Calcul de structures en bureau d’études - IN2P3 · Calcul de structures en bureau d’études Pour rendre isostatique ce treillis dont la position est quelconque dans la direction

1ISMANS

Calcul de structures en bureau d’étudesCalcul de structures en bureau d’études

Les sections sont Les sections sont définies et définies et orientées.orientées.

Le matériau, la Le matériau, la charge ponctuelle et charge ponctuelle et

les conditions aux les conditions aux limites sont définies.limites sont définies.

2ISMANS


Géométrie filaire adaptée et maillage poutreGéométrie filaire adaptée et maillage poutre

3ISMANS


Résultat du calcul : 3 pivots nuls

%%%A01%%%A01--MMF00, MMF00,

============================================================================================================================

== WARNING FIXATION OF D.O.F. CORRESPONDING TO NULL PIVOTS ==== WARNING FIXATION OF D.O.F. CORRESPONDING TO NULL PIVOTS ==

== IF NOT EXPECTED, CHECK THE CONSISTENCY OF YOUR RESULTS ==== IF NOT EXPECTED, CHECK THE CONSISTENCY OF YOUR RESULTS ==

============================================================================================================================

NODE 7 COMP 1 NODE 7 COMP 1



4ISMANS


La structure est extérieurement hypostatique : La structure est extérieurement hypostatique :

elle n’a pas de position d’équilibre possible car elle elle n’a pas de position d’équilibre possible car elle n’a pas suffisamment de conditions aux limites.n’a pas suffisamment de conditions aux limites.

Dans l’espace, il faut bloquer six degrés de Dans l’espace, il faut bloquer six degrés de liberté indépendants pour que la structure liberté indépendants pour que la structure soit isostatique : dans ce modèle, seuls 3 soit isostatique : dans ce modèle, seuls 3 degrés de liberté sont fixés. On retrouve degrés de liberté sont fixés. On retrouve

bien les trois pivots nuls du bien les trois pivots nuls du solversolver. .

5ISMANS


Comment rendre isostatique ce

portique ?

6ISMANS


Exemple de treillis extérieurement hypostatique : il n’y a que deux actions de liaison, le portique a une position indifférente sur l’axe horizontal. Mathématiquement,

cela se traduit par une singularité dans le système matriciel et un arrêt du calcul.

F F

x

y

7ISMANS


Pour rendre isostatique ce treillis dont la position est quelconque dans la direction x, il faut introduire une liaison supplémentaire

dont le but est d’éliminer le mouvement de translation d’ensemble dans cette direction.

Une première possibilité est représentée sur le dessin ci-dessus.

F F

8ISMANS


Les déplacements ne sont pas symétriques car on choisit « d’attacher la règle » en A et de compter les déplacements du treillis par rapport à ce point A pris comme référence, ce qui est complètement arbitraire mais correct. Le point milieu se

déplace de α, l’extrémité de droite de 2 α.

2α

F F

α

A

9ISMANS


Les déplacements sont symétriques car on choisit « d’attacher la règle » au centre et de compter les déplacements du treillis par rapport à ce point central pris comme référence, ce qui est

tout aussi arbitraire et correct. L’extrémité de gauche se déplace de - α, l’extrémité de droite de α.

FF

A

α0- α

10ISMANS


Le treillis est maintenant soumis à une troisième Le treillis est maintenant soumis à une troisième condition à la limite qui l’a rendu isostatique. condition à la limite qui l’a rendu isostatique.

Cette condition supplémentaire n’a pas changé le Cette condition supplémentaire n’a pas changé le problème, et elle préserve la symétrie attendue.problème, et elle préserve la symétrie attendue.

Il faut faire attention à ne pas rendre hyperstatique Il faut faire attention à ne pas rendre hyperstatique la structure, ce qui changerait le problème posé.la structure, ce qui changerait le problème posé.

Que faire pour le portique proposé ?Que faire pour le portique proposé ?

