Calcul des grandeurs électromagnétiques dans un séparateur ... · dans un séparateur magnétique à aimants permanents Encadré par : Rabia MEHASNI MCA Réalisé par: Abdelouahab

République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Supérieur

Et de la Recherche Scientifique

FACULTE DES SCIENCES DE LA TECHNOLOGIE

DEPARTEMENT ELECTROTECHNIQUE

…………………………………………………………………………. N° d’ordre : ….

Série : ….

Mémoire

Présenté en vue de l’obtention du diplôme de Master en

Electrotechnique

Option : Gestion et Transformation de l’Energie Electrique

Thème

Calcul des grandeurs électromagnétiques

dans un séparateur magnétique à aimants

permanents

Encadré par : Rabia MEHASNI MCA

Réalisé par : Abdelouahab BOUSMINA

Promotion : Juin 2015

Remerciement

Le travail que je présente dans ce mémoire a été réalisé au département de

L’électrotechnique de l'université des Frères Mentouri Constantine.

Je remercie Allah, le tout puissant, le miséricordieux, de m’avoir appris ce que

j’ignorais, de m’avoir donné la santé et tout dont je nécessitais pour

l’accomplissement de ce mémoire.

Je commence par exprimer ma profonde gratitude envers mon directeur de

mémoire Monsieur Rabia Mehasni, Maître de conférence à l’Université des

Frères Mentouri Constantine, pour m’avoir encadré et accueilli dans son

laboratoire, ses qualités humaines m’ont permis de réaliser ce mémoire dans les

meilleures conditions.

Je tiens également à remercier : Monsieur Mehdi Ouili, étudiant doctorant à

l’Université des Frères Mentouri Constantine, pour ses conseils et sa

disponibilité sans faille et son soutien infinie.

Je n’ose citer des noms de peur d’oublier quelqu’un mais je garderai en

mémoire leur aide et leur soutien.

Mes remerciements s’adressent aussi à tous mes collègues, mes amies et

tous les membres de ma famille, en particulier ma mère et Sara, pour leurs

encouragements et leur soutiens moral qui m’ont permis de mener à bon

terme ce travail.

Merci à tous mes collègues du laboratoire d’électrotechnique, à toute la

promotion de Master.

Merci à tous mes proches pour le soutien moral qu’ils m’ont apporté.

SOMMAIRE

Introduction générale…………………………………………………………………….. 2

Chapitre I : Séparation Magnétique et Différentes Techniques Utilisées………………….. 4

I. Séparation magnétique et différentes techniques utilisées ……………………………… 5

I. 1. Introduction………………………………………………………………………… 5

I. 2. Classification des séparateurs magnétiques………………………………………. 5

I. 2.1. Séparateur magnétique à basse intensité (SMBI)…………………………….. 6

I. 2.2. Séparateurs Magnétiques à Haute Intensité (SMHI)…………………………. 6

I. 2.3. Séparation Magnétique à Haut Gradient de champ(SMHG)

Et / ou à haut champ…………………………………………………………

5.

3 7

a. Séparateurs à gradient ouvert (SMGO)……………………………................... 7

b. Séparateurs à tambour …………………………………………………………. 7

c. Séparateur magnétique à matrice d’extraction…………………………………. 8

I. 3. Application de la séparation magnétique………………………………………. 9

I. 3.1. Traitement minéralurgique……………………………………………………. 9

I. 3.2. Traitement de dépollution industriel et environnemental……………………. 9

I. 3.3. Recherche médicale……………………………………………….................. 9

I. 3.4. Application biochimique…………………………………………………….. 9

I. 4. Données économiques sur la séparation magnétique………………....................... 10

I. 4.1. Coût d’investissement…………………………………………………………………. 10

I. 4.2. Coût de fonctionnement……………………………………………………………….. 10

Chapitre II : Modélisation d’un séparateur magnétique à aimant permanent…………… 12

II. Modélisation d’un séparateur magnétique à aimant permanent…………....................... 13

II. 1. Différents types de milieux magnétiques…………………………………………. 13

II. 1.1. Matériaux diamagnétiques……………………………………....................... 13

II. 1.2. Matériaux paramagnétiques…………………………………….................... 13

II. 2.3. Matériaux ferromagnétiques………………………………………………… 13

II. 1.4. Matériaux ferrimagnétiques…………………………………….................... 14

II. 1.5. Matériaux antiferromagnétiques…………………………………………….. 14

II. 1.6. Les aimants permanents……………………………………………………… 14

II. 2. Modèles mathématiques régissant le phénomène magnétique d’un

séparateur à aimant permanent………………………………………………… . .

16

II. 2.1. Equation gouvernant le champ magnétique……………………..................... 16

II. 2.2. Forces d’origine magnétique appliquée sur des particules

métalliques…………………………………………………………………………….

18 II. 2.2.1. Particules magnétiques……………………………………………………………. 18 II. 2.2.2. Force appliquée sur une particule conductrice……………………………………. 18

II. 3. Equation dynamique d’une particule en mouvement……………......................... 19

Conclusion……………………………………………………………………………………. 19

Chapitre III: Résolution de l’équation du champ liée au problème étudié et méthode

utilisée…………………………………………………………………………………………

20

III. Résolution de l’équation du champ liée au problème étudié et méthode

utilisée…………………………………………………………………………………………

21

III. 1. La méthode des éléments finis (MEF)…………………………........................... 21

III. 1.1. Principe de la méthode des éléments finis………………………………… 21

III. 1.2. Discrétisation du domaine d’étude et fonction d’interpolation………......... 22

III. 1.3.Mise sous forme intégrale de l’équation EDP et système d’équations

algébriques…………………………………………………………………………..

24

III. 2. Conditions de passage…………………………………………………………… 26

III. 3. Types des Conditions aux limites……………………………………………….. 27

a. Conditions de type Dirichlet……………………………………....................... 27

b. Condition de Neumann………………………………………………………….. 27

c. Conditions mixtes Neumann-Dirichlet…………………………….................... 27

III. 4. Outil de calcul utilisé………………………………………………...................... 28

Chapitre IV: Résolution du problème magnétique lié au séparateur étudié et résultats

obtenus…………………………………………………………………..................................

29

IV. Résolution du problème magnétique lié au séparateur étudié et résultats

obtenus……………………………………………………………………………..................

30

IV. 1. Dispositif de séparation étudié……………………………………...................... 30

IV. 1.1. Cas d’un séparateur à un seul aimant permanent…………………………. 30

a. Domaine d’étude et maillage éléments finis 2D………………………………. 30

b. Distribution du potentiel vecteur magnétique dans le domaine

d’étude……………………………………………………………………………

31

c. Distribution de l’induction magnétique……………………………………….. 32

d. Force magnétique appliquée sur les particules ferromagnétiques…………….. 33

e. Force de Lorentz appliquée sur les particules conductrices……....................... 33

IV. 1. 2. Cas d’un séparateur à quatre aimants permanents………………………… 38

a. Domaine d’étude et maillage 2D………………………………………………. 38 b. Distribution du potentiel vecteur magnétique dans le domaine d’étude……………… 38

c. Distribution de l’induction magnétique ⃗ …………………………………….. 39

d. Distribution de la force magnétique appliquée aux particules

magnétiques…………………………………………………………...................

40

e. Force de Lorentz appliquée aux particules conductrices……………………… 40

Conclusion……………………………………………………………………….................... 43

Conclusion générale……………………………………………………………...................... 44

Bibliographies………………………………………………………………………………… 46

LISTES DES FIGURES

Fig. I. 1. Tube magnétique à aimant permanent (ferrites, terres rares) Eriez magnetics……. 6

Fig. I. 2. Principe de la séparation magnétique SMHI Des particules dia et paramagnétique... 7

Fig. I. 3. Séparateur supraconducteur à haut gradient à tambour Descos (Doc.

KHD Humboldt Wedag)……………………………………………………………………….

8

Fig. I. 4. Séparateur magnétique à matrice d’extraction. a) vue générale de séparateur, b)

quelques matrices d’extraction……………………………………………………………….

