CalibrationdeMod`elesetCouverturedeProduitsDerivesPeterTANKOVEcolePolytechniqueetUniversiteParisVIIpeter.tankov@polytechnique.orgEdition2009,derni`erem.`a.j. le24fevrier2010Laderni`ereversiondecedocumentestdisponible`aladressewww.math.jussieu.fr/tankov/MA/2Tabledemati`eres1 Lesmarchesdeproduitsderives 71.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Fonctionnementdesmarches doptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Dierentstypesdesous-jacents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Lesoptionseuropeennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Lesoptionsamericaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Lesoptionsexotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10I Mod`eles 112 Lemod`eledeBlacketScholesetlacouvertureendelta 132.1 Lemod`eledeBlacketScholes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.1 Portefeuilleautonan cant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.2 Evaluationrisque-neutre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.3 FormuledeBlacketScholes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.4 Optionsurunactifversant desdividendes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.5 Exemplesdecouvertureendelta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.6 Analysedelerreurdecouverture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.7 Couvertureengamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Lutilisationdumod`eledeBlack-Scholes danslesmarchesdoptions . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.1 Lacouvertureendeltacommeunestrategie detrading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.2 RobustessedelaformuledeBlack-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Lavolatiliteimplicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.1 R oledelavolatiliteimplicitedanslesmarches doptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.2 Priseencomptedesdividendesdanslecalculdelavolatiliteimplicite . . . . . . . . . . . 242.4 Complement: formuledeGarman-Kohlhagen etcotationdoptionssurtauxdechange . . . . . . 243 Lesmod`eles`avolatilitelocaleetladiusionimplicite 273.1 Mod`eles`avolatilitelocale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Arbretrinomialdepricing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3 Arbresimplicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4 DiusionimplicitedeDupire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 Lesmod`eles`avolatilitestochastique 414.1 Equationsdepricingetdecouverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 Comportementasymptotiquedevolatiliteimplicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.3 Estimationdevolatilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.4 Swapsdevariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.5 Parametrisation deHeston. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5534 TABLEDEMATIERES5 Lesmod`elesavecsauts 615.1 IntroductionauxprocessusdeLevy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2 StructuredestrajectoiresdunprocessusdeLevy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.3 Mod`elesexponentielle-Levy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.4 Basesducalculstochastiquepourlesprocessusavecsauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.5 Exponentiellestochastiquedunprocessusavecsauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.6 Couverturedanslesmod`elesavecsauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.7 Valorisationdoptionsdanslesmod`elesexp-Levy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.8 Methodedetransformee deFourierpourlavalorisation doptionseuropeennes . . . . . . . . . . . 875.9 Calibrationdemod`elesexp-Levy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.10 LimitesetextensionsdesprocessusdeLevy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93II Outils 956 Regularisationdesprobl`emesmalposes 976.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.2 Probl`emes malposeslineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.3 Regularisation deprobl`emesmalposes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.4 Regularisation deTikhonovpourlesprobl`emeslineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.5 Regularisation duprobl`emedereconstructiondelacourbedetauxdinteret. . . . . . . . . . . . 1056.5.1 Methodesclassiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.5.2 Methodederegularisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077 Regularisationdeprobl`emesdecalibrationI:probl`emeslineaires 1117.1 Reconstructiondeladensiterisque-neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.1.1 Applicationdelaregularisation deTikhonov`alareconstructiondelaSPD . . . . . . . . 1128 Regularisationdeprobl`emesdecalibrationII:probl`emesnon-lineaires 1178.1 Regularisation deTikhonovpourlesprobl`emesnon-lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.2 Regularisation duprobl`emedecalculdelavolatilitelocale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1189 Methodesnumeriquespourlacalibrationdemod`eles 1239.1 Algorithmesdoptimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.1.1 Optimisation: rappelstheoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.1.2 Probl`emes doptimisationennance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1249.1.3 Minimisationdefonctionsconvexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124AQuelquesrappelssurlecalcul stochastiqueetlesprocessusdeMarkov 129B Examensdesanneesprecedentes 131B.1 MasterModelisationAleatoire, examendu27avril2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131B.2 MasterModelisationAleatoire, examendu10mai2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133B.3 MasterModelisationAleatoire, examendu14mai2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136B.4 MasterModelisationAleatoire, examendu7mai2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138B.5 MasterProbabilites etFinance,examendu27mars2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Bibliographie 141IntroductionIfyouwanttoknowthevalueofasecurity,usethepriceofanothersecuritythatisassimilartoitaspossible. Alltherestismodeling.Emmanuel DermanEnparaphrasant lacelebre formule dEmmanuel Derman, donnee enepigraphe, onpeut dire que pourvaloriserunproduitcomplexe, il fauttoutdabordtrouverdesactifsliquidesqui lui ressemblent, etdontlesprix sont cotes sur le marche et ables. Ensuite, lapproche le plus souvent utilisee consiste `a choisir un mod`ele,dontlesparam`etresserontestimessurlesprixdesproduitsliquides(calibrationproprementdite). Cemod`elecalibrepeutmaintenant etreutilisepourvaloriserleproduitliquide. Dierentsmod`elesvont,apriori,donnerdes prix dierents, et on peut legitimement se demander, quelles sont les bornes imposees sur le prix du produitexotiqueuniquementparlabsencedarbitrage. Bienquepourcertainsproduits,onpeutobtenircesbornesennefaisantpasoutr`espeudhypoth`esessurlemod`ele, voirparexemplelasectionsurlesswapsdevariance,pourlaplupartdepay-oscelasav`ereimpossible. Enpratique, onutilisedoncpresquetoujoursunmod`elepourfairelelienentrelesprixdesoptionsliquides etcelui duproduitexotique. Lecoursdecalirationestdoncavanttoutuncoursdedierentsmod`elesutilisesdanslemarchedeproduitsderives. Danscesnotes,ondecouvriraavant toutlesmod`elesdevolatilite(volatilitelocale,volatilitestochastique),maisaussilesmod`elesprenantencomptelerisquedesaut(processusdeLevy).Lacalibration utiliselesprix doptionscotees surlemarche. Onvadonccomprendre lefonctionnement desmarches etlesmethodesdecotation. Lesprixcotes sont representes sous laformedunesmiledevolatilite; uncoursdecalibrationestdoncuncoursdemodelisationdesmile.Du point de vue theorique, le probl`eme de calibration, cest-`a-dire, reconstruction des param`etres du mod`ele`apartir des observations de prixest unprobl`emeinversemal pose. Inversecar dans tout mod`eleonsaitfacilementresoudreleprobl`emedepricingdoptionseuropeennes(sinoncemod`eleneserajamaisutilise), etpourlacalibrationoncherche`ainverserceprocessus. Mal posecarcetteinversionesttr`essouventinstable,et conduit `alamplicationdes erreursdedonneesdans lasolution. Onauradoncbesoindelatheoriedeprobl`emes inverses mal poses. Mathematiquement, un probl`eme inverse mal pose consiste `a resoudre lequationTx = y, (1)o` uTestunoperateur (lineaireounon)dontlinverse T1nestpascontinu. Typiquement,yestlevecteurdedonneesobserveessurlemarcheetxestlevecteurdesparam`etresdumod`elequoncherche`acalibrer. Dans(1), T1peutetreconnuexplicitement, o` upeutetrecalculeiterativementenminimisant |Tx y|2, ceci nechangerien`alanaturemal poseduprobl`eme. Si leprobl`emeestmal poseunepetiteerreursurlesdonnees(y)peutconduire`aunetr`esgrandeerreursurlasolution(x), rendantimpossibletouteresolutionenutilisantlesdonneesobservees(carlesobservationscontienttoujoursuncertainbruit). Latheoriederegularisation deprobl`emesinversesmal poses[29] nepermetpasdetransformerunprobl`ememal poseenunprobl`emebienpose,ilyauratoujoursunepertedeprecision,maisellepermetderecuperer lemaximumdinformationsurx`apartirdeydefa constable.Enstatistiqueoncherchesouvent `aresoudre unprobl`eme similaire,parexemple,celuidestimerxdansTx = y56 INTRODUCTION`apartirduneobservationbruitee y=y + . Ladierenceestquenstatistiqueonconsid`erelesobservationscomme des variables aleatoires, qui contient toujours unniveaude bruit assez important, et oncherche `aconstruiredesestimateursconvergents lorsquelenombredobservations tendverslinni. Celanapasdesensdecalibrer lesobservations,lecrit`ere etantlaqualitedestimationduparam`etre inconnu.Encalibration, onregardelesprixobservessurlemarchecommelesvraisprix. Ilspeuventcontenirunpeudebruit, `acausedesfourchettesbid-ask, maisoncherche`alescalibreravecunegrandeprecision, sinononnousarbitre. Nousnepouvonspasfairetendrelenombredobservationsverslinni, caril estxeparlemarche, lalimitequiaunsenscestlalimiteniveaudebruitdobservationtendvers zero, cequicorrespond`aunmarche tr`esliquide.Lesmethodesnumeriquesdontonasouvent besoinencalibrationetquon etudieradanscecourssont Methodes de pricingpermettant de calculer les prixde plusieurs options enmeme temps (methodesdarbres,EDPforward,methodesdetransformee deFourier). Methodesderegularisation (pourlaresolutionstabledeprobl`emesinverses malposes). Methodesdoptimisation(algorithmesclassiques,optimisationparMonteCarlo).Finalement,lastbutnotleast,lobjectif de ce cours est dapprendre comment choisir un mod`ele adapte `a unproduitdonneetunemethodedecalibrationadapte`acemod`ele. Lechoixdumod`elenepeutpasseectuerdanslabsolu,carilnexistepasdemod`elequiprendraitencomptetouslesrisquesdetouslesproduitsquonpeutimaginer. Pour dierents produits,dierents risques sont importants, et onva choisir lemod`ele qui prendencomptecesrisquesetennegligedautres,quisontjugespeuimportantspourleproduitenquestion.Lechoixdunmod`eleet dunemethodedecalibrationenvuedecalculer leprixdunproduit exotiqueseectuealorsautourdestroisquestionsfondamentales:Risquedemod`ele. Ilsagit dedeterminer, dans quellemesure leprixnal duproduit exotiqueest expliqueparlemod`eleutilise, etdansquellemesureil