CALCUL MATRICIEL

1. Matrices

• Définition:– Une matrice ayant m lignes et n colonnes est appelée une

matrice (m,n) ou mxn. Le couple de nombres (m,n) est appelé dimension de la matrice.

– On peut représente une matrice A par la notation aij. L’élément aij se trouve à l’intersection de la ièmeligne et de la j ièmecolonne.

=

mnm

n

aa

aa

A

K

MMM

K

1

111

1. Matrices• Somme des deux matrices:

– Soient A et B des matrices ayant le même nombre de lignes et de colonnes. La somme de A et B écrite A+B est obtenue en sommant les termes de même emplacement:

– L’addition de matrices est associative et commutative . La somme de matrices de dimensions différentes n’est pas définie.

++

++=+

=

=

mnmnmm

nn

mnm

n

mnm

n

baba

baba

BA

bb

bb

B

aa

aa

A

K

MMM

K

K

MMM

K

K

MMM

K

11

111111

1

111

1

111

1. Matrices

• Multiplication par un scalaire :– Le produit d’une matrice A par un scalaire λ noté λA

est la matrice obtenue en multipliant chaque élément de A par λ

=

mnm

n

aa

aa

A

λλ

λλλ

K

MMM

K

1

111

1. Matrices

• Propriétés de la somme et de la multiplication par un scalaire:– Soit V l’ensemble de toutes les matrices (m,n) sur le

corps K. Quelles que soient les matrices A, B, Cde Vet quels que soient les scalaires λ , µ de K, on vérifie :

( )( )( ) ( )

00

1

==•

=+=++=+

A

AA

AA

AAA

BABA

µλλµµλµλλλλ ( ) ( )

( )ABBA

AA

AA

CBACBA

+=+=−+

=+++=++

0

0

1. Matrices

• Multiplication de matrices:– Soient A une matrice (m,p) et B une matrice (p,n). Le produit

des deux matrices AB est une matrice (m,n) où le ij élément est obtenu en multipliant les termes de la ièmeligne de A par les termes de la j ièmecolonne de B

∑=

=

=

=

=

p

kkjikij

mnm

ij

n

pnp

n

mpm

p

bacavec

cc

c

cc

AB

bb

bb

B

aa

aa

A

1

1

111

1

111

1

111

K

MM

MMM

K

K

MMM

MMM

K

K

MMM

K

1. Matrices

• Propriétés de la multiplication de matrices:– Il est important de remarquer que le produit de

matrices AB n’est pas défini si A est une matrice (m,p)et B une matrice (q,n) avec q ≠ p.

– le produit de matrices n’est pas commutatif : AB ≠ BA

– le produit de matrices est associatif : A (BC) = (AB) C

– le produit de matrices est distributif : A (B+C) = AB + AC

1. Matrices

• Matrices identité :– Pour une dimension donnée et pour une matrice

quelconque A, la matrice identité I est définie par la relation :

AI = IA= A– La matrice identité est nécessairement une matrice

carrée (même nombre de colonnes que de lignes).– La matrice identité est l’élément neutre pour la

multiplication des matrices carrées de même dimension.

1. Matrices

• Matrices inversibles :– Une matrice carrée A est dite inversible s’il existe

une matrice A-1, appelée matrice inverse de A telle que :

AA-1 = A-1A = I

1. Matrices

• Matrices transposées :– La matrice transposée tA d’une matrice A est

obtenue en écrivant les lignes de A en colonnes.

=

=

mnnn

m

m

t

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

aaa

aaa

aaa

A

K

MKMM

K

K

K

MKMM

K

K

21

22212

12111

21

22221

11211

2. Application du calcul matriciel• Résolution de systèmes d’équations

linéaires– Une matrice A (ou système d’équation linéaire) est

dite équivalente ligne à une matrice B (ou système d’équation linéaire) si B peut être obtenue à partir de A par un nombre fini d’opérations élémentaires sur les lignes telles que :

• L’échange de deux lignes

• La multiplication d’une ligne par un réel non nul

• La transformation d’une ligne en la somme d’un multiple de cette ligne plus un multiple d’une autre ligne

ji LL ↔

ii LkL •↔

jii LLL •+•↔ µλ

2. Application du calcul matriciel

• Méthode du pivot de Gauss– Ramener le système d’équations linéaires, à l’aide

des opérations élémentaires sur les lignes, à un système échelonné

3. Déterminants• Définition:

– Le déterminant d’une matrice A nécessairement carrée se calcule par développement à partir d’une ligne ou d’une colonne arbitrairement choisie .

– On appelle mineur d’un terme , par exemple du terme aij, le sous déterminant qui subsiste lorsqu’on a ôté la ligne i et la colonne j auxquelles appartient ce terme.

– Le cofacteur de ce terme est le produit de son mineur par (-1)i+j.

– Le déterminant noté |A| est la somme des produits des termes de la ligne ou de la colonne choisie par leur cofacteur.

3. Déterminants• Propriétés

– les déterminants d’une matrice A et de sa transposée tA sont égaux :

– si A a une ligne ou une colonne de 0 alors |A|=0.– si A a deux lignes ou deux colonnes identiques alors |A|=0.– si une ligne de A est combinaison linéaire d’autres lignes , alors

|A|=0. Il en est de même pour les colonnes.

