Banque d’exercices d’application du programme 2019 de seconde

1 Les nombres (diviseurs, multiples, nombres premiers, décomposition enfacteurs premiers, intervalles, encadrement, distance, ensembles

1.1 Diviseurs, multiples

Rappels de coursDéfinition Soient a et b deux nombres entiers. Le nombre b est un multiple de a s’il existe un entier k tel queb = k ×a.Les nombres a et k sont des diviseurs de b.

Exemple L’égalité 6 = 2×3 fait apparaître que 6 est un multiple de 2 (et de 3) et que 2 et 3 sont des diviseurs de 6.On peut remarquer que ce ne sont pas les seuls puisque 6 = 6×1 = 3×2 = (−6)× (−1) = (−3)× (−2).

Exercice no 1

1. Justifier que 98 est un multiple de 14.

2. Traduire cette propriété avec chacune des expressions «est diviseur de» ; « a pour diviseur» ; «est divisiblepar» ; «a pour multiple».

Exercice no 2Recopier et compléter les phrases suivantes et remplaçant les pointillés par «diviseur» ou «multiple».

1. 350 est un ................................ de 50.

2. 13 est un ................................ de 260.

3. 0 est un ................................ de 89.

4. 1 est un ................................ de 16.

5. 42 est un ................................ de 42.

Exercice no 3

1. Donner tous les diviseurs positifs de 11.

2. Donner tous les diviseurs positifs de 21.

Exercice no 4Déterminer tous les multiples de 9 inférieurs à 50.

Exercice no 5On donne a = 10k et b = 6k, avec k entier.

1. Montrer que a est un multiple de 5.

2. Montrer que b est un multiple de 3.

3. Est-ce que 8 est un diviseur de a +b ?

Exercice no 6On sait que 6 est un diviseur des nombres a et b.

1. Comment peut-on écrire les nombres a et b ?

2. Soit c = a −b. Montrer que 6 est un diviseur de c.3. Soit d = ab. Montrer que 18 est un diviseur de d .

Exercice no 7Soient les nombres a = 4p et b = 5q , avec p et q entiers.

1. Justifier que a est pair.

2. Le nombre b peut-il être pair ?

3. Soit c = ab. Montrer que c est un multiple de 10.

Exercice no 8Soit b un nombre entier. montrer que la somme de b et de deux entiers qui suivent b est un multiple de 3.

Exercice no 9Déterminer un nombre entier inférieur à 1 000, qui est pair, divisible par 5 et 7 et multiple de 13.

Exercice no 10Citer tous les multiples de 7 compris entre 100 et 150.

Exercice no 11Combien y a-t-il de multiples de 17 entre 1 et 100 ?

Exercice no 12 (Logique )

1. Montrer que si a et b sont des multiples de 11 alors a +b est un multiple de 11.2. Énoncer la propriété précédente en termes de diviseurs.

3. Écrire la réciproque de la proposition donnée à la question 1. Est-elle vraie ?

Exercice no 13Soit a un entier multiple de 6 et b un entier multiple de 15.

1. Montrer que a +b est un multiple de 3.2. Montrer que a ×b est un multiple de 90.

Exercice no 14Soient a et b deux entiers. Montrer que si a est un diviseur de b, alors a2 est un diviseur de b2.

Exercice no 15Soit n un entier naturel, on pose a = 2n −7 et b = n +1.

1. Calculer a −2b.2. Soit d un diviseur de a et de b. Montrer que d est un diviseur de a −2b.3. Soit d un diviseur de a et de b. Quelles sont les valeurs possibles de d ?.

Exercice no 16La proposition suivante est-elle vraie ? «Si l’entier a est un diviseur de l’entier b et s’il est aussi un diviseur de l’entierc, alors a2 est un diviseur du produit bc.»

Exercice no 17Montrer que le produit de deux nombres impairs est un nombre impair.

Exercice no 18Montrer que la somme d’un nombre pair et d’un nombre impair est un nombre impair.

Exercice no 19Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3.

Exercice no 20Montrer que tout multiple de 3 est la somme de trois entiers consécutifs.

Exercice no 21Montrer que la somme de deux nombres pairs est un nombre pair.

