Ch07

ZORKANI Mohammed Dpartement HydrauliqueThorie des ondes de gravit : les modles mathmatiques & la physique

E. H. T. P. 7-1Chapitre 7 Equations des ondes courtes & les approximations associes : ondes de gravit

Chapitre 7Equations des ondes

Courtes et LonguesONDES DE SURFACE [ou de Gravit]

Les approximations associesEquations de BOUSSINESQ et Korteweg De Vries

Les Ingnieurs ne doivent pas oublier quils sont avant tout des Physiciens. La Physique ne consiste pas a crire des quations, mais comprendre le droulementdun phnomne. Ingnieux Astucieux, Habile, Industrieux, Inventif, Subtil, Cratif .

Limagination est plus importante que la connaissance (A. Einstein)1 introduction : Il ny a pas de doute que le mouvement deau est bien dcrit parlquation de Navier Stokes comme fluide newtonien : le problmersulte dans la solution de cette quation. Cest particulirement le casdes ondes de gravit (de surface) o la difficult est rencontre dans ladtermination de la position et de la forme de la surface libre et cestspcialement les conditions limites qui sont compliques.Si ( )ty,x,z = est lquation de la surface libre, une condition cettelimite est celle cinmatique : ( ) == w

DtDz

DtD0z

DtD

( )ty,x,zenwvu yxt ==++ (1-1)Cette hypothse suppose que les particules fluides suivent lemouvement de la surface libre et y restent attacher. Les autresconditions aux limites sont les contraintes normale et tangentielle lasurface sont nulles.Il existe galement des conditions aux limites dynamiques, ce niveaules effets de la tension superficielle [ interface air eau ] et lescontraintes exerces par latmosphre au dessus de leau sont icingliges par simplicit de prsentation : leffet de la tension superficiellepeut tre facilement introduit, cependant les effets des contraintes duesau vent ne sont pas encore bien compris (voir Ch04 HM).

A

a

z

x

ygr( )yx,h

( )tx.y,

iurkw

r

jvr

=

wvu

vr

LWSa+

1Figure

KDV



Lorigine tant choisit la surface libre correspondant au repos (SWL)ainsi lquation de la limite fluide au fond est ( )ty,x,hz = . Si on supposequelle est rigide et impermable alors on a la condition au limite :

0kwjviuvrrrrr =++= (1-2)

Les quations qui dcrivent lcoulement dun fluide parfait irrotationnelsont :

( ) 0pvvvt rrrrrr =++ (1-3)0vvdiv == rrr (1-4)0vvrotrrrr == (1-5)

Les conditions la limite ( )ty,x,z = sont :wvu yxt =++ (1-6)

0p = (1-7)La condition limite en ( )yx,hz = , cest dire au fond, est :

0whvhu yx =++ (1-8)Comme lcoulement est par hypothse irrotationnel un potentiel de

vitesse existe et peut tre introduit tel que : = rr gradv (1-9)On appelle onde de gravit une dformation qui affecte la surface libredun fluide en se dplaant dun mouvement continu. Ce sont soit desintumescences qui prennent naissance dans un canal ou une rivire lasuite dune variation du dbit qui sy coule, soit la crue dun cours deau,soit les agitations de la surface deau, depuis les rides des flaques deaujusqu la houle dans la mer [celles pour lesquelles le mouvement depropagation affecte que la partie proche de la surface libre]. De mmeles mares (cest une onde de translation) , les raz de mare, lesseiches sont des manifestations de la propagation dune onde ouplusieurs ondes de translation [celles pour lesquelles le mouvement depropagation affecte de la mme faon toute la section de lcoulement].Le caractre commun de tous ces ondes est la pesanteur qui est lagentmoteur : car les particules du fluide sont pesantes, lorsquelles sontdplaces de leur position dquilibre elles tendent y revenir et pourcela elles donnent naissance un mouvement pisodique, mais aucours de cet coulement les particules fluides bousculent leurs voisines,qui leur tour, en voulant trouver une position dquilibre, en dplacentdautres Etc do propagation du phnomne.2 quations linarises :La mthode qui est largement utilise pour chercher des solutionsapproches est de linariser la condition limite cinmatique en surface,cest dire la ramener la surface non perturbe (le repos) SWL, qui



est prise ici en 0z = . Pour cela en procde par un dveloppement ensries de Taylor, de la manire suivante :

( ) ( ) L++

+=== 0z

2

22

0z zf

2zft,0y,x,ft,y,x,f (2-1)

En ne retenant que les premiers termes de ce dveloppement (1er ordre).Les quations, en terme de potentiel de vitesse, linarises sont alors :

( )

==++==+=

=

yx,hzen0hh 4)-(20zen0get 3)-(2

0 2)-(2

zyyxx

tzt

2

Ce problme est maintenant linaire avec des limites fixes, alors pour lersoudre plusieurs mthodes sont utilisables.On peut atteindre les conditions de validit de la thorie linaire encomparant les termes ngligs dans cette approximation. Ce qui estfacilement ralisable en considrant la solution simple sur fondhorizontal ( ) constanteyx,h = , alors une solution du systme est :

( ) ( ) ( )ctxcoskatxkcosatx, == (2-5)( ) ( )( ) ( )ctxksinkhsinh

hzkcoshactx, += (2-6)avec la relation de dispersion : ( )k= donne par

th(kh)kgcthkhgk 22 == (2-7) car

=L2k

T2

:kT

Lc

O

londe de clrit la estc angulaire pulsation la est

donde nombre le est kpriode la Test

donde longueur la est L

Les diffrents rapports entre les termes ngligs et ceux gards dans lesconditions limites, comme par exemple : 1txx

,peuvent tre calculsen utilisant notre solution linaire en galisant cosetsin 1, ainsi pourque ces rapports soient petits conduisent 3 conditions :

khcothaketthkhak,1ak (2-8) alors Si kh nest pas petit ces conditions sont satisfaites par : 1ak cest

dire que la cambrure de londe )aL( 1= est faible, ce qui



signifie que lamplitude de londe doit tre plus petite que la longueurdonde.

Mais si en plus kh est petit la 2me condition implique que :khak soit ha cest dire dans une eau de profondeur plus

petite que la longueur donde, lamplitude doit tre galement pluspetite que la profondeur. Or on vient de rencontrer cette conditionmme pour ( )1Okh = .

Si notre solution est suppose tre le premier terme, disons 1 , dundveloppement (technique mathmatique des perturbations) :

L++= 21 (2-9)o 1nn + pour tout n, alors dautres conditions approximationspeuvent tre trouves, mthodologie dj utilise par Stokes. On trouve :

( ) ( )( ) ( ) ( )ctxk2sinkhcoshkhsinh8chzk2coshg3atx, 3

2

2 += (2-10)

On signale que pour les autres termes dordre plus levs, 2n:n , lavitesse de phase ,

kTLc == , doit tre perturbe et des prcautions ainsi

que des soins particuliers dans les calculs sont ncessaires.Le rapport 112

est petit en respectant les conditions 1ak et ha , moins que 1kh . Dans ce cas une autre condition : 1

hka

32 estncessaire pour viter que le dveloppement ne soit singulier. Cest unerestriction trs forte pour valider notre solution linaire puisquelleimplique que :

( ) 2khha (2-11)

o kh est encore plus petit que 1. Ainsi si kh est petit le systmedquations ne constitue plus une bonne approximation, et uneapproche diffrente est ncessaire.

