Approche
Benoit ROUBERT
semi-classiquede l’information quantique
INTRODUCTION
Unité de base : Qubit- Electron : spin U/D- Atome avec deux niveaux d’ énergie: fondamental/excité- Photon : polarisé horizontalement/verticalement
Bit VS Qubit
Théorie de l’information quantique1980
Feynman, Benett, Benioff, Deutsch
Théorie de l’information1940
Shannon, Turing
Mécanique quantique1900-1930
Planck, Bohr, Schrödinger, Pauli, …
Bit Qubit
Système quantique présentant deux niveaux distincts
L’information quantique
Pour de nombreux problèmes : meilleurs efficacité algorithmes quantiques
• Factorisation d’un nombre (Shor)• Problème du sous-groupe caché (Simon)• Résolution de systèmes d’équations linéaires (Loyd)
Accélérations potentiellement exponentielles
Propriété de l’information quantique
Quelle est la nature des ressources physiques qui permettent cette accélération ?
InterférenceIntrication
Etudier deux problèmes d’intérêt pour l’information quantique
- Clonage d’un qubit et le rôle joué par l’interférence- Amplification de spin
- Cloneurs sans interférence : se situent entre les cloneurs parfaitement quantiques/cloneurs classiques- Amplification de spin dans des chaînes de grand nombre de spin
Situations semi-classiques
Lien entre les deux problèmes
Dans les deux cas on s’intéresse à reproduire l’information d’un qubit initial (sur un seul, ou sur une très grande quantité de qubits).
Problématique de la thèse
Clonage quantique à 2 qubits
sans interférence
Impossible de cloner parfaitement :
Théorème de non-clonage
Nature probabilisted’un état quantique
Avant d’effectuer une mesure, le système n’existe dans aucunétat classique en particulier (interprétation de Copenhague)
1982 : Wootters – Zurek
Particularités du clonage quantique
Définition du clonage Classique : copie de l’état classique (~ photocopie)Quantique : copie de l’état quantique (matrice densité)
Fidélité simple
Fidélité moyenne
: Vecteur initial
Matrices densités réduites :
Fidélités de clonage: Matrice densité totale d’un système à 2 qubits
Sphère de Bloch
Cloneurs universels / symétriques / optimaux
Cloneurs classiques / quantiques
[1] : M. Horodecki, P. Horodecki, and R. Horodecki. : Phys. Rev. A, 60, 1888 (1999)
Types de cloneurs
[2] : V. Buzek and M. Hillery. : Phys. Rev. A, 54, 1844 (1996)
Fidélités moyennes maximales pourdes cloneurs symétriques universels
Pour les cloneurs classiques : [1]Pour les cloneurs quantiques : [2]
Cloneur universel :
Cloneur symétrique :
Classiques : Ne propagent que les termes diagonaux des matrices densitésQuantiques : Propagent les termes diagonaux et les cohérences des matrices densités
Cloneur optimal : fidélités maximales autorisées
• A et B peuvent être échangés• Même forme
Cloneur symétrique et universel
Matrices densités réduites
Fidélités
Définition
Valeur maximale pour un clonage quantique symétrique et universel
Cloneur de Buzek-Hillery
Propagateur d’une matrice densité Traduit le passage
Propriétés attendues d’une mesure d’interférence
- Qu’elle mesure le degré de cohérence de la propagation
- Qu’elle mesure l’équipartition de la propagation - Qu’elle dépende de la base dans laquelle l’on se
place
Mesure d’interférence
Clonage et interférence
[I]
[I] : D.Braun, B.Georgeot – Quantitative measure of interference Phys. Rev. A 73, 022314, (2006)
Opération de Reshuffling
Lien matrice dynamique – Propagateur :
Matrice dynamique
Propriétés de
• Hermitienne :
• Bloc – positive :
• Conserve la normalisation de :
Forme générale d’une matrice dynamique d’interférence nulle
Fidélités moyennes
Interférence
Reformulation en terme de matrice dynamique
: Fonctions linéaires des éléments
• Pas accès aux cohérences• Seuls les termes diagonaux des matrices densités (probabilités) sont reliés entre eux
Définition
Fidélités moyennes d’un clonage classique
Cas d’un clonage classique
Bloc-positivité de
Conditions de normalisation
, : Fonctions linéaires des éléments matriciels
: Matrice hermitienne, bloc-positive : grand nombre d’éléments indépendants
Problème
Condition supplémentaire : positive
Problème de programmation semi-définie Qui assure qu’un extremum local est également global
Données
Problème d’optimisation convexe
Problème d’optimisation
pour un donnéTrouver qui
optimise
pour un donné
Frontière noire :
Matrice dynamique pour le cloneur symétrique optimal
Domaine gris foncé :
Point rouge :
Domaine convexe desCloneurs sans interférence
Cloneurs meilleurs que les cloneurs classiques
Cloneur symétrique optimal
Domaine convexe grisé :
Fidélités moyennes minimales et maximales pour un cloneur sans interférence
Ensemble convexe de cloneurs sans interférence possédant une matrice dynamique positive
B.Roubert, D.Braun –Phys. Rev. A, 78, 042311 (2008)Role of interference in quantum cloning
Problème de programmation semi-définie Trouve extrema globaux
N’assure pas leur unicité
• 10 valeurs propres non nulles
• Ses V.P. forment une matrice réelle orthogonale dans la base computationnelle
Propriétés de
Forme de dans la base des vecteurs propres de
Cloneurs symétriques optimaux sans interférence
Sous-espace des v.p.
