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BACCALAUREAT BLANC GENERAL

SESSION 2018

EPREUVE DU 15 FEVRIER 2018

MATHEMATIQUES

– Série ES –

ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Coefficient : 5

Durée de l’épreuve : 3 heures

Les calculatrices non programmables et programmables avec mode Examen sont autorisées

conformément à la réglementation en vigueur.

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.

Le candidat doit traiter tous les exercices.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non

fructueuse, qu’il aura développée.

Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour

une part importante dans l’appréciation des copies.

Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet est comporte bien 7 pages numérotées de 1 à 7

et qu’il correspond bien à sa série et à son choix d’enseignement (obligatoire ou spécialité).

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Exercice 1 (4 points) : Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule

des quatre réponses est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou

l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Indiquer sur la copie le numéro de la

question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

La courbe ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d’une fonction

définie et deux fois dérivable sur l’intervalle .

La droite est tangente à la courbe au point et passe par le point de coordonnées

.

Le point est l’unique point d’inflexion de la courbe .

1. On note la fonction dérivée de la fonction :

a. b.

c.

d.

2. On note la fonction dérivée seconde de la fonction :

a. b. c. d.

3. La fonction est convexe sur :

a. b. c. d.

4. La fonction est :

a. positive sur b. croissante sur c. négative sur d. décroissante sur

T

Cf

2 3 4 5 6 7

2

3

4

5

0 1

1

x

y

A

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Exercice 2 ( 5 points) : Commun à tous les candidats

Dans un magasin spécialisé en électroménager et multimédia, le responsable du rayon informatique fait le

bilan sur les ventes d’ordinateurs portables, de tablettes, et d’ordinateurs fixes. Pour ces trois types de

produit, le rayon informatique propose une extension de garantie.

Le responsable constate que des acheteurs ont opté pour une tablette, et pour un ordinateur

portable.

Dans cet exercice, on suppose que chaque acheteur achète un unique produit entre tablette, ordinateur

portable, ordinateur fixe, et qu’il peut souscrire ou non une extension de garantie.

Parmi les acheteurs ayant acquis une tablette, ont souscrit une extension de garantie et, parmi ceux

ayant acquis un ordinateur fixe, ont souscrit une extension de garantie.

On choisit au hasard un de ces acheteurs.

On note :

l’évènement « l’acheteur a choisi une tablette » ;

l’évènement « l’acheteur a choisi un ordinateur portable » ;

l’évènement « l’acheteur a choisi un ordinateur fixe » ;

l’évènement « l’acheteur a souscrit une extension de garantie ».

On note aussi les évènements contraires.

1. Construire un arbre pondéré en indiquant les données de l’énoncé.

2. Calculer la probabilité de l’évènement , puis .

3. On sait de plus que des acheteurs ont choisi un ordinateur portable avec une extension de

garantie.

Déterminer la probabilité qu’un acheteur ayant acquis un ordinateur portable souscrive une extension

de garantie.

4. Montrer que .

5. Pour tous les appareils, l’extension de garantie est d’un montant de euros. Quelle recette

complémentaire peut espérer le responsable du rayon lorsque appareils seront vendus ?

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Exercice 3 (5 points) : Commun à tous les candidats

Depuis le 1er

janvier 2015, une commune dispose de vélos en libre service La société Bicycl’Aime est

chargée de l’exploitation et de l’entretien du parc de vélos

La commune disposait de 200 vélos au 1er

janvier 2015.

La société estime que, chaque année, 15% des vélos sont retirés de la circulation à cause de dégradations et

que 42 nouveaux vélos sont mis en service.

On modélise cette situation par une suite où représente le nombre de vélos de cette commune au 1er

janvier de l’année .

1. Déterminer le nombre de vélos au 1er

janvier 2016.

2. Justifier que la suite est définie par et, pour tout entier naturel , par :

3. On donne l’algorithme suivant :

Tant que

Fin tant que

a. Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats à l’unité. Quelle est la

valeur de à la fin de l’algorithme ?