3 Thorie donde de gravit damplitude finie en eau peu profonde : La restriction trs svre( 1hka 32 )[quation. 2-11] pour lapplicabilitdes quations linaires conduit considrer que lapproximation 1kh non durable. Qui peut scrire Lh , cest dire la profondeur deauest trs petite devant la longueur donde, autrement dit les proprits delonde varient peu sur une distance du mme ordre de grandeur que laprofondeur !. Cette confirmation peut tre mieux mise en vidence en



utilisant une analyse dimensionnelle (grandeurs sans dimension) et desvariables dchelle [thorie dchelle].Pour adimensionaliser, une constante dimensionnelle doit tre choisit enplus de [masse volumique de leau] et g [champ de pesanteur] qui sontdes grandeurs actives. Dans une eau de profondeur constante, 0h , laprofondeur est videmment une grandeur approprie. Si ( )y,xhh = uneprofondeur caractristique 0h ,ou une vitesse typique 0u , ou lafrquence angulaire peuvent tre choisit. Une foi une grandeurconstante est choisit les autres sen dduisent (par exemple si unevitesse de rfrence est choisit 0u alors une longueur de rfrence estdfinit par g/u20 ). Ici on va choisir 0h comme grandeur de rfrence,alors le temps et les vitesses seront chelonns [gradus]respectivement comme suit : g/h0 et 0gh . Alors les grandeurs sontadimensionalises comme suit :

( ) ( )( ) ( )

/0

/0

///0

////0

tg/ht,pghp

w,v,ughw,v,u

,z,y,xh,z,y,x

===

= (3-1)

Il est plus simple de donner lordre de grandeur dune variable sansdimension puisque ce nest quun nombre pur. Les variables sontgalement chelonnes pour mettre en vidence leur importance.Dans le cas o lchelle horizontale des ondes est suppose longuecompare la profondeur. Alors la longueur donde en terme de /x estgrande. Si /x est chelonne en introduisant /xx = (3-2), o estpetit et ( )/L/1O alors la variable ainsi relativise variera ( )1O pour unchangement significatif de londe : = /0LhL L/h0 .Un astrisque est utilis ici pour dsigner les variables adimensionnellesavec un coefficient dchelle de lordre de 1sauf pour des variations dont est en facteur. Par exemple :

2

/221

30

22

2

xu

hg

xu

=

(3-3)Dans le cas qui nous intresse ici , cest dire des ondes de graviten eau peu profonde [soit proche de la cte] qui progressent avec unevitesse ( )1O~u/ car 0gh~u alors le temps est chelonn de la mmemanire que la distance horizontale: /tt = (3-4).On va traiter ici le cas 1D, il est facile dtendre les calculs 2D de lamme manire.



Lquation de continuit et la condition limite cinmatique la surfacelibre deviennent respectivement :

0zw

xu

/

//=

+ (3-5)

et/

//

/w

xu

t=

+ (3-6)

Il est vident que /w est ( )O et sera alors chelonne := /ww / (3-7).

La condition dcoulement irrotationnel devient :

=

zw

zu 2

/

/ (3-8).

qui donne en lintgrant par rapport /z : ( ) ( )2// Ot,xuu += (3-9).Cest dire que /u est indpendante de /z ( )2O . Sa drivationmontre que rsultat est inchang par la vorticit tant quelle demeurefaible c d : ( ) ( )2/

hOdzvorticit

/

/ = (3-10).Lquation de la quantit de mouvement selon laxe vertical est :

01zp

zww

xwu

tw

/

/

/2/22 =+

++

+

(3-11).

En intgrant par rapport /z , sachant que la condition limite dynamique surface libre est 0p/ = en //z = , on obtient :( )2/// Ozp += (3-12). Cest dire que la pression est hydrostatique ( )2O .Lquation de conservation de la quantit de mouvement horizontale est

0xp

zuw

xuu

tu /

/

///

/=

++

+ (3-13).

qui se simplifie quand on utilise les 2 rsultats [quation (3-9) et (3-12)],soit :

( )2//// Oxx

uutu =

++

(3-14)

On obtient une forme de lquation de continuit qui convient lacomprhension de la physique des ondes longues en lintgrant parrapport z de h . En utilisant la rgle de calcul de Libnitz :

( ) ( )xdhdt,h,xu

xt,,xudzu

xdz

xu

hh

=

(3-15)



et les conditions limites cinmatique en =z et en hz = , on obtient :0dzu

xt h=

+

qui peut scrire : ( )[ ] 0uhxt =++ (3-16)o ( ) dzu

h1t,xu h+=

est la vitesse horizontale moyenne sur le tirant

deau. La relation ( ) ( )2// Ot,xuu += nous montre que ( )2// Ouu +=Rcrivons nos quations sous forme dimensionnelle on obtient lesystme dquations des ondes de gravit damplitude finie en eau peu

profonde [S. W. W.] : ( )[ ]

=++=++

18)-(30uh 17)-(30guuu

xt

xxt

On obtient souvent ce genre dquations en adoptant lune deshypothses quivalentes :

profondeurlasuruniformeestehorizontalvitessela

gDtDwquehydrostatiestpressiondeondistributila

(3-19)

Le systme dquations est relativement facile rsoudre si laprofondeur deau est constante, puisquelles peuvent scrire sous uneforme caractristique :

( ) ( ){ }

( ) ( ){ }

=

+=+

++

x

21)-(30c2ux

uct

x

20)-(30c2ux

uct

rgressive

eprogressiv

avec ( )+= hgc2 (3-22) c est la vitesse de phaseLa premire quation montre que ( )c2u + se propage dans la direction{ }x+ avec la vitesse ( )cu + ,alors que la deuxime quation montre que( )c2u se propage dans la direction { }x avec la vitesse ( )cu ;cependant ( )c2u + et ( )c2u se propagent chacune dans sa directionavec la clrit c par rapport leau. Si une onde se propage dans ladirection ( )x+ dans une eau au repos, cela signifie que ( )c2u estconstant , disons gal ( )0c2 . La premire quation peut se rsoudrepour donner :

+= tu

23cxfu 0 avec ( ) 0txfu == (3-23)

Notons alors que :

+

= tu23cxftu

231u 0

/xx ce qui donne



/

/

x tf32f2u += (3-24)

Si /f est partout infrieure 0 alors xu quand /f3/2t . En termedlvation de surface cela implique pour toute onde progressive segonfle continuellement : ainsi la partie en crte tend rattraper la partiebasse du front donde devant la crte car ( )+= hgc . Ce mcanismeest dsign par [dferlement plongeant] , on aalors ( )= ,k et si ( )= fc on parle de .

Ainsi notre solution

+= tu23cxfu 0 les quations ne vrifie plus

les approximations utilises pour lobtention de ce systme dquationspour des instants suprieurs un temps ( )1O . Mais si 2 ondes sepropagent dans les 2 directions il est possible de trouver des solutionsspciales qui sont uniformment valable dans le temps. Si les quationssont modifies par linsertion dun terme de frottement [par exemple laformule empirique de Chzy comme rsistance lcoulement dans unerivire ou un canal] des solutions uniformment valables dans le tempspeuvent exister. Cependant, en gnral les quations ne sont pasvalables pour des instants plus grands que ( )1O .Quand notre systme dquations est valable, on a vu que londe sesubit un ballonnement [gonfle] vers lavant proche de la crte et parconsquence londe finit par dferle [se brise]. Le mouvement qui enrsulte est trs compliqu pour le dcrire analytiquement.Une fois londe commence dferler elle le continue sous la forme duneintumescence (bosse) turbulente dont la zone de haute turbulence a unelongueur de lordre de la profondeur. Dans plusieurs cas , spcialementsur les plages de faible pente, cette distance est suffisamment courteque les dtails sur le mouvement de cette intumescence peuvent trengligs alors des quations globales de conservation de quantit demouvement et de continuit peuvent exister : soit( ) ( )

( ) ( ) 22222211112211

gH21VuuHgH

21VuuH

VuHVuH

+=+=

(3-25)

xh

( )t,x 2Figurec



o +== heau'dtotaleprofondeurH (3-26)

Cest 2 relations lient les vitesses et les profondeurs des 2 cots delintumescence, oV est la vitesse de lenflure. Pour des considrationthermodynamique on doit avoir : 21 HH cest dire de lnergie estdissipe au lieu dtre cre. En utilisant ses 2 relations et en regardantlintumescence comme une discontinuit de la solution (analogue unressaut hydraulique) , les quations peuvent tre utilises en prsencede cette singularit.

