Bac s 2012 Prob Abilites

7/25/2019 Bac s 2012 Prob Abilites

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Baccalaurat S A. P. M. E. P.

1 Polynsie juin 2012

On dsigne parxun rel appartenant lintervalle [0 ; 80].Une urne contient 100 petits cubes en bois dont 60 sont bleus et les autres rouges.Parmi les cubes bleus, 40 % ont leurs faces marques dun cercle, 20 % ont leurs faces marques dunlosange et les autres ont leurs faces marques dune toile.

Parmi les cubes rouges, 20 % ont leurs faces marques dun cercle,x% ont leurs faces marques dunlosange et les autres ont leurs faces marques dune toile.

Partie A : exprience 1

On tire au hasard un cube de lurne.

1. Dmontrer que la probabilit que soit tir un cube marqu dun losange est gale 0,12 +0,004x.2. Dterminerxpour que la probabilit de tirer un cube marqu dun losange soit gale celle de

tirer un cube marqu dune toile.

3. Dterminer xpour que les vnements tirer un cube bleu et tirer un cube marqu dunlosange soient indpendants.

4. On suppose dans cette question quex= 50.Calculer la probabilit que soit tir un cube bleu sachant quil est marqu dun losange.

Partie B : exprience 2

On tire au hasard simultanment 3 cubes de lurne.Les rsultats seront arrondis au millime.

1. Quelle est la probabilit de tirer au moins un cube rouge ?

2. Quelle est la probabilit que les cubes tirs soient de la mme couleur ?3. Quelle est la probabilit de tirer exactement un cube marqu dun cercle?

Exercices de probabilits 5


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2 Mtropole juin 2012

Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel un cabinet de recrutement. La procdure retenueest la suivante. Le cabinet effectue une premire slection de candidats sur dossier. 40 % des dossiers re-us sont valids et transmis lentreprise. Les candidats ainsi slectionns passent un premier entretien lissue duquel 70 % dentre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqus un ultime entretien avec

le directeur des ressources humaines qui recrutera 25 % des candidats rencontrs.1. On choisit au hasard le dossier dun candidat.

On considre les vnements suivants :

D: Le candidat est retenu sur dossier , E1: Le candidat est retenu lissue du premier entretien , E2: Le candidat est recrut .

a. Reproduire et complter larbre pondr ci-dessous.

D. . .E1

. . .E2. . .

E2. . .

E1. . .

D. . .

b. Calculer la probabilit de lvnementE1.

c. On noteFlvnement Le candidat nest pas recrut .

Dmontrer que la probabilit de lvnementFest gale 0,93.

2. Cinq amis postulent un emploi de cadre dans cette entreprise. Les tudes de leur dossier sontfaites indpendamment les unes des autres. On admet que la probabilit que chacun deux soit

recrut est gale 0,07.On dsigne parX la variable alatoire donnant le nombre de personnes recrutes parmi ces cinqcandidats.

a. Justifier queXsuit une loi binomiale et prciser les paramtres de cette loi.

b. Calculer la probabilit que deux exactement des cinq amis soient recruts. On arrondira 103.

3. Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que laprobabilit dembaucher au moins un candidat soit suprieure 0,999 ?



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3 Centres trangers juin 2012

Les cinq questions sont indpendantes.

Pour chaque question une affirmation est propose. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la

rponse. Une rponse non justifie ne sera pas prise en compte.

Toute trace de recherche sera valorise.

1. On considre larbre de probabilits suivant :

A

0,2

B0,68

B

A B

B0,4Affirmation: la probabilit de lvnement A sachant que lvnement B est ralis est gale 0,32.

2. On considre une urne contenant nboules rouges et trois boules noires, o ndsigne un entiernaturel non nul. Les boules sont indiscernables au toucher.On tire simultanment deux boules dans lurne.

Affirmation : il existe une valeur denpour laquelle la probabilit dobtenir deux boules de cou-

leurs diffrentes est gale 9

22.

3. Dans le plancomplexe muni dun repre orthonormal O;u ;v, on considre la transformationtdcriture complexe

z = iz+5+ i.

Affirmation : la transformation test la rotation de centre A daffixe 32i et dangle 2

.

4. Dans lensemble des nombres complexes, on considre lquation (E) dinconnuez:

z2 zz1 = 0.

Affirmation : lquation (E) admet au moins une solution.

5. Dans le plan complexe muni dun repre orthonormalO;u ;v

, on considre les points A, B et

C daffixes respectivesa= 1,b= i etc=

3+ i(1

3).

Affirmation : le triangle ABC possde un angle dont une mesure est gale 60.



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4 Asie juin 2012

Soitkun entier naturel suprieur ou gal 2.Une urne contient kboules noires et 3 boules blanches. Ces k+3 boules sont indiscernables au toucher.Une partie consiste prlever au hasard successivement et avec remise deux boules dans cette urne. Ontablit la rgle de jeu suivante :

un joueur perd 9 euros si les deux boules tires sont de couleur blanche ; un joueur perd 1 euro si les deux boules tires sont de couleur noire ; un joueur gagne 5 euros si les deux boules tires sont de couleurs diffrentes ; on dit dans ce cas l

quil gagne la partie.

Partie A

Dans la partie A, on posek= 7.Ainsi lurne contient 3 boules blanches et 7 boules noires indiscernables au toucher.

1. Un joueur joue une partie. On notepla probabilit que le joueur gagne la partie, cest--dire laprobabilit quil ail tir deux boules de couleurs diffrentes.

Dmontrer quep= 0,42.2. Soit nun entier tel quen> 2. Un joueur jouenparties identiques et indpendantes.

On noteXla variable alatoire qui comptabilise nombre de parties gagnes par le joueur, etpnlaprobabilit que le joueur gagne au moins une fois au cours desnparties.

a. Expliquer pourquoi la variableXsuit une loi binomiale de paramtres netp.

b. Exprimerpnen fonction den, puis calculerp10en arrondissant au millime.

c. Dterminer le nombre minimal de parties que le joueur doit jouer afin que la probabilit degagner au moins une fois soit suprieure 99 %.

Partie BDans la partie B, le nombrekest un entier naturel suprieur ou gal 2.Un joueur joue une partie.On noteYkla variable alatoire gale au gain algbrique du joueur.

1. a. Justifier lgalit :p(Yk= 5) =6k

(k+3)2 .

b. crire la loi de probabilit de la variable alatoire Yk

2. On note E(Yk)lesprance mathmatique de la variable alatoire YkOn dit que le jeu est favorable au joueur lorsque lesprance E(Yk)est strictement positive.

Dterminer les valeurs dekpour lesquelles ce jeu est favorable au joueur.



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5 Antilles-Guyane juin 2012

Les cinq questions sont indpendantes.

1. Dans un lyce donn, on sait que 55 % des lves sont des filles. On sait galement que 35 % desfilles et 30 % des garons djeunent la cantine.

On choisit, au hasard, un lve du lyce.Quelle est la probabilit que cet lve ne djeune pas la cantine ?

2. Une urne contient 10 jetons numrots de 1 10, indiscernables au toucher. On tire 3 jetons si-multanment.

Combien de tirages diffrents peut-on faire contenant au moins un jeton numro pair ? 3.

3. Une variable alatoire Y suit une loi binomiale de paramtres 20 et1

5.

Calculer la probabilit que Y soit suprieure ou gale 2. Donner une valeur approche du rsultat 103.

4. Un appareil mnager peut prsenter aprs sa fabrication deux dfauts.

On appelle A lvnement lappareil prsente un dfaut dapparence et F lvnement lappa-reil prsente un dfaut de fonctionnement.

On suppose que les vnements A et F sont indpendants.

On sait que la probabilit que lappareil prsente un dfaut dapparence est gale 0,02 et que laprobabilit que lappareil prsente au moins lun des deux dfauts est gale 0,069.

On choisit au hasard un des appareils. Quelle est la probabilit que lappareil prsente le dfautF ?

5. On considre lalgorithme :

A et C sont des entiers naturels,C prend la valeur 0Rpter 9 fois

A prend une valeur alatoire entire entre 1 et 7.Si A > 5 alors C prend la valeur de C + 1Fin Si

Fin rpterAfficher C.

Dans lexprience alatoire simule par lalgorithme prcdent, on appelle X la variable alatoireprenant la valeur C affiche.

Quelle loi suit la variable X ? Prciser ses paramtres.



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6 Liban juin 2012

On dispose de deux urnes U1et U2.Lune U1contient 4 jetons numrots de 1 4.Lurne U2contient 4 boules blanches et 6 boules noires.Un jeu consiste tirer un jeton de lurne U1, noter son numro, puis tirer simultanment de lurne

U2le nombre de boules indiqu par le jeton.On considre les vnements suivants :

J1 le jeton tir de lurne U1porte le numro 1




B toutes les boules tires de lurneU2sont blanches

On donnera tous les rsultats sous la forme dune fraction irrductible sauf dans la question4.b)o unevaleur arrondie 102 suffit.

1. Calculer PJ1 (B), probabilit de lvnementBsachant que lvnementJ1est ralis.

Calculer de mme la probabilit PJ2 (B).

On admet dans la suite les rsultats suivants :

PJ3(B) =1

30 et PJ4(B) =

1

210

2. Montrer que P(B), probabilit de lvnement B, vaut1

7. On pourra saider dun arbre de probabi-

lits.

3. On dit un joueur que toutes les boules quil a tires sont blanches. Quelle est la probabilit quele jeton tir porte le numro 3 ?

4. On joue 10 fois de suite ce jeu. Chacune des parties est indpendante des prcdentes. On noteNla variable alatoire prenant comme valeur le nombre de partie o toutes les boules tires sontblanches.

a. Quelle est la loi suivie par la variable alatoireN?

b. Calculer la probabilit de lvnement (N= 3).



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7 Amrique du Nord mai 2012

Dans une association sportive, un quart des femmes et un tiers des hommes adhre la section tennis.On sait galement que 30 % des membres de cette association adhrent la section tennis.On choisit au hasard un membre de cette association et on note : Flvnement le membre choisi est une femme ,

Tlvnement le membre choisi adhre la section tennis .1. Montrer que la probabilit de lvnementFest gale 25 .

2. On choisit un membre parmi les adhrents la section tennis.

Quelle est la probabilit que ce membre soit une femme?

Pour financer une sortie, les membres de cette association organisent une loterie.

