Ch0 Notation Idicielle

Mécanique des Milieux Continus - 7 -

I.S.I.T.V.

NOTATIONS TENSORIELLES

Avertissement: L'objectif de ce chapitre, est de familiariser les étudiants avec les notations

tensorielles. Afin d'en simplifier le contenu, nous ne considérerons que des bases ortho-

normées.

I - Vecteurs et tenseurs

I - 1 Notations

I - 1.1 VecteurDans un espace euclidien E à trois dimensions, soit 321 e,e,e

!!! une base orthonormée. Un

vecteur V!

est représenté par ses composantes V1, V2, V3

""

!"V = V1

!"e 1 + V2

!"e 2 + V3

!"e 3 = Vi

!"e i

i =1

3∑ (1)

En utilisant la convention de sommation, ou convention d'Einstein, on écrit

iieVV!!

= (2)

où, chaque fois qu'un indice est répété, il convient de faire varier cet indice de 1 à 3 et de

faire la somme. Dans l'expression (2) l'indice i est un "indice muet".

En notation matricielle on écrira parfois

==

3

2

1

V

V

V

VV!!

et le vecteur transposé

321TT VVVVVV ===

!!!

I - 1.2 Application linéaire de E dans ESoit A une application linéaire, dans la base "

!"e 1,

!"e 2 ,

!"e 3 . Cette application est représentée par

une matrice 3x3 notée [A]:

333231

232221

131211

AAA

AAA

AAA

Si !"

W est un vecteur tel que !"

W = A!"V , alors les composantes de

!"W sont données par

- 8 - Notations tensorielles

I.S.I.T.V.

3332321313

3232221212

3132121111

VAVAVAW

VAVAVAW

VAVAVAW

++=++=

++=

et en utilisant les conventions de sommation où j est un indice muet

jiji VAW = (3)

et en notation vectorielle [ ] VAW =

On définit les symboles de Kronecker par

≠=

=δjisi0

jisi1ij (4)

En particulier l'application identité ` est représentée par la matrice

=

δδδδδδδδδ

100

010

001

333231

232221

131211

La composition de deux applications linéaires se traduit par le produit de leur matrice

représentative, c'est-à-dire[ ] [ ][ ]BACencoreouBAC == #

et en notation indicielle

kjikij BAC = (5)

I - 1.3 Formes bilinéaires

Soit A une forme bilinéaire sur E, c'est-à-dire une application bilinéaire de ExE dans R.Dans la base

!"e 1,

!"e 2 ,

!"e 3 elle est représentée par une matrice Aij telle que

( ) jiij WVAW,VA =!!

(6)

ou en notation matricielle

( ) [ ] WAVW,VA =!!

En particulier, la forme bilinéaire représentée dans toute base par les symboles de

Kronecker est le produit scalaire.Si ( 321 e,e,e

!!!) est une base orthonormée, alors

ijji ee δ=⋅!!

et le produit scalaire de deux vecteurs est donné par

iijiijjijijjii WVWVeeWVeWeVWV =δ=⋅=⋅=⋅!!!!!!


WVWV =⋅!!


I.S.I.T.V.

I - 1.4 Tenseurs

I - 1.4.1 Tenseur du second ordre

Un tenseur du second ordre T est un opérateur linéaire qui fait correspondre à tout

vecteur ""!"V de l'espace euclidien un vecteur "

!"W de ce même espace.

( )VTW!!

=

Cet opérateur peut être représenté par une matrice 3x3, notée [T] ou [ ]T ou T , telle que

jiji VTW =


[ ] VTW!!

= ou VTW!!

