Banque d'exercices pour le second tour

BAC ES

Épreuve de Mathématiques du second groupe du Baccalauréat de la série ES

Durée : 1 h 30 min

Épreuve sans calculatrice

Composition du sujet :

• 16 items notés sur 16 points (1 point par item).

• Un exercice noté sur 4 points issu d'une banque de 50 exercices publiée en début d'année.

Pour le BAC 2017, voici la banque des 50 exercices

Cette liste des 50 exercices est publique et doit être connue de tous les candidats.

Inspecteur de mathématiquesMOHAMED ABDO ALI

2

Term

ina

le E

SExercices pour le second tour - BAC ES

Chapitre 1 : Suites et évolutions

1 Répondre à chacune des propositions suivantes par vrai ou faux. Aucune justi� cation n'est demandée.1. Un taux d'évolution moyen de + 20 % sur 5 ans

correspond à taux d'évolution global de 100 %.2. Le prix d'un article augmente de 100 %. Cela

signi� e le prix de l'article a doublé.3. L'indice de base 100 du prix du gasoil passe de

120 à 130. Cela signi� e que le prix du gasoil a augmenté de 10 %.

4. Le prix d'un article augmente globalement de 10 % durant 5 ans. Cela signi� e que sur cette période le taux d'évolution moyen du prix de cet article est de 2 %.

2 Depuis son embauche en mars 2016, un ouvrier percevait un salaire mensuel de 80 000 DJF. Satisfait de ses prestations, son patron décide de lui accorder une augmentation de salaire à raison de 2 % par an à partir du 1er janvier 2017. On note un le salaire mensuel de cet ouvrier en (2016 + n). On a alors : u0 = 80 000.

1. Calculer les termes u1 et u2 puis interpréter les résultats obtenus.

2. a. Justi� er que pour tout n ∊ N, on a la relation :

un + 1 = 1,02 un .b. Exprimer un en fonction de n.

3. Déterminer le salaire de l’ouvrier en 2020 (On donnera le résultat arrondi l'unité).

4. L’ouvrier souhaite connaître l’année à partir de laquelle son salaire dépassera 100 000 DJF. Quelle inéquation doit-il alors résoudre ?

3 Le 1er janvier 2015, Mlle Asma a placé la somme de 2 000 000 DJF sur un compte à intérêts composés au taux annuel de 6 %. On note un le capital dont dispose Mlle Asma en (2015 + n).On a alors : u0 = 2 000 000.

1. a. Véri� er que l’on a : u2 = 2 247 200 puis

interpréter ce résultat.b. Justi� er que pour tout n ∊ N, on a la relation :

un + 1 = 1,06 un .c. Exprimer un en fonction de n.d. En déduire le montant du capital de Mlle Asma

en 2018.2. On considère l’algorithme ci-dessous :

a. Expliquer ce que fait cet algorithme.b. Recopier et modi� er l’algorithme pour qu’il

a� che l’année à partir de laquelle le capital de Mlle Asma va doubler.

4 Soit (un) une suite dé� nie pour tout entier naturel n par : un + 1 = 2 × un + 3 et u0 = 4 et la suite (vn) dé� nie pour tout entier n par : vn = un + 3.1.

a. Calculer u1, u2 et u3 .b. Calculer v0, v1, v2 et v3 .

2. a. Démontrer que pour tout entier naturel n,

vn + 1 = 2 un + 6.b. Démontrer que (vn) est une suite géométrique

de raison 2 et le premier terme 7.3.

a. Exprimer vn en fonction de n.b. En déduire que pour tout entier n,

un = 7 × 2n – 3.c. Calculer u8 et u15 .

3

Termina

le ESExercices pour le second tour - BAC ES

5 Soit (un) la suite dé� nie pour tout entier naturel n

par : 12 13n nu u+ = + et u0 = 6.

1. Qu'a� che l’algorithme ci-dessous pour N = 2 ?

222222333 UUUUUU

2. Expliquer ce que fait l’algorithme.3. On note S le réel tel que : S = u0 + u1 + ... + un

. Reproduire et modi� er l'algorithme pour que pour une valeur de N choisi, il a� che la valeur du nombre S.

