Calcul non linéaire du béton armé et précontraint

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Calcul non linéaire du bétonarmé et précontraintAmar Bouberguig a , Stéphane Rossier a , RenaudFavre b & Hazem Charif ba MAPS Diffusion SA , 1052, Le Mont-sur-Lausanne,Suisseb IBAP-Béton armé et précontraint, EPFL , 1015,Lausanne, SuissePublished online: 04 Oct 2011.

To cite this article: Amar Bouberguig , Stéphane Rossier , Renaud Favre & HazemCharif (1997) Calcul non linéaire du béton armé et précontraint, Revue Française deGénie Civil, 1:3, 503-568, DOI: 10.1080/12795119.1997.9692137

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Calcul non linkaire du b6ton arm6 et prkcontraint

Amar Bouberguig * - StCphane Rossier * - Renaud Favre ** Hazem Charif ** * MAPS Diffusion SA, 1052 Le Mont-sur-Lausanne, Suisse

** IBAP-Bgton arm6 et prkcontraint, EPFL, 1015 Luusanne, Suisse

RESUME. Cet article dicrit les bases tht?oriques d'un algorithme de calcul destine a l'analyse des effets de la fissuration et du fluage sur les constructions en biton armi et pricontraint. Lhlgonthme permet essentiellement de privoir le degri de fissuration et les diformations a long terme de l'ouvrage. Des exemples purement acadimiques et d'autres exemples correspondant a des ouvrages concrets, dont le comportement a i t i analysi en mettant en auvre l'algorithme proposi, sont don& a titre d'illustrations.

A B ~ ~ R A C T . This article purpose is to describe theoretical basis of a algorithm for analysis of cracking and creep effect on reinforced and prestressed concrete structures. The algorithm allows essentially to anticipate work cracking degree and long term displacement. Purely academical examples as well a examples corresponding to real structures. the behavior of which has been analysed by mean of the proposed algorithm. are given as illustrations.

MOTS-CLES : loi moment-courbure du CEB, participation du biton tendu. rigiditi riduite, difonnation a long tenne, fissuration. KEY WORDS : curvature-bending relationship, tension stirening, effective secant stifjitess, long term deflection, cracking.

1. Introduction

Durant les deux dernitres dkcennies, l'accent a tt6 souvent mis sur le calcul 2 la rupture des structures et sur la notion de la sBcurit6 structurale (Ctats-limites ultimes). En se limitant ii ce domaine, on a pris le risque de ne pas ttudier sufisamment les Btats-limites de service des ouvrages. Cela a entrain6 dans certaines constructions une diminution de leur qualit6 et de leur durabilitB et a rendu leur maintenance et rtparation trop coQteuses. Les exemples concrets prCsent6s B la fin de cet article pennettront de mettre en Bvidence les parambtres qui interviennent dans ces diffkrentes dCt6riorations de la qualit6 des ouvrages en btton.

Revue franqaise de gtnie civil. Volume 1 - no 3/1997, pages 503 i3 568

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Actuellement, les vtrifications des ttats-limites de service font partie inttgrante de celles exigtes auprbs de l'ingtnieur constructeur. I1 est donc important de fournir au praticien des outils de calcul adaptts pour ces contr6les. Les outils informatiques [12] et [I31 ont pour but de permettre une meilleure analyse du comportement rtel des ouvrages en btton ii l'ttat de service. 11s offrent la possibilitt de rtpondre ii ces vtrifications, tout en restant d'une utilisation simple et conviviale.

2. Modile de calcul : approche par courbures

Le modble utilist dans ces logiciels est bast sur une loi moment-courbure avec ou sans effort normal, dtveloppte ii l'Institut de Btton Arm6 et Prtcontraint (IBAP) de l'Ecole Polytechnique Ftdtrale de Lausanne (EPFL) dans le cadre de la commission V du Comitt Euro-International du Btton (CEB). Ce modble est actuellement prdsentt dans le Code Modble du CEB-FIP 1990 [2] (fig. 1). Son utilisation dans un processus de calcul se subdivisera en deux phases. A partir d'un calcul tlastique lintaire, on obtient les efforts auxquels sont soumises les difftrentes sections de la structure. Sous I'effet de ces efforts, la premibre phase consiste h prendre en compte la fissuration (8 2.1) et le fluage (Q 2.2) dans chacune des sections et ii dtterminer la relation moment-courbure en tenant compte de la participation du btton tendu. La seconde phase consiste ii inttgrer les courbures sur l'ensemble de la structure (Q 2.3), on peut ainsi suivre pas ii pas le comportement de l'ouvrage au cours du temps.

2.1. Prise en compte de la fissuration

La mtthode de calcul consiste ii dtterminer au niveau des sections en Mton arm6 ou prtcontraint, l'tvolution des dtformations relatives et des contraintes ainsi que de la fissuration. Les caracttristiques de ces sections seront dttermintes h chaque pas de temps. On calcule sous l'effet de l'effort normal et du moment de flexion la courbure ~1 en supposant que le btton reprend entibrement la traction (stade I) et la

courbure 1y2 en supposant que le btton ne reprend pas du tout la traction (stade 11). On dttermine ensuite la courbure moyenne yrn , qui prend en compte la participation du btton tendu entre les fissures. LA courbure moyenne (fig. 1) se confond avec la courbure au stade I, quand le moment de flexion M est inftrieur au moment de fissuration rtduit M,,rkd [2], [4].

Ensuite, elle tvolue selon une loi hyperbolique pour tendre d'une manibre asymptotique vers la courbure au stade 11. Ainsi cette courbure permet de traduire aussi bien l'absence de fissuration quand elle se confond avec la courbure au stade I, que le degrt de fissuration d'aprbs la distance qui la stpare de la courbure au stade 11. En effet, plus cette distance est petite, plus le degrt de fissuration de la section est important. Pour le calcul de la relation moment-courbure, on procbde de la manibre exposte ci-aprbs.

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a ) Cas de laflexion simple (N = 0)

Sous l'effet d'un moment de flexion M, on determine les deux valeurs suivantes :

traction),

traction).

- la courbure au stade I ~1 (le btton reprend entihrement les contraintes de

- la courbure au stade II 1412 (le btton ne reprend pas les contraintes de

Le moment de fissuration M, sera dtterminC en fonction de la rtsistance du btton h la traction. On calcule ensuite les courbures 'Pzr et "1, sous l'effet de M, . A partir de ces valeurs, on calcule la courbure moyenne 'urn selon le Code Modde CEB-FIP 90. Dans ce calcul, on tient compte de la participation du btton tendu. La courbure moyenne s'&rit comme suit :

'r, = 9 pour M 5 M,,&d

y m " f ' 2 - ( y 2 r - y l r ) * P b - 2 pour M > Mr,,6d

Mr , r td =

M V1

I I I w

W Ir W2r Courbure

Fig. 1.a. Relation moment-courbure dans le cas de laflexion simple (N=O)

W

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( r, est le rayon moyen de courbure courbure moyenne - =- rrn @*I), 1 M

et (E . I)m , la rigidit6 moyenne) ; courbure en Stade I avec prise en compte de l'armature ; courbure en Stade 11 calculde en ne tenant compte que du bCton comprimd et de l'armature tendue et comprimde ; courbure en Stade I sous le moment de fissuration Mr ; courbure en Stade 11 sous le moment de fissuration Mr ; contribution du Mton tendu ;

moment de flexion appliquC sur la section ; moment de fissuration dtfini par la relation : M, = W1. fct 3 Wc . fct ;

moment de rdsistance (ddnommd 6galement module de flexion) de la section en Stade I, c'est-&-dire en tenant compte de l'armature ; moment de rdsistance de la section de Mton seul (W1 est un peu diffdrent de Wc pour les faibles pourcentages &armature gCn6ralement m i s en aeuvre) ; dsistance du Mton & la traction ; coefficient permettant de tenir compte de l'influence de la durde dapplication ou de la rdp6tition des charges. Dans le logiciel, ce coefficient a les valeurs suivantes : Pb = 0.8 pour t = to ; Pb=0 ,5 pour t>tO+lOjours ;

: moment de fissuration reduit, = $t, . Mr .