=

* Un tenseur est dit symétrique si jiij TT =* Un tenseur est dit antisymétrique si jiij TT −=* Un tenseur est dit isotrope si ijij tT δ=

* On peut toujours décomposer un tenseur en une partie symétrique et antisymétrique

( ) ( )jiijAijjiij

Sij

Aij

Sijij

AS

TT2

1TetTT

2

1Tavec

TTTouTTT

−=+=

+=+=

I - 1.4.2 Tenseur d'ordre supérieur

On peut définir un vecteur V!

par ses composantes Vi, ou par les coefficients de la forme

linéaire iiVXVXX =⋅→!!!

, car la base choisie est orthonormée (voir les notions de

vecteurs covariants et contravariants).

On peut alors considérer le vecteur comme un tenseur du premier ordre.

De même, une fonction scalaire peut être considérée comme un tenseur d'ordre zéro.

Un tenseur du troisième ordre S est un opérateur linéaire qui, à tout vecteur Z!

fait

correspondre un tenseur du second ordre T .

kijkij ZSTencoreou)Z(ST ==!

I - 1.4.3 Produit tensoriel

On définit le produit tensoriel du vecteur U!

par le vecteur V!

, noté VU!!

⊗ , comme le

tenseur d'ordre deux, défini par la forme bilinéaire qui aux vecteurs X!

et Y!

fait correspondre

( )( )YVXU!!!!

⋅⋅Les 9 produits tensoriels ji ee

!!⊗ définissent une base de l'espace vectoriel des tenseurs

d'ordre deux, si bien que l'on peut écrire le tenseur T comme

jiij eeTT!!

⊗=


I.S.I.T.V.

I - 1.4.4 Contraction et produit contracté

Soit le produit tensoriel CBA!!!

⊗⊗ , on appelle contraction, l'opération qui lui fait

correspondre le vecteur )CB(A!!!

⋅

Le produit contracté d'un tenseur d'ordre 4 R et d'un tenseur d'ordre 3 S est défini par le

tenseur d'ordre 5

( ) ( ) rqkjimqrijkmrqppqrlkjiijkl eeeeeSReeeSeeeeRSR!!!!!!!!!!!!

⊗⊗⊗⊗=⊗⊗⋅⊗⊗⊗=⋅

Le produit doublement contracté d'un tenseur d'ordre 4 R et d'un tenseur d'ordre 3 S

est défini par le tenseur d'ordre 3

( ) ( ) rjimnrijnmrqppqrlkjiijkl eeeSReeeS:eeeeRS:R!!!!!!!!!!

⊗⊗=⊗⊗⊗⊗⊗=

Par exemple, le produit doublement contracté de deux tenseurs d'ordre 2 T et T′ est le

scalaire

( ) ( ) ijijqppqjiij TTee T:ee TT:T ′=⊗′⊗=′ !!!!

I - 2 Changement de repère

I - 2.1 Matrice de passageSoit 321 e,e,e

!!! une base orthonormée et 321 e,e,e ′′′ !!!

une autre base orthonormée.

On définit la matrice de passage Q telle que:

3332321313

3232221212

3132121111

eQeQeQe

eQeQeQe

eQeQeQe

!!!!

!!!!

!!!!

++=′++=′

++=′

ou encore, en notations indicielles

jiji eQe!!

=′

et en notation matricielle [ ] eQe

!! =′

Les deux bases étant orthonormées, on doit avoir

jkikkljlikljlkikjiij QQQQeQeQee =δ=⋅=′⋅′=δ!!!!

ce qui montre que la matrice inverse de Q est QT. En particulier on tire la relation inverse:

jjii eQe ′= !!

I - 2.2 Vecteurs


I.S.I.T.V.

Soit V!

un vecteur de composantes Vi dans la base 321 e,e,e!!!

et V'i dans la base 321 e,e,e ′′′ !!!.

iiii eVeVV ′′==!!!

En utilisant la matrice de passage

kkiiii eQVeVV ′== !!!

soit

ikikkiik QVVetQVV ′==′

ou encore, en notation matricielle

[ ] [ ] VQVetVQV T ′==′!!!!