estexpliqueparlesprixdesinstrumentsdecalibrationutilises.Idealement, le prix dun exotique doit etre compl`etement determine par les instruments de calibration et ne doitpasavoirunedependanceimportanteparrapportaumod`eleutilise. Sitel nestpaslecas,onparledurisquedemod`ele. Parexemple, si onutiliseunmod`elecalibreauxoptionseuropeennesdecheanceTpourvaloriserunautrepay-o europeenayantlameme echeance T,lerisquedumod`eleestpetit. Si,aucontraire,onutiliselemememod`eleetlesmemesproduitsdecalibrationpourvaloriser unproduitpath-dependent,lerisquedumod`eleseraplusgrand.Lerisquedumod`eleest engrandepartiedeterminepar les instruments decalibrationutilises: pour lediminuerilfautchoisir desinstrumentsdecalibration naturelspourleproduitexotiqueenquestion,(exemple:swaptionsco-terminalespourvaloriseruneswaptionbermudeenne)etil fautquelensembledinstrumentsdecalibrationsoitsusammentcomplet.Adequationdumod`elechoisiauxinstrumentsdecalibration. Ici, on cherche `a repondre `a la questionsuivante: est-cequelemod`eleestsusammentrichepourbienreproduirelesprixdetouslesinstrumentsdecalibration? Parfois,onacetteproprieteparconstruction,dansdautressituationsonnapascetteproprieteapriori,etilfautverier aposterioriquelleestsatisfaiteavecuneprecisionsusante.Validite et stabilite de lalgorithme de calibration. En plus detre mathematiquement correct, lalgorithmedecalibrationutilisedoitetrenumeriquementstable, cest-`a-dire, lespetitschangementsdesprixdesinstru-mentsdecalibration nedoivent pas conduire`a desgrands changements auniveaudes param`etres calibres. Parexemple,silalgorithmefaitinterveniruneminimisationnumerique, lafonctionnelle`aminimiserdoit etrecon-vexe ou en tout cas ne doit pas avoir de minimums locaux, qui conduisent souvent `a des instabilites numeriques.Chapitre1Lesmarchesdeproduitsderives1.1 HistoriqueLe premier marchedoptions moderne est apparuen1973cetait le CBOE(ChicagoBoardof OptionsExchange). Remarquons(sans pretendrequil yaunlienentreles deuxev`enements)quelecel`ebrearticledeFisherBlacketMyronScholesThepricingofoptionsandcorporateliabilitiesa etepubliedanslamemeannee. De lautre c ote de lAtlantique, le premier marche doptions a ete cree `a Londres en 1978 (London TradedOptionExchangeaujourdhui devenuLIFFEqui faitmaintenantpartiedugroupeEuronext). EnFrance, leMONEP(MarchedOptionsNEgotiablesdeParis) aouvertcesportesen1987.1.2 FonctionnementdesmarchesdoptionsLe role des marches organises doptions est tout daborddassurer la liquidite des options, cest-`a-dire, lacotationpermanenteetlexistencedunprixuniquepouruneoptiondonnee. Deuxi`emement, lexistencedemarches organisessimplie lagestiondes contrats optionnels eneliminant lerisquede contrepartie, car lacontrepartieuniquedetouslescontratssurunmarcheorganiseestlachambredecompensationdelabourse.Lesdierentsparticipantsdesmarches doptionssont Lesbrokers(courtiers)quiexecutent lesordresdesinvestisseurs; Les marketmakers(teneurs de marche) qui risquent leur propre capital et assurent la liquidite du marche.Les specialistes achent enpermanenceles prixsur les options les plus liquides. Les contrepartistesrepondent auxdemandesdeprix. La chambre de compensationqui sert `a eliminer le risque de contrepartie. Elle peut demander (et demande)auxvendeursdoptionsleversement desappelsdemarge.1.3 Dierentstypesdesous-jacentsLesoptionssont ecritessur Actions(CBOE:1332actions,MONEP:67actions) Indices(CAC40,S&P500,indicessectoriels...) Tauxdechange(PHLX) Obligationsouswaps Futures sur marchandises (commodity): cacao, cafe, sucre, ble mais aussi des mati`eres premi`eres, lelectriciteetc.78 CHAPTER1. MARCHESDEPRODUITSDERIVESFigure1.1: Exempledecotation(lesoptionslesplusliquidessurlindiceS&P500). Ask=leprixauquelvouspouvezacheterloptionenquestion. Bid=leprixauquelvouspouvezlevendre.Lesmarcheslesplusliquidessontceuxdoptionssurindices. Cesontaussidesmarcheso` uonaleplusbesoindune calibration precise (car les fourchettes bidask sont etroites) et o` u on a le maximum de donnees disponibles(parexemple, surCBOEontrouveplusde500optionsde8maturitesdierentesallantdequelquesjours`adeuxanssurlindiceS&P500).1.4 LesoptionseuropeennesLesoptionseuropeennesetamericainessontdesoptionslesplusliquides, leursprixsontconnusetpeuventdoncetreutilises commeentrees des algorithmes de calibration. Les options sur indices sont typiquementeuropeennes.Pour lesoptions europeennes lexercice est possible uniquement `a lamaturite T;lepayo nedepend queduprixdesous-jacent`aladatenale.Call: HT= (ST K)+Put: HT= (K ST)+Terminologie K:strike(prixdexercice). Uneoptionest` alamonnaie`aladatetsi`acettedateK= St. Uneoptionestdanslamonnaie: sielledevaitexpireraujourdhuisonpay-o seraitpositif. Lavaleur intrins`eque dune optionest la quantite dargent quelle rapporterait si elle devait expireraujourdhui(lavaleurdupay-oaujourdhui). Lavaleurtempsduneoptionest egale`asonprixmoinssavaleurintrins`eque.Les options les plus liquides sont les options `a la monnaie (ATM) et, dans une moindre mesure, les options horsdelamonnaie(OTM).Unexempledefeuilledeprixdoptionseuropeennes estdonnesurg.1.1.1.4. OPTIONSEUROPEENNES 9Proprietesdesprixdecalls/puts Touteslesproprietesci-dessousdecoulentdelabsencedopportunitesdarbitragesurlesmarches doptions(sionsupposequeleprixdachatconcideavecleprixdevente). Parite call-putCall(T, K) Put(T, K) = St KB(t, T),o` uB(t, T)estleprix`alinstantt dunzero-coupondematuriteT (uneobligationqui paieuneunitedargent`alamaturiteetneversepasdecoupon). Silacourbedestauxestplateauniveaur,B(t, T) =er(Tt). Enconsequencedelaparitecall-put, onobtientlesbornessuivantespourlesprixdecalls/puts:(StK)+< (StKB(t, T))+ Call(T, K) St. (1.1)(KB(t, T) St)+ Put(T, K) KB(t, T). (1.2)LavaleurtempsduneoptionCallsurunactifneversant pasdedividendeestdonctoujourspositive. Leprixduneoptioncallestdecroissant parrapportaustrike(etleprixduneputestcroissant)K1 K2 Call(T, K1) Call(T, K2).Cetteproprietedecouledelexistencedelastrategiecall spreadqui consiste`aacheterunecalldestrikeK1et `a vendre une call de strike K2. Comme cette strategie a un pay-o positif,son prix doit etre positif. Lesprixdescalls/putssontconvexesparrapportaustrike. Cetteproprietecorrespond`alastrategiebutteryquiconsiste`aacheterunecalldestrikeK1,vendredeuxcallsdestrike(K1 + K2)/2etacheterunecalldestrikeK2. Onveriequecettestrategieaegalementunpay-opositifdanstouslesetatsdelanaturecequiimpliquelaconvexite. Leprixduneoptionestcroissantaveclamaturite: T1 T2impliqueCall(T1, K) Call(T2, K). Cettepropriete correspond `alastrategie calendar spread: acheter unecalldematurite T2etvendre unecalldememestrikedematuriteT1.Casdunsous-jacentversantdesdividendes Pour des options sur un sous-jacent versant des dividendeslarelationdeparitecall-putestmodiee. AlamaturitenousavonstoujoursCallT(T, K) PutT(T, K) = ST K,cependantpourpercevoirceux`alamaturite, il nestpasnecessairedinvestirSt B(t, T)K`aladatet. Silactionverse desdividendesdiscr`etes connuesD1, . . . , DNauxdatest1, . . . , tn,alors enachetant uneactionetenempruntantNi=1DiB(t, ti) +KB(t, T)`alabanque`aladatet,onauraleuxST K`aladateT. Laparitecall-putdevientdoncCallt(T, K) Putt(T, K) = StNi=1DiB(t, ti) KB(t, T).Pour les indices contenant plusieurs actions, on utilise un general lapproximation de taux de dividende continu,i.e.,on suppose que lindice Stverse en continu une dividende egale `a qStdt. Dans ce cas il est facile de voir quepoursassurer leux ST`a la maturite, on doit investir lemontant StD(t, T) `a la date t,o` u D(t, T) = eq(Tt).Laparitecall-putdevientdoncCallt(T, K) Putt(T, K) = StD(t, T) KB(t, T).Laderivation desbornesanalogues`a(1.1)(1.2)estlaissee enexercice.10 CHAPTER1. MARCHESDEPRODUITSDERIVES1.5 LesoptionsamericainesPourlesoptionsamericaines, lexerciceestpossible`atoutedatetavantlamaturiteTou`alamaturite. Leprixduneoptionamericaineestdoncengeneral superieurauprixdeloptioneuropeennecorrespondante. Ladierenceentrelesdeuxprixsappellelaprimedexerciceanticipee. Danslecasparticulierdeloptioncallamericaine sur un actif ne versant pas de dividende, comme la valeur temps est toujours positive, il nest jamaisoptimaldexercerloptionavant lamaturite,etdonc,leprixdeloptionamericaine est egal auprixdeloptioneuropeenne.1.6 Lesoptionsexotiques Options`abarri`ere: lepaiementalieu(napaslieu)silesous-jacentadepasseunniveaucontractuel(labarri`ere) avantcettedate. Exemple(upandoutcall)HT= (ST K)+1MT 0etbt> 0,lemod`ele(4.3)-(4.4)peut etrereecritdStSt= (r +tt)dt +tdWtdt= (t +tbt)dt +btdWt,Lecoecienttqui permetdepasserdelaprobabiliterisque-neutre`alaprobabilitehistoriqueesttradition-nellementappelelaprimederisque. Par analogie,onappellesouventtlaprimederisquedevolatilite.Exercice 3. Sous lhypoth`ese que les primes de risque tet tsont bornees, montrer comment onpeutconstruirelaprobabiliterisque-neutre Q`alaidedutheor`eme deGirsanov.Remarque1. Unedierencefondamentaleentretettestquetestfacile`aestimercommetrtalorsquepourestimertondevraitestimert`apartirdedonneeshistoriques,cequinestengeneral paspossible.Unesolutionconsiste`aspecieruneformeparametriquepourtqui seracalibreedirectementsouslaproba-biliterisque-neutre, auxprixdoptionscotessurlemarche. Onreviendrasurcepointdansladiscussiondesparametrisations devolatilitestochastique.4.1. PRICINGETCOUVERTURE 454.2 ComportementasymptotiquedevolatiliteimpliciteCas devolatilitedevolatilitepetite Danscettesection, supposonspoursimplierquelavolatiliteestindependantedumouvementbrownienWquidirigelesous-jacent. OnnoteraVT=T02tdtlavarianceintegree. Grace`alindependance,eninserant lesperance conditionnelleparrapport `alatrajectoiredelavolatilite,ontrouvequeleprixduneoptioneuropeenneverieCall(T, K) = E[CallBS(T, K,VT/T)] = E[CallBS(T, K, VT)],o` uonaposeCallBS(T, K, V ):=CallBS(T, K,V/T), V >0. SupposonsmaintenantqueVTestprochedeE[VT], cest-`a-dire,VarVT E[VT]2. ParunedecompositionenseriedeTaylordelafonctionCallBS, autourdupointE[VT],ontrouveCall(T, K) CallBS(T, K, E[VT]) +12VarVT2V2CallBS(T, K, E[VT]), (4.10)o` u2V2CallBS(T, K, V ) =Sn(d1)4V3/2m2VV4 1, m = logSKerT .Parailleurs,lorsque ,CallBS(T, K, +) CallBS(T, K, ) +CallBS(T, K, ).Encomparant cesdeuxdeveloppements,ontrouvequelavolatiliteimpliciteI(T, K)verieI(T, K) E[VT/T] +12VarVT2V2CallBS(T, K, E[VT])CallBS(T, K,E[VT/T]),=E[VT/T] +18T1/2E[VT]3/2VarVTm2E[VT] E[VT]41. (4.11)Casduneoptionprochedelecheance Pour analyser lecomportement delavolatilite implicitepourlesoptionsdecourtematuriteenutilisantlesresultatsduparagrapheprecedent, il fautconnaitrelesproprietesdeE[VT] etVarVTlorsqueT 0. Supposonsqueleprocessusdelavarianceinstantaneevt=2tsuitlEDShomog`enedvt= (vt)dt +(vt)dWt,o` ulemouvementbrownien Westtoujourssupposeindependant deW. Lesfonctionsetsontreguli`eres etverientleshypoth`esesnecessaires pourlexistencedunesolutionforte. Soitu(t, v) = ETtvsds[vt= v.LeprocessusMt= ET0vsdsTt=t0vsds +u(t, vt)estalorsunemartingale,cequiimplique(formuledIt o)queuverielequationut+(v)uv+122(v)2uv2+v = 0, u(T, v) 0. (4.12)46 CHAPTER4. MODELESAVOLATILITESTOCHASTIQUEOncherche`aobtenirundeveloppementdeuenpuissancesdeT t. Puisquelaconditionterminaleetlescoecientssontreguli`eres (etlaconditionterminaleestnulle),u(t, v) = (T t)u1(v) +(T t)22u2(v) +O((T