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b) Cas de la flexion compost!e d'effort normal de compression

M" MY

N

L

Vlr V2r Courbure

eflort normal de compression (constant)

Figure 1.b. Relations moment-courbure h n s le cas de laflexion composke avec un effort normal constant de compression (NcO)

Ici, le calcul se fait comme dans le cas de la flexion simple, A la seule diffdrence que la relation momentcourbure au stade I1 nu n'est plus lindaire. La courbure moyenne Ym s'kcrit SOUS la forme suivante :

'r, =

Ym = y2 -( y2r -yir ).P.% pour M > M,,,kd

pour M 5 Mr,&d

M

Le moment de fissuration Mr est donne par :

+ M N Wi Ai

fct = '+- N

) i W,.(f,t--) - N M, = W1.( f,t --

A1 A , oh :

N :

A 1 :

A : aire de la section de Mton seul.

effort normal (N > 0 en cas de traction) ;

aire de la section en Stade I. calculde en tenant compte de l'armature ;

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+o> = 0 0

2.2. h i s e en compte du fluage (pas h pas)

Pour la prise en compte du fluage, le logiciel tient compte du principe fondamental du fluage : sous contrainte constante, chaque fibre de la section subit une dCformation qui CvoIue avec le temps. Cette Cvolution dCpend du coefficient de fluage cp , qui est le rapport entre les dtformations relatives libre EL et instantanCe E, (fig. 2).

--

b

t0 t

&

b

temps

Figure 2. ESfet du fluage : ivolution de la dkformation avec le temps sous contrainte constante

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I I I I t0 t 1 t2 t

Figure 3. Evolution des dkfomtions sous l'effet de contraintes variant avec le temps

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Les relations de comportement entre contraintes et deformations s‘krivent : t- -l

& = E o + E L = E o . 1+- ; E=Eo.[l+cp(t , to)] ; I 3 &=Go.- . [ 1 l+cp (t,t,)]=a, *a ( t , t o ) ;

E*

oh @(t, to) est la fonction de fluage. La valeur de coefficient du fluage se calcule en fonction des propri6tCs du Wton, des conditions climatiques et de l’instant to de l’application de la contrainte 0 ,, . Si les contraintes varient au cours du temps (fig. 3). les d6formations correspondantes Cvoluent en fonction des coefficients de fluage selon les relations suivantes :

- la dCformation lick A la contrainte initiale a, : &a =EO + EO ( t ,to) = EO .(I + 90)

E a = ~ . ( l + c p o ) = O o . Q (t,to) E O

- la d6formation lick aux variations de contraintes A01 et A 0 2

- la deformation totale :

La notation E 1 = E ( t l ) , E2 = E ( t 2 ) ... est destinde B mettre en evidence le fait que le module d’Clasticit6 Cvolue avec le temps et que l’algorithme tient compte de cette Cvolution. Chaque coefficient de fluage cpi ( t, ti ) prend naissance au temps

t i oh la variation de contrainte A q est appliquck au Mton. De ce fait, on utilise le principe de superposition des deformations. Ce principe restera valable tout au long du processus de calcul. En admettant cette hypothbe, on simplifie considCrablement l’impltmentation de l’algorithme dans les logiciels [ 121 et [13].

2.3 Ccrlcul de la section

Le calcul de l’effet du fluage au premier pas de temps sur une section non fissurke en Wton arm& sollicitke en flexion compost%, est schematis6 la figure 4.

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512 Revue franpise de genie civil. Volume 1 - no 3/1997

&

&

t * t0 t 1 t 2 t

Figure 5. Evolution des df$onnations dans la section

A partir de la ddformation relative initiale E, au temps correspondant it

l'application de la charge, la ddformation au premier pas de temps t = tl peut Ctre ddterminde en deux dtapes :

- calcul de la ddformation libre EL = E (1 + c p ( t 1 ,to )) de la section en

btton seul, en considtrant que le btton et les aciers sont dissocits (A). Ce calcul se fait selon les relations exposdes au paragraphe prtckdent ;

- prise en compte de I'effet des armatures, qui s'opposent it la dkformation libre du bkton et entrainent une redistribution des contraintes. Cette redistribution est calculde en rktablissant la compatibilitb des dtformations (B) ainsi que l'tquilibre des efforts (C).

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Calcul non lidaire du Mton arm6 513

Ainsi, l'dvolution des deformations de la section peut Etre calculde par discrdtisation du temps en pas de temps dti . A chaque pas de temps, on proc2de comme au pas de temps t 1 . Ainsi, pour le pas de temps t i , on part de 1'Ctat de dtformations et de contraintes correspondant au temps t i-1. Ensuite, on calcule la dtformation libre du Wton P l'instant t j :

Le processus se poursuivra par la prise en compte de l'effet des armatures qui s'opposent P cette deformation libre en creant une deformation E: , ce qui entraine une nouvelle redistribution des contraintes. Ce processus itbratif est illustrt P la figure 5 pour les trois premiers pas d+e temps.

Le calcul de la deformation libre se fait pour chaque fibre de la section. La r6duction de cette dtformation libre se calcule pour chaque armature ou csble de prkcontrainte. L'inttgration sur la section de l'ensemble des contraintes resultant de ces deformations successives donnent l'effort normal N et le moment de flexion M appliqds sur cette meme section.

Pour la prise en compte de la fissuration en parallble avec le fluage, on proc2de comme au temps to . Autrement dit, on calcule B chaque pas de temps t i f la relation moment-courbure au stade I (le Mton reprend entibrement la traction) et au stade I1 nu (le beton ne reprend pas du tout la traction). En fonction de ces deux valeurs et des courbures '€'lr et Yzr calcultes sous l'effet du moment de

fissuration Mr , on determine la courbure moyenne Y, selon la relation du CEB- FIP qui tient compte de la participation du Mton tendu.

Pour illustrer le calcul de la section, on prend l'exemple dun caisson non symetrique. Pour les diffdrents pas de temps, le calcul de la distribution des contraintes et des deformations se fait au stade I (fig. 6-a), puis au stade II (fig. 6-b et 6-c). En se basant sur la loi moment-courbure du CEB-FIP, on determine l'bvolution de la courbure moyenne, qui tient compte de la participation du Wton tendu (fig. 7-a). On peut determiner Cgalement l'dvolution dans le temps de la rigidid correspondante (fig. 7-b).

Sur la figure 6-a, on voit la distribution des contraintes dans le bdton et dans les aciers calculke au stade I. Les figures 6-b et 6-c montrent la mEme section calculte au stade I1 aux temps to et t,. On constate la remontke de l'axe neutre apr8s fluage.

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Figure 6.a. Exemple d'une section de pont caisson dissymktrique : rkpartition des contraintes au stade I cf t=10000 jours (nonfissurc!)

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Figure 6.b. Exemple d'une section de pont caisson dissym'trique : repartition des contraintes au stade II 21 t0=28 jours

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i ! Figure 6.c. Exemple d'une section de pont caisson dissymhrique : ripartition des contraintes au staa'e I1 ir t= 10 000 jours

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Figure 7.a. Section de pont caisson dissytdtrique : holution des courbures au stade I (0) et au stade 11 (*) et de la courbure moyenne (A)

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Figure 7.b. Section de pont caisson dissymdtrique : holution des rigiditis de to a t. Les trois courbes reprdsentent les rigidirks au stade I, au stade IZ et la rigiditk moyenne. Stade I (0) ; Stade I1 (*) ; moyenne CEB (A).

