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Banque d'exercices pour l'épreuve orale de mathématiquesde la �lière MP des concours communs polytechniques
A cette épreuve, les élèves ont deux exercices à résoudre. Le premier, noté sur 8 points, portesur des notions fondamentales du programme. Il s'agit de questions de cours ou d'exercicesd'applications classiques, �gurant dans la liste ci-jointe.
Cette banque est constituée de 120 énoncés, 60 d'analyse et 60 d'algèbre-géométrie.
Précisions :� Lorsqu'il est demandé de � démontrer �, l'élève doit faire une démonstration de la propriétéindiquée, et ne pas se contenter de faire appel à un résultat direct de cours. Cette remarqueconcerne essentiellement les questions de cours.
� Ces 120 énoncés recouvrent une grande partie du programme. L'étude d'une telle banquepeut donc permettre aux candidats de mieux se préparer, en con�ance, à l'oral bien sûr, maisaussi à l'écrit.
Je tiens à remercier l'ensemble des interrogateurs du concours MP pour leur contribution àl'établissement de cette banque et plus particulièrement, Alain Calvez, Mathieu Fructus, BrunoHarington, Marie-Françoise Lallemand, Antoine LLuel et Jean-Paul Logé.
La contribution de Ludovic d'Estampes a été très importante ; je l'en remercie profondément.
André Antibi,
Coordonnateur de l'oral de mathématiquesau concours commun polytechniques, �lière MP
1
Algèbre et géométrie
2
Exercice 1Soient θ ∈ R et n ∈ N∗ . Décomposez en produit de polynômes irréductibles dans C[X], puisdans R[X] le polynôme :
P = X2n − 2Xn cos (nθ) + 1 .
Exercice 2On considère les polynômes P = 3X4− 9X3 + 7X2− 3X + 2 et Q = X4− 3X3 + 3X2− 3X + 2.
1. Décomposez P et Q en facteurs premiers sur R[X], puis sur C[X] (on pourra calculer lesvaleurs de P et de Q en 1 et en 2).
2. Déterminez le ppcm et le pgcd des polynômes P et Q.
Exercice 3On considère les polynômes de C[X] suivants : P = 2X4− 3X2 + 1 et Q = X3 + 3X2 + 3X + 2.
1. Décomposez en facteurs premiers de P dans C[X] (on pourra calculer les valeurs de P en1 et en -1).
2. Décomposez en facteurs premiers de Q dans C[X] (on pourra calculer la valeur de Q en-2).
3. a) Déduisez des questions 1. et 2. qu'il existe deux polynômes U et V tels que PU +QV = 1.
b) Indiquez une méthode pour déterminer deux polynômes U et V en utilisant l'algo-rithme d'Euclide.
Exercice 4On considère la fraction rationnelle R =
X5 +X4
(X − 2)2(X + 1)2.
1. Décomposez R en éléments simples.
2. Déterminez les primitives de la fonction x 7−→ R(x) sur l'intervalle ]− 1; 2[.
Exercice 5Soit E l'espace vectoriel des polynômes à coe�cients dans K (= R ou C) de degré inférieur ouégal à n et f l'endomorphisme de E dé�ni par : f (P ) = P − P ′ .
1. Démontrez que f est bijectif de deux manières :
a) sans utiliser de matrice de f ,
b) en utilisant une matrice de f .
2. Soit Q ∈ E. Trouvez P tel que f (P ) = Q .Indication : si P ∈ E, quel est le polynôme P (n+1) ?
Exercice 6Soit la matrice A =
(1 22 4
)et f l'endomorphisme deM2 (R) dé�ni par : f (M) = AM.
1. Déterminez Ker f .
2. f est-il surjectif ?
3. Trouvez une base de Kerf et une base de Imf.
3
Exercice 71. Démontrez que si A et B sont deux matrices carrées d'ordre n alors AB et BA ont même
trace.
2. Déduisez-en qu'en dimension �nie toutes les matrices d'un même endomorphisme ontmême trace.
3. Démontrez que si A et B sont semblables alors, pour tout k ∈ N, Ak et Bk ont mêmetrace.
Exercice 8On noteMn (C) l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coe�cients complexes.Pour A = (ai,j)16i6n
16j6n∈Mn (C), on pose : ‖A‖ = sup
16i6n16j6n
|ai,j|.
1. Démontrez que ‖AB‖ 6 n ‖A‖ ‖B‖, puis que, pour tout entier p > 1, ‖Ap‖ 6 np−1 ‖A‖p.
2. Démontrez que, pour toute matrice A ∈ Mn (C), la série∑ Ap
p!est absolument conver-
gente.Est-elle convergente ?
Exercice 9Soit Φ l'endomorphisme de Rn[X] dé�ni par : P (X)
Φ7−→ P (X)− P (X − 1).
Donnez la matrice de Φ dans la base canonique de Rn[X] et déduisez-en Im Φ et Ker Φ.
Exercice 10Soit E un espace vectoriel sur R ou C et f , g deux endomorphismes de E tels que : f ◦ g = Id.
1. Démontrez que : Ker(g ◦ f) = Ker f .
2. Démontrez que : Im(g ◦ f) = Im g.
3. Démontrez que : E = Kerf ⊕ Im g.
Exercice 11Soit un entier n > 1. On considère la matrice carrée d'ordre n à coe�cients réels :
A =
2 −1 0 · · · 0
−1 2 −1. . .
...
0 −1. . . . . . 0
.... . . . . . 2 −1
0 · · · 0 −1 2
Pour n > 1, on désigne par Dn le déterminant de A.
1. Démontrez que Dn+2 = 2Dn+1 −Dn.
2. Déterminez Dn en fonction de n.
3. Justi�ez que la matrice A est diagonalisable. Le réel 0 est-il valeur propre de A ?
4
Exercice 12Soit E un espace vectoriel de dimension n sur R, (ei) une base de E et v1, v2, . . . , vn n vecteursde E.
1. Démontrez qu'il existe un unique endomorphisme f de E tel que,
∀i ∈ {1; 2; . . . ;n}, f(ei) = vi .
2. On note L(E) l'espace vectoriel des endomorphismes de E, etMn(R) l'espace vectoriel desmatrices carrées n×n à coe�cients réels. Pour tout u de L(E), on pose : ϕ(u) = Mat(ei)u(Mat(ei)u désignant la matrice de u dans la base (ei)).
a) Démontrez que l'application ϕ de L(E) dansMn(R) est linéaire et bijective.
b) Déterminez la dimension de l'espace vectoriel L(E).
Exercice 13Soit E un espace vectoriel de dimension n sur R. On note L(E) l'ensemble des endomorphismesde E etMn(R) l'ensemble des matrices carrés n × n à coe�cients réels. On admet que L(E)muni des lois + et ◦ est un anneau, et queMn(R) muni des lois + et × est un anneau.
