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François Cottet-Émard 26 fi ches Résumés de cours 127 exercices corrigés Méthodologie et conseils
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François Cottet-Émarda enseigné à l’Université de Paris XI dans l’année charnière faisant la liaison entre la classe Terminale et l’année L1 de licence scientifi que ainsi qu’en L1 et L2 mathématiques - physique. Il a écrit de nombreux ouvrages pour le LMD en mathématiques chez De Boeck Supérieur.
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Cet ouvrage récapitule toutes les mathématiques apprises dans l’enseignement secondaire qu’il faut bien maîtriser pour débuter une licence scientifi que à l’Université. Il reprend les éléments de logique et de raisonnement, toutes les formules importantes, tous les grands théorèmes vus au lycée en algèbre, analyse, géométrie et probabilités.
Chaque fi che contient :
> Des rappels de cours : défi nitions,
théorèmes, formules importantes.
> Des points de méthodologie et des
conseils.
> Des exemples pour illustrer les notions
ou apprendre à résoudre
les questions.
> Des exercices et leurs corrigés détaillés
Toutes les maths pourbien commencer sa licence
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Toutes les mathspour bien commencer sa licence
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Sup en poche est une collection destinée aux étudiants du 1er cycle, essentiellement en Licence 1 et 2. Son objectif est de permettre à l’étudiant de réviser et s’entraîner en vue de réussir ses examens. Chaque ouvrage est composé de fiches proposant des cours résumés suivis d’exercices corrigés pas à pas.
Optique géométriqueR. Taillet
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Pour toute information sur notre fonds et les nouveautés dans votre domaine de spécialisation, consultez notre site web : www.deboecksuperieur.com
© De Boeck Supérieur s.a., 2017 Rue du Bosquet, 7 – B-1348 Louvain-la-Neuve
Tous droits réservés pour tous pays.Il est interdit, sauf accord préalable et écrit de l’éditeur, de reproduire (notamment par photocopie) partielle-ment ou totalement le présent ouvrage, de le stocker dans une banque de données ou de le communiquer au public, sous quelque forme et de quelque manière que ce soit.
Imprimé aux Pays-Bas
Dépôt légal :Bibliothèque Nationale, Paris : août 2017 ISSN 2566-2724 Bibliothèque royale de Belgique, Bruxelles : 2017/13647/114 ISBN 978-2-8073-1012-4
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VSommaire
Sommaire
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Le raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 La négation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Le raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Théorie des ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5 Notations symboliques, alphabet grec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6 Nombres entiers, coefficients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7 Nombres et développement décimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8 Manipulations des égalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
9 Manipulations des inégalités, valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . 59
10 Les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
11 Équations et fonctions du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
12 Polynômes à coefficients réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
13 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
14 Fonctions : première partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
15 Fonctions : deuxième partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
16 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
17 Primitives et Intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
18 Exponentielle et Logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
19 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
20 Les vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
21 Repère dans le plan et l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
22 Droites du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
23 Droites et plans de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
24 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
25 Le cercle et la sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
26 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
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1Introduction
Introduction
Cet ouvrage est un recueil de fiches récapitulant tout ce qu’il faut maîtri-ser en mathématiques, en sortant de l’enseignement secondaire, pour bien débuter dans l’enseignement supérieur. Il s’agit de notions vitales vues au collège, comme les identités remarquables ou les manipulations d’inégalités, et de notions vues au lycée, notions qu’il est nécessaire de bien connaître et savoir utiliser.
Ce n’est pas un cours, c’est un exposé fiche par fiche de tout ce qui est important, sans démonstration. Par exemple, les formules classiques de dérivation ne sont pas démontrées, elles sont simplement énoncées, et l’important est de les connaître par cœur. Cet ouvrage n’a pas vocation à remplacer l’ensemble des manuels scolaires du secondaire. Certaines de ces notions sont souvent revues rapidement en première année d’ensei-gnement supérieur ou détaillées, comme par exemple le raisonnement par récurrence. Mais toutes les bases fondamentales sont rappelées ici.
