BARÈME DE l�EXAMEN

EXERCICE 1

1) En utilisant les paramétrisations nous pouvons intégrer le long du segment droit sur lequelz = x (car y = 0); puis le long du demi-cercle sur lequel z = ei�; avec � 2 [0; �] : Donc,IC

z2dz =RSegment z

2dz +RDemi-Cercle z

2dz =R 1�1 x

2dx+R �0e2i�d(ei�):R 1

�1 x2dx =

hx3

3

i1�1= 2

3 : 1R �0e2i�d(ei�) = i

R �0e3i�d� =

hie3i�

3i

i�0= e3i��e0

3 = �23 : 1 Alors,

IC

z2dz = 23 +

�23 = 0:

1­1

Demi­Cercle

Segment Droit

0π

2) Le théorème de Cauchy dit que "Si f est holomorphe sur �fermée et à l�intérieur :I�

f(z)dz = 0".

Comme z2 est partout holomorphe (étant un polynôme), on déduit queIC

z2dz = 0: 1

EXERCICE 2

Utilisons les équations de Cauchy-Riemann pour trouver u(x; y). v = x2 � y2 + 4xy � x+ 3y + 5:@u@x =

@v@y =)

@u@x = �2y + 4x+ 3 =) u =

R(�2y + 4x+ 3) dx = �2xy + 2x2 + 3x+A(y). 2

@u@y = �

@v@x =) �2x+ @A

@y= �2x� 4y + 1 =) A(y) =R(�4y + 1)dy = �2y2 + y + Cte.

Donc, u(x; y) = �2xy + 2x2 + 3x�2y2 + y + Cte 1 :f(z)=� 2xy + 2x2 + 3x�2y2 + y + i(x2 � y2 + 4xy � x+ 3y + 5) + Cte.Pour avoir la constante il su¢ t d�utiliser 5 + 5i = f(1) = 2 + 3 + i(1� 0 + 0� 1 + 0 + 5) + Cte.Donc, Cte = 0: 5,0 Alors, f(z)=� 2xy + 2x2 + 3x�2y2 + y + i(x2 � y2 + 4xy � x+ 3y + 5)= 2(x2 � y2 + 2ixy) + 3(x+ iy) + i(x2 � y2 + 2ixy)� i(x+ iy) + 5i = (2 + i)z2 + (3� i)z + 5i: 5,1

EXERCICE 3

1. ez+e�z�2z2 = 1

z2

h(1 + z + z2

2! +z3

3! + :::) + (1� z +z2

2! �z3

3! + :::)� 2i= 1 + 2z2

4! +2z4

6! + ::: 1

limz!0

zf = limz!0

ez+e�z�2z = lim

z!0

(ez+e�z�2)0z0 = lim

z!0

ez�e�z1 = 0: La singularité est enlevable (fausse singularité) 1

2. 1z(z+1) =

1z �

1z+1 =

1z �

1Pn=0

(�1)nzn: 1

limz!0

zf = limz!0

1z+1 = 1 : �nie et 6= 0: La singularité est un pôle simple. 1

3. z3 sin 1z = z

3( 1z �13!z3 +

15!z5 �

17!z7 + :::) = z

2 � 13! +

15!z2 �

17!z4 + ::: 1

La série de Laurent contient une in�nité de termes singuliers: La singularité est donc essentielle. 1

EXERCICE 41. f(z) = z�2

3z2+4z�4 =z�2

(z+2)(3z�2) =z�2

3(z+2)(z� 23 ): f est dé�nie et holomorphe sur C� f�2; 2

3g: 1

2. Les points singuliers de f sont z = �2 et z = 23 :

z = �2 est un pôle simple car limz!�2

(z + 2)f = limz!�2

z�23z�2 =

12 : �nie et 6= 0: 1

z = 23 est un pôle simple car lim

z! 23

(z � 23 )f = lim

z! 23

z�23(z+2) =

�16 : �nie et 6= 0: 1

3. Seul le pôle z = 23 est à l�intérieur de C, donc

IC

z�23(z+2)(z� 2

3 )dz = 2�i (Rés.)

Le résidu en z = 23 est Rés. =

10! limz! 2

3

(z � 23 )f =

�16 :

2/3­2

1

C

Donc,IC

z�23(z+2)(z� 2

3 )dz = 2�i (Rés.) = 2�i (�16 ) =

��i3 : 3

L�utilisation de la formule de Cauchy est correcte aussi:IC

z�23(z+2)(z� 2

3 )dz = 2�i

0!

hz�23(z+2)

iz= 2

3

= ��i3 :