Loi de saturation : le dferlementLa zone du dferlement est caractrise par une saturation en nergiede la houle. Les mesures tant en laboratoire quen nature montre uncontrle de lamplitude de la houle a par la profondeur locale suivant unerelation linaire :

Ha2Aminmax ===

La constante , initialement introduite par Mc Cowan (1891) dans ltudethorique de la houle solitaire ( )78,0= [ une onde solitaire est uneonde qui ne se dforme pas au cours de sa propagation sauf par unediminution de son nergie par frottement (Russell 1854) ]. Ultrieurementbeaucoup dauteurs [Galvin et Eagleson (1965), Iverson (1962),Sverdrup et Munk (1946) ] proposent la mme valeur de qui estobserve en laboratoire (houle monochromatique). Mais danslapproche statistique base sur lamplitude quadratique moyenne

rmsA conduit une valeur de sensiblement plus faible : 5,03,0 rms .Cest uniquement quand lamplitude est suffisamment petite devant laprofondeur que le dferlement ne se produit pas et peu de temps aprsles quations deviennent non valables. Alors, pour une descriptionanalytique, les termes ( )2O qui taient ngligs doivent tre maintenus.Ceci nest praticable que quand lamplitude de londe est petite devant letirant deau. Heureusement cest souvent une hypothse raisonnable.

V

1u2u

1H2H

3Figure

H aa+



4 Les quations de BOUSSINESQ : tablis en 1872Valentin Joseph Boussinesq (1842-1929 a vcu Lille en France)

En supposant que lamplitude est petite devant la profondeur conduit lintroduction dun autre paramtre dchelle . Lchelonnementassoci est )( // = , )uu( // = et )ww( // = , il est suppos que

1 . Il faut maintenant dcider de lordre de grandeur relative de et de . On constatera dans les calculs qui suivent que :

2= (4-1) avec haet

Lh 3

2

2 haLUrsellUr 'dnombre =

=constitue le meilleur choix. Ainsi les variables adimensionnelles sont :

( ) ( )( ) ( )

===

=

tg/ht,pghp

wgh,vgh,ughw,v,u

a,zh,Ly,Lx,z,y,x

01

0

000

0

( )

esqsinBous:

finieamplitude:1O

longueondeThorie:1

si

2

N.B. : ( )( )

( )

=

1972Jeffreysedisspersivlinaieonde

1953Serre,1855VriesdeKortweg,1872esqsinBous

1871VenantSant,1845Airyedisspersivlinaienononde

:1Ur:Si:1OUr:Si:1Ur:Si

On signale que quand une onde sapproche dune plage salongueur donde diminue alors que son amplitude augmente (Shoal).Dans la nature, sur des fonds m5~h0 , reprsentatifs des zoneslittorales, on peut admette des houles ayant une priode de s10~T et

m5,0~a2 alors 5~Ur075,0~&05,0~ donc il faut appliquerune thorie non linaire dispersive pour reprsenter correctementlhydrodynamique des environnement littoraux domins par la houle.Cet chelonnement sera limit une profondeur constante, 1h/ = , ainsisur 1z/ = on a 0w = . La vitesse verticale doit tre introduite danscette approximation : /z1 dzx

uw/ =

(4-2)

qui rsulte de lquation de continuit 0zw

xu =

+

.

La condition dirrotationnalit si donne alors :/z

1 2

22

/ dzx

uzu /

=

(4-3)

qui montre encore que : ( ) ( )2Ot,xUu += (4-4) .



Cependant les termes ( )2O'd doivent tre gards , pour cela lquation(4-4) est introduite dans lquation (4-3), on obtient alors :

( ) ( )422/2/ Ox

Uz1zu +

+=

(4-5)

et qui donne aprs intgration :

( )422//2 Ox

Uz211zUu +

+=

(4-6)

On observe que ( ) t,xU est la vitesse horizontale en 0z/ = , et cetteexpression met en vidence la variation de la vitesse horizontale( ) t,z,xu sur la profondeur explicitement, il en rsulte daprs (4-2)que la vitesse verticale est donne par : ( ) ( )2/ O

xUz1w +

+= (4-7)

et la vitesse horizontale moyenne est donc :

( )24222 ,Ox

U31Uu +

+=

(4-8)

N.B. : On constate que si en plus : 42 ~ 2~ on retrouve alors notre hypothse de dpart (4-1).Lquation de la quantit de mouvement selon laxe vertical est :

1zp

zww

xwu

tw

/

/

/22222

=+

+

(4-9).

Notons que dans ce calcul on retenu lacclration vertical du fluide, quisera bien entendu responsable dune distribution de pression nonhydrostatique, en effet en lintgrons par rapport /z en utilisantlquation (4-7) on obtient :

( )4222//2/// ,Otx

Uz211zzp +

+++=

(4-10)

Lquation de la quantit de mouvement horizontale est :

0xp

zuw

xuu

tu /

/22 =

++

+

(4-11)

qui devient en y reportant les quations (4-6) et (4-10) :

( )42,Oxx

UUtU =

++

(4-12)

Maintenant on doit faire de choix dune vitesse comme variable pourcommencer les calculs. Par exemple : U, u ou bien la vitesse au fond oucelle la surface libre. Ici on opter pour u , ainsi aprs utilisation de (4-8)



pour crire U en fonction de u et en retournant aux variablesdimensionnelles, les quations (4-12) et (3-16) donnent les quations deBoussinesq (1871) :

( )[ ]

=++=++

0uh

uh31guuu

x0t

xxt20xxt ( ) +=

h0udz

h1t,xu (4-13)

Boussinesq dduit une quation dvolution pour par limination de uentre ces 2 quations : [ ]xxxx22xxtt 3/hh2/3ghgh += alorsquen thorie linaire on a : 0gh xxtt =Les autres variables du champ de lcoulement sont :

( )( )

txuz

21hzzgp

xuzhwet

xuz

21hzh

31uu

22

0

02

22

020

++=

+=

+= (4-14)

Ursell a justifi par un schma Lagrangienne (mcanique analytique) que :[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )Airyalorssi3cas esqsinBousalorssi2casysJeffrealorssi1cas

xx2

xxtt2

xxxx22

xxtt2

xxxx2

xxtt2

h2/3ghgh:

3/hh2/3ghgh~:

3/hghgh:

=+=

=

Remarque : Les quations de Boussinesq diffrent des quations par un seulterme additif ,

txuh

31uh

31

2

320xxt

20

= . Une analyse des diffrentes tapesde calcul montre quil est du aux effets de la vitesse verticale sur lavitesse horizontale et sur la pression. Comme cest le terme de plusgrand ordre il aura donc une influence importante sur la solution quand ilvariera rapidement [cest justement les quations qui deviennentinapplicables].Il est pdagogique et instructif de considrer la forme linaire du

systme dquations : ( )( )

=+=+

1640uh

154uh31gu

x0t

xxt20xt

Si une variation harmonique ( )ctxike est suppose tre solution on aalors la relation de dispersion est obtenue : 0

20

22 ghhk311c =

+

qui , puisque : ( )= Okh0 , elle peut lcrire sous la forme :



= 20202 hk311ghc (4-17)

en accord avec la thorie linaire (2-7)[ thkhgkc 12 = ] dveloppe en1kh . On peut alors identifier la drive dordre 3 un processus de

dispersion de frquence. Une solution caractristique du systmedquation est londe solitaire : =oh tirant d'eau au repos( )ahgc o += ( ) 78,0hH bo = ondes 2D avec crtes // la ligne de cte( ) ( )

( )Zch

1Zsech;18)-(4h2a1ghc:

hguetctx

h2a3hseca2t,x

021

0

21

0

21

30

2

avec

+=

=

=

Le changement damplitude est donn (rsultats exprimentaux d ppen &Kulin) par : nha avec [ n=0,49 pour =0,023 ], [ n=0,26 pour =0,050 ] et [ n=0,19 pour =0,065 ]. Alors que [ n=0,25 pour la loi de Green ].