Exercice no 22Montrer que le produit de deux entiers consécutifs est toujours pair.

Exercice no 23Montrer que le produit de deux nombres pairs est un multiple de 4.

Exercice no 24Montrer que si n est un entier pair, alors l’entier a = n2(n +20) est un multiple de 8.

Exercice no 25Montrer que la somme de deux nombres impairs consécutifs est toujours un multiple de 4.

Exercice no 26Montrer que si n est impair, alors n2 −1 est un multiple de 4.

Exercice no 27Montrer que le cube d’un nombre pair est un multiple de 8.

Exercice no 28 (Logique )

1. Soit un entier a tel que a2 est pair. Montrer que le nombre a est pair.

2. Les trois côtés d’un triangle rectangle sont des nombres entiers. Montrer qu’au moins un de ces nombres estpair.

Piste : raisonner par l’absurde.

Exercice no 29Déterminer le nombre de diviseurs positifs des entiers a = 27 et b = 20.

Exercice no 30Dresser la liste des diviseurs positifs des entiers 36 ; 49 et 63.

Exercice no 31Quel est le nombre de diviseurs positifs de l’entier N = 210 ?

Exercice no 32Dresser la liste des nombres n entiers naturels vérifiant simultanément les conditions suivantes : 600 < n < 800 et nest divisible par 11 et est multiple à la fois de 3 et de 5.

Exercice no 33

1. Donner deux nombres entiers consécutifs premiers.

2. Pourquoi ne peut-on pas trouver trois nombres entiers consécutifs premiers ?

Exercice no 34 (Vrai ou Faux ?)Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses, puis justifier.Soient p et q deux nombres premiers différents et au moins égaux à 3.

1. p +q est un nombre pair.2. p +q est un nombre premier.3. p ×q est un nombre premier.4. p ×q est un nombre impair.

1.2 Nombres premiers, décomposition en produit de facteurs premiers

Exercice no 35Décomposer les nombres suivants en produit de facteurs premiers : 35, 42, 50, 99, 100.

Exercice no 36Un terrain rectangulaire a des côtés entiers et une aire égale à 50 m2.

1. Décomposer 50 en produits de facteurs premiers.

2. En déduire les longueurs possibles des côtés.

Exercice no 37Déterminer si les nombres suivants sont des nombres premiers : 18, 37, 41, 89 et 101.

Exercice no 38Soit p un nombre premier. Le nombre p2 est-il premier ?

Exercice no 39Soit p un nombre premier.

1. Quels sont les diviseurs positifs de p ?

2. Quels sont les diviseurs positifs de p2 ?

Exercice no 40Les nombres suivants sont-ils premiers ? 579 ; 911 ; 1 021 ; 5 743 ; 8 191.

Exercice no 41Déterminer la décomposition en facteurs premiers de 112 ; 360 ; 490 ; 495 ; 1 140.

Exercice no 42Soit n un entier naturel non nul et p = (n +1)(n +3).Montrer que p n’est pas premier.

Exercice no 43Soit n un entier naturel, n supérieur ou égal à 2 et q = (n −1)(n2 +7).Pour quelles valeurs de n le nombre q est-il premier ?

1.3 Ensembles de nombres

Exercice no 44Soit x ∈N. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est fausse ou vraie pour toute valeur entière de x. Sielle est fausse, donner un contre-exemple et donner le plus petit ensemble qui la rende toujours vraie.

1. 2x +1 ∈N2. 2x +1 ∈Q3. 3x −7 ∈N4.

x −62

∈Z

5.x +1p

2∈R

6.p

x ∈QÀ retenir : pour montrer qu’une proposition est fausse, il SUFFIT d’exhiber un contre-exemple. Pour montrer qu’elleest vraie sur un ensemble infini, une infinité d’exemples ne suffit pas.

Exercice no 45Dans chaque cas, trouver, lorsque cela est possible, un nombre x qui remplit les critères indiqués :

1. x ∈Q et x ∉N2. x ∈Q et x ∉Z3. x ∈R et x ∉Q4. x ∈Q et x ∉R

Exercice no 46Parmi les nombres suivants, lesquels sont décimaux ?

3

10; 101 ;

1

6; 0,077 ; −1

5;

π

10; −13

Exercice no 47Parmi les nombres suivants, lesquels sont des nombres rationnels ?