8

Fig. II. 1. Cycle d’hystérésis de quelques aimants permanents………………………........... 14

Fig. II. 2. Courbes de désaimantations des principaux aimants………………………………. 16

Fig. III. 1. Exemple d’éléments d’un maillage éléments finis………………………………. 2 22

Fig. III. 2. Elément triangulaire type………………………………………………………… 24

Fig. III. 3. Représentation géométrique des fonctions d’interpolation …………….......... 24 Fig. III. 4. Interface entre deux milieux……………………………………………………… 26

Fig. III. 5. Etapes de la résolution du problème magnétique en utilisant

COMSOL multi physique…………………………………………………………………....

28

Fig. IV. 1. Dispositif de séparation magnétique traité. a) cas d’un seul aimant, b)

cas de quatre aimants…………………………………………………………........................

30

Fig. IV. 2. Géométrie traitée et maillage réduit seulement aux milieux liés à l’aimant et au

tambour. a) domaine d’étude, b) maillage éléments finis……………………………………

31

Fig. IV. 3. Lignes isovaleurs de la composante Az du potentiel vecteur ⃗⃗ ………................ 32

Fig. IV. 4. Distribution de l’induction magnétique dans le domaine d’étude. a) intensité

du module de l’induction magnétique, b) orientation des vecteurs de l’induction

magnétique……………………………………………………………………………………

32

Fig. IV. 5. Distribution de la force magnétique au voisinage de l’aimant permanent………. 33

Fig. IV. 6. Position initiale dans laquelle on calcule la force de Lorentz…………………… 34

Fig. IV. 7. Rotation de l’aimant permanent par un angle de 20°……………………………. 34

Fig. IV. 8. Orientation de la Force de Lorentz appliquée à la particule……………............... 35

Fig. IV. 9. Variation de l’induction magnétique en fonction de la variation de l’angle

…………………….…………………………………………………………………………

36

Fig. IV. 10. Variation de la densité de courant induit en fonction de la variation de l’angle

……………………………………………………………………………………………….

36

Fig. IV. 11. Variation de la force magnétique appliquée à une particule magnétique en

fonction de la variation de l’angle ………………………………………………………….

37

Fig. IV. 12. Variation de la force de Lorentz appliquée à une particule conductrice en

fonction de la variation de l’angle …………………………………………….....................

37

Fig. IV. 13. Géométries traitées et maillage éléments finis 2D……………………………… 38

Fig. IV. 14. Lignes iso valeurs de la composante Az du potentiel vecteur

magnétique …………………………………………………………………………………

38

Fig. IV. 15. Distribution de l’induction magnétique dans le domaine d’étude. a) intensité

du module de l’induction magnétique, b) orientation des vecteurs de l’induction

magnétique……………………………………………………………………………………

39

Fig. IV. 16. Distribution de la densité de force magnétique dans le domaine d’étude……… 40

Fig. IV. 17. Rotation des aimants permanents par un angle = 20°…………………………. 40

Fig. IV. 18. Force de Lorentz………………………………………………………………… 41


………………………………………………………………………………………………. 41

Fig. IV. 20. Variation de la densité de courant induit en fonction de la variation

de l’angle ……………………………………………………………………………………

42

Fig. IV. 21. Variation de la force magnétique appliquée à une particule magnétique en

fonction de la variation de l’angle …………………………………………………………

42

Fig. IV. 22. Variation de la force de Lorentz appliquée à une particule conductrice

en fonction de la variation de l’angle ……………………………………………………..

43

LISTE DES TABLEAUX

Tableau .II. 1. Propriété des principaux aimants à 20°C………………………………..15

Introduction générale


2


La séparation magnétique est une technique physique appliquée pour séparer des composantes

d’un matériau de nature magnétique différente. Elle est basée sur l’application d’un champ

magnétique qui agit par une force magnétique d’une manière sélective ce qui conduit à la

répulsion des composants diamagnétiques et conductrices et à l’attraction des composants

paramagnétiques et ferromagnétiques. Pour séparer des particules magnétiques (para, dia et

ferromagnétiques d’un milieu magnétique) on peut appliquer un champ magnétique statique.

Ce dernier peut être générer par des électroaimants alimenté en continu ou par des aimants

permanents. Pour séparer des particules conductrices, un champ dynamique doit être appliqué.

Ce dernier peut être généré par alimentation d’un électroaimant en courant variable

généralement sinusoïdal ou par utilisation d’un système à aimant permanent en mouvement.

Dans ce travail qui entre dans le cadre de projet de fin d’étude de master, on s’intéresse à

l’analyse des grandeurs magnétiques dans un dispositif de séparation magnétique destiné à la

purification d’un milieu granulaire sec par extraction des particules de nature conductrice.

Pour ce dispositif, il s’agit d’un tambour muni d’aimants permanents qui tourne avec une

vitesse importante capable de générer des courants induits dans les particules à séparer ce qui

conduit à des forces de Lorentz qui travaillent à les repousser en dehors du milieu à traiter lors

de son passage par le tambour.

L’objectif de l’analyse des grandeurs magnétiques est la maitrise du phénomène magnétique

duquel la séparation est basée ce qui permettra par la suite d’optimiser le dispositif à utiliser

en fonction des conditions d’application de la technique de séparation. Les grandeurs

magnétiques en question sont la densité de courant induit et la force de Lorentz.

Généralement, l’évaluation des grandeurs magnétiques repose sur la connaissance de la

distribution du champ magnétique dans le domaine d’intérêt. Pour cela, on a procédé à la

résolution de l’équation qui régit le problème magnétique lié à l’application en question. Afin

de faciliter le calcul de ces grandeurs magnétiques par une simple intégration ou dérivation du

champ d’une part et d’exploiter les particularités géométriques du dispositif pour d’éventuelle

réduction d’étude en 2D, nous avons choisi une formulation de l’équation du champ en terme

de potentiel vecteur magnétique. Pour résoudre cette équation et l’exploitation de la

cartographie du champ dans une configuration complexe, nous avons appliqué la méthode des

éléments finis implanté dans le logiciel multiphysic Comsol.

Le mémoire présent est organisé autour de quatre chapitres. Dans le premier chapitre, on a

exposé en bref les différents débouchés de la séparation magnétique et les différents

séparateurs utilisés.

Dans le deuxième chapitre, on a exposé les lois de l’électromagnétique ainsi que l’élaboration

de l’équation modèle (équation aux dérivée partielles EDP) qui gouverne le problème

magnétique lié à l’application étudiée.


3

Dans le troisième chapitre, on a présenté en bref le principe de l’application de la méthode

numérique des éléments. Dans le quatrième et dernier chapitre, on a présenté le logiciel

utilisé, les différentes configurations du dispositif étudié et les résultats obtenus.

Le mémoire est terminé par une conclusion générale dans laquelle, on expose les limites de

notre travail, les difficultés rencontrées et les perspectives de ce travail.

4

Chapitre I

Séparation magnétique et différentes

techniques utilisées

Séparation magnétique et différentes techniques utilisées

5

I. Séparation magnétique et différentes techniques utilisées

I. 1. Introduction

La séparation magnétique est une application industrielle de l’induction magnétique. Elle est

utilisée dans les procédés de tri et traitement des matériaux liquides et solides. Son principe

est basé sur l’application d’un champ magnétique qui agit d’une manière sélective sur la

composition du matériau à traiter.

Pour séparer des métaux magnétiques d’un matériau magnétique, un champ magnétique

statique peut être utilisé. Par contre, la séparation des métaux conducteurs nécessite

l’application d’un champ magnétique dynamique.

Un séparateur magnétique est constitué principalement d’une source de champ magnétique

(aimant permanent, électroaimant ou bobine supraconductrice), des éléments capteurs et des

accessoires de refroidissement.Ces derniers concernent les séparateurs à bobinage

conventionnels ou supraconducteur nécessitant des matériaux cryogéniques (Hélium,…).

Dans un processus de séparation, l’extraction d’une particule est le résultat de l’action d’une

force d’origine magnétique. La qualité de telle force dépend fortement du champ appliqué, de

la nature et de la granulométrie de la particule. Pour les particules ferromagnétiques de taille

fine, la séparation nécessite un champ magnétique à haut gradient.

Pour les particules conductrices, la séparation nécessite un champ magnétique à haute

intensité. En réalité, la séparation ne dépend pas seulement de la qualité du champ mais aussi

des autres contraintes appliquées par le milieu sur les particules. Il s’agit généralement des

forces de la gravité, de résistance hydrodynamique dans le cas d’application en voie humide

(traitement des liquides) [Bureau 93], [Svoboda 04].