• Théorème :– Soit B la matrice obtenue à partir de A :

• par multiplication d’une ligne ou d’une colonne de A par un scalaire kalors |B| = k |A|.

• en échangeant deux lignes ou deux colonnes de A alors |B |= - |A|.• en additionnant un multiple de ligne ou de colonne de A à un autre

alors |B| = |A|.

4. Application des déterminants

• Inversion d’une matrice carrée:– Pour inverser une matrice carrée A, il faut :– avant tout calculer le déterminant de A qui doit être

non nul pour que A soit inversible.– Appliquer la relation :

• La commatrice de tA, notée comtA, est obtenue en remplaçant chaque terme de tA par son cofacteur .

AcomA

A t11 =−

4. Application des déterminants

• Vecteurs linéairement indépendants– Théorème : Une condition nécessaire et suffisante

pour que le déterminant des composantes de nvecteurs soit non nul est qu’ils soient linéairement indépendants.

– Par conséquent, une condition nécessaire et suffisante pour que n vecteurs forment une base d’un espace vectoriel de dimension n est que le déterminant de leurs composantes soit non nul.

4. Application des déterminants

• Système de Cramer – Un système est dit de Cramer s’il comporte n

équations linéaires avec n inconnues et si son déterminant est non nul.

– Pour ce type de système, chaque inconnue est donnée par :

où ∆ est le déterminant du système et ∆i est le déterminant obtenu en substituant dans ∆ à la colonne relative à l’inconnue celle formée des seconds membres des équations du système.

∆∆= ii

5. Diagonalisation de matrices

• But:– Soit f l’application linéaire de l’espace vectoriel E dans E dont la

matrice dans la base B est A. Nous cherchons une nouvelle base B’ de E dans laquelle la matrice de f soit D c’est à dire une matrice diagonale .

=

=== −−

nnnnn

n

D

aaa

aaa

AavecPAPDsoitPDPA

λ

λλ

K

MOMM

K

K

K

MMMM

MMMM

K

00

00

00

2

1

21

11211

11

5. Diagonalisation de matrices

• Equation caractéristique– Cette équation est de la forme C(λ) = 0 où C est le polynôme

caractéristique de la matrice A et constitue un polynômes de degré n qui admet n racines. Ces racines λ1,λ2,…,λn sont les valeurs propres de la matrice A.

( ) 00det

21

22221

11211

=

−

−−

=−

λ

λλ

λ

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

soitIM

K

MOMM

K

K

5. Diagonalisation de matrices

• Valeurs et vecteurs propres– La relation constitutive est :

• Si toutes les valeurs propres sont distinctes on obtient ainsi nsystèmes distincts. Chacun d’eux fournit une direction propre sur laquelle on choisit un vecteur . Les n vecteurs ainsi obtenus constituent les vecteurs de la base B’ et sont des vecteurs propres associés à A.

• Si une valeur propre λ est multiple elle fournit un unique système qui doit donner plusieurs vecteurs propres. Une valeur propre d’ordre qfournit un système qui se réduit à l’équation d’un espace de dimension q au sein duquel on choisit q vecteurs propres linéairement indépendants

iii VVArr

λ=

5. Diagonalisation de matrices

• Matrice de passage

– La matrice P est nécessairement inversible étant donné que ses composantes sont celles de vecteurs linéairement indépendants.

– On peut donc finalement écrire que :

=

=

+++=′

+++=′+++=′

n

nnnn

n

n

n

n

n

VV

xxx

xxx

xxx

Psoit

exexexe

exexexe

exexexerr

K

MKMM

K

K

rK

rrr

rK

rrr

rK

rrr

......1

21

22221

11211

12211111

12211111

12211111

== −

n

DavecPDPA

λ

λλ

0..0

0..

...

.0

0..0

2

1

1

6. Application de la diagonalisation

• Puissance nième d’une matrice carrée– Le calcul de la multiplication matricielle est fastidieux si n est

élevé. Lorsque la matrice a été diagonalisée, l’opération est quasi immédiate.

– Soit A la matrice à élever à la puissance n et supposons sa diagonalisation effectuée. On peut alors montrer que :

== −

nn

n

n

nnn DavecPDPA

λ

λλ

K

MOMM

K

K

00

00

00

2

1

1

6. Application de la diagonalisation

• Application à la résolution de systèmes différentiels linéaires – Soit, par exemple, le système différentiel linéaire à

coefficients constants suivant :

=

=

′′′

⇔

++=

++=

++=

ruo

bme

lac

Aavec

z

y

x

A

z

y

x

rzuyoxdt

dz

bzmyexdt

dy

lzaycxdt

dx

6. Application de la diagonalisation

– Les coefficients aij sont des constantes. Si la matrice A a été diagonalisée, et en affectant d’indice 0chaque composante dans la base des vecteurs propres , on montre que :

– On obtient la solution générale par :

( )( )( )

===

⇒

=′=′=′

⇔

=

=

′′′

tkz

tky

tkx

zz

yy

xx

z

y

x

z

y

x

D

z

y

x

330

220

110

010

010

010

0

0

0

3

2

1

0

0

0

0

0

0

exp

exp

exp

00

00

00

λλλ

λλλ

λλ

λ

=

0

0

0

z

y

x

P

z

y

x