Les définitions, propriétés fondamentales ou théorèmes sont présentés sur un fond jaune, et sont immédiatement très visibles. Des « points mé-thodologie » alliant trois couleurs sont insérés à gauche ou en-dessous de certains paragraphes ou exercices. Ils insistent sur la mise en œuvre des notions ou bien sur leur motivation.
Cet ouvrage n’est pas a priori un ouvrage de préparation au baccalauréat, mais il peut être une référence utile et pratique à posséder dès la classe de terminale. Il ne contient aucune notion hors-programme du secon-daire, même si certaines fiches concernent plutôt le programme de Termi-nale S que de Terminale ES ou littéraire : elles permettront aux bacheliers ES ou L d’avoir en un seul ouvrage tous les compléments nécessaires.
Chaque fiche, ou groupe de fiches, contient des exemples corrigés, et quelques exercices aussi corrigés. Les énoncés sont volontairement plus condensés que ceux donnés (par exemple) au baccalauréat, puisque l’on dispose en trois ou quatre pages de la liste exhaustive des notions né-cessaires à la résolution.
L’ouvrage commence par les fiches consacrées aux manipulations algébriques, continue par l’analyse puis la géométrie et se termine par les probabilités.
Tout ce qui est rappelé ici est important et sert tôt ou tard, mais tout n’est pas non plus à savoir par cœur. Par exemple, il faut savoir ce qu’est la forme canonique du trinôme du second degré et comment on l’obtient, mais elle n’est pas à savoir par cœur.
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2 Introduction
La table des matières donne, pour chaque fiche, les idées maîtresses qui y sont exposées. Il est donc aisé de trouver dans quelle fiche est rap-pelée la notion que l’on cherche. C’est particulièrement utile pour des théories longues comme les fonctions, qui font l’objet de deux grandes fiches consécutives. Par ailleurs, il est nécessaire de connaître les lettres grecques, universellement utilisées dans les sciences. Cette fiche a aussi un intérêt culturel général, expliquant d’où vient chacune des lettres de notre alphabet français.
J’ai eu l’idée, pour ne pas dire le besoin, de réaliser cet ouvrage pendant les quatre années où j’ai enseigné, à la faculté des sciences d’Orsay, Uni-versité de Paris Saclay, dans l’année de remise à niveau destinée aux bacheliers « non S », souhaitant faire des études scientifiques. Le but de cet enseignement est de mettre ces bacheliers au niveau du bac S, pour bien débuter dans le Supérieur, et cette philosophie a été reprise pour la conception de l’ouvrage, donnant ou rappelant à chaque bachelier l’en-semble exhaustif de tout ce qu’il doit bien maîtriser, quel que soit son bac d’origine.
J’ai enseigné aussi dans les années L1, L2, L3 et dans la préparation aux concours d’enseignement, et je sais par expérience que cet ouvrage sera utile très longtemps, dans toutes ces années, les notions nouvelles s’ap-puyant sur des bases éternelles qu’il faut maîtriser.
Comme beaucoup de mes ouvrages mathématiques, celui-ci a mûri dans le calme et la grandeur des appartements du Château de Courcelles sur Vesle, en Picardie, et je lui dédie ce livre avec reconnaissance pour la vie de château et la gastronomie qu’il offre.
Pour Alice, Audrey, Emilie, qui sauront se reconnaître et qui m’ont inspiré cet ouvrage.
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COURS
Fiche 1 : Le raisonnement 3
[ MOTS-CLÉS : Bien raisonner en mathématiques. Implication, équivalence, condition suffisante, nécessaire. Réciproque, absurde, contre-exemple. Quel que soit, il existe. ]
Le raisonnement1
Les lettres P et Q désignent deux propriétés quelconques, à savoir deux affirmations qui peuvent être soit vraies soit fausses.
L’équivalence () de deux propriétés1uu Deux propriétés P et Q équivalentes sont deux affirmations de la même chose, traduites de façons différentes. L’une est vraie si et seu-lement si l’autre est vraie.