t)3).EnsubstituantcetteexpressiondanslEDP(4.12), paridenticationdestermesaveclamemepuissancede(T t),ontrouveu1(v) = vetu2(v) = (v),do` unalementE[VT] = u(0, v0) = v0T+(v0)T22+O(T3).LecalculdeVarVTsuitlamemelogique. Soit u(t, v) = ETtvsds2vt= v.LeprocessusMt= ET0vsds2Tt= u(t, vt) +t0vsds2+ 2u(t, vt)t0vsdsestalorsunemartingale. EnappliquantlaformuledIt o,ontrouvedMt= ut+(v) uv+122(v)2 uv2dt + uv(v)dWt+ 2vt +ut+(v)uv+122(v)2uv2dt +uv(v)dWt t0vsds + 2vu(t, v)dt= ut+(v) uv+122(v)2 uv2+ 2vu(t, v)dt + uv(v) + 2uv(v)t0vsdsdWt,cequiimpliqueque udoitverier lEDP ut+(v) uv+122(v)2 uv2+ 2vu(t, v) = 0, u(T, v) 0. (4.13)Commeavant,posons u(t, v) = (T t) u1(v) +(T t)22 u2(v) +(T t)33 u3(v) +O(T4).Lasubstitutiondecetteformedans(4.13) donne u1(v) = 0, u2(v) = 2v2et u3(v) = 3v(v) + 2(v),do` uE[V2T] = v20T2+ (v0(v0) +2(v0)/3)T3+O(T4) et VarVT=132(v0)T3+O(T4).Lhypoth`eseVarVT E[VT]2,quiassurelavaliditedelapproximation(4.10)estdoncrespecteelorsqueTestpetit. Sideplus,loptionestproche delamonnaie([m[ 1),onpeutsubstituerlesexpressions pourE[VT]etVarVTdans(4.11),cequidonneI(T, K) v0 +2(v0)24v5/20m2+(v0)4v02(v0)24v3/202(v0)(v0)48v7/20m2T.Enparticulier,pourm = 0,lavolatiliteimplicite`alamonnaieforwardverieIATMF(T) v0 +(v0)4v02(v0)24v3/20T,4.1. PRICINGETCOUVERTURE 47cequi impliquequelavolatiliteinstantaneeestlalimitequandT 0delavolatiliteimplicite`alamonnaieforward. PourT= 0etmnonnul(maispetit),I(T= 0, K) v0 +2(v0)24v5/20m2,lavolatiliteimpliciteenT=0alocalementuneformeparaboliqueenm, centreeenm=0. Ceci permetdecalculerlaconvexitedusmileauxcourtesmaturites:limT02Im2[m=0=2(v0)12v5/20.Desresultats decetypeont desapplications encalibration, puisquilsrelient directement des quantites observ-ablesauxparam`etres dumod`ele.La forme localement symetrique de la volatilite implicite est une consequence de lhypoth`ese de lindependancedesmouvementsbrowniensdusous-jacentetvolatilite(=0). Danslecas =0, desresultatssimilairesontete obtenus par Medvedev et Scaillet [50]. Ces auteurs modelisent directement la volatilite tet non la varianceinstantanee:dt= a(t)dt +b(t)dWt, d'W, W`t= dt.Ceci correspond `a prendre (v) = b2(v)+2a(v)v et (v) = 2b(v)v dans notre formulation. Lhypoth`esequem doit etre proche de zero est interpretee en introduisant le moneyness renormalise z=m0Tet supposantquezresteni losqueT 0. AveclesmethodesdedeveloppementenseriepourlesEDP, similaires`acellesquonvientdevoirdansuncadreplussimple,MedvedevetScailletmontrentalorsqueI(T, z) = 0 +I1(0, z)T+I2(0, z)T+O(TT)avecI1(, z) =b()z2etI2(, z) =16b2()(1 2)+2b()b()z2+a()2+b()4+2b2()24+b2()122b()b()6.Cetteformule permet decalculer leskew et la convexite `a la monnaie pourcourtes maturites dans le cas = 0:limT0Im[m=0=b(0)20=(v0)4v0,limT02Im2[m=0=1320b2(0)(1 2)0+2b(0)b(0)=2(v0)(1 22)12v5/20+2(v0)(v0)6v3/20.La formule de Roger Lee pour les strikes extremes Dans cette section, qui nest pas limitee auxmod`eles`avolatilitestochastique,onmontrequelaconditiondabsencedarbitrageimposedescontraintessurlacroissance delavolatilite implicitepourlestr`es grands etlestr`es petitsstrikes. Cesresultats ont ete etablisparRogerLee[45]etgeneralises dans[31].Soitk = logKerTSlelogstrike. Onxelecheance TetdenoteparI(k)lavolatiliteimpliciteduneoptiondecheance Tetlog-strike k,et parcBS(k, )leprixBlack-Scholes decetteoption,silavolatilite est egale `a.Danstoutmod`elesansarbitrage,onaalors,limsupk+I2(k)Tk 2. (4.14)Pourdemontrercetteinegalite ilsutdevoirquilexistek< telquepourtoutk > k,cBS(k, I(k)) < cBSx,2xT.48 CHAPTER4. MODELESAVOLATILITESTOCHASTIQUEOr,limkcBS(k, I(k)) = 0parconvergence dominee,alorsquelimkcBSx,2xT=limkSN(0) exN(2x)=S2parler`egle delHopital.Leresultat plusgeneral deRoger Lee etablitlelienentrelavaleurdelimsupk+I2(k)TketlenombredesmomentsnisduprocessusdeprixST. Dansunpremiertempsonvaetudierlecomportementduprixduncall. SoitE[Sp+1T] < pourp > 0. IlestfaciledevoirquepourtoutS> 0,S K Sp+1p + 1pp + 1p1Kpetdonc (S K)+Sp+1p + 1pp + 1p1KpEnprenantlesperance actualiseedechaquecote,C(K) erT E[Sp+1]p + 1pp + 1p1KpetdoncC(K) = O(Kp), K (4.15)Avec(4.14)et(4.15),onanalementTheor`eme2(RogerLee).(i) Soit p = supp : E[S1+pT] < et R= limsupk+I2(k)Tk.AlorsR [0, 2]et p =12R+R812.(ii) Soit q= supq: E[SqT] < et L= limsupkI2(k)T[k[.AlorsL [0, 2]et q=12L+L812.Preuve. Nousdonneronsici seulementuneideedelapreuvedelapremi`erepartiedutheor`eme, qui permetdecomprendrecommentapparaitlelienentrelenombredemomentsnisetlecomportementdelavolatiliteimplicite. Lelecteurpeutconsulter[45]pourlapreuvecompl`ete. Soitf() :=1+4 1. Alors,cBS(k,k/T) = S(N(f()k) ekN(f+()k)). (4.16)Enremarquant quelimxN(x)[x[1n(x)= 1,onmontrefacilementquecBS(k,k/T) Cef()k(4.17)4.3. ESTIMATIONDEVOLATILITE 491.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.65log(K/S)IV^240 60 80 100 120 140 160 180 200 220 2400.300.350.400.450.500.550.600.650.700.750.80KIVFigure 4.4: Comportement asymptotique du smile dans le mod`ele de Heston pour les valeurs extremes du strike.Lesparam`etres sont: = 0.5,v0= = 0.04,= 0.5etk = 2,tempsjusqu` amaturite: T= 50jours.lorsquek ,o` uCestuneconstante. Soitp f()2impliqueR ,etpuisquelafonctionf()estdecroissante,que p f(R)/2.Le resultat de Roger Lee montre que le carre de la volatilite, en fonction du log-strike, est asymptotiquementlineaire. Cetypedecomportementestillustresurlegraphique4.4.4.3 EstimationdevolatiliteDans la section precedente nous avons vu quen theorie, dans un mod`ele `a volatilite stochastique avec 2 facteursderisque,touteoptionestreplique parunportefeuillecontenant desactionsetunactifrisqueadditionnel. Enrealite,pourcalculerlesratiosdecouverture(4.6)et(4.7)etleprixdeloption, il fautconnatrelavolatiliteinstantaneetqui nestpasdirectementobservable. OnpeutapprochertparlavolatilitemoyennesuruneperiodedelongueurT,quiestestimable`apartirdedonneeshistoriques,mais Lavariancedelestimateurdevolatilitemoyennedecrot avecT LebiaisdelapproximationdetparlavolatilitemoyennecroitavecTEngeneral, memeavecdesdonneeshautefrequence,onnepeutconnatretquavecuneprecisionde10%aumieux, cequi introduitunrisquesupplementaire(risquedemod`ele)danslaproceduredecouverture. Danscettesectiononseproposederegarderlesmethodesdestimationdevolatilitemoyenne`apartirdedonneeshistoriques.Estimateursdevariancerealisee Soit(St)unprocessusdeprixavecvolatilitestochastique:dStSt= tdt +tdWt.Alorsd log St=t2t2dt +tdWt(4.18)50 CHAPTER4. MODELESAVOLATILITESTOCHASTIQUEetlavariationquadratiquedelog Stsatisfait'log S`t=t02sds.Dunautrecote,lavariationquadratiquedunesemimartingaleestdeniepar'X`t= limNNi=1(XiNtXi1Nt)2,o` ulaconvergence alieupresques urement. Aveclanotationr(t, h) log St+hStpourlelog-rendementduprocessusdeprix,onadonct02sds = limNNi=1ri 1Nt,tN2.Cecisugg`ere quonpeutestimerlavarianceintegreet0 2sdsparlavariancerealiseeV RNtNi=1ri 1Nt,tN2.Pouranalyserlecomportementdecetestimateur,onferadeuxhypoth`esessimplicatrices: Lavolatilite(t)estindependantedumouvementbrownienquidirigelesous-jacent(Wt). Laderivetestdeterministe.Ceshypoth`esesnesontpasnecessaires, pourvoircommentonpeutsenaranchir,cf.[2].On ecrira Epourlesperance conditionnelleparrapport `alatrajectoire devolatilite. Souscetteesperanceconditionnelle,Ri ri 1Nt,tNestunevariablealeatoire Gaussiennedevarianceetesperancevi= iNti1Nt2sds et mi= iN ti1Nt(s2s/2)dsrespectivement,etlesvariablesRietRjsontindependantespourtouti = j.Dansunpremiertemps,onanalyselebiaisdelestimateurdevariancerealisee. UncalculdirectmontreE[V RNt] =Ni=1E[R2i] =Ni=1(vi +m2i)t02sds +tNt0(s2s/2)2ds,lebiaisdelestimateurestdoncdelordredeO(t/N). PourlavarianceconditionnelledelestimateuronaVar[V RNt] =Ni=1E[(R2i vim2i)2] =Ni=1(2v2i+ 4vim2i)2tNt04sds +4t2N2t02s(s2s/2)2ds.4.3. ESTIMATIONDEVOLATILITE 510 0.2 0.4 0.6 0.8 10.0040.0060.0080.010.0120.0140.0160.0180.020.022InstantaneousRealized/100Mean/1001/1/92 31/12/9260006500700075001/1/92 31/12/9200.10.20.30.4Moyenne 1 jourMoyenne 2 joursFigure4.5: Estimateurdevariancerealisee. Graphiquedegauche: donneessimulees. Graphiquededroite:donneesreelles. Haut: tauxdechangeDM/USD. Bas: volatilitemoyennejournali`ere,estimeesurlesdonneesdefrequence5min.Letermedominantdanslerreurdelestimateurestdoncd u`alavarianceetlecarttypedelerreurest, aupremierordre, egal`a2tNt04sds.Ceci sexplique par le fait que lestimateur de variance realisee est un estimateur compl`etement non-parametrique,ilnenecessite aucunehypoth`ese sur lemod`ele et nintroduit donc presque pas debiais mais auprix dunevari-anceassez elevee.Exemple4. Soitt=1jour, N=100(unedonneetoutesles5minutes). Alorspourunniveaumoyendevolatilitede10%,ona2tNt04sds 5 106,ce qui correspond `a une erreur relative de 15%. Dun autre cote, lecart type typique de la volatilite instantaneesur1jourestde5103(param`etresdelarticledeHeston[40]). Laprecisionrelativedelestimationdelavolatiliteinstantaneeparlestimateurdevariancerealisee estdonc,danscecasde16%.Lestimationdevolatiliteparvariancerealisee estillustreeparg.4.5. Agauche,surlesdonneessimulees,oncomparelestimateurdevariancerealiseesur1jouraveclavolatiliteinstantaneeetlavolatilitemoyennesur 1 jour, cest-`a-dire1tt0 2sds. On voit quici,lecart entre la volatilite instantanee et la volatilite moyenneestpetit, maislestimateurdevariancerealiseeintroduitbeaucoupdebruit. Surlegraphiquededroite, onappliquelememeestimateuravecdesfenetresdunjouretdedeuxjoursauxdonneesreelles. Ici egalement,limportantedierence entre les estimateurspour lesdeux fenetres montre quelestimateur devariance realiseeintroduitbeaucoupdebruitdansleresultat nal.Estimationdevolatiliteavecunmod`eleARCHauxiliaire Cettemethodedestimationdevolatiliteintroduitunlissagesupplementaire, cequi permetdediminuerlavariancedelestimateur, auprixdunbiaisplusgrand. Onseplacedanslecadredunmod`elediscret `avolatilitestochastique:Ri= i +ii. (4.19)Ici, i est unesuitedevariables aleatoires adaptee `auneltration discr`ete Tt et telleque pourtout i,i+1estindependantde TietdeloiN(0, 1). Lessuites iet isontsupposees Tt-previsibles(cecirevient`a52 CHAPTER4. MODELESAVOLATILITESTOCHASTIQUEdirequeietisont Ti1-mesurables). Danscecas, lerendementcontinur((i 1)h, h)alamemeloi pourtoutiquelerendementdiscretRi= i +ii.Remarque2. Sous lhypoth`esedederivedeterministeet volatiliteindependantedusous-jacent, lemod`elecontinu (4.18) observe avec frequence h peut etre reecrit sous cette forme, en prenant une suite i de variablesindependantesdeloiN(0, 1),etenposantTt:= 1, . . . , t s: s (t + 1)h.i=ih(i1)h(s2s/2)ds, i=ih(i1)h2sds.Danslemod`ele(4.19),2i= E[(Rii)2[Ti1].Ceciconduit`alideedapprocher2iparunemoyennemobiledescarrees desobservationsprecedentes2i +1(Ri1i1)2+ +n(Rin in)2. (4.20)Cettemethodepeutdoncetreconsiderecommeunegeneralisationdelestimateurdevariancerealisee. Dunautrecote,ilexisteuneclassedemod`eles econometriques devolatilite,o` uelleaexactementlaforme(4.20). Ilsagit de mod`eles de type ARCH (autoregressive conditional heteroscedasticity) [30]. Dans un mod`ele ARCH(n),onsupposequeleprocessusderendementsdiscretsestdecrit par(4.19),avecunevolatilitedonneepar2i= +1(Ri1i1)2+ +n(Rin in)2. (4.21)Lesmoyennesipeuvent etreconstantesouintegrer uneeventuellesaisonnalite.Danscemod`eletoutlalea provientdoncdelasuite i,etilnyapasdefacteursderisquecaches cequifacilitelestimation. Pourestimerunmod`eleARCH(n),onpeutdansunpremiertempsutiliserlamethodedemaximumdevraisemblancepourdeduirelesparam`etres, 