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L’Cvolution des courbures et des rigidit& dans le temps permet d’avoir une vue synthetique du degr6 de fissuration : plus les valeurs moyennes, calculees selon le modble du CEB-FIP, sont proches du stade 11, plus la section est fissurbe. On constate par ailleurs que la rigidit6 au stade I1 varie trbs peu avec le temps. Cela est dQ au fait que le Mton en compression represente un pourcentage de la section nettement plus faible que dans le calcul au stade I. Ainsi, ce sont essentiellement les aciers qui rdsistent, d’oh la faible influence du fluage.

A) RIGIDITE REDUITE ET FACTEUR GLOBAL (1 + Cp)

La mdthode traditionnelle, qui consiste A augmenter les d6formations initiales d’un faeteur (l+cp), represente en fait la premihe partie seulement du calcul expos6 cidessus. Cela revient A n6gliger l’effet des armatures qui emwhent la section de se dbformer librement. De plus, cette simplification ne permet tvidemment pas de tenir compte de la fissuration et ne reprdsente donc qu’une approximation du stade I. On peut en conclure que, au stade I, la baisse de rigidit6 calculde par la mbthode simplifik est surestimk, l’effet favorable des armatures n’ktant pas pris en compte. Un exemple avec des valeurs numdriques est donne ci-aprbs (fig. 7). Cela conduit ?i une surestimation des flkhes ?i long terme. Pour les caract6ristiques du Mton choisi pour la section de la figure 6 (Mton B45135, humiditc? relative = 60 %, consistance plastique, t,, = 28 jours, t = 10 O00 jours, bf = 400 mm), on obtient :

cp = 2,28, soit une baisse de rigidit6 de EIO /lfind = 1 + cp = 328

Par contre, le calcul par DIMAPS [ 121 tenant compte des armatures (fig. 7) donne, si l’on ne prend que les valeurs du stade I, pour un moment de flexion total de -120 OOO kNm et un effort normal de prdcontrainte de -45 O00 kN :

On observe donc un ecart de prks de 10 % entre le calcul rigoureux par DIMAPS et la mdthode simplifiee pour le calcul en stade I non fwur6. Par contre, pour le calcul au stade fissurt?, il est tr&s difficile de faire un calcul manuel.

B) PERTES DE PRECONTRAINTE

Les contraintes dans les aciers de prtkontrainte representent en fait les variations de contraintes dues aux ddformations de la section. En d’autres termes, les contraintes de compression indiquks par le programme dans les cgbles de prkontrainte sont les pertes de prkontrainte dues aux deformations initiales et au fluage.

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520 Revue fraqaise de g6nie civil. Volume 1 - no 311997

En calculant les contraintes dans les aciers B chaque pas de temps, l'algorithme permet d'inclure la ddtermination des pertes dues B la relaxation des aciers. Ces ddveloppements sont en cours actuellement [ 121.

2.4. calcul de la structure

Aprhs avoir analyst5 ce qui 5e passe au droit de la section, considkrons maintenant l'ensemble de la structure. Un calcul Clastique lintaire permet d'obtenir les efforts M et N appliqds sur chaque section. En tenant compte de la fissuration et du fluage, le calcul de la courbure moyenne d'une section sera effectut B chaque pas de temps. Ensuite, le ddplacement w en un point quelconque d'un ouvrage peut &tre obtenu a chaque pas de temps par indgration des courbures moyennes des sections en appliquant le thtorhme des travaux virtuels (fig. 8). Pour appliquer le th6or&me des travaux virtuels, on tient compte de la relation :

M Vm'-

@I) m

m represente la courbure moyenne calculk selon le CEB. Ainsi, 1'Cnergie oh potentielle d'une barre en flexion s'6crit :

1 V m

U =I---- M.ds

Figure 8. Calcul du syst2me statique : a) Dkformation longitudinale et courbure d'une section ; b) Calcul de la dkformation de l'ouvrage rksultant de la dkformation des sections

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Calcul non lin6aire du Mton arm6 521

t Z G 4

Figure 9. GkomLtrie de la barre courbe tridimensionnelle

A zG

Figure 10. Reptre local lie‘ ir l’LlLment barre \

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522 Revue fraqaise de ghie civil. Volume 1 - no 3/1997

Pour le calcul du systtme statique, le logiciel utilise des Cltments de barres courbes tridimensionnelles 1 inertie variable (IinCaire, parabolique, etc.), ce qui permet de suivre d’une manitre continue le degrt de fissuration et l’effet du fluage en chaque point de I’tlCment. La gCom6trie curviligne est dtfinie en fonction des coordonntes des 3, 4 ou 5 naeuds de I’tlCment (fig. 9). En fonction de cette gComCtrie, on dCfinit un systkme d’axes local lit 1 chaque section de 1’616ment (fig. 10). L’axe X de ce systkme local est tangent 1 I’axe de I’tlkment, l’axe Y est toujours horizontal, I’axe Z est perpendiculaire au plan form6 par les axes X et Y .

Si la section du pont comporte un dtvers (fig. 12), le logiciel applique i l’axe Y une rotation a dont la valeur est Cgale 1 l’angle du dCvers. Ces tltments sont basts sur la thkorie de Mindlin. 11s tiennent compte des d6formations dues i I’effort tranchant (fig. 11) et sont soumis aux trois dkplacements u, v, w selon les axes X, Y, Z et aux trois rotations 8, , 8, , 8, autour de ces memes axes. Leur formulation dans le domaine lintaire est expos& en [14] et leur calcul se passe par la relation suivante effort-dtformation :

MY PI= MZ

E . A G . Ay 0

G . A , E.1,

0 E . I y E.1,

aU a x

3W -+8, a x a v --e, a x - 39, a x ae, a x ae, a x

-

avec : A = aire de la section,

Ay = aire rtkluite 3 I’effort tranchant Qy , A, = aire rtkluite 1 l’effort tranchant Q, , 1, = inertie 1 la torsion, Iy = inertie i la flexion My I, = inertie h la flexion M,.

Cette formulation permet de calculer l’ensemble du systtme statique par la mCthode des tl6ments finis.

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Figure 11. Prise en compte &s &formations dues aux efforts tranchants

Z

Figure 12. Dtsfinition du dkvers

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524 Revue franpise de gCnie civil. Volume 1 - no 311997

Y 4

X Mx QY Figure 13. Difinition des efforts intkrieurs

Si le syst&me est isostatique, la modification de la d6formke 21 cause de la fissuration et du fluage n'entrafne aucune modification des efforts internes. Par contre, si le syst&me est hyperstatique, I'effet de la fissuration et du fluage entraine une redistribution des efforts internes.

L'enchainement des diffkrentes phases, intervenant dans le calcul du syst8me statique, est reprksentk sur I 'organigrme de la figure 14.

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SYSTEME

Gkomktrie, charges, appuis Bkton, armatures, prkcontrainte

FICHIER CONTENANT LE FICHIER CONTENANT SYSTEME STATIQUE LES SECTIONS

I Lecture des donnkes I 1 I

[ SOLUTION MITIALE ELASTIQUE LINEAIRE I I CALCUL DES DBPLACEMENTS 3

I CALCUL DES EFFORTS I

COURBURE MOYENNE yfm MODELE CEB-FIP 90

TEST DE CONVERGENCE NON -

I

I !l I CYCLES SUR LES PAS DE TEMPS

1, = t , . ~ + A t

COURBURE MOYENNE vm

courbes d’6volution

Figure 14. Enchainement des programmes

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526 Revue franpise de genie civil. Volume 1 - no 311997

2.5. Effet du second ordre

La prise en compte de l'effet du second ordre pour analyser la stabilitt des structures tlancks a tt6 tgalement incorporte dans le modble de calcul rtsumC cidessus. Cela s'applique en particulier aux piles dlanctes des ponts et aux dts des ouvrages haubants. Dans les exemples dapplication, le calcul dune pile de pont de 110 mhtres de hauteur sera prtsent6.

