AMÉRIQUE DU NORD - 2019

MATHÉMATIQUES

Indication portant sur l’ensemble du sujet.

Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.

Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche

; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1 (14 points) On considère la figure ci-contre, réalisée à main levée et qui n’est pas à l’échelle.

On donne les informations suivantes :

- Les droites (ER) et (FT) sont sécantes en A ;

- AE = 8 cm, AF = 10 cm, EF = 6 cm ;

- AR = 12 cm, AT = 14 cm.

1) Démontrer que le triangle AEF est rectangle en E.

On place les informations de l’énoncé sur la figure :

Dans le triangle AEF, le plus grand côté est [AF],

D’une part !"² = 10² = 100

D’autre part !(² + ("² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100

Donc !"² = !(² + ("², l’égalité de Pythagore est vérifiée donc le triangle AEF est rectangle

en E.

2. En déduire une mesure de l’angle /012au degré près.

345((Â") = !(/!"

345((Â") = 8/10

(Â" = !:3345 ; <=>? ≈ 37°(au degré près)

3) Les droites (EF) et (RT) sont-elles parallèles ?

(ER) et (FT) se coupent en A.

D’une part : CDCE= <

=F= F

G

D’autre part CHCI= =>

=J= K

L

CDCE≠ CH

CI, l’égalité de Thalès n’est pas vérifiée donc les droites (RF) et (RT) ne sont pas

parallèles.

Exercice 2 (17 points) Voici quatre affirmations. Pour chacune d’entre elles, dire si elle est vraie ou fausse. On

rappelle que la réponse doit être justifiée.

1) Affirmation 1 :

D’une part GK+ =

F= G×F

K×F+=×K

F×K= O

=>+ K

=>= ==

=>

D’autre part GP=KPF

= JL

JL≠ ==

=>

L’affirmation est fausse.

2) Affirmation 2

Q(−1) = 5 − 3 × (−1)

= 5 + 3

= 8

L’affirmation est fausse.

3) Affirmation 3

23≠57

Dans l’expérience 1, les nombres premiers entre 1 et 11 sont 2, 3, 5, 7 et 11 (il y en a 5) et il y

a un total de 11 nombres.

La probabilité de choisir un nombre premier est donc de K==

Dans l’expérience 2, les nombres pairs sur le dé sont 2, 4 et 6 (il y en a 3) et il y a un total de

6 faces.

La probabilité d’obtenir un nombre pair est donc de GO= =

F

On vérifie à la calculatrice que K==< =

F

Donc il est moins probable de choisir un nombre premier dans l’expérience 1 que d’obtenir un

nombre pair dans l’expérience 2.

L’affirmation est fausse.

4) Affirmation 4

(2V + 1)F − 4 = (2V + 1)F − 2F

= (2V + 1 + 2)(2V + 1 − 2)

= (2V + 3)(2V − 1)

L’affirmation est vraie.

Exercice 3 (12 points) Le diagramme ci-dessous représente, pour six pays, la quantité de nourriture gaspillée (en

kg) par habitant en 2010.

Troisième identité remarquable

1) Donner approximativement la quantité de nourriture gaspillée par un habitant du pays D

en 2010.

On peut lire sur le diagramme que la quantité de nourriture gaspillée par un habitant du pays

D est approximativement de 138kg (entre 120 et 140) en 2010.

2) Peut-on affirmer que le gaspillage de nourriture d’un habitant du pays F représente

environ un cinquième du gaspillage de nourriture d’un habitant du pays A ?

Le gaspillage d’un habitant du pays F est d’environ 110kg.

Le gaspillage d’un habitant du pays A est d’environ 540kg.

110540

≈ 0,2WX15= 0,2

On peut donc dire que le gaspillage d’un habitant du pays F est d’environ un cinquième de

celui d’un habitant du pays.

3. On veut rendre compte de la quantité de nourriture gaspillée pour d’autres pays. On réalise

alors le tableau ci-dessous à l’aide d’un tableur. Rappel : 1 tonne = 1 000 kg.

a) Quelle est la quantité totale de nourriture gaspillée par les habitants du pays X en 2010 ?

La quantité totale de nourriture gaspillée par les habitants du pays X est de 3 760 000 tonnes

en 2010.

b) Voici trois propositions de formule, recopier sur votre copie celle qu’on a saisie dans la

cellule D2 avant de l’étirer jusqu’en D4.

