans un autre repère. De plus, on s’intéresse à l’anagyre lors d’une rotation et d’un mouvement de roulis. Cette rotation est dans le sens des aiguilles d’une montre, sens pour lequel l’anagyre refuse de tourner. Elle s’exerce aussi autour d’un axe, passant par C et G : y’. Ici, on représente G, qui est le centre de masse, d’inertie, et de gravité. Quant à C, c’est le point de contact avec la surface

d) Moment d’inertie de S et S’

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On est ici en présence d’une rotation autour de l’axe z’, et autour d’une translation de G par rapport à C. On commence par calculer les moments cinétiques des 2 masses par rapport à G.

Ici, est en fonction du sens de la rotation, est la distance entre G et le centre de la masse S, et

m la masse de S. Ici, le vecteur vitesse de S se dirige vers nous. Donc est dans le plan de la feuille, et selon la règle de la main droite, on connait son sens. Enfin, sa valeur ne nous intéresse pas, puisque S’ possède la même masse et est à la même distance de G. Ainsi, on obtient le schéma suivant :

On remarque ici que la direction des moments d’inertie de S et S’ semblent amplifier le roulis. Dans le sens inverse, les vecteurs vitesses seraient dans l’autre sens, et donc les moments cinétiques seraient dirigés vers le haut (règle de la main droite), et donc feraient en sorte d’atténuer l’oscillation. Il nous faut cependant essayer de trouver quelle force est le résultat de ces moments d’inertie.

e) Et les frottements dans tout ça ?

On considère alors les lois de la dynamique pour la translation et pour la rotation. On a donc pour la translation :

∑

Pour la rotation :

∑

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Pour notre anagyre, il y a 2 forces extérieures : Le poids et la réaction de la surface . Ainsi,

∑

On divise la réaction en deux vecteurs : l’un sur la verticale et l’autre sur l’horizontale On reformule ainsi la somme des forces extérieur selon la verticale et l’horizontale. Pour la verticale, on

considère , l’accélération, qui est nulle puisqu’il n’y a pas de mouvement vertical, et le poids qui va à l’inverse du vecteur de référence, ainsi :

Sur l’horizontal, le poids n’exerce aucune force, et la réaction avec la surface vaut Ainsi :

O + F = 2 m

On a ainsi la réaction de la table selon la verticale et l’horizontale. Il nous faut maintenant connaitre sa direction et son sens. On s’intéresse donc de nouveau à la rotation de S et S’:

∑

On part des moments cinétiques des 2 masses :

( )

( )

( )

( )

( )

On peut donc conclure de ses formules que dépend de

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Ici, décrit un cône d’angle autour de l’axe z’. La norme du vecteur a pour dérivé sa parallèle, car la

norme est constante. Ainsi, on peut en conclure qu’ici, est dans le plan de la feuille, et de plus, en fonction du sens de rotation, il n’aura pas la même valeur. Ainsi :

On constate bien que la réaction du support à tendance à augmenter le roulis de l’anagyre. Dans le

sens inverse :

Ceci est notre tentative de réponse de l’explication de l’effet anagyre, qui s’explique par le moment d’inertie des masses et de la force de réaction de la surface

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V Fabrication d'un anagyre format-géant !

Lors de ces olympiades, nous avions également le projet de fabriquer nous même un anagyre. Nous avons tout d’abord essayé de faire un premier essai rapidement, avec un genre de béton assez facile à travailler : le béton cellulaire, d’une vingtaine de centimètre. Nous lui avons donné la forme d’un kayak, et creusé des cavités pour répartir inégalement la masse. Mais la matière était trop sujette aux frottements et le modèle n’était pas assez travaillé.

Le travail n’étant pas concluant, il nous fallait être plus précis. C’est là que nous avons eu l’idée de faire un anagyre, mais au format XXL ! L’idée était de faire un objet avec une forme symétrique d’un ellipsoïde de révolution, qu’il puisse tourner dans n’importe quel sens. Une toupie allongée au départ totalement neutre et symétrique. Mais l’intérêt était donc d’en faire un anagyre alors une fois l’objet terminé il fallait que nous puissions faire varier les masses de 2 quarts diagonalement opposés.

Après différentes recherches, nous avons conclu qu’une base en béton qui puisse tourner, avec une forme complètement symétrique, où l’on puisse placer une plaque en acier assez lourde, que l’on pourrait faire pivoter plus ou moins autour d’un axe, pourrait parfaitement faire un anagyre. En effet, c’est la plaque sur le dessus qui ferait varier la masse.

La réalisation de cet anagyre se fit en plusieurs temps. Nous avons d’abord réalisé un croquis de la forme sur papier. Nous avons ensuite réalisé des cercles en papier, que nous avons collés à une table. Puis nous avons intercalé du sable entre les cercles, de façon à avoir une forme bien lisse et régulière, qu’on a ensuite recouvert d’argile, puis de papier sulfuré. Puis, nous avons mis du Map mélangé à de la fibre par-dessus, qui ferait office de moule en séchant.