1,. . . ,npuisltrerlavolatiliteaveclequation(4.21). Par exemple,danslemod`eleARCH(1)aveci ladensitejointede(R1, . . . , RT)satisfaitp(R1, . . . , RT[) = p(RT[RT1, ) . . . p(R2[R1, )p(R1),o` u = (, , 1)estlevecteurdesparam`etres inconnusetp(Ri[Ri1, ) =1i2exp(Ri)222i=12( +1(Ri1 )2)exp(Ri)22( +1(Ri1)2.Ladensitep(R1)peutetreGaussienneavecunevaleurdevolatilitexee`apriori. Lesparam`etres(, , 1)peuventdonc etreestimesavec= arg maxlog p(R1, . . . , RT[) = arg maxTi=1log iTi=1(Ri)222i.Pourconstruireunestimateurabledevolatiliteavecunmod`eleARCHauxiliaire,onestobligedechoisirnsusamment grandet doncdestimerbeaucoupdeparam`etres. Pour unedescriptionplusparcimonieuse, lesmod`elesGARCH(generalizedARCH)onteteproposes[7], qui permettent`alavolatiliteidedependrenonseulement des rendements passes mais aussi des valeurs passees de volatilite elle-meme. Le mod`ele GARCH(m,n)adonclaforme2t= +ni=1i(Rtiti)2+mj=1j2tj.Lavantagedecetteapprocheestquepourobtenirdesbonsresultatsonararementbesoindallerau-del` adeGARCH(1,1).4.3. ESTIMATIONDEVOLATILITE 530 0.2 0.4 0.6 0.8 10.0040.0060.0080.010.0120.0140.0160.0180.02InstantaneousGARCH(1,1)MeanFigure4.6: Estimationdevolatilite avecunmod`eleGARCH(1,1)auxiliaire.Pourestimerlavolatilitedansunmod`ele`avolatilitestochastique, unemethodepossibleconsistedonc`asubstituerlavolatilitestochastiqueparunevolatilitedetypeARCHouGARCH. Enlefaisant, on, introduitunbiais d u au fait quon nutilisepas le bon mod`ele, mais en vue de lequation (4.20) on peut esperer avoir uneapproximation`alavraievolatilite. Graphique4.6montrelaperformancedelestimateurfondesurunmod`eleGARCH(1,1)auxiliaire surlesmemes donnees quiont ete utiliseespourtesterlestimateurdevariancerealisee(g. 4.5). On voit que maintenant, lestimateur contient beaucoup moins de bruit, mais que la volatilite estimeeestparfoisdierentedelavraievolatiliteenraisondunlissageindesirable parlemod`eleGARCH.Estimationdelavolatiliteinstantaneeavecvolatiliteimplicite Desresultats delasection precedenteil ressortquelavolatiliteimplicite`alamonnaieforward(etlavolatiliteimplicite`alamonnaie)convergeverslavolatiliteinstantanee v0pourlespetitesmaturites:IATM(T) =v0 +O(T) (casgeneral)IATM(T) =v0 +O(T) ( = 0).Danslesmarchesliquides, onpeutdoncestimerlavolatiliteimplicitesimplementeninterpolantlavolatiliteimplicite`a lamonnaie. Les formules delasection precedente permettent danalyser lerreur dunetelleapprox-imation.4.4 SwapsdevarianceLes swaps de variancesont des actifs contingents qui permettent de prendre des positions sur lavolatilite(variance)desous-jacent. Unswapdevarianceaunpay-o `alecheance egal`aHT=NAnni=1logSiSi12N2K,o` u A = 250estlenombremoyendejoursouvresdanslannee; Nestlenominalducontral; nrepresentelenombredejoursouvres jusqualecheance T; Kestlavolatilitestrike.54 CHAPTER4. MODELESAVOLATILITESTOCHASTIQUEEndautresmots,unswap devariance permet dechanger unmontant xeN2Kcontre unuxaleatoire egal `alavariancerealisee dusous-jacent.Dans un mod`ele `a trajectoires continues, un swap de variance peut etre replique par un portefeuille statiquecontenantdesoptionseuropeennesetunportefeuilledynamiquecontenantlesous-jacent[11]. Poursimplierletraitement,onvaapprocherlasommedanslepay-odeproduitparuneintegrale:HT= N1TT02sds 2K.Supposonsquelesous-jacent Sestdecrit pardStSt= tdt +tdWt,o` utettsontdeuxprocessusstochastiques. LaformuledIt odonnealors12T02sds =T0dStStlog STS0. (4.22)Pourrepliquerlavarianceintegree, ilsutalorsderepliquerlesdeuxtermesdanslapartiedroite.SoitVtlavaleurduportefeuillequirepliqueT0dStStetsoitQuneprobabiliterisque-neutre. OnaalorsVt= er(Tt)ET0dStSt[Tt= er(Tt)t0dSsSs+r(T t)do` uondeduitdVt= r(Vt tSt)dt +tdStavec t=er(Tt)St.Le premier terme de la partie droite de (4.22) peut donc etre replique par un portefeuille autonan cant consistant`ainvestirer(Tt)enactionsetayant lavaleurinitialeV0= rTerT.Ledeuxi`emetermedanslapartiedroitede(4.22) (lelog-contrat)peutetrerepliqueparunportefeuillestatiquedecallsetputs. SoitfunefonctionC2. AlorsilestfacilededemontrerquepourtousF, xpositifs,f(x) = f(F) +f(F)(x F) +F0f(K)(K x)+dK +Ff(K)(x K)+dK.PourcalculerleprixduneoptioneuropeennedecheanceTetdepay-of(ST),onposeF= S0erTetcalculelesperancedeerTf(ST)souslaprobabiliterisque-neutre:Prix = erTf(F) +F0f(K)P(T, K)dK +Ff(K)C(T, K)dK,o` uP(T, K)estleprixdunputetC(T, K)leprixduncalldecheanceTetstrikeK. Enparticulier,pourlelog-contrat f(x) = logxS0,ontrouvePrix = erTrT F0P(T, K)K2dK FC(T, K)K2dK.Enrajoutantceciauprixduportefeuilledereplicationpourlepremiertermede(4.22), ontrouvequeleprixduportefeuilledereplicationpour12T02sdsest egal`aF0P(T, K)K2dK +FC(T, K)K2dK.Finalement,leKquiannulelavaleurduswapdevariancesatisfaiterT2K=2TF0P(T, K)K2dK +2TFC(T, K)K2dK.4.5. MODELEDEHESTON 55LindiceVIX VIXestlindicedevolatilitedoptionssurS&P500, publieparCBOE. Entre1993et2003,cetindiceetaitcalculecommelamoyennedesvolatilitesimplicitesde8optionslesplusliquides,maisen2003lamethodologieaetechange, etlenouvel indiceestcalculeenprenantencomptetouteslesoptionsparlaformule(4.4). LerapportpubliesurlesitedeCBOE(faitesunrecherchegooglesurvixwhitepaper) donnelanouvelleformule: oncalculeV IX2T=2erTTiKiK2iQi(Ki) 1TFK012,pourlesdeux echeances lespluscourtesT1etT2,o` u Qiestleprixdeloption(callouput)quiesthorsdelamonnaiepourlestrikeKi; Festleforwardcalculeparlaparitecall-put; K0estleplusgrandstrikequiestpluspetitqueleforward; Kiestlintervalleentrelesstrikes.Letroisi`emetermeestuntermedecorrection:2TF0P(T, K)K2dK +2TFC(T, K)K2=2TK00P(T, K)K2dK +2TK0C(T, K)K2dK +2TFK0P(K) C(K)K2dK2TK00P(T, K)K2dK +2TK0C(T, K)K2dK erTT(F K0)2K20.Pour calculer lindice VIX, on fait une interpolation lineaire entre V IXT1et V IXT2pour arriver `a une maturitede30jours.4.5 ParametrisationdeHestonDanssaversionrisque-neutre,lemod`eledeHeston[40]alaforme:dStSt= rdt +tdWtd2t= k( 2t)dt +tdWt, d'W, W`t= dto` uencore dvt= k( vt)dt +vtdWtavec vt= 2tLeprocessusdelavariancevtestconnusouslenomdeprocessusracinecarree. Il aeteintroduitparCox,Ingersoll et Ross [19] pour modeliser le taux dinteret court. Ce processus reste positif et retourne `a la moyenne avec vitesse caracteristique k. Le param`etre joue le role de volatilite de volatilite. Le comportement dynamiqueduprocessusdependdesgrandeursrelativesdesparam`etres: si2k2>1, leprocessusnetouchejamaiszero;danslecascontraire ilpeuttoucherzero etreechir. Danscettederni`ere situation,onrencontre desdicultesdesimulationdeceprocessus: puisquelafonctionf(x) =xnestpasLipschitzenzero, leschemadEulervt+t= v(t) +k( vt)t +vtWtconvergetr`eslentement. Deplus, memesi leprocessuscontinurestetoujourspositif, leprocessusdiscretisepeutdevenirnegatif. Cettediculteestgeneralement eviteeenrempla cant vtpar[vt[ouv+t, maiscecineresout pas leprobl`eme deconvergence. Pour voir comment ameliorer la convergence avec unschema dordreeleve,voir[33,35]. Ilexiste egalement desalgorithmesdesimulationexacte(sansdiscretisation) voir[9]maisilsnesontpastoujourslesplusrapides.56 CHAPTER4. MODELESAVOLATILITESTOCHASTIQUEPourmieuxcomprendrelesproprietes dumod`ele,onpeutreecrire leprocessusracinecarree commevt= +ekt(v0) +t0ek(ts)vsdWs.Dans cette forme on voit immediatement que le processus oublie sa valeur initiale et retourne vers la moyenneexponentiellementviteavecvitessek. LamoyenneduprocessusestE[vt] = ekt(v0) +etlavarianceVar[vt] =22k+2(v0 )kekt+2( 2v0)2ke2kt.Sitestpetit,Var[vt] = v02t,cequiexpliqueletermevolatilitedevolatilite.Remarquonsaupassage que1T ET0vtdt= + (v0)1 ekTkT,cequipermetdecalculerfacilementleprixdunswapdevariance.Lesparam`etresdans larticleoriginal deHeston[40] sontk=2, =0.01, =0.1et v0=0.01. Pourcesvaleurs, lecarttypedevariancesurunjour(T=4103)estde 6104. Si onremplacelavarianceinstantaneeparlavarianceintegree sur1jour,onfaitdoncuneerreurrelativede6%.Exercice 4. Calculer lavariancede lavariancemoyenne VarITdans le mod`ele de Heston. Montrer queVarIT O(T)quandT 0.Valorisationdoptions europeennes Section5.8decrit une methode rapide pour calculer les prixdesoptionseuropeennesdansunmod`eleo` uonconnatexplicitementlafonctioncaracteristiquedulog-prix. Lemod`eledeHestonappartient`alaclassedemod`elesditsanes[25, 26], etpourtouslesmod`elesdanscetteclasse, lafonctioncaracteristiqueestconnue. Ici onexpliquelamethodedecalcul pourlemod`eledeHestonseulement.Le log-prix Xtest deni par St= S0ert+Xto` u le taux dinteret a ete introduit pour simplier les calculs parlasuite. Leprocessus(Xt)satisfaitlEDSdXt= 122tdt +tdWtParlelemmedIt o,lafonctioncaracteristique conditionnelledeXT,f(t, v, x) = E[eiuXT[Xt= x, vt= v],satisfait:v22fx2+v2fxv+2v22fv2 v2fx+k( v)fv+ft= 0,avecconditionnalef(T, v, x) = eiux.Cherchonslasolutionsouslaforme:f(t, v, x) = (t, v)eiux. (4.23)Alorslequationdevient:2v22v2+ (iuv +k( v))v v2(u2+iu)+t= 0,4.5. MODELEDEHESTON 57avec condition nale(T, v) = 1. Grace `ala structure anedes coecients,on devineencore unefois laformedelasolution:(t, v) = expC(T t) +vD(T t). (4.24)Lequationsedecomposealorsen2 equationsdierentiellesordinaires:D(t) =22D2+ (iu k)D u2+iu2, D(0) = 0 (4.25)C(t) = kD, C(0) = 0 (4.26)CesEDOpourCetDontdessolutionsexplicites:D(t) = u2+iu cotht2+k iu, (4.27)C(t) =kt(k iu )22k2ln12(1 +et) +k iu2(1 et), (4.28)o` u=2(u2+iu) + (k iu)2. Finalement,enrassemblant equations(4.23)(4.24),ontrouvelafonctioncaracteristique non-conditionnellede(Xt):E[eiuXT] = eC(T)+v0D(T).Remarque3. Lecriture(4.23)(4.24)desfacteursCetDdelafonctioncaracteristique deHestonestopti-misee pour les calculs numeriques: lexpression sous le signe de logarithme nexplose pas pour u grand, et restedansledomainedecontinuitedelafonctionlog(lafonctiondelogarithmecomplexedanslaplupartdesbib-lioth`equesnumeriquesaunediscontinuitesurledemi-axe(, 0]). Voir[46]pourunediscussionapprofondiedeceprobl`emeExplosionsdesmomentsdanslemod`eledeHeston Lanalysedetailleedesequations(4.25)et(4.26)[42]montrequeE[euXT](etdoncE[SuT])estnisietseulementsiT< T(u),o` uT(u) =+, (u) 02arctan(u)u k+1uk $0.25 utilisees et la calibration a ete eectuee par moindres carrees avecpointsdedepart dierents pour eviter de tomber dansun minimumlocal. Lesresultats sont representes sur lestrois graphiques du g. 4.9. On voit que le mod`ele reproduit correctement la pente de la volatilite impliciteauxgrandesmaturites(memepourplusieursmaturitesenmemetemps),maisnarrivepas`aexpliquerlaconvexiteauxtr`escourtesmaturites. Ceci estduaufaitquesuruneechelledetempscourtelavolatilitenepeutpaschangerdemani`eresignicative,etlemod`elesecomportecommelemod`eleBlack-Scholes.60 CHAPTER4. MODELESAVOLATILITESTOCHASTIQUE600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 16000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.50MarketCalibrated1100 1150 1200 1250 1300 1350 1400 1450 1500 15500.00.10.20.30.40.50.60.7MarketCalibrated600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 16000.00.10.20.30.40.50.60.7Market 69 daysModel 69 daysMarket 188 daysModel 188 daysFigure 4.9: Calibration du mod`ele de Heston aux donnees de marche. En haut `a gauche: Maturite 188 jours: lemod`elereproduitcorrectementleskewdumarcheauxlonguesmaturites. Enhaut`adroite: Maturite8jours:lesmileauxcourtes maturites nest pascalibre correctement. En bas: Calibration simultanee `a2maturites: lastructurepartermeestmodeliseecorrectement.Chapitre5Lesmod`elesavecsautsDanscechapitre, onconsid`erelesprocessusstochastiquesavecsauts, cest-`a-dire, lesprocessusdontlestra-jectoirespeuventavoirdesdiscontinuites. Cependant,onleurimposeraunecertainestructure: pourdenirlanotionmemedunsaut,ilfautqueleslimites`agaucheet`adroiteexistententoutpoint:Xt:= limstXs, Xt+:= limstXsdoiventexisterpourtoutt. LesautaupointtestalorsdeniparXt= Xt+Xt. Lavaleurentpeut etreegale`aXt(processusc` agl` adpourcontinu`agauche,limite`adroite)ou`aXt+(c`adl` agpourcontinu`adroite,limite`agauche). Laplupartdeprocessusdanscechapitreseront desprocessusc` adl` ag.5.1 IntroductionauxprocessusdeLevyLesprocessusdeLevyformentuneclassedeprocessusavecsautsqui est`alafoissusammentsimplepouretudieretenmemetempsassezrichepourlesapplicationsouentoutcaspouretreutilisecommebriquedebasepourconstruiredesmod`elesplusrealistes.Denition2. Un processus stochastique Xest un processus de Levy sil est c` adl` ag, satisfait X0= 0 et poss`edelesdeuxproprietes suivantes: Accroissementsindependants; Accroissementsstationnaires;Decesdeuxproprietes decoulentnotamment Continuiteenprobabilite: , lims0P[[Xs+tXt[ > ] = 0. Absencedesautsauxtempsxes: t,P[Xt= Xt] = 1.Les processus de Levy sont essentiellement des processus avec sauts, car on peut demontrer que tout processusdeLevycontinuestunmouvementBrownienavecdrift.Proposition3. Soit Xunprocessus deLevycontinu. Alors il existent Rdet unematricesymetriquedeniepositiveAtelsqueXt= t +Wt,avecWunmouvementBrowniendematricedevariance-covarianceA.Preuve. Ce resultat est une consequence directe dutheor`emede limite centrale de Feller-Levymais il estimportant pour lacomprehensiondes processus deLevy, ondonneradoncuneideedepreuve(dans lecasunidimensionnel).Il sut de demontrer que X1suit laloi gaussienne, le reste est une consequencede lindependance etstationnaritedesaccroissements.6162 CHAPTER5. LESMODELESAVECSAUTSEtape1 Soitkn:= XknXk1n. LacontinuitedeXimpliquelimnP[supk[kn[ > ] = 0,pourtout. Posonsan= P[[1n[ > ]. PuisqueP[supk[kn[ > ] = 1 (1 P[[1n[ > ])n,onalimn(1 an)n= 1,do` ulimnnlog(1 an) = 0. Ornlog(1 an) nan 0. NousavonsdonclimnnP[[X1n[ > ] = 0 (5.1)Etape2 Enutilisantlindependanceetlastationnarite desaccroissements, ondemontrelimnnE[cos X1n1] =12log EeiX1+ log EeiX1 := A; (5.2)limnnE[sin X1n] =12ilog EeiX1log EeiX1 := . (5.3)Etape3 Lesequations(5.1)and(5.2)permettentdedemontrerquepourtoutefonctionftellequef(x)=o([x[2)dansunvoisinage de0,limnnE[f(X1n)] = 0cequiimpliquepourtout > 0limnnE[X1n1]X1n]] = , (5.4)limnnE[X21n1]X1n]] = A, (5.5)limnnE[[X1n[31]X1n]] = 0. (5.6)(5.7)Etape4 Enrassemblant lesdierentesestimations,onanalementlog E[eiuX1] = nlog E[eiuX1n 1X1n] +o(1)= nlog1 +iuE[X1n1X1n] u22E[X21n1X1n] +o(1/n) +o(1)= iu Au22+o(1) niu Au22o` uo(1)signieunequantitequitendvers0lorsque n .LautreexemplefondamentaldunprocessusdeLevyestleprocessusdePoisson.LeprocessusdePoissonDenition3. Soit (i)i1unesuitedev.a. exponentielles deparam`etreet soitTn=ni=1i. AlorsleprocessusNt=n11tTn(5.8)estappelleleprocessusdePoissondeparam`etre Proposition4(Proprietes duprocessusdePoisson).1. Pourtoutt 0,lasommedans (5.8)estniep.s.5.1. PROCESSUSDELEVY 632. LestrajectoiresdeNsontconstantesparmorceauxavecdessautsdetaille1seulement.3. Lestrajectoiressontc` adl` ag.4. t > 0,Nt= Ntavecprobabilite1.5. t > 0,NtsuituneloidePoissondeparam`etret:P[Nt= n] = et(t)nn!6. LafonctioncaracteristiqueduprocessusdePoissonestE[eiuNt] = expt(eiu1).7. LeprocessusdePoissonestunprocessusdeLevy.LeprocessusdePoissoncomptelesevenementsdontlestempsdattentesontdesvariablesexponentiellesindependantes. Dansuncadreplusgeneral, onparledunprocessusdecomptage.Denition4. Soit(Tn)unesuitedetempsavecTn p.s. AlorsleprocessusNt=n11tTnestappelleunprocessusdecomptage.Autrementdit, unprocessusdecomptageestunprocessuscroissantconstantparmorceaux,avecsautsdetaille1etp.s. ni.UnpremierpasverslacaracterisationdunprocessusdeLevyestdecaracteriserlesprocessusdeLevydecomptage.Proposition5. Soit(Nt)unprocessusdeLevyetunprocessusdecomptage. Alors(Nt)estunprocessusdePoisson.Preuve. Lapreuvereposesurlacaracterisationdeladistributionexponentielleparlaproprietedabsencedememoire: sipourunevariablealeatoire TonaP[T> t +s[T> t] = P[T> s]pourtoutt, s > 0alorsTestunev.a. exponentielle.Soit T1le 1er temps de saut du processus N. Lindependance et la stationnarite des accroissements donnent:P[T1> t +s[T1> t] = P[Nt+s= 0[Nt= 0]= P[Nt+sNt= 0[Nt= 0] = P[Ns= 0] = P[T1 > s],lepremiertempsdesautT1estdoncunevariableexponentielle.Maintenant,ilsutdedemontrer queleprocessus(XT1+tXT1)t0est independantdu XT1etalamemeloi que(Xt)t0. Soitf(t):=E[eiuXt]. Alorslindependanceetlastationnaritedesaccroissementsentrainentque f(t +s) = f(t)f(s) et Mt:=eiuXtf(t)est une martingale. Soit Tn1:= nT1. Alors par application du theor`emedarret deDoob,E[eiu(XTn1+tXTn1)+ivTn1] = Ef(Tn1+t)f(Tn1 )eivTn1= E[eiuXt]E[eivTn1].Pourterminerlapreuve,ilrestealors`aappliquerletheor`eme deconvergence dominee.64 CHAPTER5. LESMODELESAVECSAUTSProcessusdePoissoncompose LeprocessusdePoissonenlui-memenestpasutilisepourmodeliserlescoursdactifs, carlaconditionquelatailledesautsesttoujoursegale`a1esttropcontraignante,maisil sertcommebriquedebasepourconstruiredesmod`elesplusriches.Denition5(ProcessusdePoissoncompose). LeprocessusdePoissoncomposeavecintensitedessautsetdistributiondelatailledessautsestunprocessusstochastique(Xt)t0deniparXt=Nti=1Yi,o` u Yii1estunesuitedev.a. independantesdeloietNestunprocessusdePoissonstandarddintensiteindependantde Yii1.Endautresmots,unprocessusdePoissoncomposeestunprocessusconstantparmorceauxquisauteauxinstantsdesautsdunprocessusdePoissonstandard,etdontlestaillesdesautssontdesvariablesi.i.d. duneloidonnee.Proposition6(Proprietes duprocessusdePoissoncompose). Soit(Xt)t0unprocessusdePoissoncomposedintensitedessautset deloi dessauts. AlorsXest unprocessusdeLevyconstant parmorceauxet safonctioncaracteristiqueestdonneeparE[eiuXt] = exptR(eiux1)(dx).Exemple 5(Mod`ele de Merton). Le mod`ele de Merton (1976) est lune des premi`eres applications de processusavec sauts en modelisation nanci`ere. Dans ce mod`ele, pour prendre en compte les discontinuites dans les coursdactions,onrajoutedessautsgaussiensaulogarithmeduprix:St= S0ert+Xt, Xt= t +Wt +Nti=1Yi, Yi N(, 2)independants.Lavantage de cette modelisation est davoir une representation en serie pour la densite de probabilite du log-prix(etpourlesprixdoptionseuropeennes):pt(x) = etk=0(t)kexp(xtk)22(2t+k2)k!2(2t +k2).MesuresaleatoiresdePoisson La notion de mesure aleatoire de Poisson est centrale pour toute la theorie;ellenouspermettradedonnerladescriptioncompl`etedestrajectoiresdunprocessusdeLevy.Denition6(Mesurealeatoire). Soit(, P, T)unespacedeprobabiliteet(E, c)unespacemesurable. AlorsM: c Restunemesurealeatoire si Pourchaque ,M(, )estunemesuresur c. PourchaqueA c,M(, A)estmesurable.Denition 7 (Mesure aleatoire de Poisson). Soit (, P, T) un espace de probabilite, (E, c) un espace mesurableetunemesuresur(E, c). AlorsM: c Restunemesurealeatoire dePoisson dintensitesi PourtoutA cavec(A) < ,M(A)suitlaloidePoissondintensiteE[M(A)] = (A). PourtousA1, . . . Andisjoints,M(A1), . . . , M(An)sontindependants.En particulier, la mesure aleatoire de Poisson est une mesure aleatoire positive aux valeurs enti`eres. Elle peutetreconstruitecommelamesuredecomptagedunnuagedepointscommelemontrelapropositionsuivante.5.1. PROCESSUSDELEVY 65Proposition 7. Soit une mesure -nie sur un sous-ensemble mesurable EdeRd. Alors il existe une mesuredePoissonsurEdintensite.Preuve. Supposonsdansunpremier tempsque (E) < . Soit Xii1unesuitedev.a. independantes tellesqueP[Xi A]=(A)(E), iet A B(E), etsoitM(E)unev.a. dePoissondintensite(E)independantedeXii1. Ilestalorsfacilededemontrerquelamesurealeatoire MdenieparM(A) :=M(E)i=11A(Xi), A B(E),estunemesurealeatoire dePoisson surEdintensite.Si maintenant(E)= , il sutdeprendreunesuitedensemblesmesurablesdisjoints Eii1telleque(Ei)< , i etiEi=E, construireunemesuredePoissonMisurchaqueEiaveclaproceduredecriteci-dessusetposerM(A) :=i=1Mi(A), A B(E).Corollaire1(Formule exponentielle). SoitMune mesure aleatoiredePoissonsur (E, c)dintensite,B cetfunefonctionmesurableavecB[ef(x)1[(dx) < . AlorsEeRB f(x)M(dx)= expB(ef(x)1)(dx).Denition8(Mesuredesauts). SoitXunprocessusc` adl` agauxvaleursdansRd. LamesuredesautsdeXestunemesurealeatoire sur B([0, ) Rd)denieparJX(A) = #t : Xt = 0and(t, Xt) A.Lamesuredesautsdunensembledetype[s, t]AcomptelenombredesautsdeXentresettdontlestailles tombentdansA. Pourunprocessusdecomptage, commelatailledesaut esttoujoursegale`a1, lamesuredesautsestunemesurealeatoire sur[0, )simplement.Proposition8. SoitXunprocessusdePoissondintensite. AlorsJXestunemesurealeatoiredePoissonsur[0, )dintensite dt.Leresultatpeut-etreleplusimportantdelatheoriedeprocessusdeLevyestquelamesuredesautsdunprocessusdeLevygeneral est egalement unemesurealeatoire dePoisson.Exercice5. Soit Xet Ydeux processus de Levy independants. A partir de la denition, demontrer que X+YestunprocessusdeLevy.Exercice6. Demontrerquelapropriete dabsencedememoirecaracterise laloiexponentielle: siunevariablealeatoire Tsatisfaitt, s > 0, P[T> t +s[T> t] = P[T> s]alorssoitT 0soitTsuitlaloiexponentielle.Exercice7. Demontrerlapropriete7duprocessusdePoisson(si NestunprocessusdePoissonalorsil estunprocessusdeLevy).Exercice8. Demontrerquesi NetNsontdeuxprocessusdePoissonindependantsdeparam`etresetalorsN+NestunprocessusdePoissondeparam`etre +.Exercice9. SoitXunprocessusdePoisson compose,aveclaloidesauts. Etablirque66 CHAPTER5. LESMODELESAVECSAUTS E[[Xt[] < sietseulementsiR[x[f(dx)etdanscecasE[Xt] = tRxf(dx). E[[Xt[2] < sietseulementsiRx2f(dx)etdanscecasVar[Xt] = tRx2f(dx). E[eXt] < sietseulementsiRexf(dx)etdanscecasE[eXt] = exptR(ex1)f(dx).Exercice10. Iciilsagit dedemontrer quepourconstruireunemesuredePoisson surR,ilfautprendredeuxprocessusdePoissonetfairepartirunvers+etlautrevers .SoitNetNdeuxprocessusdePoissondintensite,etsoitMunemesurealeatoire denieparM(A) = #t > 0 : t A, Nt= 1 + #t > 0 : t A, Nt= 1.MontrerqueMestunemesurealeatoire dePoisson dintensite.5.2 StructuredestrajectoiresdunprocessusdeLevyDenition9(Mesure de Levy). Soit Xun processus de Levy `a valeurs dansRd. Alors la mesure denie par(A) = E[#t [0, 1] : Xt = 0etXt A], A B(Rd)estappelleelamesuredeLevydeX.Theor`eme3(Decomposition de Levy-Ito). SoitXunprocessusdeLevy` avaleursdansRddemesuredeLevy. Alors1. SamesuredesautsJXestunemesurealeatoiredePoissonsur[0, ) Rddintensitedt .2. SamesuredeLevysatisfait,Rd(|x|2 1)(dx) < .3. Il existent RdetunmouvementBrowniend-dimensionnel BdematricedecovarianceAtelsqueXt= t +Bt +Nt +Mt, o` u (5.9)Nt=]x]>1,s[0,t]xJX(ds dx) andMt=00stXs= 0pourtoutt, u. CeciimpliqueE[eiuXt] = E[eiuRt]E[eiuXt].Donc,E[eiuXt]est borne inferieurement parunnombre positifindependant de. Par laformule exponentielle,ceciequivaut`aexpt]x](eiux1)(dx) C> 0,cequi implique]x](1 cos(ux))(dx) C< . Puisqueceresultatestvrai pourtoutu, lapreuvedelapartie2estterminee.Partie3 NotonstoutdabordqueleprocessusMestbiendenigrace`alacompensationdespetitssautsetaufaitquelamesuredeLevyintegre |x|2presdezero: enintroduisantleprocessusMt=x 