Remarque: le produit scalaire est un invariant, c'est à dire que cette fonction est

indépendante du repère choisi

En notation indicielle

W.VWVWVQWQVWVW.V iijiijkjjkiikk

!!!!==δ==′′=′′

et en notation matricielle

[ ] ( ) [ ] [ ] [ ] W.VWVWQQVWQVQWVW.V TT !!!!!!!!!!!!====′′=′′

I - 2.3 Application linéaireSoit A une application linéaire, de composantes Aij dans la base 321 e,e,e

!!!. et A'ij dans la

base 321 e,e,e ′′′ !!!.

En notation indicielle

kkmjmijmjmijjijkiki VQAQVAQWQVAW ′===′′=′

d'où

kmjmijik QAQA =′


[ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ][ ] VQAQVAQWQVAW T ′===′′=′!!!!!

soit

[ ] [ ][ ][ ] TQAQA =′

I - 2.4 Forme bilinéaireSoit A une application linéaire, de composantes Aij dans la base 321 e,e,e

!!!. et A'ij dans la

base 321 e,e,e ′′′ !!!.

mmjkkiijjiijjiij WQVQAWVAWVA)W,V(A ′′=′′′==!!

soit

mjkiijkm QQAA =′



I.S.I.T.V.

[ ] [ ] [ ] ( ) [ ][ ] [ ][ ][ ] WQAQVWQAVQ

WAVWAV)W,V(A

TTTT ′′=′′

=′′′==!!!!

!!!!!!

soit

[ ] [ ][ ][ ] TQAQA =′

I - 2.5 tenseur d'ordre 2

Soit T un tenseur d'ordre 2, en notation indicielle

mkmjkiijmmjkkiijjiijjiij eeQQTeQeQTeeTeeTT ′⊗′=′⊗′=′⊗′′=⊗=!!!!!!!!

puis

mjkiijkm QQTT =′

I - 2.6 Invariants

On appelle invariant du tenseur d'ordre 2 T , une fonction de ses composantes

indépendante du repère choisi. Par exemple les fonctions suivantes sont des invariants de T :

=

=

=

ijij

jiij

2ii

TTT:T

TTTTr

TTTr

II - Permutations et déterminants

II - 1 Les symboles de permutation

On introduit les symboles de permutation

−+

=εrépétéssontindicesdeuxsi0

3,2,1deimpairenpermutatiouneestk,j,isi1

3,2,1depairenpermutatiouneestk,j,isi1

ijk

Ces symboles représentent le produit mixte des vecteurs de base( )kjiijk e,e,e

!!!=ε

ijkε sont les composantes d'un tenseur du troisième ordre, qui représente, par exemple, la

forme trilinéaire produit mixte:

( ) kjiijk WVUW,V,U ε=!!!

Avec un peu de patience on peut démontrer les résultats suivants


I.S.I.T.V.

=εεδ=εε

δδ−δδ=εε

δδδδδδδδδ

=εε

6

2

Det

ijkijk

kmijnijk

kmjnknjmimnijk

knkmkl

jnjmjl

inimil

lmnijk

II - 2 Déterminant d'une matrice

Les symboles de permutation permettent le calcul du déterminant d'une matrice par

kpjnimmnpijk AAA)A(Det ε=ε

ou encore

kpjnimmnpijk AAA6

1)A(Det εε=

On peut également déterminer l'inverse d'une matrice

nqmpjpqimnji1 AA

)A(Det2

1BetAB εε== −

II - 3 Polynôme caractéristique

Les valeurs propres d'un tenseur du second ordre sont obtenues par la résolution de

l'équation caractéristique)A(Det)(P λ−=λ

soit en développant

0)A)(A)(A(6

1kpkpjnjnimimmnpijk =λδ−λδ−λδ−εε

ou encore3

12

23 III)(P λ−λ+λ−=λ

avec

( ) ( )

==

−=−=

=εε=

ATrAI

ATr)ATr(2

1AAAA

2

1I

)A(DetAAA6

1I

ii1

22ijijjjii2

kpjnimmnpijk3

I1,I2,I3 sont appelés les invariants fondamentaux du tenseur A.


