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7/18/2019 Bosch, Mariana_Curso 3 220705
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Marianna Bosch Casab
FUNDEMI Facultat dEconomia IQS
Universitat Ramon Llull (Barcelona)
Escuela de Invierno en Didctica de la Matemtica 2005
r!ani"aciones Did#cticas $ Recorridos deEstudio e Investi!aci%n&
El caso de los sistemas de numeraci%n
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Guy Brousseau (1998) Thorie des Situations Didactiques
'La ensean"a de los decimales como el de lanumeraci%n *lantea a mi *arecer un *ro+lema did#cticodi,-cil $ *rimordial&
.or un lado su uso est# tan e/tendido es tan c%modo $+anal 0ue los nios los encuentran mu$ *ronto en su,orma aca+ada actual& Sea cual sea el ti*o dea*rendi"a1e es la costum+re $ el uso ,amiliar lo 0ueaca+ar# re!ulando el si!ni,icado del conce*to&
2emos visto las insu,iciencias de esta conce*ci%n
'mec#nica3 $ la necesidad de situar su uso +a1o elcontrol de una com*rensi%n e incluso tan *ronto comosea *osi+le de un sa+er racional& S%lo la resoluci%n deal!unas situaciones4*ro+lema *uede dar esta
conce*ci%n clara esta conce*ci%n $ este sa+er&
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.ero estos *ro+lemas son de una com*le1idad +astante!rande $ no *arece mu$ *osi+le *ro*onerlos a losalumnos en el momento o*ortuno demasiado *reco"&
.or otro lado es im*ensa+le retrasar la ensean"a de losdecimales o a*ro/imarse a ellos mediante una !5nesisdemasiado lar!a o 0ue conducir-a a *r#cticas ins%litas&.or 6ltimo en el momento en el 0ue se *odr-an retomar $
7acer las acomodaciones necesarias en la ensean"asecundaria $a no 0ueda tiem*o *ara esta cuesti%nsu+alterna&
8enemos *ues un *ro+lema de ensean"a sin soluci%n& 2a$
otros 0ue conducen a contradicciones del mismo estilo&3
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En !eneral estos *ro+lemas aun0ue no se resuelven s- setratan mediante una ne!ociaci%n did#ctica de la 0ue*oco sa+emos *or a7ora *ero 0ue si!ue de mu$ le1os eldiscurso cl#sico& En este discurso todos los 5/itos se*erci+en como ,unciones mon%tonas de las varia+les9 enun e/tremo lo 0ue est# +ien en el otro lo 0ue est# mal&:omo si el *ro,esor tuviera todo el *oder&
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Las matemticas como actividad humanason al!o 0ue se *roduce ensea a*rende*ractica $ di,unde en instituciones sociales
Teora de la transposicin didctica (:7evallard ;)Enfoque antropolgico(:7evallard ;
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&rocesos de trasosici!n didctica
OMa ensear(noosera)
OM sa!ias(instituci"n#roductora)
OMenseadas
(c$ase)
OMdis#oni!$es(a$u%nos)
Mode$os e#iste%o$"&icos
y did'cticos #ara $ainesti&aci"n
'nidad m#nimade anlisis
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A "rminos rimitivos ara describir el conocimiento
M(DEL( )E*E+$L DE L$, &+-C"IC$, .'M$*$,
Toda tarea se realia!ediante una t"cnica
Toda prctica de#e serdescrita, e$plicada, %ustificada
BL(/'E &+-C"IC(1saber hacer
8i*os de 8areas
85cnicas
BL(/'E "E3+IC(1saber
8ecnolo!-a(tec7ne C lo!os)
8eor-a
(+)$*I4$CI3* M$"EM-"IC$ (M6
o &+$7E(L()8$
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A "rminos ara describir la roducci!n de conocimiento
M(DEL( DE L$ E9(L'CI3* DE L$, &+-C"IC$, .'M$*$,
Cuesti!n/
&+$7E(L()8$ DID-C"IC$ estudio
+ : (Mresuesta a /
&'&ET' *+*-T+-'Ari!er encuentroAE$ploracinATra#a%o de la t"cnicaAEla#oracin de un entorno
tecnolgico/tericoA+nstitucionaliacinAE0aluacin desarrollo
Cuesti!n/
Cuesti!n/
Cuesti!n/
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*u son $os Siste%as de +u%eraci"n (S+),Sistemas 0ue *ermiten escri+ir los n6meros naturalesmediante un con;unto , de s#mbolos 0ue cum*len lassi!uientes condiciones9