1. Chaque semaine, un membre de lassociation est choisi au hasard de manire indpendante pourtenir la loterie.

a. Dterminer la probabilit pour quen quatre semaines conscutives, il y ait exactement deuxfois un membre qui adhre la section tennis parmi les membres choisis.

b. Pour tout entier naturel nnon nul, on note pnla probabilit pour quen nsemaines conscu-tives, il y ait au moins un membre qui adhre la section tennis parmi les membres choisis.

Montrer que pour tout entier nnon nul,pn= 1

710

n.

c. Dterminer le nombre minimal de semaines pour quepn 0,99.

2. Pour cette loterie, on utilise une urne contenant 100 jetons; 10 jetons exactement sont gagnantset rapportent 20 euros chacun, les autres ne rapportent rien.

Pour jouer cette loterie, un joueur doit payer 5 puis tire au hasard et de faon simultane deuxjetons de lurne : il reoit alors 20 euros par jeton gagnant. Les deux jetons sont ensuite remis danslurne.

On noteXla variable alatoire associant le gain algbrique (dduction faite des 5) ralis par unjoueur lors dune partie de cette loterie.

a. Dterminer la loi de probabilit de la variable alatoireX.

b. Calculer lesprance mathmatique de la variable alatoire Xet interprter le rsultat ob-tenu.



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8 Pondichry avril 2012

Les deux parties sont indpendantes.

Partie A

Un groupe de 50 coureurs, portant des dossards numrots de 1 50, participe une course cycliste quicomprend 10 tapes, et au cours de laquelle aucun abandon nest constat.

la fin de chaque tape, un groupe de 5 coureurs est choisi au hasard pour subir un contrle antidopage.Ces dsignations de 5 coureurs lissue de chacune des tapes sont indpendantes. Un mme coureurpeut donc tre contrl lissue de plusieurs tapes.

1. lissue de chaque tape, combien peut-on former de groupes diffrents de 5 coureurs ?

2. On considre lalgorithme ci-dessous dans lequel :

rand(1, 50) permet dobtenir un nombre entier alatoire appartenant lintervalle [1 ; 50] lcriture x:=y dsigne laffectation dune valeury une variablex.

Variables a,b,c,d,esont des variables du type entierInitialisation a:= 0 ;b:= 0 ;c:= 0 ;d:= 0 ;e:= 0Traitement Tant que (a= b) ou (a= c) ou (a= d) ou (a= e) ou (b= c) ou (b= d) ou (b= e)

ou (c= d) ou (c= e) ou (d= e)Dbut du tant que

a:= rand(1, 50);b:= rand(1, 50) ;c:= rand(1, 50);d:= rand(1, 50) ;e:= rand(1, 50)

Fin du tant queSortie Affichera,b,c,d,e

a. Parmi les ensembles de nombres suivants, lesquels ont pu tre obtenus avec cet algorithme :

L1=

{2 ; 11 ; 44 ; 2 ; 15};L2=

{8,17,41,34,6};

L3 = {12,17,23,17,50};L4 = {45,19,43,21,18}?b. Que permet de raliser cet algorithme concernant la course cycliste ?

3. lissue dune tape, on choisit au hasard un coureur parmi les 50 participants. tablir que laprobabilit pour quil subisse le contrle prvu pour cette tape est gale 0,1.

4. On noteX la variable alatoire qui comptabilise le nombre de contrles subis par un coureur surlensemble des 10 tapes de la course.

a. Quelle est la loi de probabilit de la variable alatoireX? Prciser ses paramtres.

b. On choisit au hasard un coureur larrive de la course. Calculer, sous forme dcimale ar-rondie au dix-millime, les probabilits des vnements suivants :

il a t contrl 5 fois exactement ; il na pas t contrl; il a t contrl au moins une fois.

Partie B

Dans cette partie, toute trace de recherche mme incomplte, ou dinitiative mme non fructueuse, sera

prise en compte dans lvaluation.

On donnera les rsultats sous forme de fraction irrductible.

Pour un coureur choisi au hasard dans lensemble des 50 coureurs, on appelle Tlvnement : le

contrle est positif , et daprs des statistiques, on admet queP(T) = 0,05.On appelle Dlvnement : le coureur est dop .Le contrle anti-dopage ntant pas fiable 100%, on sait que :



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si un coureur est dop, le contrle est positif dans 97 % des cas ; si un coureur nest pas dop, le contrle est positif dans 1% des cas.

1. Calculer P(D).

2. Un coureur a un contrle positif. Quelle est la probabilit quil ne soit pas dop ?



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9 Nouvelle-Caldonie mars 2012

On dispose de deux urnes et dun d cubique bien quilibr dont les faces sont numrotes de 1 6.Lurne U1contient trois boules rouges et une boule noire.Lurne U2contient trois boules rouges et deux boules noires.Une partie se droule de la faon suivante : le joueur lance le d ; si le rsultat est 1, il tire au hasard une

boule dans lurne U1, sinon il tire au hasard une boule dans lurneU2.On considre les vnements suivants :A: obtenir 1 en lanant le d B: obtenir une boule noire .

1. a. Construire un arbre pondr traduisant cette exprience alatoire.

b. Montrer que la probabilit dobtenir une boule noire est3

8.

c. Sachant que lon a tir une boule noire, calculer la probabilit davoir obtenu 1 en lanant led.

2. On convient quune partie est gagne lorsque la boule obtenue est noire. Une personne joue dixparties indpendantes en remettant, aprs chaque partie, la boule obtenue dans lurne do elleprovient. On note X la variable alatoire gale au nombre de parties gagnes.

a. Calculer la probabilit de gagner exactement trois parties. On donnera le rsultat arrondi aumillime.

b. Calculer la probabilit de gagner au moins une partie. On donnera le rsultat arrondi au mil-lime.

c. On donne le tableau suivant :

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10P(X

0.Ainsi, pour tout reltpositif, la probabilit quun ordinateur ait une dure de vie infrieure tannes,

notep(X t), est donne par :p(X t) =t

0 ex

dx.1. Dterminer sachant quep(X> 5) = 0,4.2. Dans cette question, on prendra = 0,18.

Sachant quun ordinateur na pas eu de panne au cours des 3 premires annes, quelle est, 103

prs, la probabilit quil ait une dure de vie suprieure 5 ans ?

3. Dans cette question, on admet que la dure de vie dun ordinateur est indpendante de celle desautres et quep(X> 5) = 0,4.

a. On considre un lot de 10 ordinateurs.

Quelle est la probabilit que, dans ce lot, lun au moins des ordinateurs ait une dure de vie

suprieure 5 ans ? On donnera une valeur arrondie au millime de cette probabilit.

b. Quel nombre minimal dordinateurs doit-on choisir pour que la probabilit de lvnement lun au moins dentre eux a une dure de vie suprieure 5 ans soit suprieure 0,999 ?



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23 Pondichry avril 2011

Un jeu consiste lancer des flchettes sur une cible. La cible est partage en quatre secteurs, commeindiqu sur la figure ci-dessous.

0 point

5 points

0 point

3 points

On suppose que les lancers sont indpendants et que le joueur touche la cible tous les coups.

1. Le joueur lance une flchette.

On notep0la probabilit dobtenir 0 point.

On notep3la probabilit dobtenir 3 points.

On notep5la probabilit dobtenir 5 points.

On a doncp0 +p3 +p5 = 1. Sachant quep5 =1

2p3et quep5 =

1

3p0dterminer les valeurs dep0,p3

etp5

2. Une partie de ce jeu consiste lancer trois flchettes au maximum. Le joueur gagne la partie silobtient un total (pour les 3 lancers) suprieur ou gal 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a untotal suprieur ou gal 8 points, il ne lance pas la troisime flchette.

On note G2lvnement : le joueur gagne la partie en 2 lancers .

On note G3lvnement : le joueur gagne la partie en 3 lancers .

On notePlvnement : le joueur perd la partie .

On notep(A) la probabilit dun vnementA.

a. Montrer, en utilisant un arbre pondr, quep(G2) =5

36.

On admettra dans la suite quep(G3) =7

36b. En dduirep(P).

3. Un joueur joue six parties avec les rgles donnes la question 2.

Quelle est la probabilit quil gagne au moins une partie ?

4. Pour une partie, la mise est fixe 2.

Si le joueur gagne en deux lancers, il reoit 5 . Sil gagne en trois lancers, il reoit 3 . Sil perd, ilne reoit rien.

On noteXla variable alatoire correspondant au gain algbrique du joueur pour une partie. Lesvaleurs possibles pourXsont donc : 2, 1 et 3.

a. Donner la loi de probabilit deX.b. Dterminer lesprance mathmatique deX. Le jeu est-il favorable au joueur?



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24 Nouvelle-Caldonie mars 2011

Chaque anne, deux villages A et B organisent un concours sportif. Les concurrents tirent au sort unmoyen de transport puis doivent relier le village A au village B le plus rapidement possible en utilisantce moyen de transport et un parcours adapt. Pour le tirage, on utilise une urne contenant 4 jetonsindiscernables au toucher. Sur un premier jeton figure la lettre V , sur le second la lettre R, sur le troisime

la lettre P et sur le dernier la lettre L.Un concurrent tire au hasard un jeton :

sil tire le jeton sur lequel figure la lettre V, il effectuera le trajet vlo, sil tire le jeton sur lequel figure la lettre R, Il effectuera le trajet en roller, sil tire le jeton sur lequel figure la lettre P, il effectuera le trajet pied, sil tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisira librement son mode de transport parmi les

trois prcdents.On observe que lorsquun concurrent tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisit le vlo dans 70 %des cas, il choisit le roller dans 20 % des cas el il dcide de faire le parcours pied dans 10 % des cas.

1. Construire un arbre pondr correspondant la situation.

Pour les questions suivantes, on donnera les rsultats arrondis au millime.

2. Calculer la probabilit quun concurrent effectue le trajet vlo.

3. Sachant quun concurrent a effectu le trajet vlo, quelle est la probabilit quil ait tir le jetonsur lequel figure la lettre L ?

4. On admet que les rsultats des diffrentes annes sont indpendants les uns des autres.

Lexprience des annes prcdentes permet de considrer que la probabilit, pour le vainqueur,

davoir effectu le trajet vlo est2

3.