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Une fois réalisé, il ne restait plus qu’à aller dans la section génie civile de notre lycée, pour qu’il se charge de nous faire le béton. Ainsi, nous avions le socle en béton. Pour la plaque d’acier, une fois le béton coulé, nous avons fait un patron du dessus, que nous avons envoyé à la société Roger Delattre, qui nous a réalisé la plaque en acier, de 8 cm d’épaisseur, et d’un poids de 17KG. Cependant, nous souhaitons ne mettre aucune photo du résultat, pour vous laisser la surprise en découvrant notre anagyre en direct lors de notre exposé !

VI D'autres sortes d'anagyres

L'effet «anagyre » est connu depuis bien longtemps, si bien qu’il est présent dans des légendes celtiques. En effet, certains celtes faisaient tourner leurs coutelas qui se révélait être des anagyres par pur hasard ! Il faisait de même avec des pierres celtes, qui par leur asymétrie, avaient cet effet.

Une fois le système compris, il est envisageable de transformer des objets du quotidien en anagyre changeant la répartition des masses de deux diagonales opposées de l'objet, le plus connus et le plus simple étant le cas de la cuillère. Il suffit de prendre une cuillère à soupe de préférence et de replier le manche sur lui-même vers l'extrémité de la cuillère tout en le déviant d'environ 10° de l'axe de symétrie de la cuillère. Un dessin reste plus explicite :

Nous avons aussi essayé avec des barrettes, en accrochant l'une par-dessus l'autre en croix mais dont les diagonales ne se couperaient pas perpendiculairement de façon à rendre la répartition du poids asymétrique. Les œufs peuvent aussi servirent d'anagyre, en prenant une moitié de coque d’œuf et en collant par exemple un chewing-gum de façon à avoir la même répartition de poids que pour la cuillère. En ayant compris le principe il est possible de donner la propriété «anagyre » à presque tous les objets tournant.

Il est aussi possible d’imaginer des applications dans le futur de l’ «effet anagyre» comme par exemple dans un moteur ou un système électronique.

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Conclusion :

La première conclusion est que l’anagyre n’a rien de magique ni de surnaturel, son phénomène est bien sûr explicable par la physique. Tout d’abord l’effet « anagyre » ne dépend pas directement de la matière constituant l’anagyre ou de la matière support, ni du milieu. Toute la réaction de rebroussement doit son effet à la répartition des masses. En effet, nous en avons conclu que les masses étaient asymétriquement réparties, les deux quarts diagonalement opposés sont plus lourds que les deux autres. Grâce à cela on modifie en réalité l’axe d’inertie de l’objet en question. L’anagyre n’a pas de sens prédéfini, il dépend des côtés lestés.

L’anagyre n’est que très peu connu et il peut sûrement être exploité à des fins scientifiques astronomique afin d’économiser les forces car il est peu économe d’inverser le sens d’objet en rotation grâce à l’électricité alors que l’anagyre utilise sa force initiale afin d’inverser son sens de rotation.

Remerciement :

- A Mr Olivier Buridant, pour nous avoir aidés et soutenus, pour avoir sacrifié de nombreux mercredis après-midi, et autres temps libres dans sa semaine pour notre projet.

- A Didier Soret, Patrick Galiot et Denis Chadebec, l’un ancien professeur de mathématiques et les autres anciens professeurs de physique, pour nous avoir aidés sur la théorie et pour notre anagyre en béton.

- Au lycée Edouard Branly de Boulogne sur mer, qui a permis la mise en place de notre projet, en nous offrant le matériel nécessaire à la réalisation de nos expériences, ou encore en mettant à notre disposition des salles, des équipements informatiques, ou encore des fonds pour divers achats.

- A la société Roger Delattre par l’intermédiaire d’Alain Hanquiez pour la réalisation d’une plaque d’acier, essentielle à notre projet d’anagyre XXL.

- A la section Génie civil et ses professeurs , pour la réalisation de nos anagyre en béton.

- A la compagnie Moleux et Roussel, pour le transport de tout notre matériel et notre transport

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Bibliographie :

- THE FEYNMAN LECTURE ON PHYSICS tome 1 mécanique 1 - BERKELEY MECANIQUE volume 1 - Cours de physique de Newton à Mandelbrot - Référence Prépa Physique 1ère MPSI PTSI

Webographie :

- http://images.math.cnrs.fr/L-anagyre.html - http://www.fatrazie.com/Anagyres.pdf - http://www.imaginascience.com/boutique/pages/fichedescriptive.php?ref=8 - http://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_d'inertie - http://fr.wikipedia.org/wiki/Vitesse_angulaire - http://fr.wikipedia.org/wiki/Anagyre - http://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipso%C3%AFde - http://fr.wikipedia.org/wiki/Inertie - http://en.wikipedia.org/wiki/Rattleback - http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/418/1854/165.full.pdf+html

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