non nulles
Sous-espace des v.p. nulles
Problème : Trouver•
• , restent
identiques • Conditions normalisation conservées• reste positive
Cloneurs symétriques optimaux sans interférence
: Matrice dynamique optimale perturbée
Résumé des résultats importants
• Possible de construire à tout un continuum de cloneurs quantiques - asymétriques universels clonant mieux que classiquement
- optimaux symétriques universels
• Cloneurs sans interférence étudiés : cas semi-classiques
• L’interférence n’est pas une ressource indispensable pour cloner mieux que classiquement
Amplificationde spins
• Détection• Mesure de son
état• Transfert spatial
Problèmes importants pour les systèmes à 1
spin
Détection/Mesure de spin unique
[I] : Rugar et al. - Single spin detection by magnetic resonance force microscopy - Nature, (2004)
• Plus petits éléments de volume : - 1012 (spins nucléaires)- 107 (spins électroniques)
• Limite de résolution : 1 µm
MFRM• Capable de détecter un spin unique • Force très faible : 10-18 newton
DETECTION MESURE
• Un point quantique • Un électron dans deux états possibles • Un réservoir de potentiel électrochimique
• Si électron dans état ES peut par effet tunnel sortir du point quantique
• Mesure de l’état de charge du point quantique : Absence/présence de l’électron
IRM
[I]
Transfert de spin
[I] : S.Bose - Quantum Communication through an Unmodulated Spin Chain - Phys. Rev. Lett. 91,20 (2003)
Principe de l’expérience
Conditions de transfert parfait
[II] : M.Christandl et al. - Perfect State Transfer in Quantum Spin Networks - Phys. Rev. Lett. 92, 18 (2004)
• Laisse évoluer le système librement suffisamment longtemps• A un moment t Bob mesure l'état de son spin (intriqué avec la chaîne)
Alice souhaite transférer son spin à Bob
• Chaîne de Heisenberg (J cts) initialisée dans l’état down
ProblèmeProtocole
[I]
[II]
N
Amplification de spin
• Philosophie• Effets de bords• Caractère semi-classique
Philosophie de l’amplification de spin
RésonanceRésonance Résonance
Problème : Détection et mesure de l’ état d’un spin unique = véritable chalenge
Solution : Amplifier l’état du spin+ Mesurer l’état macroscopique correspondant
Méthode : Systèmes à effet de domino quantique
Etat GHZ
Exemple pour une chaîne linéaire de N spins
Objet de mesure Amplificateur
Modèle de Lee-Khitrin
[1] : Lee, Khitrin : Stimulated wave of polarization in a 1D dimensional Ising chain : Phys. Rev. A., 71, 062338 (2005)
Chaîne de spins: temps adimensionné
: amplitude du champs irradiant
[I]
Effets de bords Approche semi-classique
Concernant l’amplification de spin : Pas d’études sur l’importance des effets de bords
• Chaînes de spins : présence/absence d’un simple couplage
Concernant le transfert de spin :Beaucoup d’études sur les effets géométrie/topologie
• Chaînes ouvertes/fermées• Chaînes traversées ou non par des flux magnétiques• Structures étoiles 1D/3D
Effets de bords importants
Approche semi-classique : Justifiée en raison du grand nombre de spins
• On ne conserve que les chemins classiques qui contribuent de façon privilégiée aux dynamiques observées
Comportements macroscopiques très différents
• La plupart du temps : s'évanouissent dans la limite thermodynamique
Modèle physique de Lee-Khitrin
Lien transfert/amplification
Modèle physique de Lee-Khitrin
Chaîne d’ Ising 1D + Interactions entre plus proches voisins uniquementIrradiée à résonnance par un champs faible transverse monochromatique
Modèle physique :
: Différence d’énergie entre le niveau fondamental et excité d’un spin isolé: Amplitude du champs irradiant
: Constante de couplage entre plus proches voisins