1. Précisez l'élément neutre pour la loi ◦ dans L(E) et l'élément neutre pour la loi × dansMn(R).
2. (ei) désignant une base de E, on pose, pour tout u de L(E), ϕ(u) = Mat(ei)u (Mat(ei)udésignant la matrice de u dans la base (ei)).
a) Démontrez que ϕ est un isomorphisme d'anneau de L(E) dansMn(R).
b) Démontrez que, pour tout u ∈ L(E), Mat(ei)(u ◦ u ◦ · · · ◦ u︸ ︷︷ ︸n fois
) =(Mat(ei)u
)n.
Exercice 14Soit E un espace vectoriel de dimension n.
1. Soit {e1, e2, . . . , en} une base de E. Démontrez que pour tout i = 2, 3, . . . , n, {e1 + ei, e2, . . . , en}est une base de E.
2. Déterminez tous les endomorphismes de E dont la matrice est diagonale dans toute basede E.
Exercice 15Soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension n.
1. Démontrez que : E = Imf ⊕Kerf =⇒ Imf = Imf 2.
2. a) Démontrez que : Imf = Imf 2 ⇐⇒ Kerf = Kerf 2.
b) Démontrez que : Imf = Imf 2 =⇒ E = Imf ⊕Kerf .
Exercice 16N.B : Les deux questions sont indépendantes.
1. Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et soit f un endomorphisme de E . Onnote L (E) l'espace vectoriel des endomorphismes de E. Démontrez que, dans L (E), la
famille{Id, f, f 2, · · · , fn2
}est liée et déduisez-en que f admet un polynôme annulateur
non identiquement nul.
5
2. Soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension �nie et λ une valeur proprede f .
Démontrez que si P est un polynôme annulateur de f alors : P (λ) = 0.
Exercice 17Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel E sur le corps K (= R ou C). On note K[X]l'ensemble des polynômes à coe�cients dans K.1. Démontrez que :
∀(P,Q) ∈ K[X]×K[X], (PQ)(u) = P (u) ◦Q(u) .
2. a) Démontrez que : ∀(P,Q) ∈ K[X]×K[X], P (u) ◦Q(u) = Q(u) ◦ P (u) .
b) Démontrez que pour tout (P,Q) ∈ K[X]×K[X] :
(P polynôme annulateur de u)=⇒ (PQ polynôme annulateur de u)
3. Soit A =
(−1 −21 2
). Écrivez le polynôme caractéristique de A, puis déduisez-en que le
polynôme R = X4 + 2X3 +X2 − 4X est un polynôme annulateur de A.
Exercice 18Soit E l'ensemble des matrices de la forme M (a, b) =
(a b−b a
)où a et b sont des nombres
réels.
1. Démontrez que E est un sous-espace vectoriel et un sous-anneau de M2 (R). Quelle estsa dimension ?
2. On pose ϕ(a+ ib) = M(a, b). Démontrez que ϕ est un isomorphisme d'espaces vectorielsde C sur E, C étant considéré comme un espace vectoriel de dimension 2 sur R.Est-il un isomorphisme d'anneaux ?
Exercice 19p désigne un entier naturel non nul.
On considère dans Z la relation d'équivalence R dé�nie par : xR y déf.⇐⇒ ∃k ∈ Z tel quex− y = kp.
On note Z/pZ l'ensemble des classes d'équivalence pour cette relation R.1. Quelle est la classe d'équivalence de 0 ? Quelle est celle de p ?
2. Donnez soigneusement la dé�nition de l'addition usuelle et de la multiplication usuelledans Z/pZ.
3. On admet que muni de ces opérations, Z/pZ est un anneau.Démontrez que Z/pZ est un corps si et seulement si p est premier.
Exercice 20On note Sn l'ensemble des permutations de l'ensemble constitué par les n premiers entiers nonnuls {1; 2; 3; . . . ;n}.1. Démontrez que, muni de la loi ◦, Sn est un groupe.
6
2. On note σ l'élément de S8 dé�ni de la manière suivante :(1 2 3 4 5 6 7 85 4 1 7 8 6 2 3
)l'image de chaque terme de la première ligne étant écrit juste en dessous.
a) Démontrez que la permutation σ est égale à la composée de deux cycles que l'onprécisera.
b) On note σn la permutation σ ◦ σ ◦ · · · ◦ σ︸ ︷︷ ︸n fois
.
Déterminez σ12, σ24, σ4 et σ2016.
Exercice 211. u est un endomorphisme d'un K-espace vectoriel E de dimension �nie n et I désigne
l'application identité de E.Rappelez la dé�nition d'une valeur propre puis démontrez que :
(λ valeur propre de u)⇐⇒ (det (u− λI) = 0)
Déduisez-en que u admet au plus n valeurs propres distinctes.
2. Trouvez un endomorphisme de R2 admettant comme valeurs propres 0 et 1 .
Exercice 22Soit la matrice M =
0 a cb 0 cb −a 0
où a, b, c sont des réels.
1. M est-elle diagonalisable dansM3 (R) ?
2. M est-elle diagonalisable dansM3 (C) ?
Exercice 23Soit la matrice A =
1 −1 1−1 1 −11 −1 1
.
1. Démontrez que A est diagonalisable de quatre manières :
a) sans calculs,
b) en calculant directement le déterminant det(A − λI3), où I3 est la matrice identitéd'ordre 3, et en déterminant les sous-espaces propres,
c) en utilisant le théorème du rang,
d) en calculant A2.
2. On suppose que A est la matrice d'un endomorphisme u d'un espace euclidien dans unebase orthonormée.
a) Que peut-on dire de l'endomorphisme u ?
b) Trouvez une base orthonormée dans laquelle la matrice de u est diagonale.
Exercice 24On considère la matrice A =
1 1 a0 2 00 0 a
où a est un nombre réel.
7
1. Quel est le rang de A ? La matrice A est-elle inversible ?
2. A est-elle diagonalisable ?
Exercice 25
Soit A =
0 0 11 0 00 1 0
∈M3 (C) .
1. Déterminez les valeurs propres et les vecteurs propres de A. A est-elle diagonalisable ?
2. Soit (a, b, c) ∈ C3 et B = aI3 + bA + cA2, où I3 désigne la matrice identité d'ordre 3.Déduisez de la question 1. les éléments propres de B.
Exercice 26On considère dans l'espace vectoriel R3 la projection vectorielle f sur le plan d'équation x +
y + z = 0, parallèlement à la droite d d'équationx
1=y
2=z
3.
1. Trouvez simplement une base de R3 dans laquelle la matrice de f est diagonale.
2. Déduisez-en la matrice de f dans la base canonique de R3.
Exercice 27Soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension n, et soit {e1, . . . , en} une basede E.On suppose que f(e1) = f(e2) = · · · = f(en) = v, où v est un vecteur donné de E.f est-il diagonalisable ? (discutez en fonction du vecteur v)
Exercice 281. On pose A =
(2 14 −1
). Déterminez les valeurs propres et les vecteurs propres de A.
