CENTRE DES CLASSES PRÉPARATOIRES LYDEX ...PCSI-LYDEX 1.2. COURANT ÉLECTRIQUE ⊲ Pour un circuit de dimension ℓmax = 3 m, on trouve τmin ≫ 10−8 s; on pourra donc se placer

CENTRE DES CLASSES PRÉPARATOIRES

LYDEX-Benguerir/Maroc

COURS DE PHYSIQUE

PCSI/MPSI/TSI

ÉLECTRONIQUE

SAID EL FILALI

PCSI-LYDEX

20 juin 2018 Page -2- [email protected]

Première partie

ÉLECTRONIQUE

3

TABLE DES MATIÈRES

I ÉLECTRONIQUE 3

1 LOIS GÉNÉRALES DANS LE CADRE DE L’A.R.Q.P 91.1 INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Courant électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2 Bilan de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.3 Loi des nœuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Tension électrique, loi des mailles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 La puissance électromagnétique reçue par un dipôle . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Caractère générateur et récepteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 ÉLÉMENTS DE CIRCUITS LINÉAIRES EN RÉGIME CONTINU OU QUASI-PERMANENT2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Modélisation de dipoles passifs linéaires R,C et L . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1 Le conducteur ohmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.1.1 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.1.2 Association des conducteurs ohmiques . . . . . . . . . . . . . 142.2.1.3 Effet JOULE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.2 Le condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.2.1 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.2.2 Association des condensateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.2.3 Aspect énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.3 La bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.3.1 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.3.2 Aspect énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Diviseurs de tension et de courant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.1 Diviseurs de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.2 Diviseurs de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Modélisations linéaires d’un dipôle actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.1 Générateur de courant (représentation de Norton) . . . . . . . . . . . 192.4.2 Générateur de tension (représentation de Thevenin) . . . . . . . . . . 192.4.3 Équivalence entre les deux modélisations . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5 Sources libres. Sources liées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5

PCSI-LYDEX TABLE DES MATIÈRES

2.6 Théorème de Millman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Régime transitoire 213.1 Cas du circuit (R-C) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1 Charge du condensateur (régime forcé) : . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.1.1.1 L’équation différentielle : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.1.1.2 Détermination expérimentale de la constante de temps τ : . . 22

3.1.1.2.1 La pente à l’origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.1.1.2.2 la valeur de u(τ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.1.2.3 Temps de montée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.1.3 Le portrait de phase : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.1.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.1.3.2 Représentation dans le plan de phase . . . . . . . . . 25

3.1.1.4 Aspect énergétique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.2 Décharge du condensateur (régime libre) : . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.2.1 Équation différentielle et solution : . . . . . . . . . . . . . . . 263.1.2.2 L’équation de la trajectoire de phase : . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 Cas du circuit (R-L) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.1 Régime forcé : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.1.1 L’équation différentielle et solution . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.1.2 Portrait de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.1.3 Aspect énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.2 Régime libre : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3 Circuit (RLC) série : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.1 Régime libre : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3.1.1 Régime apériodique ∆

′ > 0 : . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3.1.2 Régime critique ∆

′= 0 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3.1.3 Régime pseudopériodique ∆′ < 0 : . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.2 Régime forcé : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 Régime alternatif sinusoidal 454.1 Amplitude complexe ,Impedance et admittance complexes . . . . . . . . . . . 45

4.1.1 Amplitude complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.1.2 Impédance complexe et admittance complexe : . . . . . . . . . . . . . 47

4.1.2.1 Définitions : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.1.2.2 Applications : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.1.2.2.1 Impédance d’un resistor . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.1.2.2.2 Impedance d’une bobine idéale . . . . . . . . . . . . . 484.1.2.2.3 Impedance d’un condensateur . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 Étude du circuit RLC série en régime sinusoidal forcé . . . . . . . . . . . . . 494.2.1 Régime transitoire et régime permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2.2 Étude de l’impedance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2.3 Résonance en tension aux bornes du condensateur (Charge) . . . . . 51

4.2.3.1 Équation différentielle et solution . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2.3.2 Étude de l’amplitude Uc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2.3.3 La bande passante à -3dB pour la charge . . . . . . . . . . . . 534.2.3.4 Étude du déphasage φ = ϕc − ϕe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54



4.2.4 Résonance en intensité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2.4.1 Étude de l’amplitude Im . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2.4.2 La bande passante à -3dB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2.4.3 Étude du déphasage ϕ = ϕi − ϕe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3 La puissance : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3.1 Facteur de puissance : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3.2 Adaptation d’impedance : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5 Diagrammes de BODE des filtres du premier et second ordre 61

5.1 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.1.3 Lien entre la fonction de transfert et l’équation différentielle . . . . . 62

5.1.4 Diagrammes de BODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.2 Filtrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.2.2 Principaux types de filtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.3 Filtres du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.3.1 Filtre passe-bas du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.3.1.1 L’étude d’un exemple : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.3.1.2 Diagramme de Bode pour le gain : . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.3.1.3 Diagramme de Bode pour la phase : . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.3.2 Filtre passe-haut du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.3.2.1 L’étude d’un exemple : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.3.2.2 Diagramme de Bode pour le gain : . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.3.2.3 Diagramme de Bode pour la phase : . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.4 Filtres du deuxième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.4.1 Filtre passe-bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.4.1.1 L’étude d’un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.4.1.2 Diagramme de Bode pour le gain . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.4.1.3 Diagramme de Bode pour la phase . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.4.2 Filtre passe-haut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71




5.4.3 Filtre passe-bande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73




5.4.4 Filtre coupe (ou réjecteur) de bande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76



5.4.4.2.1 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . 77

5.4.4.2.2 Représentation graphique du gain pour quelques valeurs de Q5.4.4.2.3 La bande passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77




6 Filtrage linéaire des signaux périodiques 816.1 Composition en fréquence d’un signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.1.1 Représentation temporelle et fréquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . 816.1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.1.2.1 Signal sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.1.2.2 Signal carré impair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.1.2.3 Signal carré pair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.1.2.4 Signal triangulaire pair de pentes symétriques . . . . . . . . . 866.1.2.5 Signal dent de scie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.1.2.6 Signal sinusoidal pair redressé monoalternance . . . . . . . . 876.1.2.7 Signal sinusoidal pair redressé doublealternance . . . . . . . 886.1.2.8 Signal rectangulaire pair de rapport cyclique α quelconque . 88

6.1.3 L’aspect énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.2 Traitement d’un signal périodique par un système linéaire . . . . . . . . . . . 89

6.2.1 Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.2.2 Application 1 : CNC 2009 Filière MP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90


CHAPITRE 1

LOIS GÉNÉRALES DANS LE CADRE DE L’A.R.Q.P

LOIS GÉNÉRALES DANS LE CADRE DE L’APPROXIMATION DES RÉGIMES QUASI-PERMANENTS

1.1 INTRODUCTION

L’éléctrocinétique :Il s’agit de l’étude du transport d’information (courant électrique ) dans des réseauxélectriques. Cadre de l’étude :

L’étude de l’éléctrocinétique se fait dans le cadre de l’Approximation des états (ou ré-gimes) quasi-stationnaires ( quasi-permanent ) noté ARQP ou AEQS (plus de détail voirMP). en effet :L’approximation des états quasi-stationnaires consiste à limiter l’étude des réseaux éléc-trocinétiques à des dimensions maximales ℓmax et à des durées minimales τmin vérifiant lacondition suivante :

ℓmax

τmin≪ co c0 = 2, 99792458 108 ms−1

co étant la célérité de la lumière .

Dans ce cadre,on peut négliger tout phénomène de propagation dans le réseauéléctrocinétique ; en particulier, la modification d’une grandeur électrique en unpoint du circuit a pour conséquence des modifications instantanées des gran-deurs analogues caractérisant les autres points du réseau.

Remarque

9

PCSI-LYDEX 1.2. COURANT ÉLECTRIQUE

⊲ Pour un circuit de dimension ℓmax = 3 m, on trouve τmin ≫ 10−8 s ; on pourradonc se placer dans le cadre de l’ARQP pour l’étude d’un signal de fréquencefmax ≪ 108 Hz = 100 MHz, ce qui correspond à ce qu’on appelle électroniquebasse fréquence.⊲ Par contre, l’électronique de haute fréquence peut imposer la miniaturisationdes circuits, sous peine de sortir du domaine de l’ARQP; ainsi à la fréquencede réception des signaux de téléphonie cellulaire ( f = 1800 MHz donc τmin =

5, 6.10−10 s), l’ARQP impose ℓmax ≪ 17 cm, ce qui est nettement plus restrictif.⊲ Pour le courant industriel, à la fréquence f = 50 Hz, donc avec τmin = 20ms ; la condition de l’ARQP impose donc ℓmax ≪ 6000 km : cette condition estaisément remplie pour un réseau domestique ou une installation industrielle. Parcontre, dans un réseau d’alimentation de puissance à l’échelle continentale, il estindispensable de prendre en compte les effets de propagation.

Exemples

1.2 Courant électrique

1.2.1 Définition

Une charge électrique dq qui traverse une surface S pendant un intervalle detemps dt crée un courant d’intensité i telle que :

i =dqdt⇐⇒ q =

∫

i dt

Si q(C) et t(s) alors i(A).

DéfinitionCourant électrique

Le sens du courant est le sens du déplacement des porteurs de charges positifs.

Remarque

1.2.2 Bilan de charges

On admet que la charge (q) et la masse (m) d’un système isolé sont conservatives.

1.2.3 Loi des nœuds

On appelle nœud un point de jonction entre au moins trois fils de connexion.

DéfinitionLoi des nœud

La loi des nœuds est une conséquence de la conservation de la charge électrique dans


PCSI-LYDEX 1.3. TENSION ÉLECTRIQUE, LOI DES MAILLES

le cadre de l’ARQP. La charge électrique ne peut pas s’accumuler au niveau des nœuds.

∑

ie =

∑

is ⇐⇒N∑

k=0

εkik = 0

avec ε2= 1.

C’est la première loi de KIRCHHOFF .

1.3 Tension électrique, loi des mailles

On appelle branche un ensemble de dipôles montés en série entre deux nœuds . On appelle maille un ensemble de branches formant un contour fermé .

Une maille peut être orientée arbitrairement.

Remarque

On admet que la somme algébrique des tensions (ou différence de potentiel ) dansune maille est nulle : c’est la deuxième loi de KIRCHHOFF .

N∑

k=0

εkuk = 0

1.4 La puissance électromagnétique reçue par un di-

pôle

Soit un dipôle D traversé par un courant électrique i(t) , maintenant entre ces bornesune tension uAB.

D

i(t)

u(t)La puissance électromagnétique reçue par le dipôle D est donnée par :

P = uAB(t)i(t)

Et par conséquent l’énergie reçue pendant la durée t f − ti vaut :

W =

∫ t f

ti

uAB(t)i(t) dt

On adopte la convention thermodynamique :• L’énergie reçue par un système sera comptée positive.• L’énergie fournie par un système sera comptée négative.

Remarque


PCSI-LYDEX 1.5. CARACTÈRE GÉNÉRATEUR ET RÉCEPTEUR

1.5 Caractère générateur et récepteur

Di(t)

u(t)Convention générateur

Di(t)

u(t)Convention récepteur

En convention générateur les flèches représentant la tension et le courant sontdans le même sens La quantité P = ui représente la puissance électrique cédée par ledipôle au reste du circuit. En convention récepteur les flèches représentant la tension et le courant sont en

sens inverses. La quantité P = ui représente la puissance électrique reçue par le dipôle .


CHAPITRE 2

ÉLÉMENTS DE CIRCUITS LINÉAIRES EN RÉGIME

CONTINU OU QUASI-PERMANENT

2.1 Définition

Soit un dipôle D traversé par un courant i(t) maintient entre ces bornes une tensionu(t)

D

i(t)

u(t)

Le dipôle D est dit linéaire si le courant i(t) et la tension u(t) sont reliés par une équationlinéaireExemples :Le conducteur ohmique , le condensateur , la bobine , le générateur (dans le domaine delinéarité (voir TD))

2.2 Modélisation de dipoles passifs linéaires R,C et L

2.2.1 Le conducteur ohmique

2.2.1.1 Modélisation

i

u

Résistor

Ri(t)

u(t)

≡

On modélise un resistor par une résistance R tel que :

u = Ri

13

PCSI-LYDEX 2.2. MODÉLISATION DE DIPOLES PASSIFS LINÉAIRES R,C ET L

On conclut que le résistor est un dipôle linéaire.

