LICENCE 3EME ANNÉE

MENTION MATHÉMATIQUES PARCOURS MATHÉMATIQUES

FONDAMENTALES

Secrétariat Pédagogique Téléphone 05 61 55 60 69

Bât 1TP1 Porte B16

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PRÉSENTATION DE LA FORMATION La licence de mathématiques fondamentales est un des quatre parcours de la Licence de Mathématiques. Ce parcours a pour objectif de donner tous les acquis et compétences pour la poursuite en master de mathématiques (en vue d’un doctorat, de l’agrégation, d’une intégration en école d’ingénieurs entre autres).

L’équipe pédagogique est associée à l’Institut de Mathématiques de Toulouse.

CONDITIONS D'INSCRIPTION - Accès de plein droit aux étudiants ayant validé le L2 de Mathématiques(*) de l’Université de TOULOUSE III . (*L2 de Mathématiques et mécanique pour un L2 obtenu avant septembre 2011). - Accès sur dossiers examinés par la Commission de Scolarité. Ceci concerne: a) les étudiants titulaires d’un L2 de mathématiques obtenu dans une autre université française, b) les étudiants des classes préparatoires aux grandes écoles et les étudiants des grandes écoles, c) les étudiants étrangers titulaires d'un diplôme équivalent au DEUG ou L2. Responsable de la formation Mme Anne CUMENGE, Professeur, e-mail : anne.cumenge@math.univ-toulouse.fr Institut de Mathématiques de Toulouse bât. 1R2 bureau 222 Secrétariat pédagogique Madame .........., Bât. 1TP1., Porte B16 -- Tél. 05 61 55 60 69 e mail : ........@adm.ups-tlse.fr Quelques sites : http:// www.ufr-mig.ups-tlse.fr http:// www.math.univ-toulouse.fr http:// www.math-fonda.ups-tlse.fr

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Mathématiques Fondamentales – EL5MAF- EL6MAF-

Responsable : Mme Anne CUMENGE

ORGANISATION DES ENSEIGNEMENTS Description de la troisième année « Mathématiques F ondamentales » Toutes les UE sont semestrielles. Le premier semestre est constitué de cinq modules o bligatoires : EL5MAFAM : Topologie & Analyse hilbertienne, (cours 36 h, TD 54 h) 7,5 ECTS EL5MAFBM : Intégration 1, (cours 30 h, TD 42 h) 7,5 ECTS EL5MAFCM : Algèbre 1, (cours 24 h, TD 36 h) 6 ECTS EL5MAFEM : Analyse numérique, (cours 24 h, T.D. 24 h, TP 12h) 6 ECTS EL5MAFFF : Langues, (TD 24 h) 3 ECTS Six devoirs (dont deux sur table surveillés) sont proposés au semestre 5 et des interrogations orales sont également programmées. Les notes obtenues seront prises en compte dans les UE Topologie & Analyse hilbertienne d’une part,

Intégration 1 d’autre part, suivant les modalités précisées dans le paragraphe dédié. Le second semestre est constitué de sept modules ob ligatoires : EL6MAFBM : Intégration 2 & Probabilités, (cours : 30 h, TD : 36h, TP : 10 h) 6 ECTS EL6MAFDM : Fonctions holomorphes, (cours 24 h, TD 30 h) 6 ECTS EL6MAFAM : Calcul différentiel & Géométrie différentielle (24h de cours, 36h de TD) 6 ECTS EL6MAFCM : Algèbre 2, (18 h de cours, 24 h de TD) 3 ECTS EL6MAFIM : Equations différentielles, (18 h de cours, 24 h de TD) 3 ECTS EL6MAF : Langues, (24h de TD) 3 ECTS EL6MAFEM : Unité Projet/Stage (150 h de travail personnel) 3 ECTS Six devoirs sont proposés au semestre 6 et des interrogations orales sont programmées. Unité Projet/Stage : un tiers de la note de l’UE prendra en compte celles obtenues aux devoirs et interrogations orales du semestre 6.