2. Déterminez toutes les matrices qui commutent avec la matrice
(3 00 −2
)et déduisez-en
l'ensemble des matrices qui commutent avec A.
Exercice 291. On considère la matrice A =
1 1 −10 2 10 0 3
.
a) Déterminez les valeurs propres de A puis une base de vecteurs propres associés.
b) Déterminez la matrice de passage P de la base initiale à la base de vecteurs propres,puis sa matrice inverse P−1.
2. On considère le système di�érentiel
x′ = x+ y − z + ty′ = 2y + z + 1z′ = 3z
, x, y, z désignant trois fonc-
tions de la variable t, dérivables sur R.Résolvez ce système di�érentiel en utilisant la question 1.
8
Exercice 30On considère la matrice A =
(−1 −41 3
).
1. Démontrez que A n'est pas diagonalisable.
2. On note f l'endomorphisme de R2 canoniquement associé à A. Trouvez une base (v1, v2)
de R2 dans laquelle la matrice de f est de la forme
(a b0 c
).
3. Déduisez-en une méthode de résolution du système di�érentiel
{x′ = −x− 4yy′ = x+ 3y
.
Exercice 31On considère la matrice A =
0 −2 2−3 1 3−1 1 3
.
1. Démontrez que λ = 2 est valeur propre de A et que V =
101
est un vecteur propre
associé.
On admet que A admet deux autres valeurs propres −2 et 4 avec comme vecteurs propres
respectivement associés
110
et
011
.
2. On considère les suites (an)n∈N, (bn)n∈N, (cn)n∈N dé�nies par leurs premiers termes a0, b0, c0
et :
∀n ∈ N,
an+1 = −2bn + 2cnbn+1 = −3an + bn + 3cncn+1 = −an + bn + 3cn
On suppose que a0 = 2, b0 = 2 et c0 = 0.Calculez an, bn et cn en fonction de n.
Exercice 32Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3 et e = (e1, e2, e3) une base de E.On considère la forme quadratique q dé�nie sur E par :
q (v) = x2 + y2 + z2 + 2xz
où v est le vecteur de coordonnées (x, y, z) dans la base e.
1. Quelle est la matrice A de q dans la base e ?
2. Déterminez les valeurs propres et les vecteurs propres de A.
3. Indiquez une méthode pour trouver une base e′ telle que si v a pour coordonnées (X, Y, Z)dans la base e′, alors q (v) soit de la forme αX2 + βY 2 + γZ2.
Exercice 331. Démontrez l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace vectoriel réel muni d'un produit
scalaire.Indication : on considèrera ‖x+ λy‖2 .
2. Dans quel cas a-t-on égalité ?
9
Exercice 34Soit E un espace euclidien et A un sous-espace vectoriel de E.
1. Démontrez que E = A⊕ A⊥.Indication : on admettra le fait que toute famille orthonormale de E peut être complétéeen une base orthonormale de E.
2. Démontrez que(A⊥)⊥
= A.
Exercice 35Soit E un espace euclidien et F,G des sous-espaces vectoriels de E.
1. Démontrez que (F +G)⊥ = F⊥ ∩G⊥.2. Démontrez que (F ∩G)⊥ = F⊥ +G⊥.
Exercice 36Soit E un espace euclidien et u un endomorphisme de E. On note (x|y) le produit scalaire dex et de y.
1. Soit u un endomorphisme de E, tel que : ∀x ∈ E, ||u(x)|| = ||x||.a) Démontrez que : ∀(x, y) ∈ E2 (u(x)|u(y)) = (x|y).
b) Démontrez que u est bijectif.
2. Démontrez que l'ensemble des endomorphismes orthogonaux de E , muni de la loi ◦ , estun groupe.
Exercice 371. Soit h une fonction continue et positive de [a, b] dans R.
Démontrez que :
b∫a
h(x)dx = 0 =⇒ h = 0 .
2. Soit E le R-espace vectoriel des fonctions continues de [a, b] dans R. On pose, pour tout
f et tout g de E, (f |g) =
b∫a
f(x)g(x)dx. Démontrez que l'on dé�nit ainsi un produit
scalaire sur E.
3. Majorez
1∫0
√xe−xdx en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
Exercice 38Soit E l'espace vectoriel des applications continues et 2π-périodiques de R dans R.
1. Démontrez que (f | g) =1
2π
2π∫0
f (t) g (t) dt dé�nit un produit scalaire sur E.
10
2. Soit F le sous-espace vectoriel engendré par f : x 7→ cosx et g : x 7→ cos (2x).
Déterminez le projeté orthogonal sur F de la fonction u : x 7→ sin2 x.
Exercice 39Soient F (R,R) l'espace vectoriel des applications de R dans R, E le sous-espace engendré parles cinq applications :
f1 : x 7→ 1√2, f2 : x 7→ cosx , f3 : x 7→ sinx , f4 : x 7→ cos(2x) , f5 : x 7→ sin(2x) ,
et F le sous-espace vectoriel engendré par f1, f2, f3 : F = Vect (f1, f2, f3).
1. Démontrez que 〈f | g〉 =1
π
π∫−π
f (x) g (x) dx dé�nit un produit scalaire sur E.
2. Véri�ez que f4 et f5 sont unitaires et orthogonaux.
On admettra pour la suite que B = (fi)i=1,...,5 est une base orthonormée de E.
3. Déterminez le sous-espace vectoriel F⊥, orthogonal de F pour ce produit scalaire.
Exercice 40On dé�nit dansM2 (R) ×M2 (R) l'application ϕ (A,A′) = tr (tAA′), où tr (tAA′) désigne latrace du produit de la matrice tA par la matrice A′. On note
F =
{(a b−b a
), (a, b) ∈ R2
}.
On admet que ϕ est un produit scalaire surM2 (R) .
1. Démontrez que F est un sous-espace vectoriel deM2 (R).
2. Déterminez une base de F⊥.
3. Déterminez la projection orthogonale de J =
(1 11 1
)sur F⊥ .
Exercice 41Soit E un espace préhilbertien et F un sous-espace vectoriel de dimension �nie n > 0.
On admet que pour tout x ∈ E, il existe un élément unique y0 de F tel que x−y0 soit orthogonalà F et que la distance de x à F soit égale à ‖x− y0‖.
Si A =
(a bc d
)et A′ =
(a′ b′
c′ d′
), alors on pose 〈A | A′〉 = aa′ + bb′ + cc′ + dd′.
1. Démontrez que 〈· | ·〉 est un produit scalaire surM2 (R).
2. Calculez la distance de la matrice A =
(1 0−1 2
)au sous-espace vectoriel F des matrices
triangulaires supérieures.