11ISMANS


Les trois modes rigides qui restent après Les trois modes rigides qui restent après introduction des conditions aux limites sont :introduction des conditions aux limites sont :

-- La translation sur xLa translation sur x

-- La translation sur yLa translation sur y

-- La rotation autour de zLa rotation autour de z

On peut bloquer les deux translations dans le plan On peut bloquer les deux translations dans le plan horizontal du point 1horizontal du point 1

Il ne reste plus qu’un mode rigideIl ne reste plus qu’un mode rigide

12ISMANS


Pour préserver la symétrie Pour préserver la symétrie attendue de la solution, on attendue de la solution, on

bloque la translation hors plan bloque la translation hors plan d’un point contenu dans le plan d’un point contenu dans le plan

de symétrie. de symétrie.

Le portique est maintenant Le portique est maintenant isostatique et on peut calculer isostatique et on peut calculer

sa réponse sous charge.sa réponse sous charge.

13ISMANS


Module des déplacements sous charge

Compatible avec l’hypothèse de linéarité

géométrique : les déplacements sont petits

par rapport aux dimensions de la structure

14ISMANS


15ISMANS


16ISMANS


Contrainte équivalente de

Von Mises

Compatible avec l’hypothèse de linéarité

matérielle : les contraintes sont inférieures à la limite élastique du matériau de la

structure

17ISMANS


Contrainte de cisaillement dans

les sections

18ISMANS


Avec la symétrie

19ISMANS


Avec la symétrie

Il faudra donner des propriétés géométriques différentes aux poutres

« vertes » et aux poutres « jaunes ».

20ISMANS


Avec la symétrie

Que faire pour la charge ?Que faire pour la charge ?

Appliquer 250 N sur la moitié de la structure et pas 500 N

21ISMANS


Avec la symétrie

Que faire pour les Que faire pour les conditions aux limites ?conditions aux limites ?

Eliminer une translation et deux rotations pour tous les nœuds contenus dans le plan de symétrie.

22ISMANS


Avec la symétrie

Que faire pour les Que faire pour les inerties ?inerties ?

y

z

y

zIl faut diviser par deux

l’inertie autour de l’axe y.

Quand on coupe un carré creux par un de ses plans de symétrie, le profil obtenu est un U !

23ISMANS


En récupérant les inerties (comment ?) du profil initial, on peut introduire directement l’inertie nécessaire sans décrire le profil mais on se prive ainsi de plusieurs post-traitements :

Contraintes aux points hors fibre neutreContraintes aux points hors fibre neutre

CisaillementsCisaillements

Et c’est relativement pénible à faire.Et c’est relativement pénible à faire.

24ISMANS


Mais ce n’est pas tout …Mais ce n’est pas tout …

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z

y

Le centre de gravité de la demi-section n’est pas situé dans le plan de symétrie du profil :

Pour retrouver la bonne inertie autour de l’axe z, il faut effectuer un transport de

Huyghens…

δ

26ISMANS


En pratique, il n’est pas nécessaire d’effectuer le recalage de l’inertie autour de l’axe zp. En raison

de la symétrie, pour tous les nœuds contenus dans le plan de symétrie, il faut éliminer la translation orthogonale à ce plan et les rotations autour des

axes contenus dans ce plan, dont la rotation autour de l’axe zp de la poutre. Les degrés de

liberté θz étant fixés, l’inertie qui leur est associée n’a aucune influence sur le calcul.

27ISMANS


Conseil du jourConseil du jour

Ne vous prenez pas la tête avec la symétrie pour ce treillis, vous passerez plus de temps à adapter les données qu’à avoir la solution sur la structure

complète.

Cela ne signifie pas de travailler systématiquement sur la structure entière. Et de bien faire attention

à ce que cela implique pour l’étude complète (stabilité par exemple).

28ISMANS


Pour ce treillis, il est utile de profiter de la symétrie.Pour ce treillis, il est utile de profiter de la symétrie.

29ISMANS


STABILITESTABILITE

PLASTICITEPLASTICITE

30ISMANS


Quel est le phénomène le plus Quel est le phénomène le plus critique pour ce portique ?critique pour ce portique ?

Le treillis est principalement soumis à Le treillis est principalement soumis à une compression : il peut flamber.une compression : il peut flamber.

