CCP-MP I 1999 - Particule Dans Une Cuvette Parabolique

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Physique

MECANIQUE DU POINT MATERIEL PROBLEME

- PROBLEME DE MECANIQUE DU POINT 2 -

l ENONCE : Particule dans une cuvette parabolique On dsire tudier les mouvements possibles dun point matriel M, de masse m, sous laction du champ de pesanteur gr , lintrieur dune cavit fixe que lon suppose solidaire dun rfrentiel terrestre ( , , , )x y zO e e e

r r r suppos galilen.

La surface extrieure de cette cavit est un parabolode de rvolution (P), daxe vertical

ascendant Oz, dont lquation en coordonnes cylindriques ( , , zr j ) est : 2 ( 0)az ar = f Cette surface tant parfaitement lisse, le point matriel M glisse sans frottement sur (P) ; on suppose en outre la liaison unilatrale, cest--dire que les coordonnes et zr de M satisfont lingalit : 2 /z ar . Compte tenu de la symtrie du problme, on utilisera les coordonnes cylindriques de M, la base de projection tant celle de ( , , , )c zO e e er j

r r r.

x

y

z

M

P

H

O

r

gr

j

I. Moment cintique

1.1) Exprimer, dans la base de c , la vitesse de M par rapport .

1.2) Quelle est lexpression, dans la base de c , du moment cintique en O, oLr

, par

rapport ? En dduire sa projection selon laxe Oz . 1.3) Montrer que la raction R

r quexerce le parabolode (P) sur M est contenue dans le

plan OHM. En appliquant le thorme du moment cintique en O, sous forme vectorielle, montrer

que la projection de oLr

sur Oz se conserve au cours du temps.

Expliciter cette relation de conservation en fonction de et r j ; dans la suite, pour simplifier lcriture, on dsignera par L cette constante.


Physique


II. Energie 2.1) Quelle est, en fonction des coordonnes et de leurs drives, lexpression de lnergie cintique cE de la particule M par rapport ? 2.2) Justifier lexistence dune nergie potentielle pE dont drivent les forces extrieures

agissant sur M. Exprimer pE en fonction de r en supposant que (0) 0pE = . 2.3) Que peut-on dire de lnergie mcanique de M dans le champ de pesanteur ?

III. Discussion gnrale du mouvement 3.1) Dduire de ce qui prcde une quation diffrentielle du premier ordre, une seule inconnue, de la forme :

2

,

1( ) ( )

2 p e f md

m G E Edtr

r r + =

o ( )G r est positif, sans dimension et o , ( )pefE r est une nergie potentielle effective.

Expliciter ,( ) et ( )pefG Er r .

3.2) Reprsenter avec soin le graphe , ( )pefE r ; monter que , ( )pefE r passe par un

minimum pour une valeur mr de r que lon exprimera en fonction de , , et L m a g , intensit du champ de pesanteur. 3.3) Discuter, laide du graphe , ( )pefE r la nature du mouvement de M ; en dduire que la trajectoire de M sur le parabolode (P) est ncessairement trace sur une rgion de (P) limite par deux cercles dfinis laide des constantes du mouvement et des donnes du problme : on se contentera dindiquer quelle quation il conviendrait de rsoudre pour dterminer ces deux cercles.

IV. Etude de quelques mouvements particuliers

4.1) A quelle condition sur L la trajectoire de M sur (P) est-elle une parabole mridienne ? 4.2) Dterminer les conditions initiales auxquelles il faut satisfaire pour que la trajectoire de M sur (P) soit un cercle horizontal. 4.3) Une petite perturbation carte lgrement la coordonne r de la valeur mr pour laquelle , ( )pefE r est minimale ; montrer que me r r= - oscille avec une priode que lon

calculera dans le cas o 1 et 2 m m a mr = = .

On prendra 29,81 .g m s-= . 4.4) Lexprience montre que la bille se stabilise finalement au fond de la cuvette, quelles que soient les conditions initiales du mouvement ; commenter laide du graphe , ( )pefE r Rq : ce problme est la premire partie de lpreuve de Physique 1 du concours CCP-MP 99 (partie faire en 2 heures)

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Physique


l CORRIGE : Particule dans une cuvette parabolique

1.1) En coordonnes cylindriques, on a : zOM e zerr= +uuuur r r

et zd d dz

v e e edt dt dtr jr j

r= + +r r r r

1.2) Par ailleurs :

/

0 //

o

d dt

L mOM v m d dtz dz dt

r r

r j= = uuuurr r

2

/

/ //

o

zd dt

L m zd dt dz dtd dt

r j

r rr j

-

= -r

On en dduit : 2

Oz

dL m

dtj

r=

1.3) Comme il ny a pas de frottements, la raction Rr

est porte par la normale locale au parabolode (P) ; ce parabolode tant de rvolution (il y a invariance par rotation autour de laxe Oz), la normale passe par cet axe de rvolution : comme on peut le voir sur la figure de

lnonc, la raction Rr

appartient donc au plan OMH. En appliquant le thorme du moment cintique en projection sur laxe Oz, il vient :

( )[ ( )] ( ) ( ) 0Oz Oz z Oz z z z

dL d L e dLe OM R mg e e OM R mg

dt dt dt

= = = + = + =r rr uuuur uuuurr rr r r r r

en effet, ze OMuuuurr

est port par ejr

, et R mg+r r

na pas de composante selon ejr

.

