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“Progettare” la regolarità strutturale

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“Progettare” la regolarità strutturale

Lo sviluppo di un progetto strutturale è un processo di tipo iterativo: sulla base dell’esperienza e dei vincoli imposti dal progetto generale il progettista seleziona i materiali, definisce la geometria di primo tentativo delle sezioni, stima le sollecitazioni, verifica le sezioni più significative ed eventualmente ne modifica la geometria. Il processo si ripete fino alla scelta definitiva.

Nel caso delle strutture iperstatiche l’entità delle sollecitazioni dipende dalle caratteristiche sia meccaniche che geometriche degli elementi e del complesso strutturale: in particolare per le strutture “in parallelo”, la maggior parte delle strutture correnti, l’entità delle sollecitazioni dipende dai rapporti tra le rigidezze degli elementi che le compongono. Elementi più “rigidi” tendono ad assorbire quote maggiori dei carichi dunque sono più sollecitati e potrebbero richiedere dimensioni maggiori con aumento della rigidezza, di conseguenza delle sollecitazioni… in una sorta di ciclo che può portare a soluzioni non ottimali. In presenza di forze orizzontali (vento o sisma) anche il modello di analisi strutturale è influenzato dalle caratteristiche geometriche e meccaniche del complesso strutturale. Ad esempio per le strutture in zona sismica le Norme Tecniche richiedono che l’analisi delle sollecitazioni sia sviluppata tenendo conto, in modo più o meno esteso, dei modi di vibrare del complesso strutturale.

L’interazione tra modello della struttura e sollecitazioni può essere dunque complessa ma il progettista la può “governare” adottando schemi di comportamento dell’insieme chiaramente definiti. In una struttura dovrebbero essere presenti specifici sistemi di controvento per il trasferimento dei carichi orizzontali, affidati negli edifici ai nuclei ascensore e a eventuali setti, lasciando ai telai formati dai pilastri e dalle travi di piano il compito di trasferire i carichi verticali alle fondazioni.

Non basta, peraltro, predisporre controventi in numero e con geometrie adeguate: essi devono anche essere disposti in pianta in modo da contenere gli spostamenti di piano, perché da questi dipendono le sollecitazioni dei diversi sistemi resistenti dunque, in definitiva, la sicurezza dell’opera. Per tale motivo le Norme evidenziano il concetto di “regolarità strutturale”, che non significa per forza “simmetria” nella disposizione in pianta degli elementi resistenti. E’ possibile realizzare strutture con ottimo comportamento alle azioni orizzontali a “pianta libera”, prive di disposizioni simmetriche, a patto che si seguano in fase di progettazione alcuni criteri.

Lo scopo delle note che seguono, e del programma basato su di esse, è proprio quello di fornire ai progettisti tali criteri e uno strumento di facile uso che, a partire solo dalla geometria e dalla disposizione in pianta degli elementi verticali di un edificio (pilastri, nuclei, setti), sia in grado di evidenziare fin dalla fase iniziale del progetto eventuali carenze di impostazione.

Contribuendo, speriamo, a facilitare il dialogo tra due mondi spesso separati, quello degli architetti e quello degli ingegneri. Un dialogo che deve essere proficuo, in assenza del quale i risultati progettuali che si ottengono sono spesso insoddisfacenti.

Francesco Biasioli

Torino, gennaio 2007

Ringraziamenti

Il programma è nato come strumento di supporto ai corsi di aggiornamento sugli Eurocodici organizzati dalla Federazione Interregionale degli Ordini degli Ingegneri del Piemonte e della Valle d’Aosta. E’stato sviluppato in ambito AUTOCAD grazie alla disponibilità della società Setec, responsabile del progetto ”Auto_CA” di sviluppo di un programma per il disegno delle carpenterie e armature delle strutture di calcestruzzo armato. Alla fase di studio e test ha dato valido contributo l’ing. Doimo. La distribuzione e diffusione è possibile grazie alla disponiblità di InfoBuild e di Euroconcrete – l’informazione per i progettisti. l programma (e le sue future revisioni) sono scaricabili liberamente dai siti: www.auto-ca.it e www.euroconcrete.it.

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1. Le forze orizzontali sugli edifici

Gli edifici devono essere sempre progettati per un insieme anche minimo di forze orizzontali dovute a:

• eventuali non verticalità di travi e pilastri, oppure

• l’azione del vento, oppure

• l’azione sismica.

Tranne che nei casi più semplici – ad es. negli edifici di altezza limitata - le forze orizzontali devono essere assorbite da un complesso di elementi detti “di controvento” – nuclei scale-ascensori o setti – presenti in quantità adeguata e disposti in modo da minimizzare eventuali gli effetti torsionali dovuti alle forze agenti. Gli elementi di controvento sono essenziali per “stabilizzare” il complesso strutturale.

2. Il dimensionamento dei controventi

EC2 5.8.3.3 Nelle strutture controventate i telai possono essere a nodi fissi o a nodi mobili. Un telaio è definito a nodi fissi se, nel calcolo dei suoi pilastri, è lecito trascurare gli effetti dovuti a non linearità geometrica (eccessiva deformabilità degli elemento) e/o meccanica (comportamento non lineare dei materiali); in caso contrario il telaio è classificato come a nodi mobili.

E’ sempre possibile realizzare strutture i cui telai siano a nodi fissi predisponendo elementi di controvento in quantità adeguata: in tal modo si limitano le dimensioni dei pilastri e si individuano due distinte strutture di trasferimento dei carichi, i telai per i carichi verticali, i controventi per i carichi orizzontali.

In un edificio in cui gli elementi di controvento sono distribuiti planimetricamente in modo da limitare gli effetti torsionali dovuti alle forze orizzontali, i telai controventati possono essere considerati a nodi fissi se la rigidezza flessionale complessiva (" Ecd Ic/L) dei controventi soddisfa la condizione

cd cs

V,Ed 1 2s

E InF = k

n +1,6 L

! [2.1]

Nella [2.1] i termini indicano:

ns numero di piani dell'edificio che possono muoversi nel piano orizzontale

L altezza totale dell’edificio (m) misurata dal vincolo flessionale degli elementi di controvento

FV,Ed carico verticale (kN) totale allo SLU agente sugli elementi controventati e di controvento; nella stima di FV,Ed i carichi vanno assunti fissi e senza riduzione ai piani

Ecd valore di progetto del modulo elastico del calcestruzzo (kN/m2): 2/3

cm ckcd

c,E c,E

E 22 [(f +8)/10]E = =

# #1

Ic momento d’inerzia della sezione degli elementi di controvento (m4)

k1 coefficiente che ha valore k1 = 0,31 se si assume che allo stato limite ultimo gli elementi di controvento siano fessurati, k1 = 0,62 se li si assume come non fessurati.