I. 2. Classification des séparateurs magnétiques

Dans la séparation magnétique, de nombreux appareils sont disponibles chez le constructeur

et leur description ne peut se faire sans une classification. Plusieurs critères de classement

peuvent être utilisés, l’intensité du champ magnétique, le milieu de séparation (eau ou air), le

mode de fonctionnement (extraction ou déviation), le générateur de champ magnétique, etc.

Les relations de force magnétique montrent que cette dernière dépend de deux facteurs

principaux :

La matière (ou la particule) est caractérisée par sa susceptibilité magnétique et son

volume

Le séparateur magnétique, par le produit ⃗⃗ ( ) c’est à dire par la forme de son

champ magnétique.

Les séparateurs magnétiques peuvent donc se classer en trois grandes familles :

Les séparateurs à basse intensité (aimant permanent) avec : ⃗ ( ) ⁄

Les séparateurs à haute intensité (électroaimant ou aiment permanent) en céramique avec :

⃗ ( ) ⁄


6

Les séparateurs à haut gradient et/ou ont haut champ (solénoïde) avec :

⃗ ( ) ⁄

Pratiquement les séparateurs magnétiques à basse intensité ne peuvent convenir que pour les

traitements (concentration ou épuration) de produits fortement magnétiques

(ferromagnétiques ou ferrimagnétiques) alors que les particules faiblement magnétiques

(paramagnétiques) ne peuvent être traitées (en fonction de leur taille) que par des séparateurs

à haute intensité ou à haut gradient [Badjoudj 11].

I. 2.1. Séparateur magnétique à basse intensité (SMBI)

Les séparateurs magnétiques à basse intensité fonctionnent normalement à champ ouvert,

c'est-à-dire que les lignes de forces magnétiques se referment dans un milieu magnétique peu

perméable, air ou eau. Ce sont en général des séparateurs à construction simple, peut onéreux

et de dépense énergétique faible. Ils s’utilisent principalement pour les matériaux

ferromagnétiques et ferrimagnétiques.

La source de champ magnétique est un aimant permanent qui développe une densité de force

magnétique allant de ⁄ [Ouili 13].

Fig. I.1. Tube magnétique à aimant permanent (ferrites, terres rares) Eriez magnetics

I. 2.2. Séparateurs Magnétiques à Haute Intensité (SMHI)

Ces séparateurs à circuits conventionnels sont à champ magnétique fermé et développent des

champs magnétiques allant de 400 kA/m à 1 600 kA/m pour une consommation énergétique

comprise entre 0,5 et 2,5 kWh par tonne traitée.Les débits solides varient quant à eux suivant

le mode de séparation et l’opération de traitement (concentration, épuration) entre 6et 180t/h

[Gillet 88].

Les séparateurs magnétiques à haute intensité peuvent fonctionner en voie sèche et en voie

humide ils sont utilisés pour la purification ou la concentration de matériaux non

magnétiques, faiblement ou fortement magnétiques.

Des séparateurs magnétiques à tambours à électroaimant sont utilisés pour le traitement en

voie sèche. L’électroaimant rotatif crée un champ magnétique intense (16000-18000 Gauss)

dans l’entrefer [Mehasni 07].

La figure I.2 montre le principe de séparation des particules paramagnétiques et

diamagnétiques. Les particules paramagnétiques restent collées au rotor et en sont détachées à


7

l’aide d’un ballais par contre les particules diamagnétiques sont évacuées sous l’effet de la

force centrifuge et de répulsion.

Fig. I.2. Principe de la séparation magnétique SMHI des particules dia et paramagnétiques.

I. 2.3. Séparation Magnétique à Haut Gradient de champ(SMHG) et/ou à haut champ

Ces séparateurs traitent les matériaux à très petite granulométrie et les matériaux

paramagnétiques faibles. Le champ est généré par solénoïde en cuivre résistif ou en alliage

supraconducteur qui permet d‘atteindre une densité de force magnétique de 6×1010à

1012N/m3 [Ouili 13]. Le séparateur magnétique haut gradient (SMHG) à bobinage de cuivre

fonctionne à température ambiante et nécessite un système de réfrigération par eau déionisée

Le séparateur à bobinage supraconducteur utilise quant à lui, un système cryostatique pour le

refroidissement de la bobine à la température de l’hélium liquide. Quelque soit la

configuration de champ retenue, la séparation supraconductrice nécessite toujours un réservoir

cryostatique rempli d’hélium liquide, destiné à refroidir le bobinage en alliage

supraconducteur [Mehasni 07].

a. Séparateurs à gradient ouvert (SMGO)

Ces séparateurs en sont encore au stade pilote et effectuent la séparation sans piégeage dans

une matrice d’extraction. Ils ont étédéveloppés en 1975 en Angleterre par Oxford Instruments

et Cryogenic Consultants en collaboration avec l’Imperial Collège [Ouili 13].

Ces appareils magnétiques sont conçus à partir d’un ensemble cylindrique de quatre

solénoïdes supraconducteurs ou d’un système supraconducteurs multi pôle linéaire, Cette

configuration spéciale génère des gradients de champ magnétique, donc des forces

magnétiques élevées extérieures et orientées radialement

b. Séparateur magnétique à tambour

Ces séparateurs sont des séparateurs à gradient ouvert. Ils sont équipés d’un tambour (ou

virole) à l’intérieur duquel se trouve une série de bobines supraconductrices à bobinage

trapézoïdale [Bureau 93].


8

Le séparateur Descos (figure I.. 3) commercialisé par la firme Humboldt Wedag développe un

champ magnétique de 2 600 kA/m à la surface du tambour. Les bobinages supraconducteurs

sont disposés dans un réservoir cylindrique construit en matériau isolant contenant l’hélium

liquide et maintenu sous vide. La réfrigération de ce séparateur est autonome et sa

maintenance est facile. Le tambour est fabriqué en fibres de carbone renforcées a un diamètre

de 1,20 m pour une longueur de 1,5 m. Le séparateur peut fonctionner en voie sèche ou en

voie humide avec une capacité de l’ordre de 100 t/ h. Il peut traiter des granulométries aller

jusqu’à 100 mm [Svoboda 04].

Fig. I.3. Séparateur supraconducteur à haut gradient à tambour Descos (Doc. KHD Humboldt Wedag)

c. Séparateur magnétique à matrice d’extraction :

Ces séparateurs fonctionnent dans un intervalle de champ magnétique compris entre 1600 à

4000 kA/m[Ouili13].La séparation se fait à l’intérieur de la bobine d’induction (solénoïde

supraconducteur en niobium-titane), selon le même principe de fonctionnement cyclique

qu’un séparateur haut gradient à bobinage cuivre.Dans la bobine se trouve une matrice

d’extraction en laine de fer ou en métal expansé. Le champ magnétique extérieur, à l’origine

homogène, devient fortement convergent à cause des éléments ferromagnétiques de force de

faible portée, sur lesquels les particules paramagnétiques sont piégées [Mehasni 07].

a b

Fig. I.4. Séparateur magnétique à matrice d’extraction. a) vue générale de séparateur, b) quelques

matrices d’extraction


9

I. 3. Application de la séparation magnétique

Les principales applications de la séparation magnétique sont:

I. 3.1. Traitement minéralurgique

Dans le domaine minier, la séparation magnétique est utilisée pour traiter les teneurs faibles et

dispersées dans les gisements exploités, et cela, pour garantir la pureté et la richesse des

concentrés exigées par les industriels utilisateurs [Ouili 13].

La technique a été utilisée aux USA et en Chine pour purifier les kaolins. Ces derniers sont

surtout utilisés pour la fabrication du papier et dans une moindre mesure pour les céramiques.

Ils doivent respecter des normes strictes de blancheur et d’éclat, avec une granulométrie très

fine (inférieure à 40 microns). Or ces kaolins sont souvent pollués par des impuretés de fer et

de titane (Fe2O3, TiO2). En Afrique du Sud, la séparation magnétique a été utilisée pour

séparer des minéraux uranifères d’un minerai d’or [Mehasni 07].

I. 3.2. Traitement de dépollution industriel et environnemental

La séparation magnétique est utilisée dans les procédés d’épurations suivantes :

La désulfurisation des charbons utilisés comme combustible dans les fours

d’alimentation des centrales thermiques et électriques. Il s’agit de réduire le taux de

cendres et de sulfures (FeS2) présents dans la masse de charbon.