0surlintervalle[0, T].5.1. PROCESSUSDELEVY 69Exercice12. Soit Xunprocessus deLevy avec la mesure deLevy dela forme (dx) = 0(dx),o` u 0napasdatomes et satisfait 0(R) = . Pour tout n N,kn> 0 est la solution dekn0(dx) = n. Pour Txe, quelleestlaloidelavariablealeatoireAn= #t T: Xt [kn+1, kn].Utiliserceresultatpourproposerunemethodedestimationde`apartirdelobservationdunetrajectoiredeX,ensupposantque0estconnu.Exercice13. SoitXunprocessusdeLevyavecsanscomposantedediusionetavecunemesuredeLevyquisatisfaitR[x[(dx) < . AlaidedeladecompositiondeLevy-Ito, montrerquelestrajectoires deXsontp.s. `avariationnie(onditquunefonctionest`avariationniesiellepeutetrerepresenteecommedierencededeuxfonctionscroissantes).Exercice14. DemontrerquelamesuredeLevyduprocessusgammaestdonneeparlequation(5.11). Mon-trerqueleprocessusvariancegammapeutetrerepresentecommeunedierencededeuxprocessusgammaindependants,etendeduirelaformedelamesuredeLevyduprocessusvariancegamma.5.3 Mod`elesexponentielle-LevyPourassurer lapositivitedesprix,onmodelisesouvent lescours dactionscommeexponentiellesdesprocessusdeLevy:St= S0ert+Xt. (5.12)Lemod`ele (5.12) nadmet pas dopportunite darbitrage silexiste uneprobabilite historique Q equivalente `a Ptelleque eXest uneQ-martingale. Siletriplet caracteristique deXsous Qest (AQ, Q, Q),alors la conditiondemartingalesecrit +A2+R(ex1 x1]x]1)Q(dx) = 0.Pour appliquer les mod`eles (5.12) `alevaluationdoptions, il faut doncetablir lexistenceduneprobabilitemartingale equivalente,etpourcelanousavonsbesoinderepondre`alaquestionsuivante: Etant donnes 2 processus de Levy (X, P) et (X, Q), avec triplets caracteristiques (AP, P, P) et (AQ, Q, Q),commentdeterminersilesprobabilites PetQsont equivalentes?Danslecascontinu(siP Q 0),onsaitquelaconditionnecessaireetsusanteestAP= AQ> 0. PourlesprocessusdePoisson composes,lasolutionestfacile:Proposition 9. Soit(X, P) et (X, Q) deux processus de Poissoncomposesde mesures de LevyPet Q. AlorsP Qsur[0, T]sietseulementsiP Qetdanscecas,dQdP[JT= expT(PQ) +sT:Xs,=0(Xs):= exp(ZT), (5.13)o` uP:= P(R),Q= Q(R)et = logdQdP .Preuve. Supposons dans unpremier temps que Q P. Ilest clair alors queZest un processus de Levy dontlintensitedesautsest egale `aP. Deplus,T(PQ) +TZ(dx)(ex1) = 0montrequeeZestunemartingaleetdoncunchangementdeprobabilite. SoituneprobabiliteQequivalente`aPdeniepardQdP [JT= exp(ZT).70 CHAPTER5. LESMODELESAVECSAUTSSois la probabilite Q, Xest un processus de Levy puisque Zlest sous P. On calcule la fonction caracteristiquedeXsousQ:EQ[eiuXt] = EP[eiuXteZt] = et(PQ)expt(eiu(x+(x))1)P(dx)= expt(eiux1)Q(dx).Donc,lamesuredeLevy deXsousQest egale `aQ,cequiimpliquequeQconcide avecQetdoncQ P.Si, aucontraire, Qnestpasequivalent` aP, il existeA Rtel quesoitQ(A)>0etP(A)=0soitQ(A) = 0etP(A) > 0. Supposonspourxerlesideesquonestdanslepremiercas. AlorslevenementilyaaumoinsunsautdeXdans[0, T]dontlatailletombedansAaprobabilitenullesousPetnon-nullesousQ,cequiveutdirequeQnestpasequivalente`aP.Le resultat precedent montre que dans le contexte de processus de Poissononpeut changer librementlintensitedechaquetailledesaut, maisonnepeutpascompletementenleverlessautsdunetailledonneenirajouterdessautsdunetaillequietaitabsentesouslaprobabiliteoriginale. Contrairement`acequi sepassedanslecasdumouvementbrownien, onnepeutpasnonpluschangerledriftduprocessus, caril peutetreobservedemani`erepresquesure`apartirduneseuletrajectoire.Lorsquelintensitedesautsestinnie,exercice12sugg`erequedescontraintessupplementairessurlatailledespetitssautssont`arespecter. Letheor`emesuivantde[55], reproduiticisanspreuve,donnedesconditionsnecessaires etsusantes.Theor`eme 4. Soient (X, P) et (X, Q) processus de Levy avec triplets caracteristiques (AP, P, P) et (AQ, Q, Q).AlorsP Qsur[0, T]pourtoutTsietseulementsi1. LescoecientsdediusionverientAQ= AP:= A.2. LesmesuresdeLevyverientQ Paveclafonction := logdQdPquisatisfait(e/21)2P(dx) < .3. Il existe RavecQ= P+]x]1(e1)P(dx) +A. (5.14)Cettederni`ereconditionestunecontrainteseulementsiA = 0.On peut enn analyser lexistence dopportunites darbitrage dans les mod`eles exponentielle-Levy. La propo-sitionsuivantemontrequecesmod`elesnesontpresquejamaisarbitrables.Proposition10. Soit(X, P)unprocessusdeLevydetripletcaracteristique(A, , ). Il existeuneprobabiliteQ PtellequeeXestuneQ-martingalesietseulementsiXnestpasp.s. croissantnip.s. decroissant.Preuve. Lapartieseulementsiestquasi-triviale,onseconcentresurlapartiesi.SiA > 0,onpeutobteniruneprobabilite equivalenteparunsimplechangement dedrift. OnsupposedoncsanspertedegeneralitequeA=0. Deplusonpeutsupposerque]x]1ex(dx)< pourtoutcarsinononpeutcommencerparunchangement deprobabilite equivalenteavecQ= ex2.Pourun R, soitQ=exetQ=+]x]1(ex 1)(dx)etsoit(X, Q)unprocessusdeLevydetripletcaracteristique(0, Q, Q). Alorsparletheor`emeprecedent, Q P. Pourdemontrerquil existeuneprobabilitemartingale equivalente,ilfauttrouveruntelqueQ+(ex1 x1]x]1)Q(dx) = 0,5.4. CALCULSTOCHASTIQUE 71cequiest equivalent`af() := +(e(x+1)exx1x1)(dx) = 0.Lafonctionf()estcroissante dederiveef() =xex(ex1)(dx) 0.Si((, 0)) > 0et((0, )) > 0,laderivee festborneeinferieurement parmin0x(ex1)(dx),0x(ex1)(dx)ce qui implique que dans ce cas f() = 0 a une solution. Supposons donc pour xer les idees que ((, 0)) = 0.Danscecaslim+f() = +etlimf() = lim +10x(ex1).Lorsque10x(dx)= (processus`avariationinnie), cettelimitevaut etdoncf() = 0aunesolution.Danslecascontraire,cettelimitevaut 10x(dx),etf()=0aunesolutionseulementsi 10x(dx)0et>0). Montrer, enutilisantlaquestionprecedente, queP Qimplique = . Veriervotreresultat `alaidedutheor`eme 4.5.4 Basesducalcul stochastiquepourlesprocessusavecsautsIntegrands et integrateurs Lapplication principale de lintegrale stochastique en nance est la representationdunportefeuilleautonan cant: enlabsencedetauxdinteret,lorsqueleprixdelactifrisqueestunprocessusauxtrajectoires continuesSetlaquantitedelactifest,lavaleurduportefeuilleestVT=T0tdSt72 CHAPTER5. LESMODELESAVECSAUTSOnvoudraitquecetterelationsoitaussi vraieenpresencedesauts, maisquellesontlesproprietesnaturelles`aimposersurSet? LeprocessusSdoitetrecontinu`adroitecarlessautsdanslesprixarriventdefa coninattendue. Lastrategie decouverture t,aucontraire, est fondesur lesobservations dugerant duportefeuilleavant date t; elle doit donc etre continue `a gauche. Une illustration est donnee par lexemple suivant: supposonsqueleprixdunactifestdecritparSt= t Nt,o` uNtestunprocessusdePoissondintensite,etsoitTletempsdupremiersautdeN. Sionpouvaitchoisirlastrategie c` adl` agt= 1[0,T)(t),consistantavendrelactifjusteavant lesaut,onaurait uneopportunitedarbitrage carVt=t0tdSt= t T.Aveclastrategie c` agl` adt= 1[0,T](t),onaVt=t0tdSt= t T NtT,cequi estdesperancenulle. Il estdoncnaturel deconsidererlesintegrandsqui sontadapteset continus`agauche. La forme laplussimple(et laseule realisable enpratique) dunestrategie deportefeuilleest celleo` u leportefeuillenestrebalance quunnombrenidefois. Ondenitalorsunprocessusprevisiblesimplepart= 01t=0 +ni=0i1(Ti,Ti+1](t), (5.15)o` uT0= 0,(Ti)i0estunesuitedetempsdarret etpourchaquei,iest TTi-mesurableetborne. Lespacedeprocessusprevisibles simplesseranotepar o.Pourlesprocessusprevisibles simples,ondenitlintegrale stochastiquepart0sdSs:=ni=0i(STi+1tSTit) (5.16)Pour unprocessus general adapte et continu `a gauche, lintegrale stochastique est deni avec uneextension parcontinuite,enutilisantlatopologie deconvergence enprobabilite uniformementsurlecompactes(ucp): onditquelasuite(Xn)deprocessusconvergeversXenprobabiliteuniformementsurlecompactessi, pourtoutt,(XnX)tconverge vers 0 en probabilite, o` u Zt:= sup0st[Zs[. On note par oucplespace oavec la topologiedeconvergenceucp, etparLucpetDucplespacedeprocessusadaptescontinus, respectivement, `agaucheet`adroite, aveccettememetopologie. Il estalorspossiblededemontrerquelespace oucpestdensedansLucp,etdassocier`alatopologieucpunemetriquesurDucp,pourlaquellecetteespaceseracomplet. Poureectuerune extension par continuite de loperateur dintegration stochastique deni par (5.16) de oucpvers Lucp, il fautquecetoperateursoitunoperateurcontinude oucpversDucp. Or,celadependdelintegrateurS,etonvaselimiterjustementauxintegrateurs pourlesquelsceciestvrai.Denition10. Unprocessus S Dest unesemimartingalesi loperateur dintegration stochastique deni par(5.16)estunoperateur continude oucpversDucp.Toutprocessusc` adl` agadapteetdevariationniesurlescompactesestunesemimartingale. Ceci estuneconsequencedesup0tTt0sdSs VarT0 (S) sup0tTt,o` uVarT0 (S) signielavariationtotaledeSsur [0, T]. Unemartingalec` adl` agdecarreeintegrableest unesemimartingale. Eneet,pourunprocessus previsible simpledelaforme(5.15),et unemartingale decarreeintegrableM,0 tdMtest egalement unemartingaleetET0tdMt2 sup0tT,2tE[M2T].5.4. CALCULSTOCHASTIQUE 73Soitmaintenant(n)unesuitedeprocessusprevisiblessimplestellequen0inucp. Alors, enutilisantlinegalitedeChebychevetlinegalite deDoob,onobtientP0nt dMt> P0nt 1]nt]CdMt> +P[(n)> C]4C2E[M2T]2+P[(n)> C] 0,parcequequonpeut rendrelepremiertermearbitrairementpetit enchoisissantCpetit et ledeuxi`emeenchoisissant ngrand.PuisquelestermestetNtdansladecompositiondeLevy-Itosontdevariationnie, etlestermesBtetMtsontdesmartingalesdecarree integrable, onconcl utquetoutprocessusdeLevyestunesemimartingale.Unresultattr`esprofonddelatheoriedesprocessus[52] estquetoutesemimartingaleestlasommedunprocessusdevariation nieetunemartingale locale. Lanotiondemartingalelocale etendlanotiondemartin-gale: un processus (Xt) est une martingale locale sil existe une suite de temps darret Tii1telle que Ti quandi etpourchaquei,(XTit)estunemartingale.IntegralesstochastiquesparrapportauxmesuresdePoisson Danslasectionprecedentenousavonsdej` arencontre, dansladecompositiondeLevy-Ito, lesintegralesdesfonctionsdeterministesparrapportauxmesures de Poisson et mesures de Poisson compensees. Dans cette section nous allons generaliser cette integraleauxfonctionsstochastiques.SoitMunemesurealeatoiredePoissonsur[0, T]Rdintensite. Lintensiteestsupposee-nie: ilexisteunesuiteUn Ravec([0, t]Un)< pourtoutt. Typiquement, Mestlamesuredesautsdunprocessus deLevy. Onvoudrait denir lintegrale de Moudesa version compensee parrapport `a unefonctionprevisible : [0, T] R R,cest-`a-dire,unefonctionquisatisfait:(i) Pourtoutt,(, x) (, t, x)est TtB(R)-mesurable.