2.6. Conclusion

&

!.. Figure 15. Principe du calcul pas ci pas du systsme starique

&

temps

Pour chaque section de la structure, les deformations liks l'effort normal et les courbures likes aux moments de flexion vont Cvoluer avec le temps (fig. 15). Cette Cvolution due au fluage et Q la fmuration va &re rnodifik par les trois facteurs suivants :

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- les armatures, qui interviennent dune manibre interne B la section (E* ;

- les liaisons hyperstatiques, qui modifient les dtformations du systtme ( E: ) ;

- les effets du second ordre, qui amplifient ces dCformations ( E: ).

3. Exernples d'application

3.1. Poutre continue (bande de &lle unidirectionnelle)

Le premier exemple concerne le cas simple d'une bande de dalle unidirectionnelle continue sur trois travks en Mton arm6 (fig. 16 et 17). Le but 6tant de montrer pour diffdrentes rbpartitions de l'armature passive l'effet de la fissuration et du fluage sur l'6volution des flkhes B long terme et sur la redistribution des moments de flexion, trois rkpartitions de l'atmature ont 6t6 d6terminhs. Ici on montre les r6sultats d'une seule de ces rkpartitions. Le tableau 1 montre la rkpartition choisie de l'armature passive (30 % sur appui, 70 % en trav6e).

Section : Q Q I I I I

4.00 I 8.00 I 4.00 7 1

16.00 m

Figure 16. SystLme statique de la dalle unidirectionnelle

100 cm 1 1

Figure 17. Section zype de la dalle unidirectionnelle (voir la dLsfiition des sections d'armature dans le tableau I )

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528 Revue fraqaise de genie civil. Volume 1 - no 3/1997

Tableau 1. Sections d'armatures dans les diffkrentes sections de la figure 16 (rkpartition de l'armature : un dimensionnement relativement tloignk du dimensionnement klastique a ktk choisi : 30 9% sur appuis, 70 9% en travke)

B35/25

humidit6 relative : 60 9%

Tableau 2. Matkriaux

bf = 200 mm &, = 28 jours

t = loo00 jours

consistance : plastique

Acier +I 2 fy = 460 N/mm

L.e parambtre kf (. Cpaisseur B de l'tltment) est d6finie ainsi [ 181 : kf = 2A/U ; OD A est l'aire de la section transversale et U, le p6rimbtre de la section expos6 au dessbchement .

. - _ _ - - - - - - - - - - : calcul linbaire stade I : 4.1 mm --- 'aprbs fissuration au temps 1,: 9.8 mm

; fleche a long terme : 18,O mm

Figure 18.a. Evolution des flbches en fonction de la fissuration et du fluage : dijormkes successives de la dalle ((p=2,5)

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I I I I I I I I I I I I I I I I I I

I D D C O

5000

LODO

3000

2000

I I I I I I

Figure 18.b. &volution de lapkche en fonction du temps

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530 Revue franpise de gCnie civil. Volume 1 - no 3/1997

Figure 19. Redistribution des moments de flexion

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Calcul non lin6aire du Mton arm6 53 1

La figure 18 montre les rCsultats concernant I’Cvolution des fltches B long terme. La figure 19 montre les rCsultats concernant la redistribution des moments. On peut Cgalement signaler que les diffkrences des rksultats entre les trois repartitions propostes sont assez nCgligeables. Rappelons encore que la rbpartition “ Clastique ” de l’armature correspond B55 96 sur appyis et 45 96 en tray5e. Le Wton choisi est un Mton type B35/25 avec E, = 30 kN/mm , fct = 2,5 N/mm et 9= 2.5. Lacier utilisb est de type S500 selon la norme SIA 162 [16].

3.2. Mifthode simpfifle pour le cakul d’un pont-dalle biuis

11 s’agit d’un pontdalle biais en beton arm6 B trois travdes Cgales de 25 m. Le but est de montrer comment on peut, B l’aide d’un programme linCaire pour le calcul de la structure, faire une bonne approximation de l’effet de la fissuration et du fluage. La dCmarche pdsenbk dans cet exemple se ddcompose en trois phases : calcul Clastique lidaire des efforts dans la structure, Cvaluation des rigidit& rauites dues aux effets diffCds et enfin introduction de ces rigiditks dduites dans le modble linCaire d i n de calculer les nouvelles distributions des efforts et des dkplacements. Dans cette mCthode de calcul, l’analyse des sections en Mton arm6 est effectuk par le logiciel de calcul des sections [12]. I1 est important de noter que cette analyse est inddpendante du calcul statique de la structure. 11 est donc possible d’associer le calcul des sections B n’importe quel logiciel de calcul statique pour 6tudier le comportement B long terme d’un ouvrage.

3.2.1. Caractknstiques de 1 ’ouvrage

Le systi5me statique et la section type des poutres sont reprCsent6s sur les figures 20 et 21. La largeur de participation de la dalle admise est de 4 m pour toutes les poutres. Les deux entretoises de rive ont une section rectangulaire de 0.6 m d’kpaisseur et la meme hauteur que les poutres maitresses.

82 i- -I 25 I 25 I 25 J

A = m u d s d‘appui

Figure 20. Gkodtrie, syst2me statique et riseau d’t?lt?mentsfinis du pont biais. Les traits kpais reprksentent les poutres et les entretoises (dimensions en m2tres)

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Figure 21. Section type d’une poutre maitresse avec largeur de participation de la dalle (dimensionnement en em)

B35125

Ec = 30 kN/m

humiditd relative : 60 %

on &= 400 mm

b = 28 jours

t = loo00 jours

consistance : plastique I

Les charges sont ddfinies par : - le poids propre = 25 kNlm3 ;

2 - la surcharge permanente uniforme q = 5 kN/m sur l’ensemble du tablier ; - la prdcontrainte : balancement de 40 % des charges permanentes ; - I’effort normal dEi A la prdcontrainte dans chaque poutre : N = - 16 10 kN.

3.2.2. Dkmarche gknirale

La mdthode prdsentde ici est une approximation manuelle de I’algorithme utilisd de faGon rigoureuse et automatique effectuk dans le module de calcul non lindaire [ 131. Le calcul statique lindaire est effectud par le iogiciel MAPS [14] et I’analyse des

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Calcul non linkaire du bkton arm6 533

Figure 22. Diagrammes des moments de flexion (en kN.m) dans les poutres mattresses (kchelle verticale dkformke) pour les charges donnkes, sans effets diffkrts etfissuration (calcul linkaire)

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534 Revue franpise de g6nie civil. Volume 1 - no 3/1997

sections en b6ton arm6 par le logiciel classique [ 121. Pour le calcul statique lintaire, n’importe quel autre programme de calcul statique pourrait btre utilist. Le calcul se d6roule en trois Ctapes :

- calcul lin6aire Clastique de la structure (aucune prise en compte de la fissuration et du fluage). Cette phase fournit les d6formations et les efforts tlastiques lin6aires dans Sensemble de la structure ;

- tvaluation de la fissuration et du fluage dans les sections d6terminantes de l’ouvrage. Pour chacune de ces sections, le module d’analyse des sections permet, connaissant ses caracGristiques et les efforts qui s’y appliquent (effort normal et moment de flexion), de calculer la riduction de rigidit6 due aux effets diff6rCs et A la fissuration ;

- introduction des rigidit6s riduites dans la structure et nouveau calcul statique. Les rigidit6s des diffbrents C16ments structuraux sont modifi6es en fonction des r6sultats fournis en comgeant soit leur inertie ou dpaisseur, soit leur module d’tlasticit6. Les r6sultats obtenus donnent alors la nouvelle redistribution des efforts et les d6placements.