(;) El n de s-m+olos (cardinal de ,) no es demasiado !rande&
(?) :ada n6mero viene re*resentado *or una cadena des-m+olos 0ue no es demasiado lar!a&
() No 7a$ ambi%
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DE,I)*$CI3* = C-LC'L(
Las t5cnicas de comaraci!n > clculoest#n ,uertementecondicionadas *or las t5cnicas de desi!naci%n&
La ,ia+ilidad *otencia $ econom-a de un SN est#n li!adastanto a su ca*acidad de desi%naci!ncomo de clculo&
?/'@ /'E+EM(, E*,EA$+
La M 0ue 0ueremos construir no est# ,ormada6nicamente *or las t5cnicas de desi!naci%n $ de c#lculo 0ue*ro*orcionan los distintos SN& De+e incluir tam+i5n lasG raones de serH de cada SN sus G calidades H $ suslimitaciones&
La naturali"aci%n de nuestro SN *osicional 7ace di,-cil lae/*licitaci%n $ el cuestionamiento de los elementostecnol!%icos$ te!ricosde la M&
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M(DEL( DE L$, (M E* "(+*( $ L(, ,*
Se consideran tres ti*os de SN9 los SN aditivos (Ma) losSN 7-+ridos (M7) $ los SN *osicionales (M*)&
Ma a*arece como el SN m#s elemental&
Las limitaciones de Ma a las condiciones (?) $ () motivanla a*arici%n de una nueva M alrededor de un SN 7-+rido&
Las limitaciones de M7 a la condici%n (;) as- como lainca*acidad de su*erar ciertas limitaciones de las t5cnicas dec#lculo motivan el sur!imiento de M*&
Se o+tiene as- una sucesi%n de tres *ra/eolo!-as9 cada una'motiva3 la si!uiente $ sur!e como desarrollo de la anterior&
(Ma (Mh (M
cadenac'$cu$o
+/ s0%!o$os
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AEl *roceso se llev% a ca+o durante ;; sesiones de ;7
A8uvo lu!ar durante el curso ??4?
AFormaci%n inicial de *ro,esores de +#sica (!rado de aos)
AJsi!natura9 Did#ctica de las matem#ticas
AKru*o de unos > estudiantes
El !is!o proceso se adapt e$peri!ent el cursosiguiente (2324) para una clase de 15 &edio (13/14 a6os)
ondiciones de $a e2#eri%entaci"n (.or%aci"n de Maestros)
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sesi!n la cuesti!n de la escritura de los nFmeros
(b;etivo9 ri!er encuentro con una Qalrededor de los
Se *resenta una colecci%n de o+1etos *or escrito $ se *ideescri+ir el cardinal de la colecci%n de maneras distintas
Se o+tienen distintas escrituras
Corresondencia trmino a trmino
IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII III
Escritura aditiva 0 G 0 G 0 G 0 G H JJJ
Escritura aditivoKmultilicativa
N G cuarenta > tres O0 G H etcJ
Escritura de osici!n OH N 002 JJJ
/ ?C!mo se ueden desi%nar los P nFmeros Q
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2 K H K O sesiones Clculo en el ,* aditivo E%icio
(b;etivo9 ri!er encuentro e$ploracin de Ma
.resentaci%n del SN E!i*cio a *artir de un te/to de +#sica
8areas de desi!naci%nde *e0ueas colecciones$ de inter*retation de laescritura aditiva
8areas de c#lculo9 suma resta multi*licaci%n
La suma no lantea %randes roblemasJ
La multilicaci!n se hace or sumas iteradasJ
'n estudiante su%iere que multilicar or 0 consiste en cambiarun s#mbolo or el inmediato sueriorJ
,e uede introducir la tcnica de multilicaci!n de los E%icios
dulicaciones sucesivas6J
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OH BBBB $$$ (en +ase ;)
HR BBB $$$$$$$$
,uma BBBB $$$ BBB $$$$$$$$
BBBBBBBB $La divisi!n es ms roblemticaJ
'n estudiante utilia la tcnica de escribir el dividendo en P alitos Q> hacer a%ruaciones de i%ual tamaSo que el divisorJ
Los estudiantes se ven llevados a re%untarse en qu consiste ladivisi!n > a tener que deTinirlaJ
,e uede introducir la tcnica de divisi!n de los E%iciosJ
&o!ento del tra#a%o de la t"cnica
