2014/2015MP, Lycée Berthollet

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CCP ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE

Exercice 1. Fait pendant les révisions d’oraux.

Exercice 2. 1. On constate que les deux polynomes P et Q s’annulent en 1 et en 2. Une divisioneuclidienne de chacun de ces deux polynomes par (X − 1)(X − 2) = X2 − 3X + 2

donne{

P (X) = (X − 1)(X − 2)(3X2 + 1)Q(X) = (X − 1)(X − 2)(X2 + 1).

On a ainsi la décomposition voulue car X−1, X−2, X2 +1, 3X2 +1 sont des polynômesirréductibles dans R[X] : les deux premiers car ils sont de degré 1 et les deux dernierscar ce sont des trinomes de discriminant strictement négatif.Quand à leur décomposition dans C[X], elle s’en déduit facilement :

P (X) = 3(X − 1)(X − 2)(

X + i√3

)(X − i√

3

)Q(X) = (X − 1)(X − 2)(X + i)(X − i).

2. Le pgcd A(X) et le ppcm B(X) de deux polynomes s’obtiennent facilement à partir deleur décomposition en produit d’irréductibles :{

A(X) = (X − 1)(X − 2)B(X) = (X − 1)(X − 2)(X2 + 1)(3X2 + 1).

Exercice 3. 1. Puisque 1 et −1 sont deux racines de P , on peut factoriser ce polynome dans R[X] :P (x) = (X2− 1)(2X2− 1), ce qui donne dans C[X] la décomposition en produit d’irré-

ductibles P (X) = 2(X − 1)(X + 1)(

X − i√2

)(X + i√

2

).

2. De même, Q(X) = (X + 2)(X2 + X + 1) = (X + 2)(X − j)(X − j̄) .

3. i. D’après les questions 1 et 2, aucun irréductible de C[X] ne divise à la fois P et Q,donc ces deux polynômes sont premiers entre eux. D’après le théorème de Bezout,il existe deux polynomes U et V dans R[X] (qu’ils soient premiers entre eux estindépendant du corps dans lequel on décompose) tels que PU + QV = 1.

ii. Faisons la division euclidienne de P par Q : P (X) = (2X − 6)Q(X) + R1(X), oùQ1(X) = 2X − 6 et R1(X) = 9X2 + 14X + 13. Puis celle de R0 = Q par R1, etainsi de suite jusqu’à ce que le reste soit une constante non nulle. En remontantalors à partir de cette dernière égalité, on peut écrire cette constante sous la formeUP +V Q. Il suffit pour finir de diviser cette égalité par la valeur de cette constante.

Exercice 4. Soit R(X) = X5 + X4

(X − 2)2(X + 1)2 = X4

(X − 2)2(X + 1) .

1. : il ne faut pas oublier la partie entière, qui s’obtient en effectuant la division eucli-dienne suivante : X4 = (X + 3)

[(X − 2)2(X + 1)

]+ (9X2 − 4X − 12).

Ainsi R(X) = X + 3 + 9X2 − 4X − 12(X − 2)2(X + 1) . A partir de là, le théorème de décomposi-

tion en éléments simples assure l’existence de trois constantes a, b, c réelles telles que9X2 − 4X − 12(X − 2)2(X + 1) = a

X − 2 + b

(X − 2)2 + c

X + 1 . on trouve alors c = 1/9 et b = 16/3. En

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considérant l’équivalent lorsque X tend vers l’infini, on obtient 9/X = (a + c)/X, soita = 80/9. Finalement,

R(X) = X + 3 + 80/9X − 2 + 16/3

(X − 2)2 + 1/9X + 1 .

2. Sur ] − 1, 2[, la fonction R est continue donc admet des primitives, et celles-ci sont lesfonctions f pour lesquelles il existe une constante réelle c telle que

f : x 7−→ c + x2

2 + 3x + (80/9) ln(2− x)− 16/3x− 2 + (1/9) ln(x + 1).

Exercice 5. Soit f : P 7→ P − P ′.

1. a) Si P ∈ ker f , alors P − P ′ = 0. Le degré de P − P ′ étant égal à celui de P , lepolynome P est donc nul. Ainsi, f est un endomorphisme bijectif, car injectif etlinéaire en dimension finie.

b) Puisque f(Xk) = Xk − kXk−1 pour tout k ∈ [[0, n]], la matrice de f dans la basecanonique est triangulaire supérieure de diagonale (1, 1, . . . , 1) ne contenant pas leréel nul. Cette matrice est donc inversible, ce qui implique la bijectivité de f .

2. C’est un fait assez classique : si g est un endomorphisme nilpotent, Id− g est bijectiveet sa réciproque est Id + g + g2 + · · ·+ gn (la dimension de l’ espace vectoriel est n + 1).En effet, (Id − g) ◦ (Id + g + g2 + · · · + gn) = Id − gn+1 = Id. En prenant dans notrecas, g : P 7→ P ′, on a donc

f(P ) = Q⇐⇒ (IdE−g)(P ) = Q⇐⇒ P = (IdE−g)−1(Q)⇐⇒ P = Q + Q′ + Q′′ + · · ·+ Q(n) .

Exercice 6. Fait pendant les révisions d’oraux.

Exercice 7. Fait dans le cours sur la trace.

Exercice 8. Notons que pour tout i, j ∈ [[1, n]], |ai,j| 6 ‖A‖.

1. Pour tous i, j ∈ [[1, n]], le coefficient (i, j) de la matrice AB est égal àn∑

k=1aikbkj, et sa

valeur absolue est donc majorée parn∑

k=1|aikbkj| 6

n∑k=1‖A‖‖B‖ = n‖A‖‖B‖. En prenant

le maximum sur tous les i, j ∈ [[1, n]], on obtient ‖AB‖ 6 n‖A‖‖B‖. Je vous laissemontrer par récurrence sur p ∈ N∗ que ‖Ap‖ 6 np−1‖A‖p.

2. On obtient que pour tout p ∈ N∗,∥∥∥∥∥Ap

p!

∥∥∥∥∥ 6 np−1‖A‖p

p! = 1n

(n‖A‖

)p

p! , qui est le terme gé-

néral d’une série convergente (dont la somme, c’est bien connu, vaut (1/n) exp(n‖A‖)).Ainsi, la série

∑Ap/p! est convergente.

Puisque Mn(R) est un espace vectoriel de dimension finie, c’est un espace vecto-riel normé complet, donc toute série de vecteurs de Mn(R) absolument convergenteconverge.

Exercice 9. Fait dans le TD sur les polynomes

Exercice 10. Fait dans le TD de révision d’algèbre linéaire.

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