Hamiltonien séculaire
Dynamique
Equivalence transfert /amplification
Hamiltonien
Dynamique
: spins
Pour avoir des tailles de bases identiques
: spins
Dynamique induite par dans la base des
Dynamique induite par dans la base des
Systèmes étudiésBases
importantes
Nature des systèmes
Nature des systèmes
Nature des systèmes
Introduction des états et
Etats , : Etats miroirs
spins down consécutifs dont le dernier en position
Etats :
Etats
Comparaison des systèmes
/
Polarisations totales /individuelles
Polarisations individuelles
Polarisations totales moyennes
Relation de dispersion des spectres
Dispersion d’un modèle de liaisons fortes 1D
Pour une même taille de base
Pour une même taille de chaîne
Seule différence notable :dégénérescence des v.p. pour
Hamiltonien Hamiltonien
Dynamique Dynamique
Etude détaillée /
Représentation matricielle(dans la base de la dynamique)
Représentation matricielle(dans la base de la dynamique)
On reconnaît l’hamiltoniend’un modèle de liaisons fortespour une chaîne 1D ouverte
On reconnait un modèle deliaisons fortes pour une chaîne 1Dfermée
Valeurs propres – Vecteurs propres Valeurs propres – Vecteurs propres
Etude détaillée /
A partir v.p. /V.P. analytiques : expression analytique des propagateurs :
Propagateur en terme de fonctions de Bessel
Approximation du propagateur : temps faibles
Etude détaillée /
Approximation semi-classiquede la fonction de Bessel
Comportement linéaire de la polarisation totale
: phase accumulée le long des chemins classiques
Etude détaillée /
Au voisinage du point tournant• Approximation WKB s’effondre• Fonction de Airy
Comparaison des systèmes
/
Etude comparative /Hamiltonien Hamiltonien
Dynamique Dynamique
Représentation matricielle(dans la base de la dynamique)
Représentation matricielle(dans la base de la dynamique)
Valeurs propres –vecteurs propres :Obtenus par diagonalisation numérique
Etude comparative /
Polarisations totales moyennes
Polarisations individuelles
Comparaison polarisations
Comparaison des systèmes
/
/
Polarisations et fidélités totales
Polarisations totales moyennes Fidélités totales de polarisation
Relations de dispersion
Dispersion suivant un modèlede liaisons fortes 1D
• Pentes finies en bornes de spectre• Fortes dégénérescence au centre du spectre
Raisons des différences de comportements macroscopiques
• Dimension des bases • Relation de dispersion des
spectres
• Polarisations totales moyennes• Fidélités totales de polarisation
Différences macroscopiques de comportement entre les différents systèmes
Différences entre / et /
• Présence ou non de couplages supplémentaires donne accès aux bases des états miroirs
Différences entre et : et
Résumé amplification dans des chaînes de spins
• Qui présentent des effets de bords très importants
• Pour lesquels on peut réaliser une approximation semi-classique
• Qui proposent une solution au problème détection/mesure spin unique
Chaînes de spins = systèmes
CONCLUSION/PERSPECTIVES
Deux cas semi-classiques : • Clonage sans interférence• Amplification de spin dans les chaînes de spins
[I][II]
[I] : B.Roubert, D.Braun – PRA 78, 042311 (2008) Role of interference in quantum cloning [II] : B.Roubert, P.Braun, D.Braun - PRA 82, 022302 (2010) Large effects of boundaries on spin amplification in spin chains
Poursuites intéressantes : • Peut-on cloner de façon optimale sans interférence pour des cloneurs à M qubits ?
• Peut-on exploiter les résultats obtenus dans l’amplification pour des mesures de précisions ?
• Que se passe-t-il si l’on inclut dans l ’étude de l’interférence le cloneur lui-même ?
Remerciements