&o!ento tecnolgico/terico
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5 ,esi!n Evoluci!n hacia el ,* h#brido
(b;etivo9 Darse cuenta de las limitaciones de Ma $ considerar
una nueva M en torno al SN aditivo4multi*licativo (SN c7ino)&E0aluacin de '&a ri!er encuentro con '&7
,e hace una s#ntesis de las oeraciones realiadasJ
,e evalFa la econom#a Tiabilidad > eTicacia de (Ma considerando lascaracter#sticas 6 26 H6 O6J
Cuando la escritura de los nFmero requiere muchos s#mbolos losclculos son esados > aarecen errores TrecuentesJ
La consideraci!n de un sistema h#brido sur%e de Torma esontnea
$$$$$ BBB CC 5$ HB 2C
Q (Ma (Mh (M
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N U sesiones $nlisis del ,* h#brido
(b;etivo9 8ra+a1ar las t5cnicas de c#lculo en M7 $ detectar sus
limitaciones&E$ploracin, tra#a%o de la t"cnica e0aluacin de '&7.
A&ara multilicar los estudiantes utilian la tcnica e%icia dulicar6JEl *ro,esor *ro*one otro m5todo *ero se necesitar-an ta+las de multi*licar&
A&ara la divisi!n tambin utilian la tcnica e%iciaJ 8am+i5n a*arece la*ro*uesta de multi*licar *or ; el dividendo $ 7acer sustracciones sucesivas&
La evaluaci!n de (Mh one de maniTiesto la imosibilidad deescribir todos los nFmeros naturales se necesitar#an inTinitoss#mbolos6 > la Talta de Tiabilidad de las tcnicas de clculocuando los nFmeros son %randesJ
El SN de posicin sure entonces como respuesta a esta limitacin.
Q (Ma (Mh (M
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R U V sJ $nlisis del ,* de osici!n
(b;etivo9 :#lculo en M* $ an#lisis de sus caracter-sticas
Tra#a%o de la t"cnica, tecnolgico/terico, e0aluacin de '&p
AComentario sobre el ,* oral como e;emlo de (Mh > su relaci!n conel ,* osicionalJ
AElicitaci!n de la tecnolo%#a de la multilicaci!n > de la divisi!nJ
0 ,esi!n ,#ntesis del recorrido
(b;ectivo9 S-ntesis e institucionali"aci%n del *roceso de estudio
,esi!n Evaluaci!n individual rueba6
Q (Ma (Mh (M
Q (Ma (Mh (M
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uestiones a$ ina$ de$ #roceso
?Conocer las distintas (M (Ma (Mh (M6 en el sentido dearender a oeraren cada una de ellas obras cristaliadas6J
Conocer las caracter#sticas de las distintas (M > en articularlas de (M como resuesta a / P ?c!mo desi%nar los nFmeros Q
&ara construir (M como resuesta a / ha> que construir las(M intermedias estudiar sus limitaciones e identiTicar las
caracter#sticas de (M como una sueraci!n de estas limitacionesrazn deserde (MJ
El ob;etivo del roceso de estudio es el roio roceso
Q (Ma (Mh (M
Durante la institucionali"aci%n $ la evaluaci%n se *lantea una
cuesti%n9 ?cul es el saber a enseSar W enseSado
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E9$L'$CI3* DE L$ (+)$*I4$CI3* DID-C"IC$
A Los estudiantes 7an reali"ado el recorrido o se 7an G de1adollevar H *or el *ro,esor
A Se 7a G tomado en serio H la cuesti%n Q
A :%mo 7a sido el re*arto de res*onsa+ilidades (contrato)Qui5n *lantea las cuestionesQui5n *lani,ica el *roceso de estudioQui5n a*orta un G medio H *ara la evaluaci%n de las M
(a0u- el c#lculo en los distintos SN)Qui5n decide la valide" de las res*uestas
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+E&$+"( DE +E,&(*,$BILID$DE, contrato6
EL &+(XE,(+se res*onsa+ili"a de aortar las cuestionescrucialescu$o estudio da lu!ar a una reconstrucci%n de la M $ a
diri!ir el estudio mediante la mani*ulaci%n de las !ariablesdidcticas&
A"resentacin funcional# las M se constru$en como res*uestas$ a determinadas cuestiones 0ue tienen sentido *ara los
estudiantes&ALa construcci%n tiene una lica propia$ viene !uiada *or untra+a1o e/*erimental de contraste con un medio sin intencindidctica.