La [2.1] permette il calcolo del valore minimo dell’inerzia flessionale complessiva ("Ic) di un insieme di elementi di controvento realizzati con calcestruzzo di resistenza fck. Si ottiene:

2

V,Edc

1 cd s

F L 1,6 I = 1 +

k E n

" #" $ %

& ' [2.2]

L’inerzia flessionale complessiva minima ("Ic) deve essere disponobile per entrambe le direzioni principali dell’edificio.

1 Nella formula fck va espresso in N/mm2. Per l’Italia fck = 0,83 Rck. L’Eurocodice suggerisce di adottare il valore #cE = 1,20.

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3. Il modello di solaio rigido e gli spostamenti di piano

Perché il sistema di controventi risulti efficace le strutture di controvento, oltre che presenti in quantità adeguata, devono essere disposte planimetricamente in modo da limitare gli effetti torsionali sul complesso. Occorre dunque valutare l’efficacia della disposizione in pianta degli elementi.

Si adotta un modello semplificato che considera solo il primo solaio di un edificio che può presentare spostamenti e rotazioni per effetto di un insieme di forze orizzontali applicate al complesso strutturale. Tale solaio, assunto come infinitamente rigido nel suo piano dunque indeformabile, collega le estremità superiori di una serie di elementi verticali (pilastri, setti e nuclei - fig. 3.1) considerati incastrati alle estremità opposte. Si assume che i lati di tutti gli elementi siano paralleli ai lati del solaio.

Fig. 3.1 - Modello di solaio

La parte di edificio soprastante il solaio è trattata come un unico corpo rigido che si muove seguendo il movimento del primo solaio (fig. 3.2). Causa tale approssimazione il modello fornisce indicazioni sufficientemente precise solo per edifici “regolari” in pianta e in altezza2; nel caso di edifici alti o privi di regolarità strutturale il modello fornisce risultati che possono essere fortemente approssimati, ma è in grado di evidenziare grossolane criticità nella disposizione planimetrica degli elementi di controvento.

Fig. 3.2 - Modello di edificio

2 La regolarità strutturale è definita nel capitolo 7.

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Un solaio infinitamente rigido soggetto a un sistema di forze orizzontali agenti nel suo piano e comunque orientate si sposta e ruota. Con riferimento a un sistema di riferimento (x,y) con origine in un punto O qualsiasi, interno o esterno al solaio, gli spostamenti nelle direzioni x e y e la rotazione del solaio attorno all’origine O sono individuati da tre grandezze: u0, v0 e $ (fig. 3.3).

Mentre i punti del solaio rigido si spostano tutti delle quantità u0 e v0, la rotazione $ fa spostare le estremità di un elemento verticale i-esimo di coordinate (xi yi ) delle quantità %xi e %yi la cui entità dipende sia dalla rotazione $ del solaio che dalla distanza r dell’elemento dall’origine O. La rotazione genera infatti uno spostamento &i = (r $) dell’estremità dell’elemento le cui componenti sono %xi e %yi.

Fig. 3.3 – Componenti dello spostamento

Indicando con ' l’angolo che, prima della rotazione, il segmento di lunghezza r congiungente l’estremità di un elemento di coordinate (xi yi ) con l’origine O fa con l’asse x, a rotazione avvenuta valgono le relazioni trigonometriche (fig. 3.3, sinistra):

%xi = r cos (' + $) – r cos ' = r cos ' cos $ - r sin ' sen $ - r cos '

%yi = r sen (' + $) – r sen ' = r sen ' cos $ + r cos ' sen $ - r sen '

Dato che la rotazione $ è molto piccola si possono porre sen $ = $ e cos $ = 1. Sostituendo:

%xi = - (r sin ') $ = - yi $ %yi = (r cos ') $ = xi $

Sommando a tali incrementi gli spostamenti rigidi di piano u0 e v0 (fig. 3.3 destra) si ottengono gli spostamenti totali:

ui = u0 + %xi = u0 - $ yi vi = v0 +%yi = v0 + $ xi [3.1]

Lo spostamento “globale” &i dell’estremità dell’elemento i-esimo, le cui componenti sono (ui vi), vale:

2 2i iu + v!& = [3.2]

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4. Le rigidezze degli elementi strutturali

All’estremità di un elemento che subisce spostamenti ui e vi e una rotazione $ nascono delle forze e coppie di reazione che, all’annullarsi dell’azione che ha provocato lo spostamento, tendono a riportare l’elemento nella sua posizione originale. In figura 4.1 sono evidenziate le forze reattive all’estremità di due pilastri, proporzionali alla rigidezza a flessione e taglio di ciascun elemento. Eventuali coppie di reazione dovute a una rotazione del piano sarebbero proporzionali alla rigidezza torsionale.3

Fig. 4.1– Forze attive e reattive

RIGIDEZZE A FLESSIONE E TAGLIO

Negli edifici sono presenti elementi di controvento - i setti e i vani ascensore – che si assumono incastrati in fondazione, e altri elementi - i pilastri di piano – collegati alle travi dei piani superiori e inferiori dei telai: se tali travi sono considerate infinitamente rigide, le estremità dei pilastri non possono ruotare. Se non c’è una rotazione del piano rigido setti, vani ascensore e pilastri sono obbligati ad avere tutti gli stessi spostamenti ma si deformano in modo diverso: i setti e i vani ascensore come mensole di altezza pari all’altezza d’edificio, i pilastri come elementi di altezza pari all’interpiano.

Fig. 4.2 – Deformate di elementi di controvento e di pilastri

L’effetto del solaio rigido è simulato in figura 4.2 da una biella inestensibile che collega un setto con un generico telaio, e dalle presenza delle travi di piano indeformate. Sia gli elementi di controvento che i pilastri si deformano per flessione e taglio e la forza reattiva che sviluppano dipende dalla rigidezza a flessione e taglio di ciascun elemento, che si può ricavare se è nota la sua “deformabilità globale”.