Calculer la probabilit quau cours des six prochaines annes lpreuve soit remporte au moins

une fois par un concurrent non cycliste .



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25 Amrique du Sud novembre 2010

Un internaute souhaite faire un achat par lintermdiaire dinternet. Quatre sites de vente, un franais,un allemand, un canadien et un indien prsentent le matriel quil souhaite acqurir. Lexprience amontr que la probabilit quil utilise chacun de ces sites vrifie les conditions suivantes (les initialesdes pays dsignent les vnements lachat seffectue dans le pays ) :

P(F) = P(A), P(F) = 12

P(C) et P(C) = P(I).

1. Calculer les quatre probabilits P(F), P(A),P(C) etP(I).

2. Sur chacun des quatre sites, linternaute peut acheter un supplment pour son matriel. Ses ex-priences prcdentes conduisent formuler ainsi les probabilits conditionnelles de cet vne-ment, notS:

PF(S) = 0, 2 ; PA(S) = 0, 5 ; PC(S) = 0, 1 ; PI(S) = 0,4

a. Dterminer P(SA).b. Montrer quep(S) = 17

60.

c. Linternaute a finalement achet un supplment. Dterminer la probabilit quil lait achetsur le site canadien.

3. Sur 1 000 internautes ayant achet ce matriel, on a tabli la statistique suivante :

Siteseuropens

Site canadien Site indien

Effectif

dacheteurs 335 310 355

a. On note respectivement f1, f2 et f3 les frquences associes aux effectifs prcdents. Onpose :

d2 =k=3k=1

fk

1

3

2. Calculer d2 puis 1000d2.

b. On simule 3 000 fois lexprience consistant tirer un nombre au hasard parmi {1 ; 2 ; 3} avecquiprobabilit. Pour chacune de ces simulations on obtient une valeur de 1 000d2. Voici lesrsultats :

Minimum Premierdcile Premierquartile Mdiane Troisimequartile Neuvimedcile Maximum

0,000 5 0,076 3 0,211 1 0,488 45 0,940 1 1,510 4 5,925 6

Au risque 10 %, peut-on considrer que le choix dun site europen, nord-amricain ou asia-tique se fait de manire quiprobable ?



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26 Nouvelle-Caldonie novembre 2010

Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher : deux vertes et trois rouges.

Les questions 1. et 2. sont indpendantes

1. On extrait simultanment et au hasard deux boules de lurne.

On noteXla variable alatoire gale au nombre de boules vertes figurant dans le tirage.

a. Vrifier queP(X= 0) = 310

puis dterminer la loi de probabilit de la variable alatoireX.

b. Calculer lesprance mathmatique de la variable alatoireX.

c. Calculer la probabilit de lvnement suivant :

A : les deux boules tires sont de mme couleur .

2. On effectue deux tirages successifs dune boule en respectant la rgle suivante :

si la boule tire est rouge, on la remet dans lurne ; si elle est verte, on ne la remet pas.

a. En utilisant un arbre pondr, calculer la probabilit des vnements suivants :B : seule la premire boule tire est verte ,

C : une seule des deux boules tires est verte .

b. Sachant que lon a tir exactement une boule verte, quelle est la probabilit que cette bouleverte soit la premire tire ?



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27 Polynsie septembre 2010

Un jeu consiste tirer simultanment 4 boules indiscernables au toucher dun sac contenant une boulenoire et 9 boules blanches, puis lancer un d bien quilibr six faces numrotes de 1 6.Si la boule noire est tire, il faut obtenir un nombre pair avec le d pour gagner. Si la boule noire nestpas tire, il faut obtenir un six avec le d pour gagner.

On appelle N lvnement la boule noire figure parmi les boules tires et G lvnement le joueurgagne .

1. a. Dterminer la probabilit de lvnement N.

b. Dmontrer que la probabilit de lvnement G est gale 3

10. On pourra saider dun arbre

pondr.

c. Le joueur ne gagne pas. Quelle est la probabilit quil ait tir la boule noire ?

2. Pour jouer ce jeu, une mise de dpart de meuros est demande, o mest un rel strictementpositif.

Si le joueur gagne, il reoit 4 euros.Sil ne gagne pas mais quil a tir la boule noire, le joueur rcupre sa mise.

Sil ne gagne pas et quil na pas tir la boule noire, le joueur perd sa mise.

On appelleXla variable alatoire donnant le gain algbrique du joueur.

a. Dterminer la loi de probabilit deX.

b. Exprimer lesprance mathmatique deXen fonction dem.

c. On dit que le jeu est quitable si lesprance mathmatique deXest nulle.

Dterminer mpour que le jeu soit quitable.

3. Soit nun entier naturel non nul.On jouenfois ce jeu sachant quaprs chaque partie les boules sont remises dans le sac.

Dterminer la valeur minimale denpour laquelle la probabilit de gagner au moins une fois estsuprieure 0,999.



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28 Antilles septembre 2010

Dans cet exercice, les rsultats approchs seront donns 0,0001 prs.

Lors dune pidmie chez des bovins, on sest aperu que si la maladie est diagnostique suffisammenttt chez un animal, on peut le gurir ; sinon la maladie est mortelle.Un test est mis au point et essay sur un chantillon danimaux dont 1 % est porteur de la maladie.

On obtient les rsultats suivants : si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85 % des cas ; si un animal est sain, le test est ngatif dans 95 % des cas.

On choisit de prendre ces frquences observes comme probabilits pour la populationentire et duti-liser le test pour un dpistage prventif de la maladie.On note :

M lvnement : lanimal est porteur de la maladie ;

T lvnement : le test est positif.

1. Construire un arbre pondr modlisant la situation propose.2. Un animal est choisi au hasard.

a. Quelle est la probabilit quil soit porteur de la maladie et que son test soit positif ?

b. Montrer que la probabilit pour que son test soit positif est 0,058.

3. Un animal est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilit pourquil soit porteur de la maladie ?

4. On choisit cinq animaux au hasard. La taille de ce troupeau permet de considrer les preuvescomme indpendantes et dassimiler les tirages des tirages avec remise. On note X la variablealatoire qui, aux cinq animaux choisis, associe le nombre danimaux ayant un test positif.

a. Quelle est la loi de probabilit suivie par X?

b. Quelle est la probabilit pour quau moins un des cinq animaux ait un test positif ?

5. Le cot des soins prodiguer un animal ayant ragi positivement au test est de 100 euros etle cot de labattage dun animal non dpist par le test et ayant dvelopp la maladie est de1 000 euros. On suppose que le test est gratuit.

Daprs les donnes prcdentes, la loi de probabilit du cot engager par animal subissant letest est donne par le tableau suivant :

Cot 0 100 1 000

Probabilit 0,940 5 0,058 0 0,001 5

a. Calculer lesprance mathmatique de la variable alatoire associant un animal le cot engager.

b. Un leveur possde un troupeau de 200 btes. Si tout le troupeau est soumis au test, quellesomme doit-il prvoir dengager ?



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29 Polynsie juin 2010 Retour au tableauDes robots se trouvent au centre de gravit O dun triangle de sommets S, I et X.Chacun se dplace en trois tapes successives de la manire suivante :

chaque tape, il passe par lun des trois sommets S, I et X puis il rejoint le point O; les robots sont programms de telle sorte que, lors dune tape, la probabilit de passer par le

sommet S est gale celle de passer par le sommet X et la probabilit de passer par le sommet S est

le double de celle de passer par le sommet I ; les diffrentes tapes sont indpendantes les unes des autres ; on ne tient pas compte des passages par O.

Partie A - Un seul robot

Un seul robot se trouve au point O.

1. Dmontrer qu chaque tape, la probabilit que le robot passe par le sommet I est gale 1

5.

2. On note E lvnement : au cours des trois tapes, le robot passe successivement par les 3 som-

mets S, I et X dans cet ordre.Dmontrer que la probabilit de E est gale

4

125.

3. On note F lvnement : au cours des trois tapes, le robot passe exactement par les 3 sommetsS, I et X dans un ordre quelconque.

Dterminer la probabilit de F.

Partie B - Plusieurs robots

Des robots se trouvent au point O, leurs dplacements tant indpendants les uns des autres.Quel nombre minimalnde robots doit-il y avoir pour que la probabilit de lvnement : au moinslun des robots passe successivement par les sommets S, I et X dans cet ordre soit suprieure ou gale 0,99?



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30 Mtropole 22 juin 2010 Retour au tableauCet exercice est un questionnaire choix multiple (QCM).

Pour chaque question, trois rponses sont proposes, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie,

sans justification, le numro de la question suivi de la rponse choisie. Il est attribu un point si la rponse

est exacte, aucun point nest enlev pour une rponse inexacte ou une absence de rponse.

1. Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 7 sont blanches et 3 sont noires. On tiresimultanment 3 boules de lurne. La probabilit de tirer 2 boules blanches et 1 boule noire estgale :

2140

710

69

13

710

710

13

2. De la mme urne, on tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans lurne; on procde ainsi 5 tirages successifs avec remise. La probabilit davoir obtenu 3 boules noires et 2 boules blanchesest gale :

33 72

105

52

3

10

2

7

10

3

52

3

10

3

7

10

2

3. Delammeurne,ontireuneseuleboule.Sielleestblanche,onlanceundcubique(dontlesfacessont numrotes de 1 6). Si la boule est noire, on lance un d ttradrique (dont les faces sontnumrotes de 1 4). On suppose les ds bien quilibrs. Le joueur gagne sil obtient le numro 1.

Sachant que le joueur a gagn, la probabilit quil ait tir une boule blanche est gale :

760

1423

7

10 1

61

2 1

6+ 1

2 1

4

4. OnnoteXune variable alatoire qui suit une loi exponentielle de paramtre. ( tant un nombrerel strictement positif). La probabilit de lvnement [1X 3] est gale :

ee3 e3 e e

e3



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31 La Runion 22 juin 2010 Retour au tableauDans cet exercice, tous les rsultats seront donns sous forme de fractions irrductibles.

Partie I :

On dispose dun d cubiqueAparfaitementquilibr possdant une face verte, deux faces noires et troisfaces rouges.

Un jeu consiste lancer deux fois de suite et de manire indpendante ce d. On note chaque lancerla couleur de la face obtenue.

1. Calculer la probabilit pour qu lissue dun jeu, les deux faces obtenues soient noires.

2. Soit lvnement C : lissue dun jeu, les deux faces obtenues sont de la mme couleur .

Dmontrer que la probabilit de lvnement C est gale 7

18.