6 Dans la feuille de calcul ci-dessous, tous les nombres sont arrondis à l'entier.

1. Déterminer la formule saisie dans la cellule D10 puis recopier vers le bas jusqu'à D33.

2. Déterminer la formule saisie dans la cellule E10 puis recopier vers le bas jusqu'à E33.

3. Déterminer la formule saisie dans la cellule C10 puis recopier vers le bas jusqu'à C33.

4. Déterminer les valeurs des cellules E35 et D35.

7 On considère la suite (un) dé� nie pour tout entier naturel n par : un + 1 = 3un – 5 et u0 = 3.L'algorithme ci-dessous donne pour une valeur de n saisie, le n-ième terme de la suite (un).

1. Déterminer la valeur a� chée par l'algorithme, lorsqu'on saisit n = 2.

2. On considère la suite (vn) dé� nie pour tout entier naturel n non nul par : vn + 1 = 5vn + 7 et v1 = 5.Modi� er l'algorithme ci-dessus pour obtenir un algorithme donnant le n-ième terme de la suite (vn).

8 (un) est la suite dé� nie pour tout n ∊ N par :

13 14n nu u+ = − et u0 = 12.

1. Calculer u1 et u2 .2. On considère la suite (vn) dé� nie pour tout

n ∊ N par : vn = un + 4.

a. Démontrer que la (vn) est une suitegéométrique de raison 3

4 .

b. Montrer que pour tout n ∊ N, on a la relation :316 4.4

n

nu = −

c. En déduire la limite de la suite (un).3. On considère le nombre

Sn = u0 + u1 + u2 + ... + un .

Exprimer Sn en fonction de n.

4

Term

ina

le E

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Chapitre 2 : Limites, dérivations et continuités

1 Soit la fonction f défi nie sur R par : 2

22( ) .1

xf xx

−=+

1. Déterminer un réel A tel que : si x ≥ A, alors f (x) − (− 1) ≤ 10 – 4.

2. Démontrer que lim ( ) 1.x

f x→+∞

= −3. Déterminer la limite de f en − ∞.4. Que représente la droite d’équation y = − 1

pour la courbe représentative de f ?

2 On considère la fonction g dé� nie sur ]0 ; + ∞[ par :2 1( ) xg x x

+= .

On a obtenu, avec la calculatrice, la table de valeurs de la fonction g.

1. Conjecturer la limite de la fonction g en + ∞.2. Démontrer cette conjecture.3. Écrire un algorithme permettant de déterminer

à partir de quelle valeur de x, g (x) ∈ ]2 – 10 – 4 ; 2 + 10 – 4[.

3 On considère une fonction g dé� nie sur R par :g (x) = 2 x 3 + 3 x 2 − 2.

1. Étudier les variations de g.2. Démontrer que l’équation g (x) = 0 admet une

unique solution α.3. Donner un encadrement d’amplitude 1 près de

α.4. En déduire le tableau de variation sur l'intervalle

]− ∞ ; 0] de la fonction f dé� nie par :4

3( ) 2 5.2xf x x x= + − +

4 Une entreprise produit et commercialise entre 0 et 35 matelas par jour. On admet que toute la production est vendue. Le béné� ce (exprimé en dizaine de francs djibouti) réalisé pour une production de x matelas par jour, est modélisé à l’aide de la fonction B dé� nie par :B (x) = − 40 x 2 + 1 520 x + 1 500.

On donne le tableau de valeurs de la fonction B (x).x 0 1 2 3 4 5 6 7

B (x) 1 500 2 980 4 380 5 700 6 940 8 100 9 180 10 180

x 8 9 10 11 12 13 14 15

B (x) 11 100 11 940 12 700 13 380 13 980 14 500 14 940 15 300

x 16 17 18 19 20 21 22 23

B (x) 15 580 15 780 15 900 15 940 15 900 15 780 15 580 15 300

x 24 25 26 27 28 29 30 31

B (x) 14 940 14 500 13 980 13 380 12 700 11 940 11 100 10 180

x 32 33 34 35

B (x) 9 180 8 100 6 940 5 700

Partie A :

1. Quel est le béné� ce réalisé pour une production journalière de 10 matelas ?

2. Combien de matelas l’entreprise doit-elle vendre en une journée si elle veut réaliser un béné� ce d’au moins 100 000 DJF.