1. Pour un fil cylindrique de section S et de longueur ℓ et de résistivité ρ alors :

R =1G= ρℓ

S=

1σ

ℓ

S

avec : G la conductivité (S (siemens)) , ρ la résistivité du conducteur (Ω.m)et σ la conductivité du conducteur (S .m−1)

2. ρ représente la résistance d’un d’un fil de section 1 m2 et de longueur 1 m ;ainsi pour σ.

3. Un conducteur ohmique est dit parfait s’il ne présente pas de propriétés dié-lectiques (εr = 1) et magnétiques (µr = 1).(Voir cours d’électromagnétismesdes milieux)

Remarque

2.2.1.2 Association des conducteurs ohmiques

Des résistances sont montées en série s’elles sont traversées par lemême courantet on a :

Re =

i=N∑

i=1

Ri

Des résistances sont montées en parallèle s’elles sont maintenues par la mêmetension et on a :

1Re=

i=N∑

i=1

1Ri

Application :Deux résistances R1 et R2 en parallèle alors :

Re =R1R2

R1 + R2=

ProduitS omme

2.2.1.3 Effet JOULE

Lorsque un courant i traverse une résistance R pendant la durée dt , on a dissipationde l’énergie

dEJ = dWJ = uRiR dt =⇒ WJ =

∫ t f

ti

uRiR dt

En continue :

WJ = RI2∆t =⇒P J = RI2



2.2.2 Le condensateur


Constitué par deux conducteurs en influence totale ,séparés par un diélectrique (pa-pier ,mica ,plastique,.....) ;on le modélise par une capacité C en parallèle avec une resis-tance de fuite R f .

A BDiélectrique

≡

.

R f

C

A B

Pour les condensateurs électrochimiques (polarisés) la valeur de C varie de quelques mFà quelques F la résistance de fuite R f > 1MΩUn condensateur est dit idéal si R f →∞

Convention récepteur

i

+q −qA B

u

Le condensateur se charge

u =qC

; i =dqdt> 0

Convention générateur

i

+q −qA B

u

Le condensateur se décharge

u =qC

; i = −dqdt< 0

1. Pour un condensateur plan dont les armatures ont une section S et séparé

par une distance e on a :C = εoSe.

2. Si l’espace entre les armatures du condensateur est rempli par un diélec-trique de permitivité diélectrique εr alors C = εrCo

Remarque

2.2.2.2 Association des condensateurs

• Association série :1

Ce=

i=N∑

i=1

1Ci

• Association parallèle :

Ce =

i=N∑

i=1

Ci



2.2.2.3 Aspect énergétique

L’énergie d’un condensateur idéal est :

Epe =q2

2C=⇒ P(t) = lim

∆t→0

∆Epe

∆t=

12C

lim∆t→0

∆q2

∆t

La tension aux bornes du condensateur ainsi sa charge sont des fonctions conti-nues en fonction du temps.

Remarque

En effet : on suppose qc est discontinue ;c’est àdire ∆qc , 0 ∀ ∆t < εSi qc est discontinue alors q2

c est discontinue cequi donne :

P(t) =1

2Clim∆t→0

∆q2

∆t→ ∞ impossible physi-

quement .Donc La charge (la tension ) du condensa-teur est continue

t

q(t)

∆qc

to

La valeur de C ; la tension Umax ainsi la polarité sont données par le constructeur.

Remarque

2.2.3 La bobine

Une bobine est un fil conducteur enroulé sur un isolant


On modélise une bobine par une inductance L en série avec une resistance r.

Lir

On convention récepteur on donc :

u = Ldidt+ ri


PCSI-LYDEX 2.3. DIVISEURS DE TENSION ET DE COURANT.

Pour les bobines sans noyau de fer : L = cte(i),L ne depend pas de i.Par contreles bobines avec noyau de fer L = L(i)Mais pour i faible on peut considérer L ≃ cte (un DL à l’ordre 0 au voisinage de i)

L’énergie d’une bobine parfaite (r = 0) : Epm =12

Li2

Association des bobines parfaites :

⋆ Parallèle :1Le=∑ 1

Li

⋆ Série : Le =∑

Li

Remarque


• L’intensité du courant qui traverse une bobine est une fonction continuede temps

2.3 Diviseurs de tension et de courant.

2.3.1 Diviseurs de courant

Soit une association parallèle des résistances Rk :

I

IN

Ik

I1

I

Soit Re la résistance équivalente ;c’est à dire1Re=

k=N∑

k=1

1Rk

; on a donc :U = RkIk = ReI avec

I le courant principal ; il en résulte que :

Ik =Re

RkI

C’est le diviseur de courant

Cas particulier important :N = 2

I1 =R2

R1 + R2I et I2 =

R1

R1 + R2I


PCSI-LYDEX 2.4. MODÉLISATIONS LINÉAIRES D’UN DIPÔLE ACTIF

Si R1 = R2 =⇒ I1 = I2 =I2: méthode demi-courant utiliser pour déterminer les

résistances de faibles valeurs (voir TP)

Remarque

2.3.2 Diviseurs de tension

Soit une association série de N résistances Rk avec k = 1→ N :R1 R2

RNU

Rk RN−1

Soit Uk la tension aux bornes de la résistance Rk et Re la résistance équivalente c’est à

dire Re =k=N∑

k=1Rk .On a : I =

Uk

Rk=

URe

; ce qui donne la loi du diviseur de tension :

Uk =Rk

ReU =

Rk

k=N∑

k=1Rk

U

Cas particulier important :N = 2

U1 =R1

R1 + R2U et U2 =

R2

R1 + R2I

Si R1 = R2 =⇒ U1 = U2 =U2

: méthode demi-tension utiliser pour déterminer les

résistances de grandes valeurs (voir TP)

Remarque

2.4 Modélisations linéaires d’un dipôle actif

Soit un circuit électrique linéaire ( constitué des dipoles linéaires) contenant unesource de puissance électrique ; A et B deux points de ce circuit.

bc

bc

A

BCircuit

linéaireUAB

I


PCSI-LYDEX 2.4. MODÉLISATIONS LINÉAIRES D’UN DIPÔLE ACTIF

2.4.1 Générateur de courant (représentation de Norton)

Vue entre les points A et B de la branche AB on peut modéliser le reste du circuit parun générateur de courant réel de courant électromoteur IN et de résistance interne rN (générateur de courant idéal en parallèle avec une résistance) : C’est la modélisation deNORTON .

bc

bc

UAB

A

B

I

IN RN

Dans cette modélisation on a :

I = IN −UAB

RN= IN −GNUAB

2.4.2 Générateur de tension (représentation de Thevenin)

Vue entre les points A et B de la branche AB on peut modéliser le reste du circuitpar un générateur de tension réel de force électromotrice Eth et de résistance internerth ( générateur de tension idéal en série avec une résistance) : C’est la modélisation deTHEVENIN .

bc

bc

UAB

A

B

I

Eth

rth

Dans cette modélisation on a :

UAB = Eth − rthI =⇒ I =Eth

rth− UAB

rth

2.4.3 Équivalence entre les deux modélisations

Puisque dans les deux modèles de THEVENIN et NORTON le courant I et la tensionUAB sont les mêmes quelque soit le circuit linéaire alors on en déduit que :

IN =Eth

rthet rN = rth


PCSI-LYDEX 2.5. SOURCES LIBRES. SOURCES LIÉES

2.5 Sources libres. Sources liées

• Un générateur (de tension ou de courant ) est une source de puissance qui fournitde l’énergie au circuit extérieur .• Générateur indépendant : source de puissance électrique indépendante d’autre gran-deur électrique du circuit.• Générateur lié : si une des grandeurs physiques dépend d’une grandeur électrique ducircuit .Exemple :Le transistor : c’est un générateur de courant en régime linéaire puisque Ic = βIB (géné-rateur de courant lié).

2.6 Théorème de Millman

Le théorème de MILLMANN n’est rien d’autre que la loi des nœuds exprimé en termede potentiel (référence commune est la masse ).

R1

I1

R2

I2

R3

I3

R4

I4

I6

I5

b

b

b

bbV1

V2

V3

V4

M

On a :I1 + I2 + I3 + I4 − I5 + I6 = 0

I1 =V1 − VM

R1= G1(V1 − VM)

I2 =V2 − VM

R2= G2(V2 − VM)

I3 =V3 − VM

R3= G3(V3 − VM)

I4 =V4 − VM

R4= G4(V4 − VM) G1(V1 − VM)+G2(V2 − VM)+G3(V3 − VM)+G4(V4 − VM)− I5 + I6 = 0

On tire que :

VM =−I5 + I6 +G1V1 +G2V2 +G3V3 +G4V4

G1 +G2 +G3 +G4=

∑

GiVi + εIi∑

Gi


CHAPITRE 3

RÉGIME TRANSITOIRE

Le but est de déterminer la constante de temps τ caractéristique du régime transi-toire.Pout cela excitons un système linéaire par une tension continue à t = 0 .

On appelle échelon de tension e(t) défini par : e(t)

E si t > 00 si t < 0

t

E

e(t)

0

3.1 Cas du circuit (R-C) :

Considérons le circuit suivant :

E

K

R

C u

i(t)(1)

(2)

21

PCSI-LYDEX 3.1. CAS DU CIRCUIT (R-C) :

3.1.1 Charge du condensateur (régime forcé) :

Le condensateur est initialement déchargé :q(0) = 0 =⇒ uc(t = 0) = 0à t = 0 on bascule K vers (1) : C se charge .

3.1.1.1 L’équation différentielle :

Appliquons la loi des mailles au circuit on obtient :

E − RI − qC= 0 =⇒ dq

dt+

qRC=

ER

c’est l’équation différentielle du circuit

La solution de cette équation différentielle s’écrit : q(t) = Ae−t/τ+ CE ; avec τ = RC la

constante du temps caractéristique du régime transitoire.Or par continuité de la charge du condensateur , on a :q(0) = 0 =⇒ A = −CEDonc : q(t) = CE(1− e−

tτ )

Lorsque t → ∞, q(t)→ CE = Q f

q(t) = CE(1− e−t/τ) =⇒ u(t) = E(1− e−t/τ)

L’expression du courant électrique :

i(t) =dqdt= Ime−

tτ avec Im =

ER

On a : i(0−) = 0 , i(0+) = Im on tire que i(t) est discontinu

Remarque

Représentation graphique

t t

E

u(t) i(t)Im =

ER

3.1.1.2 Détermination expérimentale de la constante de temps τ :

3.1.1.2.1 La pente à l’origine



t

E

u(t)

tM

M

On a l’équation de la pente à l’origine (droite)D s’écrit sous la forme y = kt avec

k =du(t)

dt

)

t=0=

Eτ

L’intersection des deux droites au point M en tM = τ

L’intersection de la pente à l’origine avec le régime permanent se fait en

t = τ = RC

Propriété

3.1.1.2.2 la valeur de u(τ)

t

E

u(t)

τ

63% E

Évaluons u(τ) avec u(t) = E(1− exp(−t/τ))

t = τ =⇒ u(τ) = E(1− 1e

) = 0, 63 E = 63%E

On retient que lors de la charge, la valeur 0, 63 E = 63%E correspond à t = τ

Propriété



3.1.1.2.3 Temps de montée :On définit deux instants t1 et t2 par u(t1) = 0, 1E et u(t2) = 0, 9E

Et puisque u(t) = E(1− exp(−t/τ) alors t1 = −τ ln 0, 9 et t2 = −τ ln 0, 1.

t

E

u(t)

10% E

90% E

t1 t2

tm = t2 − t1

On définit le temps de montée tm par

tm = t2 − t1 = τ ln 9 ≃ 2, 2τ

L’influence de la constante de temps τ sur la durée de la charge.Pour cela traçons la charge pour différentes valeurs de τ

t

E

u(t)

τ1

63% E

τ2 τ3

τ1 < τ2 < τ3

Si τ→ 0 alors la charge est presque instantanée

Remarque

La constante du temps τ = RC augmente avec la résistance du conducteur oh-mique ainsi la capacité du condensateur.