QUELQUES OUVRAGES GÉNÉRAUX POUR LA LICENCE

J-M. BONY : Méthodes mathématiques pour les sciences physiques, éd. de l’Ecole Polytechnique, 2000 J. DIEUDONNÉ : Eléments d’analyse, tome 1, Gauthier Villars, 1979, reprint éd. Jacques Gabay, 2005 V. KOMORNIK : Précis d'analyse réelle, tomes 1&2, Ellipses, 2001. W. RUDIN : Analyse réelle et complexe, Masson, 1977 ; reprint Dunod, 1998 J. SAINT RAYMOND : Topologie, calcul différentiel et variable complexe, Calvage & Mounet, 2007 C. WAGSCHAL : Dérivation, Intégration, coll. Méthodes, Hermann, 1998

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Modalités de contrôle des connaissances.

● Semestre 5 :

Les notes obtenues en devoirs et interrogations orales dans les matières Topologie & Analyse hilbertienne et Algèbre seront prises en compte pour 1/15 de la note de l’examen terminal de l’UE Topologie & Analyse hilbertienne (et ce, pour chacune des deux sessions).

Les notes obtenues en devoirs et interrogations orales dans les matières Intégration 1 et Analyse numérique seront prises en compte pour 1/15 de la note de l’examen terminal de l’UE Intégration 1 (et ce, pour chacune des deux sessions).

Pour chacune des UE de mathématiques, contrôle continu et examen terminal seront pris en compte comme indiqué dans le tableau suivant :

● Semestre 6 :

Pour chacune des UE de mathématiques, le contrôle continu et l’examen terminal seront pris en compte comme indiqué dans le tableau suivant :

UE Projet. Note N prise en compte pour l’attribution du module Projet/Stage :

Session 1 : N= (2 P + m)/3 où P est la note attribuée au projet, m = (3 n + o)/4 avec n moyenne des 3 meilleures notes de devoirs et o moyenne des deux meilleures notes d’interrogations orales.

Session 2 : la note m reste identique, la note P est celle obtenue au projet en session de rattrapage.

UE Langues : les modalités de contrôle des connaissances sont précisées dans le descriptif des unités de langues.

Contrôle Continu Examen terminal

Session 1 40% 60%

Session 2 100%

Contrôle Continu Examen terminal

Session 1 40% 60%

Session 2 100%

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Code Apogee S5 ECTS CM TD TP

EL5MAFAM

Topologie & Analyse hilbertienne

7,5 36 54

EL5MAFBM Intégration 1 7,5 30 42

EL5MAFCM Algèbre 1 6 24 36 EL5MAFEM Analyse Numérique

6 24 24 12

EL5MAFFF Langues 3 24

total 30

Code Apogee S6 ECTS CM TD TP

EL6MAFBM

Intégration 2 & Probabilités 6 30 36 10

EL6MAFDM Fonctions holomorphes

6 24 30

EL6MAFAM

Calcul différentiel & Géométrie

différentielle 6 24 36

EL6MAFIM Equations différentielles 3 18 24 EL6MAFCM Algèbre 2 3 18 24 EL6MAFEM PROJET 3

EL6MAF Langues 3 24 total 30

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EL5MAFAM

Topologie et Analyse hilbertienne

(7,5 ECTS, 90h = 36 HCM + 54 HTD)

Responsable : Anne Cumenge

• Rappels de L2: propriétés de R: densité des rationnels, borne supérieure, suites de Cauchy et complétude, propriété de Bolzano-Weierstrass et compacité.

• Dénombrabilité. • Distances, espaces métriques. Normes, espaces vectoriels normés ; normes

associées à un produit scalaire. • Parties ouvertes, fermées, voisinage, adhérence, intérieur, frontière (notions

déjà abordées dans le cadre de Rn en L2). Topologie d’un espace métrique, d’un espace vectoriel normé. Notion d’espace topologique séparé.

• Limites, continuité. Notion d’homéomorphisme. • Continuité uniforme dans les métriques. Prolongement de fonctions

uniformément continues. • Comparaison de topologies. Topologie induite. Produit fini de métriques (on

pourra parler de produit fini d’espaces topologiques, mais on évitera les produits infinis !). • Complétude, espaces métriques complets :

• définition et propriétés élémentaires. Définition des espaces de Banach ; exemples (en particulier espaces d’applications continues sur un intervalle compact de R).

• Théorème du point fixe de Picard-Banach pour les applications contractantes (avec et sans paramètre).