Pour obtenir la nourriture totale gaspillée il faut multiplier C2 et B2, on doit faire attention

aux unités :

- Les nombres de la colonne B sont exprimés en kg, il faut donc diviser le nombre par 1

000 pour avoir un résultat en tonne

- Les nombres de la colonne C sont exprimés en millions d’habitant, il faut donc multiplier

ces nombres par 1 000 000 pour avoir le nombre d’habitant.

Pour avoir le résultat de la colonne D il faut donc multiplier par 1 000 000 et diviser par 1 000. =>>>>>>=>>>

= 1000, il faut donc choisir la proposition 3 : B2*C2*1000.

Exercice 4 (10 points) On a programmé un jeu.

Le but du jeu est de sortir du labyrinthe.

Au début du jeu, le lutin se place au point de départ. Lorsque le lutin touche un mur,

représenté par un trait noir épais, il revient au point de départ.

L’arrière-plan est constitué d’un repère d’origine O avec des points espacés de 30 unités

verticalement et horizontalement.

Dans cet exercice, on considèrera que seuls les murs du labyrinthe sont noirs.

Voici le programme :

1) Recopier et compléter l’instruction du programme pour ramener le lutin

au point de départ si la couleur noire est touchée.

Le point de départ du Lutin est indiqué par la flèche « position de départ ».

Par rapport à l’origine il s’agit du point d’abscisse -6 et d’ordonnée -4.

Les points sont espacés de 30.

Or -6 × 30 = -180 et -4 × 30 = -120

Si la couleur noire est touchée, il faut donc « aller à x : -180 y : -120 ».

2. Quelle est la distance minimale parcourue par le lutin entre le point de départ et le point

de sortie ?

Au minimum le lutin devra parcourir une distance correspondant à 27 points (du point de

départ jusqu’au point d’arrivée). Cela correspond dont à 27 × 30 = 810 unités.

3. On lance le programme en cliquant sur le drapeau. Le lutin est au point de départ.

On appuie brièvement sur la touche ↑ (« flèche haut ») puis sur la touche → (« flèche droite

»). Quelles sont toutes les actions effectuées par le lutin ?

Lorsque l’on appuie sur la flèche du haut, le lutin monte de 30 unités (ajouter 30 à y) puis

attend 0,1 seconde.

Lorsque l’on appuie sur la flèche de droite, le lutin se déplace vers la droite de 30 unités

(ajouter 30 à x) puis attend 0,1 seconde.

Il est alors en contact avec un mur noir. Le lutin dit « perdu » pendant 2 secondes puis

recommence au point de départ.

Exercice 5 (10 points) Dans cet exercice aucune justification n’est attendue.

On considère l’hexagone ABCDEF de centre O représenté ci-contre.

1. Parmi les propositions suivantes, recopier celle qui correspond à l’image du quadrilatère

CDEO par la symétrie de centre O.

L’image de CDEO par la symétrie de centre O est FABO (proposition 1).

2) Quelle est l’image du segment [AO] par la symétrie d’axe (CF) ?

L’image de [AO] par la symétrie d’axe (CF) est [OE].

3. On considère la rotation de centre O qui transforme le triangle OAB en le triangle OCD.

Quelle est l’image du triangle BOC par cette rotation ?

Pour cette rotation, l’image du triangle BOC est EOD.

La figure ci-contre représente un pavage dont le motif de base a la même forme que

l’hexagone ci-dessus.

On a numéroté certains de ces hexagones.

L’image de l’hexagone 14 par la translation qui transforme l’hexagone 2 et l’hexagone 12 est

l’hexagone 19.

Exercice 6 (12 points) Les deux parties A et B sont indépendantes.

Partie A : absorption du principe actif d’un médicament

Lorsqu’on absorbe un médicament, que ce soit par voie orale ou non, la quantité de principe

actif de ce médicament dans le sang évolue en fonction du temps. Cette quantité se mesure

en milligrammes par litre de sang.

Le graphique ci-dessous représente la quantité de principe actif d’un médicament dans le sang,

en fonction du temps écoulé, depuis la prise de ce médicament.

a) Quelle est la quantité de principe actif dans le sang, trente minutes après la prise de ce

médicament ?

On peut lire graphiquement que la quantité de principe actif dans le sang trente minutes (0,5

heure) après la prise du médicament est de 10 mg/L.

b) Combien de temps après la prise de ce médicament, la quantité de principe actif est- elle

la plus élevée ?

On peut voir sur le graphique que la quantité de principe actif est plus élevée 2 heures après

la prise du médicament.

Partie B : comparaison de masses d’alcool dans deux boissons

On fournit les données suivantes :

La boisson 1 contient-elle une masse d’alcool supérieure à celle de la boisson 2 ?