Exercice 42E désigne un espace euclidien. On note x|y le produit scalaire de x et de y.
11
1. Démontrez que si f est une forme linéaire sur E, il existe un unique élément a de E telque, pour tout x de E, f(x) = x|a.
2. x0 est un élément non nul de E, tel que ‖x0‖ = 1. On note [x0] la droite vectorielleengendrée par x0 et [x0]⊥ l'orthogonal de [x0].a) Donnez la dé�nition de la projection orthogonale p sur [x0].
b) Si p(x) = λx0, on pose g(x) = λ. Démontrez que g est une forme linéaire sur E etindiquez l'élément b de E tel que, pour tout x de E, p(x) = x|b.
Exercice 43E désigne un espace euclidien. On note x|y le produit scalaire de x et de y.Si u est un endomorphisme de E, on note u∗ l'endomorphisme adjoint de u.
1. a) Si u est un endomorphisme de E, précisez, en justi�ant votre réponse, l'endomor-phisme (u∗)∗.
b) Si u et v sont deux endomorphismes de E, précisez, en justi�ant votre réponse,l'endomorphisme (u ◦ v)∗.
2. a) Soit (ei) une base orthonormale de E. On note A la matrice d'un endomorphisme ude E dans la base (ei) et B la matrice de u∗ dans la base (ei). En justi�ant votreréponse, donnez la relation qui existe entre A et B ?
b) Retrouvez le résultat de la question 1.(a) à l'aide de la question 2.(a).
Exercice 44On considère la matrice A =
−2 −2 1−2 1 −21 −2 −2
.
1. Justi�ez que A est diagonalisable.
2. Déterminez P et D dansM3 (R) telles que : tP = P−1, D est diagonale, et tPAP = D.
Exercice 45Étudiez la courbe dé�nie paramétriquement par
x =
u− 1
u2
y =u2
u+ 1
.
Puis, donnez l'allure de cette courbe.
Exercice 46On considère la courbe dé�nie en coordonnées polaires par : r = 2
√cos 2θ .
1. Étudiez les symétries éventuelles de cette courbe.
2. Donnez l'allure de cette courbe.
3. Précisez la tangente au point de paramètre θ =π
4.
Exercice 47Étudiez au voisinage du point de paramètre t = 1 la courbe dé�nie par :
x =
t∫1
u2 − 1
u2 + 1du , y =
t∫1
u2 − 1
u3 + 1du
Indication : on pourra calculer les dérivées successives de x et y.
12
Exercice 48Dans un repère orthonormé
(O;−→i ,−→j), on considère la courbe d'équation
x2 + 4y2 + 2x− 8y + 1 = 0 .
1. a) Précisez la nature de cette courbe.
b) Tracez cette courbe.
2. Calculez la pente de la tangente en chacun des points d'intersection de la courbe et de
l'axe(O,−→j).
Exercice 49On considère la courbe paramétrée, dé�nie par :
{x = cos3 t ,y = sin3 t
.
1. Étudiez les symétries de cette courbe.
2. Donnez l'allure de cette courbe.
3. Déterminez une équation de la tangente à la courbe, au point de paramètre t =π
6.
Exercice 50On considère la courbe C dé�nie paramétriquement par :
x =
u2 − 1
u
y =u2 + 1
u+ 1
, u > 0.
Donnez l'allure de la courbe C, et précisez la (ou les) asymptote(s) éventuelle(s).
Exercice 51Donnez l'allure de la courbe dé�nie en coordonnées polaires par : r = 2 (cos θ − cos 2θ).
Précisez la tangente à cette courbe au point de paramètre θ = π.
Exercice 52On considère la courbe paramétrée C :
{x = f (t)y = g (t)
, f et g étant deux fonctions de classe C∞
sur un intervalle ouvert I.
1. Expliquez comment on peut étudier la position de C par rapport à sa tangente au voisinagedu point M0 de paramètre t0, avec t0 ∈ I.
2. Appliquez les résultats précédents aux deux courbes suivantes au voisinage du point deparamètre 0 :
C1 :
{x = t3
y = t6et C2 :
{x = t2
y = t4
Retrouvez ces résultats simplement sans utiliser la question 1.
Exercice 531. Donnez une représentation paramétrique, dans un repère orthonormé, du cercle de centre
O et de rayon a > 0. Puis, déterminez le repère de Frénet en chaque point de ce cercle.Précisez la valeur du rayon de courbure.
13
2. Le plan étant rapporté à un repère orthonormé, on considère l'arc paramétré dé�ni par{x = uy = u2 , pour u ∈ [0; +∞[.
Déterminez, au point M de cette courbe correspondant au paramètre u = 1, le repère deFrénet, ainsi que le rayon de courbure.
Exercice 54Soit l'intégrale curviligne I =
∫Γ
ω où
ω = ydx+ xydyetΓ est la courbe fermée composée des portions decourbes comprises entre les deux points d'intersectiondes courbes C1 et C2 d'équations respectives y = x2
et y = x, dans un repère orthonormé.
La courbe Γ étant décrite dans le sens trigonométrique, calculez l'intégrale I :
1. directement,
2. en utilisant la formule de Green-Riemann.
Exercice 55On considère la quadrique (S) d'équation xy+yz = 1 dans un repère orthonormé
(O,−→i ,−→j ,−→k).
1. On note q la forme quadratique associée à (S).
a) Déterminez la matrice de q dans la base(−→i ,−→j ,−→k). On la notera A.
b) Déterminez une base orthonormée (−→u ,−→v ,−→w ) constituée par des vecteurs propres deA.
2. a) On note P la matrice de passage de la base(−→i ,−→j ,−→k)à la base (−→u ,−→v ,−→w ). Ex-
pliquez pourquoi la matrice de q dans la base (−→u ,−→v ,−→w ) est égale à P−1AP .
b) Quelle est la nature de la quadrique (S) ?
Exercice 56Dans R2, on considère les trois normes usuelles p0, p1 et p2 dé�nies ainsi, pour tout (x, y) ∈ R2 :
p0(x, y) =√x2 + y2 , p1(x, y) = |x|+ |y| , p2(x, y) = max(|x|, |y|) .
1. Démontrez que ces trois normes sont équivalentes, sans utiliser le fait que R2 est un espacevectoriel de dimension �nie.
2. On note, pour i ∈ {0, 1, 2}, Bi((0; 0), 1), la boule ouverte de centre (0; 0) et de rayon 1pour la norme pi. (O,
−→i ,−→j ) désigne un repère orthonormal du plan.
Pour chaque i ∈ {0, 1, 2}, déterminez l'ensemble Ei des points M du plan dont les coor-données (x, y) dans le repère (O,
−→i ,−→j ) sont telles que (x, y) ∈ Bi((0; 0), 1).