AEl *roceso de estudio *ermite 0ue se desarrollen los distintosmomentos didcticos$ !enera M relati!amente completas&
EL $L'M*(asume la res*onsa+ilidad de resolver las cuestiones0ue se le *lantean mediante un traba;o de interacci!n con el
medio&
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?/u dimensiones del roceso didctico estn ba;o laresonsabilidad de los alumnos
Cuesti!n/
+ : (Mresuesta a /
&'&ET' *+*-T+-'Ari!er encuentroAE$ploracin
ATra#a%o de la t"cnicaAEla#oracin de un entorno tecnolgico/tericoA+nstitucionaliacin
AE0aluacin desarrollo
Cuesti!n/
Cuesti!n/
Cuesti!n/
tras res*uestas R
*resentes en la cultura
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Qu5 as*ectos del *roceso noest#n +a1o la res*onsa+ilidaddel alumno
&lanteamiento >Ydesconstrucci!nZ
de la / inicial
Elecci!n de lascuestiones / / etcJ
cu>a resoluci!n ermiteacercarse a /
lo %histrico& del
proceso
Construcci!n oadataci!n deresuestas + +
ara las cuestionesr!imas a / / etcJ
AEvaluaci!n(validaci%n) de las res*uestas a*ortadas
mediante el contraste con un medioADesarrollode dic7as res*uestas *ara adatarlas a /
AElaboraci!nde una resuesta + roia
AEvaluaci!n> desarrollode la res*uesta a*ortada
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$*-LI,I, C+8"IC( DEL &+(CE,( DE E,"'DI( 9I9ID(
En realidad se si!uen ante*oniendo las 'res*uestas3 a las
'cuestiones39 D$D( '* C(*(CIMIE*"( ?/'@ ,I"'$CI3* L( M(DELI4$
= &E+MI"E )E*E+$+L(
?/'@ )'8$ EL E,"'DI( L$ &+(&I$ C'E,"I3* / ( L$
9(L'*"$D DE C(*,"+'I+ C(*(CIMIE*"( +E,&'E,"$,6$ &$+"I+ DE ELL$
No 7emos su*erado la mentalidad de anti!uo r5!imen9 ?DE D3*DE ,'+)E* L$, C'E,"I(*E, / ?&(+ /'@
DECIDIM(, E,"'DI$+L$,
?/'@ (C'++E C(* L$, Y(B+$,Z DEL E7"E+I(+ ?E*/'@ *(, $='D$* $ +E,(L9E+ L$ C'E,"I3* ?C3M( L$,I*"E)+$M(,
?/'@ .$+EM(, C(* *'E,"+$, +E,&'E,"$,
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?/'@ E,C'EL$ /'E+EM(,
LJ ES:UELJ :REJDRJ DE DIFEREN:IJ (Jnti!uo R5!imen)
A Sacrali"aci%n de las o+ras culturales del sa+erA El sa+er como distinci%n9 acceso restrin!ido a las o+ras
A La *resentaci%n 'monumentalista3 del sa+er
A .resentaci%n ,rontal de o+ras *reesta+lecidas ($ a1enas)9 laverdad se im*one *or autoridad el roTesor YroTesaZ&
LJ ES:UELJ :REJDRJ DE :IUDJDJNOJ DEM:RP8I:J
A El sa+er como instrumento*ara vivir me1or todos 1untos&A La escuela como diTusorade conocimientos 'vivos3&
A Facilitar elacceso a las obras$ al controlde la verdad&
A .romover el cuestionamiento $ desconstrucci!n de las
o+ras o del sa+er *reesta+lecido&
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En la enseSana tradicional las cuestiones Q 0uedan mu$
ale1adas de la escuela9 s%lo se evocan sin tomarlas en serio&
Lo im*ortante es el 'sa+er3 (+lo0ue tecnol%!ico4te%rico) 0ue se*resenta como al!o 6nico eterno e incuestiona+le&
Las matemticas ale'an el mundo y( como respuesta( el
mundo se ale'a de las matemticas.