Notation



3.1.1.3 Le portrait de phase :

3.1.1.3.1 Définitions :

• C’est la représentation dans le plan (O, f (x),f (x)dt

) lorsque t varie.

• On appelle point de phase un point P figuratif dont les coordonnées à un instant donné

t sont ( f (t),d f (t)

dt).

• Lorsque t varie , le point P décrit une courbe, cette courbe est appelé trajectoire dephase.• On appelle portrait de phase l’ensemble des trajectoires de phase lorsque les condi-tions initiales varient.

3.1.1.3.2 Représentation dans le plan de phase :

Dans notre cas f (t) = q(t) etd fdt= i(t).

On a q(t) = CE(1− exp(−t/τ) et i(t) =ER

exp(−t/τ) alors :

i =ER− 1

RCq

C’est l’équation de la trajectoire de phase :droite de pente − 1RC

Lorsque E varie alors la trajectoire de phase décrit des droites parallèles.

q(t)

i(t)

3.1.1.4 Aspect énergétique :

On a : E = Ri +qC=⇒ Eidt = Ri2dt +

1C

qdq

Eidt = Ri2dt + d(q2

2C)

On appelle :

Wc =q2

2C: énergie totale emmagasinée dans le condensateur .

δWg = Eidt : énergie élémentaire fournit par le générateur .δWJ = Ri2dt : énergie élémentaire dissipée par effet Joule dans le circuit .

∫ t

0Eidt =

∫ t

0Ri2dt +

∫ q

0

qC

dq



3.1.2 Décharge du condensateur (régime libre) :

3.1.2.1 Équation différentielle et solution :

Quand le condensateur est chargé (q = CE = Q f ) ,on bascule l’interrupteur vers laposition (2) :donc en prenant l’instant de basculement comme origine des temps ,lesconditions initiales seront :q(0) = CE = Q f ; i(0) = 0

Ri +1C

q = 0 =⇒ dq +1τ

q = 0

La solution est :q(t) = Ae−t/τ en utilisant les C.I on obtient :

q(t) = CEe−t/τ=⇒ u(t) = Ee−t/τ ‖ i(t) = −E

Re−t/τ

t

E

u(t)

10% E

90% E

t1 t2

tm = t1 − t2

• Lors de la décharge on a :

td = t10%− t90%

• q(τ) = 0, 37CE• Le régime permanent est q = 0 (q(t) est une fonction décroissante).

3.1.2.2 L’équation de la trajectoire de phase :

D’après ce qui précède on tire que :

i = − 1RC

q

C’est une droite affine


PCSI-LYDEX 3.2. CAS DU CIRCUIT (R-L) :

q(t)i(t)

• Si on remplace le générateur E et l’interrupteur K par un générateur délivrantun signal rectangulaire (E,0) on obtient le signal suivant :

Remarque

La suite

voir TP.

3.2 Cas du circuit (R-L) :

3.2.1 Régime forcé :

3.2.1.1 L’équation différentielle et solution

On remplace le condensateur par une bobine idéale dans le circuit précèdent :



E

K

R

Li(t)(1)

(2)

L’interrupteur k est en position (1) : E = Ri + Ldidt

donc :

didt+

RL

i =EL

c’est l’équation différentielle du circuit

La solution de cette équation différentielle en posant

τ =LR

: constante du temps

Et en tenant compte que le courant qui traverse une bobine est continu alors on trouveque :

i(t) = Im(1− e−t/τ) avec Im =ER

t

Im

i(t)

τ

63% Im

La tension aux bornes de la bobine idéale est :

uL(t) = Ldidt= Ee−t/τ



t

E

uL(t)

τ

37% E

3.2.1.2 Portrait de phase

On a : i =ER

(1− exp(−t/τ)) ainsididt=

EL

exp(−t/τ)

didt=

EL− R

Li

Le portrait des phase est l’ensemble des droites parallèle de pente −RL= −1τ

i(t)

di(t)dt


E = Ri + Ldidt=⇒ Eidt = Ri2dt + d(

12

Li2)

• δWg = Eidt : l’énergie élémentaire fournie par le générateur.• δWJ = Ri2dt : l’énergie élémentaire perdue par effet Joule.

• δWm = d(12

Li2) : l’énergie élémentaire emmagasinée par la bobine.

Le bilan énergétique pour le circuit s’écrit

Wg = WJ +Wm


PCSI-LYDEX 3.3. CIRCUIT (RLC) SÉRIE :

3.2.2 Régime libre :

L’interrupteur maintenant en position (2) ; l’équation différentielle sera donc :

Ri + Ldidt= 0 ; les conditions initiales sont i(0) =

ER

par changement d’origine des dates ,la solution s’écrit :

i(t) =ER

e−t/τ

La tension au bornes de la bobine est :

uL(t) = −E e−t/τ

t

t

Im

i(t) uL(t)

−E

On vérifie bien que le courant qui traverse la bobine est continu par contre la tensionpas forcément continue.

3.3 Circuit (RLC) série :

Soit le circuit (RLC) série :

L C

R

i(t)

3.3.1 Régime libre :

Soit q la charge du condensateur et u la tension entre ces bornes. L’équation différen-tielle est :

Lq + Rq +1C

q = 0 =⇒ LCu + RCu + u = 0



On pose :

ωo =

√

1LC

: pulsation propre

2α =RL=ωo

Q;α cœfficient d’amortissement et Q le facteur de qualité

La forme canonique de l’équation différentielle sera :

q + 2αq + ω2oq = 0 =⇒ u + 2αu + ω2

ou = 0

L’équation caractéristique est : r2+ 2αr + ω2

o = 0On pose : ∆

′= α2 − ω2

o = (α − ωo)(α + ωo)

3.3.1.1 Régime apériodique ∆′ > 0 :

∆′ > 0 =⇒ α > ωo : Q <

12

Deux racines réelles distinctes : r± = −α ±√

α2 − ω2o

q(t) = Aer+t+ Ber−t

=⇒ q(t) = e−αt[Ae√α2−ω2

ot+ Be−

√α2−ω2

ot]

Lorsque t → ∞, e−αt l’emporte ;d’où q→ 0 sans osciller :C’est le régime apériodique.Détermination des constantes A et B :Pour cela on suppose que q(t = 0) = q0 et i(t = 0) = i0

A + B = q0

Ar1 + Br2 = i0=⇒

B =i0 + (α +

√

α2 + ω2o)qo

2√

α2 + ω2o

A =−i0 + (−α +

√

α2 + ω2o)qo

2√

α2 + ω2o

Representation graphique

Avec :ωo = 1,Q = 0, 4;q(0) = 5; i(0) = 0 =⇒ qap = −1, 6667e−2t+ 6, 667e−0,5t

t

q(t)

Variation de la charge dans le circuit RLC en régime apériodique

Le courant :i(t) = −1.666666667e−2t+ 6.666666667e−0,5t



t

i(t)

Variation du courant dans le circuit RLC en régime apériodique

La trajectoire de phase est :

q(t)

i(t)

Portrait de phase en régime apériodique

Trajectoire de phase est une courbe ouverte caractéristique d’un système apé-riodique

3.3.1.2 Régime critique ∆′= 0 :

∆′= 0 =⇒ α = ωo : Q =

12

Deux racines réelles confondues : r+ = r− = −α = −ωo

q = (c + dt)e−αt

Quand t → ∞, q→ 0 rapidement sans osciller : C’est le régime critique.




Conditions initiales :ωo = 1;Q = 0.5;q(0) = 5; i(0) = 0 =⇒ q(t) = 5 exp(−t) + 5t exp(−t); i(t) =−5t exp(−t)

t

q(t)

Variation de la charge dans le circuit RLC en régime critique

De même :

t

i(t)

Variation du courant dans le circuit RLC en régime critique




q(t)

i(t)

Portrait de phase en régime critique

• Le régime critique est le régime le plus rapide qui tend vers le régime perma-nent (q = 0)• Si c = 0 alors q(t) = dt e−αt

Représentation temporelle

q(t)

t

i(t)

t

Portrait de phasei(t)

q(t)

Remarque



3.3.1.3 Régime pseudopériodique ∆′ < 0 :

∆′ < 0 =⇒ α < ωo : Q >

12

∆′= α2 − ω2

o = i2Ω2 avec :Ω2= ω2

o − α2

Deux racines complexes conjuguées : r1 = −α+iΩ et r2 = −α−iΩ donc la solution s’écrit :

q(t) = e−αt(A cosΩt + B sinΩt) = C e−αt cos(Ωt + ϕ)

C’est une fonction pseudopériodique d’amplitude Qm = C e−αt variable en fonction dutemps Qm t → +∞−−−−−−→ 0

La pseudopériode est :

T =2πΩ=

To√

1− (α

ωo)2

=To

√

1− 14Q2


La fonction q(t) est le produit d’une fonction périodique est une fonction non pério-dique (amplitude), et puisque

−C e−αt6 C e−αt cos(Ωt + ϕ) 6 C e−αt

alors on représente les deux enveloppes puis la fonction q(t) (q(t) ne peut pas dépasserl’enveloppe) α = 0.5, ωo =

√9, 25,Ω = 3, ϕ = 0, qo = 1 =⇒ qpp = e−0.5t cos 3t


Conditions initiales :ωo = 8;Q = 10;q(0) = 5; i(0) = 0 =⇒ q(t) = exp(−0.4t)(5 cos(7, 99t) +0, 25 sin(7, 99t)); i(t) = exp(−0, 4t)[−40 sin(7, 99t) + 10−9 cos(7, 99t)]



t

q(t)

Variation de la charge dans le circuit RLC en régime pseudo-périodique

De même :

t

i(t)

Variation du courant dans le circuit RLC en régime pseudo-périodique




q(t)

i(t)

Portrait de phase en régime pseudo-périodique



On a T =2πΩ=⇒ T =

2π

ωo

√

1−( α

ωo

)2et comme To =

2πωo

ainsi2αωo=

1Q

Q étant le

facteur de qualité ; alors

T =To

√

1−( α

ωo

)2=

To√

1− 14Q2

Si α ≪ ωo =⇒ Q ≫ 1 ;en effet R très faible ,alors T ≃ To oscillations synchrones. Comme e−αt est un nombre sans dimension alors α à la dimension d’un temps−1

, on pose

α =1τ

τ s’appelle le temps de relaxation ou temps d’amortissement.

Donc pour t = τ l’amplitude Ce−αt(t = τ) =Ce

On conclut donc que :Le temps de relaxation est le temps nécessaire pourque l’amplitude se divise par e

Pour t = 10τ alors l’amplitude Ce−αt(t = 10τ) =C

22026.46579= 0.0000454C → 0

On retient donc que pour t > 10τ le régime transitoire disparaît.

Remarque

Aspect énergétique :

On a : Lq + Rq +1C

q = 0 =⇒ (12

Li2) + Ri2dt + d(1

2Cq2) = 0

• δWe = d(1

2Cq2) :l’énergie électrostatique élémentaire emmagasinée par le conden-

sateur .

• δWm = d(12

Li2) :l’énergie magnétique élémentaire emmagasinée par la bobine .

• δWe = Ri2dt :l’énergie élémentaire dissipée par effet Joule dans la resistance .

We +WJ +Wm = 0

le bilan énergétique pour le circuit (RLC série) libre



Decrement logarithmiqueon définit le décrément logarithmique par

δ = αT

cœfficient sans unité

On a :⊲ u(t) = Ae−αt cos(Ωt + ϕ)⊲ u(t + nT ) = Ae−α(t+nT ) cos(Ωt + nΩT + ϕ) = e−αnT u(t)

D’où :u(t)

u(t + nT )= eαnT

=⇒ αnT = lnu(t)

u(t + nT )

On en déduit que

δ = αT =1n

lnu(t)

u(t + nT )

Si n = 1 alors :

δ = αT = lnu(t)

u(t + T )

3.3.2 Régime forcé :

On ajoute au circuit précédent un générateur délivrant une une tension continue E.