I.S.I.T.V.

II - 4 Adjoint d'un tenseur antisymétrique

Soit Ω un tenseur antisymétrique

Ω−ΩΩΩ−Ω−Ω

=Ω0

0

0

2331

2312

3112

on peut également lui associer le vecteur

ΩΩΩ

=

ωωω

=ω

12

31

23

3

2

1!

soit

ω−ωωω−ω−ω

=Ω0

0

0

12

13

23

Le vecteur ""!"ω est le vecteur adjoint du tenseur antisymétrique Ω. En notation indicielle on a:

Ωε=ωωε=Ω

jkijk21

i

kijkij

III - Calcul vectoriel et analyse vectorielle

III - 1 Calcul vectoriel

Le produit vectoriel

bac!!!

∧=s'écrit en notation indicielle

kjijki bac ε=

On peut montrer que

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )cbdadbcadcba

acbbcacba!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!

⋅⋅−⋅⋅=∧⋅∧

⋅−⋅=∧∧

III - 2 Analyse vectorielle

On note d'une virgule la dérivée partielle, soit ix

i,∂∂= . Les opérateurs exposés dans cette

partie seront exprimés dans un repère cartésien orthonormé.


I.S.I.T.V.

* Soit f une fonction scalaire

Le gradient d'une fonction scalaire est un vecteur

∂∂

∂∂∂∂

==

3

2

1

ii,

x

fx

fx

f

effdagr!!

Le laplacien d'une fonction scalaire est un scalaire23

2

22

2

21

2

ii,x

f

x

f

x

fff

∂∂+

∂∂+

∂∂==∆

* Soit ""!"v un vecteur

La divergence d'un vecteur est un scalaire3

3

2

2

1

1i,i x

v

x

v

x

vvvDiv

∂∂

+∂∂

+∂∂

==!

Le rotationnel d'un vecteur est un vecteur

∂∂−

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

=ε=

2

1

1

2

1

3

3

1

3

2

2

3

ij,kijk

x

v

x

vx

v

x

vx

v

x

v

evvtor!!!

Le gradient d'un vecteur est une matrice

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=⊗=

3

3

2

3

1

3

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

jij,i

x

v

x

v

x

vx

v

x

v

x

vx

v

x

v

x

v

eevvdagr!!!!

Le laplacien d'un vecteur est un vecteur

∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

+∂

∂∂∂

+∂∂

+∂∂

==∆

23

32

22

32

21

32

23

22

22

22

21

22

23

12

22

12

21

12

ijj,i

x

v

x

v

x

v

x

v

x

v

x

v

x

v

x

v

x

v

evv!!

* Soit T un tenseur du second ordre

La divergence d'un tenseur est un vecteur

∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

==

3

33

2

32

1

31

3

23

2

22

1

21

3

13

2

12

1

11

ij,ij

x

T

x

T

x

Tx

T

x

T

x

Tx

T

x

T

x

T

eTTDiv!


I.S.I.T.V.

* Quelques formules utiles( )( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( ) aaDivdagratortor

ffdagrDiv

afdagratorfaftor

fdagrggdagrfgfdagr

0fdagrtor

0atorDiv

btoraatorbbaDiv

fdagraaDivfafDiv

!!!!!!

!

!!!!!!

!!!

!!

!!

!!!!!!!!

!!!!

∆−=∆=

∧+=+=

==

⋅−⋅=∧

⋅+=

III - 3 Transformation d'intégrales

Soit Ω un domaine borné et ∂Ω sa frontière, de normale !"n .

Soit ϕ une fonction scalaire, alors

∫∫∫ ϕ=∫∫ ϕ ΩΩ∂ dVdagrdSn!!