1

10;

2

3;

1p2

; 10 ; −14,58

Exercice no 48

1. Déterminer l’inverse de2

5puis de

3

2.

2. L’inverse d’un nombre décimal non nul est-il un nombre décimal ?

Exercice no 49

Montrer que1

8est un nombre décimal et en déterminer l’écriture sous la forme

a

2p 5qoù a, p et q sont des entiers

naturels.

Exercice no 50Soient a et b deux nombres décimaux.

1. Montrer que a +b est un nombre décimal.2. Le nombre a ×b est-il décimal ?

Exercice no 51

Déterminer un nombre décimal d tel que79

17< d < 80

17.

Exercice no 52

Déterminer un nombre rationnel q tel que11

7< q < 12

7et l’écrire sous forme d’une fraction irréductible.

Exercice no 53

Soient deux nombres a = 34

et b = 23

.

1. (a) Montrer que le nombre a est décimal.

(b) Montrer que le nombre b est un nombre rationnel non décimal.

2. Comparer ces deux nombres.

3. Déterminer un nombre décimal strictement compris entre a et b.

Exercice no 54

1. Justifier que les nombres1

4;

3

25;

7

20et − 11

125sont des nombres décimaux.

2. Soient a un entier et p et q deux entiers naturels.

Monter que le nombrea

2p 5qest décimal.

Exercice no 55

1. Associer à chaque point A, B , C , D et E de la droite graduée un réel.

−3 −2 −1 0 1 2 3D A E O B C

2. Associer aux réels suivants un point de la droite numérique −1 ; 14

;p

3 ;6

7; 1,9.

On choisira comme échelle 2 cm pour une unité.

Exercice no 56On choisira comme échelle 4 cm pour une unité.

Associer aux réels suivants un point de la droite numérique : −4 ; 115

;

p6

2;

10

3et 2,7.

Exercice no 57Pour chacun des nombres donnés, dire à quel(s) ensemble(s) (N, Z, D,Q et R) il appartient.

1. (a) 0,777

(b)7

25

(c) 3−p36(d)

1

6

2. (a)π

4(b) 10−4

(c) −14,6(d)

197

23. (a) 1010

(b) 3,14159

(c)pπ2

(d)

p25p9

Exercice no 58

1. Le nombre 0 est-il irrationnel ?

2. Montrer, en raisonnant par l’absurde, que l’inverse d’un nombre irrationnel est un nombre irrationnel.

1.4 Intervalles, encadrement, distance

Exercice no 59On a représenté sur la droite graduée ci-dessous un ensemble en bleu :

−2 −1 0 1 2 3

1. Écrire cet ensemble I sous la forme d’un intervalle.

2. Trois des nombres réels suivants appartiennent à cet intervalle I : −0,8 ; 1,9 ; 2 ; 53

. Lesquels ?

Exercice no 60Représenter sur une droite graduée les intervalles suivants : I =]−5 ; −1[ et J = [−4 ; +∞[.

Exercice no 61 (Calculatrice )Donner un encadrement d’amplitude 10−5 de

p11.

Exercice no 62 (Calculatrice )Donner un encadrement d’amplitude 10−p des réels donnés pour la valeur de l’entier p précisée dans chaque cas.

1. (a)113

31avec p = 7

(b)1

17avec p = 1

2. (a)

p5

7avec p = 4

(b)89

173avec p = 5

3. (a)3π−7

11avec p = 4

(b)√

5−p5 avec p = 3

Exercice no 63

1. Représenter sur la droite numérique les intervalles I = [0 ; 5] ; J = [−6 ; +∞[ et K =]−2 ; 4[.2. Est-ce que 5 appartient à [0;5] ?

Est-ce que 8 appartient à ]8 ; +∞[ ?Est-ce que −2 appartient à ]−∞ ; −2[ ?Est-ce que −100 appartient à ]−∞ ; −10] ?

Exercice no 64Représenter sur la droite numérique les intervalles I =]−∞ ; 1] ; J =]−2 ; +∞[ et K = [3 ; 5[.

Exercice no 65Recopier et compléter avec le symbole d’appartenance ∈ ou de non appartenance ∉.