3 In meccanica le rigidezza assiale Kz, flessionale K( e torsionale KT di una molla sono la forza Fz la coppia Mx e la coppia Mz da

applicare alle estremità della molla per ottenere, rispettivamente uno spostamento relativo &, una rotazione relativa ( o un rotazione relativa $ di valore unitario. L’inverso di ciascuna rigidezza è detta “flessibilità”, definita come lo spostamento o la rotazione relativa provocate da una forza o da una coppia di valore unitario. La rigidezza ki di un elemento di controvento o di un pilastro che si deforma per flessione e taglio

Fi = ki &i

è pari alla forza che provoca uno spostamento relativo &i = 1 delle estremità dell’elemento. .

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Figura 4.3 – Deformate di interpiano – mensola

Con riferimento alla parte di struttura che comprende il primo impalcato evidenziata in fig. 4.2, si esaminano due elementi, un tratto di mensola e uno dei pilastri del telaio, entrambi con altezza pari all’altezza l dell’interpiano. Il tratto di mensola soggetto a una generica forza F applicata a livello del primo impalcato, presenta le sollecitazioni di fig. 4.3. Lo spostamento dell’estremità, somma degli spostamenti per flessione &M e taglio &V, vale:

3

M V

l l = + = + t F

3 E J G A

( )& & & * +

, - [4.1]

dove

J, A, l momento d'inerzia baricentrico, area della sezione trasversale e lunghezza dell'elemento

t fattore di taglio della sezione trasversale

E, G moduli di elasticità longitudinale e tangenziale del materiale.

Per F = 1 il termine entro parentesi rappresenta la “flessibilità globale” dell’elemento, somma di due addendi di cui il primo è la flessibilità a flessione , il secondo la flessibilità a taglio.

Poiché E

G = 2 (1+ ))

() è il coefficiente di Poisson del materiale), esprimendo il momento di inerzia mediante

il raggio giratore * (J = A *2 ) e invertendo la flessibilità “globale” si ottiene la rigidezza globale dell’elemento

a mensola:

23

1 E A 1k =

ll t l 1 l+ + 2 t (1+ ) 3 E J G A 3 !

=( ) ( )" #

)* + * +$ %, - & '* +, -

Uno qualsiasi dei pilastri di piano con la stessa lunghezza della mensola se soggetto a uno spostamento relativo & delle estremità presenta una deformata antisimmetrica (fig.4.4). Sull’asse di simmetria orizzontale posto a metà altezza si trova il punto di inversione della curvatura della linea elastica (punto di flesso). In tale punto il raggio di curvatura * ha valore infinito: stante la relazione, valida in campo elastico, (1/*) = M/(EJ tra curvatura 1/* e momento M il momento flettente M ha valore nullo.

Figura 4.4 – Deformate di interpiano – pilastro

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Per l’antisimmetria della deformazione lo spostamento orizzontale della sezione di mezzeria è metà dello spostamento relativo & delle estremità: ”tagliando” il pilastro nella sezione di simmetria ove M = 0 l’unica forza che si trasferisce è il taglio V = F, che agisce su una mensola incastrata di luce l/2. Le relazioni precedenti si scrivono:

3

2

(l/2) l/2 E A 1 = + t F k =

2 3 E J G A l 1 l + 2 t (1+ )

12 !

( )&* + ( ), - " #

)* +$ %& '* +, -

Le espressioni nei due casi differiscono solo per il coefficiente che nella parentesi a denominatore moltiplica la snellezza (l/*). Entrambi i casi sono pertanto rappresentati dalla formula:

2

E A 1k =

l 1 l + 2 t (1+ )

!( )" #

)* +$ %' & '* +, -

[4.2]

nella quale ' = 3 per gli elementi di controvento e ' = 12 per i pilastri. Per il coefficiente di Poisson si può assumere ) = 0,20 se si considera che un elemento non sia fessurato – come può avvenire per i nuclei e i setti - e ) = 0 se si considera che l’elemento sia fessurato, come risultano sempre i pilastri.

Nella [4.2] la “rigidezza“assiale” [EA/l] risulta ridotta per la presenza del termine a denominatore della frazione. In tale termine il primo addendo dipende dalla snellezza (l/*), il secondo per una sezione geometricamente definita (fattore t) e un dato materiale (coefficiente )) ha valore costante. Il “peso relativo” di ciascuno dei due addendi sul totale dipende pertanto dal valore del rapporto (l/*).

Per sezioni rettangolari di lati bx, by nelle direzioni X e Y A = bx by Y,Xx,y

b=

12*

5

6=t

Per sezioni circolari di raggio r A = + r2 r

= 2

* 10t =

9

Un elemento “tozzo” come un setto o un nucleo ascensore ha dimensione in pianta b significativa, dunque raggio giratore * dello stesso ordine di grandezza dell’altezza l: il primo addendo è dello stesso ordine di grandezza del secondo, entrambi sono relativamente piccoli e la rigidezza globale dell’elemento è molto elevata rispetto a quella del solaio. Il solaio non riesce a impedire la rotazione del nodo di ’estremità dell’elemento: risulta confermata l’ipotesi che prevede una deformata affine a quella di una mensola (deformata “bending type” – fig. 4.3).

Per un elemento “snello” quale può essere considerato un pilastro avente altezza l >> * la snellezza (l/*) è molto grande e il primo termine in parentesi prevale sul secondo: la rigidezza globale k dell’elemento risulta piccola rispetto alla rigidezza del solaio, il nodo d’estremità che collega il pilastro alla trave non ruota e la deformazione è di tipo “a taglio” (deformata “shear type” - fig. 4.4) 4.

RIGIDEZZE TORSIONALI

La rotazione $ del solaio mobilita la rigidezza torsionale di tutti gli elementi le cui estremità sono ad esso rigidamente collegate. La rigidezza torsionale – cioè la coppia Tz da applicare all’estremità libera di un elemento di lunghezza l incastrato alla base per ottenere una rotazione $ unitaria - ha espressione diversa a seconda che l’elemento abbia sezione piena (pilastri e setti) o a parete sottile (nuclei ascensore). Nel secondo caso la rigidezza torsionale inoltre varia se la forma della sezione a parete sottile è aperta (sezione a C) o chiusa (sezione anulare).

4 Nei casi reali l’interazione tra i molti telai e gli elementi di controvento fa si che i telai “trattengano” gli elementi di controvento ai

piani inferiori e siano “trattenuti” dalle mensole ai piani superiori. L’interazione tra gli elementi dunque è complessa ma per lo scopo di questo studio, tali effetti mutui possono essere trascurati.