On en dduit donc : 2

Oz

dL cste m L

dtj

r= = =

2.1) Lnergie cintique sexprime par :

2 2 221 1

2 2cd d dz

E mv mdt dt dtr j

r = = + +

2.2) Les seules forces extrieures sont la raction Rr

, qui ne travaille pas, et le poids mgr qui drive de lnergie potentielle :

2

pE mgz cste mgz mg ar

= + = = (puisque (0) 0pE = )

2.3) Les deux forces tant conservatives, il y a conservation de lnergie mcanique,

soit : m c pE E E cste= + = 3.1) On a donc :

2 2 2 212m c p

d d dzE E E m mg

dt dt dt ar j r

r = + = + + +

avec : 2dz d

dt a dtr

r= et 2

d Ldt mj

r=

Aprs calculs, on obtient effectivement : 2

,

1( ) ( )

2 p e f md

m G E Edtr

r r + =

o : 2

2( ) 1 4G ar

r = + et 2 2

, 2( )

2pefL

E mga mr

rr

= +


Physique


3.2) Lorsque 0r , ,pefE se comporte comme 2

22Lmr

branche hyperbolique

Lorsque r , ,pefE se comporte comme 2

mgar

branche parabolique

Par ailleurs : 2

,3

( ) 20pef

dE mg Ld a m

r rr r

= - = pour : 1 /42

22maLgm

r r

= =

On peut alors tracer le graphe , ( )pefE r :

0

, ( )pefE r

mr r

mE

minr maxr

3.3) Le terme 21

( )2

dm G

dtr

r

tant positif, on a ncessairement : , ( )m pefE E r

Comme on peut le constater sur le graphe prcdent, la distance r du point M laxe Oz est comprise entre deux valeurs min max et r r , ce qui correspond une portion de surface du parabolode comprise entre deux cercles de rayons respectifs min max et r r (ces cercles pourraient

tre dfinis par leur altitude respective 2 2min min max max/ et /z a z ar r= = ).

Les deux valeurs min max et r r sont solutions de lquation : , ( )m pefE E r= 4.1) Pour que la trajectoire soit une parabole mridienne, il faut que :

cstej = 0ddtj

= 0L = ou (0) 0ddtj

=

4.2) Pour que la trajectoire de M soit un cercle horizontal, il faut que :

2

z cstear

= = ceci nest possible (cf. courbe) que pour : 1 /42

22maLgm

r r

= =

Par ailleurs, la conservation du moment cintique impose :

2 dL m cstedtj

r= = 2(0)m

d d Lcste

dt dt mj j

r= = =

2(0)

d gdt aj

=


Physique


En rsum : pour obtenir une trajectoire circulaire horizontale, on peut lancer la particule de nimporte quel point du parabolode (P), condition de lui communiquer (quelle que soit la

hauteur de dpart) une mme vitesse orthoradiale 2

(0)g

v ea j

=r r

( et z cstesr = on a

videmment / / 0d dt dz dtr = = ) : le rsultat navait rien dvident priori !

4.3) Puisque me r r= - , on a / /d dt d dtr e= ; dans lquation diffrentielle du

mouvement (conservation de lnergie mcanique), le terme en 2d

dtr

est un infiniment petit du

second ordre : on peut donc prendre ( )G r lordre zro en e , soit 2

2( ) ( ) 1 4m

mG G ar

r r = +; , et dvelopper , ( )pefE r lordre deux en e . Do :

22, , 2

, , 2( ) ( ) ( )2m m

p e f pefp e f p e f m

dE d EE E o

d dr r r r

er r e e

r r= =

= + + + avec , 0m

pefdE

d r rr ==

Par ailleurs : 2 2

,2 4

2 3( )pef

d E mg Ld a m

rr r

= + 2

,2

8

m

pefd E mgd a

r rr

=

=

Lintgrale premire du mouvement devient :

2 22

,2

1 41 4 ( )

2m

p e f m md mg

m E Edt a a

rer e

+ + + =

En drivant l quation prcdente par rapport au temps, il vient :

2

22

2

8 10

1 4 m

d gdt a

a

ee

r+ =

+ la priode du mouvement vaut :

2

21 42maT

g ar

p

= +

Application numrique : 1,42 T s= 4.4) En pratique, il y a toujours des frottements qui font diminuer lnergie mcanique

mE : d aprs le graphe de la question 3.2), la trajectoire de la particule tend vers un cercle horizontal de rayon mr r= . Dans le mme temps, la raction tangentielle du parabolode sur la particule nest plus nul : son moment, projet sur laxe Oz, va faire diminuer L , donc mr (daprs la relation de la question 3.2) ). Ainsi, 0mr , et la particule simmobilise au fond de la cuvette ( 0m p cE E E= = = ).

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