Calcul scientifique Fonctionnement des ordinateurs Informatique Cours 13 10/12/2001

Calcul scientifique

Fonctionnement des ordinateurs

InformatiqueCours 13 10/12/2001

Calcul scientifique• Ordinateurs analogiques

• Ordinateurs digitaux

– Calcul symbolique

– Calcul numérique


Exemple: solution de l’équation du mouvement

€

m d2xd t2

= −k x


• On dispose de circuits électroniques (amplificateurs) qui, lorsqu’on y « injecte » un signal, donnent en sortie, ce signal

– Multiplié par une paramètre ajustable– Dérivé par rapport au temps– Intégré sur le temps– Etc.

€

m d2xd t2

= −k x


On peut connecter entre eux de tels circuits dans une boucle où la sortie d’un circuit est proportionnelle à k*x (où x est un courant) , sortie qui est elle même l’entrée d’un circuit qui donne un courant proportionnel à la dérivée seconde de x.

Si le circuit se stabilise, on a « la solution » c’est-à-dire x en fonction du temps, x qu’il « suffit » de mesurer

€

m d2xd t2

= −k x

Calcul scientifique• Ordinateurs digitaux


Logiciels commerciaux

Maple

Mathematica


Calcul scientifique• Ordinateurs digitaux


Maple- ! (factorielle) - iprime (facteurs

premiers)- evalf (évaluation) - sum- graphiques- manipulations algébriques (expand, factor)- fonctions - expressions - procédures- équations - systèmes d’équations- développements en série- dérivées - intégrales- calcul matriciel


Calcul scientifique• Calcul numérique

Evaluation de fonctions

Exemple: e-x

€

f(x) = f (0) + x f '(0) + x2

2! f ''(0) + ...

€

e− x = 1 − x + x2

2! −

x3

3! +

x4

4! −...


Evaluation de fonctions

Récurrences

€

e− x = 1 − x + x2

2! −

x3

3! +

x4

4! −...

€

tn = − xn

tn − 1

Calcul scientifique fonction expof (x: réel; n: entier): réel;

{n est le nombre de termes évalués} constante précision = 1.0-6

variables s, t: réels; corps s 1 t -x n 2 tant que abs(t) > précision * s faire s s + t t -t * x / n n n + 1

ftant expof s fin fonction

réel ? étendu ?

1_ expo ƒ


Equations différentielles

Exemple: équations du mouvement

Masse attachée à un ressort:

€

m d2xdt2

= − k x



€

dvdt

= − km

x

€

dxdt

= v



€

v = v0 − km

x0 t

€

x = x0 + v t

Calcul scientifiqueMasse attachée à un ressort:

v 0.0 x 1.0 t 0.0 écrire (t , v, x); v v - k * x * dt / 2 x x + v * dt t t + dt écrire (t , v, x); pour i de 2 à 628 faire v v - k * x * dt x x + v * dt t t + dt; écrire (t , v, x);

fpour

2_ oscillateur ƒ


autres exemples:

€

f = 1

4πε0

Q qr2 1r

3_ oscillateur ƒ

Calcul scientifique• autres exemples: Proies - prédateurs

Répéter Aold A Bold B A A + (-alpha * A + beta * B * A) * dt B B + (gamma * B - beta * Aold * B) * dt t t + dt;

écrire(i, t, A, B )i i + 1;

jusque i = 3000

4_ proies-prédateurs ƒ

dA/dt = -alpha * A + beta * B * A dB/dt = gamma * B - beta * A * B


Intégration

3_ oscillateur ƒ

€

f (x) dxa

b

∫


Intégration

€

f (x) dxa

b

∫f(x)xab


Intégration

€

f (x) dxa

b

∫f(x)xab

Calcul scientifiqueIntégration

€

f (x) dxa

b

∫ ≈ f (xi) Δx∑f(x)xab


€

f (x) dxa

b

∫ ≈ 12

Δx ( f (xi) + f (xi+1))∑f(x)xab


€

f (x) dxa

b

∫ ≈ 12

Δx f (a) + 2 f (a+Δx) + f (a+2Δx) + ...[ ]

f(x)xab


s 0pour k de 1 à N-1 faire

s s + fi + fi+1

fpours s * x * 1/2


€

13Δx f (a) + 4 f (a+Δx) + 2f (a+2Δx) + 4 f (a+3Δx)...[ ]

f(x)xab


s 0pour k de 1 à N par pas de 2 faire

s s + (fi + 4 fi+1 + fi+2)fpours s * x * 1/3

5_ erreurs ƒ

Fonctionnement des ordinateurs• Inverseur

• AND OR (et ou)

• Flip flop

• Demi-additionneur

• Addition de nombres codés sur 4 bits

• Accès au bus

Inverseur

Circuit ET (AND)

Circuit NON ET (NAND)

Circuit bistable

Circuit bistable

Niveaux logiques:

Circuit bistable

Niveaux logiques:

Circuit bistable

Niveaux logiques:

Circuit bistable

Niveaux logiques:

Circuit bistable

Niveaux logiques:

Circuit bistable

Niveaux logiques:

Circuit bistable

Niveaux logiques:

Circuit bistable

Niveaux logiques:

Circuit bistable

Niveaux logiques:

Circuit bistable

Niveaux logiques:

Demi-additionneur

Niveaux logiques: addition de 2 bits

Demi-additionneur


Demi-additionneur


Demi-additionneur


Demi-additionneur


Demi-additionneur


Demi-additionneur


Demi-additionneur: schéma

Additionneur: 2 nombres de 4 bits










Accès au bus (de données/ d’adresses)

Fortran• Structure générale

• Tri par insertion linéaire (10 données)GNU

• Oscillateurs– LS Fortran

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