Exercice 57On considère la similitude directe s d'écriture complexe, dans un repère orthonormal
(O,−→i ,−→j):
z′ = (i− 1)z + 2− i.1. Déterminez le centre, le rapport et l'angle de cette similitude.
2. On considère dans le plan complexe les points A d'a�xe i, B d'a�xe −1 et C d'a�xe −i.
14
a) Déterminez les points A′, B′ et C ′, images respectives de A, B et C par la similitudes.
b) Quel est la valeur de l'angle A′B′C ′ ? de la longueur A′C ′ ? de l'aire du triangleA′B′C ′ ?
Exercice 581. On considère le système
x+ y + z = 1x+ y + 2z = 02x− y − z = −1x− 2y + z = m
où m désigne un réel.
Démontrez qu'il existe une unique valeur m0 de m pour laquelle ce système admet unesolution unique et donnez cette solution.
2. Dans l'espace rapporté à un repère(O,−→i ,−→j ,−→k), on considère la droite d de représenta-
tion paramétrique
x = uy = 2 + uz = −1 + u
et la droite d′ de représentation paramétrique
x = ty = 2− tz = −1
.
a) Démontrez que d et d′ sont concourantes.
b) Démontrez que d peut être dé�nie comme intersection des deux plans d'équationsx + y + z = 1 et x + y + 2z = 0 et que d′ peut être dé�nie comme intersection desdeux plans d'équations 2x− y − z = −1 et x− 2y + z = −5.Déduisez-en le résultat de la question 1.
Exercice 59On considère dans le plan une droite d et un point F non situé sur d. On suppose que la distancedu point F à d est égale à 1.
Déterminez, en utilisant un repère orthonormé judicieusement choisi, que l'ensemble des points
M du plan tels queMF
MH=
1
2est une conique, H désignant le projeté orthogonal de M sur d.
Déterminez la nature et une équation réduite de cette conique et donnez l'allure de cette courbe.
Exercice 60Soit dans l'espace une sphère de centre O et de rayon R, et un point A non situé sur la sphère.On note d la distance OA. Une droite ∆ passant par A coupe la sphère en P et Q.
Exprimez le produit AP×AQ en fonction de d et de R, en utilisant, dans un repère orthonorméjudicieusement choisi, une équation de la sphère et une représentation paramétrique de ∆.
15
Analyse
16
Exercice 11. On considère deux suites numériques (un)n∈N et (vn)n∈N telles que un ∼ vn. Démontrez
que un et vn sont de même signe à partir d'un certain rang.
2. Déterminez le signe au voisinage de l'in�ni de : un = sh
(1
n
)− tan
(1
n
).
Exercice 2On considère dans R les deux suites (un) et (vn) dé�nies par :
un =n∑i=0
1
i!et vn = un +
1
n!.
1. Démontrez que ces deux suites sont adjacentes.
2. On admet que limn→+∞
un = e. Démontrez que e est irrationnel.
Indication : on pourra raisonner par l'absurde et supposer que e =p
qoù p et q sont deux
entiers naturels.
Exercice 31. Pour une suite de réels (un), énoncez le critère de Cauchy.
2. Soit f une fonction dérivable de ]0; 1] dans R telle que : ∀x ∈]0; 1], |f ′(x)| ≤ 1.
On pose, pour tout entier naturel n non nul, Un = f
(1
n
). Démontrez, en utilisant le
critère de Cauchy, que cette suite converge.
Exercice 41. Déterminez le développement limité à l'ordre 5 de la fonction f : x 7→ cosx
1− x.
2. Donnez, pour k ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}, la valeur de f (k)(0).
Exercice 5On pose f(x) =
1
(x+ 1)(3− x).
1. Décomposez f(x) en éléments simples et déduisez-en les primitives de f sur l'intervalle]3; +∞[.
2. Déterminez le développement en série entière en 0 de la fonction f et précisez le rayon deconvergence.
3. Déterminez le développement limité à l'ordre 5 en 0 de la fonction f .
Exercice 61. Donnez l'idée de la démonstration de la formule de Leibniz, concernant la dérivée nème
d'un produit de fonctions.
2. On pose f(x) =e2x
1 + xpour x > −1. Calculez f (n) (x) pour tout n ∈ N.
17
Exercice 7I désigne un intervalle de R.1. Donnez la dé�nition d'une fonction convexe dé�nie sur I, à valeurs réelles.
2. Soit f une fonction convexe de I dans R. Démontrez la propriété suivante, où n désigne un
entier supérieur ou égal à 3 : Si λ1, λ2, . . . , λn sont des nombres positifs tels quen∑i=1
λi = 1
et si x1, x2, . . . , xn appartiennent à I, alors
f
(n∑i=1
λixi
)6
n∑i=1
λif(xi) .
Indication : on pourra remarquer quen∑i=1
λixi =
(1−
n∑i=3
λi
)λ1x1 + λ2x2
1−n∑i=3
λi
+n∑i=3
λixi .
3. Déduisez de ce qui précède, en utilisant la fonction ln, que pour tout entier n > 1 et pourtous x1, x2, . . . , xn ∈ R∗+, on a l'inégalité :
(x1x2 · · · xn)1n 6
x1 + x2 + · · ·+ xnn
.
Exercice 8Soit f une fonction de [a; b] dans R, continue sur [a; b]. On suppose que f est dérivable sur ]a; b[,sauf peut-être en un point x0 de ]a; b[.
1. Démontrez que si la fonction f ′ admet une limite en x0, alors la fonction f est dérivableen x0 et f ′(x0) = lim
x→x0f ′(x).
2. Démontrez que la réciproque de la propriété de la question 1 est fausse.
Indication : on pourra considérer la fonction g dé�nie par : g(x) = x2 sin1
xsi x 6= 0 et
g(0) = 0.
Exercice 9Soit f une fonction numérique continue sur [0; +∞[ telle que f a une limite �nie l quandn→ +∞.
1. Écrivez la dé�nition de : � limx→+∞
f(x) = l� et de : �f uniformément continue sur [0; +∞[�.
2. Démontrez que f est uniformément continue sur [0; +∞[.
Exercice 101. Démontrez que, dans un espace vectoriel normé complet, toute série absolument conver-
gente est convergente.
2. Mn (R) est-il complet ?
Exercice 11Étudiez la série de terme général un =
1
n (lnn)αoù n > 2 et α ∈ R.
Indication : on distinguera le cas α 6 0 et le cas α > 0.
18
Exercice 12Soit (un)n∈N une suite de réels strictement positifs et l un réel positif strictement inférieur à 1.
1. Démontrez que si limn→+∞
un+1
un= l, alors la série
∑un converge.
Indication : écrivez judicieusement la dé�nition de limn→+∞
un+1
un= l puis majorez, pour n
assez grand, un par le terme général d'une suite géométrique.
2. Quelle est la nature de la série∑ n
(3n+ 1)!?