3. Calculer la probabilit pour qu lissue dun jeu, les deux faces obtenues soient de couleurs diff-rentes.

4. lissue dun jeu, sachant que les deux faces obtenues sont de la mme couleur, quelle est la

probabilit pour que les deux faces obtenues soient vertes?

Partie II :

On dispose dun second d cubiqueBquilibr prsentant quatre faces vertes et deux faces noires. Lenouveau jeu se droule de la manire suivante : on lance le d B;

si la face obtenue est verte, on lance nouveau le dBet on note la couleur de la face obtenue ; si la face obtenue est noire, on lance le dAet on note la couleur de la face obtenue.1. a. Construire un arbre de probabilits traduisant cette situation.

b. Quelle est la probabilit dobtenir une face verte au deuxime lancer, sachant que lon a ob-

tenu une face verte au premier lancer ?

2. Montrer que la probabilit dobtenir deux faces vertes est gale 4

9.

3. Quelle est la probabilit dobtenir une face verte au deuxime lancer ?



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32 Centres trangers 14 juin 2010 Retour au tableauQuestion 3

La dure de vie, exprime en heures, dun jeu lectronique, est une variable alatoire Xqui suit la loiexponentielle de paramtre= 0,0003.On rappelle que, pour toutt 0, p(X t) =

t

0exdx.

Affirmation:La probabilit pour que la dure de vie de ce jeu soit strictement suprieure 2 000 heures est infrieure 0,5.

Question 4

AetBsont deux vnements lis une mme preuve alatoire qui vrifient :

p(A) = 0,4, pA(B) = 0,7 etpA

B= 0,1.

Affirmation:

La probabilit de lvnement A sachant que lvnement B est ralis est gale

14

41.

http://-/?-http://-/?-


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33 Asie 21 juin 2010 Retour au tableauAvant le dbut des travaux de construction dune autoroute, une quipe darchologie prventive pro-cde des sondages successifs en des points rgulirement espacs sur le terrain.Lorsque len-ime sondage donne lieu la dcouverte de vestiges, il est dit positif.Lvnement : len-ime sondage est positif est not Vn, on notepnla probabilit de lvnement Vn.

Lexprience acquise au cours de ce type dinvestigation permet de prvoir que : si un sondage est positif, le suivant a une probabilit gale 0,6 dtre aussi positif ; si un sondage est ngatif, le suivant a une probabilit gale 0,9 dtre aussi ngatif.

On suppose que le premier sondage est positif, cest--dire :p1 = 1.

1. Calculer les probabilits des vnements suivants :

a. A : les 2e et 3e sondages sont positifs ;

b. B : les 2e et 3e sondages sont ngatifs .

2. Calculer la probabilitp3pour que le 3e sondage soit positif.

3. ndsigne un entier naturel suprieur ou gal 2.

Recopier et complter larbre ci-dessous en fonction des donnes de lnonc :

pn

Vn+1

Vn+1

1 pn

Vn+1

Vn+1

4. Pour tout entier naturel nnon nul, tablir que :pn+1 = 0,5pn+0,1.5. On noteula suite dfinie, pour tout entier naturel nnon nul par :un= pn0,2.

a. Dmontrer queuest une suite gomtrique, en prciser le premier terme et la raison.

b. Exprimerpnen fonction den.

c. Calculer la limite, quandntend vers +, de la probabilitpn.



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34 Antilles-Guyane 18 juin 2010 Retour au tableauPour chacune des questions suivantes, une ou deux des rponsesproposes sont correctes.

Un point est attribu chacune des questions. Toute rponse inexacte est pnalise de 0,25 point.

Il ny a pas de pnalit en cas dabsence de rponse. Aucune justification nest attendue.

Si le total des points obtenus est ngatif, le note attribue lexercice est 0.

Recopier le numro de la question et la ou les rponses correctes (deux au maximum).

1. On tire au hasard une carte dun jeu de 32 cartes.

La probabilit de nobtenir ni un as, ni un pique, est gale :

A : 5

8 B :

21

32 C :

11

32 D :

3

82. On tire au hasard et simultanment deux cartes dun jeu de 32 cartes.

La probabilit de nobtenir ni un as, ni un pique, est gale :

A : 105

248 B :

212

322

C : 212

322 D :

52

82

3. On suppose que la dure dattente un guichet de service, exprime en heure, suit la loi uniformesur lintervalle [0 ; 1].

La probabilit que la dure dattente dune personne prise au hasard soit comprise entre 15 minet 20 min est :

A : 1

3 B :

1

5 C :

1

12 D :

1

44. On considre 10 appareils identiques, de mme garantie, fonctionnant indpendamment les uns

des autres. La probabilit pour chaque appareil de tomber en panne durant la priode de garantieest gale 0,15.

La probabilit pour quexactement 9 appareils soient en parfait tat de marche lissue de la p-riode de garantie est gale :

A : 0,35 102

prsB : 0,859 C : 0,859 0,15 D : 0,859 0,15

10



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35 Amrique du Nord 3 juin 2010 Retour au tableauUne urne contient des boules indiscernables au toucher.20 % des boules portent le numro 1 et sont rouges.Les autres portent le numro 2 et parmi elles, 10 % sont rouges et les autres sont vertes.

1. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilit quelle soit rouge?

2. On a tir une boule au hasard. Elle est rouge.Montrer que la probabilit quelle porte le numro 2 est gale

2

7.

3. Soit nun entier naturel suprieur ou gal 2.

On effectuentirages successifs dune boule avec remise (aprs chaque tirage la boule est remisedans lurne).

a. Exprimer en fonction denla probabilit dobtenir au moins une boule rouge portant le nu-mro 1 au cours desntirages.

b. Dterminer lentier n partir duquel la probabilit dobtenir au moins une boule rouge por-tant le numro 1 au cours desntirages est suprieure ou gale 0,99.

http://-/?-http://-/?-


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36 Liban 3 juin 2010 Retour au tableauPour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de

la rponse choisie.

Une rponse non justifie ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, mme incomplte,

ou dinitiative, mme nonfructueuse, sera prise en compte dans lvaluation.

1. Une urne contient une boule blanche et deux boules noires. On effectue 10 tirages successifs duneboule avec remise (on tire une boule au hasard, on note sa couleur, on la remet dans lurne et onrecommence).

Proposition 1 : La probabilit de tirer exactement 3 boules blanches est

3

1

3

3

2

3

7.

2. Une variable alatoireXsuit la loi exponentielle de paramtre(> 0).On rappelle que pour tout rela> 0 : p(X a) =

a0et dt.

Proposition 2 : Le relatel quep(X> a) = p(X a) est gal ln 2

.

3. Soit le nombre complexez= 1 i

3.



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37 Pondichry avril 2010 Retour au tableauUne urne contient 10 boules blanches et nboules rouges, ntant un entier naturel suprieur ou gal 2.On fait tirer un joueur des boules de lurne. chaque tirage, toutes les boules ont la mme probabilitdtre tires. Pour chaque boule blanche tire, il gagne 2 euros et pour chaque boule rouge tire, il perd3 euros.On dsigne parXla variable alatoire correspondant au gain algbrique obtenu par le joueur.

Les trois questions de lexercice sont indpendantes.

1. Le joueur tire deux fois successivement et sans remise une boule de lurne.

a. Dmontrer que :P(X= 1) = 20n(n+10)(n+9).

b. Calculer, en fonction denla probabilit correspondant aux deux autres valeurs prises par lavariableX.

c. Vrifier que lesprance mathmatique de la variable alatoireXvaut :

E(X) = 6n2

14n

+360

(n+10)(n+9) .d. Dterminer les valeurs denpour lesquelles lesprance mathmatique est strictement posi-

tive.

2. Le joueur tire 20 fois successivement et avec remise une boule de lurne. Les tirages sont indpen-dants. Dterminer la valeur minimale de lentier nafin que la probabilit dobtenir au moins uneboule rouge au cours de ces 20 tirages soit strictement suprieure 0,999.

3. On suppose quen= 1000. Lurne contient donc 10 boules blanches et 1 000 boules rouges.Le joueur ne sait pas que le jeu lui est compltement dfavorable et dcide d effectuer plusieurstirages sans remise jusqu obtenir une boule blanche.

Le nombre de boules blanches tant faible devant celui des boules rouges, on admet que lonpeut modliser le nombre de tirages ncessaires pour obtenir une boule blanche par une variablealatoireZsuivant la loi :

pour tout kN, p(Z k) =k

00,01e0,01x dx.

On rpondra donc aux questions suivantes laide de ce modle.

a. Calculer la probabilit que le joueur ait besoin de tirer au plus 50 boules pour avoirune bouleblanche, soitP(Z 50).

b. Calculer la probabilit conditionnelle de lvnement : le joueur a tir au maximum 60 boulespour tirer une boule blanche sachant lvnement le joueur a tir plus de 50 boules pourtirer une boule blanche .



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39 Amrique du Sud novembre 2009 Retour au tableauOn considre un questionnaire comportant cinq questions.

Pour chacune des cinq questions poses, trois propositions de rponses sont faites (A, Bet C), une seuledentre elles tant exacte.

Un candidat rpond toutes les questions poses en crivant un mot rponse de cinq lettres.

Parexemple,lemot BBAACsignifiequelecandidatarpondu Baux premire et deuxime questions,Aaux troisime et quatrime questions et C la cinquime question.

1. a. Combien y-a-til de mots-rponses possible ce questionnaire ?

b. On suppose que le candidat rpond au hasard chacune des cinq questions de ce question-naire.

Calculer la probabilit des vnements suivants :

E: le candidat a exactement une rponse exacte .

F: le candidat na aucune rponse exacte .

G: le mot-rponse du candidat est un palindrome. (On prcise quun palindrome est unmot pouvant se lire indiffremment de gauche droite ou de droite gauche : par exemple, BACAB est un palindrome).

2. Un professeur dcide de soumettre ce questionnaire ses 28 lves en leur demandant de r-pondre au hasard chacune des cinq questions de ce questionnaire.

On dsigne parXle nombre dlves dont le mot-rponse ne comporte aucune rponse exacte.

a. Justifier que la variable alatoireXsuit la loi binomiale de paramtres n= 28 etp= 32243

.

b. Calculer la probabilit, arrondie 102, quau plus un lve nait fourni que des rponsesfausses.