Il est possible de gnraliser lquation de Boussinesq pour tenircompte du frottement sur le fond et dune bathymtrie non uniforme :( )4wbbwb Ouuf21uuf21 += rrrrrOn dsigne par = H5,0A et u respectivement lexcursion et la vitessemaximale des particules fluides proches du fond hors de la couche limite(coulement potentiel) et sK rugosit du fond ; on a :

0.02 0.04 0.06 0.08

0.00

0.20

0.40

0.60

= Pente du fond

n = Exposant

Loi de Green : n = 0,25

nhAmplitudea =

Ippen & Kulin

x

solitaire

a



Pour le rgime laminaire 4105,0Hu : Jonsson (1966) propose :

21

w 5,0Hu2f

=

Pour le rgime turbulent lisse : 3s

54 10K5,0

Het105,0Hu10

(66,80)

Jonsson propose : 2,0

w 5,0Hu09,0f

=

Pour rgime dcoulement turbulent rugueux : Jonsson propose

57,1K5,0

Hpour3,0f

K5,0H2,56expf

sw

19,0

sw

=

+=

si 100K5,0

Het105,0Hu

s

5

cest le cas le plus courant dans la nature, voir figure au dessous:

On peut crire en tenant compte du frottement sur le fond :

( )( )[ ] 0uh

xt

htu

xdhd

2h

txu

xdhdh

txu

3h

xg

xuu

tu b

2

22

2

32

=++

+

+

+=

++

5 Equation de Korteweg De Vries : K.D.V. Les quation de Boussinesq peuvent tre simplifies dans le cas desondes qui se propagent dans une seule direction, par exemple ( )x+ . Cequi est possible car en premire approximation donde se propage sans

210

110

1

sK5,0H

10 100

wf

3,0



dformation. Ainsi ces ondes sont dcrient, en premire approximation,fonction que de largument ( ) /// Xtx = .Cependant, ces ondes ne sont pas parfaitement permanent et varientdans le temps et dans lespace. On tiendra compte de cela parlchelonnement :

/3/ TT,XX == (5-1)La substitution de ces variables dans les quations donne :

+

=+

+

TX

u3X

u3XX

uuXu

Tu

2

34

3

322 (5-2)

et ( ) 0u1XXT

2 =

++

(5-3)

Ces 2 quations se rduisent :

( )2OXu

X+

=

Do pour des conditions initiales appropries : ( )2Ou += (5-4) apeut tre par exemple (4-8) comme conditions initiales.En ajoutant les quations (5-2) et (5-3) on obtient :

( )233 OXu31X )u(XuuTTu =+++ +

Qui se rduit , en utilisant (5-4), : ( )233 OXu31Xuu3Tu2 =++

cest lquation de Korteweg de Vries, qui en variables dimensionnelles

scrit : ( ) ( ) 0ughh61uu

23ughu xxx2

1

020xx2

1

0t =+++ (5-5)Cette quation contient les 2 dispersions : de phase et damplitude.On peut galement monter que les quations (5-2) et (5-3) donnent enutilisant le rsultat (5-4) :

2

221

02022

1

0

xu

gh

6hu

g41u

gh

+

= (5-6)

Dans le systme dquations et (5-5) existent des termes ( )Ocomme tu , x et des termes ( )3O ou bien ( )2O comme xxtu et xuu .Il est cohrent avec lapproximation employe dutiliser les relations quirsultent en supposant la rsultante des termes du premier dordre gale zro pour pouvoir donner une autre forme aux termes de second ordre.



Par exemple, dans lquation (5-5) tu peut remplac le terme )ghu( 0xalors : ( ) ( )/xxt20xx210t 55uh61uu23ughu =++cest une autre forme de lquation de Korteweg de Vries. (5-5/) estprfrable (5-5) selon Benjamin (1972) pour modliser les ondessuffisamment longues .Korteweg et de Vries (1955) on dduit une quation dvolution pour par limination de u entre les quations :[ ] 06/hh4/3c xxx20020t =+++Ces solutions sont des ondes de type cnodal dont londe solitaire est uncas limite quand la longueur donde augmente infiniment.

6 Validit des quations donde longue :Les quations donde longue linaires sont obtenues partir denimporte lequel des systmes dquations , ou en retenant lestermes de premier ordre en et en , soit :

[ ] V 0uh 0gu

xt

xt

=+=+

En profondeur constante elles ont la solution gnrale :( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( )26tcxgtcxf

hgu

16tcxgtcxf

000

00

+=++=

o 020 ghc = et f et g 2 fonctions dfinies par les conditions initiales et

aux limites.De ce qui prcde on peut dduire la limite de validit des quations Vpar les effets des dispersions en amplitude et en frquence.Pour atteindre les effets de dispersion en amplitude , on va comparer lasolution (6-2) avec la solution (3-23) :

( )

+== tu23cxfuettcxfu 0201 avec ( ) 0txfu ==

La diffrence 12 uuu = est approximativement donne par :( )tcxftu

23u 0

/ alors : ( )tOuu =

Les quations donnent u correcte ( )2O , ainsi il y a pas de perte deprcision en utilisant V tant que t est de ( ) /O . Plus pratique, u/uest petit tant que ( ) 1t ainsi les quations V deviennent sensible dispersion damplitude aprs cet intervalle temporel.



De mme pour accder aux effets de dispersion de frquenceconsidrant la solution des quations de Boussinesq linaires (4-15) et(4-16) , disons 3u ; alors

( ) ( ) dke1ekAuuu tchki61tcxk 0230i31

==

o ( ) ( ) dkekAxf xki=

. Par lesquels on peut trouver en approximation :

( )tcxftch61u 0

///0

2 alors : ( )tOuu 2 =

Normalement les quations de Boussinesq donnent u correctement ( )4O , mais par exemple la solution en onde solitaire est correcteseulement ( )2O car cette solution est plus proche de la solution dusystme V en premier ordre [remarquer que la clrit de londesolitaire diffre de 0c ( )O ] . Cest ce qui correspond la majorit descas pratiques, ces rsultats impliquent que le systme V peut tre utilispour des temps suprieur ( )1O .7 Les quations en profondeur variable : Prigrine 1967En 3 dimensions et sur bathymtrie non uniforme les ondes de gravitsse comportent diffremment quen 2D. Les quations correspondantes

V en 3D et en profondeur variable sont : Loprateur vectoriel nabla horizontal

= 0,

y,

xhr

est utilis.