Dans l’exemple pr6sent6 ici, les r6sultats de la premitre phase (calcul lin6aire) qui nous intkressent sont les moments de flexion dans les poutres longitudinales (fig. 22). Les effets diff6r6s et la fissuration n’ont 6t6 analyses que pour la poutre maitresse centrale, puis reportts sur les deux poutres maffesses exdrieures. Le moment de fissuration d’une section en Mton d6pend fortement de la rksistance il la traction du Mton ; une 6tude paramdtrique a 6galement 6t6 faite (tableau 3).

3.2.3. Rbultats du calcul linkaire et &valuation des rkductions de rigidirks

En se basant sur les efforts obtenus par le premier calcul lin6aire (fig. 22), on a introduit la section de la poutre maitresse centrale. Les trois sections 6tudiCes sont la section de moment maximal dans la travk de rive, le milieu de la travte centrale et enfin la section sur appui intermtdiaire. Pour chaque couple moment-effort normal, on obtient un graphique reprtsentant 1’6volution de la rigidit6 de la section dans le temps (fig. 23 et 24). On trouve sur chacun de ces graphiques trois courbes correspondant aux trois 6tapes du calcul de la fissuration : le stade I, non fissur6, le stade II-nu, complktement fissurt, et enfin la valeur moyenne du CEB, qui tient compte de la participation du Mton tendu entre les fissures. Le tableau 3 donne une r6capitulation des moments de fissuration et des reductions de rigidit6 pour chaque section.

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1 0 0 0 0

,5000

. b o o 0

3000

2000

1 0 0 0

500

4 0 0

3 0 0

200

, 1 0 0

50

4 0

30

20

N

E z sc

0 W

Figure 23. Evolution en fonction du temps de la rigidit6 la deuxi2me poutre maitresse ; travbe centrale, M = 880 kNm, N = -1610 kN, fcr = 2.5 N/mm . On n'observe aucunefissuration : la rigidite' moyenne se confond avec celle du stade I. (Stade I (0) ; Stade N (*) ; moyenne CEB (A)).

2

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536 Revue franqaise de gtnie civil. Volume 1 - no 3/1997

r 3 0

1 0 0 0 0

.-.I

5000

4 000

3000

2000

1 0 0 0

500

4 0 0

300

200

1 0 0

50

4 0

30

Figure 24. kvolution en fonction du temps de la rigidite' de la deuxikme poutre maitresse ; trave'e centrale, M=880 kNm, N=-1610 kN, fc,=l.O N/mm2 ; la courbe inte'rieure montre l'efet de la jissuration et du fluage (Stade 1 (0) ; Stade II (*) ; moyenne CEB (A)).

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Calcul non linkaire du Mton arm15 537

On peut d6jh rappeler ici que le calcul par la m6thode simplifite qui consiste multiplier les dtplacements du calcul linbaire par le facteur 1+ cp n’est qu’une approximation. Les caracttristiques du btton dbfinies dans cet exemple donnent une valeur de cp = 2,3. soit un facteur d’amplification des fltches (ou de reduction des rigiditts) de 3,3 unique et uniforme pour toute la structure. Les calculs des sections montrent que, pour une mdme valeur de fct, la baisse de rigiditt dtpend de l’effort applique h la section (tableau 3). La baisse de rigiditt n’est donc pas uniforme sur la structure. De plus, si Yon fait varier fct, les baisses de rigidit6 varient de faqon importante. Les valeurs s’bchelonnent de 2,9 B 7.6, tandis que la mtthode simplifik du facteur d’amplification des fltches donne une valeur unique de 3,3. On constate donc que, dans le cas de sections non fissurtes, cette mbthode simplifibe surestime la baisse des rigidites h long terme (denviron 10 96 dans notre cas) et la sous-estime de fagon importante en prbsence de fissuration.

Section

derive

cennak

Sur appui

Tableau 3. Moments de fissuration et baisses de rigiditk des sections dkterminantes de la poutre centrale pour diffkrentes valeurs de fcr.

3.2.4. Comportement a long terme de la deuxiime poutre maitresse

Les baisses de rigidit6 ainsi obtenues sont introduites dans le modele statique et un nouveau calcul donne les dbplacements (fig. 25) et les efforts h long terme (fig. 26). On notera que les redistributions d’efforts sont sptcialement importantes dans la travte cenuale.

Figure 25. Dc;formkes de la deuxiime poutre maitresse dans trois cas : calcul linkaire, ir long terme avec fct=2,5 N/mm2 et a long terme avec fct=l,O N/mm2

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538 Revue francaise de gknie civil. Volume 1 - no 3/1997

Figure 26. Distribution des moments de flexion dans la deuxitme poutre muitresse dans trois cas : calcul lincfaire, ci long tenne avec fct=2,5 N/mm2 et b long terme avec fct=l,O N/mm2

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Calcul non lineaire du Mton arm6 539

3.2.5. Influence de la rksistance ci la traction du bkton

Les figures 23 et 24 montrent l’tvolution de la rigidjtt dans le temps pour21a section au milieu de la travk centrale pour fct = 2.5 N/mm (resp. fct = 1 N/mm ). Dans le premier cas, la section n’est pas fissurQ et la baisse de rigiditk apparente n’est due qu’au fluage : la courbe de la rigiditt moyenne est confondue avec celle du stade 1. Dans le deuxibme, par contre, la courbe moyenne se dttache nettement du stade I. Le tableau 3 rkapitule les moments de fissuration et les baisses de rigiditt obtenus pour chacune des trois sections et pour les difftrentes valeurs de fct. Si l’on se reporte Cgalement aux figures 25 et 26, on constate que les difftrences de redistribution des efforts et des deplacements sont relativement importantes si l’on fait varier la dsistance h la traction du Mton.

3.3. Ponts sur la Lutrive

Le calcul des ponts sur la Lutrive avait deux objectifs principaux. Le premier consistait A montrer que les forces de prkontrainte rtelles dans l’ouvrage sont nettement plus faibles que celles prtvues par l’auteur du projet. Le second dtait de dtmontrer que ce manque de prtcontrainte constitue la cause principale des dtformations excessives observks. En effet, le degd de balancement effectif de la prkontrainte des ponts sur la Lutrive peut etre estimt h = 0.64. ce qui est insuffisant pour un ouvrage autoroutier d’une telle envergure. La construction de l’ouvrage s’est achevQ fin 1972. Un nivellement, effectut avant la pose de l’ttanch6itt et du revetement durant l’ttt 1973, a montrt qu’il y avait alors une contre-flbche de 11 cm dans la grande portte. Celle-ci a ntamoins Ct6 rapidement a b s o r k aprbs la pose de l’btanchtitt et du revetement, ainsi qu’h l’ajout des bordures. Signalons ici que le revstement a t t t extcutt avec une Bpaisseur plus grande que celle prtvue dans le projet. Les nivellements successifs effectuts jusqu’en 1987 par les gtombtres du bureau des autoroutes ont montr6, contrairement h ce qui ttait prevu, une forte augmentation des flbches aux extrtmitts des consoles. La flbche maximale mesur& en 1987 ttait de 16.5 cm en admettant comme lecture A ztro le niveau juste aprbs la pose du revetement. De plus, cette flkhe ne donnait aucun signe de stabilisation. I1 faut noter que le coefficient de fluage restant il partir de la fin de la construction du fltau peut Cue estimt? h cp (09 dkembre 72) = 1.6 et que celui restant A partir de la pose du revetement peut stre estimk A cp (09 juillet 73) = 1,O. Enfin, signalons que, thtoriquement, le fluage aurait dO se terminer vers les anntes 1977/1978.