• Compacité: • définition d’espace compact, propriété de Borel-Lebesgue. • suites dans un métrique compact : propriété de Bolzano-Weierstrass. • produit fini d’espaces métriques compacts (le théorème de Tychonoff pour un

produit fini d’espaces topologiques sera admis.) Caractérisation des parties compactes de R et de Rn.

• théorème classique d’approximation polynomiale de Weierstrass. • une fonction réelle continue sur un compact est bornée et atteint ses

bornes. • théorème de Heine sur les applications continues sur un compact

• Connexité, connexité par arcs, notion de composante connexe. • Espaces vectoriels normés : caractérisation de la continuité des applications

linéaires, multilinéaires. Equivalence des normes en dimension finie. Les suites bornées n’ont pas forcément de valeur d’adhérence. Séries convergentes, absolument convergentes dans un Banach.

…/…

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L’algèbre L(E) des endomorphismes continus d’un Banach E, l’ouvert des

isomorphismes de E.

• Espaces de Hilbert. Théorème de projection. Théorème de dualité de Riesz. Familles orthonormées, bases hilbertiennes (cas séparable). Exemples de polynômes orthogonaux (compléments de l’étude faite en L2).

Bibliographie :

G. CHRISTOL, A. COT et M. MARLE : Topologie, Ellipses, Paris, 1997

J. DIEUDONNE : Eléments d’analyse, tome 1, Gauthier-Villars, 1972.

H. QUEFFÉLEC : Topologie, Dunod, 2002 et 3ième éd. 2007.

J-P. MARCO : Analyse pour la licence, Masson, 1998.

G. SKANDALIS : Topologie et Analyse, Dunod, 2001.

Y. SONNTAG : Topologie et analyse fonctionnelle, Ellipses, 1998.

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EL5MAFBM

Intégration 1

(7,5 ECTS, 72h = 30 HCM + 42 HTD)

Responsable : Ahmed Zeriahi

Motivation du cours et introduction. L’objectif est de définir assez vite l’intégrale de Lebesgue et de l’utiliser. En particulier, on évitera de trop s’étendre sur la délicate notion de mesurabilité. Le module "Intégration 2 et Probabilités" du second semestre permettra de consolider les bases théoriques. Rappels et motivations Intégrale de Riemann, ses limitations. Pourquoi définir une autre intégrale ? Exemples de fonctions simples non Riemann intégrables. Espaces mesurés Tribus, tribus engendrées, boréliens (propriétés sans démonstration). Mesure : définitions, propriétés élémentaires, exemples : mesure de Dirac, mesures discrètes , mesure de Lebesgue sur R ( on admettra sans démonstration qu’il existe une unique mesure λ sur les boréliens de R, telle que λ( ]a,b[) = b-a ). Ensemble négligeable, propriété vraie presque partout. Fonctions mesurables Rappels préliminaires : limite simple, limite sup et inf de fonctions. Définitions, propriétés (ordre, algébriques, stabilité par limite simple), cas des fonctions à valeurs dans ℝ, mesures images, approximation des fonctions à valeurs réelles mesurables positives. Intégrale par rapport à une mesure Construction de l’intégrale, propriétés générales. Intégrale par rapport à certaines mesures : mesure de Dirac et mesures discrètes, mesure de comptage (lien avec les séries), mesure de Lebesgue (énoncé sans démonstration des relations entre l’intégrale au sens de Riemann et l’intégrale au sens de Lebesgue), intégration par rapport à une mesure image. Théorème de convergence monotone, lemme de Fatou, Théorème de convergence dominée, Théorème sur la continuité et la dérivabilité d’une intégrale dépendant d’un paramètre. Intégration par rapport à une mesure produit Théorèmes de Fubini et existence de la mesure produit. (Eventuellement, Théorème d'unicité des mesures de Dynkin -- caractérisation via une classe stable par intersection finie --). Mesure de Lebesgue sur R

d. Théorème de changement de variable. Lien avec le changement de

variable pour l'intégrale de Riemann sur R. Passage en coordonnées polaires. Espaces L p Définition, inégalités de Minkovski et de Hölder. Continuité en moyenne d’ordre p. Convergence L

p, L

p

est un espace de Banach ; l’espace de Hilbert L2. Dans le cas de la mesure de Lebesgue, densité de

l’espace des fonctions étagées. Séries de Fourier. Lemme de Riemann-Lebesgue. Séries de Fourier des fonctions localement intégrables périodiques (d’une variable réelle).

