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Calcul mental
et résolution de problèmes
2010/2011 CIRCONSCRIPTION LORIENT SUD 1
Le calcul mental, Comment?
• Ce que disent les programmes 2008:
« une pratique régulière du calcul mental est indispensable. De premiers automatismes s’installent. »
• Le nombre au cycle 2 distingue 2 formes de calcul:
Le calcul automatisé
Le calcul réfléchi
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Attention!
•Le calcul mental ne se réduit pas à l’apprentissage de recettes calculatoires détachées de toute compréhension.
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Le calcul mental automatisé
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Le calcul mental automatisé
Il s’agit de favoriser
la récupération directe
en mémoire d’un résultat
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Quelles compétences relèvent du calcul mental automatisé?
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CP CE1
•produire et reconnaître les décompositions additives des nombres inférieurs à 20 (« table d’addition »)•Connaître les doubles des nombres inférieurs à 10 et les moitiés des nombres pairs inférieurs à 20.•Connaître la table de multiplication par 2
•Connaître les doubles et moitiés des nombres d’usage courant•Mémoriser les tables de multiplication par 2, 3,4 et 5• Diviser par 2 ou 5 des nombres inférieurs à 100 (quotient exact entier)
Comment aider les élèves?:
en:
•Utilisant des points d’appui
•Variant les approchesExemple pour l’addition
Exemple pour la multiplication
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Le calcul mental réfléchi
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Le calcul mental réfléchi
• Il s’appuie sur les résultats mémorisés ou en cours de mémorisation.
• Il s’agit d’utiliser une procédure adaptée au calcul particulier qui est proposé, en faisant appel à la réflexion et au raisonnement.
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Le calcul mental réfléchi:
Quelles compétences relèvent du calcul mental réfléchi?
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CP CE1
•- Calculer mentalement des sommes et des différences
•- Connaître et utiliser des procédures de calcul mental pour calculer des sommes, des différences et des produits.
•Diviser par 2 ou 5 des nombres inférieurs à 100 (quotient exact entier)
La séance de calcul réfléchi- Plusieurs procédures apparaissent
- Expliciter et confronter- Valider les procédures les plus efficaces
EXEMPLE: 42 – 28:
Ôter 20 puis 8 (décomposition);
Ôter 30 puis ajouter 2 (pivotement);
Aller de 28 à 42 (jalonnement);
Calculer 44 – 30 (décalage).
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Pour conclure sur le calcul mental
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Les modalités de fonctionnement
• Des séances quotidiennes courtes de calcul automatisé (10 à 15 min)
• Une séance hebdomadaire plus longue de calcul réfléchiOn alternera séance de découverte Séance d’optimisation des procédures efficaces pour le
calcul réfléchi; ou séance de mémorisation pour le calcul automatisé
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L’école élémentaireUn exemple d’emploi du temps au CP
Emploi du temps 2009/2010 Classe de CPEcole Paul Langevin
LUNDI MARDI JEUDI VENDREDI
8h45 Rituels / Lecture Rituels / Lecture Rituels / Lecture Rituels / Lecture
9h00 Français Français Français Français)
langage langage
Etude du code lecture de phrases textes Etude du code Lecture de phrases textes
écriture Ecriture dictée Ecriture autodictée Ecriture dictée
10h20 Ecriture Ecriture Ecriture Ecriture
10 h 35 récréation récréation récréation récréation
Mathématiques Mathématiques Mathématiques Mathématiques
numération/calcul numération/calcul géométrie/grandeurs /mesures problèmes
Calcul mental
réfléchi11 h 45 Calcul mental Calcul mental Calcul mental
Repas Repas Repas Repas
13 h 45
Français (35') Français (35') Français (35') Arts visuels (35mn)
Lecture de phrases textes Production d'écrit lecture de phrases textes
14h20
Arts visuels(1h) Découverte du monde
EPS (1h) EPS (1h) le temps/l'espce (1h)
15 h 20
15 h 35 récréation récréation récréation récréation
Français (35') Découverte du monde Français (30') Français (30')
production d'écrit vivant/la matière/les objets (40') Littérature Littérature
15 h 15 Français BCD (50')
Découverte du monde lecture langage EPS (50')
16 h 45 le vivant/la matière/les objets (40') Poésie/chant (35')
Total Langue Française : 9 h 10
Mathématiques : 4 h 40 Pratiques Artistiques : 2 h 10
Découverte du Monde : 2 h 10 + EPS : 2 h 50
1h rituels autour de la structuration du temps Soit 24 h, dont 22h de cours,
et 2 h de récréations
L’école élémentaireUn exemple d’emploi du temps au CE1