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540 Revue franqaise de g h i e civil. Volume 1 - no 3/1997

3.3.1. Description de 1 'ouvrage

Les deux ponts autoroutiers sur la Lutrive (ponts amont et aval) en bCton prkontraint font partie des ouvrages d'art de l'autoroute RN9 entre Lausanne et Vevey. 11s ont 6tB construits au cours des anndes 1971 et 1972 par encorbeilements successifs 1 partir des piles. La longueur des voussoirs Btait de 3.5 m. 11s ont BtB coul6s sur place au rythme maximum de deux voussoirs de chaque c8tB d'une pile par semaine. Les deux ponts sont lCg&rement courbes avec un rayon de courbure r de lo00 m. Le tablier est constitut de flCaux comportant des consoles de 5 195 B 65.75 m 1 inertie variable, lies entre eux par des articulations. La longueur de chaque pont est d'environ 395 m et les longueurs des travBes entre axes sont de : 57,95 - 129,50 - 143,50 - 64,OO m (fig. 27).

COUPE LONOITunNALE

Figure 27. Coupe longitudinale du pont amont sur la Lutrive

Les deux ponts ont la mdme section transversale. I1 s'agit d'un caisson de 7.2 m de largeur et dune hauteur variable de 2.5 m 1 la clt et sur culte jusqu'h 8,5 m sur piles. Les porte-&-faux du tablier sont dissymBtriques : 3,6 m 1 I'extBrieur de la courbe et 2.4 m 1 I'intBrieur, din de diminuer les efforts de torsion dus 1 la courbure en plan. La dalle infkrieure du caisson a une Bpaisseur variant de 80 cm sur appui jusqu'h 15 cm en travte. La dalle superieure d'une largeur de 13,20 m prBsente une Bpaisseur allant de 22 1 36 cm dans le fltau. Cette tpaisseur est de 55 cm au culot. Enfin, les lmes sont verticales avec une Bpaisseur variable de 25 135 cm (fig. 28). Les figures 29,30 et 3 1 representent sous forme de courbes de niveau les variations d'kpaisseur.

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t C

E

0 . 3.

C

E

Figure 28. Coupe transversale au droit de l’articulation et de la pile

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542 Revue friinqaise de g6nie civil. Volume 1 - no 311997

Figure 29. kpaisseur en m2tres de la h l l e supkrieure reprksentie sous forme de courbes de niveau

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Calcul non lintaire du Wton arm6 543

Figure 30. kpaisseur en mktres de la dalle infirieure reprisentie sous forme de courbes de niveau

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544 Revue franqaise de g6nie civil. Volume 1 - no 311997

Figure 31. Epaisseur en metres de 1'6me du caisson reprbsentbe sous forme de courbe de niveau

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3.3.2. Renforcement

En dtcembre 1988, un renforcement bast sur un projet du bureau dingenieurs Realini, Bader & Associts a t t t extcutt afin d'arrCter I'abaissement des extrtmitCs des consoles. I1 s'agit d'une prtcontrainte exttrieure, placte B l'intbrieur de chaque caisson. Pour chaque pont, quatre csbies Freyssinet (18 torons 0,6 par ciible), couvrant toute la longueur de celui-ci, ont t t t places h des distances constantes du bord suptrieur du tablier valant 0,775 et 1,025 m, donc 0.9 m pour leur centre de gravite (fig. 28 et 32). La force initiale totale de la prtcontrainte lors de la mise en tension ttait, par pont, de Po = 4 x 3345 kN = 13380 kN (csbles tendus B 0.7 f k , f k = 1770 N / mm2 ). fitant donnt les courbures du pont en plan ( r =1000m ) et en 616vation ( r = 12500 m ), les cables ont ttC tenus par des dtviateurs sur toute leur longueur afin qu'ils suivent l'axe du pont aprbs leur mise en tension. 11s ont ensuite t t t ancrts vers les entretoises d'extrtmitt de l'ouvrage et injectts par un coulis de ciment. Les travaux de renforcement ont pu Ctre realists sans interruption du trafic sur l'autoroute. Avant ces travaux de renforcement, I'IBAPEPFL a install6 un systtme hydrostatique de nivellement qui a permis de suivre l'evolution des fltches jusqu'B nos jours.

3.3.3. Modklisation de I 'ouvrage

Une partie de l'ouvrage seulement a t t t modtliste. I1 s'agit de la console cat6 Vevey, dune longueur de 65.75 m, du fltau de la pile intermaiaire no 2 au km 12761.50 (fig. 33 et 34). Une attention particulitre a t t t portte aux points suivants lors de la modtlisation :

- axe statique reliant prkcistment les centres de gravitt des sections introduites ; - inertie variable suivant dune manitre prtcise et, dans la mesure du possible,

- prise en compte de la dtformation du culot et de la pile. continuant les variations exactes de l'inertie de la console ;

Les tltments finis utilists sont des tltments de coque pour la phase Clastique lintaire (fig. 33) et des 6ltments de barre courbe tridimensionnels pour la phase non lintaire des calculs. La figure 34 montre le systbme statique choisi (modtle avec des barres) ainsi que la numerotation des sections et des voussoirs. Pour expliquer la ntcessitt de cette double modtlisation, on rappellera que dans le calcul des flbches B long terme h I'aide du modble avec des barres, la valeur initiale de la dtformation joue un r61e capital. Ceci d'autant plus que cette valeur est difficile h calculer. En effet, le pont subit de grandes dtformations vers le bas sous l'effet des charges permanentes, et des dtformations vers le haut tout aussi importantes sous l'effet de la prtcontrainte.

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Figure 32. Schkma de la pricontrainte exte'rieure de renforcement

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Calcul non linCaire du bCton arm6 547

Figure 33. Modklisation en tliments de coque de la console pour les calculs dastiques linkaires (partie allant de l'axe des piles a l'articulation situke a mi- tra vke)

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Figure 34. Mod2le statique en iliments de barre tridimensionnels de la console pour les calculs non liniaires avec nume'rotation des sections et des voussoirs

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Calcul non IinCaire du Mton arm6 549

Poids propre

Revetement

F'rkcontrainte

Total i

Or, la valeur initiale du calcul non lintaire est la diffkrence de ces deux grands nombres (voir tableau 4). Pour cette raison, le modtle avec des barres a besoin d'ctre << calk >> avec un maximum de prtcision B l'aide du mod&le avec des coques.

Modble avec Modble avec Ecart ( %)

-214 -205 4.2

-37 -35 5.4

180 182 1.1

-7 1 -58 18.3

des coques des barres

Tableau 4. Recapitulatif des jliches klastiques linkaires h l'extrkmitk de la console Imml

Le modtle avec des coques a permis de calculer rigoureusement les effets de la courbure en plan du pont, des variations d'dpaisseur et de la dissymktrie de la section sur le comportement klastique linCaire de I'ouvrage, en particulier le gauchissement des sections et la torsion (fig. 35). Ce modble a permis tgalement l'analyse de la diffusion de la prkcontrainte au droit de l'ancrage des cgbles (fig. 36).

Cette diffusion est en effet progressive h partir de son point dintroduction, la zone transitoire correspondant environ 75 % de la hauteur de la section. Ainsi, dans les deux derniers voussoirs proches de la pile, la prkcontrainte n'a pas la distance nkcessaire pour passer dans toute la section et reste pratiquement dans la dalle sup6rieure du caisson. A f h de tenir compte de cet effek dans le modtle avec des barres non linkaire, un dtcalage des points d'introduction des efforts dus B la prkcontrainte a Ctk effectud en considkrant un schkma de prdcontrainte ltgtrement plus dtfavorable.