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La sezione d’estremità di un elemento di lunghezza l incastrato alla base e sollecitato all’estremità libera da una coppia di momento Tz ruota della quantità (fig. 4.5):

z

t

T l

GJ$ =

Ponendo $ = 1 si ottiene la RIGIDEZZA TORSIONALE tGJk =

l$

Nella formula Jt è il momento di inerzia torsionale che vale:

• per sezioni circolari piene di raggio r Jt = Jp = + r4/2

• per sezioni rettangolari di dimensioni a e b con a > b:

3

t

a b 3J = =

1 - 0,63 b/a,

, tende al valore 3 se a >10 b

• per sezioni che possono essere suddivise in rettangoli di dimensioni (ai - bi ) con ai > bi si sommano i contributi dei rettangoli cercando la suddivisione che rende massimo il momento Jt:

3i i

ti i

a b 3J = =

1 - 0,63 b /a!

!

" ,,

• per sezioni anulari chiuse con pareti di spessore costante s la cui “linea media” posta a distanza s/2 dai bordi ha lunghezza u e racchiude l’area .:

2t

sJ = 4

u.

5. Il centro di taglio delle sezioni a profilo aperto

Per gli elementi con sezione a profilo aperto sia le caratteristiche di sollecitazione che tutte le caratteristiche geometriche delle sezione trasversali (momenti di inerzia flessionali e torsionali, da cui dipendono le rigidezze) vanno riferite a un punto della sezione diverso dal baricentro, il “centro di taglio”. Per tale punto passa la risultante delle tensioni tangenziali che si hanno sulla sezione se una sollecitazione di taglio ha retta di azione che passa per il baricentro della sezione.

Se la sezione è dotata di un asse di simmetria, il centro di taglio si trova su tale asse, se ha due assi di simmetria, il centro di taglio coincide con il baricentro. Se la sezione ha forma di L, il centro di taglio è all’incrocio degli assi delle due ali, se ha forma di T, è all’incrocio degli assi dell’ala e dell’anima.

In una sezione a parete sottile a forma di C simmetrica rispetto a un asse orizzontale posto a metà altezza dell’anima verticale, il centro di taglio dista dall’asse dell’anima della quantità(fig. 5.1):

2 2 31 1

3 2 2 3 21 1 1

3h b + 6h b - 8be = b

h + 6h b + 6h b + 8b +12hb

Per sezione a C senza risvolti è b1 = 0. Il centro di taglio è il punto rispetto al quale si devono calcolare tutte le caratteristiche di sollecitazione, e anche il punto attorno a cui la sezione ruota se soggetta a torsione.

.

Fig. 4.5 – Rigidezza torsionale

Fig. 5.1 – Centro di taglio

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6. Calcolo degli spostamenti di piano

Un solaio infinitamente rigido che collega una serie di elementi verticali (pilastri, setti, nuclei ascensore) incastrati al piede, se soggetto a un sistema di forze orizzontali dovute a non verticalità dell’edifico, oppure vento o sisma e comunque dirette si sposta, e ruota nel piano.

Con riferimento a un sistema di riferimento (x,y) con origine in un qualsiasi punto del piano (fig. 6.1):

- le grandezze u0 , v0 e $ sono gli spostamenti dell’origine O secondo x e y e la rotazione del piano;

- le grandezze X, Y e M sono le componenti della risultante F del sistema d forze e il momento risultante del sistema rispetto all’origine O.

Si ammette che tutti gli elementi verticali abbiano lati paralleli alle direzioni degli assi coordinati (fig. 6.1) e siano indeformabili assialmente: il piano deformato dunque non presenta spostamenti in direzione verticale.

Fig. 6.1 - Risultante del sistema di forze

Gli spostamenti del centro di taglio di un elemento verticale i-esimo di coordinate xi e yi

ui = u0 - $ yi vi = v0 + $ xi

fanno nascere all’estremità dell’elemento le forze di reazione Fxi e FYi, legate alle rigidezze a flessione e taglio dell’elemento secondo le direzioni x,y dalle relazioni:

Fxi = kxi ui = kxi (u0 - $ yi) Fyi = kyi vi = kyi (v0 + $ xi) [6.1]

La rotazione $ fa nascere nell’elemento i-esimo il momento torcente di reazione MTi legato alla rigidezza torsionale k$,i dell’ elemento dalla relazione

MTi = k$i $

Il sistema delle forze reattive interne (Fxi Fyi MTi ), di cui una terna di componenti per un generico elemento i-esimo è rappresentato in figura 6.1, equilibra il sistema di forze esterne F (X, Y, M). Considerando le direzioni positive delle forze e dei momenti come in figura le equazioni di equilibrio sono:

Alla traslazione secondo X " Fxi = " kxi (u0 - $ yi) = X

Alla traslazione secondo Y " Fyi = " kyi (v0 + $ xi ) = Y

Alla rotazione risp. a O - "Fxi yi + " Fyi xi + " MTi = - " kxi (u0 - $ yi)) yi + " kyi (v0 + $ xi )xi + " k$i $ = M

Raccogliendo i termini ed esplicitando esplicitando nelle tre equazioni tutte le incognite, anche quelle i cui coefficienti sono nulli si ottiene un sistema di tre equazioni nelle tre incognite u0, v0 e $:

(" kxi )u0 [ + 0 v0] – (" kxi yi ) $ = X

[ + 0 u0] + (" kyi ) v0 + (" kyi xi ) $ = Y

- (" kxi yi)u0 + (" kyi xi) v0 + (" kyi xi2 + " kxi yi

2 + " k$i ) $ = M

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Ponendo Kx = " kxi Ky = " kyi somma delle rigidezze nelle direzioni x e y Skx = " kxi yi Sky = " kyi xi momenti statici delle rigidezze nelle direzioni x e y rispetto agli assi KT = " kyi xi

2 + " kxi yi2 + " k$,i momenti del secondo ordine delle rigidezze rispetto agli assi

si ottiene5

Kx u0 [ + 0 v0] – Skx $ = X

[ + 0 u0] + Ky v0 + Sky $ = Y

– Skx u0 + Sky v0 + KT $ = M

Le tre equazioni diventano disaccoppiate, cioè ciascuna equazione fornisce un’incognita, se tutti i termini simmetrici rispetto alla “diagonale principale” si annullano. Tali termini sono i momenti statici Skx e Sky delle rigidezze in direzione x e y rispetto agli assi coordinati: per annullarli è dunque sufficiente che l’origine O del sistema di riferimento sia fissata nel BARICENTRO DELLE RIGIDEZZE o CENTRO DI TAGLIO del sistema, le cui coordinate nel sistema originale sono:

ky yi i kx xi ik k

y yi x xi

S k x S k yx = y =

K k K k= =! !! !