Exemple 1 : « être majeur en France » et « avoir 18 ans » sont deux proprié-tés équivalentes (en faisant abstraction des mineurs émancipés.)
Exemple 2 : la propriété « l’entier n est pair » est équivalente à la proprié-té « l’entier n + 1 est impair ».
Exemple 3 : « vérifier x2 - 3x + 2 = 0 » et « être égal à 1 ou à 2 » sont deux propriétés équivalentes.
Exemple 4 : la propriété « le triangle ABC est rectangle en A » équivaut à la propriété « BC2 = AB2 + AC2 » (Pythagore).
uu Raisonner par équivalence pour démontrer un certain résultat Q en partant d’hypothèses P consiste à trouver une suite de propriétés équivalentes allant de P à Q. C’est un raisonnement très sécurisant, car on peut toujours revenir en arrière quand on avance, chose ren-due possible par l’équivalence.
uu Par contre, et c’est aussi vrai dans la vie courante, avoir en perma-nence la possibilité de revenir en arrière ne permet pas en général d’avancer franchement. Si l’on veut avancer franchement, faire des progrès, aller de l’avant, il faut couper les ponts vers l’arrière, et cela ne se fait pas en raisonnant par équivalence, mais en raisonnant par implication, objet du paragraphe suivant.
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Cours4
L’implication P =) Q2uu Il s’agit du cas de figure suivant : si la propriété P est vraie, alors la propriété Q est obligatoirement vraie. Mais le fait que que Q soit vraie ne fournit aucune information sur le fait que P soit vraie ou fausse.
Exemple 5 : « avoir le permis de conduire » implique « avoir au moins 18 ans ». Mais le fait d’avoir au moins 18 ans n’implique pas que l’on ait le permis !
Exemple 6 : « être milliardaire » implique « être millionnaire ». Mais il y a plein de millionnaires qui ne sont pas milliardaires.
Exemple 7 : la propriété x x= + 2 implique la propriété x2 = x + 2, ob-tenue en élevant au carré. Mais x2 = x + 2 n’implique pas obligatoirement
que x x= + 2 , puisque l’on peut aussi avoir x x= − + 2 .
Exemple 8 : le trajet de porte à porte entre les endroits A et B dure au minimum 50 minutes et au maximum 1h, et j’ai un rendez-vous en B à 11h pile. La propriété « je pars de A à 9h59 » implique la propriété « je suis à l’heure à mon rendez-vous ». Mais le fait d’être à l’heure au rendez-vous n’implique pas que je suis parti à 9h59 : j’aurais très bien pu partir à 9h34 et attendre !
uu L’implication est donc moins sécurisante que l’équivalence, mais c’est la méthode de raisonnement la plus constructive et la plus utilisée.
Relation entre implication et équivalence3uu P () Q signifie que l’on a les deux implications P =) Q et Q =) P.
uu La démonstration du théorème de Pythagore se fait en dé-montrant de façons distinctes l’implication « rectangle en A im-plique BC2 = AB2 + AC2 » et l’implication appelée réciproque « BC2 = AB2 + AC2 implique rectangle en A ». Les deux démonstra-tions sont totalement différentes : il est impossible, sans le produit scalaire, de procéder directement par une suite d’équivalences.
Point méthodoLe fait d’avoir démontré l’implication P =) Q, ne donne aucune information permettant de dire que Q implique P : en général, on ne peut pas revenir en arrière dans le raisonnement.
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Fiche 1 : Le raisonnement 5
Condition nécessaire et condition suffisante4Exemple 9 : reprenons l’exemple du trajet entre A et B du paragraphe 2.
– « partir à 9h58 » est une condition suffisante pour arriver à l’heure.
– « partir avant 10h10 » est une condition nécessaire pour arriver à l’heure.
uu Il s’agit d’une autre façon d’exprimer l’implication. Soient P et Q deux propriétés.
Exemple 10 : « être divisible par 4 » est une condition suffisante pour « être pair ».