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40 Polynsie septembre 2009 Retour au tableauPour chaque question, deux propositions sont nonces.

Il sagit de dire, sans le justifier, si chacune delles est vraie ou fausse. Le candidat indiquera sur sa copie

le numro de la proposition et la mention VRAIE ou FAUSSE.

Pour chaque question, il est compt1point si les deux rponses sont exactes,0, 5point pour une rponseexacte et une absence de rponse et0point sinon.

Question A Proposition 1 Proposition 2Une urne contient 4 boules noireset 3 boules rouges indiscernablesau toucher.On tire deux boules au hasardsimultanment. On considre lesvnements :A : les deux boules tires sont dela mme couleur ;

B : une seule des deux boules ti-res est rouge .

La probabilit de A est gale 3

7.

La probabilit de B est gale 1

7.

Question B Proposition 3 Proposition 4

Soient A, B et C trois vnementsdun mme univers muni duneprobabilit P.On sait que :

A et B sont indpendants ; P(A) = 2

5;P(AB) = 3

4;

P(C) =1

2;P(AC) =1

10

P(B) = 712

PAC

= 2

5.

AC dsigne lvnementcontraire de AC.

Question C Proposition 5 Proposition 6

Une variable alatoire Xsuit uneloi binomiale de paramtres netponest gal 4 et pappartient ]0; 1[.

SiP(X= 1) = 8P(X= 0) alorsp= 2

3.

Sip= 15

alors

P(X= 1) = P(X= 0).

Question D Proposition 7 Proposition 8La dure de vie, exprime en an-nes, dun appareil est modlise

par une variable alatoire X quisuit la loi exponentielle de para-mtre = 0,07 sur [0 ;+[.On rappelle que pour toutt> 0, laprobabilit de lvnement (X t)est donne par :

P(X t) =t

0ex dx(avec =

0,07).

La probabilit que lappareilait une dure de vie

suprieure 10 ans est gale 0,5 102 prs.

Sachant que lappareil afonctionn 10 ans, la

probabilit quil fonctionneencore 10 ans est gale 0,5

102 prs.



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41 Antilles-Guyane septembre 2009 Retour au tableauVRAI OU FAUXPour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la rponse donne.PARTIE B

1. SiAetBsont deux vnements indpendants avecP(B) = 0 etP(B) = 1, alorsP(AB) = PB(A).

2. SiXest une variable alatoire suivant la loi uniforme sur [0; 1], alors

P(X [0,1 ; 0,6]) = 0,6.3. SiXest une variable alatoire suivant la loi binomiale de paramtres 100 et

1

3, alorsP(X 1) =

1

2

3

100.



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42 Mtropole septembre 2009 Retour au tableauUn rparateur de vlosa achet 30 % de son stock de pneus un premierfournisseur, 40 % un deuximeet le reste un troisime.Le premier fournisseur produit 80 % de pneus sans dfaut, le deuxime 95 % et le troisime 85 %.

1. Le rparateur prend au hasard un pneu de son stock.

a. Construire un arbre de probabilit traduisant la situation, et montrer que la probabilit quece pneu soit sans dfaut est gale 0,875.

b. Sachant que le pneu choisi est sans dfaut, quelle est la probabilit quilprovienne du deuximefournisseur? On donnera la valeur arrondie du rsultat 103.

2. Le rparateur choisit dix pneus au hasard dans son stock. On suppose que le stock de pneus estsuffisamment importantpour assimiler ce choixde dix pneus un tirage avec remise de dixpneus.Quelle est alors la probabilit quau plus un des pneus choisis prsente un dfaut ? On donnera lavaleur arrondie 103.

3. On noteXla variable alatoire qui donne le nombre de kilomtres parcourus par un pneu, sanscrevaison. On fait lhypothse que X suit une loi exponentielle de paramtre.

On rappelle que, pour tout nombre relkpositif :P(X k) =

k0 e

x dx

a. Montrer queP(500X 1000) = e500e1000.b. Dans cette question, toute trace de recherche, mme incomplte, ou dinitiative mme nonfruc-

tueuse, sera prise en compte dans lvaluation.

La probabilit que le pneu parcoure entre 500 et 1 000 kilomtres sans crevaison tant gale

1

4, dterminer la valeur arrondie 104 du paramtre .



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43 La Runion juin 2009 Retour au tableauUne usine produit des sacs. Chaque sac fabriqu peut prsenter deux dfauts : le dfautaet le dfaut b.Un sac est dit dfectueux sil prsente au moins lun des deux dfauts.

1. Dans cette question les probabilits demandes seront donnes avec leurs valeurs dcimalesexactes.

On prlve un sac au hasard dans la production dune journe.

On noteAl vnement le sac prsente le dfauta etBlvnement le sac prsente le dfautb. Les probabilits des vnements Aet Bsont respectivementP(A) = 0,02 etP(B) = 0,01; onsuppose que ces deux vnements sont indpendants.

a. Calculer la probabilit de lvnement C le sac prlev prsente le dfautaet le dfautb.

b. Calculer la probabilit de lvnement D le sac est dfectueux .

c. Calculer la probabilit de lvnement E le sac ne prsente aucun dfaut .

d. Sachant que le sac prsente le dfauta, quelle est la probabilit quil prsente aussi le dfautb?

2. On suppose que la probabilit (arrondie au centime) quun sac soit dfectueux est gale 0,03.

On prlve au hasard un chantillon de 100 sacs dans la production dune journe. La produc-tion est suffisamment importante pour que lon assimile ce prlvement un tirage avec remisede 100 sacs. On considre la variable alatoire Xqui, tout prlvement de 100 sacs, associe lenombre de sacs dfectueux.

a. Justifier que la variable alatoireXsuit une loi binomiale dont on prcisera les paramtres.

b. Quelle est la probabilit de lvnement au moins un sac est dfectueux ? On arrondiracette probabilit au centime. Interprter ce rsultat.

c. Calculer lesprance mathmatique de la variable alatoireX.

Interprter ce rsultat dans le cadre de lnonc.



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44 Mtropole 23 juin 2009 Retour au tableauI.Cette question est une restitution organise de connaissances.

On rappelle que si n et p sont deux nombres entiers naturels tels que pn alors

n

p

= n!

p!(n p)! .

Dmontrer que pour tout nombre entier naturel net pour tout nombre entier naturel ptels que 1 p

non a :

np

= n1p1

+n1p

.

II.Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher :7 jetons blancs numrots de 1 7 et 3 jetons noirs numrots de 1 3.On tire simultanment deux jetons de ce sac.

1. a. On note A lvnement obtenir deux jetons blancs.

Dmontrer que la probabilit de lvnement A est gale 7

15.

b. On note B lvnement obtenir deux jetons portant des numros impairs .

Calculer la probabilit de B.

c. Les vnements A et B sont-ils indpendants ?

2. Soit Xla variable alatoire prenant pour valeur le nombre de jetons blancs obtenus lors de cetirage simultan.


b. Calculer lesprance mathmatique deX.



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45 Polynsie 23 juin 2009 Retour au tableauUne entreprise fabrique des lecteurs MP3, dont 6 % sont dfectueux.Chaque lecteur MP3 est soumis une unit de contrle dont la fiabilit nest pas parfaite.Cette unit de contrle rejette 98 % des lecteurs MP3 dfectueux et 5 % des lecteurs MP3 fonctionnantcorrectement.On note :

Dlvnement : le lecteur MP3 est dfectueux ; Rlvnement : lunit de contrle rejette le lecteur MP3.1. Faire un arbre pondr sur lequel on indiquera les donnes qui prcdent.

2. a. Calculer la probabilit que le lecteur soit dfectueux et ne soit pas rejet.

b. On dit quil y a une erreur de contrle lorsque le lecteur MP3 est rejet alors quil nest pasdfectueux, ou quil nest pas rejet alors quil est dfectueux.

Calculer la probabilit quil y ait une erreur de contrle.

3. Montrer que la probabilit quun lecteur MP3 ne soit pas rejet est gale 0,8942.

4. Quatre contrles successifs indpendants sont maintenant raliss pour savoir si un lecteur MP3peut tre commercialis.

Un lecteur MP3 est :

commercialis avec le logo de lentreprise sil subit avec succs les quatre contrles succes-sifs,

dtruit sil est rejet au moins deux fois, commercialis sans le logo sinon.

Le cot de fabrication dun lecteur MP3 slve 50.

Son prix de vente est de 120 pour un lecteur avec logo et 60 pour un lecteur sans logo.

On dsigne parGla variable alatoire qui, chaque lecteur MP3 fabriqu, associe le gain alg-

brique en euros (ventuellement ngatif) ralis par lentreprise.a. Dterminer la loi de probabilit de la variable alatoire G.

b. Calculer 102 prs lesprance mathmatique de G. Donner une interprtation de ce rsul-tat.



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46 Asie juin 2009 Retour au tableauUne entreprise fait fabriquer des paires de chaussette auprs de trois fournisseursF1, F2,F3.Dans lentreprise, toutes ces paires de chaussettes sont regroupes dans un stock unique.La moiti des paires de chaussettes est fabrique par le fournisseur F1, le tiers par le fournisseurF2etle reste par le fournisseurF3.

Une tude statistique a montr que 5 % des paires de chaussette fabriques par le fournisseurF1ont un dfaut ; 1,5 % des paires de chaussette fabriques par le fournisseurF2ont un dfaut ; sur lensemble du stock, 3,5 % des paires de chaussette ont un dfaut.1. On prlve au hasard une paire de chaussettes dans le stock de lentreprise.

On considre les vnements F1, F2, F3et D suivants :

F1: La paire de chaussettes prleve est fabrique par le fournisseurF1 ; F2: La paire de chaussettes prleve est fabrique par le fournisseurF2 ; F3: La paire de chaussettes prleve est fabrique par le fournisseurF3 ;

D : La paire de chaussettes prleve prsente un dfaut .

a. Traduire en termes de probabilits les donnes de lnonc en utilisant les vnements pr-cdents.

Dans la suite, on pourra utiliser un arbre pondr associ cet exprience.

b. Calculer la probabilit quune paire de chaussettes prleve soit fabrique par le fournisseurF1et prsente un dfaut.

c. Calculer la probabilit de lvnement F2 D.d. En dduire la probabilit de lvnement F3 D.e. Sachant que la paire de chaussettes prleve est fabrique par le fournisseurF3, quelle est la

probabilit quelle prsente un dfaut ?