3. Un grand hôtel de place veut acheter des matelas pour équiper ses nouvelles chambres.Il propose aux choix deux types de contrats à cette entreprise.Contrat A : Acheter 350 matelas à produire en 14 jours.Contrat B : Acheter 96 matelas à produire en 6 jours. Quel contrat l’entreprise a-t-elle intérêt à choisir pour obtenir un béné� ce journalier maximal  ? Justi� er votre réponse.

5 Les ventes, en milliers d’exemplaires, d’un certain modèle de téléviseurs, entre 2010 (année 0) et 2015, sont données dans le tableau ci-dessous. Pour faire une prévision, on utilise comme modèle mathématiques la fonction f dé� nie sur l’intervalle [0 ; 10] de R par :f (x) = − 0,65 x 2 + 8,65 x + 14, qui peut être représentée par un arc de parabole P.

f (x) donne la production de l’année 2010 + x.

5

Termina

le ESExercices pour le second tour - BAC ES

1. Quelle formule a-t-on saisit en C2, puis recopiée vers le bas, pour tabuler la fonction f ?

2. Peut-on dire que les points A(0 ; 14) ; B(1 ; 22) et C (5 ; 41) sont sur P ?

3. Suivant le modèle, combien de téléviseurs vendra-t-on en 2017 ?

6 On considère la fonction f dé� nie sur R par :f (x) = x 3 + 5 x – 8.

1. Dresser le tableau de variation de la fonction f.2. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une

solution unique α ∊ [1 ; 2].3. Encadrement de α par la méthode de balayage

On considère l’algorithme ci-dessous :

a. Que teste la condition Tant que f (a) × f (x) > 0 ?b. Peut-on changer cette condition par Tant que

f (x) < 0 ?c. Reproduire et modi� er l'algorithme en

a� ectant à a la valeur 2.

7 On considère la fonction f dé� nie sur

l’intervalle [2 ; 8] par : 2

210 16( ) x xf xx

− + −= .

On appelle (�) sa courbe représentative dans un repère.

1. Montrer que pour tout réel de l’intervalle [2 ; 8],on a : 3

10 32'( ) xf xx

− += .2.

a. Étudier le signe de f '(x) sur l’intervalle [2 ; 8].b. En déduire le tableau de variations de f sur

l’intervalle [2 ; 8].

Chapitre 3 : Fonction exponentielle etfonction logarithme népérien

1 Soit f la fonction dé� nie sur I = ]0 ; + ∞[ par :f (x) = x 2 (1 − ln x).

1. Calculer les limites de f aux bornes de l’intervalle I.

2. Donner le signe de 1 − 2 ln x pour tout x dans I.3. Calculer la dérivée de f et dresser le tableau de

variations de f.

2 Soit f la fonction dé� nie sur R* par : 1( )1xf x

e=

−.

On note �f la courbe représentative de la fonction f.

1. Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de dé� nition.

2. En déduire l’existence de trois asymptotes à la courbe de �f.

3. Étudier les variations de f.

3 Soit g la fonction dé� nie sur R par :g (x) = x − 2 + e x.

1. Calculer les limites de g en + ∞ et en − ∞.2. Calculer la dérivée de g et dresser le tableau de

variations de g.3. Montrer que l’équation g (x) = 0 admet une

unique solution dans [0 ; 1].4. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe

�g au point A d'abscisse 0.

4 Soit la fonction g dé� nie sur l'intervalle ]0 ; + ∞[ par : g (x) = x 2 − 2 x − ln (x).1. Déterminer les limites en 0 et + ∞.2. Calculer la fonction dérivée de g et étudier son

signe.3. Donner le tableau de variations de g. 4. Montrer que l’équation g (x) = 0 admet une

unique solution dans ]0 ; 1].