Tous les vecteurs sont supposs tre dans le plan horizontal ( )y,x .( )( )

( ) ( )/

zhh

t

zt

zz2h

370:t,xhzen

270g

:0zen:iteslimconditions

170

=+=

=+==

=+

rr

( ) ( )( )[ ] ( )

/

ht

hht

570uh

470guuu

=++=++

rrrrrrrr

( ) ( )[ ] ( )( )[ ] ( )

/

h

hhhh

770uht

67uht

h21guu

tu

=++

=++

rr

rrrrrrrr

Boussinesq



( )/

ht

ht V0uh

0gu

=+=+

rr

rrr

Si on limine la vitesse des quations /V et en adoptant une solutionharmonique on obtient alors :

( ) ( )( ) ( )

==

ti

ti

ey,xUt,y,xu

ey,xt,y,xrr

( )

=

=+ rr

rr

giu

0g

h2

soit

=

=

ygiv

xgiu

Les systmes dquations ( )/// Vet, sont des extensions directes deleur correspondant en deux dimensions [ 2D ] profondeur constante.Mais lobtention des quations / ncessite les mmes approximationsquen profondeur constante ainsi que lintroduction dune nouvellechelle de longueur qui caractrise les variations de la bathymtrie. Unparamtre sans dimension qui peut reprsenter mieux cette variation dufond est ( )hMax h= r [ en profondeur uniforme : xh = ].Pour obtenir les systmes dquations ( )/// Vet, il est ncessaire desupposer que , car la condition au limite (7-3) sur le fond hz = lacomposante verticale w de la vitesse est ( )O , et les approximationsutilises sont inconsistantes si est suppose tre plus petite que .Ainsi les quation deau peu profonde ne sont pas applicables si est( )1O , actuellement il n y a pas dapproximation utilisable autre que / qui

reprsente une singularit la ligne de cte.Pour illustrer leffet de la pente quand elle nest pas faible, considrantle cas du problme 2D dune onde se propageant sur une profondeurdeau uniforme 1h rencontre une discontinuit de transition vers une autreprofondeur uniforme 2h . Si la transition est linaire avec ( ) xxh = entreles 2 niveaux , les quations linaires donde longue V/ donnent lasolution: [utilise pour cela la technique mathmatique de rparation des variables]:

( ) ( ) ( )[ ] tieXYBXJAt,x 00 += (7-8)o

=g

x4X2

2 (7-9)

z

xxh =

ax =



( ) :0Binieinf0Y0 = ( ) ( ) tcosXJAt,x 0 = si en ( ) tcost,a 0 =

alors ( ) =

=g

avectcos

a2J

x2J

t,x2

21

21

0

21

21

0

0

Les modes rsonnants sont obtenus quand le dnominateur sannule.Si les ondes sont trs longues compares la longueur de la zone detransition , on peut approximer dans ce cas cette transition par unediscontinuit de profondeur. Ce qui revient prendre ( ) 2/ avecbien entendu 1 et 1 .Les conditions appliquer la discontinuit sont plus simples obteniren intgrant les quations /V par rapport x travers la discontinuiton obtient :

( ) ( )1070gdxu 12t21

x

x=+

et

( ) ( ) ( )1170huhudx 12t21

x

x=+

Si londe est beaucoup plus long que la transition, lcoulement dans latransition variera trs lentement, alors dans ce cas les termes en drivetemporelle peuvent tre ngligs en premire approximation, ce quiconduit ainsi ce que et uh doivent tre continues travers ladiscontinuit bathymtrique.Une autre mthode pour dmonter ce rsultat est de dvelopper lasolution (7-8) en srie pour 1X avec [Note : B dans (7-8) doit tredvelopper comme ( )241120 OBBB ++= ].On signale que pour une pente trs faible la rflexion de londe peuttre nglige : le coefficient de rflexion est ( ) /O~R et lamplitudede londe rflchie est : ( )212121

21XX2coshh2hh

hhg

4+

lamplitude de londe incidente. Ce qui justifie que ( ) /O~R . Ce quipar consquent sera sans important dans les quations deau peuprofonde ( )/// Vet, seulement sil est plus petit que ( )2O cest dire si 3 . Cependant si 3 on doit faire attention en la rflexion,car les rsultats ne reprsentent plus la ralit physique. Il faut

2h

1x 2x

1h



lintroduire au moins dans les conditions aux limites : effets de battementet modulation de frquenceDans le cas dune marche Lamb [Hydrodynamics 1932 Art. 176] admontr quen eau peu profonde [modle onde plane] on a :

En se basant sur la mthode des perturbations et en adoptant un modle potentiel de vitesse 2D [A.G. Davies {1979,1982 Jounal of MarineResearch} et A.G. Davies et A.D. Heathershaw (1964 J. Fluid Mech,)]ont montr quune onde de gravit monochromatique se propageant surfond sinusodal dtendu fini L, est rflchie par ce dernier; en plus lecoefficient de rflexion est oscillatoire en fonction du rapport du nombredonde de londe celui du fond donc on peut obtenir des rflexionrsonantes quand le nombre donde de londulation du fond est doubledu nombre donde incident :Le coefficient de rflexion R [rapport de lamplitude rflchie celleincidente] est donn par : ( )

( ) k2simk2sin

1/k2/k2

kh2sinkh2kD2R 2

+=

ou 2

mkh2sinkh2

kD2R += si k2= c'est la condition de Bragg

ComplmentNote sur la turbulence

Le filtrage des quations prcdentes introduit cause de la non linarit [termes advections] des contraintes de Reynolds :

=

2

2

2

/////

/////

/////

wvwuw

wvvuv

wuvuu

R o

+=+=+=

/

/

/

www

vvv

uuu

,

== == ==

+

+

+

0w,dtwTw

0v,dtvTv

0u,dtuTu

/Ttt

1

Ttt

/1

Ttt

/1

hL( ) ( )xsinDxY =z

x

1L 2L== mLL 21

1h2h

21

212

21

1

21

hhhh

Rdx

dhdxdh +

=

==

dx

dh

dx

dh 22

11

21

==



Fermeture de la turbulenceOn distingue 2 grands types de fermeture turbulente: lun au premierordre, lautre au second ordre : Celle au premier ordre : elle sappuie sur la hypothse de Boussinesq,

qui relie les corrlation double aux gradients moyens de vitesse et

de densit zuwu t

//

= . Dans cette classe de modles le problme

de la modlisation se ramne la dtermination dun coupledchelles caractristiques de vitesse et de longueur. Il est noterque dans ce type de fermeture revient admettre que le gradient devitesse moyenne impose son chelle la turbulence.

Celle au second ordre : elle est introduite par Prandtl, lchelle detemps est simplement dfinie, en introduisant la notion de la longueur

de mlange, par : lu

zuM =

= [ M est la frquence (de Prandtl) detransfert des gros tourbillons au plus petits]. Si comme Prandtl, onadmet que la fluctuation /u et du mme ordre que /w et quil y a une

corrlation constante entre /u et /w , on dduit : 2

2//

zuwu

= l

alors la viscosit turbulente scrit : zu2

t = l o l est choisit

empiriquement [proche dune paroi : z=l ainsi Mz22t = ].Rsolution numrique

des quations de Boussinesq : Modle 1D Schma numrique : dans la suite on notera uu =Dans une premire tape la discrtisation de lquation de continuit,

( )[ ] =++

0uhxt

( )

+

+=

xxdhdu

xuh

tsuivant un schma explicite permet daccder valeur provisoire 1nj

+de la dnivellation de la surface libre linstant )1n( + et au point dindicespatial j :

+

++=

++

+++

x2x2hh

u

x2uu

2h

t

n1j

n1j1j1jn

j

n1j

n1j

nj

1nj

j

nj

1nj

qui conduit :