1. 3............]−1 ; 8] ;2. −2............]−1 ; 6] ;3. 10−3............[0 ; +∞[ ;4. π............]−3,14 ; 3,15[ ;5. −2............]−∞ ; −2[ ;6. 0............[−p2 ; p2[.

Exercice no 66Dans chaque cas, représenter sur un axe l’ensemble des réels x donné, puis écrire sous la forme d’un intervalle.

1. L’ensemble des réels x supérieurs ou égaux à 3.

2. L’ensemble des réels x strictement compris entre -2 et 4.

3. L’ensemble des réels x strictement inférieur à 1.

4. L’ensemble des réels positifs ou nuls et inférieurs à 5.

Exercice no 67Dans chaque cas, traduire chaque inégalité ou encadrement qui suit sous forme d’appartenance du réel x à un in-tervalle et représenter cet intervalle sur la droite graduée.

1. (a) −5 ≤ x ≤ 1(b) x < 4

(c) x > 72. (a) 1 < x < 2

(b) x ≥ 0,5(c) x ≤ 10−1

3. (a)1

2≤ x < 3

4

(b) x > π2

(c) x

(b) a =π ; r = 1

Exercice no 72Dans chaque cas, déterminer l’ensemble des valeurs du réel x vérifiant l’inégalité donnée.

1. (a) |x −2| ≤ 1(b) |x −7| ≤ 4

2. (a) |x +3| ≤ 1(b) |x +5| ≤ 2

3. (a)

∣∣∣∣x − 12∣∣∣∣≤ 14

(b)

∣∣∣∣x + 23∣∣∣∣≤ 16

4. (a) |x −1| ≤ 10−2(b) |x| ≤ 10−4

Exercice no 73Soient A et B deux points d’abscisse xA et xB d’une droite graduée. Calculer la distance AB dans chacun des cas.

1. xA =−1 et xB = 52. xA = 15 et xB = 73. xA = 7

4et xB =−3

2

4. xA =−p

2 et xB = 1

Exercice no 74Dans chaque cas, déterminer la distance entre les deux nombres réels donnés.

1. 8 et −52. −1,4 et −5,23. 10 et −10

Exercice no 75Recopier et compléter comme dans l’exemple puis écrire sous forme mathématique en utilisant le symbole ⇐⇒.

Exemplex ∈ [1 ; 2] si et seulement si 3x ∈ [3 ; 6].Écriture mathématique : x ∈ [1 ; 2] ⇐⇒ 3x ∈ [1 ; 2].

Démonstration : x ∈ [1 ; 2] ⇐⇒ 1 ≤ x ≤ 2.Multiplier par 3 > 0 les membres d’une inégalité conserve l’ordre.On a donc 1 ≤ x ≤ 2 ⇐⇒ 3 ≤ 3x ≤ 6 soit 3x ∈ [3 ; 6].

1. x ∈ [7 ; 20] si et seulement si 7x ∈ ...........2. x ∈]−1 ; 3] si et seulement si 7−x ∈ ................3. x ∈ [−5 ; 7] si et seulement si 2x +3 ∈ .......................4. x ∈ ................. si et seulement si −2x ∈ [1 ; +∞[5. x ∈ ................. si et seulement si 3−x ∈]−∞ ; 6]6. x ∈ ................. si et seulement si 7+2x ∈ [−1 ; 1]

Exercice no 76On donne ci-dessous le même programme en Scratch et en Python.

1. Que fait ce programme ?

2. Modifier ce programme afin qu’il teste si un nombre appartient à l’intervalle [a ; +∞[ puis à l’intervalle]− ∞ ; a] et enfin à l’intervalle ]−∞ ; a[.

Point Histoire : Le symbole ∞ pour représenter l’infini a été introduit par John Wallis en 1655.

Exercice no 77 (distance entre deux nombres)

1. (a) Déterminer le nombre d’années pendant lesquelles chacun des hommes a vécu : Aristote (384-322 av. J.-C.), Victor Hugo (1802 - 1885).

(b) Le désert de Qumran, près de la mer Morte, a été occupé par les Esséniens de 152 av. J.-C. à 68 ap. J.-C.Combien d’années a duré cette occupation ?