6

Term

ina

le E

SExercices pour le second tour - BAC ES

5 Le graphique ci-dessous représente la courbe de la fonction f dé� nie sur R.

1. Conjecturer à partir du graphique le nombre de solution de l'équation f (x) = 60.

2. On admet que : f (x) = − x + 3 + e x.a. Calculer les limites de f en + ∞ et en − ∞.b. Que peut-on en déduire par rapport à la

conjecture émise à la question 1. .c. Montrer que la courbe �f admet une asymptote

oblique dont on donnera l'équation.

6 On considère la fonction h dé� nie sur R par :h (x) = x 3 − 3 x + 3.

1. Dresser le tableau de variations de la fonction h.2. Calculer h (− 1) et en déduire les signes de h sur R.3. Soit g la fonction dé� nie sur ]− 1 ; + ∞[ par :

g (x) = ln (x 3 − 3 x + 3). On note �g la représentation graphique de la fonction g dans un repère.

a. Calculer la dérivée de la fonction g et dresser le tableau de variations.

b. Tracer la courbe �g.

7 Soit la fonction f dé� nie sur l'intervalle ]0 ; + ∞[ par :f (x) = x 2 ln (x) – x 2. On note �f la courbe représentative de la fonction f.

1. Déterminer les limites de f en 0 et en + ∞.2. Résoudre l’équation 3 ln (x) − 2 = 0.3. Calculer f '(x) et dresser le tableau de variations

de la fonction f.

4. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de la courbe �f avec l’axe des abscisses.

Chapitre 4 : Intégrales

1 On considère les intégrales I et J tels que :x

x xdx dx2 2

0 01 eI et J .

e 1 e 1= =

+ +∫ ∫

1. Calculer les valeurs exactes de J et de I + J.2. En déduire la valeur exacte de I.

2 Soit f la fonction dé� nie sur l'intervalle ]0 ; + ∞[

par : 2(1 )(3 )( ) x xf x

x− += .

1. Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout xde ]0 ; + ∞[, 2( ) b cf x a x x

= + + .

2. En déduire une primitive sur l'intervalle ]0 ; + ∞[ de la fonction f.

3. Calculer l'intégrale 2

1 ( ) .f x dx∫

3 Une entreprise produit x centaines d’objets chaque mois.Le coût de production, exprimé en milliers de francs DJF, est donné par la fonction f dé� nie sur l’intervalle [0 ; 6] par : f (x) = (2 x – 1) e x.

1. Démontrer que la fonction F dé� nie sur [0 ; 6] par F (x) = (2 x – 3) e x est une primitive de la fonction f.

2. a. Calculer 6

01 ( )6 f x dx∫ .

b. Quelle interprétation peut-on faire de ce résultat pour l’entreprise ?

4 Le coût marginal d’une production en milliers de francs DJF, pour une quantité q de l’intervalle

[0 ; 5], est dé� ni par : 6( )e 3xg x =+

.

1. Montrer que le coût total est croissant.2. Soit F la fonction dé� nie sur l’intervalle [0 ; 5]

par : F (x) = – ln (e x + 3) + x.a. Calculer F '(x) et en déduire une primitive sur

l’intervalle [0 ; 5] de la fonction g.b. Déterminer le coût total de cette production,

sachant que les coûts � xes sont de 5 000 DJF.

7

Termina

le ESExercices pour le second tour - BAC ES

5 Un artisan glacier commercialise des « sorbets bio ». Il peut en produire entre 0 et 300 litres par semaine. Cette production est vendue dans sa totalité.Le coût total de production est modélisé par la fonction f dé� nie pour tout réel x de l’intervalle I = ]0 ; 3] par : f (x) = 10 x 2 – 20 x ln x.Lorsque x représente le nombre de litres de sorbet, f (x) est le coût total de fabrication en centaines d’euros.La recette, en centaines d’euros, est donnée par une fonction r dé� nie sur le même intervalle I.La courbe représentative de la fonction f et la droite représentative de la fonction linéaire r sont données dans le graphique suivant :

1. Répondre aux questions suivantes par lecture graphique et sans justi� cation.

a. Donner le prix de vente en euros de 100 litres de sorbet.

b. Donner l’expression de r (x) en fonction de x.c. Combien l’artisan doit-il produire au

minimum de litres de sorbet pour que l’entreprise dégage un béné� ce ?