2. Lentreprise conditionne les paires de chaussettes par lots de six paires.

On considre que le stock est suffisamment grand pour assimiler le choix des six paires de chaus-settes des tirages indpendants, succesifs avec remise.

a. Calculer la probabilit que deux paires de chaussettes exactement dun lot prsentent undfaut ; on donnera un rsultat arrondi au millime.

b. Dmontrer quela probabilit, arrondie au millime, quau plusunepairede chaussettes dunlot prsente un dfaut est gale 0,983.



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47 Centres trangers juin 2009 Retour au tableau

1. Restitution organise de connaissances :

Prrequis : On rappelle que deux vnementsAet Bsont indpendants pour la probabilit psi etseulement si :p(AB) = p(A) p(B).

SoientAetBdeux vnements associs une exprience alatoirea. Dmontrer quep(B) = p(BA)+ p

BA

.

b. Dmontrer que, si les vnementsAet Bsont indpendants pour la probabilitp, alors lesvnementsAetBle sont galement.

2. Application :Chaque matin de classe, Stphane peut tre victime de deux vnements indpen-dants :

R: il nentend pas son rveil sonner ; S: Son scooter, mal entretenu, tombe en panne .

II a observ que chaque jour de classe, la probabilit de Rest gale 0,1 et que celle deSest gale

0,05. Lorsque quau moins lun des deux vnements se produit, Stphane est en retard au lycesinon il est lheure.

a. Calculer la probabilit quun jour de classe donn, Stphane entende son rveil sonner etque son scooter tombe en panne.

b. Calculer la probabilit que Stphane soit lheure au lyce un jour de classe donn.

c. Au cours dune semaine, Stphane se rend cinq fois au lyce. On admet que le fait quil en-tende son rveil sonner un jour de classe donn ninflue pas sur le fait quil lentende ou nonles jours suivants.

Quelle est la probabilit que Stphane entende le rveil au moins quatre fois au cours dune

semaine ? Arrondir le rsultat la quatrime dcimale.



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48 Antilles-Guyane juin 2009 Retour au tableauDans cet exercice, les rsultats seront donns sous forme de fractions.

On dispose de deux ds ttradriques identiques : les quatre faces sont numrotes A, B, C et D.

1. On lance les deux ds simultanment et on note la lettre de la face sur laquelle repose chacun desds.

Dterminer la probabilit des vnements suivants : E0: ne pas obtenir la lettre A , E1: obtenir une fois la lettre A , E2: obtenir deux fois la lettre A .

2. On organise un jeu de la faon suivante :

Le joueur lance les deux ds simultanment. Si les deux ds reposent sur les faces A , le jeu sarrte. Si un seul d repose sur la face A , le joueur relance lautre d et le jeu sarrte. Si aucun d ne repose sur la face A , le joueur relance les deux ds et le jeu sarrte.

a. Recopier et complter larbre suivant en indiquant sur chaque branche la probabilit corres-pondante.

Nombre de Nombre defaces A faces A

0

0

1

2

1

0

1

2

1er lancer 2e lancer

b. Le joueur gagne si, lorsque le jeu sarrte, les deux ds reposent sur les faces A .

Montrer que, pour le joueur, la probabilit de gagner est de 49256.

c. Pour participer, le joueur doit payer 5 euros. Sil gagne, on lui donne 10 euros. Si, lorsque lejeu sarrte, un seul d repose sur la face A , il est rembours. Sinon, il perd sa mise.

Le jeu est-il favorable au joueur?



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49 Liban mai 2009 Retour au tableauPour chacune des trois questions, une seule des quatre propositions est exacte.

Le candidat indiquera sur la copie le numro de la question et la lettre correspondant la rponse choisie,

sans justification.

Il sera attribu un point si la rponse est exacte, zro sinon.

1. On dsigne parAetBdeux vnements indpendants dun univers muni dune loi de probabilitp.

On sait quep(AB) = 45

et pA= 3

5.

La probabilit de lvnementBest gale :

a. 2

5 b.

2

3 c.

3

5 d.

1

2

2. On noteXune variable alatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramtre= 0,04.On rappelle que pour tout reltpositif, la probabilit de lvnement (X t), notep(X t), est

donne parp(X t) =t

0ex dx.

La valeur approche dep(X> 5) 102 prs par excs est gale :a. 0,91 b. 0,18 c. 0,19 d. 0,82

3. Dans ma rue, il pleut un soir sur quatre.

Sil pleut, je sors mon chien avec une probabilit gale 1

10; sil ne pleut pas, je sors mon chien

avec une probabilit gale 9

10.

Je sors mon chien ; la probabilit quil ne pleuve pas est gale :

a. 910

b. 2740

c. 34

d. 2728



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50 Amrique du Nord mai 2009 Retour au tableauDans cet exercice on tudie une pidmie dans une population.

Partie A : tude de la progression de lpidmie pendant 30 jours

Au dbut de lpidmie on constate que 0,01 % de la population est contamin.

Pourtappartenant [0 ; 30], on notey(t) le pourcentage de personnes touches par la maladie aprs tjours.On a doncy(0) = 0,01.On admet que la fonction yainsi dfinie sur [0; 30] est drivable, strictement positive et vrifie :

y = 0,05y(10y).

1. On considre la fonctionzdfinie sur lintervalle [0 ; 30] parz= 1y

.

Dmontrer que la fonctionysatisfait aux conditions

y(0) = 0,01y = 0,05y(10y) si et seulement si la fonctionzsatisfait aux conditions z(0) = 100z = 0,5z+0,05

2. a. En dduire une expression de la fonctionzpuis celle de la fonctiony.

b. Calculer le pourcentage de la population infecte aprs 30 jours. On donnera la valeur arron-die lentier le plus proche.

Partie B : tude sur lefficacit dun vaccin

Dans cette partie, toute trace de recherche, mme incomplte, ou dinitiative, mme non fructueuse, sera

prise en compte dans lvaluation.

Le quart de la population est vaccin contre cette maladie contagieuse. De plus, on estime que sur lapopulation vaccine, 92 % des individus ne tombent pas malades. Sur la population totale, on estimeaussi que 10 % des individus sont malades.On choisit au hasard un individu dans cette population.

1. Montrer que la probabilit de lvnement lindividu nest pas vaccin et tombe malade estgale 0,08.

2. Quelle est la probabilit de tomber malade pour un individu qui nest pas vaccin ?



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51 Pondichry avril 2009 Retour au tableauOn dispose de deux ds cubiques dont les faces sont numrotes de 1 6. Ces ds sont en apparenceidentiques mais lun est bien quilibr et lautre truqu. Avec le d truqu la probabilit dobtenir 6 lors

dun lancer est gale 1

3.

Les rsultats seront donns sous forme de fractions irrductibles.

1. On lance le d bien quilibr trois fois de suite et on dsigne parXla variable alatoire donnant lenombre de 6 obtenus.

a. Quelle loi de probabilit suit la variable alatoireX?

b. Quelle est son esprance ?

c. Calculer P(X= 2).2. On choisit au hasard lun des deux ds, les choix tant quiprobables. Et on lance le d choisi trois

fois de suite.

On considre les vnements D et A suivants :

D le d choisi est le d bien quilibr ; A: obtenir exactement deux 6 .

a. Calculer la probabilit des vnements suivants : choisir le d bien quilibr et obtenir exactement deux 6 ; choisir le d truqu et obtenir exactement deux 6 .

(On pourra construire un arbre de probabilit).

b. En dduire que :p(A) = 748

.

c. Ayant choisi au hasard lun des deux ds et layant lanc trois fois de suite, on a obtenu exac-tement deux 6. Quelle est la probabilit davoir choisi le d truqu ?

3. On choisit au hasard lun des deux ds, les choix tant quiprobables, et on lance le dnfois desuite (ndsigne un entier naturel suprieur ou gal 2).

On noteBnlvnement obtenir au moins un 6 parmi cesnlancers successifs.

a. Dterminer, en fonction den, la probabilitpnde lvnementBn.

b. Calculer la limite de la suite

pn. Commenter ce rsultat.

http://-/?-http://-/?-


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52 Nouvelle-Caldonie mars 2009 Retour au tableauDans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre plusieurs cibles.

La probabilit que la premire cible soit atteinte est1

2.

Lorsquune cible est atteinte, la probabilit que la suivante le soit est3

4.

Lorsquune cible nest pas atteinte, la probabilit que la suivante soit atteinte est

1

2 .On note, pour tout entier naturel nnon nul :

Anlvnement : lan-ime cible est atteinte . Anlvnement : lan-ime cible nest pas atteinte. anla probabilit de lvnementAn bnla probabilit de lvnementAn.1. Donnera1etb1.

Calculera2etb2. On pourra utiliser un arbre pondr.

2. Montrer que, pour tout nN, n 1 : an+1 =3

4an+

1

2bn,

puis :an+1 = 14

an+ 12

3. Soit(Un)la suite dfinie pour tout entier naturel nnon nul, par Un= an2

3.

a. Montrer que la suite (Un)est une suite gomtrique.

On prcisera la raison et le premier termeU1.

b. En dduire lexpression de Unen fonction den, puis lexpression deanen fonction den.

c. Dterminer la limite de la suite(an).

d. Dterminer le plus petit entier naturel ntel que :an 0,6665.



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53 Nouvelle-Caldonie novembre 2008 Retour au tableauUn joueur lance une bille qui part de A puis emprunte obligatoirement une des branches indiques surlarbre ci-dessous pour arriver lun des points D, E, F et G.

A

B (0 pt)

89

D (0 pt)

8

9

E (10 pts)

1

9

C (10 pts)

19

F (0 pt)

8

9

G (10 pts)

1

9

On a marqu sur chaque branche de larbre la probabilit pour que la bille lemprunte aprs tre passpar un nud.Les nombres entre parenthses indiquent les points gagns par le joueur lors du passage de la bille.On note X la variable alatoire qui correspond au nombre total de points gagns lissue dune partiecest--dire une fois la bille arrive en D, E, F ou G.