E

L C

R

i(t)

L’équation différentielle

On a :E = Ldidt+ (R + r)i +

1C

q et comme i =dqdt= q convention récepteur et en posant

2α =α

R + ret ω2

o =1

LCalors la forme canonique de l’équation différentielle est :

q + 2αq + ω2oq =

EL

Solution de l’équation différentielleLa solution est la somme de deux solutions :• qt(t) solution de l’équation homogène qui tend vers 0 après quelques périodes :elle



décrit donc un régime transitoire• qp(t) solution particulière décrit le régime permanent.On a :• qp(t) = CE• L’expression de qt(t) dépend du signe de ∆′.Pour la suite on suppose que ∆′ < 0 =⇒ α < ωo : régime pseudo-périodique, donc

qt(t) = Ae−αt cos(Ωt + ϕ)

A l’amplitude ( grandeur positive) et ϕ la phase à l’origine deux constantes déterminéspar les conditions initiales ;on suppose que q(t = 0) = 0 condensateur initialement dé-chargé et i(t = 0) bobine initialement déchargé.q(t) = CE + Ae−αt cos(Ωt + ϕ) =⇒ q(t = 0) = 0 = CE + A cosϕ (I)i(t) = −Ae−αt(α cos(Ωt + ϕ) + Ω sin(Ωt + ϕ))i(t = 0) = 0 =⇒ α cosϕ + Ω sinϕ = 0 (II)D’après (II) :

tanϕ = −αΩ

D’après (I) :A = − CEcosϕ

et comme 1+ tan2 x =1

cos2 x=⇒ 1

cosx= ±√

1+ tan2 x

alors A = ±CE

√

1+α2

Ω2

Puisque A est une amplitude alors le signe +, donc

A = CE

√

1+α2

Ω2

Cas particulier important α ≪ ωo =⇒ Q ≫ 1Dans ce cas

α ≪ ωo =⇒ Ω = ωo; T = To; A = CE; ϕ = 0

Donc

q(t) = CE(1+ e−αt cos(ωot))

Ainsi

i(t) = −CEe−αt(α cosωot + ωo sinωot)

Puisque les fonctions cosx et sinx sont bornées et α ≪ ωo alors

i(t) = −CEωoe−αt sinωot


Représentation de la charge



t

q(t)

CE

Variation de la charge dans le circuit RLC en régime pseudo-périodique forcé

CE(1+ exp(−αt)

CE(1− exp(−αt)

Représentation du courant



t

i(t)

Variation du courant dans le circuit RLC en régime pseudo-périodique forcé

Représentation du portrait de phase



q(t)

i(t)

Portrait de phase en régime pseudo-périodique

Si on remplace la tension continue E par un générateur de tension carrée onobtient le schéma suivant :

Remarque


Pour toute les détails voir TP régime transitoire




CHAPITRE 4

RÉGIME ALTERNATIF SINUSOIDAL

Un signal alternatif est un signal qui n’admet pas de composante continue (sa valeurmoyenne est nulle :< u(t) >= 0) ,en effet son expression s’écrit sous la forme :

x(t) = Xm cos(ωt + ϕ)

avec :• Xm : amplitude du signal (valeur positive).• ωt + ϕ : la phase à l’instant t.• ϕ : La phase à l’origine, c’est à dire la phase pour t = 0• ω : la pulsation .

4.1 Amplitude complexe ,Impedance et admittance com-

plexes

4.1.1 Amplitude complexe

Soit un signal sinusoidal d’amplitude Xm et de pulsation ω, c’et à dire

x(t) = Xm cos(ωt + ϕ)

A ce signal on peut lui associer : Un vecteur tournant de norme Xm et d’angle θ = ωt+ϕ : représentation de Fresnel. Un nombre complexe de module Xm et d’argument ϕ : représentation complexe.

Rappel :⊲ | Z1 × Z2 |=| Z1 | × | Z2 |

⊲

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Z1

Z2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=| Z1 || Z2 |

⊲ arg(Z1Z2) = argZ1 + argZ2 ⊲ arg(Z1/Z2) = argZ1 − argZ2

⊲ arg(a > 0) = 0 ⊲ arg(a < 0) = π ⊲ arg(ja)(a > 0) =π

2⊲ arg(ja)(a < 0) = −π

2⊲ = z1 + z2 = z1 + z2 ⊲ z1/z2 = z1/z2

Si Z = a + jb =| Z | e jθ alors :

45

PCSI-LYDEX 4.1. AMPLITUDE COMPLEXE ,IMPEDANCE ET ADMITTANCE COMPLEXES

⊲ | Z |=√

a2 + b2 ⊲ sinθ =b√

a2 + b2=ℑ(Z)

| Z |

⊲ cosθ =a√

a2 + b2=ℜ(Z)

| Z | ⊲ tanθ =ba=ℑ(Z)

ℜ(Z)La notation complexe consiste à associe à une fonction sinusoïdale un nombre complexe :x(t) = Xm cos(ωt + ϕ)→ x(t) = Xm cos(ωt + ϕ) + jXm sin(ωt + ϕ)=⇒ x(t) = Xme j(ωt+ϕ)

= Xme jϕe jωt avec :x(t) = ℜ(x(t))

x(t) = Xme jϕe jωt

On rappelle que pour un signal sinusoidal :Xe =Xm√

2: valeur efficace.

On pose :

Xm = Xme jϕ=⇒ Xe = Xee

jϕ

On conclut que :

Xe = |Xe| ‖ Xm = |Xm| ‖ ϕ = argXm = argXe

Intérêt de la notation complexe :⋆ Linéarité :

Si x1 = X1m cos(ωt + ϕ1) et x2 = X2m cos(ωt + ϕ2) alors pour :x = x1 + x2 = Xm cos(ωt + ϕ) =⇒ Xme jϕe jωt

= X1me jϕ1e jωt+ X2me jϕ2e jωt

Xm = X1m + X2m

L’addition de deux fonctions sinusoïdales de même pulsation ω est équi-valent à l’addition des amplitudes complexes en notation complexe.

PropriétéLinéarité

⋆ Dérivation :x(t) = Xm cos(ωt + ϕ) =⇒ x = Xme jϕe jωt

=⇒ dxdt= −ωXm sin(ωt + ϕ) = ωXm cos(ωt + ϕ +

π

2)→ ωXme jϕe jωte

jπ

2 = jωXme jϕe jωt

dx

dt= jωx(t)

Dériver par rapport à t en notation réelle revient à multiplier par ( jω) ennotation complexe

PropriétéDérivation

⋆ Intégration :



∫

x(t)dt =1ω

Xm sin(ωt + ϕ) =Xm

ωcos(ωt + ϕ − π

2)

→ Xm

ωe jϕe jωte

− jπ

2 =Xm

jωe jϕe jωt

∫

x(t)dt =1jω

x(t)

Intégrer par rapport à t en notation réelle revient à multiplier par (1jω)

en notation complexe

PropriétéIntégration

4.1.2 Impédance complexe et admittance complexe :

4.1.2.1 Définitions :

Soit un dipole linéaire AB ;

Di(t)

u(t)

i = Im cos(ωt + ϕi)→ i = Ime jωt avec Im = Ime jϕi

Puisque le dipole est linéaire alors la tension u(t) est sinusoidal de même pulsation ωu = Um cos(ωt + ϕu)→ u = Ume jωt avec Um = Ume jϕu

On appelle impedance complexe

Z =Um

Im

=Ue

Ie

Z =Um

Ime j(ϕu−ϕi) = Ze jϕ

Z = |Z| = Um

Im‖ ϕ = ϕu − ϕi = argZ

ϕ étant le déphasage entre u(t) et i(t)

On appelle admittance complexe :

Ym =1

Zm

=Im

Um

=Im

Ume− jϕ



4.1.2.2 Applications :

4.1.2.2.1 Impédance d’un resistor :u = Ri =⇒ Um = RIm

Conclusion:

ZR = R =⇒ ϕR = 0: u(t) et i(t) sont en phase

t

i(t)

uR(t)

4.1.2.2.2 Impedance d’une bobine idéale :

u = Ldidt=⇒ Um = jLωIm =⇒

ZL = jLω

Conclusion:

• ZL = Lω• ϕL = +

π

2• ϕL > 0 =⇒ u(t) est en quadrature avance par rapport à i(t)

• ϕL =π

2=⇒ ∆t = T/4

t

i(t)

uL(t)


PCSI-LYDEX 4.2. ÉTUDE DU CIRCUIT RLC SÉRIE EN RÉGIME SINUSOIDAL FORCÉ

4.1.2.2.3 Impedance d’un condensateur :

u =1C

∫

i(t)dt =⇒ Um =1

jCωIm =⇒

ZC =1

jωC

•ZC =

1Cω

; ϕC = −π/2

• ϕC < 0 =⇒ u(t) est en quadratureretard par rapport à i(t)• |ϕC | = π/2 =⇒ ∆t = T/4

t

i(t)

uc(t)

Tous les résultats trouvés en courant continu reste valable en régime si-nusoidal forcé à condition de travailler avec les grandeurs complexes

RemarqueConclusion

Exemple :Voir TD 3 :

4.2 Étude du circuit RLC série en régime sinusoidal

forcé

Soit un circuit RLC série alimenté par un GBF maintenant entre ses bornes une ten-sione(t) = E cos(ωt + ϕe) avec ω = 2π f variable ; f étant la fréquence

∼u(t)

L

C

Ri(t)

4.2.1 Régime transitoire et régime permanent

L’équation différentielle s’écrit :

d2qdt2+ωo

Qdqdt+ ω2

oq =EL

cos(ωt + ϕe)



La solution de cette équation différentielle est la somme de deux solutions :• Une solution de l’équation homogène (sa forme dépend du signe de ∆′), cette solutiontend vers 0 lorsque t → ∞(t > 10τ).• Une solution particulière qui s’écrit sous la forme Q cos(ωt + ϕq) qui décrit le régimepermanent.Pour représenter les deux régimes on suppose que ∆′ < 0 , ainsi : q(t) = 1e−0,1tcos(2t) + 1 cos(t)

t

u(t)

Régime transitoire Régime établi

4.2.2 Étude de l’impedance

RLC en série donc Z = ZR + ZC + ZL alors

Z = (R + r) + j(Lω − 1Cω

)

On tire que :

Z =

√

(R + r)2 + (Lω − 1Cω

)2 = Re

√

1+ Q2(x − 1/x)2

tanϕ =Lω − 1

CωR + r

Cherchons si Z présente un extremum, pour cela calculonsdZdω

:

dZdω=

(Lω − 1Cω

)(L +1

Cω2)

√

(R + r)2 + (Lω − 1Cω

)2

dZdω= 0 =⇒ Lω =

1Cω

On retient que Z est minimale pour ω = ωo =1√LC

et sa valeur

minimale estZmin = R + r



xR = 1

R + r

x

Z

4.2.3 Résonance en tension aux bornes du condensateur (Charge)

4.2.3.1 Équation différentielle et solution

On a :e(t) = Rei + Ldidt+

qcet puisque uc =

qC

et i =dqdt= C

duc

dtalors

d2uc

dt2+

RL

duc

dt+

1LC

uc =1

LCe(t)

En posant ω2o =

1LC

et 2α =RL=ωo

Qla forme canonique

d2uc

dt2+ωo

Qduc

dt+ ω2

ouc = ω2oE cos(ωt + ϕe)

C’est une équation différentielle en uc du second ordre linéaire avec second membre si-nusoidal.La solution de cette équation différentielle en régime permanent s’écrit uc(t) = Uc cos(ωt+ϕc).Le problème et de déterminer Uc et ϕc.On utilise la méthode complexe pour déterminer ces deux grandeurs, pour cela on utilisele diviseur de tension :

Uc =1/ jCω

Re + jLω + 1/ jCωE =⇒ Uc =

1

1−( ω

ωo

)2+

jQω

ωo

E



Posons pour la suite x =ω

ωo: pulsation réduite (sans dimension)

Uc =1

1− x2 +j

Qx

E

Donc

Uc =E

√

(1− x2)2 +x2

Q2

ϕc = ϕe − arg(1− x2+

jQ

x)

4.2.3.2 Étude de l’amplitude Uc

Cherchons si Uc présente un extremum; pour cela calculonsdUc

dx:

dUc

dx= −E

x(

2(x2 − 1)+1

Q2

)