2. On admet que : 3

1 20 ln d 90 ln3 40.x x x = −∫a. En déduire la valeur de 3

1 ( )d .f x x∫b. En déduire, pour une production comprise

entre 100 et 300 litres, la valeur moyenne (arrondie à l’euro) du coût total de production.

6 On considère la fonction f dé� nie sur R dont la courbe représentative �f est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé.

On admet que : f (x) = (– x + 2) e 0,5x.

1. À l’aide de la � gure 1, justi� er que la valeur del’intégrale 2

0 ( )df x x∫ est comprise entre 2 et 4.2.

a. On considère F la fonction dé� nie sur R par :F (x) = (– 2 x + 8) e 0,5x.Montrer que F est une primitive de la fonction f sur R.

b. Calculer la valeur exacte de 2

0 ( )df x x∫ .

3. On considère G une autre primitive de la fonction f sur R.Parmi les trois courbe C1 , C2 et C3 ci-dessous, une seule est la représentation graphique de G.Déterminer la courbe qui convient et justi� er la réponse.

8

Term

ina

le E

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Chapitre 5 : Probabilité conditionnelle

1 Une urne contient sept boules indiscernables au toucher ; trois boules rouges et quatre boules blanches. Une expérience consiste à tirer successivement deux boules sans remise. On considère les événements suivants :

• R1 : « La première boule tirée est rouge ». • B1 : « La première boule tirée est blanche ». • R2 : « La deuxième boule tirée est rouge ». • B2 : « La deuxième boule tirée est blanche ».

1. Construire un arbre pondéré traduisant la situation.

2. Calculer p (R1 ∩ R2).3. Calculer p (B1 ∩ R2).4. En déduire p (R2).

2 Pour chaque question une seule des trois réponses proposées est correcte.Parmi les joueurs d’échecs inscrits à un tournoi, l’un des joueurs est surnommé « le favori ».Sur la base des résultats passés, on admet que la probabilité que « le favori » gagne un match contre l’un quelconque des joueurs du tournoi est égale à 0,9. On suppose que les résultats des matches successifs du tournoi sont indépendants et que lorsqu’un joueur perd un match, il est éliminé du tournoi.

1. La probabilité que « le favori » perde son premier match est égale à :a. 0,50 ; b. 0,10 ; c. 0,01.

2. La probabilité que « le favori » gagne ses deux premiers matches est égale à :a. 0,50 ; b. 0,81 ; c. 0,90.

3. Sachant que « le favori » a gagné son premier match, la probabilité qu’il gagne le match suivant est égale à :a. 0,50 ; b. 0,81 ; c. 0,90.

4. La probabilité que « le favori » ne joue qu’un ou deux matchs est égale à :a. 0,19 ; b. 0,20 ; c. 0,09.

3 Une urne contient 12 boules indiscernables au toucher numérotées de 1 à 12. On tire au hasard une boule de l’urne. On considère les événements suivants :

• T : « le numéro obtenu est multiple de trois ». • I : « le numéro obtenu est supérieur ou égal

à 15 ». • R : « le numéro obtenu est pair ».

1. Calculer p (T), p (I) et p (I ∩ T).Les événements T et I sont-ils indépendants ?

2. Calculer p R(T).

Les événements T et R sont-ils indépendants ?

4 Une urne contient 20 boules rouges et 30 boules blanches, tous indicernables au toucher.Une expérience consiste à tirer successivement deux boules avec remise.

1. Traduire la situation à l’aide d’un arbre pondéré.2. Déterminer la probabilité que la deuxième boule

tirée soit blanche.3. Déterminer la probabilité que les deux boules

tirées soient de la même couleur.

5 Une urne contient quatre boules indiscernables au toucher : une rouge, une jaune et deux bleues.On tire successivement et avec remise deux boules de l’urne. On suppose que les tirages sont équiprobables. On considère les événements suivants : • R1 : « la 1re boule tirée est rouge ». • B2 : « la 2e boule tirée est bleue ».