Exemple 11 : « être divisible par 6 » est une condition nécessaire pour « être divisible par 72 ».
uu Malheureusement : très souvent dans la vie courante, on utilise « il faut » (ce qui sous-entend que l’on se place dans une condition néces-saire) au lieu de « il suffit ». Dans notre trajet, on a souvent tendance à dire il faut que je parte à 9h55 alors que l’on devrait dire il suffit que je parte à 9h55.
Que signifie « étudier la réciproque » ?5uu Le cadre : l’énoncé vient de faire démon-trer qu’une certaine propriété P implique une autre propriété Q.
uu « Etudier la réciproque » consiste à regar-der si la propriété Q implique la propriété P. Il y a évidemment deux réponses pos-sibles :
– La réponse est oui : les deux propriétés sont équivalentes.
– La réponse est non : on a uniquement P =) Q.
On dit que P est une condition suffisante pour que Q soit vraie quand on a l’implication P =) Q.
On dit que Q est une condition nécessaire pour que P soit vraie quand on est dans la situation suivante : si Q est fausse, alors P est automatiquement fausse.
Point méthodoQuand l’énoncé demande de démontrer une réciproque, la question est claire et la réponse est oui. Quand il demande d’étudier la réciproque, on est tenté de dire qu’elle n’est pas vraie, mais attention, c’est peut-être un piège !
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Cours6
uu Certains théorèmes comme ceux de Pythagore et de Thalès sont connus pour leurs réciproques qui sont vraies, et qui sont au moins aussi utiles que la partie directe du théorème.
Les formulations « Quel que soit » et « Il existe au moins »6
uu Dans la vie courante comme en mathématiques, on est fréquemment confronté à deux situations dont la formulation commence soit par « Quel que soit… » ou bien par « il existe au moins… ». Regardons cela de près sur des exemples :
Exemple 12 : « toutes les voitures ont un volant ». Il s’agit d’une proposi-tion qui, actuellement, est vraie. On peut aussi dire, même si c’est moins élégant : « quelle que soit la voiture, la propriété avoir un volant est vraie ».
Exemple 13 : la propriété « Tout entier divisible par 10 est divisible par 5 » est vraie. La propriété « Tout entier pair est divisible par 4 » est fausse, il suffit de regarder l’entier 6.
Exemple 14 : dans son dictionnaire1 des idées reçues, très ironique et à prendre au deuxième degré, Gustave Flaubert a écrit : « Les voleurs sont tous républicains ». Mathématiquement, on devrait dire : quel que soit le voleur, alors la propriété être républicain est vraie. Cette proposition introduit aussi deux ensembles, l’ensemble R des républicains et l’en-semble V des voleurs ; Flaubert écrit l’inclusion V ½ R.
Exemple 15 : Flaubert continue sa phrase par « Les républicains ne sont pas tous des voleurs ». C’est une formulation très élégante, qu’il vaut mieux – si on veut la traduire en mathématiques – écrire « Il existe au moins un républicain qui n’est pas un voleur ». L’ensemble V est stricte-ment inclus dans R.
1. La phrase exacte est : « Les républicains ne sont pas tous des voleurs, mais les voleurs sont tous républicains ». Il s’agit d’une caricature des idées reçues du xixe siècle. L’ou-vrage, inachevé, est paru en 1913, 23 ans après la mort de Flaubert.
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Fiche 1 : Le raisonnement 7
Exemple 16 : « il existe au moins un entier pair non divisible par 6 ». Cette proposition est vraie, il suffit de prendre l’entier 4.
uu On est donc très souvent confronté à l’une ou l’autre de ces deux formulations :
uu Les expressions « quel que soit » et « il existe au moins » s’appellent quantificateurs.
Raisonner par l’absurde7uu C’est une méthode de raisonnement très puissante, très agréable et sécurisante.
uu Le cadre : on veut montrer qu’une propriété P est vraie.
uu Ce que l’on suppose : on suppose que P est fausse. C’est l’hypothèse dite par l’absurde.
uu Ce que l’on fait : on construit un raisonnement qui conduit à un résul-tat absurde : soit une impossibilité complète (du style 2 = 3), soit une contradiction avec l’hypothèse « P est fausse » que l’on a faite.
uu Conclusion : puisqu’on est arrivé à une impossibilité, notre hypothèse « P est fausse » est absurde. Il s’en suit que P est vraie, et elle est démontrée.