Un exemple d’ Emploi du temps au CE1 2009/2010
LUNDI MARDI JEUDI VENDREDI
8h45 Rituels / la phrase du jour Rituels / la phrase du jour Rituels / la phrase du jour Rituels / la phrase du jour
9h00 FrançaisOrthographe/code
Lecture écriture
Français Orthographe/code
Lecture récitation
Français Grammaire Vocabulaire
Lecture écriture
FrançaisGrammaire Vocabulaire
Lecture récitation
10h20
10 h 35 récréation récréation récréation récréation
Mathématiques Mathématiques Mathématiques Mathématiques
numération/calcul numération/calcul géométrie/grandeurs /mesures problèmes
Calcul mental
réfléchi11 h 45 Calcul mental Calcul mental Calcul mental
Repas Repas Repas Repas
13 h 45
Langue vivante (30’) Français (35') Langue vivante (30) Français (45’)
Littérature Production d’écrit
14h20 Production d’écrit (60’)
Découverte du monde
EPS (1h) EPS (1h) (1h)
15 h 20
15 h 35 récréation récréation récréation récréation
Français (35') Découverte du monde Arts Visuels ( 60’) Arts Visuels (30’)
Litterature (40')
16 h 15
Découverte du monde EPS (40')
16 h 45 (40') Musique/chant (35')
Total Langue Française : 9 h 15
Mathématiques : 4 h 40 Pratiques Artistiques : 2h05
Découverte du Monde : 2 h 20 EPS : 2 h 40
Soit 24 h, dont 22h de cours,
et 2 h de récréations
LES OUTILS:
• Exemple de logiciels (ABACALC, TUX MATHS, ATOUMATH…)
• Exemples de situations
• Exemples de jeux
• Exemples de programmations CP et CE1
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LA RESOLUTION DE PROBLEMES
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Organisation de données, dénombrement
Rallye inter classes Mathématiques sans frontières junior
Mon papa achète une grosse tarte aux fraises. Il la partage en 4.
Sachant que la tarte pèse 800g, quel va être le poids de chaque part?
Procédure de résolution du problème des poissons2 mâles 3 femelles
3 mâles 4 femelles
T1: 2M + 3F =5P poissons dans l’aquariumLes femelles font des petitsT2: (3X3M) + (3X4F) = 9M+12F= 21 P 21 nouveaux poissons
T3: calcul des femelles dans l’aquarium3F+12F=15FCes femelles font des petits à leur tour:(15X3M)+(15X4F) = 45M +60F=105P 105 nouveaux poissons
Calcul du total des poissons au bout de 2 mois:5P + 21P +105P =131 P
Problèmes pour apprendre
Problèmes pour
chercher ou problèmes ouverts
Situations-problèmes
Problèmes dont la
résolution vise la
construction d’une
nouvelle
connaissance.
Problèmes de
réinvestissement
Problème destiné à
permettre le
réinvestissement de
connaissances déjà
travaillées, à les
exercer.
Problèmes
d'intégration ou
de
synthèse
Problèmes plus
complexes dont la
résolution
nécessite la
mobilisation de
plusieurs
catégories de
connaissances
Problèmes centrés sur le
développement des
capacités à chercher : en
général, les élèves ne
connaissent pas toujours la
solution experte, parfois ils
la connaissent mais ne la
mobilisent pas
spontanément.
Une classification de problème
Qu’est-ce qu’un problème pour chercher?
Le problème se trouve dans un domaine conceptuel avec lequel les élèves ont assez de familiarité. Ainsi, peuvent-ils prendre facilement "possession" de la situation et s'engager dans des essais, des conjectures, des projets de résolution, des contre-exemples.
Un énoncé court
Un énoncé qui n'induit ni la méthode, ni la solution (pas de questions intermédiaires ni de questions du type "montrer que").
La solution ne doit pas se réduire à l'utilisation ou l'application immédiate des derniers résultats présentés en cours.
Le problème pour chercher, pourquoi ?
4)Le problème ouvert permet à l'enseignant de faire connaître aux élèves quelles sont ses attentes en matière de résolution de problèmes.
Quatre types d'arguments en faveur de la pratique du problème ouvert, à tous les niveaux de l'école.
3)Le problème ouvert offre une occasion de prendre en compte et même de valoriser les différences entre élèves.
2) Le problème ouvert permet de mettre l'accent sur des objectifs spécifiques, d'ordre méthodologique
1)Le problème ouvert permet de proposer à l'élève une activité comparable à celle du mathématicien confronté à des problèmes qu'il n'a pas appris à résoudre .
Les phases de la résolution de problème en cycle 2
•Phase 1 : mise en situation
• → L’enseignant lit éventuellement le
problème, s’assure de la bonne compréhension de celui-ci (questions);
• → Les élèves lisent le problème, le
reformulent, répondent aux questions de compréhension à l’oral, se construisent une représentation du problème.
25/03/2011 Le calcul à l'école 24
Les phases de la résolution de problème en cycle 2
•Phase 2 : recherche• Temps individuel
• Recherche en groupes
• L’enseignant fait expliciter les démarches, étaye, aide les élèves les plus en difficulté ;
• Les élèves expliquent leur procédure au maître.