(ii) Pourtous(, x)t (, t, x)estcontinue`agauche.Onvadenirlintegrale stochastiquedeparrapport`aMdansdeuxsituationsdierentes:Cas1: satisfaitT0R[(t, y)[M(dt dy) < p.s.Danscecas, ondenitlintegralestochastiquedeparrapport`aM=(Ti,yi)vialasommeabsolumentconvergentet0R(t, y)M(dt dy) :=i:Tit(Ti, yi).Cas2: estdecarree integrable,cest-`a-dire,ilsatisfaitET0R2(t, y)(dt dy) < Danscecas, laconstructionestpluscompliquee, etil faututiliserlatheorieL2etlextensionparcontinuite.Ondenitdesfonctionsprevisiblessimples : [0, T] R Rpar(t, y) =mj=10j1t=01Aj(y) +ni=1mj=1ij1(Ti,Ti+1](t)1Aj(y),o` u T0= 0, (Ti)i1est une suite de temps darret, pour tout j, Aj B(R) tel que ([0, t] Aj) < pour tout t,etpourchaqueietj,ijestborneet TTi-mesurable. Lintegrale stochastiquedunefonctionprevisible simpleparrapport`aMestdenipart0R(t, y)M(dt dy) :=i:Tit(Ti, yi) n,mi,j=1ijM((Ti t, Ti+1 t] Aj)74 CHAPTER5. LESMODELESAVECSAUTSDefa consimilaire,onpeutdenirlintegrale parrapport `alamesuredePoisson compenseeM= M :t0R(t, y)M(dt dy) :=n,mi,j=1ijM((Ti t, Ti+1 t] Aj) ((Ti t, Ti+1 t] Aj)Onpeutdemontrerquecedernierprocessusestunemartingaleetsatisfaitlarelationdisometrie:E[X2T] = ET0R2(t, y)(dt dy).Cetterelationdisometriepermetdeteindrelanotiondelintegralestochastiqueparrapport`aunemesuredePoissoncompensee`atoutefonctionprevisibledecarreeintegrable. Ensuite, enutilisant laproceduredelocalisation,onpeuteteindrecettedenitiondelintegralestochastique`atoutefonction,adapteeetcontinu`agaucheent,mesurableenytellequeleprocessusAt:=t0R2(s, y)(ds dy)estlocalementintegrable.Lanotiondelintegralestochastiqueparrapport`aunemesurealeatoiredePoissonestplusgeneralequecelle de lintegrale par rapport `a un processus de Poisson: si Sest un processus de Levy constant par morceaux,onaT0tdSt=tSt=T0RtyJS(dt dy),i.e., lintegraleparrapport`aunprocessussecritcommelintegraleparrapport`aunemesuredunefonctionbienparticuli`ere.Lintegrale stochastique par rapport `a une mesure de Poisson nous permettra de denir une nouvelle classe deprocessus, qui generalise la classe de processus de Levy tout en gardant une structure facilement comprehensible;plusieursauteursappellentcetteclasseprocessusdeLevy-Ito. RappellonsquunprocessusdeLevysatisfait(avecunpetitchangementdenotation)Xt= t +Wt +t0]x]>1xM(ds dx) +t0]x]1xM(ds dx),o` uMestunemesuredePoissondintensitedt . PourunprocessusdeLevy-Ito, onautorisedescoecientsnon-constantsetmemealeatoires:Xt=t0sds +t0sdWs +t0]x]>1s(x)M(ds dx) +t0]x]1s(x)M(dsdx), (5.17)o` uetsont desprocessus adaptes localement bornes ett(x)estunefonctionaleatoire adaptee etcontinu`agaucheent,mesurableenx,tellequeleprocessus:]x]12t(x)(dx)estlocalementborne.Lavantage de cette classe consiste en des nouvelles proprietes de stabilite: si (Xt) est un processus de Levy-It o, alorspourunefonctionf C2, (f(Xt)) estegalementunprocessusdeLevy-Ito; uneproprietequelesprocessusdeLevynepossedentpas.Lorsque]x]>1[t(x)[(dx) estaussi localementborne, leprocessusXpeutetredecomposeenunepartiemartingaleetunepartiedrift:Xt=t0(s +]x]>1t(x)(dx))ds +t0sdWs +t0Rs(x)M(ds dx),5.4. CALCULSTOCHASTIQUE 75etdanslecaspurementmartingalesouvent rencontredanslesapplications,Xt=t0sdWs +t0Rs(x)M(ds dx), (5.18)etonalarelationdisometrieE[X2T] = ET02tdt+ET0R2t(x)(dx)dt. (5.19)FormuledechangementdevariablepourlesprocessusdeLevy-Ito En labsence de sauts, la formuledechangementdevariable(formuledIt o)pourunefonctionf C2prendlaformef(XT) = f(X0) +T0f(Xt)dXt +12T0f(Xt)2tdt.Quand le processus na quun nombre ni de sauts sur [0, T], on peut ecrire Xt:= Xct+st Xset appliquerlamemeformuleentrelessauts:f(XT) = f(X0) +T0f(Xt)dXct+12T0f(Xt)2tdt +tT:Xt,=0f(Xt) f(Xt).Quandlessautssontennombreinni,laderni`eresommepeutdiverger,maisonatoujoursf(XT) = f(X0) +T0f(Xt)dXt +12T0f(Xt)2tdt+tT:Xt,=0f(Xt) f(Xt) f(Xt)Xt. (5.20)Pourfaireapparatreladecomposition(5.17)etmontrerquelaclassedeprocessusdeLevy-ItoeststablepartransformationsavecdesfonctionsC2,onreecrit lexpressionci-dessus:f(XT) = f(X0) +T0tf(Xt) +122tf(Xt)+]x]1(f(Xt +t(x)) f(Xt) t(x)f(Xt))(dx)dt+T0f(Xt)tdWt +T0]x]1(f(Xt +t(x)) f(Xt))M(dt dx)+T0]x]>1(f(Xt +t(x)) f(Xt))M(dt dx)Exercice17. Demontrerquepourunprocessusprevisiblesimpledelaforme(5.15), etunemartingaledecarree integrableM,0 tdMtest egalement unemartingaleetET0tdMt2 sup0tT,2tE[M2T].Indication: utiliserletheor`eme darret deDoob. Soit (Xt) unemartingale par rapport `a laltration(Tt)etsoitSetTtempsdarret bornesavecS Tp.s. AlorsE[XT[TS] = XS, p.s.76 CHAPTER5. LESMODELESAVECSAUTSExercice18. Lavariationquadratiqueoucrochetdroitdunesemimartingalepeut etredeniepar[X]t:= X2t X20 2t0XsdXs. CalculerlavariationquadratiquepourunprocessusdeLevy-Itogeneral, pourunprocessusdeLevyetpourleprocessusdePoisson. MontrerquesiXestunprocessusdeLevy-Itotel que[X]t tetXestunemartingalealorsXestunmouvementbrownienstandard.Exercice19. SoitXunprocessusdeLevy-Itodelaforme(5.17)aveccoecients, etdeterministesetbornes. Enappliquantlaformuledechangementdevariable(5.20)`alafonctionf(x)=eiux, montrerquelafonctioncaracteristique deXTpeut etreobtenueparuneformuledeLevy-Khintchine generalisee.Exercice20. SoitXunprocessusdeLevy-Ito delaforme(5.17)telquet +2t2+R(et(x)1 t(x)1]x]1)(dx) = 0p.s. pourtoutt. Enappliquantlaformuledechangementdevariable(5.20), montrerqueeXtsecritsouslaforme(5.18) aveclescoecients`apreciser.EnsupposantquetetR(et(x) 1)2(dx)sontbornesp.s. paruneconstanteC, montrer,enutilisantlarelationdisometrie(5.19)etlelemmedeGronwall,que(eXt)estunemartingaledecarre integrable.Indication: utiliserlelemmedeGronwall. SoitunefonctionpositivelocalementborneesurR+telleque(t) a +bt0(s)dspourtouttetdeuxconstantesaetb 0. Alors(t) aebt.5.5 ExponentiellestochastiquedunprocessusavecsautsProposition11(Exponentielle stochastique). Soit(X)t0unprocessusdeLevy-It odecoecientdevolatilite. Ilexisteununiqueprocessusc` adl` ag(Z)t0tel quedZt= ZtdXtZ0= 1. (5.21)Zestexplicitementdonnepar:Zt= eXt12Rt02sds0st(1 + Xs)eXs. (5.22)Preuve. SoitVt=0st;Xs,=0(1 + Xs)eXs.Lapremi`ere etapeestdemontrerqueceprocessusexisteetestdevariationnie. OndecomposeV commeunproduitdedeuxtermes: Vt= VtVt,o` uVt=0st|Xs|1/2(1 + Xs)eXset Vt=0st|Xs|>1/2(1 + Xs)eXs.Vpourtouttest unproduit dunnombre nidefacteurs,donc,ilnyapasdeprobl`emes deconvergence. Vestpositifetonpeutprendresonlogarithme.ln Vt=0st;]Xs]1/2(ln(1 + Xs) Xs).5.5. EXPONENTIELLESTOCHASTIQUE 77Chaquetermedelasommesatisfait0 > ln(1 + Xs) Xs> X2s.La serie est donc decroissante et bornee inferieurement par 0st X2s, ce qui est ni pour tout processus deLevy-Ito. Donc, (ln Vt) existe et est un processus decroissant. Ceci implique que (Vt) existe et a des trajectoiresdevariationnie.Ladeuxi`emeetapeestdappliquerlaformuledIt o`alafonctionZt f(t, Xt, Vt) eXt12Rt02sdsVt, cequidonnedZt= 2s2eXt12Rt02sdsVtdt +eXt12Rt02sdsVtdXt +eXt12Rt02sdsdVt+2s2eXt12Rt02sdsVtdt +eXt12Rt02sdsVteXt12Rt02sdsVt eXt12Rt02sdsVtXt eXt12Rt02sdsVt.PuisqueV estunprocessusdesautpur,dVt Vt= Vt(eXt(1 + Xt) 1).Ensubstituantceladanslegalite precedenteetenrassemblant lestermes,ontrouve(5.21).Pour comprendre pourquoi la solution est unique, observons que si (Z(1)t) et (Z(2)t) verient lequation (5.21),alorsleurdierenceZt=Z(1)t Z(2)tverielamemeequationavecconditioninitialeZ0=0. Delaformedecetteequationilestclairquesilasolutiondevientnulle`aunpointdonne,ellerestenulle.Le processus Zest appelleexponentiellestochastiqueouexponentiellede Doleans-DadedeXnoteparZ= c(X).Relationentreexponentielleordinaireetexponentiellestochastique Il estclairquelexponentielleordinaire et lexponentielle stochastique dunprocessus sont deux processus stochastiques dierents. Par exem-ple, contrairement`alexponentielleordinaireeXtqui estmanifestementpositive, lexponentiellestochastiqueZ= c(X)nestpasnecessairementpositive. Il estfaciledevoirquelexponentiellestochastiquedeXrestepositivesitouslessautsdeXsontplusgrandsque 1,cequirevient`adire(pourunprocessusdeLevy)quelamesuredeLevysatisfait((, 1]) = 0.Il est donc naturel de demander, lequel dedeuxprocessus convient mieuxpour construiredes mod`elesnanciers. Leresultatsuivant, d u`aGoll etKallsen[36] montrequelesdeuxapprochessontequivalents: lesdeuxoperations correspondent `alamemeclassedeprocessuspositifs.Proposition12(Relationentreexponentiellesordinaires etstochastiques).1. Soit (Xt)t0unprocessus de Levy de triplet caracteristique (2, , ) et Z= c(X) sonexponentiellestochastique. Si Z>0p.s. alorsil existeunautreprocessusdeLevy(Lt)t0detriplet caracteristique(2L, L, L)telqueZt= eLto` uLt= ln Zt= Xt2t2+0stln(1 + Xs) Xs. (5.23)L= ,L(A) = (x : ln(1 +x) A) =1A(ln(1 +x))(dx), (5.24)L= 22+(dx)ln(1 +x)1[1,1](ln(1 +x)) x1[1,1](x).2. Soit(Lt)t0unprocessusdeLevydetripletcaracteristique(2L, L, L)etSt= expLtsonexponentielle.Ilexisteunautre processusdeLevy(Xt)t0telque StestlexponentiellestochastiquedeX: S= c(X)o` uXt= Lt +2t2+0steLs1 Ls. (5.25)78 CHAPTER5. LESMODELESAVECSAUTSLetriplet(2, , )deXestdonnepar: = L,(A) = L(x : ex1 A) =1A(ex1)L(dx), (5.26)= L +2L2+L(dx)(ex1)1[1,1](ex1) x1[1,1](x).Preuve. 1. LaconditionZ>0p.s. estequivalente`aXs> 1pourtoutsp.s., cequi permetdeprendrelelogarithme. Danslapreuvedeproposition11nousavonsvuquelasomme0stln(1 + Xs) Xsconvergeversunprocessusdevariationnie. Il estalorsclairqueLestunprocessusdeLevyetqueL=.Deplus,Ls= ln(1 + Xs)pourtouts. CeciimpliqueJL([0, t] A) =[0,t]R1A(ln(1 +x))JX(dsdx)et donc L(A) =1A(ln(1 +x))(dx). Il reste `a calculer L. En substituant la decomposition de Levy-Ito pour(Lt)et(Xt)dans(5.23),onobtientLt t +2t2+s[0,t],]x]1x JL(dsdx) +s[0,t],]x]>1xJL(dsdx)s[0,t],]x]1x JX(dsdx) s[0,t],]x]>1xJX(dsdx)0stln(1 + Xs) Xs= 0.Enobservant ques[0,t],]x]1x(JX(dsdx) JL(dsdx))=0stXs1[1,1](Xs) ln(1 + Xs)1[1,1](ln(1 + Xs))converge, onpeutseparerlexpressionci-dessusenunepartiesauts etunepartiedrift, doncchacunedoitetre egale`azero. Pourlapartiedriftonobtient:L +2211xL(dx) x(dx) = 0,cequidonnelaformulepourLapr`es unchangementdevariable.2. Les sauts de St sont donnes par St= St(exp(Lt)1). Si Xest un processus de Levy tel que S= c(X)alorspuisquedSt=StdXtonaSt= StXtetdoncXt= exp(Lt) 1etestdonnepar(5.26). Enparticulier Xt> 1p.s. et il est facile`averier queln c(X) est unprocessus deLevyavecles memescaracteristiques queLseulementsilescaracteristiques deXsont donneespar(5.26). Inversement, siXestunprocessusdeLevyaveccaracteristiques donneespar(5.26),(5.22)permetdeverierque c(X) = exp Lt.En vu de ce resultat, et du fait que les formules qui font intervenir lexponentielle ordinaire sont plus lisibles,cette derni`ere est plus souvent utilisee pour construire les mod`eles de prix. Cependant, dans certaines situationscommelemontrelexemplesuivant,lexponentiellestochastiqueestmieuxadaptee.StrategieCPPIavecsauts Lastrategie CPPIest unestrategie dassurancedeportefeuillepermettant(entheorie) demaintenir lavaleur duportefeuilleau-dessus dunseuil donnetout enprotant duneevolutionfavorabledelabourse.5.5. EXPONENTIELLESTOCHASTIQUE 79Pour xer les idees, nous supposerons que linvestisseur souhaite garantir le capital N`a lecheance T(Npeutetreplusgrandoupluspetitquelinvestissementinitial). Pourcelail doitmaintenirlavaleurduportefeuilleVtau-dessus duplancher Bt`achaquedate,o` uBtest egal auprixduzero-coupon denominalNetdecheanceT. LadierenceCt=Vt Btestappelleelecoussin. LastrategieCPPIconsistealors`autiliserlalgorithmesuivant: Achaquedatet,siVt> Bt,investirmCtenlactifrisque,o` um > 1estlemultiplicateurdelastrategie,etleresteenzero-coupons decheance T. SiVt Bt,investirtoutenzero-coupons decheance T.Sileprixdelactifrisque Sestunprocessusauxtrajectoirescontinues,leportefeuillerestetoujoursau-dessusduplancher,etlevolutionducoussinestdonneepardCtCt= mdStSt+ (1 m)rdt,o` urestletauxdinteret. Danslemod`eledeBlack-Scholes,dStSt= dt +dWt,cetteequationseresout explicitementetonobtientlavaleurnaleduportefeuilleVT= N+ (V0NerT) exprT+m( r)T+mWT m22T2.LesperancedugainestdoncE[VT] = N+ (V0 NerT) exp (rT+m( r)T) .Si > r,onarrive`aunparadoxe apparent: ilnyapasderisque,etlesperance dugainpeut etrerenduaussigrandequelonsouhaiteenchoisissant unmultiplicateursusamment eleve. Ceparadoxe seresout facilementenintroduisant les sauts dans les trajectoires duprixcar