Condition Vrai

b. Interpréter la valeur du nombre obtenue à l’issue de l’exécution de cet algorithme.

4. On considère la suite définie pour tout entier naturel par .

a. Montrer que la suite est géométrique de raison et de premier terme .

b. Pour tout entier naturel , exprimer , en fonction de .

c. En déduire que, pour tout entier naturel , on a .

d. Calculer la limite de la suite et interpréter ce résultat.

5. La société Bicycl’Aime facture chaque année à la commune par vélo en circulation au 1er

janvier.

Déterminer le coût total pour la période du 1er

janvier 2015 au 31 décembre 2019, chacun des termes

utilisés de la suite étant exprimé avec un nombre entier.

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Exercice 4 : (6 points)

La partie A peut être traitée indépendamment des parties B et C.

L’entreprise BBE (Bio Bois Énergie) fabrique et vend des granulés de bois pour alimenter des chaudières et

des poêles chez des particuliers ou dans des collectivités.

L’entreprise produit entre 1 et 15 tonnes de granulés par jour.

Les coûts de fabrication quotidiens sont modélisés par la fonction définie sur l’intervalle

par :

où désigne la quantité de granulés en tonnes et le coût de fabrication quotidien correspondant

en centaines d’euros.

Dans l’entreprise BBE le prix de vente d’une tonne de granulés de bois est de 300 euros.

La recette quotidienne de l’entreprise est donc donnée par la fonction définie sur l’intervalle

par :

où désigne la quantité de granulés en tonnes et la recette quotidienne correspondante en

centaines d’euros.

On définit par le résultat net quotidien de l’entreprise en centaines d’euros, c’est-à-dire la

différence entre la recette et le coût , où désigne la quantité de granulés en tonnes.

Partie A : Etude graphique

Sur le graphique situé en annexe (page 7), on donne et les représentations graphiques respectives des

fonctions et dans un repère d’origine O.

Dans cette partie A, répondre aux questions suivantes à l’aide du graphique, et avec la précision

permise par celui-ci. Aucune justification n’est demandée.

1. Déterminer la quantité de granulés en tonnes pour laquelle le coût quotidien de l’entreprise est

minimal.

2. a. Déterminer les valeurs et puis en déduire une estimation du résultat net quotidien en

euros dégagé par l’entreprise pour 6 tonnes de granulés fabriqués et vendus.

b. Déterminer les quantités possibles de granulés en tonnes que l’entreprise doit produire et vendre

quotidiennement pour dégager un résultat net positif, c’est-à-dire un bénéfice.

Partie B : Etude d’une fonction

On considère la fonction définie sur l’intervalle par :

On admet que la fonction est dérivable sur l’intervalle et on note sa fonction dérivée.

1. a. Calculer pour tout réel de l’intervalle .

b. En déduire que la fonction est décroissante sur l’intervalle .

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2. a. Dresser le tableau de variation de la fonction sur l’intervalle , en précisant les valeurs

et arrondies à l’unité.

b. Le tableau de variation permet d’affirmer que l’équation admet une unique solution

sur l’intervalle .

Donner une valeur approchée de à près.

c. Déduire des questions précédentes le tableau de signe de sur l’intervalle .

Partie C : Application économique

1. Démontrer que pour tout réel de l’intervalle , on a :

2. On admet que la fonction est dérivable sur l’intervalle et on note sa fonction dérivée.

Démontrer que pour tout réel de l’intervalle , on a , où est la fonction

étudiée dans la partie B.

3. En déduire les variations de la fonction sur l’intervalle .

4. a. Pour quelle quantité de granulés l’entreprise va-t-elle rendre son bénéfice maximal ?

On donnera une valeur approchée du résultat à tonnes près.

b. Calculer alors le bénéfice maximal à l’euro près.

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ANNEXE

N’est pas à rendre avec la copie