1

Calcul Avancé

Chapitre 4Linéarisation et optimisation sous

contrainte

Section 2

2

Le plan tangent à z=f(x,y)Forme cartésienne

La surface définie par z=f(x,y) est considérée comme la surface de niveau W(x,y,z)=0. Le gradient de la fonction w est perpendiculaire à cette surface de niveau. L’équation du plan tangent en M(x0, y0, z0) passant par M(x,y,z) est donné par

0.

MPw

Soit

0000

zzz

fyy

y

fxx

x

f

3

Le plan tangent à z=f(x,y)

Linéarisation

Le plan de linéarisation à la fonction f(x,y) passant par (x0,y0) est

0000 ,, yyy

fxx

x

fyxfyxfz

4

Le extremums

Maximums et minimums locaux

Si la fonction f(x,y) admet des dérivées premières et secondes autour du point (x0,y0) et qu’elles sont nulles en ce point et si en ce point D<0, alors:

Maximum relatif si

Soit 2

2

2

222

y

f

x

f

yx

fD

Minimum relatif si

02

2

x

f

02

2

x

f

5

Les points de selle

Si la fonction f(x,y) admet des dérivées premières et secondes autour du point (x0,y0) et qu’elles sont nulles en ce point et si en ce point D>0, alors le point (x0,y0) est un point de selle.

Soit2

2

2

222

y

f

x

f

yx

fD

6

Les multiplicateurs de Lagrange

Soit les fonctions à deux variables z=f(x,y) et z=g(x,y). Si cette fonction admet un extremum au point (x0,y0) sous la contrainte g(x,y)=0, alors il existe un nombre tel que:

0000 ,, yxyx gf

En projetant l’équation vectorielle sur chacun des deux axes et avec la contrainte g(x,y)=0, on obtient trois équations avec trois inconnues, x0, y0 et .