dans cecas, enaugmentant lemultiplicateur onaugmenteaussilaprobabilitedeperte.SoitdStSt= rdt +dZt,o` u Ztest unprocessus deLevy,et soit = inft : Vt Btlapremi`ere dateo` uleportefeuillepasse au-dessousducoussin(onpeutavoir= ). Alorsavantladate,lecoussinsatisfaitdCtCt= mdZt +rdt,etlecoussinactualiseCt:=CtertestdoncdonneparCt= c(mZ)t, t < .Apr`es la date ,tout le portefeuilleest investi en zero coupons et le coussin actualise reste constant. On a doncCt= c(mZ)t.La perte a lieu si, `a un instant t T, Ct 0, ce qui peut arriver si et seulement si Za un saut dans [0, T] dontlatailleestinferieure`a 1/m. Onobtientdonc(voirexercice11)P[t [0, T] : Vt Bt] = 1 expT1/m(dx).Exercice21. MontrerquesiXetY sontdeuxprocessusdeLevyetY estdesautpuralorsc(X)c(Y ) = c(X +Y+XY )Exercice22(Proprietedemartingaledelexponentiellestochastique). SoitXunprocessusdeLevyetunemartingale. Montrerque c(X)est egalement unemartingale.80 CHAPTER5. LESMODELESAVECSAUTSIndication: DecomposerXenunesommedunprocessusdePoisson composeetdunprocessusdeLevyXtelque [X[ < 1. Utiliserproposition12etlexerciceprecedent.5.6 Couverturedanslesmod`elesavecsautsIntroduction Le probl`eme de couverture se pose typiquement du point de vue du vendeur doptions(banque)qui voudrait minimiser sonrisque`amaturite; pour celail essaiederepliquer lepay-oY deloptionavecunportefeuilleautonan cant VT=V0+T0tdSt. Leprixdeloptionest alors calculecommeleco ut desacouvertureplus une provisionpour le risque residuel (sil yena) plus lamargecommerciale. Dans lemod`ele Black-Scholes, qui correspond `a un marche complet, une replication parfaite est obtenu avec la strategiet=CS(t, St)(couvertureendelta).Dansunmarcheincomplet, lareplicationexactenest paspossibleet leprobl`emedecouverturedevientunprobl`emedapproximationdupay-odeloptionpar leportefeuilledecouverture. Pour faireface`aceprobl`eme, les praticiens calculent et neutralisent les sensibilites duportefeuillepar rapport auxfacteurs derisqueadditionnels(e.g. risquedevolatiliteourisquedegrandssauts).Delta =C(t, Xt)x: petitesvariations;couvertureavecdesactionsGamma =2C(t, Xt)x2: grandesvariations;couvertureavecdesoptionsliquidesDe mani`ereplus systematiqueonpeut essayer doptimiser lastrategiede couvertureencontrolant lerreurresiduelle. Lacouverture par maximisationdutilite consiste `achercher lastrategiede couverture qui maximiselutiliteterminaleduvendeurdeloptionmaxEU(c +T0tdXtY )(Ucroissanteconcave).Un inconvenient de cette approche est quelle correspond `a une r`egle de pricing et couverture non-lineaire:la couverture pour un portefeuille contenant une option A et une option B ne concide pas avec la couverturedeApluslacouverturedeB. Lacouverturequadratiquedonne,quant`aelle,unratiodecouverturelineaire. Elleconsiste`aminimiserladistanceL2entrelepay-o etlavaleurterminaleduportefeuilledecouverture:minEc +T0tdXtY2Leportefeuilledecouvertureoptimal (sil existe)estlaprojectionL2deY surlesous-espace(lineaire)dactifsreplicables. Par contre,ellepenaliselesgainsetlespertesdelamemefa con.Danslasuitedecettesectiononvaseconcentrersurlacouverturequadratique. Deplus, onsupposeraquelesprixdetouslesactifssontdesmartingales. Ceci simplieconsiderablementlecalcul etdonneunebonneapproximation: lapriseencomptedudrift duprocessusnemodiepaslastrategiedecouverturedans unmarchecompletetm`eneaunecorrectionde2`emeordredansunmarcheincomplet.Lemod`ele Onsupposera quelesprixdemactifscotes Xt Rmsont desprocessus deLevy-Ito martingalesXt= X0 +t0sdWs +t0Rs(z) J(ds dz),o` u WestunmouvementBrowniend-dimensionnel.5.6. COUVERTUREDANSLESMODELESAVECSAUTS 81 Jestunemesurealeatoire dePoisson dintensitedt . et: sontdesprocessusc` adl` agadaptes quiremplissentlesconditionsdintegrabilite:|s(z)|2 (z)Aswith(z)(dz) < ET0(|s|2+As)ds < Lepay-odeloptionY estdecarre integrable: E[Y2] < etonsupposeraquelamartingaleYt= E[Y [Tt]admetunerepresentationdetypeLevy-Ito.Yt= Y0 +t00sdWt +t0R0s(z) J(ds dz)Exemple6. Lesous-jacentsuitunmod`eleexp-LevyXt= X0eZt,cequiimpliqueXt= X0 +t0XsdWs +[0,t]RXs(ez1) J(ds dz),etlactif`acouvrirestuneoptioneuropeenneC(t, x) = E[H(X(t,x)T)]dC(t, Xt) =C(t, Xt)XXtdWt+R(C(t, Xtez) C(t, Xt))d J(ds dz).Leratiooptimaldecouverture LerreurdecouvertureestdenieparT(c, ) = c +T0tdXtY= c E[Y ] +T0(tt0t)dWt +[0,T]R(tt(z) 0t(z)) J(dt dz).Unestrategieadmissibleestunestrategietelleque0 tdXtestunemartingaledecarreeintegrable. Leratiooptimaldecouverture( c, )estlasolutiondeE[T( c, )2] =inf(c,)E[(T(c, ))2].Pourresoudre ceprobl`emedoptimisation,oncommenceparremarquerque cdoit etre egal`aE[Y ]carE[(T(c, ))2] = (c E[Y ])2+EE[Y ] Y+T0tdXt2.Ensuite,onutiliselarelationdisometriepourlesprocessusdeLevy-Ito.E[( c, )2T] =T0dtE|tt0t|2+T0dt(dz)E(tt(z) 0t(z))2cequiestminimisepart= M1t0tt+R(dz)0t(z)t(z),si Mt= tt+R(dz)t(z)t(z)estnon-singuli`ere.82 CHAPTER5. LESMODELESAVECSAUTSCouvertureavecdesactionsdansunmod`eleexp-LevydXt= XtdWt +RXt(ez1)d J(dt dz),Yt= C(t, Xt)Leratiooptimaldecouvertureestdonneparoptt=2CX(t, Xt) +1Xt(dz)(ez1)[C(t, Xtez) C(t, Xt)]2+(ez1)2(dz)Lerreurdecouverturesannulesipourpresquetoutt, k:(XtCX, (C(t, Xtez) C(t, Xt))zsupp ) = k(Xt, (Xt(ez1))zsupp)Ceciseproduitdanslesdeuxcassuivants: Mouvementbrownien: = 0. ProcessusdePoisson: = 0, = x0(x).Danstouslesautrescas,lemarche estincomplet.Couvertureendeltavs. couvertureoptimale Quelleestladistanceentrelacouvertureendeltaetlacouvertureoptimale?Sileprocessussous-jacent aunecomposantedediusionetlessautssontpetits,alorst=CX+Xt222CX2(dz)(ez1)3.o` u2= 2+(ez1)2(dz).Lacouvertureoptimaleapparait alorscommeunepetitecorrection(voirg. 5.1),quiestsouvent negativesurles marches doptions car les sauts sont negatifs. On reduit le ratio de couverture en anticipant les sauts negatifsdanslesprixdactions. Pourlesprocessusdesautpurtel quelemod`elevariancegamma, lacorrectionpeutetregrandecar2CX2peutnepas etredeni(voirg. 5.2).En terme derreur de couverture, si les sauts sont petits, la couverture en delta marche bien et sa performanceestprochedeloptimale. Cettesituationestillustreesurlegraphiquedegauchedeg. 5.3. Enrevanche, silacomposantedesautsestforte,lastrategieoptimaleestclairementsuperieure`alacouvertureendelta,maislerreurresiduelleestassezimportantepourlesdeuxstrategies(g. 5.3,graphiquededroite). Danscederniercas, laperformacepeutetreamelioreeenajoutantdesoptionsliquidesdansleportefeuilledecouverture(g.5.4).Exercice 23(Couverturedans unmod`elebasesur lexponentiellestochastique). Calculer leratiooptimaldecouverture(avecactions)dansunmod`eleo` ulesous-jacentestdonneparlexponentiellestochastiquedunprocessusdeLevy: St= S0c(X)t.Exercice24(Ratiosdecouverturedanslemod`elediusion+Poisson). Onsupposequelesous-jacentestdecritparSt= S0 exp(t +WtNt),o` uNestunprocessusdePoisson composedintensite. Calculerleratiooptimalpourlacouvertureduneoptioneuropeenne(dontleprixseranoteparC)avecdesactionsetuneautreoptioneuropeenne(dontleprixseranoteparC0). Montrerquedanscecaslareplicationestexacte.5.6. COUVERTUREDANSLESMODELESAVECSAUTS 830.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.05 1.10 1.15 1.200.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0DeltaOptimal0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.05 1.10 1.15 1.200.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0DeltaOptimalFigure 5.1: La dierence entre la couverture en delta et la couverture optimale dans le mod`ele de Kou (diusionplussautspositifetnegatifs distribues selonlaloiexponentielle). Gauche: param`etres estimessur lesdonneesdemarche. Droite: touslessautssontnegatifs.0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.05 1.10 1.15 1.200.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0DeltaOptimal0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.05 1.10 1.15 1.200.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0DeltaOptimalFigure 5.2: La dierence entre la couverture en delta et la couverture optimale dans le mod`ele variance gamma.Gauche : param`etres estimes sur les donnees demarche, echeance T= 1 mois. Droite la taillemoyenne desautestde7%, echeance T= 2jours.84 CHAPTER5. LESMODELESAVECSAUTS0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.050102030405060708090100DeltahedgingOptimal hedgingBlackScholes0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 0.05 0.100510152025DeltahedgingOptimal hedgingFigure5.3: Histogrammesdelerreurpourlacouverture dunputEuropeen hors-la-monnaie (K= 90%,T= 1an). Gauche: mod`eledeKou, param`etresestimessurlesdonneesMicrosoft. Droite: mod`eledeKou, grandssautsnegatifspeufrequents(taillemoyennedesauts10%. )0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100102030405060708090100DeltahedgingOptimal 1 assetOptimal 2 assetsFigure5.4: Pourreduirelerreurdecouvertureenpresencedegrandssauts, desoptionsliquidespeuventetreutilisees pour la couverture. Le graphique montre lhistogramme de lerreur pour la couverture dun put europeenhorslamonnaie(strikeK= 90%)avecdesactionsetuncalleuropeen(strikeK= 110%).5.6. COUVERTUREDANSLESMODELESAVECSAUTS 850.5 1 1.5 200.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5S0European put price = 0.2, = 1 = 0.2, = 1 = 0.2, = 5 = 0.1, = 0.1 Figure5.5: Leprixduput europeendanslemod`eledeMertonpourtroischoixdeparam`etres. Lesautresparam`etres sontK= 1,T= 1,r = 0. Montrerquelorsque 0,onretrouvelesformulesdecouverturedelta-gammat=2CS2/2C0S2(nombredoptionsC0)t=CS tC0S(nombredactions)5.7 Valorisationdoptionsdanslesmod`elesexp-LevyMethodesdetransformeedeFourierpourlesoptionseuropeennes Danslesmod`elesexp-Levy,lesprixdoptionseuropeennespeuventetrecalculesaveclamethodedetransformeedeFourierdecritedans lasectionsuivante. Cettemethodesapplique`atouslesmod`eleso` ulafonctioncaracteristiquedulog-prixestconnueoufacile`a calculer. Cest lecas par exemplepourlesmod`eles exp-Levy maisaussi pouruneclasse plusgeneraldeprocessusanes [25,26], quicontientenparticulierlemod`eledeBatesdontonparlera`alandecechapitre. Legraphique5.5tracelesprixduneoptionputenfonctiondustrikedanslemod`eledeMertonavecparam`etres dierents.Equations integro-dierentielles pour les options exotiques Pour certaines options dont lepay-odependdelatrajectoireemprunteeparleprocessusdeprix, tellesquelesoptions`abarri`ere,leprixpeutetreexprimecommesolutionduneequationsimilaire`alequationdeBlack-ScholesCt+122S22CS2= rC rSCS .Soit Xunprocessus deLevy telque eXest unemartingale sous la probabilite Q (probabilite risque-neutre)etleprixdesous-jacent estdonneparSt= S0ert+Xt. Alors,leprix`alinstanttduneoptioneuropeennePt= er(Tt)E[(ST K)+[Tt]peut etreexprimeecommefonctiondeterministedet et St: Pt=P(t, St) et de plus ertP(t, St) est unemartingale.Demani`eresimilaire,pouruneoptionup-and-outonaPBt= er(Tt)E[(ST K)+1max0sTSs T. Theimpliedvolatility(T)ofthehypotheticaloptionwithmaturity Twastheninterpolatedusingthefollowingformula:2(T) = 2(T1)T2TT1T+ 2(T2) T T1T2T1.Aswehaveseen, inanexponentialLevymodel theimpliedvolatilityofanoptionwhichisatthemoneyandhasxedmaturitymustnotdependontimeorstockprice. Figure5.11showsthatinrealitythisisnotso:bothgraphsarerapidlyvaryingrandom functions.This simple test shows that real markets donot havethe stickymoneynessproperty: arrival of newinformationcanaltertheformofthesmile. TheexponentialLevymodelsarethereforen