1. Dans cette question, les rsultats sont attendus sous forme fractionnaire.

a. Dterminer la loi de probabilit de X.

b. Calculer lesprance de X.

c. Calculer la probabilit que la bille ait suivi la branche AC sachant que le joueur a obtenu

exactement 10 points.2. Le joueur effectue 8 parties et on suppose que ces huit parties sont indpendantes. On considre

quune partie est gagne si le joueur obtient 20 points cette partie.

a. Calculer la probabilit quil gagne exactement 2 parties. On donnera le rsultat arrondi aumillime

b. Calculer la probabilit quil gagne au moins une partie. On donnera le rsultat arrondi aumillime.



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54 Polynsie septembre 2008 Retour au tableauOn rappelle que la probabilit dun vnement A sachant que lvnement B est ralis se note pB(A).Une urne contient au dpart 30 boules blanches et 10 boules noires indiscernables au toucher.On tire au hasard une boule de lurne :

si la boule tire est blanche, on la remet dans lurne et on ajoutenboules blanches supplmen-taires.

si la boule tire est noire, on la remet dans lurne et on ajoutenboules noires supplmentaires.On tire ensuite au hasard une seconde boule de lurne.On note :

B1lvnement : on obtient une boule blanche au premier tirage B2lvnement : on obtient une boule blanche au second tirage Alvnement : les deux boules tires sont de couleurs diffrentes .1. Dans cette question, on prendn= 10.

a. Calculer la probabilitp(B1 B2)et montrer quep(B2) =3

4.

b. CalculerpB2 (B1).

c. Montrer quep(A) = 310

.

2. On prend toujours n= 10.Huit joueurs ralisent lpreuve dcrite prcdemment de manire identique et indpendante.

On appelleXla variable alatoire qui prend pour valeur le nombre de ralisations de lvnementA.

a. Dterminerp(X= 3). (On donnera la rponse 102 prs).b. Dterminer lesprance mathmatique de la variable alatoireX.

3. Dans cette questionnest un entier suprieur ou gal 1.

Existe-t-il une valeur denpour laquellep(A) = 14

.



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55 Mtropole et La Runion sept. 2008 Retour au tableauDans une kermesse un organisateur de jeux dispose de 2 roues de 20 cases chacune.La roue A comporte 18 cases noires et 2 cases rouges.La roue B comporte 16 cases noires et 4 cases rouges.Lors du lancer dune roue toutes les cases ont la mme probabilit dtre obtenues.La rgle du jeu est la suivante :

Le joueur mise 1 et lance la roue A. Sil obtient une case rouge, alors il lance la roue B, note la couleur de la case obtenue et la partie

sarrte. Sil obtient une case noire, alors il relance la roue A, note la couleur de la case obtenue et la partie

sarrte.

1. Traduire lnonc laide dun arbre pondr.

2. Soient E et F les vnements :

E : lissue de la partie, les 2 cases obtenues sont rougesF : lissue de la partie, une seule des deux cases est rouge.

Montrer quep(E) = 0,02 etp(F) = 0,17.3. Si les 2 cases obtenues sont rouges le joueur reoit 10 ; si une seule des cases est rouge le joueur

reoit 2 ; sinon il ne reoit rien.

Xdsigne la variable alatoire gale au gain algbrique en euros du joueur (rappel le joueur mise1).


b. Calculer lesprance mathmatique deXet en donner une interprtation.

4. Le joueur dcide de jouer nparties conscutives et indpendantes (ndsigne un entier naturelsuprieur ou gal 2)

a. Dmontrer que la probabilit pnquil lance au moins une fois la roue B est telle quepn=1 (0,9)n.

b. Justifier que la suite de terme gnralpnest convergente et prciser sa limite.

c. Quelle est la plus petite valeur de lentiernpour laquellepn > 0,9?



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56 AntillesGuyane sept. 2008 Retour au tableauOn dispose de deux urnes U1et U2.Lurne U1contient 2 billes vertes et 8 billes rouges toutes indiscernables au toucher.Lurne U2contient 3 billes vertes et 7 billes rouges toutes indiscernables au toucher.

Une partie consiste, pour un joueur, tirer au hasard une bille de lurne U1, noter sa couleur et remettrela bille dans lurne U

1puis de tirer au hasard une bille de lume U

2, noter sa couleur et remettre la bille

dans lurne U2. la fin de la partie, si le joueur a tir deux billes vertes il gagne un lecteur MP3. Sil a tir une bille verte,il gagne un ours en peluche. Sinon il ne gagne rien.On note

V1lvnement : le joueur tire une boule verte dans U1V2lvnement : le joueur tire une boule verte dans U2.

Les vnements V1et V2sont indpendants.

1. Montrer, laide dun arbre pondr, que la probabilit de gagner un lecteur MP3 estp= 0,06.2. Quelle est la probabilit de gagner un ours en peluche ?

3. Vingt personnesjouent chacune une partie. Dterminer la probabilit que deux dentre elles exac-tement gagnent un lecteur MP3.

On justifiera la rponse et on donnera une valeur approche du rsultat 104 prs.

4. On appellenle nombre de personnes participant la loterie un jour donn et jouant une seulefois.

On notepnla probabilit que lune au moins de ces personnes gagne un lecteur MP3.

Dterminer la plus petite valeur denvrifiantpn 0,99.



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57 La Runion juin 2008 Retour au tableauTous les rsultats seront arrondis 102prs.Une entreprise produit en grande quantit des stylos. La probabilit quun stylo prsente un dfaut estgale 0,1.

1. On prlve dans cette production, successivement et avec remise huitstylos. On noteXla variablealatoire qui compte le nombre de stylos prsentant un dfaut parmi les huit stylos prlevs.

a. On admet queXsuit une loi binomiale. Donner les paramtres de cette loi.

b. Calculer la probabilit des vnements suivants :

A : il ny a aucun stylo avec un dfaut ;B : il y a au moins un stylo avec un dfaut ;C : il y a exactement deux stylos avec un dfaut .

2. En vue damliorer la qualit du produit vendu, on dcide de mettre en place un contrle quiaccepte tous les stylos sans dfaut et 20 % des stylos avec dfaut.

On prend au hasard un stylo dans la production. On note D lvnement le stylo prsente undfaut , et E lvnement le stylo est accept .

a. Construire un arbre traduisant les donnes de lnonc.

b. Calculer la probabilit quun stylo soit accept au contrle.

c. Justifier que la probabilit quun stylo ait un dfaut sachant quil a t accept au contrleest gale 0,022 103 prs.

3. Aprs le contrle, on prlve, successivement et avec remise, huit stylos parmi les stylos accepts.

Calculer la probabilit quil ny ait aucun stylo avec un dfaut dans ce prlvement de huit stylos.

Comparer ce rsultat avec la probabilit de lvnement A calcule la question1. b.. Quel com-mentaire peut-on faire?



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58 Centres trangers juin 2008 Retour au tableauLe secteur de production dune entreprise est compos de 3 catgories de personnel :

les ingnieurs ; les oprateurs de production; les agents de maintenance.

Il y a 8 % dingnieurs et 82 % doprateurs de production. Les femmes reprsentent 50 % des ingnieurs,

25 % des agents de maintenance et 60 % des oprateurs de production.I. Partie ADans cette partie, on interroge au hasard un membre du personnel dc cette entreprise.On note :

M lvnement : le personnel interrog est un agent de maintenance ; O lvnement : le personnel interrog est un oprateur de production ; I lvnement : le personnel interrog est un ingnieur ; F lvnement : le personnel interrog est une femme .1. Construire un arbre pondr correspondant aux donnes.

2. Calculer la probabilit dinterroger :a. un agent de maintenance ;

b. une femme agent de maintenance ;

c. une femme,

II. Partie BLe service de maintenance effectue lentretien des machines, mais il est appel aussi intervenir en casde panne. Pour cela une alarme est prvue ; des tudes ont montr que sur une journe :

la probabilit quil ny ait pas de panne et que lalarme se dclenche est gale 0,002 ;

la probabilit quune panne survienne et que lalarme ne se dclenche pas est gale 0,003 ;

la probabilit quune panne se produise est gale 0,04.On note :

A lvnement : lalarme se dclenche ; B lvnement : une panne se produit ;1. Dmontrer que la probabilit quune panne survienne et que lalarme se dclenche est gale

0,037.

2. Calculer la probabilit que lalarme se dclenche.

3. Calculer la probabilit quil y ait une panne sachant que lalarme se dclenche.



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59 Asie juin 2008 Retour au tableauOn considre plusieurs sacs de billes S1, S2, . . . , Sn, . . . tels que :

le premier, S1, contient 3 billes jaunes et 2 vertes; chacun des suivants, S2, S3, . . . , Sn, . . . contient 2 billes jaunes et 2 vertes.

Le but de cet exercice est dtudier lvolution des tirages successifs dune bille de ces sacs, effectus dela manire suivante :

on tire au hasard une bille dans S1 ; on place la bille tire de S1dans S2, puis on tire au hasard une bille dans S2 ; on place la bille tire de S2dans S3, puis on tire au hasard une bille dans S3 ; etc.

Pour tout entier n 1, on noteEnlvnement : la bille tire dans Snest verte et on notep(En)saprobabilit.

1. Mise en vidence dune relation de rcurrence

a. Daprs lnonc, donner les valeurs dep(E1), pE1 (E2) , pE1 (E2).

En dduire la valeur dep(E2).

b. laide dun arbre pondr, exprimerp(En+1) en fonction dep(En).

2. tude dune suite

On considre la suite(un)dfinie par :

u1 =2

5

un+1 =1

5un+

2

5pour tout n 1.

a. Dmontrer que la suite (un)est majore par 1.

b. Dmontrer que(un)est croissante.

c. Justifier que la suite(un)est convergente et prciser sa limite.3. volution des probabilitsp(En)

a. laide des rsultats prcdents, dterminer lvolution des probabilitsp(En).

b. Pour quelles valeurs de lentierna-t-on : 0,49999 p(En) 0,5?



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60 Antilles-Guyane juin 2008 Retour au tableauOn dispose de deux urnes U1et U2contenant des boules indiscernables au toucher.

U1contient kboules blanches (kentier naturel suprieur ou gal 1) et 3 boules noires.U2contient 2 boules blanches et une boule noire.

