Approche

Benoit ROUBERT

semi-classiquede l’information quantique

INTRODUCTION

Unité de base : Qubit- Electron : spin U/D- Atome avec deux niveaux d’ énergie: fondamental/excité- Photon : polarisé horizontalement/verticalement

Bit VS Qubit

Théorie de l’information quantique1980

Feynman, Benett, Benioff, Deutsch

Théorie de l’information1940

Shannon, Turing

Mécanique quantique1900-1930

Planck, Bohr, Schrödinger, Pauli, …

Bit Qubit

Système quantique présentant deux niveaux distincts

L’information quantique

Pour de nombreux problèmes : meilleurs efficacité algorithmes quantiques

• Factorisation d’un nombre (Shor)• Problème du sous-groupe caché (Simon)• Résolution de systèmes d’équations linéaires (Loyd)

Accélérations potentiellement exponentielles

Propriété de l’information quantique

Quelle est la nature des ressources physiques qui permettent cette accélération ?

InterférenceIntrication

Etudier deux problèmes d’intérêt pour l’information quantique

- Clonage d’un qubit et le rôle joué par l’interférence- Amplification de spin

- Cloneurs sans interférence : se situent entre les cloneurs parfaitement quantiques/cloneurs classiques- Amplification de spin dans des chaînes de grand nombre de spin

Situations semi-classiques

Lien entre les deux problèmes

Dans les deux cas on s’intéresse à reproduire l’information d’un qubit initial (sur un seul, ou sur une très grande quantité de qubits).

Problématique de la thèse

Clonage quantique à 2 qubits

sans interférence

Impossible de cloner parfaitement :

Théorème de non-clonage

Nature probabilisted’un état quantique

Avant d’effectuer une mesure, le système n’existe dans aucunétat classique en particulier (interprétation de Copenhague)

1982 : Wootters – Zurek

Particularités du clonage quantique

Définition du clonage Classique : copie de l’état classique (~ photocopie)Quantique : copie de l’état quantique (matrice densité)

Fidélité simple

Fidélité moyenne

: Vecteur initial

Matrices densités réduites :

Fidélités de clonage: Matrice densité totale d’un système à 2 qubits

Sphère de Bloch

Cloneurs universels / symétriques / optimaux

Cloneurs classiques / quantiques

[1] : M. Horodecki, P. Horodecki, and R. Horodecki. : Phys. Rev. A, 60, 1888 (1999)

Types de cloneurs

[2] : V. Buzek and M. Hillery. : Phys. Rev. A, 54, 1844 (1996)

Fidélités moyennes maximales pourdes cloneurs symétriques universels

Pour les cloneurs classiques : [1]Pour les cloneurs quantiques : [2]

Cloneur universel :

Cloneur symétrique :

Classiques : Ne propagent que les termes diagonaux des matrices densitésQuantiques : Propagent les termes diagonaux et les cohérences des matrices densités

Cloneur optimal : fidélités maximales autorisées

• A et B peuvent être échangés• Même forme

Cloneur symétrique et universel

Matrices densités réduites

Fidélités

Définition

Valeur maximale pour un clonage quantique symétrique et universel

Cloneur de Buzek-Hillery

Propagateur d’une matrice densité Traduit le passage

Propriétés attendues d’une mesure d’interférence

- Qu’elle mesure le degré de cohérence de la propagation

- Qu’elle mesure l’équipartition de la propagation - Qu’elle dépende de la base dans laquelle l’on se

place

Mesure d’interférence

Clonage et interférence

[I]

[I] : D.Braun, B.Georgeot – Quantitative measure of interference Phys. Rev. A 73, 022314, (2006)

Opération de Reshuffling

Lien matrice dynamique – Propagateur :

Matrice dynamique

Propriétés de

• Hermitienne :

• Bloc – positive :

• Conserve la normalisation de :

Forme générale d’une matrice dynamique d’interférence nulle

Fidélités moyennes

Interférence

Reformulation en terme de matrice dynamique

: Fonctions linéaires des éléments

• Pas accès aux cohérences• Seuls les termes diagonaux des matrices densités (probabilités) sont reliés entre eux

Définition

Fidélités moyennes d’un clonage classique

Cas d’un clonage classique

Bloc-positivité de

Conditions de normalisation

, : Fonctions linéaires des éléments matriciels

: Matrice hermitienne, bloc-positive : grand nombre d’éléments indépendants

Problème

Condition supplémentaire : positive

Problème de programmation semi-définie Qui assure qu’un extremum local est également global