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550 Revue franqaise de ghie civil. Volume 1 - no 3/1997

Figure 35. Effet de la pre'contrainte : distribution des contraintes au droit d'une section, obtenue par une mode'lisation en e'le'ments de coque, dans une section situe'e par rapport au point d'ancrage du ccible ci une distance e'gale ci 75 9% de la hauteur de 1 'cime

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Calcul non linCaire du Wton arm6 55 1

Figure 36. Effet de la pricontrainte : distribution des contraintes en kg/cm2 au droit de l'ancrage des cribtes, obtenue par la mode'lisation en e'liments de coque

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552 Revue franqaise de ghie civil. Volume 1 - no 3/1997

Module dtlasticitt Em [kN/mm2]

3.3.4. Comparaison desJ2ches mesuries et calculies

La version actuelle du logiciel [ 131 ne pennet pas encore de prendre en considtration des phtnomenes irrtversibles. En effet, ces phtnomenes proviennent principalement de l’effet des actions cycliques lentes (variation de temerature journali&e, trafic routier, convoi exceptionnel, etc.) et ntcessitent l’impltmentation de lois moment- courbure avec une branche dkhargement-rechargement. Une recherche en cours h I’IBAP [18] [19] a comme but d’tlucider ces phtnomenes irrtversibles et de proposer une loi moment-courbure dtchargement-rechargement, baste sur celle du code modble CEB-FIP 1990 [2]. C’est la raison pour laquelle l’approche choisie pour cerner le probleme des dtformations non stabilistes des ponts sur la Lutrive a 6td de considtrer deux cas (deux limites) qui dtfinissent une fourchette englobant le comportement de l’ouvrage observt B long terme (tableau 5 ) : un cas dit u favorable >> et un cas dit << dtfavorable >>. Le premier correspond aux hypotheses normalement admises par les ingtnieurs h l’bpoque de la construction des ponts sur la Lutrive.

Cas t Favorable

35 7

Rtsistance h la traction fct [N/mm2]

Coefficient de fluage restant cp (w, dkembre 72)

Coefficient de fluage restant cp (-, juillet 73)

Poids propre du Wton y [kN/m3] Charges permanentes gPm (revctement) [kN/m’]

Trafic routier quasi permanent qsupp [kN/m2]

2,5

1,6

1

25,O

28,O

0

Prtcontrainte rpoyenne P,

Prtcontrainte finale P

I 0,79 Degrt de balancement pour P,

0,925 Po

0,85 Po

.udits Dtfavorable

35

0,o

1.6

1

26,O

34,O

2 m / m 2 soit 24 KN/m’

0,75 Po

0,68 Po

Tableau 5. Valeurs de calcul considJries pour les d e w cas c( favorable u et c( difavorable N

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La figure 37 montre les valeurs calcul&s des fltches 2 long terme pour les cas a favorable >> et a dtfavorable >> et pour la valeur admise du coefficient de fluage restant cp (00 juillet 73) = 1,O. Ces fltches ont t t t calcultes en tenant tgalement compte de la fissuration et de la remontte des centres de gravitt des difftrentes sections de la console moddliske. La remontte du centre de gravitk des difftrentes sections a CtC introduite manuellement. L'analyse de ce probltme complexe est en cours actuellement [13] pour son introduction automatique dans le processus non linkaire. La valeur de la fltche calculQ & la fin de 1988 (avant renforcement) dans le cas u dtfavorable >> est de 196 mm. Si le calcul bast sur les hypothtses dkfavorables est extcutk avec des valeurs de (p=o,5 et 3 au lieu de cp=l, on obtient, B la fin de 1988, des flikhes de 75 et 250 mm respectivement au lieu de 196 mm. La figure 37 montre Cgalement l'tvolution des flikhes mesurks depuis 1973 jusqu'a nos jours.

3.3.5. &tat defissuration (calculs des contraintes)

Afh de connaffe l'ktat de fissuration h long terme, sous charges permanentes, des ponts sur la Lutrive avant l'application de la prkcontrainte additionnelle, on a calcult les contraintes dans les difftrentes sections de l'ouvrage avec la force de prtcontrainte finale admise dans le cas ~ d t f a v o r a b l e ~ : P, =0,68Po. Cette approche offre l'avantage de prksenter des rksultats finaux avec la force de prtcontrainte long terme aprts dtduction de toutes les pertes. En admettant que la rtsistance A la traction du Mton fct est kgale ii 2,5 N/mm , les contraintes en stade I avant le renforcement indiquent que la console ttait fissurte dans sa partie sup6rieure sur les trois voussoirs prts de la pile, soit sur une longueur denviron 11 m (fig. 38). On constate kgalement que, si la rksistance A la traction devait Ctre plus faible, voire nulle, la zone fissurQ serait alors considtrablement plus grande (pour fct = 0,O N / mm* , la zone fissurte s'ktendrait jusqu'B une quarantaine de mttres de la pile). Les contraintes dans le bkton en stade I1 avant renforcement sont prksentkes Cgalement sur la figure 38. La compression dans les fibres inftrieures du Mton est fort klevte, puisque avec (zc z 15 N / mm2, le fluage risque d'Ctre sup6rieur B celui dkcoulant de l'hypothtse de linkaritk (fluage non lintaire).

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Figure 38. Contraintes dans le bkton le long de la console

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3.3.6. Bilan provisoire

Le plus grand apport de la comparaison entre les mesures des dtformations B long terme des ponts sur la Lutrive et les calculs non lintaires, a t t i de pouvoir reconstituer approximativement la force de prkcontrainte rtelle ayant agi en moyenne dans l’ouvrage, B savoir Pm = 0,75 Po seulement. D’autre part, le calcul des contraintes B l’ttat permanent avec la force finale de la prtcontrainte

qui en dtcoule, permet d’expliquer la fissuration observie sur l’ouvrage. Signalons que cette fissuration ttait inexplicable sur la base du calcul << favorable m, puisque les contraintes permanentes qui en rtsultent sont partout des

2 compressions de l’ordre de 3Nlmm . Enfin, les dtformations excessives non stabilisCes des ponts sur la Lutrive sont proches des valeurs calcultes avec des hypothBses dtfavorables, et il est d&s lors tout B fait envisageable que les actions rCp6tCes (variations journalitres de la temfirature, trafc lourd, etc.) ont jout un r81e ddterminant dans cette non-stabilisation iI cause de phCnomtnes intversibles.

P, = 0,68 Po

3.4. Viaducs de Chillon

Le choix de cet exemple est destine B mettre en tvidence l’influence des dtformations angulaires SIN l’aptitude au service. En effet, contrairement B l’exemple prtctdent oh la fltche Ctait trop grande, ce sont les dtformations angulaires ou pentes (fig. 39) qui ont entrain6 une diminution de la qualitt de l’ouvrage. Le calcul des dtformations ?I long terme de ce deuxitme ouvrage s’est fait en collaboration avec le Bureau d’ingtnieurs PIGUET & Associts SA. Le but ttait de vtrifier si la prtcontrainte additionnelle (( balangait n les dtformations angulaires observCes SIN l’ouvrage au milieu de certaines travtes (fig. 40).

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Figure 39. Discontinuite‘ de la tangente rksultant de dgormations angulaires

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Calcul non linCaire du bCton arm6 557

Figure 40. Viaducs de Chillon : discontinuitis de la tangente risultant des dt;frmutions angulaires

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C o m e prtctdemment, une modtlisation en tltments de coque (fig. 41,42 et 43) a CtB utiIis6e pour le calcul tlastique lintaire, dans le but dobtenir une meilleure prtcision sur la valeur initiale des dBformations.