1. Dresser un arbre traduisant la situation.2. Calculer p (R1), p (B2) et p (B2 ∩ R1).3. Les événements B2 et R1 sont-ils indépendants ?

6 Indique la seule bonne réponse. On considère l’arbre pondéré ci-dessous :

1. La probabilité de B sachant que A est réalisé est :a. 0,75 ; b. 0,65 ; c. 0,55.

2. La probabilité de l’événement A ∩ B est :a. 0,16 ; b. 0,2 ; c. 0,17.

3. La probabilité de B sachant A est :a. 0,71 ; b. 0,61 ; c. 0,81.

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Termina

le ESExercices pour le second tour - BAC ES

7 Le jour de la grande journée de promotion, 20 % des clients qui entrent dans le magasin ont été contactés lors de la campagne publicitaire. Une étude statistique montre que : • La probabilité qu'un client e� ectue un achat

sachant qu'il a été contacté au cours de la campagne publicitaire est de 0,12.

• La probabilité qu'un client e� ectue un achat sachant qu'il n'a pas été contacté au cours de la campagne publicitaire est de 0,03.

On choisit au hasard un client du magasin lors de cette grande journée de promotion. On admet que chaque client a la même probabilité d'être choisi.On dé� nit les événements suivants : • C : « le client choisi a été contacté lors de la

campagne publicitaire ». • A : « le client choisi a e� ectué un achat ».

1. Donner, à partir des informations de l'énoncé, les probabilités p (C) et p

C(A).2. Reproduire et compléter

l ’arbre de probabilités ci-contre.

3. a. Dé� nir par une phrase

l’événement (C ∩ A).b. Calculer p (C ∩ A).

4. Montrer que la probabilité de l’événement A est égale à 0,048.

Chapitre 6 : Loi normale et échantillonnage

1 On désigne par X la variable aléatoire qui suit la loi normale (42 ; 6²) de moyenne μ = 42 et d’écart-type σ = 6.1. Déterminer une valeur approchée à10 – 3 près des

probabilités suivantes.a. p (42 ≤ X ≤ 48).b. p (X ≤ 36).

2. On pose : X 42Z 6−= .

Quelle loi suit la variable aléatoire Z ?3. Montrer que p (X ≤ 54) = p (Z ≤ 2).4. On admet que p (Z > 2) ≈ 0,023.

En déduire p (X ≤ 54).

2 On désigne par X la variable aléatoire qui suit la normale (3 ; 4) de moyenne μ = 3 et d’écart-typeσ = 2.

1. Sachant que p (1 ≤ X ≤ 3) = 0,341, déterminer les probabilités suivantes :

a. p (X ≤ 1).b. p (3 ≤ X ≤ 5).

2. Calculer µ – 2σ et µ + 2σ puis déterminerp (– 1 ≤ X ≤ 7).

3. Pour calculer la probabilité p (X < 6), Azam a utilisé un tableur et il a obtenu le résultat suivant :

Son ami Arwan a utilisé une calculatrice et a obtenu le résultat suivant :

Qui a raison ? Et quelle est l’erreur commise par l’autre ?

3 Après réalisation d’une enquête, on estime que le temps en minutes, consacré quotidiennement par un élève à faire ses devoirs scolaires, est une variable aléatoire X suivant une loi normale, d’espérance 60 et d’écart type 15.L’allure de la courbe de densité de cette loi normale est représentée ci-dessous. L’égalité p (X ≤ 40) = 0,0912 est illustrée graphiquement.

1. Déterminer la probabilité qu’un élève consacre quotidiennement plus de 80 minutes à faire ses devoirs scolaires.

2. Déterminer la probabilité qu’un élève consacre quotidiennement entre 40 minutes et une heure à faire ses devoirs scolaires.

3. Déterminer la probabilité qu’un élève consacre quotidiennement entre 45 et 75 minutes à faire ses devoirs scolaires.

4. Déterminer la probabilité qu’un élève consacre quotidiennement entre 30 minutes et une heure à faire ses devoirs scolaires.