(c) Pythagore a vécu 80 ans et il est mort en 480 av. J.-C. En quelle année est-il né ?

2. (a) On a placé sur la droite numérique d’origine O les points A d’abscisse 5, B d’abscisse 2, C d’abscisse −3 etD d’abscisse −2.Lire sur la graphique les distances B A, BC et C D .

Quelles opérations faut-il faire pour calculer les distances OC , C A et BC ?

(b) Soient E et F deux points de la droite d’abscisses respectives 0,85 et14

3. Calculer les distances BE et BF .

(c) Quelle condition doit vérifier l’abscisse g d’un point G de la droite pour que la distance BG soit égale àg −2 ?

(d) Quelle condition doit vérifier l’abscisse h d’un point H de la droite pour que la distance AH soit égale à5−h ?

(e) Quelle condition doit vérifier l’abscisse x d’un point M de la droite pour que la distance OM soit égale à−x ?

Exercice no 78 (distance entre deux réels)Dans chaque cas, donner la distance entre les deux réels donnés :

1. −2 et −122.

5

3et

7

63. −π et 2π4. −4 et 6.

Exercice no 79On considère les inégalités suivantes : |x −3| ≤ 2 ; |x −3| < 1 ; |x +3| ≤ 2 et |x −2| < 1.Pour chaque inégalité, justifier si elle est vérifiée pour le nombre 2 ou non.

Exercice no 80 (Encadrement avec précision exigée)Trouver deux nombres décimaux a et b tels que a

2 Calcul algébrique

2.1 Développement

Exercice no 82Développez et réduisez :

1. (x +5)22. (x −3)23. −(2x −1)24. 3(4x +1)25. (x −2)(x +3)6. (x +2)(x −3)7. (2x −3)(4x +5)8. (7x −2)(6x −5)9. −3(−4x +1)(5x +6)

10.2

3

(x − 4

3

)(x + 5

3

)

11. 11(2x +9)(4−3x)12. (x +1)3

13. (2x −3)3

14. (4x −1)2(2x +1)2

15. (3x −2)4

16. −5(2x +1)3(4x −3)2

17.

(x + 4

3

)318.

1

4

(−2x − 1

3

)(5x − 1

2

)22.2 Fractions

Réduire au même dénominateur et simplifier.Exemple :

2

x− x

x +1 =2

x× x +1

x +1 −x

x +1 ×x

x= 2x +2−x

2

x(x +1) =−x2 +2x +2

x(x +1)

1.1

x− 1

x −12.

1

x +2 −1

2x −13.

3

x− x

3x −24.

x

x +1 −x +1x +2

5.x

2x +1 −2x +1x +3 −

1

x

Simple distributivité• Étude d’un cas particulier : On considère deux rectangles EF D A et ABC D accolés tels que AD = 3 cm, E A = 2 cmet AB = 5 cm.

2 5

3

A B

CD

E

F

Quelle égalité peut-on écrire entre les aires des rectangles EF D A, ABC D et FC BE .

Calculer les aires des rectangles EF D A, ABC D et FC BE . L’égalité précédemment écrite est-elle vérifiée ?

• Étude du cas général : On reprend la même situation avec AD = k cm, E A = a cm et AB = b cm.

a b

k

A B

CD

E

F

Quelle égalité peut-on écrire entre les aires des rectangles EF D A, ABC D et FC BE .Calculer les aires des rectangles EF D A, ABC D et FC BE . Écrire l’égalité obtenue.

• On admet que quels que soient les nombres a, b et k, on a l’égalité

k(a +b) = ............+ ............

• On considère à présent trois nombres positifs a, b et k avec a ≥ b et on admet l’égalité

k(a −b) = k ×a −k ×b

Interpréter cette égalité en termes d’aire en complétant le schéma ci-dessous (compléter les pointillés par a, b, a−bet k) :

...

... ...

...