)hat Should *hildren Learn+(.aul Ka!non ;
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3acia una nuea did'ctica esco$ar
4os 5ecorridos de 6studio e 7nesti&aci"n
8oda raeolo%#a (Msur!e como res*uesta a unacuesti%n Q *ro+lem#tica *ara un !ru*o de *ersonaso una instituci%n&
'Estudiar una (M3 re0uiere tomar en consideraci%n lascuestiones Q 0ue dan su ra!n de sera la M&
,e arte de / > se intenta elaborar +[
resuesta roia a /J,e encuentran otras resuestas R>a eistentes
ara dar resuesta a cuestiones / cercanas a /J
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D(, ,I"'$CI(*E, L#MI"E
,I"'$CI3* L#MI"E 46 Se ela+ora Ral ;T (autonom-a)&
Se re0uiere entonces un medio mu> rico@ $ muc7a ener!-aV
,I"'$CI3* L#MI"E $6 Se retoman resuestas +\ reviamente
elaboradas(*or otros) *ara dar res*uesta a cuestiones cercanas a Q&No se necesita nin!6n medio9 es la instituci%n de Rla 0ue valida&
,I"'$CI(*E, I*"E+MEDI$,
Se +uscan res*uestas R
se anali"an eval6an $desarrolan 7asta lle!ar a una res*uesta *ro*ia R&Durante el *roceso a*arecen nuevas cuestiones'cruciales3 Q Q etc& 0ue vuelven a lan"ar el estudio&Se recurre a distintos medios (sistemas nointencionados) *ara validar&
EL C$,( DE L(, ,I,"EM$, DE *'ME+$CI3*
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Se *arte de Q $ se intenta ela+orar una R *ro*ia&
Se encuentran res*uestas R$a ela+oradas a Q Q&
*u S+ uti$ia o ha uti$iado $a 3u%anidad,
Son equia$entes, "%o se caracterian,
3ay un S+ %e:or ; que $os de%'s,
?&or qu usamosun Fnico ,* >
muchosalTabetos
EL C$,( DE L(, ,I,"EM$, DE *'ME+$CI3*
4a dia$ctica de $os di $os %edios
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2 %randes Y%estosZcomlementarios
Buscar casos *articulares considerar un 'medio3e/*erimental $ construir res*uestas *arciales a*artir de la interacci%n con el medio&
Buscar 'en la literatura3 si esta cuesti%n $a 7asido *lanteada $ c%mo en 0u5 #m+ito sector o#rea se 7a situado con 0u5 7erramientas etc&
EL MEDI( C(M( E*"(+*( *( I*"E*CI(*$D( milieu
L(, MEDI(, DE C(M'*IC$CI3* media
4a dia$ctica de $os mediay $os %edios
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A ,istema de numeraci!n CLE Clculo a Lar%a Escala6
(0;1;6)tambino)0;1;6(:CLEcdigoenEscritura
112020202021267
2baseen10001167
123!6++++++=
=
""!73!
)0;1;2(2!7
)0;2(12101!
)1(2102
2)2(
1
)2(
==
=+=
=+==
===
CLE
CLE
""!73!
###)";!;6;7(3!$671!