…/…

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Produit de convolution de fonctions périodiques. Noyaux de Dirichlet et Féjer. Théorème de Dirichlet. Théorème de Féjer (schéma de preuve), égalité de Parseval, convergence en moyenne quadratique. Quelques exemples d’applications : inégalité isopérimétrique, résultats d’approximation et/ou régularisation. Bibliographie : Roger-V. JEAN : Mesure et intégration, Presses de l’Université de Montréal. V. KOMORNIK : Précis d'analyse réelle - Analyse fonctionnelle, intégrale de Lebesgue, espaces Fonctionnels, Ellipses, 2001. W. RUDIN : Analyse réelle et complexe, Masson, 1977 ; reprint Dunod, 1998

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EL5MAFCM

Algèbre I

(6 ECTS, 60h = 24 HCM + 36 HTD)

Responsable: Jacques Sauloy

• Anneaux, diviseurs de zéros, morphismes d’anneaux, sous-anneaux. Idéaux, anneaux quotients. Anneaux euclidiens, anneaux des fractions des

anneaux intègres. Idéaux premiers, idéaux maximaux. • Anneaux de polynômes, division euclidienne. Manipulations algébriques avec les

séries formelles. • Anneaux factoriels. Éléments irréductibles, inversibles et premiers entre eux.

PGCD, PPCM. Factorialité des anneaux de polynômes à plusieurs variables. • Polynômes irréductibles, critère d’Eisenstein.

Bibliographie : S. LANG : Algèbre, Dunod, 2004. F. MOULIN, J-P. RAMIS et A. WARUSFEL : Cours de Mathématiques pures et appliquées, Algèbre et géométrie, De Boeck, 2007. D. PERRIN : Cours d’Algèbre, Ellipses, 1996 M. REVERSAT & B. BIGONNET : Cours et exercices corrigés, Masson, 1997. L. SCHWARTZ : Mathématiques pour la licence : Algèbre, Dunod, 1998.

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EL5MAFCM

Analyse numérique

(6 ECTS, 60h: 24 HCM + 24 HTD + 12 HTP (Matlab))

Responsable : Claudia Negulescu

• Analyse numérique matricielle • Décompositions matricielles (LU, QR, DVS, Choleski). Applications aux

moindres carrés. • Normes matricielles (spectrale, de Frobenius), conditionnement. • Résolution de système linéaires par des méthodes itératives • Calcul de valeurs propres (localisation, méthode de la puissance, méthode

QR). • Résolution d’une équation: existence de solutions. Dichotomie, méthode des

approximations successives: applications contractantes, méthode de Newton. • TP Matlab: 6x2h

Bibliographie :

[1] D. Serre. Les Matrices, théorie et pratique. Dunod, Paris, 2001. [2] P. Ciarlet. Introduction à l’analyse numérique matricielle et à l’optimisation. Masson, Paris 1982. [3] L. Amodei, J.-P. Dedieu. Analyse Numérique Matricielle. Dunod, Paris 2008. [4] N. Gastinel. Analyse numérique linéaire. Hermann, Paris, 1970. [5] M.Crouzeix & A.L.Mignot: Analyse Numérique des Equations Différentielles. Masson (1984) [6] Y. Achdou. http://www.ann.jussieu.fr/~achdou/node7.html. Paris, 2005. [7] J.Prado. Introduction à MATLAB : http://www.tsi.enst.fr/~prado/enseignement/polys/matlab.html Paris, 1998.