A tale nuova origine vanno ovviamente riportate anche tutte le forze agenti, modificando di conseguenza il momento di trasporto M che assume il valore M. In tale riferimento le tre incognite valgono

0 0x y T

X Y Mu = v = =

K K K"$ [6.2]

In base alle [5.1] e [5.2] le forze reattive su ciascun elemento risultano:

x,ix,i x,i 0 i i

x T

y,iy,i y,i 0 i i

y T

k MF = k (u - y ) = X - y

K K

k MF = k (v + x ) = Y + x

K K

"

"

$

$

[6.3]

Nelle [6.3] le coordinate xi e yi sono riferite al nuovo sistema di riferimento centrato sul baricentro delle rigidezze.

In base alle [6.3] le forze che sollecitano ciascun elemento hanno una componente proporzionale al “peso” delle rigidezze nelle direzioni x,y rispetto alla rigidezza totale corrispondente, a cui si somma l’effetto del momento M, che risulta direttamente proporzionale alla distanza di ciascun elemento dal baricentro delle rigidezze. Gli effetti torsionali pertanto sono massimi per gli elementi più distanti dal baricentro delle rigidezze.

Se la risultante del sistema di forze F passa per il baricentro delle rigidezze è M = 0 dunque $ = 0: i punti del piano si spostano tutti nelle direzioni x,y delle quantità:

i 0 i 0x y

X Yu = u = v = v =

K K

Se il sistema di forze si riduce a una coppia (cioè se X = Y = 0 e M / 0) risultano u0 = v0 = 0 e $ / 0. Gli spostamenti dei punti del piano valgono:

i i i i i iT T

M Mu = - y = - y v = x = x

K K" "$ $

5 La matrice dei coefficienti delle incognite ha i termini simmetrici rispetto alla diagonale principale uguali e i termini della diagonale principale tutti positivi: tali condizioni garantiscono che per un assegnato sistema di forze (X,Y,M) esiste un’unica soluzione (u0 v0 $).

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Il baricentro delle rigidezze ha coordinate (0,0) dunque per esso sono u = v = 0. Esso è dunque il solo punto che non si sposta quando il piano è soggetto a torsione, dunque rispetto al quale tutti gli altri punti del piano ruotano. Il baricentro delle rigidezze è dunque anche il CENTRO DI TORSIONE del sistema.6

7 La regolarità strutturale e l’ellisse delle rigidezze

Per il calcolo dell’inerzia complessiva degli elementi di controvento si è fatta l’ipotesi (cap. 2) che gli stessi abbiano disposizione planimetrica tale da minimizzare, in presenza di forze orizzontali, gli effetti torsionali sull’edificio. Ciò è possibile solo se l’edificio presenta “regolarità strutturale in pianta”. cioè se il baricentro delle forze orizzontali non dista in modo significativo dal baricentro delle rigidezze degli elementi verticali. Essendo in tal caso gli effetti torsionali e i relativi spostamenti poco significativi, la struttura si può considerare dotata di rigidezza torsionale adeguata.

Nella valutazione della rigidezza torsionale dei nuclei si considerano le sezioni aperte come formate da pareti rettangolari “sottili” ma senza tenere conto di fenomeni quali l’ingobbamento impedito delle sezioni, che ne aumentano notevolmente la rigidezza torsionale. Nel caso di nuclei aperti (sezioni a C o comunque senza due assi di simmetria) le rigidezze si considerano applicate nel centro di taglio della sezione trasversale.

Calcolati i valori delle rigidezze di tutti gli elementi è possibile classificare il sistema strutturale in base alla suddivisione delle rigidezze tra i diversi elementi resistenti (tabella 7.1) . Se il rapporto tra la rigidezza flessionale degli elementi di controvento C e la rigidezza flessionale totale T supera i valori di tabella, il sistema può essere classificato come a telaio/pareti o a pareti.

valori di confronto

per sistema rigidezze u.d.m. pilastri controv. totale controv

totale a telaio-pareti a pareti

KX e kY kN/m- 103 P C T C/T % > 50% > 65%

Tab. 7.1– Classificazione dei sistemi strutturali

Per quanto riguarda la regolarità strutturale, un edificio può essere classificato come regolare o non regolare in verticale e in pianta. Una struttura regolare contrasta con efficacia l’azione delle forze orizzontali, presenta minor aleatorietà di comportamento e può essere studiata con modelli di calcolo semplificati. La verifica della regolarità strutturale (obbligatoria in zona sismica) permette dunque di convalidare eventuali ipotesi semplificative assunte nella modellazione della struttura e i procedimenti d’analisi.

Per quanto riguarda le regolarità in verticale si può fare riferimento alle prescrizioni dell’Ordinanza 3274 mentre, per la valutazione della regolarità in pianta non considerata nell’Ordinanza, si deve fare riferimento alle richieste dell’EC8.

Per valutare se una disposizione planimetrica degli elementi resistenti è accettabile, per l’EC8 si calcolano i “raggi di rigidezza” del sistema strutturale e li si confrontano con le eccentricità e0 delle forze agenti, calcolate rispetto al baricentro delle rigidezze.

I “raggi di rigidezza” nelle direzioni x,y aventi espressione:

T T

X Yx Y

K Kr = r =

K K [7.1]

sono i semiassi dell’“ellisse delle rigidezze”, una figura geometrica che evidenzia come sono distribuite le rigidezze intorno al baricentro delle rigidezze7. Se i raggi hanno valore molto simile tra loro, l’“ellisse delle rigidezze” ha forma di cerchio.

6 La coincidenza tra centro di taglio e centro di torsione può anche essere dimostrata con il teorema di Betti - Maxwell. 7 I raggi di rigidezza, detti anche raggi torsionali, hanno significato affine a quello dei raggi giratori di un sistema di forze o ai raggi di inerzia polari delle sezioni, in entrambi i casi calcolati come radice quadrata del quoziente tra il momento di secondo ordine delle forze o delle aree elementari e la risultante delle forze o delle aree elementari.