L’épuration des eaux de rejet industriel et des eaux usées d’origine domestique. Les

différents procédés utilisés sont la filtration magnétique de solide en suspension et la

filtration magnétique par ensemencement de magnétite.

Filtrages des fluides dans les centrales thermiques ou nucléaires de production de

l’énergie électrique en extrayant les produits particulaires corrosifs.

Recyclage des déchets industriels et municipaux par extraction des conducteurs non

ferreux des milieux isolant [Mehasni 07].

I. 3.3. Recherche médicale

Les cellules sanguines à l’état désoxygéné sont paramagnétiques. La séparation des

érythrocytes paramagnétiques des lymphocytes et des leucocytes diamagnétiques a permis

d’étudier des cellules sanguines infectées (par exemple par le parasite de la malaria) [Ouili13].

I. 3.4. Application biochimique

Certaines bactéries (Aquaspirilla magnetotacticum) sont naturellement magnétotactiques :

Elles synthétisent et transportent de petits cristaux de magnétite. Sensibles à l’application

d’un champ magnétique, elles pourraient être employées pour l’épuration de fluides ou de

boues contaminées en fer.

Enfin, la concentration, par des microorganismes, de métaux paramagnétiques sous forme

solubles ou particulaire, est une application biochimique étudiée en laboratoire qui pourrait

permettre d’épurer des effluents liquides pollués [Mehasni 07].


10

I. 4. Données économiques sur la séparation magnétique

Le coût d’investissement et le coût de fonctionnement d’un séparateur magnétique sont deux

facteurs essentiels qui doivent être mis en évidence afin de mettre en exploitation une telle

technique de séparation magnétique.

I. 4.1. Coût d’investissement

Le coût d’un séparateur dépend de son système magnétique et de sa dimension. Cette dernière

est déterminée par le constructeur, au vu des résultats d’essais « batches » ou d’essais pilotes,

destinés à définir le type d’appareil et les conditions de séparation les plus adaptés aux

objectifs à atteindre (débit d’alimentation, eau, champ de coupure…) [Mehasni 07]. D’après les

données des constructeurs pour le début des années 80, on peut remarquer que :

Le séparateur magnétique à basse intensité est le moins cher : de 122 à 183 euros par

tonne horaire traitée.

Le séparateur magnétique haute intensité à sec est le plus cher : 2987 à 12196 euros

par tonne horaire traitée.

Le coût d’un séparateur magnétique haute intensité en voie humide se situe entre 762

et 4573 euros par tonne horaire traitée.

Le coût d‘un séparateur haut gradient (bobinage cuivre ou supraconducteur) se situe

environ entre 1524 et 15244 euros par tonne horaire traitée [Gillet 04].

Les prix des séparateurs haute intensité et haut gradient sont fonction de la conception

magnétique du circuit, du poids d’acier à bas taux de carbone utilisé pour la fermeture du

champ et du système de refroidissement associé [Gillet 04].

En règle générale, le coût d’un bobinage dépend des paramètres suivants :

Diamètre et hauteur (poids du conducteur),

Masse d’acier pour la fermeture de champ,

Champ développé,

La puissance installée,

Type et forme du conducteur,

Système de refroidissement associé.

I. 4.2. Coût de fonctionnement

Les frais de fonctionnement des séparateurs sont dus essentiellement aux dépenses

énergétiques des bobines (SMHI et SMHG), des moteurs et organes annexes (pompes,

ventilateurs, distributeurs…), des systèmes de refroidissement (consommation et

maintenance) et des pièces d’usures (matrices) [Mehasni 07]. La dépense énergétique elle est

très faible 0.05kWh/t pour la basse intensité ; et pour la haute intensité, elle varie de

0.05kWh/t (aimant permanent) à 2.5kWh/t (électroaimants) ; et pour le haut gradient

(solénoïde en cuivre), elle peut atteindre 2.5kWh/t ; et elle est de l’ordre de 0.6 kWh/t pour un


11

bobinage supraconducteur si l’on tient compte de la puissance électrique installée du système

de réfrigération [Gillet 88].

12

Chapitre II : Modélisation d’un

séparateur magnétique à aimant

permanent

Modélisation d’un séparateur magnétique à aimant permanent

13

II. Modélisation d’un séparateur magnétique à aimant permanent

Dans un dispositif de séparation magnétique plusieurs contraintes sont appliquées aux

particules à séparer. Pour que la séparation ait lieu, il faut que les forces magnétiques soient

dominantes devant les autres forces. Pour connaître l’importance des forces appliquées, on

procède à la simulation du problème de la séparation. De telle séparation nécessite la

modélisation de tous les phénomènes en présence notamment le phénomène magnétique sur

lequel la séparation est basée. Pour aboutir à des modèles mathématiques capables de

représenter avec toute exactitude l’évolution des phénomènes nécessite la connaissance du

comportement des milieux en présence et de la nature des contraintes appliquées. Pour cela,

on commence dans ce chapitre, par la présentation des différents milieux magnétiques.

II. 1. Différents types de milieux magnétiques

II. 1.1. Matériaux diamagnétiques

Généralement, les électrons appartenant aux atomes d’une substance se regroupent par paires,

annulant leurs moments magnétiques respectifs, si bien que les atomes de la plupart des corps

ne possèdent pas de moment magnétique permanent. Ces substances sont dites

Diamagnétiques, ils ne s’aimantent qu’en présence d’un champ magnétique extérieur. Les

orbites électroniques sont modifiées sous l’effet d’un champ magnétique appliqué, et un

moment magnétique est induit parallèlement au champ appliqué, en sens opposé, avec un

module proportionnel à l’excitation magnétique [Bouzid 09].

II. 1.2. Matériaux paramagnétiques

Les matériaux paramagnétiques ne possèdent pas d’aimantation en l’absence de champ

magnétique extérieur, à cause de l’orientation au hasard des moments magnétiques de leurs

atomes, si bien que le moment magnétique résultant est nul. Lorsqu’un champ magnétique

extérieur est appliqué, les moments tendent à être orientés dans la direction du champ

magnétique appliqué.

Un corps paramagnétique sera ainsi attiré par un champ intense, mais cette attraction est faible

et l’aimantation revient à zéro lorsque le champ extérieur est annulé [Bureau 93].

II. 2.3. Matériaux ferromagnétiques

Les substances ferromagnétiques possèdent un fort moment magnétique. Les moments

magnétiques de leurs atomes sont ordonnés en petites zones uniformément magnétisées,

appelées domaines de Weiss. En l’absence d’un champ magnétique extérieur, chaque domaine

présente une orientation aléatoire. En revanche, il suffit d’appliquer un champ magnétique

faible pour réorganiser ces moments et les orienter tous dans le sens de l’induction créée par

le champ. Si l’on supprime le champ extérieur, le matériau reste aimanté dans la direction et

le sens du champ précédemment appliqué. La susceptibilité magnétique de ces matériaux est

positive et très grande (50 à 10000) [Ouili 13].


14

Elle dépend de la température et de l’intensité du champ. Ces matériaux existent pour des

températures inférieures à la température de curie (spécifique pour chaque matériau).

Lorsque la température dépasse le point de curie les substances ferromagnétiques perdent

leurs propriétés magnétiques et se transforment en matériaux paramagnétiques.

II. 1.4. Matériaux ferrimagnétiques

Sa structure cristalline est composée de deux structures de réseaux ayant des moments de

modules différents et avec des orientations antiparallèles. Aussi, ce matériau présente une

aimantation globale non nulle même en l’absence d‘un champ magnétique extérieur

[Bouzid 09].

II. 1.5. Matériaux antiferromagnétiques

Dans ce genre de matériaux, les atomes ont un moment magnétique permanent. Cependant les

moments atomiques ont un couplage antiparallèle, ce qui donne une aimantation globale nulle

en l’absence du champ extérieur [Djerfaf 12].

II. 1.6. Les aimants permanents

Sont des matériaux magnétiques durs caractérisés par un cycle d’hystérésis très large (Figure

II. 1). La partie utile de leurs caractéristiques B(H), appelée courbe de démagnétisation, elle

est linéaire et située dans le quadrant du plan où B>0 et H


15

• le champ coercitif de polarisation qui annule l’aimantation intrinsèque du matériau,

la démagnétisation est total et irréversible.