( )

+

+

+

+

=

++

++++

x2uu

t1

x2uu

t1

x2x2hh

ux2uu

ht

n1j

n1j

n1j

n1j

n1j

n1j1j1jn

j

n1j

n1jn

jj

nj1n

j

Dans une 2me tape, lquation dynamique 1D :

( )+

++

=+

+

htu

xdhd

2h

txu

xdhdh

txu

3h

xg

xuu

tu b

2

22

2

32

est discrtise pour calculer la valeur de la vitesse linstant (n+1) aupoint dindice j. Le schma numrique est un schma implicite 2niveaux, dcentr en temps et centr en espace : les diffrents termes sont discrtiss comme suit ( )

tuu

tu nj

1nj

=

+ et ( )x2hh

xdhd 1j1j

= +

( ) ( )

2x2uu

x2uu

xu

n1j

n1j

1n1j

1n1j

+

=

++++

( ) ( )xu

x4xmme

n1j

n1j

1n1j

1n1j

+= ++++

( ) ( )tx

uu2uuu2u

txu

2

n1j

nj

n1j

1n1j

1nj

1n1j

2

3

++=

+++++

( ) ( )tx2

uuuux2uu

txu

ttxu n 1j

1n1j

n1j

1n1j

n1j

n1j

2

=

=

=

+++++

( )2 1jj1j22 xhh2h

xdhd

+= + On obtient ainsi :

=

++

++

+++++++++x4x4

uuuuu

tuu n 1j

n1j

1n1j

1n1j

n1j

n1j

1n1j

1n1jn

j

nj

1nj

++ ++++

x4uu2uuu2u

3h n 1j

nj

n1j

n1j

1n1j

1n1j

2j

+

+ +

++++tx2

)uu(uux2hh

hn

1jn

1j1n1j

1n1j1j1j

j

1n +2n +

j1j +1j

n

x

t

t

x



njj

fnj

1nj

2j1j1jj u

hC

tuu

x

h2hh2h

++

++

O on a linaris le frottement comme suit :

uuf34~ 0maxwb

avec ( ){ }t,0uMaxu0max = et 0,1~U2fw =

Selon P. Brun [Port Ingineering 3me Edition Gulf Pubishing Company1981] : si on utilise un frottement linaire : uF

rr = o est lecoefficient de frottement linaire, qui est dtermin dun point de vue

nergtique par :

= 0max

2 hu

Cg

38 ,

Chzydetcoefficien

reposaueau'dprofondeur

imalemaxmoyennevitesse

Chu

0

max

Note quation discrtise peut scrire sous la forme itrative :

=++ ++++ j1n 1jj1njj1n 1jj uuu 1n 1jj

j1n1j

j

j

j

j1nj uuu

++++

=

On observe que cela ncessite 2 conditions aux limites : la cte et aularge, soit :

Au large :

==

tsinak

u

tsina

00

0

00

A la cte : (condition de radiation ?) on crit simplement :

==

0u0

N

N

Les conditions initiales sont le repos :

==

0

0u0j

0j

Les coefficients dans la formule itrative sont donns par :

= +

tx21

x2hh

htx

13h

x41u 1j1jj2

2jn

jj

+

=

+t

1x

h2hh2h

tx2

3h

t1

2j1j1jj

2

2j

j

=

+tx2

1x2hh

htx

13h

x41u 1j1jj2

2jn

jj



+

++

+

++

++

=

+

+=+

+++++

nj

j

fnj

2j1j1jj

n1j

n1j1j1j

j2

n1j

nj

n1j

2j

n1j

n1j

1n1j

1n1j

n1j

n1jn

j

nj

j

uhC

tu

x

hhh2h

tx2uu

x2hh

htx

uu2u3h

x4x4uu

ut

u

Pour les conditions aux limites en 1j = et Nj = doivent imposer :1n

N1n

0nN

n0 uetu,u,u

++

ce qui nous ramne rsoudre un systme tridiagonal : Un algorithmeclassique bas sur la mthode de Gauss Seidel ralise cette opration. Dans une 3ime et dernire tape on calcule la valeur dfinitive de ladnivellation de la surface libre linstant ( )1n + et au point dindicespatial jen discrtisant lquation de continuit selon le schma explicite :

[ ]

+

+

++=

+++

+++++

x2x2hh

2uu

x4)uu()uu(

ht

n1j

n1j1j1j

nj

1nj

n1j

n1j

1n1j

1n1jn

jj

nj

1nj

qui conduit immdiatement :

[ ]t

x2x2hh

2uu

tx4

)uu()uu(h

n1j

n1j1j1j

nj

1nj

n1j

n1j

1n1j

1n1jn

jjnj

1nj

+

+

++=

+++

+++++

Lanalyse de stabilit au sens de Von Neumann des schmas expliciteapprochant lquation de continuit impose que le nombre de Courant Friedrichs Levy rC soit infrieur lunit :

( ) 1ucxtC 0r

= mo 0c est la vitesse de phase. Il est conseiller dutiliser des nombre deCourant Friedrichs Levy rC aussi proche que possible de lunitafin de minimiser les effets de dispersion numrique lis aux termesdadvection : la solution numrique alors sapprochera plus de la ralit[solution] physique.



ComplmentDformation de londe au cours de sa propagation en 2D

Onde au premier ordre dapproximation :

Equation de continuit :

=

=

+=

xdtdtSd

txddxQtdxd

xQQtdQd

0tS

xQ =

+

Equation dynamique :

gtDwD

zp1

tDuD

xp1 =

=

Lintumescence ayant une faible hauteur, la vitesse verticale w estngligeable. La deuxime de ces quations montre que rpartition despressions est hydrostatique, on peut crire :( )zgp =si lorigine de laxe vertical est pris la surface libre. Alors la premirequation donne :

xg

xp1

tu

xuu

=

=+

Si le fluide est dj anim dune vitesse uniforme parallle laxe des x,animons les axes de la mme vitesse de sorte que u ne reprsente quela vitesse des particules fluides due au passage de londe. Comme uest faible en premire approximation nous pouvons ngliger le terme

xuu correspondant un carr de vitesse devant le terme tu linaire en u.Lquation dynamique devient :

0x

gtu =

+

Equation de propagation :Si h est la profondeur deau moyenne et B la largueur du canal on a :( ) BhuSuQ +==

/A

h

z

x

dx

B /B

A



puisque par dfinition dune onde de translation u est la mme en toutpoint de la section S. Lquation de continuit scrit alors :

( ) 0Bt

Bx

uBhxu =

+++

Mais comme est petit devant h, et comme u est petit ainsi que x , onpeut crire en premire approximation :

0tx

uh =+

En drivant cette quation par rapport t et lquation dynamique parrapport x et en combinant, on obtient lquation de propagation :

0tgh

1xtgh

1xtgh

1x 2

2

2

2=

=

m

Cest une quation donde dont la solution est du type :( ) ( )ctxgctxf ++= en posant ghc =

c est la clrit [vitesse de phase: dite clrit] de londe en effet :

dtdxcdtcdx0cdtdxdCctx te ===== mm

Onde au deuxime ordre dapproximation :La solution prcdente correspond des ondes qui se propage sans sedformer. Mais en ralit la clrit est plus grande l o la profondeurest plus grande ; les particules fluides qui sont situes au sommet delonde vont plus vite que les autres : londe doit donc se dformer aucours de sa propagation.Pour tudier la dformation du profil de londe soyons plus exigeant surles approximations. Dabord ne ngligeons plus devant h danslquation de continuit, do :

( )[ ] 0t

hux

=++

Si la fonction ( )t,x se propage avec la clrit c, elle est de la forme( )ctx do :

xc

t =

car x

ctx

xt =

=

& ( ) cdtdxctxd =lquation de continuit devient : ( )[ ] 0chu

x=+

son intgrale est : +=

hcu si h alors

hcu =

compte tenu du fait que 0u = si 0= cest dire sil ny a pasdonde qui induit lcoulement.