Sous la charge, la contrainte peut Sous la charge, la contrainte peut atteindre la limite élastique du matériau.atteindre la limite élastique du matériau.

31ISMANS


StabilitéStabilité

La charge critique est la charge ultime au-delà de laquelle un accroissement infinitésimal de charge

entraîne un accroissement fini de déplacement (point limite) ou un changement radical de géométrie

(bifurcation ou divergence).

32ISMANS


Charge

Déplacement

Point de bifurcation

Bifurcation stable

Charge

Déplacement

Point de bifurcation

Bifurcation instable

Point limite

Déplacement

Charge

Claquage de l’arc

33ISMANS


Compression d’une colonne :

pas ce type de problème ici

F

Exemple de Exemple de BIFURCATIONBIFURCATION

34ISMANS


Renversement de la courbure : problème du dôme

F

Exemple de Exemple de POINT LIMITEPOINT LIMITE

35ISMANS


σ0 est positif (traction) : pas d’instabilité

λσλ ∃=+= ∫ 00

00V

T dvAKK

0

0

0

0

0

⟩

⟩

∫V

dvA

K

σλσλ ∀⟩+= ∫ 0

0

00V

T dvAKK

σ0 est négatif (compression) : risque d’instabilité

0

0

0

0

0

⟨

⟩

∫V

dvA

K

σ

36ISMANS


Stabilité linéaire (Euler)Stabilité linéaire (Euler)

Cela revient à se donner le problème suivant : par combien peut-on multiplier la charge initiale pour

qu’elle devienne critique ? Puisqu’on se place dans le cadre d’une analyse linéaire, les déplacements sont

petits et les contraintes inférieures à la limite élastique des matériaux.

0)( 00 =+ qKK σλ

37ISMANS


Facteur de charge critique λ

Mode critique associé (tube Virgo)

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Structure « bien » raide, grande charge de compression pour flambage : plastification avant flambage. On est

sorti du domaine linéaire et la charge critique d’Euler n’a pas de sens pour ce problème.

Structure souple, peut flamber pour un niveau de charge compatible avec l’analyse linéaire.

Approche linéaire

39ISMANS


Les valeurs expérimentales de flambage sont généralement bien inférieures aux valeurs théoriques données par des formules analytiques ou calculées par l’approche d’Euler développée précédemment.

Divers auteurs et organismes ont établi des formules semi-empiriques, corrélées par l’expérience, donnant les charges critiques avec un coefficient de sécuritéconfortable tout en prenant en compte les propriétés matérielles et les tolérances géométriques : Roark, Leconte, RCC-M, CODAP, ASME...

Constat

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Défaut de géométrie

Défaut de conditions aux limites

Défaut de matériau

ΔDéfaut de chargement

F

Instabilité due Instabilité due aux imperfections aux imperfections

physiquesphysiques

41ISMANS


Calcul linéaire (EULER) de la charge critique puis coefficient de sécurité pour la stabilité

POINT LIMITEPOINT LIMITE

ChargeApproche d’Euler

42ISMANS


Calcul linéaire (EULER) de la charge critique puis coefficient de sécurité pour la stabilité

Charge

BIFURCATIONBIFURCATIONApproche d’Euler

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La charge initiale NLa charge initiale N00 génère un déplacement qgénère un déplacement q00 et un et un état de contrainte état de contrainte σσ0 0 àà partir duquelpartir duquel le programme le programme calcule la matrice de raideur gcalcule la matrice de raideur gééomoméétrique Ktrique Kσσ00

Le coefficient Le coefficient λλ est le facteur de charge critiqueest le facteur de charge critique

La charge critique est le produit La charge critique est le produit NNcrcr = = λλNN00

Comment valider le résultat de l’approche Comment valider le résultat de l’approche linéaire puisque l’instabilité est un phénomène linéaire puisque l’instabilité est un phénomène

non linéaire ?non linéaire ?

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Les déplacements Les déplacements λλqq00 sont petitssont petits

Les contraintes Les contraintes λσλσ0 0 sont admissiblessont admissibles

Le facteur de charge critique correspondant à Le facteur de charge critique correspondant à la charge critique qui peut se produire la charge critique qui peut se produire

réellementréellement a une valeur absolue supérieure à 1.a une valeur absolue supérieure à 1.