“Progettare” la regolarità strutturale

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Una ellisse a forma circolare risulta di particolare interesse in quanto evidenzia un complesso strutturale in cui gli elementi verticali sono disposti in modo tale da renderla sostanzialmente indifferente alla direzione delle forze di piano agenti. La geometria e la disposizione planimetrica degli elementi verticali è in tal caso ottimale.

Definiti i raggi delle rigidezze, secondo l’EC8 le eccentricità e0X e0y tra il centro delle rigidezze e le rette di azione delle forze esterne si considerano limitate se risulta:

e0X / rx 0 0,30 e0y / ry 0 0,30 [7.2]

cioè se il baricentro delle forze cade all’interno di un “nocciolo”, di una zona limitata che si trova nell’intorno del baricentro delle rigidezze ed è estesa a circa il 9% della superficie di questa.8 S§e ad esempio l’ellisse delle rigidezze ha la forma circolare di fig. 7.1, la retta d’azione delle forze orizzontali dovrebbe passare all’interno del cerchio tratteggiato. Il rispetto della [7.2] assicura che un edificio non subirà effetti torsionali significativi per effetto delle forze orizzontali.

Fig. 7.1 – Raggi di rigidezza, ellisse delle rigidezze e nocciolo.

L’ellisse delle rigidezze è pertanto una figura geometrica di assoluto interesse per il progettista generale, in quanto può essere tracciata in base alle sole informazioni geometriche relative agli elementi verticali e alla loro posizione in pianta.

Per un assegnato sistema di controventi, un definito baricentro delle rigidezze e un dato sistema di forze, perché la [7.2] sia soddisfatta occorre “massimizzare” i termini a denominatore dei due quozienti, cioè i raggi di rigidezza. Per massimizzare i raggi di rigidezza, a parità di rigidezza totale Kx e Ky in base alla [7.1] occorre massimizzare la rigidezza torsionale KT .

KT = " kyi xi2 + " kxi yi

2 + " k$,i

A parità di sezione complessiva degli elementi di controvento, occorre dunque che questi siano disposti alle massime distanze xi yi possibili dal baricentro delle rigidezze.

E’ opportuno inoltre ricordare che la rigidezza torsionale dei nuclei è stata calcolata, a favore di sicurezza, assumendo gli stessi come costituiti da pareti isolate, dunque più deformabili a torsione di quanto non siano nella realtà: un stima più accurata che tenesse conto dell’ingobbamento impedito delle sezioni ne aumenterebbe la rigidezza torsionale k$,i dunque il valore di KT in maniera significativa. L’approccio proposto è pertanto a favore di sicurezza.

8 L’area A di una ellisse di semiassi a,b vale A = + a b

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8 Procedura “ellisse delle rigidezze” – dati generali e dati geometrici

Gli esempi che seguono sono stati sviluppati utilizzando la procedura “Ellisse delle rigidezze” sviluppata in ambito Autocad . e Autocad LT. nell’ambito del progetto Auto-C.A9. Il file “Auto_C.A. Free - Setup.exe” installa sulla barra dei menù uno specifico menù a tendina.10 Prima di procedere occorre “congelare” tutti i livelli del disegno ad esclusione di quelli con nome Auto-ca: l’unico livello che deve rimanere attivo è quello

sul quale sono rappresentati gli elementi verticali.

Gli elementi verticali possono essere:

- caricati da un disegno esistente, sovrapponendo un layer nuovo e congelando gli altri layer, oppure - disegnati utilizzando esclusivamente “polilinee” o circonferenze. Valgono le seguenti convenzioni (i colori sono attribuiti automaticamente dal programma):

Pilastri: circonferenza o polilinea di 4 lati; colore: magenta

Setti: polilinea di 4 lati; colore: ciano

Vani ascensore: polilinea di 8 (sezioni a C) o 12 lati (sezioni a C con risvolti); colore: blu.

Dalla barra dei menù selezionando l’icona “Auto-CA free” e “Ellisse delle rigidezze”, nella parte sinistra dello schermo si apre il menu rappresentato a lato, in cui è possibile definire:

Unità di misura (mm/cm/m) alla quale il programma fa riferimento per il disegno della carpenteria di piano, le dimensioni degli elementi verticali e il calcolo delle caratteristiche delle sezioni

Altezza “h” di interpiano Il sistema assume che tutti gli elementi abbiano la stessa altezza di interpiano

Successivamente si individuano con selezione singola o multipla gli elementi da considerare nel calcolo. Premendo il tasto destro del mouse gli elementi selezionati vengono colorati con le convenzioni sopra indicate. Il pulsante “Elimina dalla selezione” rimuove un elemento selezionato con il cursore.

Ellisse delle rigidezze

Premendo il pulsante “Genera ellisse delle rigidezze” viene disegnata l’ellisse delle rigidezze e marcata la posizione del centro di taglio CT dei nuclei. L’incrocio degli assi dell’ellisse individua la posizione del baricentro delle rigidezze CR. Selezionando il tipo di rigidezza (torsionale, in direzione x o in direzione y) si ottiene mediante una scala cromatica l’incidenza % della rigidezza di ogni elemento sulla rigidezza totale.

Forze esterne

L’utente individua la posizione delle rette di azione delle forze esterne, considerate agenti secondo due assi tra loro ortogonali. Per ciascuna direzione il pulsante “Genera rettangolo di tolleranza” traccia il “nocciolo” dell’ellisse delle rigidezze e il rettangolo che individua la zona di potenziale variabilità delle direzioni delle rette d’azione. Tale rettangolo ha lati di ampiezza pari al 4% (caso non sismico) o al 5% (caso sismico) della dimensione massima del solaio nella direzione perpendicolare alla direzione di ciascuna forza. Il rettangolo , evidenziato in colore, dovrebbe sempre risultare interno al nocciolo.

9 Per informazioni sul progetto Auto-CA visitare il sito www.auto-ca.it 10 Nel caso in cui la procedura non venisse riconosciuta, digitare “autoca” e premere “invio”.

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8 Procedura “ellisse delle rigidezze” – esempi

In tutti gli esempi le quote sono in [cm], il solaio ha dimensioni (1600 x 600) cm, i setti (400 x 30) cm e l’altezza di interpiano è h = 300 cm. Si assume un materiale di modulo di elasticità fittizio E = 1. Le rette d’azione delle forze esterne coincidono con gli assi di simmetria del solaio.

