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PCSI2
N. Véron_LMB_nov 2012
Fiche de cours sur les coniques
���� Présentation:
���� Définition monofocale:
���� Equation cartésienne dans le repère focal: Soit C une
conique de foyer F
d'excentricité e et de directrice D. Le repère focal est le
repère (F, 1 2e , e���� ����
) tel que
l'équation de D dans ce repère soit x = -d.
L'équation cartésienne de C dans (F, 1 2e , e���� ����
) est x²+y² = e²(x+d)²
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���� Parabole
Définition géométrique: MF = MH
Il existe un repère orthonormé (O, 1 2e ,e���� ����
) où P a pour équation réduite: y² = 2px
Axe focal: y=0 Sommet: O
Paramètre: p Excentricité: e = 1
Foyer: F(p,0)
2 Paramétrage classique:
t²x
2p ,t
y t
= ∈
=
ℝ
Directrice: D : x = p
2−
Tangente en Mo(x0,y0): yy0 = p(x+x0) par dédoublement des
variables
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���� Ellipse
Définition géométrique: MF = e.MH avec 0 < e < 1
Il existe un repère orthonormé (O, 1 2e ,e���� ����
) où E a pour équation réduite: y²x²
1a² b²
+ =
avec 0
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���� Hyperbole
Définition géométrique: MF = e.MH avec e > 1
Il existe un repère orthonormé (O, 1 2e ,e���� ����
) où E a pour équation réduite: y²x²
1a² b²
− =
avec a > 0 et b > 0
Axe focal: y=0
asymptotes: y = bx
a et y = -
bx
a
Sommets: A(a,0) A'(-a,0) Centre: O
On pose c = a² b²+ Excentricité: e = c
a Paramètre p =
b²
a
Foyers: F(c,0) et F'(-c,0) Directrices: D:x = a²
c et D':x = -
a²
c
Paramétrage classique:
x acht x acht ou ,t
y bsht y bsht
= = − ∈ = =
ℝ Tangente en Mo(x0,y0):
0 0xx yy 1a² b²
− =
par dédoublement des variables
Définition bifocale: lMF-MF'l = 2a
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���� Courbe du 2nd degré
Dans le plan rapporté au ROND R = (O, i, j� �
), on considère l'ensemble C d'équation
cartésienne ax²+bxy+cy²+dx+ey+f = 0 avec a,b,c,d,e,f réels et
(a,b,c)≠(0,0,0). On pose ∆ = b²-4ac • Si ∆0, C est du type
hyperbole: hyperbole ou hyperbole dégénérée (deux droites
sécantes).
���� Tangente à une courbe du 2nd degré:
On obtient la tangente à une courbe du second degré par
dédoublement des variables: On remplace: • x² par xx0 et y² par
yy0
• xy par 12(xy0+x0y)
• x par 12 (x+x0) et y par
1
2 (y+y0)
���� Equation polaire des coniques:
Dans le plan rapporté au ROND R = (O, i, j� �
), l'ensemble C d'équation polaire:
0
pr
1 ecos( )=
+ θ − θ est la conique de foyer O, d'excentricité e, de
paramètre p et de
directrice la droite D d'équation polaire 0
dr
cos( )=
θ − θ.
Notons que l'équation polaire de l'axe focal est 0θ = θ
