8/19/2019 BacS Juin2004 Obligatoire Reunion Exo1

http://slidepdf.com/reader/full/bacs-juin2004-obligatoire-reunion-exo1 1/4

EXERCICE 1 (4 points )

Commun à tous les candidats

On considère la fonction f  définie sur l’intervalle [0; +∞[ par

f (x) = 1 − x2e1−x2

.

Son tableau de variations est le suivant :

x   0 1 +∞

1 1f (x)

0

Sa courbe représentative C  et son asymptote ∆, d’équation y   = 1, sont tracées en annexe, à rendreavec la copie.

A - Lecture graphique

1)   k est un nombre réel donné. En utilisant la représentation graphique, préciser en fonction de  k  le

nombre de solutions dans l’intervalle [0; +∞[ de l’équation f (x) = k .

2)   n étant un entier naturel non nul, déterminer les valeurs de  n pour lesquelles l’équation f (x) =  1

nadmet deux solutions distinctes.

B - Définition et étude de deux suites

1)   Soit  n  un entier supérieur ou égal à 2. Montrer que l’équation  f (x) =  1

n admet deux solutions

un et  vn respectivement comprises dans les intervalles [0; 1] et [1; +∞[.

2)   Sur la feuille en annexe, construire sur l’axe des abscisses les réels un et  vn pour n  appartenant à

l’ensemble {2;3;4}.

3)   Déterminer le sens de variation des suites (un) et  (vn).

4)   Montrer que la suite (un

) est convergente et déterminer sa limite. Procéder de même pour la suite

(vn). En déduire que les suites (un) et  (vn) sont adjacentes.

2

8/19/2019 BacS Juin2004 Obligatoire Reunion Exo1

http://slidepdf.com/reader/full/bacs-juin2004-obligatoire-reunion-exo1 2/4

ANNEXE DE L’EXERCICE 1

A compléter et à rendre avec la copie

      O

       C

     ∆

    y

    x

     1

     2

     1

7

8/19/2019 BacS Juin2004 Obligatoire Reunion Exo1

http://slidepdf.com/reader/full/bacs-juin2004-obligatoire-reunion-exo1 3/4

BACCALAUREAT GENERAL

Session 2004

MATHEMATIQUES

- Série S -

Enseignement Obligatoire

Réunion

EXERCICE 1

A - Lecture graphique

1.   Soit  k  un réel. Une lecture graphique nous apprend que•  si  k < 0  ou  k > 1, l’équation  f(x) = k  n’admet pas de solution dans  [0, +∞[,•  si  0 < k < 1, l’équation  f(x) = k  admet exactement deux solutions dans  [0, +∞[,•  Si  k  =  0  ou si  k  =  1, l’équation  f(x) = k  admet exactement une solution dans  [0, +∞[.

2.   Soit   n  un entier naturel.   0 <  1

n  < 1   équivaut à   n > 1  ou encore   n  ≥   2. Donc, l’équation   f(x) =

  1

n  admet deux

solutions distinctes si et seulement si  n ≥  2.

B - Définition et étude de deux suites

1.   Soit  n un entier naturel supérieur ou égal à  2.La fonction f  est continue et strictement décroissante sur l’intervalle  [0, 1 ]. On sait alors que pour tout réel  k  de l’intervalle[f(1), f(0)], l’équation  f(x) = k  admet une solution et une seule dans l’intervalle   [0, 1 ]. Maintenant,  f(0) =  1,   f(1) =  0  et

puisque  n  est supérieur ou égal à  2, on a  0  ≤  1

n ≤  1  ou encore  f(1)  ≤

  1

n ≤  f(0). On en déduit que l’équation  f(x) =

  1

nadmet une et une seule solution notée  u n  dans l’intervalle  [0, 1 ].

De même, la fonction   f   est continue et strictement croissante sur   [1, +∞[   et donc pour tout réel   k   de l’intervalle

[f(1),   limx→+∞ f(x)[  c’est-à-dire l’intervalle [0, 1[, l’équation f(x) = k  admet une solution et une seule dans l’intervalle [1, +∞[.

Comme 0  ≤  1

n  < 1, l’équation  f(x) =

  1

n admet une et une seule solution notée  vn  dans l’intervalle  [1, +∞[.

2.   Voir graphique à la fin de l’exercice.

3.   Soit   n   un entier naturel supérieur ou égal à   2. On a   f( u n) =  1

n  et   f( u n+1) =

  1

n + 1. Comme

  1

n + 1  <

  1

n, on a

f( u n+1) < f( u n). Comme  f  est strictement décroissante sur l’intervalle  [0, 1 ] et que  u n  et  u n+1  sont éléments de [0, 1 ], onen déduit que  u n+1  > u n.Ainsi, pour tout entier naturel  n  supérieur ou égal à  2, on a  u n  < u n+1  et donc

la suite  ( u n) est strictement croissante.

De même, pour  n  entier naturel supérieur ou égal à  2  donné,  f( vn+1)  < f( vn)  et puisque  f  est strictement croissante surl’intervalle  [1, +∞[ et que les réels  vn  et  vn+1  sont éléments de cet intervalle, on a  vn+1  < vn.

La suite  ( vn)  est strictement décroissante.

http ://www.maths-france.fr 1   c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.

8/19/2019 BacS Juin2004 Obligatoire Reunion Exo1

http://slidepdf.com/reader/full/bacs-juin2004-obligatoire-reunion-exo1 4/4

4.   La suite ( u n) est croissante et majorée par  1. Donc la suite  ( u n) est convergente. On note  ℓ sa limite. Puisque, pourtout entier naturel  n, on a  0 ≤  u n  ≤ 1, quand  n  tend vers  +∞, on obtient  0 ≤  ℓ  ≤  1.

Pour tout entier naturel supérieur ou égal à  2, on a  f( u n) =  1

n  (∗). La fonction  f  est continue sur   [0, 1 ]   et en particulier

en  ℓ. Par suite, quand  n  tend vers  +∞,  f( u n)  tend vers  f(ℓ). En faisant tendre  n  vers  +∞ dans l’égalité  (∗), on obtientalors f(ℓ) = 0. Mais l’équation  f(x) = 0  admet une solution et une seule dans  [0, 1 ]  à savoir  x  =  1. Par suite,  ℓ =  1.

La suite  ( u n)   est convergente et limn→+∞

 u n  =  1.

De même, la suite  ( vn) est décroissante et minorée par  1. Donc la suite ( vn) converge vers un réel  ℓ ′ de [1, +∞[. En faisant

tendre n vers  +∞ dans l’égalité  f( vn) =  1

n, on obtient  f(ℓ ′) = 0  et donc  ℓ ′ = 1.

La suite  ( vn)   est convergente et limn→+∞

 vn  = 1.

Ainsi,•  la suite  ( u n) est croissante,•  la suite  ( vn) est décroissante,•   limn→+∞

( vn − u n) =  1  − 1  =  0.

On en déduit que

les suites  ( u n) et  ( vn) sont adjacentes.

0 1 2

0

1

 u 2   u 3   u 4   v2 v3 v4

∆

C 

1

2

1

3

14

http ://www.maths-france.fr 2   c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.