(

(x2 − 1)2 +x2

Q2

)3/2

On conclut donc que :• Uc présente en x = 0 =⇒ ω = 0 (Signal continue) un extremum (solution non impor-tante)

• Si Q >1√2

Uc présente un deuxième extremum en

xR =

√

1− 12Q2=⇒ ωR(charge) = ωo

√

1− 12Q2

Avec

Uc(max) =2EQ2

√

4Q2 − 1

Si Q ≫ 1 alors

Uc(max) = QE

c’est le phénomène de surtension

• Si Q 61√2

Uc ne présente pas un deuxième extremum : Uc une fonction décroissante

Représentation pour quelques valeurs de Q



Em

QEm

Uc

Pour Q > 5 =⇒ ωR = 0, 9899ωo ≃ ωo

Remarque

4.2.3.3 La bande passante à -3dB pour la charge

On suppose pour la suite que Q >

√2

2On définit la bande passante à -3dB par l’intervalle des pulsations [ω1, ω2](ou fréquences

[ f1, f2] ou [x1, x2]) tel que Uc >Uc(max)√

2



Uc

Uc(max)

Uc(max)

=QE

E

ωo

ω

√2

ωc1 ωc2

Vu la courbe de Uc en fonction de x on cherche les valeurs de x ou on a l’égalité.Tout calcul (avec maple)fait donne :

xc1 =ωc1

ωo=

√

√

√

1− 12Q2− 1

Q

√

1− 14Q2

∣

∣

∣

∣

xc2 =ωc2

ωo=

√

√

√

1− 12Q2+

1Q

√

1− 14Q2

Si Q ≫ 1 alors

ωc1 ≃ ωo

√

1− 1Q≈ ωo(1−

12Q

) et ωc2 ≃ ωo

√

1+1Q≈ ωo(1+

12Q

)

La largeur de la bande passante à -3dB est :

∆ω = ωc2 − ωc1 =ωo

Q

4.2.3.4 Étude du déphasage φ = ϕc − ϕe

On a :ϕc = ϕe − arg(1− x2+

jQ

x) donc :

sinφ = − x/Q√

(1− x2)2 +x2

Q2

< 0

sinφ < 0 =⇒ φ ∈ [−π, 0]

φ = − arg(1− x2+

jQ

x) =⇒ tanφ = −

xQ

1− x2



⊲ x→ 0 =⇒ φ→ 0

⊲ x→ 1 =⇒ φ→ −π2

⊲ x→ +∞ =⇒ φ→ −π en effet :

φ ∈ [−π, π] =⇒ φ + π2∈ [−π

2,π

2]

tan(φ +π

2) = − 1

tanφ=

Q(1− x2)x

=⇒ φ = −π2+ arctan

Q(1− x2)x

Pour x→∞ =⇒ φ→ −π2− π

2= −π

x1

φ

−π2

−π

4.2.4 Résonance en intensité

En régime permanent le courant à pour expression i(t) = Im cos(ωt + ϕi) =⇒ i(t) = Ime jωt

avec Im = Ime jϕi

En appliquant la loi d’OHM en notation complexe, on obtient

Im =E

Re + jLω +1

jCω

=⇒ Im =E/Re

1+ jQ(x − 1x)

4.2.4.1 Étude de l’amplitude Im

On a

Im =E|Z| =

E/Re√

1+ Q2(

x − 1x

)2

⊲ x = 0 =⇒ Im = 0⊲ x→ ∞ =⇒ Im → 0

⊲ Im est maximal si Z est minimal c’est à dire pour ω = ωo =1

LC: C’est la pulsation

de résonance du courant

⊲ Im(ωo) =ERe= Imax

Representation graphique de Im en fonction du facteur de qualité Q



i

Q = 4

Q = 2

x1

Q = 8Q = 6

4.2.4.2 La bande passante à -3dB

On définit la bande passante à -3dB par l’intervalle des pulsations [ω1, ω2](ou fré-

quences [ f1, f2]) tel que Im >Imax√

2c’est à dire 1+Q2

(

x − 1x

)26 2 =⇒ Q2

(

x − 1x

)2− 1 6 0

x

Im

Imax =ERe

Imax√2

ωo

x2 =ωc2

ωox1 =

ωc1

ωo

D’après le graphe de Im = Im(x) on cherche les x ou l’égalité est satisfaite :

Q2(

x − 1x

)2− 1 = 0 =⇒ Q2(x − 1

x)2= 1

Q2(x − 1x)2= 1 =⇒ Q(x − 1

x) = ±1 c’est à dire que

x2 ± 1Q

x − 1 = 0 =⇒ x1/2 = ±1

2Q+

√

12Q2+ 1



x1 =ω1

ωo= − 1

2Q+

√

12Q2+ 1 ; x2 =

ω2

ωo=

12Q+

√

12Q2+ 1

La largeur de la bande passante à -3dB est :

∆ω = ω2 − ω1 =ωo

Q=

Re

L

La résonance est aiguë si la bande passante est étroite (Re faible)

On retrouve la définition du facteur de qualité

Q =ωo

∆ω=

1R

√

LC=

Lωo

R=

1RCωo

Remarque

4.2.4.3 Étude du déphasage ϕ = ϕi − ϕe

On a ϕi = ϕe − arg(1+ jQ(x − 1x) en posantϕ = ϕi − ϕe alors

ϕ = − arg(1+ jQ(x − 1x) =⇒ cosϕ =

1√

1+Q2(x − 1x)2

> 0 =⇒ ϕ ∈ [−π2,π

2]

⊲ Si x→ 0 alors ϕ→ π2

⊲ Si x→ ∞ alors ϕ→ −π2

⊲ Si x→ 1(à la résonance en courant) alors ϕ→ 0

⊲ Si x→ x1 = −1

2Q+

√

12Q2+ 1 alors ϕ→ +π

4

⊲ Si x→ x2 =1

2Q+

√

12Q2+ 1 alors ϕ→ −π

4

Representation graphique de ϕ en fonction x


PCSI-LYDEX 4.3. LA PUISSANCE :

x

ϕ

4.3 La puissance :

4.3.1 Facteur de puissance :

⋆ La puissance instantanée :

p(t) =δWδt= u(t).i(t)

⋆ La puissance moyenne :

Pm =< p(t) >=1T

∫ T

0p(t)dt

sachant que• u(t) = Um cos(ωt + ϕu)• i(t) = Im cos(ωt + ϕi)

• cosa cosb =12

[cos(a + b) + cos(a − b)]

Et en posant ϕ = ϕu − ϕi le déphasage de le tension par rapport au courant alors :Pm = UmIm cos(ωt + ϕu) cos(ωt + ϕi)

Pm =< p(t) >=UmIm

2cosϕ = UeIe cosϕ

⊲ cosϕ : facteur de puissance.

⊲ Pm =UmIm

2cosϕ :puissance active ou puissance utile

⊲ Q =UmIm

2sinϕ :puissance réactive

⊲ S =UmIm

2:puissance apparente

S 2= P2

m +Q2



ui∗ = UI∗ = UmIme j(ϕ+ϕi)e− jϕi = UmIm cosϕ + jUmIm sinϕ

Pm =12ℜ(ui∗) =

12ℜ(UmI∗m) = ℜ(UeI∗e)

Remarque

Et puisque Um = ZIm alors

Pm =I2

2ℜ(Z) = I2

eℜ(Z)

On conclut donc que la puissance moyenne est dissipée dans la partie réelle de l’impé-dance complexeIntérêt : Soit un générateur alimentant une utilisation à travers une ligne de transport(cables) :

Ligne (Z)

Générateur utilisation

i

cosϕ

On pose : Pu = UI cosϕ : La puissance moyenne utile. S = UI : La puissance apparente. PJ = RI2 : La puissance moyenne consommée par la ligne (Z = R + jX) Pg : la puissance moyenne délivrée par le générateur.

Le bilan énergétique s’écrit :Pg = PJ + Pu

Le rendement énergétique de l’ensemble est :

η =Pu

Pg=

1

1+PJ

Pu

η est une fonction décroissante de

PJ

Pu=

RI2

Pu=

RPu

U2 cos2 ϕ

Pour augmenter η , il faut minimiserPJ

Pudonc soit :

⊲ Diminuer R (augmenter la section des cables)⊲ Augmenter U (haute tension)⊲ Augmenter cosϕ (en pratique cosϕ > 0, 9)

Exemple : Soit un dipôle d’impédance complexe Z = Ze jϕ

Pour augmenter cosϕ, on peut placer en parallèle sur le dipôle un condensateur



D C

L’admittance équivalente est

Ye = jCω +1Z

On veut que cosϕtotal = 1 =⇒ Ye ∈ R c’est à dire

Cω − 1Z

sinϕ = 0 =⇒ C =1

Zωsinϕ

4.3.2 Adaptation d’impedance :

Voir Exercice No1 de la série II électrocinétique

1. Pm =XE2

2[(X + XG)2 + (Y + YG)2]2. Pm est maximale si sa dérivée est nulle :

• ∂Pm

∂Y= 0 =⇒ X = XG

• ∂Pm

∂X= 0 =⇒ Y = −YG

Donc Z = Z∗

3. Z est imaginaire pur =⇒ X = 0 d’où la puissance moyenne est nulle

4. la fréquence f = 150 MHz• Z = R//C avec R = 150 Ω et C = 100 pF

Z = Z∗G =⇒ Y = Y∗G et comme Y =1R+ jCω =⇒ YG =

1R− jCω

donc YG =1R+

1jLω

avec Lω =1

Cω2=⇒ L =

1Cω2

AN L =1

4π f 2C= 11, 26 nH

On conclut donc queZG = R//L

• Z = R//L =⇒ ZG = R//C tel que C =1

Lω2=

14π2L f 2

AN C = 37, 5 pF


CHAPITRE 5

DIAGRAMMES DE BODE DES FILTRES DU PREMIER ET

SECOND ORDRE

On admet le Théorème de FOURIER : toute fonction périodique peut être décompo-sable en une série de fonctions sinusoïdales.C’est pour cela qu’on s’interesse aux signaux sinusoïdaux appliqués aux systèmes li-néaires.

5.1 Fonction de transfert

5.1.1 Définitions

Soit D un quadripole constitué par un système linéaire possédant une entrée ve et unesortie vs :

DVe Vs

Puisque on s’interesse aux signaux sinusoidaux , alors on pose :⊲ ve(t) = Ve cos(ωt + ϕe) =⇒ ve(t) = Vee

jωt avec Ve = Vee jϕe

⊲ vs(t) = Vs cos(ωt + ϕs) =⇒ vs(t) = V sejωt avec V s = Vee jϕs

On appelle fonction de transfert :

H( jω) =V s

Ve

=Vs

Vee j(ϕs−ϕe) = He jϕ

avec H =Vs

Vele module de la fonction de transfert et ϕ = ϕs−ϕe son argument(le déphasage

de la sortie par rapport à l’entrée).

5.1.2 Exemples

Déterminer la fonction de transfert pour les circuits suivants :

circuit CR :H =jRCω

1+ jRCω

61

PCSI-LYDEX 5.1. FONCTION DE TRANSFERT

circuit RC :H =1

1+ jRCω

circuit RLC :H =1

1− LCω2 + jRCω

circuit RCL :H =−LCω2

1− LCω2 + jRCω

circuit LCR :H =jRCω

1− LCω2 + jRCω

5.1.3 Lien entre la fonction de transfert et l’équation différen-

tielle

Rappelons que en notation complexe multiplier par ( jω)n c’est dérivé n fois par rap-port au temps et diviser par ( jω)n c’est intégrer n fois par rapport au temps.Prenons l’exemple du circuit RC :

H( jω) =V s

Ve

=⇒ Ve = V s + jω

ωcV s en passant à la notation réelle on a

ve(t) = vs(t) +1ωc

dvs(t)dt

C’est l’équation différentielle du circuit

5.1.4 Diagrammes de BODE

En électronique , on couvre en général une large plage de fréquences (10→ 100 kHzcadre de l’ARQP) ,la representation linéaire est peu pratique et peu utilisé.• Diagramme de Bode : c’est une representation en échelle logarithmique en abscisse.• On définit le gain G en décibels par :

GdB = 20 logH

On rappelle que H est sans dimension.Le diagramme de Bode est le tracé des deux courbes : GdB = f (log(ω)) :diagramme de Bode pour H en décibels ; ϕ = g(log(ω)) :diagramme de Bode pour la phase.