Equation dynamique :Ne ngligeant plus totalement la vitesse verticale w bien quelle soit

petite. Comme au fond 0w = et en surface t

w = , on peut crire :

thzhw

+=Dans ces conditions, partir des quations fondamentales de ladynamique :

tu

zuw

xuu

xp1

=

et t

wzww

xwug

zp1

=

en ngligeant seulement les termes o w est multipli par un autreterme, on obtient :

tu

xuu

xp1

=

et 22

thhg

zp1

+=

intgrons la dernire quation entre la surface libre =z o 0p =[origine des pressions la pression atmosphrique] et la cote z, il vient :

( ) ( ) ( ) 2222

th2hzhzgp

++=Dans cette expression le dernier terme est petit, nous pouvons y ngliger devant h. Ensuite drivons p par rapport x et galons la premiredes quations dynamiques ; il vient :

( ) 0tu

xuu

txh2zhh

xg 2

322=

++

++

Dans cette relation z napparat explicitement que dans le deuximeterme ; mais comme celui ci est petit , nous pouvons le remplacer parsa valeur moyenne sur toute la profondeur deau, ce limine z, cest

dire par : ( )3hdz

h2zhh

h1 0

h

22= +

Lquation dynamique simplifie est alors :

0tu

xuu

tx3h

xg 2

3=

++

+

Calcul de la clrit : Tenons compte maintenant du fait que ( )ctxuu = et par suite :

xuc

tu

=

lquation dynamique devient : 0uc2

ux3

hcgx

2

2

22=

+

+



aprs avoir limin u et intgr, on obtient :( )( ) 0h2

h2cx3

hcg2

2

22=+

++

On peut aussi crire cette expression sous la forme :( )( ) ghx3

hh2

h2hc 222

22 =

++

et sachant que est petit devant h :=

gh

x3h

h231c 2

222

1

2

222

x3h

h231ghc

=

cest dire :

++= 2

22

x6h

h431ghc Boussinesq

Cette formule a t trouve par Boussinesq en 1871. Elle montre que laclrit est variable avec , cest dire que londe se dforme engnral au cours de sa propagation.Barr de Saint - venant (1797 - 1882) avait tablit que la clrit d'uneonde longue par rapport la vitesse propre de l'coulement est donne

par :

+=h4

31ghc [ aa + : )tiexp(a = ] Applications : A1 - Onde solitaire :Pour que londe ne se dforme pas, cest dire pour que salongvit soit grande, il faut que la clrit soit indpendante de ,cest dire que son profil satisfait lquation diffrentielle :

Ktetanconsx6

hh4

31 222

==

++

Cette onde tend se produire spontanment dans les cours deau, onlappelle onde solitaire.Multiplions chaque membre par ][ x ; lquation diffrentielle sintgreune premire fois par rapport x ; en tenant compte, de la condition auxlimites 0x = pour 0= , cest dire que londe se raccordetangentiellement avec la surface libre au repos, on obtient :

( ) 0x6

hh2

1K1223

2 =

++



Pour prciser la valeur de la constante K dsignons par 0 lasurlvation maximale de londe solitaire ; de ce fait 0x = en 00 = , larelation se transforme en : ( )=

03

22

h3

xA partir de cette relation on peut noncer deux rsultats. Dune part en

drivant par rapport x on obtient : ( )= 32

h23

x 0322

Cette drive sannule en 032 = qui

reprsente donc lordonne du pointdinflexion de la trace de la surface libre.

de londe solitaire est obtenue enremplaant xx par son expression dans lquation gnrale donnant c, ilvient: ( )0hgc += cette formule a t dj trouve par Rayleigh: laclrit est une fonction de lamplitude de londe. Le profile de londesobtient ensuite par intgration : La hauteur 0 au dessus de laquellelonde solitaire dferle est approximativement h82,00 = . Quand 0nest pas trop prs de la limite du dferlement, le profil peut trereprsent par : la longueur donde tant infinie :

0302

h3

2xch =

ou bien

2

0h

3hx

h3

hx 00

e1e4

+=

la longueur donde est thoriquement infinie mais en premire

approximation quelques (%) on a : 0

3

3h2L

0

h

x32 /0

profil0

3h40

03 3h2L

h

)( paraboleuneest'cparticuleune'detrajectoir



A2 Dformation des ondes positives :Seule londe solitaire ne se dforme pas. Par contre considrons uneonde dite < longue >. Elle comporte une partie rectiligne BC o la

clrit est constante :

+=h4

31ghc 0BC

A gauche de B, xx est ngatif et diminue, donc la partie droite va plusvite que celle sa gauche ; de mme la partie gauche de C va plusvite que la partie sa droite. Il en rsulte que le front avant de londe seraidit et que larrire stire. Londe ne se conserve pas et tend sesparer en plusieurs autres. A3 Disparition des ondes ngatives :Dans le fond de londe est ngatif, xx est positif mais faible ; de ce

fait la clrit est minimale : le front ducreux tend sallonger vers larrire et se combler peu peu, pour tre suivi parune onde positive ; londe ngativetend disparatre naturellement.

N.B. : Les crues des cours deau: En 1D peuvent tre modliser parOnde cinmatique (Kinematic Wave)

0tS

xSu

xuS

tS

xQ =

++

=+

car uSQ = avec ( )+= hBS

( )hCuu

gtx3

hx

hgxuu

tu

22

3 =+

+++

Lquation de conservation du sdiment est : 0Qdivtz

sf =+

r ainsi laconnaissance du dbit solide ( )t,MQs qui rsulte des conditionshydrodynamiques permet de dterminer la gomorphologie de la rivire.Justification :En intgrant l'quation de continuit 0zwxu =+ sur la profondeurd'eau : soit du fond hz = la surface libre =z :

++=

2

22

x6h

h43

1ghcA

B C

h

0

0x22

D

Q

t

te1 Cx =

te2 Cx =

h

x



( ) ( ) 0t,h,xwt,,xwdzxudz

zwdz

xu

hhh =+ =

+

mais ( ) ( )xht,h,xu

xt,,xudzu

xdz

xu

hh

=

d'o

+

==

hzzh wx

huwx

udzux

0tS

xQ =

+ aprs

utilisation des conditions aux limites :

==+

==+

hzenwhuth

zenwut

rr

rr

N.B. : w~t T

~w o gT

~dtdw

2o 2o gT or == ghT

Lc

ghLT =

ghLT

22 = ainsi 2o gT

WWShL

Lcombrure o

linarisation : si advection acclration locale, soit :

tu

xuu

On crit pour une onde de crue (Flood): La conservation du volume d'eauPour une crue l'effet de stockage d'eau est dominant (exempled'application: calcul de la variation du niveau dans un lac ou un barrage);le bilan volumique (fluide incompressible) global est donn par :

[Volume entrant - volume sortant = augmentation du stockage]

Propagation d'une cruetalement

1t2t

stockageVolumeVutvolume

nvolume

===

o2

T~

TR2~u o

T1

T~

tu

L1

T~

xuu

o

2o

1Lo

Faible cambrure

x

S

t

tS0=

0 0



( ) ( ) 122121 VVt21t

21 =++ Mthode - Muskingum

o les indices (1) et (2) indique respectivement le dbut et la fin del'intervalle temporel t = t2 t1. Comme souvent l'hydrographe est connuon dispose donc de 21 et ainsi que des valeurs de 11 Vet sontconnues: il nous reste dterminer 22 Vet nous rorganisons notrequation comme suit :

( ) t21t

21Vt

21V 211122 ++=+

devisant par t et posant : 2t

V += alors ( ) 12112 21 ++=

Exemple d'application numrique :Un lac ayant des berges raides et une surface horizontale de 500 acresdbite dans un canal pente raide de rection approximativementrectangulaire : de largueur 25 ft. Initialement l'coulement estpermanente ayant un dbit 1,000 cusecs passant travers le lac : ensuite une eau frache remplit le lac en descendant la rivire dontl'hydrographe donne est le suivant :

Temps depuisle dpart (heures)

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 44 48

Dbit entrant (cusecs) 1 1,2 1,6 2,1 2,63 2,95 3,05 3 2,84 2,6 2,3 2 1,7 1, 42 1,2 1,05 1

Calculer et tracer l'hydrographe sortant pour cette priode de 48heures?

