Bac 2016 : épreuve de maths obligatoire série S

7/26/2019 Bac 2016 : preuve de maths obligatoire srie S

1/6

16MASCOMLR1

1/6

BACCALAUREAT GENERAL

SESSION 2016

MATHEMATIQUES

Srie S

PREUVE DU LUNDI 20 JUIN 2016

Enseignement Obligatoire Coeff icient : 7

Dure de lpreuve: 4 heures

Ce sujet comporte 6 pages numrotes de 1 6.Les calculatrices lectroniques de poche sont autorises,

conformment la rglementation en vigueur.Le sujet est compos de 4 exercices indpendants.

Le candidat doit traiter tous les exercices.

Le candidat est invit faire figurer sur la copie toute trace de recherche, mme incomplte ou non fructueuse, quilaura dveloppe.

Il est rappel que la qualit de la rdaction, la clart et la prcision des raisonnements seront prises en compte danslapprciation des copies


2/6

16MASCOMLR1

2/6

Exercice 1 (6 points) Commun tous les candidats

Partie A

Une usine fabrique un composant lectronique. Deux chanes de fabrication sont utilises.La chane A produit 40% des composants et la chane B produit le reste.

Une partie des composants fabriqus prsentent un dfaut qui les empche de fonctionner la vitesse prvue par leconstructeur. En sortie de chane A, 20% des composants prsentent ce dfaut alors quen sortie de chane B, ils ne

sont que 5%.

On choisit au hasard un composant fabriqu dans cette usine.On note :

Alvnement le composant provient de la chane A Blvnement le composant provient de la chane B Slvnement le composant est sans dfaut

1. Montrer que la probabilit de lvnement Sest P( ) 0,89S .

2. Sachant que le composant ne prsente pas de dfaut, dterminer la probabilit qu'il provienne de la chane A. On

donnera le rsultat 210 prs.

Partie B

Des amliorations apportes la chane A ont eu pour effet d'augmenter la proportion p de composants sans dfaut.

Afin d'estimer cette proportion, on prlve au hasard un chantillon de 400 composants parmi ceux fabriqus par lachane A.Dans cet chantillon, la frquence observe de composants sans dfaut est de 0,92.

1. Dterminer un intervalle de confiance de la proportion p au niveau de confiance de 95 %.

2. Quelle devrait tre la taille minimum de l'chantillon pour qu'un tel intervalle de confiance ait une amplitudemaximum de 0,02 ?

Partie C

La dure de vie, en annes, d'un composant lectronique fabriqu dans cette usine est une variable alatoire T quisuit la loi exponentielle de paramtre (o est un nombre rel strictement positif).

On note f la fonction densit associe la variable alatoire T . On rappelle que :

-

pour tout nombre rel 0x , ( ) e xf x

-

pour tout nombre rel 0a ,0

P( ) ( ) da

T a f x x .


3/6

16MASCOMLR1

3/6

1. La courbe reprsentative cde la fonction f est donne ci-dessous.

a. Interprter graphiquement P( )T a o a > 0.

b. Montrer que pour tout nombre rel 0t : P( ) 1 e tT t .

c. En dduire que lim P( ) 1t

T t

.

2. On suppose que P( 7) 0,5T . Dterminer 310 prs.

3. Dans cette question on prend 0,099 et on arrondit les rsultats des probabilits au centime.

a. On choisit au hasard un composant fabriqu dans cette usine.Dterminer la probabilit que ce composant fonctionne au moins 5 ans.

b. On choisit au hasard un composant parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de 2 ans.Dterminer la probabilit que ce composant ait une dure de vie suprieure 7 ans.

c. Donner l'esprance mathmatique E( )T de la variable alatoire T l'unit prs.Interprter ce rsultat.

c

O x

y


4/6

16MASCOMLR1

4/6


Dans lespace rapport un repre orthonorm ( )on donne les points :

, , , , et .

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant votre rponse. Une rponse non justifie ne serapas prise en compte.

Affirmation 1 :Les trois points , , et sont aligns.

Affirmation 2 :Le vecteur est un vecteur normal au plan

Affirmation 3 :La droite et le plan sont scants et leur point dintersection est le milieudu segment [].

Affirmation 4 :Les droites (AB) et (CD) sont scantes.


5/6

16MASCOMLR1

5/6

Exercice 3 (5 points) Pour les candidats nayant pas suivi lenseignement de spcialit

Partie A

Soitf la fonction dfinie sur Rpar 2( ) ln 1f x x x .

1. Rsoudre dans Rlquation: xxf )( .

2. Justifier tous les lments du tableau de variations ci-dessous lexception de la limite de la fonction fen que lon admet.

x 1

+ 0 +

f

3. Montrer que, pour tout relxappartenant 1;0 , )(xf appartient 1;0 .

4. On considre lalgorithme suivant :

Variables NetA des entiers naturels ;

Entre Saisir la valeur deA

Traitement Nprend la valeur 0

Tant que 2

ln 1N N


6/6

16MASCOMLR1

6/6


Lors d'un match de rugby, un joueur doittransformer un essai qui a t marqu au

point E (voir figure ci-contre) situ

lextrieur du segment AB .La transformation consiste taper le ballon

par un coup de pied depuis un point T quele joueur a le droit de choisir nimporte o

sur le segment EM perpendiculaire la

droite AB sauf en E. La transformation

est russie si le ballon passe entre lespoteaux reprs par les points A et B sur lafigure.

Pour maximiser ses chances de russite, le joueur tente de dterminer la position du point T qui rend l'angle AB leplus grand possible.

Le but de cet exercice est donc de rechercher s'il existe une position du point T sur le segment EM pour laquelle

langle AB est maximum et, si c'est le cas, de dterminer une valeur approche de cet angle.Dans toute la suite, on note la longueur ET, quon cherche dterminer.

Les dimensions du terrain sont les suivantes : EM 50 m , EA 25 m et AB 5,6 m . On note la mesure

en radian de langleEA , la mesure en radian de langle EB et la mesure en radian de langleAB .

1. En utilisant les triangles rectangles ETA et ETB ainsi que les longueurs fournies, exprimer tan et tan en

fonction de .

La fonction tangente est dfinie sur lintervalle 0 ;2

parsin

tancos

xx

x .

2. Montrer que la fonction tan est strictement croissante sur lintervalle 0 ;2

.

3. Langle AB admet une mesure appartenant lintervalle 0 ;2

, rsultat admis ici, que lon peut observer

sur la figure.

On admet que, pour tous rels a et b de lintervalle 0 ;2

, tan tantan( )1 tan tan

a ba ba b

.

Montrer que2

5,6tan

765

x

x

.

4. Langle AB est maximum lorsque sa mesure est maximale. Montrer que cela correspond un minimum sur

lintervalle 0 ; 50 de la fonctionf dfinie par :765

( )f x xx

.

Montrer quil existe une unique valeur dexpour laquelle langle AB est maximum et dterminer cette valeur deau mtre prs ainsi quune mesure delangleAB 0,01 radian prs.

Remarque : sur un terrain, un joueur de rugby ne se soucie pas dune telle prcision.

Documents

Bac 2016 : épreuve de maths obligatoire série S