Données

Problème d’optimisation convexe

Problème d’optimisation

pour un donnéTrouver qui

optimise

pour un donné

Frontière noire :

Matrice dynamique pour le cloneur symétrique optimal

Domaine gris foncé :

Point rouge :

Domaine convexe desCloneurs sans interférence

Cloneurs meilleurs que les cloneurs classiques

Cloneur symétrique optimal

Domaine convexe grisé :

Fidélités moyennes minimales et maximales pour un cloneur sans interférence

Ensemble convexe de cloneurs sans interférence possédant une matrice dynamique positive

B.Roubert, D.Braun –Phys. Rev. A, 78, 042311 (2008)Role of interference in quantum cloning

Problème de programmation semi-définie Trouve extrema globaux

N’assure pas leur unicité

• 10 valeurs propres non nulles

• Ses V.P. forment une matrice réelle orthogonale dans la base computationnelle

Propriétés de

Forme de dans la base des vecteurs propres de

Cloneurs symétriques optimaux sans interférence

Sous-espace des v.p.

non nulles

Sous-espace des v.p. nulles

Problème : Trouver•

• , restent

identiques • Conditions normalisation conservées• reste positive

Cloneurs symétriques optimaux sans interférence

: Matrice dynamique optimale perturbée

Résumé des résultats importants

• Possible de construire à tout un continuum de cloneurs quantiques - asymétriques universels clonant mieux que classiquement

- optimaux symétriques universels

• Cloneurs sans interférence étudiés : cas semi-classiques

• L’interférence n’est pas une ressource indispensable pour cloner mieux que classiquement

Amplificationde spins

• Détection• Mesure de son

état• Transfert spatial

Problèmes importants pour les systèmes à 1

spin

Détection/Mesure de spin unique

[I] : Rugar et al. - Single spin detection by magnetic resonance force microscopy - Nature, (2004)

• Plus petits éléments de volume : - 1012 (spins nucléaires)- 107 (spins électroniques)

• Limite de résolution : 1 µm

MFRM• Capable de détecter un spin unique • Force très faible : 10-18 newton

DETECTION MESURE

• Un point quantique • Un électron dans deux états possibles • Un réservoir de potentiel électrochimique

• Si électron dans état ES peut par effet tunnel sortir du point quantique

• Mesure de l’état de charge du point quantique : Absence/présence de l’électron

IRM

[I]

Transfert de spin

[I] : S.Bose - Quantum Communication through an Unmodulated Spin Chain - Phys. Rev. Lett. 91,20 (2003)

Principe de l’expérience

Conditions de transfert parfait

[II] : M.Christandl et al. - Perfect State Transfer in Quantum Spin Networks - Phys. Rev. Lett. 92, 18 (2004)

• Laisse évoluer le système librement suffisamment longtemps• A un moment t Bob mesure l'état de son spin (intriqué avec la chaîne)

Alice souhaite transférer son spin à Bob

• Chaîne de Heisenberg (J cts) initialisée dans l’état down

ProblèmeProtocole

[I]

[II]

N

Amplification de spin

• Philosophie• Effets de bords• Caractère semi-classique

Philosophie de l’amplification de spin

RésonanceRésonance Résonance

Problème : Détection et mesure de l’ état d’un spin unique = véritable chalenge

Solution : Amplifier l’état du spin+ Mesurer l’état macroscopique correspondant

Méthode : Systèmes à effet de domino quantique

Etat GHZ

Exemple pour une chaîne linéaire de N spins

Objet de mesure Amplificateur

Modèle de Lee-Khitrin

[1] : Lee, Khitrin : Stimulated wave of polarization in a 1D dimensional Ising chain : Phys. Rev. A., 71, 062338 (2005)

Chaîne de spins: temps adimensionné

: amplitude du champs irradiant

[I]

Effets de bords Approche semi-classique

Concernant l’amplification de spin : Pas d’études sur l’importance des effets de bords

• Chaînes de spins : présence/absence d’un simple couplage

Concernant le transfert de spin :Beaucoup d’études sur les effets géométrie/topologie

• Chaînes ouvertes/fermées• Chaînes traversées ou non par des flux magnétiques• Structures étoiles 1D/3D

Effets de bords importants

Approche semi-classique : Justifiée en raison du grand nombre de spins

• On ne conserve que les chemins classiques qui contribuent de façon privilégiée aux dynamiques observées