Figure 41. Modklisation en e'le'ments de coque de la moitie' d'une travke

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Calcul non linhire du Mton arm6 559

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la h l l e supirieure ( w e en Figure 42. Riseau P W

d’klkments finis : pricontrainte de

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560 Revue francaise de g h i e civil. Volume 1 - no 311997

Figure 43. Rkseau d'klkmentsfinis : prkcontrainte de l'cime (vue en klkvation)

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Calcul non IinCaire du Mton arm6 561

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Figure 44. Rkpartition des contraintes sur une section de l'ouvrage, au temps t = 10 000 jours

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562 Revue franqaise de gCnie civil. Volume 1 - no 311997

Figure 45. kvolution de la jliche (en [cm]) en fonction du temps (en jours) : 0 = cas u favorable Y ; A = cas u rkaliste Y

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Calcul non lineaire du Mton arm6 563

Figure 46. Evolution de la pente (en 'loo, en fonction du temps (en jours) : 0 = cas u favorable Y ; A = cas N rkaliste u

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564 Revue frayaise de g h i e civil. Volume 1 - no 3/1997

Hauteur de la pile en m I20

100

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2[

I , , , , , I t I I I I I I J , I 4 I I I I

-e Non-linearite geornetrique +Non-linearite rnaterielle et

geornetrique

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

Deplacement horizontal e n crn

Figure 47. Dt?fonnation de la pile sous : 0,s * poids propre + 1,5 * vent

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Hauteur de la pile en m 12'

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I

--c Deformee initiale -+ Non-linearite geometrique -=-Non-linearite materielle et

geometrique

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Deplacement horizontal en cm

Figure 48. Dtrformation de la pile sous : 1,0 *poi& propre + 1,0 * vent

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566 Revue fraqaise de genie civil. Volume 1 - no 3/1997

Pour le calcul non lindaire, les sections correspondantes B chaque voussoir (fig. 44) ont 6t6 introduites avec leur armature passive et cables de prkontrainte. Ensuite, ces sections ont 6t6 assignks aux difftrents 616ments de barre courbes constituant le syst8me statique de l'ouvrage. Comme dans le cas du pont sur la Lutrive, l'analyse d'un cas E( favorable u et d'un cas E( dtfavorable B a permis de cerner le probl8me. A partir de 1% un cas E( r6aliste u a 6t6 dbfini, sur lequel la vdrification de la prkontrainte additionnelle a 6t6 effectuk (fig. 45 et 46). Les figures 45 et 46 mettent en evidence le choix judicieux de la prtcontrainte additionnelle. On constate en effet qu'elle r6duit d'une manikre importante la d6formation angulaire (celle-ci passe de 7.6 O/OO B 2.8 O/OO, soit 63 96 de rtduction) que la flkhe (celle-ci passe de 12,2 cm h 7,8 cm, soit 36 96 de r6duction).

3.5. Calcul d'une pile blancbe

C o m e dernier exemple, on prendra le cas d'une pile de pont calculde au stade du projet. La prise en compte de la fissuration durant la phase de montage a m i s en Bvidence des d6formations nettement plus importantes que celle du second ordre (fig. 47 et 48). I1 s'agit d'une pile de 110 m8tres de hauteur. On a admis une imperfection g6om6trique de 10 cm au sommet de la pile. La structure a 6t6 mod6lisk avec des 616ments de barre courbes et le calcul a pris en compte l'effet cumul6 du second ordre et de la fissuration. La rksistance du Mton B la traction a 6t6 fixte h

Les combinaisons de charges les plus dkfavorables correspondent au stage de montage. Comme le montrent les figures 47 et 48, l'effet de la fissuration joue un r6le non n6gligeable sur les ddformations et, par constquent, sur le comportement de la pile pendant la construction du pont. Pour Bviter ces grandes dtformations, le projeteur devrait pr6voir des haubans provisoires pendant la construction de l'ouvrage.

fct = 2 , 5 N / m 2 .

4. Conclusion

Le ddveloppement des logiciels pr6sent6s dans cet article est destint essentiellement B fournir A l'ing6nieur praticien un outil simple d'utilisation. En travaillant avec ces logiciels, l'ing6nieur ne fera appel qu'h des concepts (module d'Clasticit6, coefficient de fluage, loi moment-courbure, rigidit6, fissuration, etc.) qui lui sont familiers. I1 ne s'agit donc pas de logiciels complexes de calcul non lineaire bases sur des approches locales extremement rigoureuses et tr8s difficiles B utiliser dans la pratique. Par ailleurs, les rdsultats sont pr6sent6s sous forme graphique, grlce B un post- processeur adapt6 au travail de l'ingknieur constructeur [lo] [14], et peuvent Qtre directement utilids dans les notes de calcul. L'utilisation pratique de ces logiciels devrait permettre une meilleure analyse du comportement r k l des ouvrages en btton h l'6tat de service. Grlce h des ttudes param6triques r6alistes B l'aide de ces outils, il devient possible de choisir les

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quantitds darmatures passives et de prkontrainte ainsi que les propridtds mdcaniques (module ddlasticith, rdsistance 2 la traction, etc.) et rhdoologiques (coefficient de fluage) du beton, et de voir immddiatement l'impact de ce choix sur le comportement B long terme de l'ouvrage. Cette simulation sur ordinateur constitue une aide apprdciable B la conception de nouveaux ouvrages en Wton ou il l'expertise douvrages existants. L'aptitude au service et la durabilitd des structures en Wton s'en trouvent grandement amdliordes. I1 s'agira essentiellement de limiter, voire ddviter la fissuration et les grandes ddformations de l'ouvrage grke 2 un choix approprid du Mson et des quantiths d'armature passive et de prhontrainte. On esphe ainsi r au i r e les coQts de maintenance ainsi que les frais lids aux rdparations.

5. Bibliographie

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568 Revue franpise de gtnie civil. Volume 1 - no 311997

[12] DIMAPS - Logiciel pour le calcul des sections en Mton arm6 et prkcontraint ; Ctat de service, &at de rupture, courbes d’interaction et poinconnement (http ://dgcwww.epfl.cN WWWMAPS/Maps.html ou www.mapsdiffusion.ch).

[I31 MAPSDIFF - Logiciel pour le calcul non lin6aire des structures en btton 2 l’ktat de service (http : / /dgcwww.epf l .chAPS/Maps .html ou www.mapsdiffusion.ch).

[14] MAPS - Macro-element Analysis of Prestressed and Stiffened structures, logiciel pour l’analyse statique lintaire des structures (www.mapsdiffision.ch).

[15] DERRON M. H., JWOUSEK J., kltments spatiaux de barres courbes, Publications

[16] Norme SIA 162, Ouvrages en Mton, Socittt suisse des ingtnieurs et des architectes, Ziirich, 1993.

[17] FAVRE R., B U R D ~ 0.. CW H., HASSAN M., MARKEY I., Enseignements tires dessais de charge et dobservations h long terme pour l’kvaluation des ponts en Mton et le choix de la prkcontrainte. Rapport de l‘office FtkIkral des Routes, EPFL, juillet 1995.

[18] FAVRE R.. CHARIF H., ROTILIO J.-D., Irreversible defonnations of post-tensioned structures under cyclic loads, Ph. D. Symposium, Budapest, Ed. by G.L. Balazs, 28-30 May 1996.

[19] ROTILIO J.-D., CHARIF H., Comportement irrtversible de poutres en Mton pr6contn.int sous chargement cyclique de faible frkquence, Rapport des essais, Publication IBAP no 144. EPFL, 1997.

I.S.B.S.E., 36-11,65-87, 1976.

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Calcul non linéaire du béton armé et précontraint