10

Term

ina

le E

SExercices pour le second tour - BAC ES

4

La courbe représentative ci-dessus, est celle de la fonction de densité de la loi normale centrée réduite. On désigne par X la variable aléatoire qui suit la normale N (0 ; 1). L’aire du domaine colorié sous la courbe vaut 0,3.

1. Déterminer p (X ≤ a).2. Déterminer p (X > a).3. Déterminer p (– a < X < a).4. Déterminer p (X < – a).

5 Dans un lycée, on sait qu'il y a 62 % des garçons et on suppose que 24 % des élèves de ce lycée portent des lunettes de vue.1. Le club dé� science de ce lycée compte 80 élèves

dont 20 � lles.a. Quel est la fréquence des garçons dans ce club

dé� science ?b. L'intervalle de � uctuation des fréquences de

garçons est I � uctuation = [0,51 ; 0,73].Que peut-on en déduire ?

2. Le proviseur réalise un sondage aléatoire auprès de 200 élèves et relève que 40 élèves portent des lunettes de vue. Il calcule l'intervalle de � uctuation des fréquences d'élèves ayant des lunettes.Il obtient I � uctuation = [0,18 ; 0,30].Que peut-il en déduire ?

3. La bibliothécaire réalise un sondage aléatoire auprès de 160 élèves et relève que 40 élèves ont un compte Facebook. Elle calcule l'intervalle de con� ance de proportions d'élèves ayant un compte Facebook.Elle obtient I con� ance = [0,17 ; 0,33].Que peut-elle en déduire ?

Chapitre 7 : Statistiques à deux variables

1 On considère la série statistique à deux variables (xi ; yi)1 ≤ i ≤ 8 représentée à l’aide du tableau ci-dessous :

xi 1 2 3 4 5 6 7 8

yi 2,5 4 4,5 6 8,5 9,5 10,5 12,5

1. a. Construire le nuage de points associé à la série

statistique (xi ; yi) dans un repère orthogonal.b. Déterminer les coordonnées du point

moyen G et placer-le dans le repère.On note M

i le point du nuage de coordonnées (xi ; yi). Ainsi, on a : M1 (1 ; 2,5) , M2 (2 ; 4) , … etc.

2. a. Déterminer l’équation de la droite (M1M8)

appelée droite des extrèmes.b. La droite (M1M8) est-elle un bon ajustement du

nuage formé par les points M1 à M8 ? Justi� er.

2 Pour une série statistique à deux variables x et y, la droite d’ajustement (d) obtenue par la méthode des moindres carrés a pour équation y = 2,3 x + 1,4.1. Sachant que la moyenne x est égale à 1,5,

déterminer l'ordonnée du point moyen G du nuage de point.

2. Utiliser l’équation de la droite (d) pour donner une estimation de l’ordonnée du point du nuage d’abscisse 15.

3. Sachant qu'un point du nuage de point a pour ordonnée 17,5, donner une estimation de l'abscisse de ce point.

3 Le service pâtisserie d'un hôtel cinq étoiles accueille chaque année des stagiaires issues de plusieurs centres de formation en cuisine. Le tableau suivant indique le nombre de stagiaires accueillis par année à partir de l'année 2010.

Année 2010 2011 2012 2013 2014 2015

Rang yi 1 2 3 4 5 6

Nombre de selectionnés yi

24 32 41 42 51 56

Le point G (3,5 ; 41) est le point moyen du nuage des points de coordonnées (xi ; yi).

11

Termina

le ESExercices pour le second tour - BAC ES

On fait l’hypothèse que l'évolution du nombre de stagiaires est correctement modélisée par la droite d’ajustement (d) d’équation y = 6 x + 20.

1. Prouver que le point G appartient à la droite (d).2. Déterminer, selon ce modèle, une estimation

du nombre de stagiaires en 2016.3. On estime que le modèle reste valable jusqu’en

2025. Selon cet ajustement, à partir de quelle année le nombre de stagiaires dépassera le seuil de 100 ?

Chapitre 8 : Graphes

1 On considère le graphe ci-dessous.

1. Justi� er que ce graphe n'est pas complet.2. Ce graphe est-il connexe ?3. Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne ?