Exemple 17 : montrons ainsi qu’il y a une infinité de nombres premiers2.
On suppose donc par l’absurde qu’il y a seulement un nombre fini de nombres premiers, notons-les p
1, p
2, …, p
m.
Regardons alors l’entier N = p1 × p
2 × … × p
m + 1 : c’est le produit de tous
les nombres premiers, augmenté de 1.
2. Rappelons que tout entier n ≥ 2 est un nombre premier ou bien est divisible par au moins un nombre premier.
– Pour tout élément x d’un certain ensemble, alors la propriété P est vraie.– Il existe au moins un élément d’un certain ensemble tel que la propriété P est
vraie.
Point méthodoSouvent, on abrège « Il existe au moins » en « Il existe ». Mais c’est toujours avec le sous-entendu « au moins », ce qui signifie qu’il peut y en avoir plusieurs.
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Cours8
– Il n’est évidemment pas égal à p1, ni à p
2 ni à aucun autre nombre pre-
mier, puisqu’il est strictement plus grand que chacun d’eux.
– Comme N n’est égal ni à p1, …, ni à p
m, ce n’est pas un nombre premier.
– Puisque N n’est pas premier, il est divisible par un nombre premier. Montrons par exemple que p
1 ne divise pas N : l’entier p
1 divise le pro-
duit p1p
2 … p
m, mais il ne divise pas 1 : ça ne peut pas marcher. Et il en
est de même avec tous les autres nombres premiers.
On est donc arrivé à l’impossibilité suivante : « N n’est pas un nombre premier et il n’est divisible par aucun nombre premier »! Cette impossibi-lité signifie que notre hypothèse est absurde. Il y a donc une infinité de nombres premiers.
La démonstration par contre-exemple8Exemple 18 : on demande d’étudier la propriété suivante « le centre du cercle circonscrit à un triangle quelconque est intérieur au triangle », et on pense que c’est faux. Pour démontrer que c’est faux, il suffit de construire un triangle qui ne contient pas le centre de son cercle circonscrit. Pour ce faire, on trace un cercle et un diamètre quelconque ; ensuite on prend trois points du cercle situés du même côté de ce diamètre. Le centre du cercle circonscrit, le centre du cercle, est extérieur au triangle. On a trou-vé un contre-exemple à la propriété énoncée, et donc celle-ci est fausse.
uu La Fiche 2 la négation fera le lien avec la négation du quantificateur « quel que soit ».
Raisonnement par récurrence9uu La Fiche 3 lui est entièrement consacrée.
Point méthodoPour montrer que le résultat « Pour tout élément de l’ensemble E, alors la propriété P est vraie » est faux, il suffit d’exhiber un élément de E pour lequel la propriété est fausse. Cet élément s’appelle contre-exemple du résultat.
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4 EXERCICES
Exercices28
Exercice 1
On se place dans , et on considère les parties A = [0,1], B = ]1,3[, C = [-1, 1/2].
1. Décrire les parties A ∩ B, A ∪ B, A ∩ C, A ∪ C, B ∩ C, B ∪C.
2. Décrire les parties A ∪ B ∪ C, A et A C∪ .
Exercice 2
Soit A un ensemble à 4 éléments et B un ensemble à 7 éléments.
1. Donner une condition nécessaire et suf-fisante pour que A ∪ B contienne 11 élé-ments. Que vaut alors A ∩ B ?
2. Donner une condition nécessaire et suffi-sante pour que A ∪ B contienne 7 éléments. Que vaut alors A ∩ B ?
Exercice 3
Une importante formule de probabilité donne P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B). Comment se lit cette formule en termes ensemblistes, avec deux ensembles A et B ayant un nombre fini d’éléments ?