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EL5MAFFF

LANGUES - 3 ECTS

Equipe Pédagogique : Rashard KHADAROO enseignant d’anglais Claire BATSERE enseignante d’anglais Muriel COMET enseignante d’allemand Jacqueline RUSSON enseignante d’espagnol Serge ARBIOL enseignant de russe Mots clés : communication – langues de spécialités Objectifs/Généralités : L’objectif majeur est d’atteindre le niveau européen B2 (voir grille portfolio européen des langues/CLES). L’enseignement en L3 vise à développer les compétences langagières et communicationnelles, à l’écrit et à l’oral, dans le contexte professionnel ainsi que dans la vie quotidienne. La majorité de l’enseignement met l’accent sur la communication orale. Travaux Dirigés/Enseignements dirigés : Modalités de contrôles et d’examens L’évaluation s’effectuera par spécialité en raison des effectifs élevés de certaines licences. Pour les effectifs réduits, il sera envisagé de regrouper 2 spécialités lorsque les sujets sont proches ou de fonctionner par domaine. Rappel : la note minimum pour que le système de compensation soit effectif est de 6/20

Toute absence à un contrôle continu doit être justifiée : -- à l’avance lorsque l’absence est prévue, -- sinon dans les 5 jours qui suivent l’épreuve (certificat médical, attestation, etc.).

Pour toute absence non justifiée, l’étudiant est considéré comme défaillant.

Les étudiants dispensés d’assiduité doivent entrer en contact avec l’enseignant responsable de leurs cours de langues afin de s’informer du contenu pédagogique concernant l’évaluation du CT.

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SEMESTRE 6

EL6MAFAM

Calcul différentiel et Géométrie différentielle

(6 ECTS, 60h: 24HCM, 36 HTD)

Responsable : Jean-Pierre Dedieu

• Différentiabilité d’une application définie sur un ouvert d’un e.v.n et à valeurs dans un e.v.n. ; Différentielle. Opérations sur les applications différentiables. Dérivées d’ordre supérieur.

Rappels et compléments de L2 (dimension finie): dérivées partielles, matrice jacobienne en dimension finie, matrice hessienne.

• Théorème des accroissements finis. Les fonctions de classe C1 sur un ouvert y sont localement lipschitziennes. Formules de Taylor (Taylor-

Young, Taylor avec reste intégral). • Optimisation sur un ouvert (sans contrainte) : conditions nécessaires du

premier ordre et du deuxième ordre, condition suffisante. • Théorème d’inversion locale, globale, des fonctions implicites. • Application à l’étude des courbes et surfaces: représentation locale par des

équations ou des paramétrages, espace tangent. (N.B Un cours de géométrie différentielle aura lieu au premier semestre du M1). • Application à l’optimisation sous contrainte (extrema liés).

Bibliographie :

G. CHRISTOL, A. COT et M. MARLE, Calcul différentiel, Ellipses, Paris, 1997.

P. DONATO, Calcul différentiel pour la licence, Dunod, Paris, 2000.

H. CARTAN : Calcul différentiel, Hermann, Collection Méthodes, 1979.

Exercices corrigés :

D. AZÉ, G. CONSTANS et J-B.HIRIART-URRUTY, Calcul différentiel et équations différentielles, Dunod,

Paris, 2002.

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EL6MAFBM

Probabilités et Intégration 2

(6 ECTS, 60h = 30 HCM + 36 HTD + 10 HTP)

Responsable : Pierre Fougères

Motivation du cours et introduction. L’objectif est d'une part d'approfondir la théorie de la mesure d'autre part de présenter une vision unifiée des modèles probabilistes discrets et continus vus en L1 et en L2 pour aboutir aux théorèmes limites illustrés par une brève introduction aux statistiques. Compléments d'intégration et mesure :

Théorèmes d'existence.

Théorème d'extension de Caratheodory (fonction sigma-additive sur un semi-anneau et mesure extérieure associée ; le théorème pourra être admis). Mesures de Lebesgue-Stieltjès, théorème de complétion.

Absolue continuité (énoncé du théorème de Radon-Nikodym). Ensemble de Cantor de mesure nulle et de mesure positive. Exemple de mesure singulière.

Convolution. Algèbre de convolution L1, énoncé sans preuve des résultats pour la convolution f∗g pour f dans

Lp, g dans L

q ; régularisation par produit de convolution (approximation de l'unité avec fonctions à support

compact ou non). Théorèmes de densité.

Transformée de Fourier dans L1. Propriétés, action sur un produit de convolution, dérivation et transformation de Fourier ; théorème d’inversion (avec schéma de preuve).

Probabilités :

Espaces de probabilités. Modèle probabiliste. Variables aléatoires, lois de probabilités. Exemples d’espaces de probabilités : unification des cas des v.a. discrètes et continues. Lois usuelles. Construction du jeu de pile ou face infini.