Exercice 131. Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites de nombres réels positifs. Montrez que :
un ∼ vn =⇒∑
un et∑
vn sont de même nature.
2. Étudiez la convergence de la série∑ (i− 1) sin
(1n
)√n− 1
.
(i est ici le nombre complexe de carré égal à −1)
Exercice 14Soit (un)n∈N une suite décroissante positive de limite nulle.
1. Démontrez que la série∑
(−1)k uk est convergente.
Indication : on pourra considérer (S2n)n∈N et (S2n+1)n∈N avec Sn =n∑k=0
(−1)k uk.
2. Indiquez un majorant du reste de cette série. Démontrez ce résultat.
Exercice 15Soit X un ensemble , (fn)n∈N une suite de fonctions de X dans C et f une fonction de X dansC.
1. On suppose que : (∀x ∈ X) (∀n ∈ N) |fn (x)− f (x)| 6 αn où (αn)n∈N est une suite deréels telle que lim
n→+∞αn = 0. Démontrez que la suite (fn)n∈N converge uniformément vers
f sur X.
2. La suite (zn)n∈N converge-t-elle uniformément dans le disque ouvert D(0, 1
2
)de centre 0
et de rayon 12?
Converge-t-elle uniformément dans le disque ouvert D (0, 1) de centre 0 et de rayon 1 ?
Exercice 16On pose fn(x) =
n√πe−n
2x2 .
1. Étudiez la convergence simple de la suite de fonctions (fn)n∈N.
2. a) Démontrez que, pour tout a > 0, cette suite converge uniformément sur les intervalles]−∞;−a] et [a; +∞[.
b) Converge-t-elle uniformément sur ]0,+∞[ ?Indication : on pourra considérer fn
(1n
).
19
Exercice 17On pose fn (x) = (x2 + 1)
nex + xe−x
n+ x.
1. Démontrez que la suite de fonctions (fn)n∈N converge uniformément sur [0, 1].
2. Calculez limn→+∞
1∫0
(x2 + 1
) nex + xe−x
n+ xdx.
Exercice 181. Soit X une partie de R, (fn)n∈N une suite de fonctions de X dans R convergeant simple-
ment vers une fonction f . On suppose qu'il existe une suite (xn)n∈N d'éléments de X telleque la suite (fn(xn)− f (xn))n∈N ne tend pas vers 0.
Démontrez que la suite de fonctions (fn)n∈N ne converge pas uniformément vers f sur X.
2. Pour tout x ∈ R, on pose fn(x) =sin (nx)
1 + n2x2.
a) Étudiez la convergence simple de la suite (fn)n∈N.
b) Étudiez la convergence uniforme de la suite (fn)n∈N sur [a,+∞[ (avec a > 0) puissur ]0,+∞[.
Exercice 191. Soit (fn) une suite d'applications de [a, b] dans R.
On suppose que la suite (fn) converge uniformément sur [a, b] vers une application f , etque, pour tout n ∈ N, fn est continue en x0, avec x0 ∈ [a, b].Démontrez que f est continue en x0.
2. On pose, pour tout x ∈ [0; 1], gn(x) = xn. La suite (gn) converge-t-elle uniformément sur[0; 1] ?
Exercice 201. On note E l'espace vectoriel des applications bornées de X dans C, X désignant un
ensemble non vide quelconque.On pose, pour tout f de E, ‖f‖∞ = sup
x∈X|f(x)|.
Démontrez succinctement que l'application f 7→ ‖f‖∞ est une norme sur E.
2. Soit (gn) une suite d'applications de X dans C, X désignant un ensemble non vide quel-conque. On suppose que, pout tout n ∈ N, gn est bornée et que la suite (gn) convergeuniformément sur X vers g.Démontrez que l'application g est bornée.
Exercice 211. Soit (fn)n∈N une suite de fonctions continues sur [a, b], à valeurs réelles. Démontrez que si
la suite (fn)n∈N converge uniformément vers f , alors la suite
(∫ b
a
fn (x) dx
)n∈N
converge
vers∫ b
a
f (x) dx.
20
2. Justi�ez comment ce résultat peut être utilisé dans le cas des séries de fonctions puisdémontrez que : ∫ 1
2
0
(+∞∑n=0
xn
)dx =
+∞∑n=1
1
n2n.
Exercice 221. Démontrez que toute série de fonctions normalement convergente sur X est uniformément
convergente sur X.
2. La série de fonctions∑ n2
n!zn est-elle uniformément convergente sur le disque fermé de
centre 0 et de rayon R ∈ R∗+ ?
Exercice 23On considère la série de fonctions de terme général un dé�nie par :
∀n ∈ N∗ ∀x ∈ [0, 1] un (x) = ln(
1 +x
n
)− x
n.
On pose, lorsque la série converge, S(x) =+∞∑n=1
[ln(
1 +x
n
)− x
n
].
1. Démontrez que S est dérivable sur [0, 1].
2. Calculez S ′(1).Indication : pensez à décomposer une fraction rationnelle en éléments simples.
Exercice 24Soit A ⊂ C et (fn)n∈N une suite de fonctions de A dans C.
1. Démontrez l'implication :(la série de fonctions
∑fn converge uniformément sur A
)⇓(
la suite de fonctions (fn)n∈N converge uniformément vers 0 sur A)
2. La série entière∑
zn est-elle uniformément convergente sur le disque ouvert de centre 0
et de rayon 1 ?
Exercice 25On considère la série de fonctions
∑ (−1)n
nxn, x désignant un réel.
1. Étudiez la simple convergence de cette série.On note D l'ensemble des x où cette série converge, et S(x) la somme de cette série.
2. a) Étudiez la convergence normale puis la convergence uniforme de cette série sur D.
b) La fonction S est-elle continue sur D ?
Exercice 261. Démontrez que la série
∑ zn
n!est absolument convergente pour tout z ∈ C.
21
2. On pose, pour tout z ∈ C, f (z) =+∞∑n=0
zn
n!.
Démontrez que : f (z)× f (z′) = f (z + z′), sans utiliser le fait que f (z) = ez.
3. Déduisez-en que : ∀z ∈ C, f (z) 6= 0 et1
f (z)= f (−z).
Exercice 27Soit
∑anz
n une série entière de rayon de convergence R > 0.
1. Démontrez que cette série converge uniformément sur tout disque fermé de centre 0 et derayon r tel que 0 6 r < R.
2. Démontrez que la fonction z 7−→+∞∑n=0
anzn est continue en tout point du disque ouvert de
convergence.
Exercice 28Calculez le rayon de convergence de chacune des séries entières suivantes :
1.∑
nαzn (α ∈ R).
2.∑
cos
(2nπ
3
)xn.
Exercice 291. Démontrez que si |an| ∼ |bn| alors les séries entières
∑anz
n et∑
bnzn ont même rayon
de convergence.