Si oui, la donner.4. Ce graphe admet-il un cycle eulérien ?

2 On considère le graphe suivant :

1. Justi� er que ce graphe est complet.2. Justi� er que ce graphe est connexe.3. Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne ?4. Déterminer un cycle eulérien.

3 Soit M la matrice carrée d’ordre 5 :

0 1 0 1 11 0 1 1 10 1 0 1 01 1 1 0 11 1 0 1 0

M

=

1. En appelant par A, B, C, D, et E les sommets, construire un graphe associé à M.

2. Ce graphe est-il connexe ? complet ?3. Admet-il une chaîne eulérienne ?

4 On considère le graphe suivant :

1. Écrire la matrice A associée au graphe.2. Construire le graphe de même ordre dans les

arêtes sont orientées dans le sens contraire et donner sa matrice B. Dire quel est le lien entre A et B.

3. Donner la matrice C du graphe non-orienté obtenu en e� açant le sens de parcours.

4. Calculer A + B et comparer le résultat à C.

5 Ce graphe ci-dessous représente le parcours d’un camion-citerne qui doit ravitailler 7 campements de nomades. Les sommets représentent les campements et les arêtes les pistes reliant les di� érents campements. Les poids représentent le temps mis en heure entre deux campements.

1. En rangeant les sommets dans l’ordre alphabétique, donner la matrice M associée au graphe.

2. Citer toutes les chaînes de longueur 3 reliant les sommets A et G.

3. Déterminer l’itinéraire le plus cours pour aller du sommet A à F et préciser combien de temps va mettre le camion entre les deux campements A à F.

12

Term

ina

le E

SExercices pour le second tour - BAC ES

6 Le graphe suivant représente les parcours d’un camion-poubelle dans 7 quartiers de la capitale. Les sommets représentent les quartiers et les arêtes les routes empruntées par le véhicule. Chacune des arêtes est pondérée par le temps de parcours en minutes.

1. En mettant les sommets dans l’ordre  alphabétique, donner la matrice associée au graphe.

2. Est-il possible de passer par tous les quartiers en empruntant une et une seule fois les routes qui les relient ? Si oui, donner ce chemin.

3. Donner le nombre de chemins qui lie les quartiers A au quartier E et empruntant quatre routes.

4. Donner l’itinéraire le plus court reliant les quartiers B et G et préciser la distance qu’il faut parcourir pour emprunter cet itinéraire.

7 Lors d’une campagne électorale, un homme politique doit e� ectuer une tournée dans les villes A, B, C, D, E, F, G et H, en utilisant le réseau autoroutier. Le graphe G ci-dessous, représente les di� érentes villes de la tournée et les tronçons d’autoroute reliant ces villes (une ville est représentée par un sommet, un tronçon d’autoroute par une arête) :

Partie A

1. Déterminer, en justi� ant, si le graphe G est :a. complet.b. connexe.

2. a. Justi� er qu’il est possible d’organiser la

tournée en passant au moins une fois par chaque ville, tout en empruntant une fois et une seule chaque tronçon d’autoroute.

b. Citer un trajet de ce type.3. On appelle M la matrice d’adjacence associée au

graphe G (les sommets étant pris dans l’ordre alphabétique).

a. Déterminer la matrice M.b. On donne la matrice :

0 5 3 5 1 1 4 15 2 7 2 4 3 3 53 7 6 4 9 3 9 105 2 4 0 9 2 4 81 8 9 9 4 4 10 41 3 3 2 4 2 6 64 3 9 3 10 6 6 91 5 10 8 4 6 9 4

M

=

Déterminer, en justi� ant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant E à H. Préciser ces chemins.

Partie BDes contraintes d’organisation obligent cet homme politique à se rendre dans la ville F après la ville A. Le graphe G est complété ci-dessous par les longueurs en kilomètre de chaque tronçon d’autoroute.

Déterminer, en utilisant l’algorithme de Dijkstra, le trajet autoroutier le plus court pour aller de A à F.Préciser la longueur en kilomètre de ce trajet.