A B

CD

E

F

Double distributivitéÉtude générale : Soient a, b, c et d quatre nombres positifs.• Avec des sommesOn considère cinq rectangles conformément à la figure ci-dessous dans laquelle on a posé AH = a, HB = b, AE = cet ED = d .

a b

c

d

A B

CD

E F

G

H

I

1. Donner (en fonction de a, b, c et d) les dimensions (Longueur et largeur) de chacun des rectangles ainsi queson aire.

2. Quelle relation existe entre l’aire du rectangle ABC D et celle des quatre autres rectangles ?

3. Compléter l’égalité :

(a +b)(c +d) = .................+ ...........................+ ..............................+ ..............................

4. Que devient cette égalité si c = a et d = b ?• Avec des différencesOn donne le schéma ci-dessous :

a

b

c

d

A B

CD

E F

G

H

I

1. Proposer deux façons de calculer l’aire du quadrilatère AH I E .

2. Compléter l’égalité :

(a −b)(c −d) = ........................................................................................................

3. Que devient cette égalité si c = a et d = b ?

Double distributivitéUn pâtissier a réalisé un gâteau dans un moule carré de côté a mais n’a pu s’empêcher de le goûter et a amputé legâteau d’une petite part carrée de côté b... Seulement, il veut maintenant glacer le gâteau et doit calculer la surfacede celui-ci. Il fait alors un schéma afin de se ramener à une forme rectangulaire et voilà le schéma qu’il a effectué :

a

b

1. Calculer l’aire de la figure de gauche (de deux façons) et de celle de droite après avoir précisé les dimensionsdu rectangle de droite.

2. Compléter l’égalitéa2 −b2 = (...........− ................)(.............+ .................)

3. Pour a = 20 et b = 3 cm, calculer l’aire de la surface à glacer.4. Dans sa recette, 100 grammes de glaçage permettent de recouvrir 75 cm2.

Quelle masse de glaçage doit-il préparer ?

ApplicationsDévelopper :

1. x(x +5)2. (x −5)(x +3)

Factoriser :

1. x(x +5)−3x2. x2 −253. x2 −24

3 Réponses à certains des exercices autour du calcul algébrique :

Exercice 65

1. (x +5)2 = x2 +10x +252. (x −3)2 = x2 −6x +93. −(2x −1)2 =−4x2 +4x −14. 3(4x +1)2 = 48x2 +24x +35. (x −2)(x +3) = x2 +x −66. (x +2)(x −3) = x2 −x −67. (2x −3)(4x +5) = 8x2 −2x −158. (7x −2)(6x −5) = 42x2 −47x +109. −3(−4x +1)(5x +6) = 60x2 +57x −18

10.2

3

(x − 4

3

)(x + 5

3

)= 2

3x2 + 2

9x − 40

27

11. 11(2x +9)(4−3x) =−66x2 −209x +39612. (x +1)3 = (x +1)× (x +1)2 = x3 +3x2 +3x +113. (2x −3)3 = (2x −3)(2x −3)2 = 8x3 −36x2 +54x −2714. (4x −1)2(2x +1)2 = 64x4 +32x3 −12x2 −4x +115. (3x −2)2 = ((3x −2)2)2 = 81x4 −216x3 +216x2 −96x +1616. −5(2x +1)3(4x −3)2 =−640x5 +600x3 +100x2 −150x −45

17.

(x + 4

3

)3= x3 +4x2 + 16

3x + 64

27

18.1

4

(−2x − 1

3

)(5x − 1

2

)2=−25

2x3 + 5

12x2 + 7

24x − 1

48Exercice 66

1.1

x− 1

x −1 =−1

x(x −1) =−1

x2 −x2.

1

x +2 −1

2x −1 =x −3

(x +2)(2x −1) =x −3

2x2 +3x −23.

3

x− x

3x −2 =−x2 +9x −6

x(3x −2) =−x2 +9x −6

3x2 −2x4.

x

x +1 −x +1x +2 =−

1

(x +1)(x +2) =−1

x2 +3x +15.

x

2x +1 −2x +1x +3 −

1

x= −3x

3 −3x2 −8x −32x3 +7x2 +3x

4 Priorités opératoires ; Natures d’expressions

Calculer (de tête) chacune des expressions suivantes pour x =−3 et en donner la nature (somme, produit)Définition : La nature d’une expression est la dernière opération effectuée.

Rappels :• Soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé donc une différence est une somme (6 - 4 = 6 + (-4)).• Diviser par un nombre non nul, c’est multiplier par son opposé donc une quotient est un produit

(5

7= 5× 1

7

).