8.1 Controvento singolo

Un setto isolato con baricentro nel punto di coordinate (1500, 300) rispetto a un sistema di coordinate con origine come in figura. La retta d’azione della forza F si trova sull’asse di simmetria dell’impalcato. Le caratteristiche geometriche e meccaniche dell’elemento sono:

dimensioni della sezione

altezza inerzie fattore

di taglio xi yi

bx by h

area sezione

Ix Iy t

'x 'y , kx,i ky,i kx,i ky,i

[cm] [cm2] [cm4] 10-3 [N/cm] [%] [%]

1500 300 30 400 300 12000 160 000 900 1.20 12 3 3.15 0.4 7.8 100 100

coordinate risp. centro di

taglio kx,i ky,i kx,i yi ky,i xi

xi yi

kt,i kX,i yi2 kY,i xi2 kT,i kT,i rX rY

[N/cm] [N] [cm] [Ncm/rad] [%] [cm] [cm]

0.4 7.8 117 11696 0.00 0.00 4763.75 0.00 0.00 4764 100 111 25

L’ellisse delle rigidezza risulta come in figura:

Il baricentro delle rigidezze coincide con il baricentro geometrico del setto. L’ellisse delle rigidezze, molto allungata nella direzione maggiore del setto, evidenzia una modestissima capacità del sistema di contrastare forze dirette secondo la direzione x.

l setto sviluppa una forza reattiva posizionato nel baricentro delle rigidezze CR e in direzione opposta a F, dunque sono limitati gli spostamenti in direzione Y dovuti alla forza F: L’eccentricità delle due forze genera peraltro un momento (orario nel caso di figura). L’unico elemento che sviluppa un momento torcente di

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reazione è il setto che peraltro, stante la sua modestissima rigidezza torsionale, non è in grado di contrastare efficacemente la rotazione dell’ impalcato.11

Se il setto è centrato sulla retta di azione della forza F l’impalcato è teoricamente in equilibrio per forze dirette secondo la direzione Y ma risulta sensibile a spostamenti anche modesti della posizione della retta d’azione della forza.

8.2 Controvento doppio

Introducendo un secondo setto di dimensioni identiche al primo posto in posizione simmetrica rispetto all’asse trasversale dell’edificio, si ottengono le grandezze di tabella e l’ellisse di figura.

dimensioni della

sezione altezza inerzie

fattore di taglio xi yi

bx by h

area sezione

Ix Iy t

'x 'y , kx,i ky,i kx,i ky,i

[cm] [cm2] [cm4] 10-3 [N/cm] [%] [%]

1500 300 30 400 300 12000 160 000 900 1.20 12 3 3.15 0.4 7.8 50.0 50.0

100 300 30 400 300 12000 160 000 900 1.20 12 3 3.15 0.4 7.8 50.0 50.0

Totali 24000 320 000 1 800 0.8 15.6 100 100

coordinate risp. centro di

taglio kx,i ky,i kx,i yi ky,i xi

xi yi

kt,i kX,i yi2 kY,i xi2 kT,i kT,i rX rY

[N/cm] [N] [cm] [Ncm/rad] [%] [cm] [cm]

0.4 7.8 117 11696 700 0.00 4764 0.00 3820663 3825427 50.0 3137 700

0.4 7.8 117 780 -700 0.00 4764 0.00 3820663 3825427 50.0

0.8 15.6 233 12476 Totali 9528 0 7641326 7650853 100

11 Il setto rappresenta di fatto un vincolo semplice (“carrello”) per l’impalcato rigido: poiché le forze attive e reattive formano una

coppia, l’impalcato rigido può essere considerato labile.

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L’ellisse delle rigidezze risulta come in figura. Il baricentro delle rigidezze si trova sull’asse di simmetria, le dimensioni dell’ellisse aumentano ma la sua forma continua a evidenziare un comportamento non ottimale per forze agenti in direzione X.

Diversamente dal caso precedente, un momento dovuto a un’eventuale eccentricità della forza F rispetto al baricentro delle rigidezze viene ottimamente contrastata dalla coppia di reazione dovuta alle forze di reazione che si sviluppano nei due setti. La posizione eccentrica di questi ultimi rispetto all’ellisse che si traduce in un elevato valore della rigidezza torsionale complessiva del sistema.

Sei i due setti sono tra loro ortogonali, il baricentro delle rigidezze si trova nel punto di intersezione degli assi principali di inerzia di ciascun elemento, dove si intersecano le rette di azione delle forze reattive principali dei due setti. Le caratteristiche geometriche del sistema sono indicate in tabella.

dimensioni della sezione

altezza inerzie fattore

di taglio xi yi

bx by h

area sezione

Ix Iy t

'x 'y , kx,i ky,i kx,i ky,i

[cm] [cm2] [cm4] 10-3 [N/cm] [%] [%]

1300 500 400 30 300 12000 900 160 000 1.20 3 12 3.15 7.8 0.4 95.3 4.7

100 300 30 400 300 12000 160 000 900 1.20 12 3 3.15 0.4 7.8 4.7 95.3

Totali 24000 160 900 160 900 8.2 8.2 100 100

coordinate risp. centro di

taglio kx,i ky,i kx,i yi ky,i xi

xi yi

kt,i kX,i yi2 kY,i xi2 kT,i kT,i rX rY

[N/cm] [N] [cm] [Ncm/rad] [%] [cm] [cm]

7.8 0.4 3899 505 1 185 6 4764 487 139398 144649 87.3 117 145

0.4 7.8 117 780 -15 -194 4764 14561 1775 21100 12.7

8.2 8.2 4015 1285 9528 15049 141173 165749 100

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bx by A Ixtot Ixtot , Jt Elemento

[cm] [cm] [cm2] [cm4] [cm4]

1a 20 220 4400 70986667 5.87E+05 3.18 553067

1b 20 220 4400 70986667 1.59E+08 3.18 553067

2 200 20 4000 533333.33 5.33E+07 3.20 499733

Totali 12800 1.43E+08 2.13E+08 1605867

L’ellisse di rigidezza (v. figura) si trasforma in un cerchio: ciò denota un ottimo comportamento del sistema di controventi per forze orizzontali dirette secondo qualunque direzione, ma occorre valutare se la posizione dell’ellisse è accettabile con riferimento alla posizione della retta d’azione.

Utilizzando il comando “tipologia azioni orizzontali” si visualizzano il “nocciolo” e il rettangolo di tolleranza, la regione entro la quale dovrebbe passare la retta d’azione delle forze esterne affinché, secondo l’Eurocodice 8, il solaio possa essere considerato “torsionalmente rigido” dunque con modeste rotazioni. Nonostante la forma e le dimensioni dell’ellisse di rigidezza siano corrette, il rettangolo di tolleranza risulta lontano dal nocciolo evidenziando una non corretta disposizione planimetrica degli elementi di controvento, pur correttamente dimensionati.