Exercice 4
Soit T l’ensemble de tous les triangles du plan. On note A l’ensemble des triangles équilatéraux et B l’ensemble des triangles dont les trois angles ont des valeurs distinctes. Identifier le complémentaire dans T de A ∪ B.
Point méthodoAttention aux éléments qui sont à la fois dans A et B.
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Fiche 7 : Nombres et développement décimal 49
7 CORRIGÉS
Exercice 1
L’égalité q2 = 2p2 montre que q2 est un entier pair. Comme le carré d’un entier impair est impair, l’entier q lui-même est pair. On peut donc écrire q = 2q′ et l’égalité q2 = 2p2 devient 2q′2 = p2. Cette égalité implique que p2 est pair, et donc que p est pair. Les deux entiers sont divisibles par 2,
chose impossible puisque l’écriture p
q a été supposée irréductible.
Exercice 2
On a ln ln
ln
u nn
n
n
n = +
=
+
11
11
1. Quand n tend vers +1, l’inverse
1
n tend vers 0, et on utilise la limite classique lim
ln( )
x
x
x→0
11
+= , en pre-
nant xn
=1
. La suite (ln un) converge donc vers 1 : cela signifie que la
suite (un) converge vers e, puisque ln e = 1.
Exercice 3
Voici la division, les 0 que l’on abaisse étant systématiquement indiqués. La division se répète à partir du moment où l’on retrouve le 30 pour la deuxième fois. Le groupe 428571 se répète donc indéfiniment :
3
70 428571428571428571= ,
3 7
30 0,42857120
6040
5010
30
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Corrigés50
La neuvième décimale est égale à 8. Les valeurs décimales approchées à
10-9 près sont donc 0 428571428428571428
109, = et
0 428571429428571429
109, = .
Exercice 4
On doit enlever le nombre maximum de fois le groupe 428571 et regarder ce qui reste. Il s’agit de faire la division euclidienne de 214 par 6, et elle s’écrit 214 = 6 × 35 + 4. La 214e décimale est donc la quatrième du groupe, à savoir 5.
Exercice 5
Comme 0 2 1 1< <- , on a limn
n
→ ∞+− =( )2 1 0 . On écrit ensuite
p
q
p q
qn
n
n n
n
− =−
22
. Comme qn ≥ 1, on a ainsi 0 2 2<
p
q< p qn
nn n- - .
Le théorème des gendarmes implique que limn
n
n
p
q→ ∞+= 2 .
Exercice 6
Il s’agit de x = 12,4368 qui est un nombre décimal. Ne pas oublier que 0,999… = 1.
Exercice 7
Il s’agit d’écrire -12,347 = E + y où E est un entier relatif et où 0 < y < 1. On découpe
-12,347 = -12 - 0,347 = -12 - 1 + (1 - 0,347) = -13 + 0,753
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François Cottet-Émard 26 fi ches Résumés de cours 127 exercices corrigés Méthodologie et conseils
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François Cottet-Émarda enseigné à l’Université de Paris XI dans l’année charnière faisant la liaison entre la classe Terminale et l’année L1 de licence scientifi que ainsi qu’en L1 et L2 mathématiques - physique. Il a écrit de nombreux ouvrages pour le LMD en mathématiques chez De Boeck Supérieur.
9 782807 310124
I S B N : 9 7 8 - 2 - 8 0 7 3 - 1 0 1 2 - 4
www.deboecksuperieur.comPrix TTC : 16 €
DANS LA MÊME COLLECTION
Cet ouvrage récapitule toutes les mathématiques apprises dans l’enseignement secondaire qu’il faut bien maîtriser pour débuter une licence scientifi que à l’Université. Il reprend les éléments de logique et de raisonnement, toutes les formules importantes, tous les grands théorèmes vus au lycée en algèbre, analyse, géométrie et probabilités.
Chaque fi che contient :
> Des rappels de cours : défi nitions,
théorèmes, formules importantes.
> Des points de méthodologie et des
conseils.
> Des exemples pour illustrer les notions
ou apprendre à résoudre
les questions.
> Des exercices et leurs corrigés détaillés
Toutes les maths pourbien commencer sa licence
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