• le produit c’est une grandeur également importante, ce produit est couramment

appelé « énergie spécifique de l'aimant ». Cette énergie caractérise la qualité du

matériau, car l’énergie spécifique est inversement proportionnelle au volume d'aimant.

Donc, pour un entrefer donné, le volume d’aimant est d’autant plus faible que l’énergie

spécifique est élevée.

En plus des propriétés magnétiques, il est indispensable de connaître les propriétés

mécaniques et physico-chimiques, le prix ainsi que le point de Curie (température au-delà de

laquelle l’aimant perd ses propriétés magnétiques). Le tableau III. 1 regroupe des propriétés

magnétiques et physiques des principaux aimants.

Propriétés unités Alnico Ferrite SmCo5 NdFeB PlastoNeo-

dynme

Champ

rémanent Br

T

0.6 à 1.35

0.35 à 0.43

0.7 à 1.05

1 à 1.3

0.5 à 0.6

Champ

Coercitif Hc

kA/m

200 à 600

600 à 1700

1600 à 4000

2000 à 3000

300 à 350

Perméabilité

relative

/

1.9 à 7

1.05 à 1.15

1.02 à 1.07

1.04 à 1.1

1.44

(BH)max

kJ/m3

20 à 100

24 à 36

140 à 220

180 à 320

32 à 48

Résistivité

µΩ.cm

47

>104

86

150

/

Température

maximale de

fonctionnement

°C

500 à 550

250

250 à 350

80 à 200

120

Point de Curie

°C

850

450

700 à 800

310 à 350

/

Densité

Kg/m3

7300

4900

8200

7400

5700

Tableau II. 1. Propriété des principaux aimants à 20°C [Bendib 11]

Les aimants en «Alnico» ont un champ rémanent très élevé, mais un champ coercitif très

faible, ce qui pose de gros problèmes de démagnétisation. Ces aimants ne peuvent être sortis

de leur circuit magnétique, sous peine de les désaimanter.

Les aimants en «Ferrite» sont beaucoup plus robustes et relativement peu couteux et ils

résistent bien à la température.


16

Les aimants Terre-Rares (Nd-Fe-B, Sm-Co) sont très puissants et paraissent très bien

appropriés pour les machines électriques. Leur coût encore élevé freine l'extension de ces

nouveaux aimants. Néanmoins des solutions intermédiaires apparaissent avec les plasto-

neodymes. C’est un mélange de néodyme fer bore avec un liant plastique. Cette matière

permet de réaliser des pièces moulées, ce qui facilite l'assemblage et diminue le nombre de

pièces mécaniques [Belakehal 10].

Figure II. 2. Courbes de désaimantations des principaux aimants

II. 2. Modèles mathématiques régissant le phénomène magnétique d’un séparateur à

aimant permanent

Dans ce travail, on s’intéresse à une application de la séparation magnétique en voie sèche. Il

s’agit de la séparation des particules d’un matériau granulaire sec. En négligeant le

phénomène de frottement entre les particules à séparer lors de leur mouvement avec les

particules constituant le matériau à purifier, les phénomènes importants à considérer se

limitent au phénomène magnétique lié au champ appliqué et l’aimantation des particules

magnétiques et de l’induction dans les particules conductrices et au phénomène dynamique

particulaire lié au mouvement des particules.

II. 2.1. Equation gouvernant le champ magnétique

Tout phénomène électromagnétique est régi par les quatre équations aux dérivées partielles de

Maxwell [Boutra 10]:

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗

(II.1)


17

⃗⃗ ⃗ ⃗

(II.2)

⃗⃗ ⃗ (II.3)

⃗⃗ ⃗⃗ (II.4)

Ici ⃗ est le champ électrique, ⃗⃗ est le champ magnétique, ⃗ est l’induction magnétique, ⃗⃗ est

l’induction électrique, ρ est la densité de charge volumique et est la densité de courant

électrique.

La densité de courant peut comporter deux composantes, une liée à l’excitation et l’autre

due aux courants induits (en considérant les régimes quasi stationnaires ⃗⃗

⃗ )

.

Aux équations de Maxwell, on rajoute les relations constitutives des matériaux,

⃗⃗ ⃗ (II.5)

( ⃗ ⃗⃗ ⃗) (II.6)

⃗ ⃗⃗ ⃗ (II.7)

Où σ est la conductivité du matériau, ε est la permittivité diélectrique, µ est la perméabilité

magnétique et ⃗ r est l’induction rémanente.

Dans notre cas, la source de champ magnétique est un aimant permanent qui génère un

champ magnétique statique. Le système d’équations de Maxwell qui régit le problème peut se

réduire au :

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ (II.8)

⃗⃗ . ⃗ =0 (II.9)

⃗ = ⃗⃗ + ⃗ r (II.10)

Pour aboutir à l’équation EDP qui régit le problème magnétique, on peut choisir une

formulation en potentiel scalaire magnétique ou en potentiel vecteur magnétique .

Dans notre cas, on va choisir une formulation en potentiel vecteur magnétique parce qu’elle

offre des avantages pour la dérivation d’autres grandeurs physique tel que la densité de

courants induits dont on a besoin par la suite.

L’équation (II.9) implique qu’il existe un potentiel vecteur magnétique tel que :

⃗ = ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ (II.11)

En remplaçant (II.10) dans(II.8) on obtient :

⃗⃗ (

⃗⃗ ⃗ ) = ⃗ (II.12)


18

La substitution de l’équation (II.11) dans (II.12) conduit à l’équation gouvernant le problème

en terme de potentiel vecteur magnétique donnée par :

⃗⃗

( ⃗⃗

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ (II.13)

II. 2.2. Forces d’origine magnétique appliquées sur des particules métalliques

II. 2.2.1. Particules magnétiques

L’interaction entre une particule aimantée et le champ appliquée se résulte par une force

d’attraction qui force la particule à dévier vers la région à champ magnétique fort. Pour une

particule solide de volume Vp, la force magnétique est donnée par [Noguchi 11].

( ⃗⃗ ⃗ ) ⃗⃗ (II.14)

Où ⃗⃗ ⃗⃗ sont respectivement le champ à la localité de la particule et son aimantation

volumique. Pour une configuration bidimensionnelle, la force magnétique est exprimée par :

(

) ( ) (II.15)

(II.15) peut être écrite sous la forme,

(

) (

) (II.16)

Donc, dans un système de coordonnées cartésiennes, les deux composantes de la force

magnétique séparée sont données par :

{ (

)

(

) (II.17)

II. 2.2.2. Force appliquée sur une particule conductrice

Une particule conductrice plongée dans un champ magnétique sera soumise à une force

appelée force de Lorentz. Elle repousse la particule vers les zones à faible champ magnétique.

Alors, la force de Lorentz a un caractère répulsif. Pour une particule solide de volume Vp, la

force est donnée par [Barre03] :

⃗ (II.18)

Le développement de l’équation (II.18) pour un système de coordonnées cartésiennes donne :

| ⃗

| ( ) (II.19)

Donc les deux composantes de la forces de Lorentz sont données par :


19

{ ( )

(II.20)

II. 3. Equation dynamique d’une particule en mouvement

Pour vérifier la séparation d’une particule et évaluer les performances de la technique de

séparation appliquée, on calcule généralement le comportement des particules. De tel

comportement peut être compris en connaissant la trajectoire de la particule qu’on obtient par

la résolution de son équation de mouvement.

Par application de la loi de Newton, on trouve l’équation dynamique donnée par :

∑ ⃗ ⃗⃗

(II.21)

Ici m est la masse de la particule, ⃗⃗ est sa vitesse, ⃗ est la résultante des forces appliquées.

Pour résoudre cette équation, et pour tenir compte du changement de la force en fonction du

déplacement de la particule (régime non linéaire), on peut appliquer une méthode numérique

telle que la méthode de Runge-Kutta.

Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté un modèle mathématique régissant le problème de la

séparation magnétique en voie sèche par l’utilisation des aimants permanents. Pour les

particules magnétiques la force responsable de la séparation est la force magnétique, et pour

les particules conductrices, la force de Lorentz conduit à la répulsion des particules loin de

source de champ.