Comportements macroscopiques très différents

• La plupart du temps : s'évanouissent dans la limite thermodynamique

Modèle physique de Lee-Khitrin

Lien transfert/amplification

Modèle physique de Lee-Khitrin

Chaîne d’ Ising 1D + Interactions entre plus proches voisins uniquementIrradiée à résonnance par un champs faible transverse monochromatique

Modèle physique :

: Différence d’énergie entre le niveau fondamental et excité d’un spin isolé: Amplitude du champs irradiant

: Constante de couplage entre plus proches voisins

Hamiltonien séculaire

Dynamique

Equivalence transfert /amplification

Hamiltonien

Dynamique

: spins

Pour avoir des tailles de bases identiques

: spins

Dynamique induite par dans la base des

Dynamique induite par dans la base des

Systèmes étudiésBases

importantes

Nature des systèmes

Nature des systèmes

Nature des systèmes

Introduction des états et

Etats , : Etats miroirs

spins down consécutifs dont le dernier en position

Etats :

Etats

Comparaison des systèmes

/

Polarisations totales /individuelles

Polarisations individuelles

Polarisations totales moyennes

Relation de dispersion des spectres

Dispersion d’un modèle de liaisons fortes 1D

Pour une même taille de base

Pour une même taille de chaîne

Seule différence notable :dégénérescence des v.p. pour

Hamiltonien Hamiltonien

Dynamique Dynamique

Etude détaillée /

Représentation matricielle(dans la base de la dynamique)

Représentation matricielle(dans la base de la dynamique)

On reconnaît l’hamiltoniend’un modèle de liaisons fortespour une chaîne 1D ouverte

On reconnait un modèle deliaisons fortes pour une chaîne 1Dfermée

Valeurs propres – Vecteurs propres Valeurs propres – Vecteurs propres

Etude détaillée /

A partir v.p. /V.P. analytiques : expression analytique des propagateurs :

Propagateur en terme de fonctions de Bessel

Approximation du propagateur : temps faibles

Etude détaillée /

Approximation semi-classiquede la fonction de Bessel

Comportement linéaire de la polarisation totale

: phase accumulée le long des chemins classiques

Etude détaillée /

Au voisinage du point tournant• Approximation WKB s’effondre• Fonction de Airy

Comparaison des systèmes

/

Etude comparative /Hamiltonien Hamiltonien

Dynamique Dynamique

Représentation matricielle(dans la base de la dynamique)

Représentation matricielle(dans la base de la dynamique)

Valeurs propres –vecteurs propres :Obtenus par diagonalisation numérique

Etude comparative /

Polarisations totales moyennes

Polarisations individuelles

Comparaison polarisations

Comparaison des systèmes

/

/

Polarisations et fidélités totales

Polarisations totales moyennes Fidélités totales de polarisation

Relations de dispersion

Dispersion suivant un modèlede liaisons fortes 1D

• Pentes finies en bornes de spectre• Fortes dégénérescence au centre du spectre

Raisons des différences de comportements macroscopiques

• Dimension des bases • Relation de dispersion des

spectres

• Polarisations totales moyennes• Fidélités totales de polarisation

Différences macroscopiques de comportement entre les différents systèmes

Différences entre / et /

• Présence ou non de couplages supplémentaires donne accès aux bases des états miroirs

Différences entre et : et

Résumé amplification dans des chaînes de spins

• Qui présentent des effets de bords très importants

• Pour lesquels on peut réaliser une approximation semi-classique

• Qui proposent une solution au problème détection/mesure spin unique

Chaînes de spins = systèmes

CONCLUSION/PERSPECTIVES

Deux cas semi-classiques : • Clonage sans interférence• Amplification de spin dans les chaînes de spins

[I][II]

[I] : B.Roubert, D.Braun – PRA 78, 042311 (2008) Role of interference in quantum cloning [II] : B.Roubert, P.Braun, D.Braun - PRA 82, 022302 (2010) Large effects of boundaries on spin amplification in spin chains

Poursuites intéressantes : • Peut-on cloner de façon optimale sans interférence pour des cloneurs à M qubits ?

• Peut-on exploiter les résultats obtenus dans l’amplification pour des mesures de précisions ?

• Que se passe-t-il si l’on inclut dans l ’étude de l’interférence le cloneur lui-même ?

Remerciements