On tire une boule au hasard dans U1et on la place dans U2. On tire ensuite, au hasard, une boule dans

U2. Lensemble de ces oprations constitue une preuve.On note B1(respectivement N1) lvnement on a tir une boule blanche (resp. noire) dans lurneU1 .On note B2(respectivement N2) lvnement on a tir une boule blanche (resp. noire) dans lurneU2 .

1. a. Recopier et complter par les probabilits manquantes larbre ci-dessous :

B1. . .

B2. . .

N2. . .

N1. . .

B2. . .

N2. . .

Montrer que la probabilit de lvnementB2est gale 3k+64k+12.

Dans la suite on considre que k= 12.Les questions 2 et 3 sont indpendantes lune de lautre et peuvent tre traites dans nimportequel ordre.

2. Un joueur mise 8 euros et effectue une preuve.

Si, la fin de lpreuve, le joueur tire une boule blanche de la deuxime urne, le joueur reoit

12 euros.Sinon, il ne reoit rien et perd sa mise. SoitXla variable alatoire gale au gain du joueur, cest--dire la diffrence entre la somme reue et la mise.

a. Montrer que les valeurs possibles deXsont 4 et 8.b. Dterminer la loi de probabilit de la variableX.

c. Calculer lesprance mathmatique deX.

d. Le jeu est-il favorable au joueur ?

3. Un joueur participe nfois de suite ce jeu.

Au dbut de chaque preuve, lurne U1

contient 12 boules blanches et 3 noires, et lurneU2

contient2 boules blanches et 1 noire.

Ainsi, les preuves successives sont indpendantes.

Dterminer le plus petit entier npour que la probabilit de raliser au moins une fois lvnementB2soit suprieure ou gale 0,99.



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61 Liban mai 2008 Retour au tableauUne urne A contient quatre boules rouges et six boules noires.Une urne B contient une boule rouge et neuf boules noires.Les boules sont indiscernables au toucher.

Partie AUn joueur dispose dun d six faces, parfaitement quilibr, numrot de 1 6. Il le lance une fois :sil obtient 1, il tire au hasard une boule de lurne A,sinon il tire au hasard une boule de lurne B.

1. Soit R lvnement le joueur obtient une boule rouge .

Montrer quep(R) = 0,15.2. Si le joueur obtient une boule rouge, la probabilit quelle provienne de A est-elle suprieure ou

gale la probabilit quelle provienne de B ?

Partie BLe joueur rpte deux fois lpreuve dcrite dans la partie A, dans des conditions identiques et indpen-

dantes (cest--dire qu lissue de la premire preuve, les urnes retrouvent leur composition initiale).Soitxun entier naturel non nul.Lors de chacune des deux preuves, le joueur gagne xeuros sil obtient une boule rouge et perd deuxeuros sil obtient une boule noire.On dsigne par G la variable alatoire correspondant au gain algbrique du joueur en euros au termedes deux preuves. La variable alatoire G prend donc les valeurs 2x, x2 et 4.

1. Dterminer la loi de probabilit de G.

2. Exprimer lesprance E(G) de la variable alatoire G en fonction dex.

3. Pour quelles valeurs dexa-t-on E(G) 0 ?



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62 Nouvelle-Caldonie mars 2008 Retour au tableauDeux leveurs produisent une race de poissons dornement qui ne prennent leur couleur dfinitive qulge de trois mois :

pour les alevins du premier levage, entre lge de deux mois et lge de trois mois, 10 % nont passurvcu, 75 % deviennent rouges et les 15 % restant deviennent gris.

pour les alevins du deuxime levage, entre lge de deux mois et lge de trois mois, 5 % nont pas

survcu, 65 % deviennent rouges et les 30 % restant deviennent gris.Une animalerie achte les alevins, lge de deux mois : 60 % au premier leveur, 40 % au second.

1. Un enfant achte un poisson le lendemain de son arrive lanimalerie, cest--dire lge dedeux mois.

a. Montrer que la probabilit que le poisson soit toujours vivant un mois plus tard est de 0,92.

b. Dterminer la probabilit quun mois plus tard le poisson soit rouge.

c. Sachant que le poisson est gris lge de trois mois, quelle est la probabilit quil proviennedu premier levage?

2. Une personne choisit au hasard et de faon indpendante 5 alevins de deux mois. Quelle est la

probabilit quun mois plus tard, seulement trois soient en vie? On donnera une valeur approche 102 prs.

3. Lanimalerie dcide de garder les alevins jusqu lge de trois mois, afin quils soient vendus avecleur couleur dfinitive. Elle gagne 1 euro si le poisson est rouge, 0,25 euro sil est gris et perd0,10 euro sil ne survit pas.

SoitXla variable alatoire gale au gain algbrique de lanimalerie par poisson achet. Dtermi-ner la loi de probabilit deXet son esprance mathmatique, arrondie au centime.



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63 Nouvelle-Caldonie dcembre 2007 Retour au tableau

Un responsable de magasin achte des composants lectroniques auprs de deux fournisseurs dans lesproportions suivantes : 25 % au premier fournisseur et 75 % au second.La proportion de composants dfectueux est de 3 % chez le premier fournisseur et de 2 % chez le second.On note :

D lvnement le composant est dfectueux ; F1lvnement le composanrt provient du premier fournisseur ; F2lvnement le composant provient du second fournisseur .

1. a. Dessiner un arbre pondr.

b. Calculerp(DT1), puis dmontrer quep(D) = 0,0225.c. Sachant quun composant est dfectueux, quelle est la probabilit quil provienne du premier

fournisseur?

Dans toute la suite de lexercice, on donnera une valeur approche des rsultats 103 prs.

2. Le responsable commande 20 composants. Quelle est la probabilit quau moins deux dentre eux

soient dfectueux ?3. La dure de vie de lun de ces composants est une variable alatoire note Xqui suit une loi de

dure de vie sans vieillissement ou loi exponentielle de paramtre, avec rel strictement posi-tif.

a. Sachant que p(X> 5) = 0,325, dterminer. Pour les questions suivantes, on prendra =0,225.

b. Quelle est la probabilit quun composant dure moins de 8 ans ? plus de 8 ans ?

c. Quelle est la probabilit quun composant dure plus de 8 ans sachant quil a dj dur plusde 3 ans ?



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64 Polynsie septembre dcembre 2007 Retour au tableauLa vgtation dun pays imaginaire est compose initialement de trois types de plantes :40 % sont de type A, 41 % de type B et 19 % de type C.On admet quau dbut de chaque anne :

chaque plante de type A disparat et elle est remplace par une et une seule nouvelle plante de typeA, B ou C.

chaque plante de type B disparat et elle est remplace par une et une seule nouvelle plante de typeA, B ou C.

chaque plante de type C disparat et elle est remplace par une et une seule nouvelle plante de typeC.

LaprobabilitquuneplantedetypeAsoitremplaceparuneplantedemmetypeest0,6etcellequellele soit par une plante de type B est 0,3.La probabilit quune plante de type B soit remplace par une plante de mme type est 0,6 et celle quellele soit par une plante de type A est 0,3.Au dbut de chaque anne, on choisit au hasard une plante dans la vgtation et on relve son type.Pour tout entier naturel nnon nul, on note :

Anlvnement la plante choisie lan-ime anne est de type A , Bnlvnement la plante choisie lan-ime anne est de type B , Cnlvnement la plante choisie lan-ime anne est de type C .

On dsigne parpn, qnetrnles probabilits respectives des vnements An, Bnet Cn.Compte tenu de la composition initiale de la vgtation (dbut de lanne n0) on pose :p0 = 0,40,q0 =0,41 etr0 = 0,19.

1. Recopier sur la copie et complter larbre pondrci-contre, en remplaant chaque point dinterroga-tion par la probabilit correspondante. Aucune jus-tification nest demande pour cette question.

2. a. Montrer quep1 = 0,363 puis calculerq1etr1.b. Montrer que, pour tout entier naturel nnon

nul, pn+1 = 0,6pn+0,3qnqn+1 = 0,3pn+0,6qn

3. On dfinit les suites (Sn) e t (Dn)surN par Sn= qn+pnetDn= qn pn.

a. Montrer que(Sn)est une suite gomtriquedont on prcisera la raison. On admet que

(Dn)est une suite gomtrique de raison 0,3.b. Dterminer les limites des suites(Sn)et(Dn).

c. En dduire les limites des suites

pn

,

qnet

(rn). Interprter le rsultat.

dbut de

lannen0

dbut de

lannen1

A

?

A?

B?

C

?

B

?A?

B?

C?

C

?

C?



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65 Antilles-Guyane septembre 2007 Retour au tableauUne urne contient 15 boules identiques indiscernables au toucher de couleur noire, blanche, ou rouge.On sait de plus quil y a au moins deux boules de chaque couleur dans lurne.On tire au hasard simultanment 2 boules dans lurne et on note leur couleur.Soit lvnement G : obtenir deux boules de mme couleur .

Partie A

On suppose que lurne contient 3 boules noires et 7 boules banches.Calculer la probabilit de lvnement G.

Partie B

On noten,betrle nombre de boules respectivement noires, blanches et rouges figurant dans lurne.

1. On note g(n, b, r) la probabilit en fonction de n, bet rde lvnement G. Dmontrer que

g(n,b, r) = 1210

[n(n1)+b(b1)+ r(r1)].2. Le but de cette question est de dterminer n,bet rafin que la probabilit g(n,b,r) soit minimale.

Lespace est muni dun repreO, , ,k

orthonormal. Soient les points N, B et R de coordon-

nes respectives (15 ; 0 ; 0), (0 ; 15 ; 0) et (0; 0 ; 15) et soitMle point dc coordonnes (n, b, r). Onpourra se rapporter la figure ci-dessous.

a. Justifier quune quation cartsienne du plan (NBR) estx+y+ z15 = 0.b. En dduire que le pointMest un point du plan (NBR).

c. Dmontrer queg(n, b, r) = 1210

OM2 15

.

d. Soit H le projet orthogonal du point O sur le plan (NBR). Dterminer les coordonnes dupoint H.

e. En dduire tes valeurs de n, bet rafin que la probabilit g(n, b, r) soit minimale. Justifierque cette probabilit minimale est gale

2

7.

Partie C

On suppose que les nombres de boules de chaque couleur ont t choisis par lorganisateur dun jeu, de

telle sorte que la probabilit de lvnement G soit2

7.

Un joueur misexeuros, avecxentier naturel non nul, puis

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Bac s 2012 Prob Abilites