Masse d’alcool contenu dans la boisson 1

Y = Z × [ × 7,9 ; ici V = 33cL et d = 5% = 0,05 donc :

Y = 33 × 0,05 × 7,9 = 13,035][′_`344`.

Masse d’alcool contenu dans la boisson 2

Y = Z × [ × 7,9 ; ici V = 125mL soit 12,5cL et d = 12% = 0,12 donc :

Y = 12,5 × 0,12 × 7,9 = 11,85][′_`344`.

C’est bien la boisson 1 qui contient le plus d’alcool.

Exercice 7 (15 points) Pour ranger les boulets de canon, les soldats du XVIe siècle utilisaient souvent un type

d’empilement pyramidal à base carrée, comme le montrent les dessins suivants :

1) Combien de boulets contient l’empilement à 2 niveaux ?

L’empilement à 2 niveaux contient 5 boulets (1 au sommet, et 4 à l’étage du dessous).

2) Expliquer pourquoi l’empilement à 3 niveaux contient 14 boulets.

L’empilement à 3 niveaux est composé de : 1 boulet au sommet, 2×2 = 4 boulets au niveau du

dessous puis 3×3 = 9 boulets au niveau le plus bas. Or 1 + 4 + 9 = 14.

Il y a bien 14 boulets dans l’empilement à trois niveaux.

3. On range 55 boulets de canon selon cette méthode. Combien de niveaux comporte alors

l'empilement obtenu ?

On remarque que le sommet comporte toujours 1 boulet, le suivant 4 puis 9 puis 16 … chaque

étage est formée d’un carré de 1×1 au sommet puis 2×2 puis 3×3 …

Donc pour 55 boulets il faut additionner 1×1 + 2×2 + 3×3 … jusqu’à obtenir 55.

Sur la calculatrice on additionne au fur et à mesure, on s’aperçoit que 1×1 + 2×2 + 3×3 + 4×4

+ 5×5 = 55.

Il faut donc un empilement à 5 niveaux pour ranger 55 boulets.

4. Ces boulets sont en fonte ; la masse volumique de cette fonte est de 7 300 kg/m3. On

modélise un boulet de canon par une boule de rayon 6 cm.

Montrer que l’empilement à 3 niveaux de ces boulets pèse 92 kg, au kg près.

Calcul du volume d’un boulet :

Za4b`WX = JG× c × :_d4eG, ici :_d4e = 63f

Za4b`WX = JG× c × 6G

Za4b`WX ≈ 9053fG = 0,000905fG (Pour passer de 3fGàfG il faut diviser par 1 000 000)

L’empilement à trois niveaux comporte 14 boulets (cf. question 2)

Volume de 14 boules :Za4b`WX × 14 = 0,000905 × 14 = 0,01267fG

Pour calculer la masse de ces boulets il faut multiplier le volume par la masse volumique :

Masse de l’empilement à trois niveaux : 0,01267 × 7300 = 92,491 ≈ 92i] (au kilo près).

La masse de cet empilement est bien de 92kg.

Exercice 8 (10 points) Dans une classe de Terminale, huit élèves passent un concours d’entrée dans une école

d’enseignement supérieur.

Pour être admis, il faut obtenir une note supérieure ou égale à 10.

Une note est attribuée avec une précision d’un demi-point (par exemple : 10 ; 10,5 ; 11 ; ...)

On dispose des informations suivantes :

1) Expliquer pourquoi il est impossible que l’une des deux notes désignées par u ou l soit

16.

Si l’une des notes inconnues était 16 il s’agirait de la meilleure note. Or la moins bonne note

est 6. L’étendue serait alors 16 – 6 = 10. Or l’étendue est de 9.

Donc aucune de ces notes ne peut être 16.

2) Est-il possible que les deux notes désignées par u et l soient 12,5 et 13,5 ?

Si les deux notes inconnues sont 12,5 et 13,5 alors :

L’étendue sera 15 – 6 = 9 ce qui est correct

La moyenne sera =>P=GP=KP=J,KPOPL,KP=F,KP=G

<= 11,5 ce qui est correct

Pour la médiane je range la série dans l’ordre croissant : 6 ; 7,5 ; 10 ; 12,5 ; 13 ; 13,5 ; 14,5 ;

15

Il y a huit valeurs donc la médiane se situe entre la 4ème et la 5ème valeur.

La médiane est donc plus grande que 12,5 ce qui est impossible car la médiane est de 12.

Les deux notes inconnues ne peuvent pas être 12,5 et 13,5.