45ISMANS


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

MODE BUCKLING GENERALIZED NORM MODE BUCKLING GENERALIZED NORM

FACTOR LOAD (IN LOCAL AXES IF DEFINED)FACTOR LOAD (IN LOCAL AXES IF DEFINED)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 5.04405E+01 9.68587E+03 NODE 49 COMPONENT 2 1 5.04405E+01 9.68587E+03 NODE 49 COMPONENT 2 <0<0

2 2.97748E+02 1.35775E+05 NODE 60 COMPONENT 2 2 2.97748E+02 1.35775E+05 NODE 60 COMPONENT 2 >0>0

3 3.51642E+02 7.42149E+04 NODE 89 COMPONENT 1 3 3.51642E+02 7.42149E+04 NODE 89 COMPONENT 1 >0>0



----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Résultats du calcul de stabilitéRésultats du calcul de stabilité

chassischassis surfacique avec trous fibre surfacique avec trous fibre neutre.CATAnalysisneutre.CATAnalysis

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Mode 1Mode 1 Mode 2Mode 2

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Mode 3Mode 3 Mode 4Mode 4

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0.06x50 = 3 mm petits déplacements pour 0.06x50 = 3 mm petits déplacements pour NNcrcr

Mais le facteur de charge est tellement grand (50) Mais le facteur de charge est tellement grand (50) que l’on peut considérer que le risque d’instabilité que l’on peut considérer que le risque d’instabilité

n’apparaîtra pas avant au moins 20 à 30 fois la n’apparaîtra pas avant au moins 20 à 30 fois la charge Ncharge N00 appliquée soit 10 000 à 15 000 N.appliquée soit 10 000 à 15 000 N.

9x50 = 450 MPa contraintes inadmissibles9x50 = 450 MPa contraintes inadmissibles

49ISMANS


Avec la symétrie

On est obligé d’introduire des conditions de symétrie : en bloquant le déplacement

transversal au plan de symétrie, on ne peut plus

déterminer le « vrai » premier mode critique.

50ISMANS


PlasticitéPlasticité

Profitant de la linéarité, on peut calculer par Profitant de la linéarité, on peut calculer par combien on doit multiplier la charge appliquée pour combien on doit multiplier la charge appliquée pour

que la contrainte atteigne la limite élastique du que la contrainte atteigne la limite élastique du matériau en faisant une simple règle de 3.matériau en faisant une simple règle de 3.

500 N500 N 10 MPa10 MPa

20x500 N 20x500 N 200 MPa200 MPa

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On atteindra la limite, sans aucune On atteindra la limite, sans aucune sécurité, pour une charge de 10 000 N.sécurité, pour une charge de 10 000 N.

Pour ce portique, le comportement est sain et Pour ce portique, le comportement est sain et bien linéaire. Si on augmente graduellement la bien linéaire. Si on augmente graduellement la

charge, la plasticité apparaîtra avant le flambage.charge, la plasticité apparaîtra avant le flambage.

52ISMANS


Les RACCORDS de PoutresLes RACCORDS de Poutres

53ISMANS


Les raccords sontLes raccords sont--ils ils correctement pris en correctement pris en

compte ?compte ?

RaccordRaccord (1)(1)

Comment sontComment sont--ils ils réalisés en pratique ?réalisés en pratique ?

demi demi chassis.CATPartchassis.CATPart

54ISMANS



Le modèle rend Le modèle rend globalement et globalement et

localement compte de localement compte de la réalisation.la réalisation.

Coupe à 45°Coupe à 45°

55ISMANS


Les raccords sontLes raccords sont--ils ils correctement pris en correctement pris en

compte ?compte ?