2. Trouvez le rayon de convergence de la série entière∑ inn2
n2 + 1zn (où i2 = −1).
Exercice 301. Soit (an)n∈N une suite bornée telle que la série
∑an diverge. Quel est le rayon de con-
vergence de la série entière∑
anzn ?
2. Quel est le rayon de convergence de la série entière∑
cos(nπ
2
)zn ?
Exercice 311. Que savez-vous du rayon de convergence de la somme de deux séries entières (on ne
demande pas de démonstration) ?
2. Développez en série entière au voisinage de 0, en précisant le rayon, la fonction f : x 7−→ln (1 + x) + ln (1− 2x) .
La série obtenue converge-t-elle pour x =1
4? x =
1
2? Si oui quelle est sa somme ?
Exercice 32Soit (an)n∈N une suite complexe telle que la suite
(|an+1||an|
)n∈N
admet une limite.
22
1. Démontrez que les séries entières∑
anxn et
∑nanx
n−1 ont le même rayon de conver-gence.On le note R.
2. Démontrez que la fonction x 7−→+∞∑n=0
anxn est dérivable sur l'intervalle ]−R,R[.
Exercice 33Déterminez le développement en série entière à l'origine de la fonction f(x) = ln
(1 + x
1− x
)en
précisant son rayon de convergence.
Exercice 341. Déterminez le rayon de convergence de la série entière
∑ xn
(2n)!.
On pose S(x) =+∞∑n=0
xn
(2n)!.
2. Déterminez le développement en série entière en 0 de la fonction x 7→ ch(x), et précisezle rayon de convergence.
3. a) Déterminez S(x).
b) On considère la fonction f dé�nie sur R par :
f(0) = 1, f(x) = ch√x pour x > 0, f(x) = cos
√−x pour x < 0 .
Démontrez que f est de classe C∞ sur R.
Exercice 35On considère la fonction f de R dans R, de période 2π , dé�nie ainsi :
f(x) = x sur ]− π, π[ et f(−π) = 0 .
1. La série de Fourier de f converge-t-elle vers f(x) en tout point x de R ?
2. Déterminez la série de Fourier de f .
Exercice 36Soit f la fonction 2π-périodique sur R telle que : ∀t ∈ [0; 2π[, f(t) = t2.
1. Expliquez pourquoi, pour tout réel t, la série de Fourier de f converge, et précisez salimite.
2. Déterminez la série de Fourier de f , puis déduisez-en la somme de la série :∑n>1
1
n2.
Exercice 37Soit f la fonction numérique 2π-périodique dé�nie par : ∀x ∈ [−π; π[, f(x) = x2.
1. a) Expliquez pourquoi la série de Fourier de f converge sur R. Précisez la somme decette série.
b) La série de Fourier de f converge-t-elle normalement sur R ?
23
2. a) Déterminez la série de Fourier de f .
b) Déduisez-en la somme de la série∑n>1
(−1)n
n2.
Exercice 381. Démontrez que pour tout entier n, la fonction t 7−→ 1
1 + t2 + tne−test intégrable sur
[0,+∞[.
2. On pose un =
∫ +∞
0
dt1 + t2 + tne−t
. Calculez limn→+∞
un.
Exercice 39Pour tout n > 1, on pose In =
∫ +∞
0
(−1
1 + t2
)ndt.
1. Justi�ez que In est bien dé�nie.
2. Démontrez que (−1)n In décroît et déterminez sa limite.
3. La série∑
In est-elle convergente ?
Exercice 40On pose fn (x) =
e−x
1 + n2x2et pour tout n ∈ N un =
∫ 1
0
fn (x) dx.
1. Étudiez la convergence simple sur [0, 1] de la suite de fonctions (fn)n∈N, puis l'uniformeconvergence sur [0, 1]
2. Trouvez la limite de la suite (un)n∈N .
Exercice 41N.B : les deux questions sont indépendantes.
1. La fonction x 7−→ lnx
1 + x2est-elle intégrable sur ]0,+∞[ ?
2. La fonction x 7−→ e−x√x− 1
est-elle intégrable sur ]1,+∞[ ?
Exercice 42On pose, pour tout x de ]0; +∞[ et pour tout t de [0; +∞[ :
f(t, x) = e−ttx−1 .
1. Démontrez que la fonction t 7→ f(t, x) est intégrable sur [0; +∞[.
On pose, pour x ∈]0; +∞[,Γ(x) =
∫ +∞
0
e−ttx−1dt.
2. Démontrez que, pour tout x de ]0; +∞[, Γ(x+ 1) = xΓ(x).
3. Démontrez que Γ est de classe C1 et exprimez Γ ′(x) sous forme d'intégrale.
Exercice 431. Énoncez le théorème de dérivation sous le signe intégrale.
24
2. Démontrez que la fonction f : x 7−→+∞∫0
e−t2
cos (xt) dt est de classe C1 sur R.
3. Trouvez une équation di�érentielle linéaire d'ordre 1 dont f est solution.
Exercice 44Calculez l'intégrale double
I =
∫∫D
√x2 + y2 dxdy
où D est dé�ni par : x2 + y2 − 2y > 0 ; x2 + y2 − 1 6 0 ; x > 0 ; y > 0.
Exercice 451. Démontrez que la fonction x 7→ e−x
2est intégrable sur [0; +∞[.
2. Pour chaque nombre r > 0, on note Cr le carré [0; r]× [0; r] et Dr l'ensemble dé�ni par :x2 + y2 6 r2, x > 0, y > 0.
a) Quelle relation y a-t-il entre∫∫
Cr
e−(x2+y2)dxdy et∫ r
0
e−t2
dt ?
b) Calculez en fonction de r l'intégrale double∫∫
Dr
e−(x2+y2)dxdy.
c) Déduisez de ce qui précède la valeur de l'intégrale∫ +∞
0
e−x2
dx.
Indication : on pourra remarquer que Dr ⊂ Cr ⊂ D2r .
Exercice 46Résolvez sur l'intervalle ]1,+∞[ l'équation di�érentielle : y′ +
x
1− x2y = 2x.
Exercice 47Résolvez sur R l'équation di�érentielle : y′′+ y = cosx en utilisant la méthode de variation desconstantes.
Exercice 48Toute fonction f de C dans C peut être écrite, pour tout z = x + iy ∈ C, sous la formef(z) = u(x, y) + iv(x, y), u et v désignant deux fonctions de R2 dans R.On se propose de trouver, s'il en existe, des fonctions f satisfaisant aux conditions suivantes :
C1. Les fonctions u et v sont de classe C∞ sur R2.
C2. Pour tout (x, y) de R2,∂u
∂x(x, y) =
∂v
∂y(x, y) et
∂u
∂y(x, y) = −∂v
∂x(x, y).