Intégrabilité des variables aléatoires, espérance mathématique. Inégalités de Jensen, Markov et Bienaymé-Tchebychev.

Caractérisation de la loi d'une v.a. Théorème d'unicité des mesures de Dynkin (caractérisation via une classe stable par intersection finie).

Fonction de répartition, décomposition d’une probabilité en partie discrète et partie continue. Fonction caractéristique. Calculs de loi.

Indépendance.

Probabilités conditionnelles. Indépendance d’évènements, de tribus et des variables aléatoires. Somme de variables aléatoires indépendantes. Caractérisation (en particulier en utilisant la fonction caractéristique). Lemme de Borel-Cantelli (loi du 0-1).

…/…

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Convergences.

Convergence d’une suite de variables aléatoires : presque sûre, en probabilité, au sens Lp. Convergence en loi

(théorème de Lévy admis).

Loi des grands nombres. Énoncé du théorème de la limite centrale.

Brève introduction à l'estimation statistique

Estimation ponctuelle paramétrique : modèle statistique, notion d'estimateur, biais et risque quadratique, estimateur fortement consistant de la moyenne, notion d'estimateur du maximum de vraisemblance.

Estimation par intervalle de confiance, illustration du théorème de la limite centrale.

TP : 2 x 5h : chaînes de Markov à espace d’états finis.

Bibliographie :

Intégration :

Voir Intégration 1

Probabilités :

Cours

P.BARBE, M. LEDOUX, Probabilités. Belin.

D.REVUZ, Probabilités. Hermann.

Plus appliqués:

N.BOULEAU, Probabilités de l'ingénieur, Hermann.

P.BRÉMAUD, Introduction aux probabilités. Springer.

Exercices:

J.P. ANSEL, Y. DUCEL, Exercices corrigés en théorie des probabilités.

Ellipses.

DACUNHA-CASTELLE & REVUZ & SCHREIBER, Recueil de problèmes de calcul des probabilités. Masson et Cie

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EL6MAFIM

Équations différentielles

(3 ECTS, 42h: 18 HCM, 24 HTD)

Responsable : Martine Klughertz

• Définition d’une solution, problème de Cauchy. • Existence globale et unicité quand la fonction est globalement lipschitzienne. • Existence locale quand la fonction est localement lipschitzienne (en particulier

cas de la dimension finie). Solutions maximales. • Le critère d’existence globale. • Dépendance par rapports aux paramètres (admis). • Le cas particulier des équations ou systèmes linéaires : théorème de

structure de l’ensemble des solutions, formule avec l’exponentielle quand la matrice est à coefficients constants, Wronskien.

• Équations autonomes : points d’équilibre, étude qualitative en dimensions 1 et 2, avec propriétés de monotonie, isoclines.

• Approche numérique du problème de Cauchy : méthode d’Euler.

Bibliographie : J. HUBBARD & B. WEST, Calcul différentiel, Ellipses, Paris, 1997. P. N. ROUCHÉ & J. MAHWIN : Equations différentielles ordinaires, tome 1, Masson, 1973 Exercices corrigés : D. AZÉ, G. CONSTANS et J-B. HIRIART-URRUTY, Calcul différentiel, équations différentielles, Dunod, Paris 2002

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EL6MAFCM

Algèbre II

(3 ECTS, 42h = 18 HCM + 24 HTD)

Responsable : Stéphane Lamy

• Rappels de L2: • groupes, morphismes, sous-groupes et sous-groupes engendrés par

une partie. Ordre d’un élément, groupes cycliques, monogènes. • Classes latérales, théorème de Lagrange. Sous-groupes distingués,

groupes quotients. • Structure des groupes abéliens de type fini. • Groupe symétrique, simplicité du groupe alterné. Groupe de matrices :

GL(n), SL(n), O(n), SO(n)…. Actions de groupes. Actions linéaires de groupes de matrices. Commentaire: pour les groupes classiques, il s’agit de donner les définitions et de les illustrer par ces actions linéaires (le mot représentation reste subliminaire).