Soit !"A un vecteur, alors

∫∫∫=∫∫ ⋅ ΩΩ∂ dV)A(DivdSnA!!!

Soit T un tenseur, alors

∫∫∫=∫∫ ⋅ ΩΩ∂ dV)T(DivdSnT!

Soit Ω un domaine plan de normale n!

, de frontière Γ . Soit U!

un vecteur défini sur cedomaine. Si τ! est le vecteur unitaire tangent à Γ , alors

∫ τ⋅=∫∫ ⋅ ΓΩ∂ dlUdSn)U(tor!!!!!

Tous ces résultats sont issus du théorème de la divergence

∫∫∫=∫∫ ΩΩ∂ dVtdSnt l,jklljkl


I.S.I.T.V.

IV - Formules essentielles en Mécanique des MilieuxContinus

IV - 1 Coordonnées cartésiennes orthonormées

zyx ezeyexOM!!!

++=* Soit zzyyxx evevevv

!!!! ++= un vecteur, alors

=⊗∂∂=∇=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

zv

yv

xv

z

v

y

v

x

vz

vy

vx

v

jij

i

zzz

yyy

xxx

eex

vv)v(dagr

!!!!et

( )z

v

y

v

x

v)v(dagrTr

x

vvdiv zyx

i

i

∂∂+

∂∂

+∂

∂==∂∂= !!!

( ) zzyyxxijj

i2

evevevexx

v)v(dagrdivv

!!!!!!! ∆+∆+∆=∂∂

∂==∆

* Soit f une fonction scalaire, alors

=∂∂=∇=

∂∂∂∂∂∂

zfyfxf

ii

ex

ff)f(dagr

!!!et ( )

2

2

2

2

2

2

jj

2

z

f

y

f

x

f

xx

f)f(dagrdivf

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂∂==∆ !

* Soit

=⊗=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

TTT

TTT

TTT

jiij eeTT!!

un tenseur symétrique du deuxième ordre, alors:

++

++

++

=∂∂

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

zT

y

T

xT

z

T

y

T

x

Tz

Ty

T

xT

ij

ij

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ex

T)T(div

! et

∆∆∆∆∆∆∆∆∆

=⊗∂∂

∂=∆

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

jikk

ij2

TTT

TTT

TTT

eexx

TT

!!

IV - 2 Coordonnées cylindriques

zrzr ez

OM,e

OM

r

1,e

r

OMetezerOM

!!!!!=

∂∂=

∂θ∂=

∂∂+= θ

dzeerddre)OM(d zr!!!

+θ+= θ


I.S.I.T.V.

0z

e,0

z

e,0

z

e

0e

,ee

,ee

0r

e,0

r

e,0

r

e

zr

rr

r

zr

=∂∂

=∂

∂=

∂∂

=∂θ∂−=

∂θ∂

=∂θ∂

=∂

∂=

∂∂

=∂

∂

θ

θθ

θ

!!!

!!

!!

!

!!!

* Soit zzrr evevevv!!!! ++= θθ un vecteur, alors

( )( )

+

−

=∇=

∂∂

∂θ∂

∂∂

∂∂

∂θ∂

∂∂

∂∂

θ∂θ∂

∂∂

θθθ

zvv

r1

rv

zv

rv

r1

rv

zvv

r1

rv

zzz

rrr

v

v

v)v(dagr!!

et

( )z

vv

r

1

r

v

r

v)v(dagrTrvdiv zrr

∂∂+

∂θ∂

++∂

∂== θ!!!

( ) zzr2r

2r2r

2r ever

vv

r

2ve

r

vv

r

2v)v(dagrdivv

!!!!!! ∆+

−

∂θ∂

+∆+

−

∂θ∂

−∆==∆ θθ

θ


zzff

r1

rrf eee)f(dagr

!!!!∂∂

θ∂θ∂

∂∂ ++= et

2

2

2

2

22

2

z

ff

r

1

r

f

r

1

r

ff

∂∂+

∂θ∂+

∂∂+

∂∂=∆

* Soit

=⊗=

θ

θθθθ

θ

zzzzr

zr

rzrrr

TTT

TTT

TTT

jiij eeTT!!