1. A = 2x +5 = cette expression est .........................................2. B = 2−5x = cette expression est .........................................3. C =−2x +5 = cette expression est .........................................4. D =−2x −5 = cette expression est .........................................5. E = 2(x +5) = cette expression est .........................................6. F = 2(x −3) = cette expression est .........................................7. G = (4x +1)(−5x −2) = cette expression est .........................................8. H = 3− 2

5×x = cette expression est .........................................

9. I = −2x +35

= cette expression est .........................................10. J = (0x −3)(x +3) = cette expression est .........................................

Pour les plus rapides : reprendre les calculs précédents pour x = 73

.

5 Résolution d’équations

Résoudre les équations suivantes d’inconnue x :

1. 2x +3 = 52. 2x +5 = 33. 2x −3 = 54. 4x +1 =−55. 2x −3 =−56. −2x +3 =−57. (2x −3)(x −5) = 08. 5x −3 = 89. 5(x −3) = 8

10. x2 +1 = 0Le nombre x peut-il être un nombre positif ? Négatif ?Conclusion : ......................................................

6 Calcul fractionnaire

Compléter les pointillés par des nombres entiers les égalités suivantes :

1.6

4= ...

2= 3× ...

2

2.6

4= ...

4+ 2

4= ...+ 1

2

3. 5× 115

−3 = ...

4. 5×(

23

5−3

)= 5×

(23

5−3× ...

5

)= ...

5. 4 :

(11

5−3

)= ...

7 Encadrement, valeurs approchées, comparaison

1. Encadrer le quotient 177 entre deux entiers consécutifs.

2. Donner, sans calculatrice, un encadrement d’amplitude 0,001 de 173 .

3. Comparer, sans calculatrice,p

5 et 115

8 Calculer la longueur x dans chacune des configurations suivantes en préci-sant le théorème utilisé

2

3

x

A

B

C

23

A

B

C

x

AB = 3 ; AC = 2E ∈ [AC ] et AE = xD ∈ [AB ] et AD = 1(ED)//(BC )

A

B

C

D

E

AB = x ; AC = 3E ∈ [AC ] et AE = 1D ∈ [AB ] et AD = 1,62(ED)//(BC )

A

B

C

D

E

1

x

5

CC : demi-cercle de diamètre [AB ]C ∈ [AB ] ; AC = 1 ; C B = 5D ∈C ; (C D) ⊥ (AB) et DC = x

A BC

D

9 Activités en salle info

10 Activité Tableur

Amina, Bertrand et Coralie postulent postulent tous les trois pour un même emploi de 2 ans (24 mois) et ont négociéleur rémunération de la façon suivante :• Amina a accepté d’être payée non pas de façon mensuelle mais pour chaque semaine de travail effectué. Elleaccepte de travailler pour 1 euro la première semaine.La deuxième semaine, son salaire sera doublé par rapport à la première semaine travaillée.La troisième semaine, son salaire sera triplé par rapport à la deuxième semaine travaillée.La quatrième semaine, son salaire sera quadruplé par rapport à la troisième semaine travaillée et ainsi de suite.Calculer à la main les salaires des quatre premières semaines travaillées et en déduire le salaire du premier moistravaillé (on considérera qu’un mois compte 4 semaines).

Semaine 1 : ............. euro ; semaine 2 : ............. euros ; semaine 3 : ............. euros ; semaine 4 : ............. euros.

Mois 1 : ...............euros.

• Bertrand, lui, a négocié un salaire de 1200 euros le premier mois et une augmentation de 100 euros par mois.Calculer à la main le salaire de Bertrand pour ses quatre premiers mois travaillé.

Mois 1 : ............. euro ; Mois 2 : ............. euros ; Mois 3 : ............. euros ; Mois 4 : ............. euros.

• Coralie a accepté d’être payée 800 euros le premier mois mais chaque mois son salaire subira une augmentationde 9% par rapport au mois précédent.Compléter : Augmenter une quantité de 9%, c’est la multiplier par ..............Calculer à la main le salaire de Coralie pour ses quatre premiers mois travaillé.