• Notion de groupe libre engendré par un ensemble fini de matrices : alphabet (constitué par les matrices de “l’ensemble générateur”), “mots” formés par ces matrices (produit), notion de mot irréductible. Exemples de groupes de Schottky. Commentaire: l’exemple des matrices permet de passer des notions sous-jacentes aux “groupes libres” sans introduire toutes les définitions formelles de la théorie combinatoire des groupes. L’idée est de donner une notion sur les groupes libres même si elle reste intuitive.

Bibliographie : J. CALAIS : Cours d’algèbre, PUF

S. LANG : Algèbre, Dunod, 2004. D. PERRIN : Cours d’Algèbre, Ellipses, 1996 M. REVERSAT & B. BIGONNET : Cours et exercices corrigés, Masson, 1997. L. SCHWARTZ : Mathématiques pour la licence : Algèbre, Dunod, 1998.

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EL6MAFDM

Introduction à l’analyse complexe

(6 ECTS, 54h = 24 HCM + 30 HTD)

Responsable : Julio Rebelo

• Fonction analytique d’une variable réelle ou complexe : définition et propriétés basiques (rappel sur le rayon de convergence et les opérations élémentaires sur les séries entières). Prolongement analytique, théorème des zéros isolés.

• Théorème de Green-Riemann, 1-formes fermées, exactes. Conditions pour qu’une 1-forme fermée soit exacte.

• Fonctions C-dérivables et fonctions holomorphes. Diverses interprétations des équations de Cauchy-Riemann.

• Théorème de Cauchy pour les fonctions holomorphes au voisinage d’un compact à bord orienté. Formule intégrale de Cauchy (via Green-Riemann) et estimations de Cauchy.

• Équivalence entre holomorphie et analyticité. Principe du maximum. • Primitives des fonctions holomorphes, logarithme complexe. • Développement de Laurent, théorème des résidus et application au calcul de

quelques intégrales.

Bibliographie :

L. AHLFORS : Complex analysis, McGraw-Hill Book Co.; 2nd edition,1966

J-M. BONY : Méthodes mathématiques pour les sciences physiques, éd. de l’Ecole Polytechnique, 2000

H. CARTAN : Théorie élémentaire des fonctions analytiques, Hermann, 1961 (réédité)

W. RUDIN : Analyse réelle et complexe, Masson, 1977 ; reprint Dunod, 1998

J. SAINT RAYMOND : Topologie, calcul différentiel et variable complexe, Calvage & Mounet, 2007 C. WAGSCHAL : Fonctions holomorphes, équations différentielles, coll. Méthodes, Hermann, 2003

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(EL6MAFEM)

Projet

(3 ECTS, 150h de travail personnel)

L’étudiant(e) devra choisir en début de semestre 6 entre quatre possibilités :

● une UE d’ « Initiation à l’algorithmique et au calcul formel ». Examen écrit + examen oral (soutenance d’un petit travail personnel effectué en binôme ou trinôme). Cours et TD : six séances de 3 heures en janvier et début mai.

● une UE d’initiation à l’économie « Initiation à l’économie via la théorie des jeux ». Examen terminal fin mai. Les cours/TD (20 h globalement) ont lieu à l’ISAE.

● une UE de biologie à destination des étudiants de L3 mathématiques, physique ou mécanique, et intitulée « Le vivant : biodiversité et biomolécules, évolution, interactions ». Contrôle continu et examen. Cours et travaux dirigés (24 h globalement) ont lieu à l’UPS.

● un travail d’initiation à la recherche, avec rédaction d’un mémoire et soutenance.

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Initiation à l’algorithmique et au calcul formel.

1) Algorithmique générale: écriture, correction, coût en temps (voire en espace) des algorithmes. Exemples classiques. 2) Logique: calcul booléen, formes normales, circuits logiques. 3) Arithmétique: arithmétique modulaire, primalité; applications à la cryptographie (RSA), à la génération de nombres aléatoires. 4) Polynômes à plusieurs indéterminées: diverses techniques d'élimination, applications géométriques. 5) Algorithmique du texte: mots, langages, recherche de motifs. 6) Algorithmique des arbres: expressions, évaluation, calcul formel.

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Initiation à l’économie via la théorie des jeux.