Tubes «Tubes « transversauxtransversaux » » soudés sur les montantssoudés sur les montants

56ISMANS



Selon les hypothèses de RDM, la section droite Selon les hypothèses de RDM, la section droite est indéformable (même pour un coefficient de est indéformable (même pour un coefficient de Poisson non nul…). Si la longueur des éléments Poisson non nul…). Si la longueur des éléments

de poutre est compatible avec les dimensions de de poutre est compatible avec les dimensions de la section droite, le modèle poutre donne un bon la section droite, le modèle poutre donne un bon

résultat même pour ce type d’assemblage.résultat même pour ce type d’assemblage.

57ISMANS


Et les perçages ?Et les perçages ?

demi demi chassis.CATPartchassis.CATPart

58ISMANS


Approche localeApproche locale

PeutPeut--on avoir une idée plus précise du on avoir une idée plus précise du comportement de la traverse sans faire comportement de la traverse sans faire

un modèle 3D complet du portique ?un modèle 3D complet du portique ?

59ISMANS


Approche locale en utilisant les Approche locale en utilisant les résultats du modèle poutrerésultats du modèle poutre

On isole la traverse, on lui applique les On isole la traverse, on lui applique les charges et conditions aux limites charges et conditions aux limites

récupérées du modèle poutre.récupérées du modèle poutre.Traverse1.sfieldTraverse1.sfield

60ISMANS


Charge de 500 N sur une «Charge de 500 N sur une « ligne rigideligne rigide »»

Charge de 250 N et moment de 125000 N.mmCharge de 250 N et moment de 125000 N.mm

Un corps rigide de Un corps rigide de chaque coté : la chaque coté : la

section d’une poutre section d’une poutre est «est « indéformableindéformable » »

en RDM.en RDM.Encastrement du Encastrement du nœud maitre d’un nœud maitre d’un

corps rigide.corps rigide.

Traverse2.sfieldTraverse2.sfield

61ISMANS


Maillage surfacique de la traverse supérieureMaillage surfacique de la traverse supérieure

Travserse4.sfieldTravserse4.sfield

62ISMANS


Module des déplacementsModule des déplacements

Déplacement maximal : 2.2 mm en bout de traverseDéplacement maximal : 2.2 mm en bout de traverse

Travserse5.sfieldTravserse5.sfield

63ISMANS


Contraintes équivalentesContraintes équivalentes

64ISMANS


Contraintes équivalentesContraintes équivalentes

65ISMANS


Que peutQue peut--on dire des on dire des résultats, de l’influence résultats, de l’influence

du maillage ?du maillage ?

66ISMANS


GoussetsGoussets (1)(1)

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68ISMANS



Une dimension petite par rapport aux deux autres : ce n’est pas une poutre !

Sont soudés (et éventuellement en plus boulonnés) en recouvrement sur les poutres ou soudés dans le plan des fibres neutres.

69ISMANS



Comment raccorder un fer plat et un cylindre ?

Merci à la SNCF pour la structure ci-dessus

70ISMANS


71ISMANS


72ISMANS


Rôle mécanique :

améliore la liaison car longueur de soudure parfois trop petite,

diffuse la contrainte,

évite de trop faire travailler la soudure en traction..


73ISMANS



Rôle cinématique : garantit sur les côtés soudés la préservation de l’angle entre les poutres.

Taille du gousset par rapport à la longueur des poutres raccordées :

- « petite » : modélisation inutile

- « grande » : modélisation utile mais modèle EF local et pas RDM

74ISMANS



Degré de liberté de rotation d’une poutre :

- plusieurs poutres reliées en un nœud,

- ce nœud a une rotation dans le plan,

Rotation locale commune aux poutres raccordées en ce nœud donc conservation des angles

relatifs

75ISMANS



L’angle droit avant la mise en charge reste droit après la mise en charge

76ISMANS


GoussetsGoussets (9)(9)Un petit gousset n’apporte rien dans le modèle

global car cinématique correcte, sauf pour l’étude des contraintes, mais c’est alors local.

77ISMANS


GoussetsGoussets (10)(10)Un grand gousset « prolonge » la distance sur

laquelle l’angle se conserve et doit être modélisé, indépendamment des contraintes.

78ISMANS


Déplacement du gousset

Extension du gousset Modification de la

géométrie du gousset


79ISMANS



Poutre additionnelle

Éléments surfaciques

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