+++

+++

+++

=

∂∂

∂θ∂

∂∂

∂∂

∂θ∂

∂∂

−∂

∂∂θ

∂∂

∂

θ

θθθθθ

θθθ

rT

zTT

r1

rT

rT2

zTT

r1

rT

rTT

zTT

r1

rT

zrzzzzr

rzr

rrrzrrr

)T(div

IV - 3 Coordonnées sphériques

ϕθ =∂ϕ

∂θ

=∂θ

∂=∂

∂= eOM

sinr

1,e

OM

r

1,e

r

OMeterOM rr

!!!!

ϕθ+θ+= ϕθ dsinreerddre)OM(d r!!!

θϕ

ϕθ

ϕ

ϕθθ

ϕθ

θ−θ=∂ϕ∂

θ=∂ϕ∂

θ=∂ϕ∂

=∂θ

∂−=

∂θ∂

=∂θ∂

=∂

∂=

∂∂

=∂

∂

ecosesine

,ecose

,esine

0e

,ee

,ee

0r

e,0

r

e,0

r

e

rr

rr

r

!!!

!!

!!

!!

!!

!

!!!


I.S.I.T.V.

* Soit ϕϕθθ ++= evevevv rr!!!!

un vecteur, alors

( ) ( )( ) ( )

=

+θ+∂ϕ∂

θ∂θ∂

∂∂

θ−∂ϕ∂

θ+∂θ∂

∂∂

−∂ϕ∂

θ−∂θ∂

∂∂

θϕϕϕ

ϕθθθ

ϕθ

r

r

rrr

vvgcotv

sin1

r1v

r1

r

v

vgcotv

sin1

r1v

vr1

rv

vv

sin1

r1v

vr1

rv

)v(dagr!!

et

( )r

vgcot

v

sinr

1v

r

1

r

v2

r

v)v(dagrTrvdiv rr θϕθ θ+

∂ϕ∂

θ+

∂θ∂

++∂

∂== !!!

=∆

θ−

∂ϕ∂θ+

∂ϕ∂

θ+∆

∂ϕ∂

θθ−

θ−

∂θ∂+∆

∂ϕ∂

θ+

∂θθ∂

θ+−∆

ϕθϕ

ϕθθ

ϕθ

sin2

vvgcot

v

sinr

2v

v

sin

cos

sin2

vv

r

2v

v

sin

1)sinv(

sin

1v

r

2v

r2

22r

2

r2r

v!


=

∂ϕ∂

θ

∂θ∂

∂∂

fsinr1

fr1

rf

)f(dagr!

et2

2

2222

2

22

2 f

sinr

1fgcot

r

1f

r

1

r

f

r

2

r

ff

∂ϕ∂

θ+

∂θ∂θ+

∂θ∂+

∂∂+

∂∂=∆

* Soit

=⊗=

ϕϕϕθϕ

θϕθθθ

ϕθ

TTT

TTT

TTT

jiij

r

r

rrrr

eeTT!!


( )( )[ ][ ]

+++

+++

+++

=

ϕθϕϕϕϕθϕ

θϕϕθθθϕθθθ

θϕϕθθϕθ

+θ∂ϕ∂

θ∂θ∂

∂∂

+θ−∂ϕ∂

θ∂θ∂

∂∂

θ+−−∂ϕ∂

θ∂θ∂

∂∂

rr

rr

rrrrrrr

T3gcotT2r1T

sinr1T

r1

r

T

T3gcotTTr1T

sinr1T

r1

rT

gcotTTTT2r1T

sinr1T

r1

rT

)T(div

IV - 4 Comment retrouver les formules en coordonnées cylindriques

On note iizzrr evevevevV!!!!!

