Exercice 3Corrigé

18MAELMLR1 1France Métropolitaine 201 8Bac - Maths - 201 8 - Série ESfreemaths . fr freemaths . fr

ObligatOire

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

Session 2018

MATHÉMATIQUES – Série ES

ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

Durée de l’épreuve : 3 heures – coefficient : 5

MATHÉMATIQUES – Série L

ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

Durée de l’épreuve : 3 heures – coefficient : 4

SUJET

ÉPREUVE DU VENDREDI 22 JUIN 2018

L’usage de la calculatrice est autorisé.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Le candidat s’assurera que le sujet est complet, qu’il correspond bien à sa série et à son choix d’enseignement (obligatoire ou spécialité).

Le sujet comporte 6 pages, y compris celle-ci.

Sujet Mathématiques Bac 2018 • Corrigéfreemaths.fr

France Métropolitaine • OBLIGATOIRE

18MAELMLR1 Page : 4/6

Exercice 3 (5 points) Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de

série L Un lac de montagne est alimenté par une rivière et régulé par un barrage, situé en aval, d’une hauteur de 10 m. On mesure le niveau d’eau du lac chaque jour à midi.

Le 1er janvier 2018, à midi, le niveau d’eau du lac était de 6,05 m.

Entre deux mesures successives, le niveau d’eau du lac évolue de la façon suivante :

• d’abord une augmentation de 6 % (apport de la rivière) ; • ensuite une baisse de 15 cm (écoulement à travers le barrage).

1. On modélise l’évolution du niveau d’eau du lac par une suite (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ , le terme 𝑢𝑛 représentant le niveau d’eau du lac à midi, en cm, 𝑛 jours après le 1er janvier 2018. Ainsi le niveau d’eau du lac le 1er janvier 2018 à midi est donné par 𝑢0 = 605.

a) Calculer le niveau du lac, en cm, le 2 janvier 2018 à midi.

b) Montrer que, pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑢𝑛+1 = 1,06𝑢𝑛 − 15.

2. On pose, pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 − 250.

a) Montrer que la suite (𝑣𝑛) est géométrique de raison 1,06.

Préciser son terme initial.

b) Montrer que, pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑢𝑛 = 355 × 1,06𝑛 + 250.

3. Lorsque le niveau du lac dépasse 10 m, l’équipe d’entretien doit agrandir l’ouverture des vannes du barrage.

a) Déterminer la limite de la suite (𝑢𝑛).

b) L’équipe d’entretien devra-t-elle ouvrir les vannes afin de réguler le niveau d’eau ? Justifier la réponse.

4. Afin de déterminer la première date d’intervention des techniciens, on souhaite utiliser l’algorithme incomplet ci-dessous.

𝑁 ← 0 𝑈 ← 605 Tant que …………… faire 𝑈 ←………….. 𝑁 ← 𝑁 + 1 Fin Tant que

a) Recopier et compléter l’algorithme.

b) À la fin de l’exécution de l’algorithme, que contient la variable 𝑁 ?

c) En déduire la première date d’intervention des techniciens sur les vannes du barrage.

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1. a. Calculons le niveau du lac, en cm, le 2 janvier 2018 à midi:

Il s’agit de calculer U1 .

U1 = ( 1 + 6% ) U0 - 0, 15 <=> U1 = 1, 06 x 6, 05 - 0, 15

=> U1 = 6, 263 mètres ou: U1 = 626, 3 cm .

Ainsi, le niveau du lac, en cm, le 2 janvier 2018 à midi est de: 626, 3 .

1. b. Montrons que, pour tout n , Un + 1 = 1, 06 Un - 15:

• D’après l’énoncé, le niveau d’eau du lac le 1 er janvier 2018, à midi, était de 6, 05 mètres .

D’où: U0 = 6, 05 mètres ou: U0 = 605 cm .

• De plus, chaque jour, le niveau d’eau du lac évolue comme suit:

• une augmentation de 6% du niveau d’eau grâce à la rivière,

• et, une baisse de 15 cm du niveau d’eau à cause d’un écoulement à travers le barrage .

Soient: • Un + 1, le niveau d’eau du lac à midi, en cm, ( n + 1 ) jours après le 1er janvier 2018,

• Un , le niveau d’eau du lac à midi, en cm, ( n ) jours après le 1er janvier 2018 .

EXERCICE 3

[ France Métropolitaine 2018 ]

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Pour tout entier naturel n, le niveau d’eau du lac à midi, en cm, Un + 1 est égal à celui Un augmenté de 6% et diminué de 15 cm .

Pour tout entier naturel n:

Un + 1 = Un + 6% Un - 15 => Un + 1 = 1, 06 Un - 15 .

Au total, nous avons bien: Un + 1 = 1, 06 Un - 15, pour tout n ı – .

2. a. Montrons que ( Vn ) est une suite géométrique de raison 1, 06 et précisons V0:

Vn = Un - 250 <=> Vn + 1 = Un + 1 - 250

<=> Vn + 1 = ( 1, 06 Un - 15 ) - 250 (1 ) .

Or: V0 = U0 - 250 => V0 = 605 - 250 = 355 et Un = Vn + 250 .

Ainsi: (1 ) <=> Vn + 1 = ( 1, 06 [ Vn + 250 ] - 15 ) - 250

=> Vn + 1 = 1, 06 Vn .

Par conséquent, ( Vn ) est bien une suite géométrique de raison q = 1, 06 et de premier terme V0 = 355 cm .

2. b. Montrons que, pour tout n , Un = 355 x 1, 06 n + 250:

Nous savons que: * Vn = 355 x ( 1, 06 ) n ( d’après le cours )

* Un = Vn + 250.

D’où: Un = 355 x ( 1, 06 ) n + 250 .

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3. a. Déterminons la limite de la suite ( Un ):

lim Unn g +∞

= lim n g +∞

355 x ( 1, 06 ) n + 250

= + car: lim n g +∞

( 1, 06 ) n = +∞, car: 1, 06 > 1 .

La suite ( Un ) est donc: divergente ( cad pas convergente ) .

3. b. L’équipe d’entretien devra-t-elle ouvrir les vannes afin de réguler le niveau d’eau:

Oui, l’équipe d’entretien devra ouvrir les vannes un jour afin de réguler le niveau d’eau .

En effet, un certain jour le niveau du lac dépassera forcement 10 mètres

car: lim Unn g +

= + .

4. a. Recopions et complétons l’algorithme:

L’algorithme recopié et complété est le suivant:

N 0

U 605

Tant que U < 1 000 faire

U 1, 06 x U - 15

N N + 1

Fin Tant que

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4. b. Déterminons ce que contient la variable N, à la fin de l’exécution:

Pour répondre à cette question, nous allons déterminer " " tel que:

U ≥ 1 000 . ( 1 000 cm = 10 mètres )

U ≥ 1 000 <=> 355 x ( 1, 06 ) + 250 ≥ 1 000

<=> 355 x ( 1, 06 ) ≥ 750

<=> ( 1, 06 ) ≥ 750355

<=> . ln ( 1, 06 ) ≥ ln 750355

<=> ≥ ln 750

355

ln ( 1, 06 ), car: 1, 06 > 1, et donc: ln ( 1, 06 ) > 0

=> ≥ 1 3, car est un entier naturel .

Ainsi, 1 3 jours après le 1 er janvier 2018, l’équipe de techniciens interviendra .

En d’autres termes, le 14 janvier 2018, le niveau du lac dépassera 10 mètres cad 1 000 cm .

4. c. Déduisons la première date d’intervention des techniciens:

Comme dit précédemment: intervention le 14 janvier 2018 .