20

Chapitre III : Résolution de

l’équation du champ liée au problème

étudié et méthode utilisée

Résolution de l’équation du champ liée au problème étudié et méthode utilisée

21

III. Résolution de l’équation du champ liée au problème étudié et méthode utilisée

Les techniques de résolution des problèmes électromagnétiques (donc les équations de

Maxwell correspondantes) sont classées suivant trois familles : l’expérimental, l’analytique

(les méthodes exactes), ou le numérique (les méthodes approximatives).Les techniques

expérimentales sont largement utilisées dans les cas difficiles à calculer mais elles sont

coûteuses. Dans des configurations géométriques simples, on peut déterminer une solution

analytique des équations de Maxwell. Les solutions numériques des problèmes

électromagnétiques sont donc de plus en plus largement utilisées, surtout avec l’apparition

actuelle des ordinateurs à haute performance [LE DUC 11]. L’avantage majeur qu’offrent une

résolution numérique réside dans la prise en charge des complexités géométrique et

déformation, la prise en compte d’éventuelle non linéarité, anisotropie et non homogénéité

des milieux en présence.

Il existe plusieurs démarches, notamment les différences finies, les éléments finis et les

volumes finis.Vue sa grande fiabilité pour les problèmes stationnaire et quasi-stationnaires et

son large utilisation dans les logiciel professionnels de résolution des problèmes physiques

régis par les équations EDP, on adopte la méthode des éléments finis pour résoudre notre

problème.

III. 1. La méthode des éléments finis (MEF)

III. 1.1. Principe de la méthode des éléments finis

La méthode des éléments finis (MEF) est basée sur la transformation de l’équation aux

dérivées partielles (EDP) en un système d’équations algébriques linéaires. Pour la mettre en

œuvre, on procède tout d’abord au maillage du domaine d’étude en sous domaines de petites

tailles appelés éléments finis. Les nœuds résultant de ce maillage dans lesquels on calcule

l’inconnu du problème définit la taille du système d’équations à résoudre. Si l’augmentation

du nombre de nœuds conduit à un temps de résolution important, il permet en contrepartie

d’aboutir à une solution plus exacte.

Le type d’éléments utilisés pour discrétiser le domaine d’étude dépend de la configuration de

la géométrie étudiée. Pour une configuration unidimensionnelle, on trouve des éléments sous

forme d’arrêtes à deux nœuds.

Pour des configurations bidimensionnelles, on trouve des éléments triangulaires du premier

ordre (3 nœuds) et du second ordre (6 nœuds) et des éléments quadrilatéraux. Pour le cas


22

tridimensionnel, on trouve des éléments tétraédriques à 4 nœuds et des éléments hexaédriques

à 8 nœuds (voir figure. III.1) [Ouili 13].

Fig. III. 1. Exemple d’éléments d’un maillage éléments finis

Pour mettre en œuvre la méthode des éléments finis, on suit les étapes suivantes :

Discrétisation du domaine d’étude en éléments finis,

Mise sous forme intégrale de l’EDP et dérivation du système algébrique élémentaire

(pour un élément type).

Assemblage des systèmes élémentaire pour aboutir au système algébrique global.

Résolution du système global et exploitation des résultats.

Pour mettre sous forme intégrale de l’équation EDP on peut appliquer l’approche

variationnelle basée sur la minimisation d’une fonctionnelle énergétique lié au problème traité

ou par application de l’approche résidu pondéré (minimisation du résidu de l’équation dans le

domaine d’étude).

III. 1.2. Discrétisation du domaine d’étude et fonction d’interpolation

La discrétisation du domaine d’étude consiste à sa subdivision en un nombre déterminé de

sous domaines dits éléments finis de formes unique ou de formes différentes. Dans la majorité

des cas, et afin de simplifier le développent des calculs, on utilise des éléments triangulaires

de premier ordre (voir Fig. III.1).

Dans chaque élément, l’inconnu de l’équation EDP est approché par des fonctions assurant sa

continuité sur les limites de l’élément. Pour un élément triangulaire, on choisit une fonction


23

polynomiale du premier degré. En coordonnées cartésiennes, l’inconnu dans l’élément est

donné par [Boutra 10]:

( ) (III.1)

sont des constants à déterminer et x et y sont les variables de l’espace.

Selon (III.1), l’évaluation de l’inconnu dans les nœuds de l’élément (numérotés 1, 2 et 3)

permet d’écrire

[

] [

] * + (III.2)

, et sont les valeurs nodales de l’inconnu et xi et yi (i=1, 2, 3) sont les coordonnées

des nœuds 1, 2 et 3 (voir Fig. III.2).

Les coefficients a, b et c sont ainsi donnés par

* + [

]

[

] (III.3)

La substitution de (III.3) dans (III.1) donne pour l’inconnu dans l’élément,

( ) [ ] [

]

[

] (III.4)

Finalement, l’inconnu dans l’élément est l’interpolation des valeurs nodales. On peut donc

écrire,

∑ ( ) (III.5)

Les fonctions d’interpolation i appelées aussi fonctions de forme sont données par

[Matthew 01].

[( ) ( ) ( ) ] (III.6)

[( ) ( ) ( ) ] (III.7)

[( ) ( ) ( ) ] (III.8)

Ici A est l’aire du triangle donnée par

[( )( ) ( )( )] (III.9)


24

Fig. III. 2. Elément triangulaire type

Les fonctions ont les propriétés suivantes.

{

(III.10)

Et ∑ ( ) (III.11)

Les fonctions de forme appelées aussi coordonnées d’aires sont représentées

géométriquement par

Fig. III. 3. Représentation géométrique des fonctions d’interpolation

III. 1.3. Mise sous forme intégrale de l’équation EDP et système d’équations algébriques

Pour mettre sous forme intégrale l’équation du modèle, on peut utiliser l’approche

variationnelle qui stipule la connaissance de la fonctionnelle énergétique lié au problème

étudié. Pour l’équation EDP qui régit le problème magnétostatique dont le champ est généré

par un aimant permanent (cas de notre étude), la fonctionnelle énergétique est donnée par

[Coulomb 81].

( )

[( ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ) ( ⃗⃗ )]

*

( ⃗⃗ ⃗

) + (III.12)

Dans notre cas, ⃗ et ⃗

Alors, l’équation (III.12) peut se mettre sous la forme :

( )

[ (

)

(

)

]

*( ⃗⃗ ⃗

)

+ (III.13)

Avec


25

L’introduction de l’équation (III.5) dans (III.13) et la dérivation de donnent :

∑

*

+

*

( ⃗⃗ ⃗ )+ (III.14)

Avec une écriture matricielle, l’équation (III.14) peut se mettre sous la forme suivante :

*

+ [

][ ] [

] (III.15)

Avec [ ]

*

+

Evaluation du terme [ ]

[ ]

*( ⃗⃗ ⃗

)

+ (III.16)

⃗⃗ ⃗

[ ⃗

]

⃗ ⃗ (

) (

) (

) ⃗

Et puisque , ne dépend que de x et y alors, ⃗ ⃗⃗ ⃗ à une seul composante suivant la

direction Z donnée par :

⃗ ⃗ (

) (III.17)

L’équation (III.16) peut être écrite sous la forme d’une divergence:

⃗ ⃗ ⃗

(III.18)

⃗ (III.19)

En remplaçant l’équation (III.18) dans (III.16) on trouve :

[ ]

*

( ⃗ )+ (III.20)

Du fait que ( ⃗ )

⃗ ( ⃗ ) (III.20) s’écrit :

[ ]

(

⃗ )

⃗ (III.21)

En appliquant le théorème de la divergence, on trouve :

[ ]

∮ (

⃗ ) ( )

⃗ (III.22)

Pour le premier terme du second membre, il s’agit d’une condition aux limites à imposer aux

frontières concernées. Il sera traité d’une manière classique [Boutra 10]. Pour le cas d’une

condition de Dirichlet homogène partout, il nous reste à évaluer le terme


26

[ ]

⃗ [

]

[

]

Tout développement fait, on obtient

[ ]

[

]

(III.23)

Après assemblage des systèmes élémentaires, on aboutit au système algébrique global que

pour notre cas prend la forme suivante :

[ ][ ] [ ] (III.24)

Où K est la matrice de rigidité globale de taille nn, A est le vecteur inconnu des potentiel

vecteur magnétique de taille n1 et b est la vectrice source de taille n1.

Pour résoudre le système d’équations global, on utilise plusieurs démarches directe ou

itérative lorsqu’il s’agit des problèmes non linéaires. De telle résolution peut exiger des

conditions de passage entre milieux et des conditions aux limites.