PCSI-LYDEX 5.2. FILTRAGE

1. On trace en général un diagramme de Bode sur un papier «semi-logarithmique» (avec une échelle logarithmique )

2. On a limω→0

logω→ −∞ : un diagramme de Bode ne «s’arrête pas » à logω = 0

3. Si H = H1 × H2 =⇒

GdB = G1dB +G2dB

ϕ = ϕ1 + ϕ2

On peut sommer les diagrammes de Bode

4.

GdB = 0⇐⇒ H = 1GdB < 0⇐⇒ H < 1GdB > 0⇐⇒ H > 1

5.

H = 10⇐⇒ GdB = 20H = 102⇐⇒ GdB = 40...

H = 10−1⇐⇒ GdB = −20H = 10−2⇐⇒ GdB = −40...

Remarque

On appelle le décade l’intervalle des pulsations [ω1, ω2] tel que ω2 = 10ω1

5.2 Filtrage

5.2.1 Introduction

Un filtre est un système linéaire qui transmet (le plus parfaitement possible ) cer-taines fréquences et atténue (le plus possible ) les autres.Il est caractérisé par sa bande passante [ωc1, ωc2] ou ∆ω = ωc2 − ωc1 avec ωc1 et ωc2 lespulsations de coupure.On définit la bande passante à -3dB par

H(ωc) =Hmax√

2=⇒ G(ωc) = Gmax − 3dB


PCSI-LYDEX 5.3. FILTRES DU PREMIER ORDRE

5.2.2 Principaux types de filtres

H

Filtre réel

Filtre idéal

Filtre passe-bas

Ho√2

ωc

ω

Ho

H

Filtre passe-haut

Filtre réel

Filtre idéal

Ho√2

ωc

ω

Ho

H Filtre passe- bande

Filtre réel

Filtre idéal

Ho√2

ω

Ho

ωc1 ωc2

H Filtre coupe-bande

Filtre idéal

Filtre réelHo√

2

ω

Ho

ωc1 ωc2

On pose

H( jω) =N(ω)

D(ω)

avec deg N(ω) 6 deg D(ω) (sinon le système est instable)On dit qu’un filtre est d’ordre n si degD(ω) = n

Remarque

5.3 Filtres du premier ordre

5.3.1 Filtre passe-bas du premier ordre

La forme canonique du filtre passe-bas d’ordre 1 est :

H( jω) =Ho

1+ jω

ωc

=Ho

1+ jx



5.3.1.1 L’étude d’un exemple :

considérons le circuit (RC) suivant :

i

R

C

VsVe

En BF :ω(x) → 0 =⇒ 1jCω

→ ∞ (le condensateur se comporte comme un interrup-

teur ouvert) ,donc le courant est nul et par conséquent vs(t) = ve(t)

En HF :ω(x) → ∞ =⇒ 1jCω

→ 0 (le condensateur se comporte comme un fil) ,donc

la tension entre ses bornes est nulle et par conséquent vs(t) = 0On conclut que ce filtre laisse passer les tensions sinusoïdales de faibles fréquences etélimine les tensions de hautes fréquences : C’est un filtre passe-bas

La fonction de transfert s’écrit :H( jω) =

1jCω

R +1

jCω

=1

1+ jRCω

Donc :

ωc =1

RC|| Ho = 1

⋆ Si ω≫ ωc(x→ ∞) =⇒ H( jω)→ 0 (Vs → 0)⋆ Si ω≪ ωc(x→ 0) =⇒ H( jω)→ Ho

⋆ Le circuit est constitué des composants passifs alors le filtre est passif.⋆ Puisque le degré du dénominateur est égal à 1 alors le filtre est passe-bas passif

d’ordre 1.

5.3.1.2 Diagramme de Bode pour le gain :

On a

H =|Ho|

√

1+ (ω

ωc)2

=|Ho|√1+ x2

Comportement asymptotique :

⊲ limω→∞G(ω) = limω≫ωc[20 log10

|Ho|√

1+ (ω

ωc)2

] = 20 log|Ho| − 20 logω

ωc

limω→∞

G(ω) = Go − 20 logω

ωc

⊲ limω→0 G(ω) ≃ 20 log|Ho| = Go

• La courbe représentant le gain GdB en fonction de logω

ωcest une droite de pente

-20dB/décade et qui coupe la droite horizontale G = Go pour ω = ωc



Courbe réelleIntégrateur20 dB/décade

Go-3dBGo

décade

G(dB)

logω

ωc

Pour ω ≪ ωo =⇒ x → 0 on a H = Ho ∈ R =⇒ vs(t) = Hove(t) : le circuit réalisel’opération «multiplication par une constante»

Pour ω≫ ωc =⇒ H( jω) =Hoωc

jω=⇒ vs = Hoωc

∫

vedt : c’est un intégrateur

Le filtre passe bas d’ordre 1 joue le rôle d’intégrateur en hautes fré-quences (pulsations(ω ≫ ωc))

Remarque

5.3.1.3 Diagramme de Bode pour la phase :

• H( jω) =Ho

1+ jω

ωc

=⇒ ϕ(ω) = arg(Ho

1+ jω

ωc

)

ϕ = argHo − arg(1+ jω

ωc)

Dans notre exemple Ho = 1 =⇒ sinϕ = − x√1+ x2

< 0 et cosϕ =1√

1+ x2> 0 donc

ϕ ∈[

− π2, 0]

d’où ϕ(ω) = − arctanω

ωc< 0

ϕ(ω) logωc

logω



5.3.2 Filtre passe-haut du premier ordre

La forme canonique du filtre passe haut d’ordre 1 est :

H( jω) = Ho

jω

ωc

1+ jω

ωc

= Hojx

1+ jx

5.3.2.1 L’étude d’un exemple :

considérons le circuit (CR) suivant :En BF :Zc → +∞ =⇒ vs(t)→ 0En HF :Zc → +0 =⇒ vs(t)→ ve(t)Donc le filtre CR est un filtre passif passe-haut

VeC

R

L’expression de la fonction de transfert :

H( jω) =jRCω

1+ jRCω

Donc :Ho = 1 et ωc =1

RC• L’ordre du filtre est égal à 1.• Si ω ≫ ωc =⇒ H( jω)→ Ho

• Si ω ≪ ωc =⇒ H( jω)→ 0• deg(D( jω)) = 1On conclut que c’est un filtre passif passe-haut d’ordre 1

5.3.2.2 Diagramme de Bode pour le gain :

GdB(ω) = 20 log10 |H( jω)| = 20 log10

|Ho|ω

ωc√

1+ (ω

ωc)2

Comportement asymptotique :⊲ limω→∞G(ω) ≃ Go ;

⊲ limω→0 G(ω) ≃ 20 logω

ωc

• La courbe représentant le gain GdB en fonction de logω

ωcest une droite de

pente 20dB/décade et qui coupe la droite horizontale G = Go pour ω = ωc

Remarque



dérivateur

G(dB)

logω

ωc

G(ωc) = Go − 20 log1√2= Go − 3dB

Pour ω≪ ωc =⇒ H( jω) = jω

ωc=⇒ vs =

1ωc

ve

dt: c’est un dérivateur

Le filtre passe haut d’ordre 1 joue le rôle d’un dérivateur en faibles fré-quences f ≪ fc

Remarque

5.3.2.3 Diagramme de Bode pour la phase :

On a H = Hojx

1+ jx=⇒ ϕ = arg(Ho) +

π

2− arg(1+ jx)

Dans notre exemple Ho = 1 =⇒ arg(Ho) = 1 et par conséquent ϕP.haut =π

2+ ϕP.bas

marConclusion :Le déphasage d’un filtre passe haut du premier ordre se déduit de celui du filtre passe

bas d’ordre 1 par une une translation deπ

2

ϕ(ω)

logω

ωc


PCSI-LYDEX 5.4. FILTRES DU DEUXIÈME ORDRE

5.4 Filtres du deuxième ordre

L’ordre du filtre est égal à 2 donc le dénominateur D(ω) = D(x) est polynôme d’ordre2.

5.4.1 Filtre passe-bas

La fonction de transfert d’un filtre passe bas d’ordre 2 est :

H =Ho

1− x2 + jxQ

avec ω = xωo

5.4.1.1 L’étude d’un exemple

En HF :x→ ∞ =⇒ Zc → 0 donc Vs → 0 En BF :x→ 0 =⇒ Zc → ∞ donc Vs → Ve

Donc : c’est un filtre passif passe bas

Ri L

Cve vs

L’expression de la fonction de transfert s’écrit :

H =1

1− LCω2 + jRCω

On tire que :

La pulsation propre ωo =1√LC

Ho = 1

Le facteur de qualité Q =1R

√

LC

À partir de l’expression de la fonction de transfert on en déduit que :⊲ En BF x→ 0 =⇒ H → Ho c’est à dire que vs(t) = Hove(t)⊲ En HF x→ ∞ =⇒ H → 0 c’est à dire que vs(t)→ 0

⊲ deg(H) = 2On conclut que le filtre est passif, passe-bas d’ordre 2

5.4.1.2 Diagramme de Bode pour le gain

On a :

H =Ho

1− x2 + jxQ

=⇒ H = |H| = |Ho|√

(1− x2)2 +x2

Q2

Le comportement asymptotique En BF :x→ 0 =⇒ GdB = Go = 20 log|Ho| En HF :x→∞ =⇒ GdB ≃ 20 log(|Ho|ω2

o)−40 logω :C’est une droite de pente -40dB/décade,caractéristique du filtre du deuxième ordre.



On rappelle que la fonction1

√

(1− x2)2 +x2

Q2

présente un maximum si Q >1√2

Donc si :

• Q <1√2: GdB ne présente pas de maximum (courbe décroissante)

• Q >1√2: GdB présente un maximum en xR =

√

1− 12Q2

ainsi H(xR) = |Ho|2Q2

√

4Q2 − 1

GdB

logω

20 log|Ho|ωR

ωo

Q <1√2

Q >1√2

-40 dB/décade

20 log|Ho| − 3

Q =1√2

1. En général xR , 1 =⇒ ωR , ωo sauf pour Q =1√2

2. Si Q ≫ 1 alors ωR = ωo ainsi on nomme x1 et x2 > x1 les pôles du dénominateur

c’est à dire que H =Ho

(1+ jx1)(1+ jx2); ainsi le diagramme asymptotique présente

une asymptote intermédiaire entre x1 et x2 à -20 dB/décade

En effet si : ω ≪ ω1 =⇒ H = Ho : multiplication par une constante

ω1 ≪ ω ≪ ω2 =⇒ H =Hoω1

jωc’est à dire que vs(t) = ω1Ho

∫

ve(t) dt :intégrateur

ω2 ≪ ω =⇒ H =Hoωo

( jω)2c’est à dire que vs(t) =

∫

(∫

ve(t) dt) dt : double intégrateur

5.4.1.3 Diagramme de Bode pour la phase

On a :

H =Ho

1− x2 + jxQ

=⇒ ϕ = argHo − arg(1− x2+ j

xQ

)

Pour Ho = 1 alors ϕ = − arg(1− x2+ j

xQ

) =⇒ tanϕ = − xQ(1− x2)

Représentation de la phase pour quelques valeurs de Q



log x

ϕ

−π

−π/2

Q =1√2

Q >1√2

Q <1√2

5.4.2 Filtre passe-haut

La fonction de transfert d’un filtre passe haut d’ordre 2 est de la forme

H = −Hox2

1− x2 + jxQ

• En BF x→ 0 =⇒ H → 0 donc vs(t)→ 0• En HF x→∞ =⇒ H → Ho donc vs(t)→ Hove(t)• deg D=2on conclut que le filtre est passe-haut d’ordre 2


Ri

Ce sVV L

En utilisant le diviseur de tension en notation complexe on obtient :