)0;1;2;3;!;7(11100110013!$
)0;1;6(10001167
)2(
)2(
==
=+=
==
==
CLE
CLE
?+a!n de ser
>
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56O557DOS D6 6ST-D7O 6 7++
DIXIC'L"$DE,
ADi,-cil acceso a los 'medios3 (!ilieu) institucionales&A.oca cultura de control de los media de comunicaci%n9muc7a 'co*ia3 cultural de res*uestas a1enas 0ue aca+anim*oniendo sus cuestiones tam+i5n a1enas&
X$CILID$DE,ALa noci%n de REI nutre nuestra 'ima%inaci!n didctica3ALas *osi+les maneras de vivir o 7acer vivir los distintos
momento del estudio se desli!an de re;uicios escolaresALa 'clase3 como comunidad de estudioreco+ra identidadASe rom*e necesariamente el Yencierro en los temasZ
$ #reas sectores disci*linas @ALa escuela se convierte en instrumento de observaci!n
> cr#tica social reconstruccin de la sociedad
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Los resultados anteriores constitu$en una actuali"aci%n de las
matem#ticas *ara 0ue 5stas sean *or decirlo as- matem#ticas
responsa#les& Matem#ticas 0ue mani,iesten claramente a los
o1os de las nuevas !eneraciones 0ue la Escuela no lasa+andona sino 0ue al contrario se *reocu*a al m#/imo *or
darles los instrumentos necesarios *ara *ensar la realidad $
*ara entrar en ella armados de sa+er $ de ra"%n&
W& :7evallard (?)
8a posicin de las !ate!ticas 0i0as en la ense6ana
secundaria transposicin didctica de las !ate!ticas nue0a episte!ologa escolar
+ie$es de co deter%inaci"n did'ctica
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+ie$es de co?deter%inaci"n did'ctica
*ivel Discilina
*ivel 2 -rea
,ector*ivel H
*ivel O "ema
*ivel 5 Cuesti!n /
*ivel 0 &eda%o%#a
*ivel K Escuela
*ivel K2 ,ociedad
*ivel KH Civiliaci!n
Mate%'ticas@ 4en&ua@ iencias@ Di!u:o@ A
OM re&iona$es@ uniones de OM $oca$es
OM $oca$es@ uniones de OM #untua$es
OM #untua$es (#ro!$e%as@ tcnicas@ A)
Disci#$inas (sa!eres)
6nseana o!$i&atoria@ %edia@ #roesiona$
Sociedad
ii$iaci"n
=rit%tica@ '$&e!ra@ &eo%etr0a@ an'$isis@ A
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.REKUN8JS
;& :u#les ,ueron los *ro+lemas 0ue llevaron a*roducir la distinci%n entre niveles
.or 0u5 dic7a distinci%n ser# ,5rtil en
nuestras investi!acionesEn 0u5 sentido *ermite 'ver3 *ro+lemas 0ueno se ve-an $a desde la trans*osici%ndid#ctica
7/18/2019 Bosch, Mariana_Curso 3 220705
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.REKUN8JS
?& :%mo la di,usui%n de los conce*tos de*ra/eolo!-a t5cnica tecnolo!-a etc& *odr-aa+onar a nuestras investi!aciones o
decisiones curriculares
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.REKUN8JS
& En la noos,era no 7a$ tam+i5n actividadmatem#tica cuando 0uienes 7acen elcurr-culum reor!ani"an $ *roducen nuevas
reor!ani"aciones
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.REKUN8JS
& Qu5 a+ona la distinci%n de M ,rente a los'sentidos3 del ,uncionamiento de un conce*to
>& Son inde*endientes las M de los su1etos:%mo se consideran los su1etos $ susestados de conocimientos
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.REKUN8JS
X& En 0u5 medida el marco te%rico *ermite sertomado en cuenta *ara !e%orarla ensean"a
Y& .ara ela+orar un 'recorrido3 de un contenido a lolar!o de varios aos
4 c%mo de+er-an ,uncionar cierto e0uili+rioentre teor-aZtecnolo!-a $ t5cnicasZtareas
=& :%mo a*ortan *ara la *roducci%n de secuenciasde ensean"a la distinci%n MR ML M.
etc&
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.RWE:8 LEM (:7ile)
4Lorena Es*ino"a (Univ& Santia!o de :7ile)
Ministerio de Educaci%n
E/*eriencia de *roducci%n $ e/*erimentaci%nde 'Unidades Did#cticas3 *or curso
4 De ; a +#sico (desde ?)De > a = +#sico (*lan *iloto).arvulario (*lan *iloto)