III. 2. Conditions de passage

Les grandeurs électromagnétiques pourraient être discontinues à l’interface entre deux

milieux de propriétés différentes (Figure III. 4). Les conditions de passage (ou de

transmission) permettent d’écrire pour le champ électromagnétique [Boutra 10].

Fig. III. 4. Interface entre deux milieux

La continuité de la composante normale de l’induction magnétique.

( ⃗ ⃗ ) ⃗ (III.25)

La continuité de la composante tangentielle du champ électrique.

⃗ ⃗ (III.26)


27

La discontinuité de la composante normale de l’induction électrique en cas d’existence de

charges surfaciques .

( ⃗⃗ ⃗⃗ ) ⃗ (III.27)

La discontinuité de la composante tangentielle du champ magnétique due aux courants

surfaciques s’ils existent.

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ (III.28)

Où ⃗ est la normale à la limite de séparation, est le vecteur unitaire tangentiel, est la

densité surfacique de courant, est la densité surfacique de charge libre.

III. 3. Types des Conditions aux limites

La résolution d’une équation aux dérivées partielles ne peut se faire que lorsque la solution est

bien déterminée par des conditions fixées sur la frontière ∂Ω du domaine Ω à l'intérieur du

quel cette solution est recherchée.

Les conditions aux limites les plus courantes pour un problème de résolution d’une EDP sont

énoncées ci-dessous [Ternisien 01].

a. Conditions de type Dirichlet

On parle d’une condition de Dirichlet si la valeur de la fonction f est connue en tous points

des frontières et égale à une constante .

Si , il s’agit ainsi de la condition de Dirichlet homogène.

b. Condition de Neumann

Dans ce cas, on connait la dérivée par rapport à la normale de la fonction inconnue en tout

point de la limite (frontière). De telle condition est traduite par l’équation,

.

Si , il s’agit de la condition de Neumann homogène.

c. Conditions mixtes Neumann-Dirichlet

Cette condition est un mélange des deux conditions précédentes. Il est en effet possible

d’avoir une condition de Dirichlet sur une frontière ∂Ω1 de Ω est une condition de Neumann

sur son complémentaire ∂Ω2. Ce qui donne sur le bord ∂Ω1 de Ω et

sur le

bord ∂Ω2 restant.

Une extension de ce couplage conduit aux conditions aux limites de Robin qui sont une

généralisation de celles de Neumann-Dirichlet.

( ) ( ) ( ) ( )

( ), ( ) étant deux fonctions régulières données sur ∂Ω non nulles simultanément.


28

III. 4. Outil de calcul utilisé

Pour implémenter la méthode des éléments finis, nous avons utilisé le logiciel COMSOL

multiphysique. Anciennement appelé FEMLAB, COMSOL peut résoudre les équations EDP

en 2D et en 3D. Il possède un environnement programmation (Comsol Script) dans lequel il

est possible de modifier le maillage et les modèles mathématique selon la nature du problème

traité. Il permet aussi de traiter les problèmes fortement couplés (ex : magnétothermique).

Selon la nature de l’équation EDP ainsi que le régime linéaire ou non linéaire, COMSOL

donne le choix entre les méthodes de résolution, direct (UMFPACK), direct (SPOOLES),

direct (PARDISO), direct Cholesky (TAUCS), GMRES, FGMRES, Gradients Conjugués et

Géométrique multigrille. Chacune de ses méthodes à ses avantages et ses inconvénients. Pour

mettre en œuvre ce logiciel, on suit les étapes clarifiées dans le schéma synoptique suivant :

Fig. III. 5. Etapes de la résolution du problème magnétique en utilisant COMSOL multi physique.

Choix du mode de résolution 2D ou 3D

Construction de la géométrie

Choix du type de problème, magnétostatique, magnétodynamique,…

Introduction des propriétés physiques de chaque domaine

Introduction des conditions aux limites sur les frontières

Choix de la méthode utilisée et le régime de résolution

Résolution et exploitation des résultats

29

Chapitre IV : Résolution du

problème magnétique lié au

séparateur étudié et résultats obtenus

Résolution du problème magnétique lié au séparateur étudié et résultats obtenus

30

IV. Résolution du problème magnétique lié au séparateur étudié et résultats obtenus

Le dispositif de séparation étudié dans ce travail est un arrangement d’aimant permanent sur

un tambour. La rotation du tambour à une vitesse donnée crée un champ magnétique

dynamique capable de générer des courants induits dans les particules qui travaillent à jeter

les particules en dehors du milieu à traiter.

Afin d’obtenir des courants induits importants, on peut agir sur le nombre d’aimant

permanent, sur leur induction rémanente et sur la vitesse de rotation du tambour. Dans ce

travail on se limite à l’analyse de la cartographie du champ magnétique et l’évaluation des

forces magnétiques et de Lorentz.

IV. 1. Dispositif de séparation étudié

Dans ce travail, on se limite à l’étude de deux cas de séparateurs, avec un seul aimant et avec

quatre aimants. Une vue 2D sur la forme géométrique des deux cas traités est montrée sur la

figure suivante

a) b)

Fig. IV. 1. Dispositif de séparation magnétique traité. a) cas d’un seul aimant, b) cas de quatre aimants.

La figure montre deux types de milieux différents, des milieux liés aux aimants permanent

sources de champ magnétique et un milieu lié au tambour qui est d’un matériau non

magnétique.

IV. 1.1. Cas d’un séparateur à un seul aimant permanent

a. Domaine d’étude et maillage éléments finis 2D

Le domaine d’étude lié au cas traité et le maillage éléments finis associé sont montrés sur la

figure suivante. Il s’agit d’un maillage basé sur des éléments finis triangulaires de premier

ordre (éléments à 3 nœuds). Afin d’aboutir à une meilleure qualité des résultats, on procède à

un raffinement du maillage. Pour réduire le temps de résolution, le raffinement peut être

limité aux milieux de l’aimant permanent et du tambour où la zone est sensible pour le calcul

des grandeurs magnétiques (induction et forces magnétiques).

Aimant permanent

Tambour

Tambour


31

a) b)

Fig. IV. 2. Géométrie traitée et maillage réduit seulement aux milieux liés à l’aimant et au tambour. a)

domaine d’étude, b) maillage éléments finis.

b. Distribution du potentiel vecteur magnétique dans le domaine d’étude

Le calcul des grandeurs magnétiques repose sur la connaissance de la distribution du champ

magnétique dans la région d’intérêt (domaine d’étude). Afin de faciliter le calcul de ces

grandeurs, une formulation de l’équation EDP qui régit le problème magnétique en termes de

potentiel vecteur magnétique a été choisie. Pour résoudre cette équation, nous supposé des

limites très éloignées ce qui nous a permis de choisir des conditions aux limites de type

Dirichlet homogène. Dans le logiciel COMSOL, ce type de condition aux limites est introduit

en considérant sur la limite concernée une isolation magnétique.

Pour résoudre le système d’équations algébrique lié à l’équation EDP concernée, le logiciel

COMSOL permet de choisir entre les méthodes, Direct (UMFPACK), Direct (SPOOLES),

Direct (PARDISO), Direct Cholesky (TAUCS), GMRES, FGMRES, Gradients conjugués et

Géométrique multi grille où chacune des méthodes, présente des avantages pour un type de

système d’équations et des inconvénients pour d’autres.

L’intérêt majeur d’une formulation en potentiel vecteur magnétique et le calcul des grandeurs

magnétiques (induction, densité des courants induit, énergie magnétique) par une simple

dérivation ou intégration du potentiel vecteur magnétique dans la localité de calcul. Pour cela,

on présente dans la figure suivante la distribution du potentiel vecteur magnétique représenté

par des lignes isovaleurs.

Les résultats de la figure sont obtenus pour un type d’aimant NdFeB ayant une aimantation

M = 750000 A/m. Le tambour est supposé d’un diamètre D= 0.2 m.

La valeur maximale du potentiel vecteur Az évaluée au niveau de l’aimant permanent est

Az = 0.0204Wb/m.


32

Fig. IV. 3. Lignes iso valeurs de la composante Az du potentiel vecteur ⃗⃗

La cartographie du champ en terme de potention de potentiel vecteur magnétique est obtenue

à l’instant ou l’aimant permanent est à la position intiale.

c. Distribution de l’induction magnétique

La grandeur magnétique ayant un sens physique est l’induction magnétique. Pour connaître et

prévoir l’effet du champ dans la zone d’intérêt, on présente dans la figure suivante la

distribution de l’induction dans le domaine d’étude.

a) b)

Fig. IV. 4. Distribution de l’induction magnétique dans le domaine d’étude. a) intensité du module de

l’induction magnétique, b) orientation des vecteurs de l’induction magnétique.