=++= θθ avec i=r, θ, z et z

, r

1 ,

ri,

∂∂

θ∂∂

∂∂=

Donc, avec cette convention r

ee et

r

ee r

,,r

!!

!! −== θθ

θθ

Chercher le gradient d'un tenseur consiste à augmenter l'ordre de ce tenseur, soit( ) jj, e**(**)dagr

!! ⊗=

Si on applique cette remarque à un vecteur, on obtient:

( ) jj,ii eev)V(dagr!!!!

⊗=

En n'oubliant pas de dériver les vecteurs de base, car nous sommes dans un système de


I.S.I.T.V.

coordonnées cylindrique,

( )

θθ

θθ

θθθθθθ

θθ

⊗−⊗+⊗=

⊗+⊗+⊗=⊗+⊗=⊗+⊗=⊗=

eer

vee

r

veev

eeveeveev

eeveeveeveeveev)V(dagr

rr

jij,i

,,rrjij,i

,iijij,ijj,iijij,ijj,ii

!!!!!!

!!!!!!

!!!!!!!!!!!!

Pour obtenir l'opérateur divergence, il suffit de prendre la trace du gradient,( )(**)dagrTr(**)div

!=

soit dans le cas d'un vecteur:

( )r

v

z

vv

r

1

r

v

r

vv)V(dagrTr)V(div rzrr

i,i +∂

∂+∂θ

∂+

∂∂=+== θ!!!

et donc l'opérateur Laplacien pour un scalaire

2

2

2

2

22

2r,

ii,zr

1

rr

1

rr)dagr(div

∂ϕ∂+

∂θϕ∂+

∂∂ϕ+

∂ϕ∂=

ϕ+ϕ=ϕ=ϕ∆ !

Appliquons maintenant cette méthodologie à un tenseur d'ordre 2.

( )

θθ

θθ

θθ

θθ

θθθθ

⊗⊗−⊗⊗+

⊗⊗−⊗⊗+⊗⊗=

⊗⊗+⊗⊗+⊗⊗=⊗⊗+⊗⊗+⊗⊗=

⊗⊗=

eeer

T eee

r

T

eeer

Teee

r

TeeeT

eeeTeeeTeeeT

eeeTeeeTeeeT

eee T)T(dagr

rii

iir

jrj

jrj

kjik,ij

,jiijj,iijkjik,ij

kk,jiijkjk,iijkjik,ij

kk,jiij

!!!!!!

!!!!!!!!!

!!!!!!!!!

!!!!!!!!!

!!!!

Pour obtenir la trace de ce tenseur d'ordre 3 on contracte les deux derniers indices:

( ) ( )

zzrzzzzr

rrzr

rrrrzrrr

iir

rr

ij,ij

er

T

z

TT

r

1

r

T

er

T

r

T

z

TT

r

1

r

T

er

T

r

T

z

TT

r

1

r

T

er

T e

r

Te

r

TeT)T(dagrTrTdiv

!

!

!

!!!!!

+

∂∂

+θ∂

∂+

∂∂

+

++

∂∂

+θ∂

∂+

∂∂

+

+−

∂∂+

θ∂∂

+∂

∂=

+−+==

θ

θθθθθθθ

θθθ

θθθ

θ

On peut donc maintenant retrouver l'opérateur Laplacien d'un vecteur :( )

( ) z2r

2r2r

2r

ir,i

r

r,,r

r,,r

ijj,i

ever

vv

r

2ve

r

vv

r

2v

er

v e

r

r

vv

er

r

vv

er

ve

r

vev

vdagrdivv

!!!

!!!!!!

!!!

θθθ

θθ

θθ

θ

θθ

θθθ

θ

∆+

−

∂θ∂+∆+

−

∂θ∂

−∆=

+

+

−

−

+−+=

=∆

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Ch0 Notation Idicielle