1. Démontrez que, si u et v existent, alors, pour tout (x, y) de R2 :
∂2u
∂x2(x, y) +
∂2u
∂y2(x, y) = 0 et
∂2v
∂x2(x, y) +
∂2v
∂y2(x, y) = 0 .
2. On suppose que u(x, y) = x3 − 3xy2 + 2x2 − 2y2 + 3x.
a) Trouvez les fonctions v telles que les conditions C1 et C2 soient satisfaites.
25
b) Démontrez qu'il existe une fonction f = u+iv unique telle que f(0) = 0 et explicitezf(z) en fonction de z.
c) Pour cette fonction f , construisez dans le plan complexe rapporté à un repère or-thonormé, le point A d'a�xe f(i).
Exercice 49Soit l'équation di�érentielle : x(x− 1)y′′ + 3xy′ + y = 0.
1. Trouvez les solutions de cette équation développables en série entière à l'origine. Déter-minez la somme des séries entières obtenues.
2. Indiquez une méthode pour trouver toutes les solutions de l'équation di�érentielle surchacun des intervalles ]0; 1[, ]−∞; 0[ et ]1; +∞[.
Exercice 50On pose f (x, y) =
xy√x2 + y2
et f (0, 0) = 0.
1. Démontrez que f est continue sur R2.
2. Démontrez que f admet des dérivées partielles en tout point de R2.
Exercice 511. Étudiez les extrêma de la fonction dé�nie par : f (x, y) =
√4− x2 − y2 en utilisant la
méthode générale de recherche d'extrêma d'une fonction de 2 variables.
2. Retrouvez géométriquement le résultat précédent.Indication : quelle est la surface d'équation z =
√4− x2 − y2 ?
Exercice 521. Soit A une partie non vide d'un espace vectoriel normé E.
Démontrez que : x ∈ A⇐⇒ ∃(xn)n∈N telle que ∀n ∈ N xn ∈ A, et limn→+∞
xn = x.
2. Démontrez que si A est un sous-espace vectoriel de E, alors A est un sous-espace vectorielde E.
Exercice 53E et F désignent deux espaces vectoriels normés.
1. Soient f une application de E dans F et a un point de E.Démontrez que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
P1. f est continue en a.
P2. Pour toute suite (xn) d'éléments de E telle que limn→+∞
xn = a, limn→+∞
f(xn) = f(a).
2. Soit A une partie dense d'un sous-espace vectoriel normé E, et soient f et g deux appli-cations continues de E dans F , F désignant un espace vectoriel normé.Démontrez que si, pour tout x ∈ A, f(x) = g(x), alors f = g.
Exercice 54E et F désignent deux espaces vectoriels normés.
26
1. A est un sous-ensemble compact de E, et f une fonction de E dans F .Démontrez que si f est continue sur A, alors f(A) est un sous-ensemble compact de F .
2. On suppose que g est une fonction continue de E dans C.Démontrez que si A est un sous-ensemble compact de E, alors :
a) g(A) est une partie bornée de C ;
b) ∃x0 ∈ A tel que supx∈A
∣∣g(x)∣∣ =
∣∣g(x0)∣∣.
Exercice 55Soit E un espace normé complet et soit A un sous-ensemble de E.
1. Démontrez que : A complet ⇐⇒ A fermé.
2. Pour chacun des sous-ensembles suivants de R, dites s'il est complet ou non, en justi�antvotre réponse :
a) ]0; 1]
b) [−2; 2] ∪ [3; +∞[
c) ]0; 1[∪ ]−∞; 2]
Exercice 56Soient E,F deux espaces vectoriels normés sur le corps R.
1. Démontrez que si f est une application linéaire de E dans F , alors les propriétés suivantessont deux à deux équivalentes :
P1. f est continue sur E.
P2. f est continue en 0.
P3. ∃k > 0 tel que ∀x ∈ E, ‖f(x)‖ 6 k ‖x‖.
2. Soit E l'espace vectoriel des applications linéaires et continues de [0; 1] dans R muni dela norme dé�nie par : ‖f‖ = sup
x∈[0;1]
|f(x)| .
On considère l'application ϕ de E dans R dé�nie par : ϕ(f) =
∫ 1
0
f(t)dt.
Démontrez que ϕ est linéaire et continue.
Exercice 57On note E l'espace vectoriel des applications continues de [0; 1] dans R. On pose, pour tout fde E :
p∞(f) = supx∈[0;1]
|f(x)| et p1(f) =
∫ 1
0
|f(x)|dx .
1. a) Démontrez succinctement que p∞ et p1 sont deux normes sur E.
b) Démontrez qu'il existe k > 0 tel que, pour tout f de E, p1(f) ≤ kp∞(f).
c) Démontrez que tout ouvert pour la norme p1 est un ouvert pour la norme p∞.
2. Démontrez que les normes p1 et p∞ ne sont pas équivalentes.
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Exercice 58On note R[X] l'espace vectoriel des polynômes à coe�cients réels. Pour tout polynôme P =n∑i=0
aiXi, n désignant le degré de P , on pose :
p1(P ) =n∑i=0
|ai| et p2(P ) = max0≤i≤n
|ai| .
1. a) Démontrez succinctement que p1 et p2 sont des normes sur R[X].
b) Démontrez que tout ouvert pour la norme p2 est un ouvert pour la norme p1.
c) Démontrez que les normes p1 et p2 ne sont pas équivalentes.
2. On note Rk[X] le sous-espace vectoriel de R[X] constitué par les polynômes de degréinférieur ou égal à k. On note p′1 la restriction de p1 à Rk[X] et p′2 la restriction de p2 àRk[X].Les normes p′1 et p′2 sont-elles équivalentes ?
Exercice 59On note l2 l'ensemble des suites x = (xn) de nombres complexes telles que la série
∑|xn|2
converge.
1. Démontrez que l2 est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des suites de nombrescomplexes.
2. a) Démontrez que pour x = (xn) ∈ l2 et y = (yn) ∈ l2, la série∑xnyn converge.
On pose x|y =∑+∞
n=0 xnyn.
b) Démontrez que l'on dé�nit ainsi un produit scalaire dans l2.
3. On suppose que l2 est muni de ce produit scalaire et de la norme associée.Soit n ∈ N. Pour tout x = (xn) ∈ l2, on pose ϕ(x) = xn. Démontrez que ϕ est uneapplication linéaire et continue de l2 dans C et calculez ||ϕ||, où ||ϕ|| désigne la normeusuelle dans l'espace vectoriel des applications linéaires et continues de l2 dans C.
Exercice 60Soit A une algèbre normée de dimension �nie ayant e pour élément unité.
1. Soit u un élément de A tel que ‖u‖ < 1.
a) Démontrez que la série∑
un est convergente.
b) Démontrez que (e− u) est inversible et que (e− u)−1 =+∞∑n=0
un.
2. Démontrez que, pour tout u de A, la série∑ un
n!converge.
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