33

Selon la figure IV.3.a, on voit que l’induction magnétique est maximale au niveau de l’aimant

et elle décroit rapidement lorsqu’on s’éloigne de la localité de l’aimant. Cela signifie, que

pour avoir un effet sur les particules, il faut que ces dernières passent plus proche de l’aimant.

d. Force magnétique appliquée sur les particules ferromagnétiques

L’application d’un champ magnétique sur des particules ferromagnétiques conduit à leur

aimantation dans le sens du champ appliqué. Chaque particule représente ainsi un dipôle

magnétique qui se déplace vers la zone à champ fort. Ainsi, la zone de capture des particules

ferromagnétique sera au niveau de l’aimant permanent. A cependant, l’aimant joue le rôle de

capteur de particules ferromagnétiques. Pour montrer l’effet attractif de la force magnétique,

on présente dans la figure suivante sa distribution au voisinage de l’aimant.

Fig. IV. 5. Distribution de la force magnétique au voisinage de l’aimant permanent

D’après la figure IV.5, on voit clairement que tous les vecteurs sont orientés vers l’aimant

permanent. Ainsi, on conclut que toute particule passant au voisinage de l’aimant sera

capturée.

Pour les données de calcul adoptés, une valeur maximale de la force Fmax= 0.0048 N a été

obtenue.

e. Force de Lorentz appliquée sur les particules conductrices

Si la force magnétique appliquée sur les particules magnétiques dépend de l’aimantation des

particules, la force de Lorentz appliquées sur les particules conductrices est liée fortement aux

courants induits dans les particules. La densité de ces courants induits dépend de la

conductivité des particules, de l’intensité du champ magnétique appliqué et fortement de la

taille des particules (le volume des particules). Pour avoir un effet de séparation, il faut que

ces particules soient de taille importante. Lorsque cette condition est vérifiée, on peut ensuite

agir sur le champ appliqué pour réaliser une séparation efficace. Généralement, et pour des


34

champs magnétiques générés par des sources sinusoïdales (régime harmonique), on agit sur la

fréquence. Si on augmente la fréquence, la densité de courant se trouve augmentée et donc la

force sera augmentée. Pour le cas de champ généré par mouvement de la source de champ cas

de notre application, c’est la variation rapide du champ à la localité de la particule qui peut

conduire à une densité de courant induit suffisante. Cette variation rapide peut être réalisée

par augmentation de la vitesse de rotation du tambour.

Comme on a dit précédemment, la densité de courant induit est donnée par la relation

suivante :

Pour calculer de la densité de courant , on doit évaluer le changement du champ courant

à la localité de la particule. Pour cela, nous avons considéré une position initiale de la

particule située sur la ligne médiane de l’aimant permanent (voir Figure .IV. 6).

Fig. IV. 6. Position initiale dans laquelle on calcule la force de Lorentz

Pour montrer le déplacement de l’aimant et le changement de la valeur de champ à la localité

choisie de la particule, on présente dans la figure suivante la distribution de champ pour deux

positions différentes de l’aimant.

Position 1 Position 2

Fig. IV. 7. Rotation de l’aimant permanent par un angle de 20°


35

L’évaluation du champ à la localité de la particule pour les deux positions de l’aimant a donné

les valeurs A1 = -3.15e-7

Wb/m et A2 = 0.0123 Wb/m. Pour un pas du temps de déplacement

dt = 8.3333e-004s lié à la vitesse angulaire = 4000tr/mn et une conductivité = 5e7 S.m-1,

nous avons obtenus la valeur Jind = -3.28e8 A/m²

L’évaluation de la force de Lorentz liée à cette valeur de la densité de courant a donné la

valeur FL= 1.6 e-6

N.

Pour montrer la nature répulsive de la force de Lorentz qui travaille à repousser la particule,

on présente dans la figure suivante le vecteur de la force liée à la valeur de la densité de

courant obtenue.

Fig. IV. 8. Orientation de la Force de Lorentz appliquée à la particule

L’orientation du vecteur de la force vérifie clairement sa nature répulsive. Cela signifie que la

particule va être éjectée en dehors du milieu d’existence lors de son passage sur le tambour.

De l’orientation de la force, on voit que les conditions de calcul ont conduit à une force qui

éjecte la particule verticalement (éjection vers le haut).

Pour un séparateur à un seul aimant permanent, la séparation ne sera pas assurée en continu.

C’est-à-dire, lors de la rotation de l’aimant et son déplacement de la position de référence

choisie pour calculer la force, les particules qui passent ensuite ne seront pas éjectées parce

que le champ devient insuffisant. Pour montrer l’inefficacité de la séparation en utilisant un

seul aimant permanent, on présente dans les figures suivantes les variations des grandeurs

magnétiques pendant une rotation d’un tour complet de l’aimant.


36


Fig. IV. 10. Variation de la densité de courant induit en fonction de la variation de l’angle

0 100 200 300 4000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

teta[degré]

B [

T]

0 100 200 300 400-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

8

teta[degré]

Jind

uit

[A/m

²]


37

Fig. IV. 11. Variation de la force magnétique appliquée à une particule magnétique en fonction de la

variation de l’angle

Fig. IV. 12. Variation de la force de Lorentz appliquée à une particule conductrice en fonction de la

variation de l’angle

Des figures précédentes, on voit clairement que les grandeurs magnétiques, induction, courant

induit et forces sont importantes lorsque l’aimant permanent est à la position de référence

choisie pour la particule = 90°. Pour les autres positions, ces grandeurs diminuent ce qui

empêche toute séparation. Afin d’améliorer la qualité de la séparation, on propose un

séparateur à quatre aimant permanents.

0 100 200 300 4000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2x 10

-4

teta[degré]

Fmag

nétiq

ue [N

]

0 100 200 300 4000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2x 10

-6

teta[degré]

FLor

entz

[N]


38

IV. 1.2. Cas d’un séparateur à quatre aimants permanents

a. Domaine d’étude et maillage 2D

La géométrie liée à ce cas ainsi que le maillage éléments finis 2D sont présenté dans la figure

suivante :

Fig. IV. 13. Géométries traitées et maillage éléments finis 2D.

Sur la figure, on voit que les aimants permanents sont choisis décalés entre eux d’un angle

90°.

b. Distribution du potentiel vecteur magnétique dans le domaine d’étude

Le calcul de la distribution du potentiel vecteur magnétique dans le domaine d’étude a conduit

aux résultats suivants :

Fig. IV. 14. Lignes iso valeurs de la composante Az du potentiel vecteur magnétique ⃗⃗


39

La figure ci-dessus montre qu’une partie importante du périmètre du tambour est couverte par

un champ magnétique important. Cela signifie que lors de la rotation de la roue polaire (roue

des aimants permanent) par un angle de 90°, la position de réfrérence de la position de la

particle se trouve soumise de nouveau à la même valeur maximale du champ produit. Cela

bien sûr conduit à une meilleure efficacité de la séparation. La valeur maximale du potentiel

vecteur est A = 0.0193 obtenue pour une aimantation identique des aimants M = 750000 A/m.

c. Distribution de l’induction magnétique ⃗⃗

Pour une meilleure compréhension de la distribution du champ dans le domaine d’étude, on

présente dans la figure suivante la distribution de l’induction magnétique.

a)

b)

Fig. IV. 15. Distribution de l’induction magnétique dans le domaine d’étude. a) intensité du module de

l’induction magnétique, b) orientation des vecteurs de l’induction magnétique.

La figure montre que l’induction magnétique est maximale au niveau des aimants permanents.

Une bonne partie du périmètre du tambour est couverte par une valeur importante de

l’induction. La valeur maximale de l’induction obtenue pour les conditions de calcul adoptées

est B = 0.545T.


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d. Distribution de la force magnétique appliquée aux particules magnétiques

Fig. IV. 16. Distribution de la densité de force magnétique da

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Calcul des grandeurs électromagnétiques dans un séparateur ... · dans un séparateur magnétique à aimants permanents Encadré par : Rabia MEHASNI MCA Réalisé par: Abdelouahab