Eléments d'algèbre linéaire

• Matrices

• Calcul matriciel

• Déterminant

• Résolutions des systèmes d ’équations linéaires, règle de Cramer.

• Inversion de matrice

• Ensembles convexes

Matrices

npnjnn

ipijii

pj

pj

pnij

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aA

21

21

222221

111211

,

A est une matrice de dimension np

Exemples de matrice carrée

Matrice diagonale

nna

a

a

00

0

0

00

22

11

nn

n

a

aa

00

0111

Matrice triangulaire

100

0

10

001

Matrice unité

npnn

p

p

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

nppp

n

n

t

aaa

aaa

aaa

A

21

22212

12111

Transposé d ’une matrice

Calcul matriciel

npnn

p

p

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

npnn

p

p

bbb

bbb

bbb

B

21

22221

11211

• Egalité de 2 matrices: aij=bij, i, j• Somme de 2 matrices: cij=aij+bij, i, j• Multiplication d'une matrice par un scalaire : cij= aij i, j

Remarque: A et B sont de même dimension

Calcul matriciel: Produit de 2 matrices

colonnes q

21

21

222221

111211

lignes p

pqpjpp

iqijii

qj

qj

bbbb

bbbb

bbbb

bbbb

colonnes p

21

21

222221

111211

lignesn

npnjnn

ipijii

pj

pj

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

nqnjnn

iqijii

qj

qj

cccc

cccc

cccc

cccc

21

21

222221

111211

le nombre de lignes de la matrice B est égal au nombre de colonnes de la matrice A.

Notions sur les matrices

•On appelle rang de la matrice A de dimension np le nombre maximum de vecteur indépendants parmi les p vecteurs colonnes de A.•On appellera matrice inverse d'une matrice carrée A d'ordre n, la matrice notée A-1 vérifiant A-1.A=I (avec I la matrice unité).

Déterminants d’ordre 2

(II) )(

)( (I)

21111221122211

12222121122211

22212

11211

ababaaaay

ababaaaax

byaxa

byaxa

122122112221

1211 aaaaaa

aa

221

111

211112222

121

122221 , I)(ba

ba

ababy

ab

ab

ababx

déterminant d'ordre 2 :

• Si = 0, le système est indéterminé si les second membres de (II) sont nuls, et impossible autrement. • Si 0, alors on a

0

19503)19(53

)11(1)11(14

71

235

11

333

17

3253

25

131

52

3114

171

535

323

3

101

525

313

4

0340

1071

5235

3123

Méthode de calcul des déterminants

Propriétés des déterminants

• Tout déterminant ayant deux de ses lignes (ou deux de ses colonnes) égales ou proportionnelles est nul.• Multiplier par un même facteur tous les éléments d'une même

ligne ou d'une même colonne d'un déterminant revient à multiplier la valeur de ce déterminant par .• On ne change pas la valeur d'un déterminant en ajoutant aux éléments d'une ligne (ou d'une colonne) les quantités proportionnelles aux éléments correspondants dzs autres lignes (ou colonnes)

Résolution des systèmes d’équations linéaires: Règle de Cramer

Pour chaque inconnue le numérateur s'obtient en remplaçant dans les coefficients de cette inconnue par les termes constant du second membre du système

221

111

211112222

121

122221 ,ba

ba

ababy

ab

ab

ababx

0

Exemple de résolution des systèmes d’équations linéaires: Règle de Cramer

0674

522

96 3

852

4321

432

421

4321

xxxx

xxx

xxx

xxxx

027

6740

2120

6031

1512

Exemple de résolution des systèmes d’équations linéaires: Règle de Cramer

327

816740

2125

6039

1518

1

x 427

1086701

2150

6091

1582

2

x

127

276041

2520

6931

1812

3

x 127

270741

5120

9031

8512

4

x

Résolution des systèmes d’équations linéaires: Inversion d’une matrice

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

bXA

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

.

3

2

1

3

2

1

333231

232221

131211

Résolution des systèmes d’équations linéaires: Inversion d ’une matrice

A.X=I.B I.X=A-1B

100

010

001

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

1

100

010

001

A

Exemple d’inversion d ’une matrice

121

423

312

Quelle est la matrice inverse de ?

100

010

001

121

423

312

III

IIIII

IIII

4

3

100

410

301

1210

0107

075

62

11423

932

321

321

321

xxx

xxx

xxx

En déduire la solution du système

Exemple d’inversion d ’une matrice

IIIII

II

III

5

1

10

7

5

1

5

10

4105

1

10

71

105

20107

0010

1

IIII

III

I

4

70

134

1050705

1

10

71

100

0100

0010

1

III

II

I

110

110

134

157

2710

100

010

001

134

157

27101A

Exemple d’inversion d ’une matrice

La solution du système d'équation est donc

3

2

1

6

11

9

134

157

2710

3

2

1

x

x

x

Ensemble convexe

Un ensemble (de points) E est dit convexe s'il contient en entier le segment de droite joignant deux quelconque de ses points. C'est à dire que si x et y sont les coordonnées de deux point de E, alors pour toute valeur du coefficient dans l'intervalle [0,1], la combinaisons linéaire (dite combinaison linéaire convexe) x+(1-)y représente un point qui appartient à E.

Ensemble convexe

On appelle points extrémals (ou points angulaires d'un ensemble convexe des points qui ne sont situés à l'intérieur d'aucun segment joignant deux points de l'ensemble.

cercle carré droite

Nous appellerons polyèdre convexe tout ensemble convexe fermé borné dont l'ensemble des points extrémals est fini. Par ensemble fermé, nous entendons un ensemble qui contient tous ses points extrémals.

Ensemble convexe

Proposition: Si K est un polyèdre convexe fermé, tout point x, combinaison linéaire convexe des points angulaires de l'ensemble K, appartient à cet ensemble.

Polyèdre convexe Fermé mais non borné