H = − LCω2

1− LCω2 + jRCω= − x2

1− x2 + jxQ

Avec Ho = 1 , Q =1R

√

LC

et ωo =1√LC




H = |Ho|x2

√

(1− x2)2 + x2/Q2

Comportement asymptotique : En HF : H = |Ho| =⇒ GdB = Go = 20 log|Ho| En BF H =

|Ho|x2=⇒ GdB = Go + 40 logx : c’est une droite de pente +40 dB/décade

Cherchons si H ainsi GdB présente un extremum (maximum), pour cela calculons :

dHdx=

xQ(2Q2 − x2(2Q2 − 1))(Q2 − 2Q2 x2 + Q2 x4 + x2)(3/2)

dHdx= 0 =⇒

Si Q <1√2

H ne présente pas de maximum (de même pour GdB)

Si Q >1√2

H présente un maximum (de même pour en GdB) xR tel que

xR =ωR

ω=

2Q√

4Q2 − 2> 1

ainsi H(xR) =2Q2

√

4Q2 − 1Si Q ≫ 1 =⇒ xR = 1 donc ωo = ωR et H(xR) = Q|Ho|

Representation graphique du gain pour quelques valeurs de QGdB

log x

Q = 1/√

2

Q > 1/√

2

Q < 1/√

2

+40 dB/décade


On a :

ϕ = arg(−Hox2) − arg(1− x2+ jx/Q) = arg(−Ho) − arg(1− x2

+ jx/Q)

Pour Ho = 1 alors

ϕ = π − arg(1− x2+ jx/Q) =⇒ tan(π − ϕ) = − tanϕ =

xQ(1− x2)



Donc

tanϕ =x

Q(x2 − 1)

Representation graphique de la phase pour quelques valeurs de Qϕ

log x

π

Q = 0, 2 < 1/√

2

Q = 1/√

2

Q = 3 > 1/√

2

En HF : H = Ho =⇒ vs(t) = Hove(t) : multiplication par une constante

En BF : H = −Hox2= −Ho

ω2o

( jω)2=⇒ vs(t) =

Ho

ω2o

d2ve(t)dt2

: la tension de sortie est

proportionnelle à la dérivée seconde de la tension d’entrée

Remarque

5.4.3 Filtre passe-bande

La fonction de transfert d’un filtre passe-bande d’ordre 2 est :

H = Hojx/Q

1− x2 + jxQ

=Ho

1+ jQ(

x − 1x

)

En BF : H → 0 =⇒ vs(t)→ 0 En HF : H → 0 =⇒ vs(t)→ 0

On montre (après) que H présente un maximum , donc c’est un filtre passe-bande dusecond ordre


En HF :x→ ∞ =⇒ ZL → ∞ donc Vs → 0 En BF :x→ 0 =⇒ Zc → ∞ donc Vs → 0 Pour ω = ωo on a Vs est maximaleDonc : c’est filtre passif passe bas

L C

R

i(t)

V Ves



L’expression de la fonction de transfert s’écrit :

H =jRCω

1− LCω2 + jRCω

On tire que :

La pulsation propre ωo =1√LC

Ho = 1

Le facteur de qualité Q =1R

√

LC


On a

H =|Ho|

√

1+ Q2(

x − 1x

)2

Comportement asymptotique :

En BF : H =|Ho|Q

x =⇒ GBF = Go − 20 log(Qωo) + 20 logω : C’est une droite de pente

+20 dB/décade

En HF : H =|Ho|Qx=⇒ GHF = Go + 20 log

ωo

Q− 20 logω : C’est une droite de pente -20

dB/décade Pour ω = ωo =⇒ H = |Ho| = Hmax donc GdB(ωo) = 20 log|Ho| = Go

L’intersection des deux pentes : GHF = GBF =⇒ ω = ωo

Pour ω = ωo on a :GHF(ωo) = GBF(ωo) = 20 log|Ho|Q

Représentation du diagramme asymptotique

+20 dB/décade -20 dB/décade

log x

GdB

20 log|Ho|Q



Le diagramme de Bode dépend de la valeur du facteur de qualité Q , c’est à dire comparer

20 log|Ho|Q

et 20 log|Ho| , autrement dit comparer Q et 1.

Premier cas Q < 1 :

Dans ce cas 20 log|Ho|Q> 20 log|Ho| , le diagramme de bode est de la forme :

G

G

o

Go-3dB

dB

log x

x

dérivateur Intégrateur

+20 dB/décade - 20 dB/décade

20 log|Ho|Q

• En BF : H =Ho

Qωo( jω) =⇒ vs(t) =

Ho

Qωo

dve(t)dt

donc dérivateur

• En HF : H =Ho

Qωo

1jω=⇒ vs(t) =

Hoωo

Q

∫

ve(t) dt donc intégrateur

Deuxième cas Q > 1 Dans ce cas 20 log|Ho|Q< 20 log|Ho| , le diagramme de bode est de la

forme :

G

G o

G -3dBo

dB

log x

+ 20 dB/décade - 20 dB/décade

Dérivateur Integrateur

20 log|Ho|Q




ϕ = argHo − arg[1+ jQ(

x − 1x

)

]

Pour le filtre passif Ho = 1 donc

tanϕ = −Qx2 − 1

x

log x

ϕ

+π/2

−π/2

Q =1√2

Q >1√2

Q <1√2

5.4.4 Filtre coupe (ou réjecteur) de bande

La fonction de transfert d’un filtre coupe (réjecteur de) bande du second ordre est dela forme

H = Ho1− x2

1− x2 + jx/Q

En effet : H(x = 1) = 0 =⇒ vs(t) = 0 H(x→ 0) = Ho =⇒ vs(t) = Hove(t) H(x→ ∞) = Ho =⇒ vs(t) = Hove(t)

Ce filtre laisse passer toutes les fréquences sauf aux voisinages de x = 1 c’est à dire auxvoisinage de la pulsation propre


• En BF :Zc → ∞ =⇒ i = 0 donc vs(t) = ve(t)• En BF :ZL →∞ =⇒ i = 0 donc vs(t) = ve(t)• Pour ωωo =⇒ vs(t) = ve(t)

Ri

L

CV Ve s

C’est

un coupe bande



L’expression de la fonction de transfert

H =jLω +

1jCω

R + jLω +1

jCω

=⇒ H =1− LCω2

1− LCω2 + jRCω

Donc : Ho = 1 , ωo =1√LC

, Q =1R

√

LC

et x = ω/ωo


On a :

H = |Ho||1− x2|

(1− x2)2 + x2/Q2

5.4.4.2.1 Comportement asymptotique En BF x→ 0 =⇒ H = |Ho| ainsi GdB = Go

En HF x→ ∞ =⇒ H = |Ho| ainsi GdB = Go

Le gain présente deux asymptotes horizontales confondues Pour x = 1 =⇒ ω = ωo on a H = 0+ =⇒ GdB(x = 1)→ −∞

GdB présente une asymptote verticale en x = 1 c’est à dire en pulsation propre

5.4.4.2.2 Représentation graphique du gain pour quelques valeurs de Q

GdB

log x

Go

Q =1√2

Q >1√2

Q <1√2

5.4.4.2.3 La bande passante



G

log x

Go

dB

G -3dBo

log x log x1 2

H =|Ho|√

2=⇒ |1− x2|

√

(1− x2) + x2/Q2

=⇒ 2(1− x2)2= (1− x2)2

+ x2/Q2

=⇒ (1− x2)2= x2/Q2

=⇒ 1− x2= ±x/Q

La solution de cette équation sont :

x1 =ω1

ω= − 1

2Q+

12

√

1Q2+ 4 < 1 ; x2 =

ω2

ω= +

12Q+

12

√

1Q2+ 4 > 1

La largeur de la bande passante

∆x =1Q=⇒ ∆ω = ωo

Q


On a :

H = Ho1− x2

1− x2 + jx/Q=⇒ H =

Ho

1+ jx

Q(1− x2)Donc

ϕ = argHo − arg(1+ jx

Q(1− x2))

Pour un filtre passif Ho = 1 donc : tanϕ = − xQ(1− x2)

avec :⊲ cosφ > 0 =⇒ ϕ ∈ [−π

2,π

2]

⊲ sinϕ < 0 =⇒ ϕ ∈ [−π2, 0] pour x < 1

⊲ sinϕ > 0 =⇒ ϕ ∈ [0,π

2] pour x > 1

• limx→0ϕ = 0− • lim

x→∞ϕ = 0+ • lim

x→1−ϕ = −π

2• lim

x→1+ϕ = +

π

2On conclut que la phase d’un filtre coupe bande est présente une discontinuité en x = 1c’est à dire en ωo.Représentation graphique de la phase pour quelques valeurs de Q



log x

-

Q =1√2

Q <1√2

Q >1√2

ϕ

π

2

π

2




CHAPITRE 6

FILTRAGE LINÉAIRE DES SIGNAUX PÉRIODIQUES

6.1 Composition en fréquence d’un signal

6.1.1 Représentation temporelle et fréquentielle

Soit g(t) un signal T−périodique c’est à dire g(t + kT ) = g(t) avec :

• f =1Tla fréquence propre du signal.

• ω = 2πT= 2π f la pulsation propre du signal.

Exemples- Signal sinusoidal :

- Signal carrée :

- Signal triangulaire :

81

PCSI-LYDEX 6.1. COMPOSITION EN FRÉQUENCE D’UN SIGNAL

- sinusoidal redressé double-alternance

-Signal dents de scie

On admet le théorème de FOURIER :

g(t) = ao +

∞∑

n=1

(an cos(nωt) + bn sin(nωt))

C’est le développement en série de FOURIER (DSF)

Avec

ao =1T

∫ to+T

to

g(t) dt =< g(t) >= gm

C’est la valeur moyenne (dite aussi composante continue ou offset) du signal g(t).Ainsi

an =2T

∫ to+T

to

g(t) cos(nωt) dt ; bn =2T

∫ to+T

to

g(t) sin(nωt) dt

On retient que tout signal périodique de fréquence f est la somme des fonctions sinusoï-dales de fréquence 0, f , 2 f , 3 f , · · · . On appelle le fondamental le terme correspond à la fréquence f (=⇒ n = 1) c’est à

dire le terme a1 cosωt + b1 sinωt On appelle les harmoniques d’ordre n les termes correspondent aux fréquences n f

avec n > 1.

On peut écrire g(t) sous la forme

g(t) = ao +

∞∑

n=1

An cos(nωt + ϕn)

avec

An =

√

a2n + b2

n ; tanϕn = −bn

an



En effet :

An cos(nωt + ϕn) = An cosnωt cosϕn − An sinnωt sinϕn =⇒

An cosϕn = an

−An sinϕn = bn

D’où le résultat La série de

fourier peut être écrite en utilisant les nombres complexes

g(t) =+∞∑

−∞cne jnωt avec cn =

1T

∫ to+T

to

g(t)e− jnωt dt

En effet : On rappelle les formules d’EULER :

cosx =eix+ e−ix

2; sinx =

eix − e−ix

2i

g(t) = ao +∞∑

n=1an cosnωt + bn sinnωt =⇒ g(t) = ao +

∞∑

n=1

an − jbn

2e jnωt+

an + jbn

2e− jnωt

On pose cn =an − jbn

2=⇒ c∗n =

an + jbn

2

Par conséquent cn =1T

∫ to+T

tog(t)(cosnωt − j sinnωt) dt Donc

cn =1T

∫ to+T

to

g(t)e− jnωt dt

ainsi

c∗n =1T

∫ to+T

to

g(t)e jnωt dt

Remarquons que

c∗n = c−n =⇒ |An| = 2|cn| =√

a2n + b2

n

Il en résulte que

g(t) = ao +∞∑

n=1cne jnωt

+ c∗ne− jnωt=⇒ g(t) = ao +

∞∑

n=1cne jnωt

+

∞∑

n=1c−ne− jnωt

=⇒ g(t) = ao +∞∑

n=1cne jnωt

+

n=−1∑

−∞cne jnωt

c’est à dire en posant co = ao =< g(t) > alors le résultat. Si le signal g(t) est impair (symétrique par rapport à centre de symétrie ) alors

an = 0 ∀n ∈ N et par conséquent

g(t)impair =⇒ g(t) =∞∑

n=1

bn sin(nωt) =∞∑

n=1

bn sin(2πn f t)