Mois 1 : ............. euro ; Mois 2 : ............. euros ; Mois 3 : ............. euros ; Mois 4 : ............. euros.

Le patron souhaite embaucher le postulant qui aspire au salaire ni le plus élevé ni le moins élevé et utilise une feuillede calcul telle que celle reproduite ci-dessous :

Compléter les cellules B5, D5 (plus difficile), G4 et J4 puis D29, G26 et J26.Qui sera embauché ?

11 Activité Geogebra : des nombres entiers et des carrés

1. Calculer 12, 22, 32, . . ., 102 puis (−1)2, (−2)2, (−3)2, . . ., (−10)2.2. Ouvrir Geogebra et entrer dans la barre de saisie «y = x2» et placer les points A(1,12), B(2,22), . . . J (10,102)

puis A′(−1,(−1)2), B ′(−2,(−2)2), . . . J ′(−10,(−10)2).3. Relier chacun des points de la courbe d’abscisse positive supérieure ou égale à 2 avec tous les points d’abscisse

négative inférieure ou égale à−2 et chacun des points d’abscisse négative inférieure ou égale à−2 avec tous lespoints d’abscisse positive supérieure ou égale à 2 (autrement dit, tracer [BB ′], [BC ′], [BD ′], . . ., [B J ′], [CC ′]...comme dans la figure ci-dessous.

dont on a fait un zoom ci-dessous :

4. Observer les ordonnées des points en lesquels chacune des segments tracés coupe l’axe des abscisses et es-sayer de trouver une relation entre les abscisses des extrêmités des segments tracés et les ordonnées des pointsen lesquels ils coupent l’axe des ordonnées. Exemples :— pour B(2;4) et C (−3;9), (BC ) coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée ..............— pour B(2;4) et D(−4;14), (BD) coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée ..............— pour B(2;4) et E(−5;25), (BE) coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée ..............

5. Que pouvez-vous dire des ordonnées des points en lesquels aucune des droites tracées ne passe ?

6. Démonstration : Soient m et n deux entiers naturels et M(m,m2) et N (−n,n2) deux points à coordonnées

entières de la courbe tracées. Donner une équation de la droite (M N ) et préciser son ordonnée à l’origine.Conclure.

12 Activité Geobegra

Exercice no 83

1. (a) Construire un triangle ABC.(Utilisez l’outil polygone : ).

(b) Construire G, son centre de gravité (grâce aux outils milieu, droite et intersection).

(c) Construire H, l’orthocentre du triangle ( outils perpendiculaire puis intersection)

(d) Construire O le centre du cercle circonscrit.

(e) Que remarquez-vous avec les points G, H et O ?

2. Construire le cercle circonscrit du triangle ABC.

3. Déplacer le point A afin que les points A, G,H, O soient alignés. Quelle propriété possède le triangle ABC ?Justifier.

4. Déplacer le point A afin que les points G, H, O soient confondus. Quelle propriété possède le triangle ABC ?Justifier.

5. Déplacer le point A afin que les points A et H soient confondus. Quelle propriété possède le triangle ABC ?Justifier.Si deux au moins des points O, G, et H sont distincts, ils déterminent la droite appelée droite d’Euler du triangleABC

Exercice no 84Construire une figure vérifiant les propriétés suivantes, attention, lire tout le texte.

1. Les points B, A, C sont alignés dans cet ordre.

2. C1 est le cercle de diamètre [AB] et de centre I.

3. C2 est le cercle de diamètre [AC] et de centre J.

4. C3 est le cercle de diamètre [BC].

5. La droite (BM) est perpendiculaire à la droite (AM).

6. La droite (CN) est perpendiculaire à la droite (AN).

7. La droite (BP) est perpendiculaire à la droite (PC).

8. Les points B, M, P sont alignés.

9. Les points C, N, P sont alignés.Attention : le point M doit rester mobile

1. Faire bouger les points M, N ou P. Quelle conjecture pouvez-vous émettre sur les droites (IM) et (JN) ?

2. On appelle K le milieu de [MN]. Que remarquez-vous pour les droites (IK) et (KJ). Lorsque M bouge, quelensemble de points décrit K ?

3. Démontrer les conjectures émises. (Indication : pensez au théorème de Thalès !)