8.3. Vano ascensore

Si considera un vano ascensore a forma di C, di dimensioni esterne (200 x 220) cm e lati di spessore 20 cm, il cui sistema di riferimento ha origine nella intersezione tra il filo della parete posteriore e l’asse di simmetria orizzontale.

Il nucleo ha rigidezza a flessione-taglio simile in entrambe le direzioni e una discreta rigidezza torsionale, dunque rappresenta per il solaio un vincolo triplo (incastro). Le caratteristiche geometriche del sistema sono riportate nelle tabelle seguenti.

1a

1b

2y

x

L’elemento deve essere centrato nel suo centro di taglio avente le coordinate di tabella (cap. 5).

Centro di taglio

[mm] ex ey

b 210 [mm] [mm]

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h 180 - 92 90

b1 0

t 20

altezza fattore

di taglio xi yi

h t

'x 'y , kx,i ky,i kx,i ky,i kx,i yi ky,i xi

[N/cm] [%] [%] [N]

-92 300 300 1.20 3 3 3.00 9.1 7.7 100.0 100.0 2733 -704

coordinate risp. centro di

taglio kx,i ky,i kx,i yi ky,i xi

xi yi

Jt kt,i kX,i yi2 kY,i xi2 kT,i kT,i rX rY

[N/cm] [N] [cm] [Ncm/rad] [%] [cm] [cm]

9.1 7.7 2733 -704 0 0 1 605 867 2230 0 0 2230 100.0 16 17

L’ellisse delle rigidezza risulta come in figura:

Il programma calcola il centro di taglio dell’elemento a forma di C e lo visualizza con il simbolo “CT”. L’ellisse delle rigidezze, centrata sul centro di taglio dell’elemento, ha forma tendente al cerchio ma semiassi molto piccoli (16 e 17 cm) rispetto alle dimensioni del vano ascensore, stante la limitata rigidezza torsionale di quest’ultimo in rapporto alle elevate rigidezze per flessione e taglio. 12

L’ellisse è molto distante dalla retta di azione della forza esterna F dunque la zona di tolleranza è esterna al nocciolo. Nell’ipotesi che la posizione del nucleo ascensore non possa essere modificata perché fissata nel progetto generale, per spostare verso destra il centro delle rigidezze e di conseguenza l’ellisse occorre disporre ulteriori elementi di controvento in posizione adeguata.

12 Ciò dipende dalla formula utilizzata per il calcolo della rigidezza torsionale, che non tiene conto dell’aumento di rigidezza per effetto

della deformazione longitudinale impedita del nucleo.

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L’introduzione di un setto modifica la forma dell’ellisse, che si allunga nella direzione di massima inerzia. Operando sulla dimensione del setto si ottimizza la soluzione.

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8.4. Solaio tipo

Si considera il solaio-tipo di un edificio di civile abitazione nel quale sono presenti vani ascensore, setti e pilastri disposti in configurazione simmetrica rispetto a un asse di simmetria trasversale. La disposizione planimetrica degli elementi e le loro caratteristiche geometriche sono indicate in figura e riportate in tabella. Tutte le quote sono in [mm]. Per tutti gli elementi è E = 36000 N/mm2, per i nuclei si è assunto ) = 0,20, per pilastri e setti ) = 0.

Identificazione degli elementi

Si considerano gli elementi strutturali indicati in tabella; le cui coordinate sono per pilastri e setti quelle del baricentro, per i nuclei quelle del punto P posto all’incrocio delle linee medie delle pareti.

Si indica con ASC vano ascensore; C pilastro circolare R pilastro quadrato o rettangolare S setti

vano ascensore

Fig 8.2 –Vano ascensore

Il baricentro delle rigidezze ha coordinate

6ky y,i i -3

k 3y y,i

6x,i i -3kx

k 3x x,i

S k x 69243 10x = = 10 = 17,80 m

K k 3890 10

k yS 14014 10y = = = 10 = 3,82 m

K k 3669 10

-=

-

-

-

!!

!!

In tabella 8.2 si riportano tutte le grandezze geometriche. Le coordinate degli elementi sono riferite a un sistema con origine nel baricentro

delle rigidezze.

Dimensioni x y

bx by Tipo [mm]

ASC 7950 450 ASC 25850 450

C 0 0 300 3600 0 350 250 7950 0 350 250

10850 0 350 250 R

14000 0 350 250 C 17800 0 300

21600 0 350 250 24750 0 350 250 27650 0 350 250

R

32000 0 350 250 C 35600 0 300 R 0 650 250 500

3600 650 400 300 14000 650 400 300 17800 650 250 500 21600 650 400 300

R

32000 650 400 300 R 35600 650 250 500 C 0 1300 300 R 3600 1300 350 250

7950 1248 200 1200 S

10850 1247 200 1200 14000 1300 350 250 17800 1300 350 250 R 21600 1300 350 250 24750 1248 200 1200

S 27650 1248 200 1200

R 32000 1300 350 250 C 35600 1300 300

Tab. 8.1 – Coordinate di inserimento e dimensione degli elementi

A 2000 mm

B 2200 mm

C 350 mm

S 200 mm

“Pro

getta

re” la

reg

ola

rità s

truttu

rale

! A

uto

-CA

ed

Eu

roco

ncre

te, 2

00

7 - w

ww

.au

to-c

a.it w

ww

.eu

roco

ncre

te.it

22/23

SI ottiene l’ellisse della figura seguente.

“Progettare” la regolarità strutturale

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Il baricentro delle rigidezze si trova ovviamente sull’asse di simmetria trasversale ma, stante la posizione dei centri di taglio dei vani ascensore, risulta spostato al di sotto dell’asse di simmetria longitudinale del fabbricato.

Il solaio, avendo elementi disposti simmetricamente, presenta un’ellisse molto aperta che tende a un cerchio. Esso è dunque poco sensibile alla direzione delle azioni esterne (vento e sisma).

La regolarità è verificabile utilizzando il rettangolo di tolleranza, che risulta pressochè tutto all’interno nel nocciolo. Gli effetti torsionali sono dunque modesti e l’impalcato risponde alle azioni esterne prevalentemente con spostamenti nelle due direzioni.