Si le signal g(t) est pair (symétrique par rapport à l’axe oy ) alors bn = 0 ∀n ∈ N∗ etpar conséquent

g(t)pair =⇒ g(t) = ao +

∞∑

n=1

an cos(nωt) = ao +

∞∑

n=1

an cos(2πn f t)

Formule de BESSEL -PARSEVAL :Soit g(t) une fonction T-périodique, developable en série de FOURIER . on admet que :

f 2m =< f 2 >= f 2 =

1T

∫ to+T

tof 2(t) dt =⇒

f 2m =< f 2 >= f 2 = a2

o +12

∞∑

n=1

(a2n + b2

n) = a2o +

12

∞∑

n=1

A2n =

∞∑

n=−∞|cn|2

C’est la formule de BESSEL - PARSEVAL

On rappelle valeur efficace ge f f du signal g(t) la racine carrée de la valeur moyennedu carrée du signal

ge f f =

√

1T

∫ to+T

to

g2(t) dt

Donc pour toute fonction périodique présente deux représentations : temporelle etspectrale

g(t)

t

cn

fReprésentation temporelle Représentation spectrale

6.1.2 Exemples

6.1.2.1 Signal sinusoidal

Considérons un signal sinusoidal d’amplitude E de fréquence f et de composantecontinue Eo ; Donc g(t) = Eo + E cos(2π f t)



g(t)

t

cn

fReprésentation temporelle Représentation spectrale

Eo

E

f

6.1.2.2 Signal carré impair

Soit e(t) un signal carré impair (−E, E)

−E

E

T

t

• Puisque e(t) impair alors an = 0 ∀n ∈ N• Calculons les cœfficients bn :

bn =2T

∫ T

0e(t) sin(nωt) dt =⇒ bn =

2T

∫ T/2

T/2e(t) sin(nωt) dt

=⇒ bn =4T

∫ T/2

0E sin(nωt) dt

=⇒ bn =4E

nωT[1 − cos(nωT/2)]

=⇒ bn =4E2πn(1− cos(nπ))

Or cosnπ = (−1)n =

1 Si n pair (n = 2p)−1 Si n impair (n = 2p + 1)

bn(carré impair) =4E

π(2p + 1)

Par conséquent :

e(t) = 4E∞∑

p=0

sin(2p + 1)ωt(2p + 1)π

Representation spectrale :



p 0 1 2 3 4

n 1 3 5 7 9An

E1,273 0,424 0,255 0,182 0,141

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

An

f

6.1.2.3 Signal carré pair

Conclusion:

La parité du signal ne modifie pas le spectre de fréquence

6.1.2.4 Signal triangulaire pair de pentes symétriques

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-1

0

1

2

3

E

T t

e(t)

e(t) = E(12− 4π2

+∞∑

p=0

cos[(2p + 1)ωt](2p + 1)2

)



6.1.2.5 Signal dent de scie

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-1

0

1

2

3

E

T t

e(t)

e(t) = E(12− 1π

+∞∑

n=1

sin(nωt)n

)

6.1.2.6 Signal sinusoidal pair redressé monoalternance

E

T t

e(t)

e(t) = E(1π+

12

cos(ωt) +2π

+∞∑

n=1

(−1)n+1 cos(2nωt)4n2 − 1

)



6.1.2.7 Signal sinusoidal pair redressé doublealternance

E

T t

e(t)

e(t) = E(2π− π

4

+∞∑

n=1

(−1)n cos(2nωt)4n2 − 1

)

6.1.2.8 Signal rectangulaire pair de rapport cyclique α quelconque

e(t) = Eα(

1+ 2+∞∑

p=0

sin(nαπ)nαπ

cos(nωt))

6.1.3 L’aspect énergétique

En général les grandeurs énergétiques (énergie ou puissance) sont proportionnelle

au carrée de la grandeur physique g(t) (12

kx2;12

mv2;12

cU2; Ri2;12

Li2 · · · )par conséquent

< g2 >= a2o +

∞∑

n=1

a2n + b2

n

2=

+∞∑

−∞|cn|2 (Parseval)

Donc chaque terme harmonique de rang n (an cosnωt + bn sinnωt) a une puissance |cn|2 =a2

n + b2n

2.

Il en résulte que la puissance du signal est la somme des puissance de chaque harmo-nique


PCSI-LYDEX 6.2. TRAITEMENT D’UN SIGNAL PÉRIODIQUE PAR UN SYSTÈME LINÉAIRE

6.2 Traitement d’un signal périodique par un système

linéaire

6.2.1 Rappel

Un circuit est linéaire si les tensions d’entrée ue(t) et de sortie us(t) sont reliées parune équation différentielle linéaire.Autrement dit si la tension d’entrée ue(t) est sinusoïdale de période T alors la tension desortie us(t) est sinusoïdale de période T . Si on appelle H la fonction de transfert du circuit alors

Ue(t) =+∞∑

−∞cn e jnωt

=⇒ U s(t) =+∞∑

−∞H( jnω)cn e jnωt

On rappelle les formes canoniques des fonctions de transferts des filtres usuelles :• Filtre passe bas du premier ordre

H =Ho

1+ jx

Intégrateur aux hautes fréquences.• Filtre passe haut du premier ordre

H = Hojx

1+ jx

Dérivateur aux basses fréquences.• Filtre passe bas du deuxième ordre

H =Ho

1− x2 + jxQ

• Filtre passe haut du deuxième ordre

H = Ho−x2

1− x2 + jxQ

• Filtre passe bande

H = Hojx/Q

1− x2 + jxQ

=Ho

1+ jQ(x − 1/x)



6.2.2 Application 1 : CNC 2009 Filière MP

On considère le circuit à amplificateur opérationnel de la figure suivante.

R

R

R

C

C

VV

es

+

1

2

3

A B

L’amplificateur opérationnel est alimenté par une source de tension symétrique (nonreprésentée) ±Vcc = ±15 V. On suppose que l’amplificateur opérationnel est parfait etfonctionne en régime linéaire.On suppose ensuite que le signal ve appliqué à l’entrée du circuit est sinusoidal de pulsa-tion ω.

1D Étudier le comportement asymptotique du montage aux basses fréquences,puis aux hautes fréquences et déduire la nature du filtre.

2D Appliquer le théorème de Millmann aux nœuds A et B et déduire deux relationsentre vs, vA et ve.

3D Montrer que la fonction de transfert du circuit s’écrit sous la forme

H =Ho

1+ jQ(

x − 1x

)

avec x =ω

ωo. Exprimer Ho,Q et ωo en fonction de R1, R3 , R′3 =

R1R2

R1 + R2et C.

4D Dans quel domaine de fréquences ce circuit présente-t-il un caractère intégra-teur? dérivateur ? Exprimer vs(t) en fonction de ve(t) dans chacun des deux cas.

5D Définir, puis calculer les pulsations de coupure à −3dB en fonction de ωo et Q.En déduire la largeur de la bande passante du filtre.

6D Application numérique : on donne Ho= -1, Q = 20 et fo =ωo

2π= 3 kHz. Calculer

la largeur de la bande passante en fréquence du filtre.

7D On pose H = H(ω)e jϕ(ω).

7.1⊲ Déterminer le module H(ω) et l’argument ϕ(ω) de la fonction de transfertH.

7.2⊲ Montrer que H(ω) passe par un maximum pour une valeur ω′o de ω que l’onexprimera. Tracer l’allure de H(ω).

On applique à l’entrée du montage de la figure précédente , un signal ve(t) de fré-

quence f =1T= 3kHz et d’amplitude E = 5V.

8D Le signal appliqué est donné par ve(t) = E sin(2π f t). En tenant compte descaractéristiques numériques du filtre , donner l’expression du signal vs(t) obtenu en sortiedu circuit.



9D Le signal appliqué maintenant est un signal créneau dont on donne le DSF :

ve(t) =E2+

∞∑

p=0

2E(2p + 1)π

sin(2π(2p + 1) f t)

9.1⊲ Donner la representation temporelle de la tension d’entrée.

9.2⊲ Donner l’allure du spectre en fréquence du signal ve(t) ?9.3⊲ En tenant compte des caractéristiques numériques du filtre , donner l’ex-

pression du signal vs(t) observé en sortie du circuit.

1D Le comportement asymptotique du montage :• Aux basses fréquences :vs(t) = 0 (la maille (Vs; R3; ε))• Aux hautes fréquences :vs(t) = 0 (la maille (Vs; A; B; ε))• La nature du filtre :Filtre actif passe-bande.

2D Le théorème de Millmann aux :• Nœud A :

VA =Ve + jCωR1V s

R1

R′3+ 2 jCωR1

(a)

• Nœud B :

VB = 0 =VA

Zc

+V s

R3=⇒ VA = −

1jCR3ω

V s (b)

3D La fonction de transfert : Dans (a) on remplace VA par son expression dans (2),on en déduit que :

H =− R3

2R1

1+ jCR3ω

2+

1j2R′3Cω

=

− R3

2R1

1+ jCR3xωo

2+

1j2R′3Cxωo

On tire donc que :• Le cœfficient d’amplification statique

Ho = −R3

2R1

• La pulsation propre :

ωo =1

C√

R3R′3



• Le facteur de qualité :

Q =12

√

R3

R′3

4D • En H.F (ω→∞ ou x→ ∞) :

H ≃ Hoωo

Q1jω=⇒ vs(t) ≃

Hoωo

Q

∫

ve(t) dt

Donc intégrateur en H.F.• En B.F (ω→ 0 ou x→ 0) :

H ≃ Ho

Qωojω =⇒ vs(t) ≃

Ho

ωoQdve(t)

dt

Donc dérivateur en B.F.5D Les pulsations de coupure ω1 et ω2 sont définies par :

H(ω = ω1,2) =|Hmax|√

2ou bien GdB(ω = ω1,2) = Gmax − 3dB

Les pulsations de coupure à −3dB en fonction de ωo et Q.

ωmin =ωo

2( − 1

Q+

√

4+1

Q2

)

; ωmax =ωo

2( 1Q+

√

4+1

Q2

)

On conclut que :

ωmax − ωmin = ∆ω =ωo

Q

La largeur de la bande passante du filtre : ∆ω =ωo

Q.

6D Application numérique :

∆ f =fo

Q=⇒ ∆ f = 150Hz

7D On pose H = H(ω)e jϕ(ω).7.1⊲ • Le module H(ω) :

H(ω) =|Ho|

√

1+ Q2(x − 1/x)2

• L’argument ϕ(ω) :

ϕ = π − arg(1+ jQ(x − 1/x))



7.2⊲ H(ω) passe par un maximum siH(ω)dω

=H(ω)

dxdωdx= 0 =⇒ H(ω)

dx= 0

• H(ω)dx= 0 =⇒ 2Q2(x − 1/x)(1+ 1/x2) = 0 comme x > 0 alors H est maximal pour

x = 1 =⇒ ω′o = ωo

• L’allure de H(x) avec x =ω

ωo.

1

0,707

xx2x1

H

8D Puisque le signal d’entrée est sinusoidal alors le signal de sortie est aussi sinu-soidal et par conséquent vs(t) = Vs sin(2π f t + ϕ). avec :• Vs = H( f = fo)E =⇒ Vs = 5 V• ϕ( f = fo) = π − arg(1)= π

vs(t) = 5 sin(6000πt + π) = −5 sin(6000πt)

9D La tension d’entrée est une combinaison linéaire des tensions de fréquencesvariables f ∈ 0, fo, 3 fo, 5 fo.Puisque le filtre est un filtre passe-bande de fréquence centrale est f = fo = 3 kHz et debande passante ∆ f = 150 Hz alors ce filtre ne laisse passer que les tensions sinusoïdalesde fréquence situé dans l’intervalle [ f1, f2] c’est à dire la tension dont la fréquence est fo

d’où avec H( f = fo) = 1 et ϕ( f = fo) = π

vs(t) =2Eπ

sin(2π f t + π)


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CENTRE DES CLASSES PRÉPARATOIRES LYDEX ...PCSI-LYDEX 1.2. COURANT ÉLECTRIQUE ⊲ Pour un circuit de dimension ℓmax = 3 m, on trouve τmin ≫ 10−8 s; on pourra donc se placer