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Les phases de la résolution de problème en cycle 2
•Phase 3 : mise en commun• → L’enseignant incite à la verbalisation
pour le collectif, gère les interventions des pairs ;
• → Les élèves formulent leur procédure
devant les pairs, expliquent et défendent leur choix ou débattent
sur le résultat d’un pair (validation).
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Difficultés des élèvesface à un problème
Les élèves pensent qu’il s’agit uniquement de découvrir une opération avec les nombres du
texte
• Ex : Pierre a 5 billes et Alain 10. Ils vont jouer dans le jardin de Pierre. Combien d’enfants jouent aux billes dans le jardin ?
Difficulté avec les mots du texte.Ils ont un sens différent dans un
autre type de texte.
• Pierre demande la note au serveur du restaurant. Le montant de l’addition est de 24 euros. Il veut payer la moitié en tickets restaurant. Quel sera le solde à payer ?
Difficulté avec les mots du texte. Ils induisent une opération.
• En rentrant de l’école, Pierre a 6 billes de plus. Maintenant il a 21 billes dans sa trousse. Combien en avait-il en allant à l’école ce matin ?
La ponctuation ou les tirets qui peuvent être synonyme de ET, OU,
plusieurs mais pas tous…
• Pierre a le choix entre :- un gâteau au chocolat- un paquet de bonbons
• Pierre a gagné :- 2 billes multicolores- 3 billes en terre
Le problème à habillages
• C’est un problème faisant appel à une pseudo-réalité supposée connue des enfants.
Alors que cette situation est sensée aider les élèves, elle leur pose parfois souci .
Deux classes vont à la piscine en autocar. La première a 32 élèves, la deuxième a 30 élèves. Le nombre de places assises dans le car est de 45.
Combien de cars faudra-t-il pour transporter assis tous les élèves ?
• Réponse attendue 2. Mais certains élèves ont répondu 1 car lorsqu’ils vont à la piscine, ils sont 3 pour 2 sièges ! VIDEO
Quelques Solutions !
La simulation
Elle permettra aux élèves d’imaginer la situation réelle.
La situation devra être claire et sans ambiguïté.
Faire rédiger des textes de problème
D’abord en donnant peu de données comme situation amorce :Pierre joue aux billes avec Farid…
En partant d’une opération 20-7-3=10Le géant a 20 enfants. Il est devenu fou et un jour il a mangé 3 de ses enfants, le lendemain 7 de ses enfants. Combien reste-t-il d’enfants ?
Proposer des problèmes sans question
56 cyclistes ont pris le départ d’une course. On compte 45 cyclistes à l’arrivée.Quelques questions et réponses d’élèves :Combien y a-t-il de cyclistes à l’arrivée ? Pourquoi y a-t-il 45 cyclistes à l’arrivée ?Il y a eu un accidentCombien ont abandonné la course ?
Donner des questions sans problème
Donner des problèmes avec des données insuffisantes ou inutiles
Il s’agit de trouver ce qui manque ou ce qui est en trop :Pierre joue aux billes avec Farid. Il en perd 5, combien lui en reste-t-il ?
Eveiller la vigilance par rapport au texte
On pourra par exemple mettre tous les nombres en lettres et tous les articles en chiffres :1 élève joue aux billes avec 2 camarades. Chacun a trois billes au départ. Combien ont-ils de billes en tout ?
Découvrir la structure opératoire
Exemple, compléter un texte
J’achète … kilos de pommes de terre à … le kilo. Combien ai-je dépensé ?
Donner des problèmes sans habillages
Donner des problèmes pour chercher et des problèmes pour apprendre
Travailler sur la schématisation d’un problème Exemple Vidéo
25/03/2011 Le calcul à l'école 42
Pour apprendre la table d’addition on prendra appui par exemple sur+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Les doubles
Les compléments à 10
Les presque doubles
Le passage par 10
le sur comptage +1, +2, +3
25/03/2011 Le calcul à l'école 43
Penser à varier les approches pour un même résultat, en utilisant les possibilités
de la langue mathématique:
EXEMPLE POUR L’ADDITION7+6
Combien pour aller de 7 à 13 ?Combien ajouter à 7 pour obtenir 13 ?Combien pour aller de 6 à 13 ?13 c’est 7 et combien ?13 c’est 6 et combien ? 13-6=?13-7=?Combien ôter à 13 pour obtenir 7 ?6+7=7+ combien?
25/03/2011 Le calcul à l'école 44
Pour apprendre la table de multiplication, on prendra appui sur
• Le comptage de n en n (exemple pour la table de 5)
• comprendre que la multiplication est une addition réitérée
• connaître les doubles;
• savoir que multiplier par 2, c’est doubler; savoir que multiplier par 4 c’est doubler 2 fois.
25/03/2011 Le calcul à l'école 45
Penser à varier les approches pour un même résultat, en utilisant les possibilités de la langue mathématique:
EXEMPLE POUR LA MULTIPLICATION
7 fois 5
quel nombre, multiplié par 5, donne 35?
combien de fois 7 dans 35?
35 partagé en 5
35 divisé par 5?
25/03/2011 Le calcul à l'école 46