Description succincte du contenu : Stratégies d’enchères sur eBay, augmentations tacites de prix des makers du NASDAQ, réputation de férocité de British Airways lors de l’entrée de concurrents sur certaines routes, course aux armements ou crise internationales sont autant d’exemples de situation dans lesquelles les interactions stratégiques entre les différents agents impliqués sont extrêmement complexes à comprendre et à résoudre.

Ce module propose de présenter les concepts clefs de la Théorie des Jeux, et de montrer comment ces outils permettent d’expliquer et prédire les résultats d’interactions stratégiques, ou jeux, et les comportements des différents agents, ou joueurs, dont les actions, ou stratégies, utilisées afin de maximiser le profit que chacun retire du jeu, influencent les gains de l’ensemble des participants.

Chaque séance traite d’un thème précis, et à chaque thème correspond une application business ou un mini-cas, lié à la finance, à la corporate finance, au marketing, à la stratégie, aux achats, …Un exemple : Jeux dynamiques en information complète. Application : La crise des fusées de Cuba de 1961…vue au travers des travaux de Thomas Schelling (Prix Nobel d’Economie 2005).

…/…

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Le vivant : biodiversité et biomolécules, évolution, interactions.

Objectifs : Acquérir des bases fondamentales (structure de l’ADN, les concepts phylogénétiques, les réseaux trophiques…) et méthodologiques (bio-informatique, biostatistique, …) pour l’étude de phénomènes biologiques complexes : reconstructions phylogénétiques, modélisation de réseaux trophiques et traitement des données de génomique et de protéomique.

Mots Clés : Biodiversité, phylogénie, biologie évolutive, réseaux trophiques, bioinformatique, génomique, protéomique.

Initiation à la recherche. Plusieurs thèmes seront proposés fin janvier, début février aux étudiants. L’encadrement sera assuré par des enseignants-chercheurs ou chercheurs de l’Institut de Mathématiques de Toulouse.

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Validation de l’UE projet : la note « P » obtenue au mémoire, à l’UE d’algorithmique et calcul formel, à l’UE de biologie ou à l’UE d’économie constituera les 2/3 de la note de l’UE projet, la note « m» obtenue grâce aux devoirs et interrogations orales du semestre 6 le tiers restant.

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EL6MAF

LANGUES - 3 ECTS

Equipe Pédagogique : Rashard KHADAROO enseignant d’anglais Gérard ROUZIES enseignant d’anglais Muriel COMET enseignante d’allemand Jacqueline RUSSON enseignante d’espagnol Serge ARBIOL enseignant de russe Mots clés : communication – langues de spécialités Objectifs/Généralités : L’objectif majeur est d’atteindre le niveau européen B2 (voir grille portfolio européen des langues/CLES). L’enseignement en L3 vise à développer les compétences langagières et communicationnelles, à l’écrit et à l’oral, dans les domaines scientifiques et techniques, dans le contexte professionnel ainsi que dans la vie quotidienne. Les thèmes traités porteront sur le domaine large de spécialité. La majorité de l’enseignement met l’accent sur la communication orale. Travaux Dirigés/Enseignements dirigés : Modalités de contrôles et d’examens L’évaluation s’effectuera par spécialité en raison des effectifs élevés de certaines licences. Pour les effectifs réduits, il sera envisagé de regrouper 2 spécialités lorsque les sujets sont proches ou de fonctionner par domaine. Rappel : la note minimum pour que le système de compensation soit effectif est de 6/20 Toute absence à un contrôle continu doit être justifiée -- à l’avance lorsque l’absence est prévue, -- sinon dans les 5 jours qui suivent l’épreuve (certificat médical, attestation, etc.). Pour toute absence non justifiée, l’étudiant est considéré comme défaillant. Les étudiants dispensés d’assiduité doivent entrer en contact avec l’enseignant responsable de leurs cours de langues afin de s’informer du contenu pédagogique concernant l’évaluation du Contrôle continu. Session 1 : Contrôle continu : 60 % Rattrapage obligatoire pour les CC. Contrôle terminal : 40 % Rattrapage pour les CT en session 2. Session 2 : Report de la note de contrôle continu de la session 1 : 30 % Contrôle terminal : 70 % Rattrapage du semestre 1 : compréhension globale et évaluation de l’expression anglaise - supports écrits. Rattrapage du semestre 2 : rédaction d’un essai en anglais (expression d’idées personnelles) - supports écrits

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