On donne 1 ft = 0,3048 m et 1acre = 4,0469. 103 m2Solution : La premire tape est de dterminer et V en fonction du

dbit sortant , ce qui est donn par le tableau suivant en utilisant le faitqu'il existe une condition critique la sortie du lac. La conversionsuivante est utilise pour calculer le volume V qui est dterminverticalement partir d'un plan situ 5 ft au - dessus du font du canal

au niveau de la sortie : hrseccu1hrseccu12360094840acre1

=(n'importe quelle autre rfrence pourrait tre utilise)

premire tabulationtV

(thousands ofcusecs) 2t

VN

+

=Niveau du

lac H ftTirant du

canal

H32yc =cc gyv =

ft/sec

Dbitsortant

= cc yv25cusecs

Volumeentrant Vcusec-hr

hr3t = hr6t = hr3t = hr6t =5,06,07,08,09,0

10,0

3,334,004,675,336,006,67

10,3511,3512,2513,1013,9014,63

86211351430174520842440

06,000

12,00018,00024,00030,000

02468

10

012345

4312,5674,7156,8739,042

11,220

4311,5672,7153,8735,0426,220

is a Coutry located in State of Ohio U. S. A.



Les 2 relations sont dtermine par le tableau qui suit :Seconde tabulation

Temps t hr t hr Dbitentrant cusecs

( )215,0 += cusecs 1= Dbit sortant2 cusecs

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

3

3

3

3

3

3

3

3

3

1,000

1,200

1,600

2,100

2,630

2,950

3,050

3,000

2,840

2,600

2,3000

1,100

1,400

1,850

2,365

2,790

3,000

3,025

2,920

2,720

2,450

1,500

1,600

1,985

2,775

3,975

5,435

6,905

8,175

9,175

9,765

10,015

100

385

790

1200

1460

1470

1270

970

620

250

1,000

1,015

1,060

1,165

1,330

1,530

1,755

1,950

2,100

2,200

2,24030

36

42

48

6

6

6

2,300

1,700

1,200

1,000

2,000

1,450

1,100

5,570

5,330

4,610

3,750

- 240

- 720

- 860

2,240

2,170

1,960

1,710

Les flches indiquent la procdure de calcul : Connaissant la valeurinitiale de (1,000 cusecs) la valeur de correspondante (1,500cusecs) obtenue du graphe rsultant des tudes hydrologiques.L'augmentation de (voir avant) est donc donne par: ( ) ++= 12112 2

1 ( ) 112112 21 =+==

A.N. : sseccu100000,1100,112 ==Ainsi la prochaine valeur de est 1,600 cusecs, qui d'aprs le graphede la dbit sortant est sseccu015,1= : ce qui complte lapremire tape (on rpte maintenant la procdure ...)

procdure



La forme diffrentielle de ( ) ( ) 122121 VVt5,0t5,0 =++ est :td

dV= et si Vk = alors ( )tkktd

d =+ = tdeke tktk

si ( )tcos1Aoo += alors

( )22

o

22

kt2o

oo

ktcosktsinkA

keAA

+++

+=

0 4000 8000 12000

800

1200

1600

2000

2400

+= 21

tV

ttansordbitcusecs

cusecs

0 20 40 60

1000

1500

2000

2500

3000

3500

Temps (hr)

Dbit (cusecs)

Dbit entrant

Dbit sortant

to

Approximation sinusodal de l'hydrographeincident

= 2TooA2



la constante d'intgration est tel que : 0tpouro == . La diffrentielledu rsultat est nulle (maximum) quand : ( ) tcostkexptsink =+N.B.: Une crue d'une rivire peut dborder latralement, le volume globalest donn (en linaire) par: ( )[ ]+= KV (U. S. Corps of Engineers)

En disposant d'une basse de donnes caractristiques d'une rivire finde pouvoir tracer des courbes )V( , de mme )( pour chaquevaleur de ; ces courbes sont de la forme suivante :

On peut crire notre quation sous la forme : += 1211 kkV avec( )= 1Kk 11 et = Kk 12 or d'aprs tV= on aboutit :

tdd

kkkk

tdd

2

111

=+

Le membre de droite est encore une fonction du temps connue. La

solution est donne par :

= tde

tdd

kkke

tktk11

2

11

En pratique on peut ainsi dterminer le dbit sortant (Out) connaissantles caractristiques : ( )t= , 1k et 2k .

( )KX:latralStockage

K(In)

(Out)stock

V

Dbit

sortant

tetancons= tetancons=

Dbit

sortant

tetancons= tetancons=

2tV +=

Fig (a) Fig (b)Courbes capacitives ( V ) et ( ) d'une rivire



Remarque : rsonance 1DOn peut dterminer la priode naturelle dun bassin [une darse] 1D par :

Pour un bassin ouvert ou ferm aux 2 extrmits ( )+=

l0

n xhgdx

1n2T

Pour un bassin ouvert une extrmit seulement [onde longue] ( )+=

l0

n xhgdx

1n24T

( )( )

( )( )

ll

l

l

l

=

=

x0tcos

ccos

xc

cosAt,xettcos

ccos

xc

sin

hAc

t,x :

l est la longueur du bassin, est le dplacement des particules fluides,n un entier caractrisant lharmonique et )x(h le tirant deau : ghc = . Larsonance a lieu quand le dnominateur est nul : cest dire

( ) =+=+=n

nn

T21n2

2cn

2c ll

( ) gh1n24Tn +=l

Pour un canal qui change brusquement de section rectangulaire en0x = les coefficients de rflexion R et de transmission T, en thorie

dondes planes en eau peu profonde, sont respectivement :

0n:lfondamenta = 1n:harmonique1re =

l

tcosA =x

c

ydQd

B1c

tdxdavec

yBSouSQcarty

xy

tdxd

tdydou

0tyB

xy

ydQd

0tyB

xQ

tS

xQ

===

+

=

=+

=

+=

+

Onde cinmatique

y

B



Pour une darse au fond dun canal on dmontre en exprimant lacontinuit de la pression et du dbit la discontinuit que lagitationdans la baie est donne par :

Lagitation est maximale quand +== n2k0kcos ll en utilisant larelation de dispersion on obtient les priodes des modes naturels :

++=

h2

1n2thg2

1n22Tn

ll Pour un haut fond rectangulaire on a pour les facteurs de rflexion

(rapport de lnergie rflchie sur celle incidente) et de transmission :( ) ( )[ ]

( ) ( )( )( )[ ]

==

=+=

+=

+++++

ika2/

ika2/

tiaxik/3

tiaxikaxik2

tiaxik/axik1

eTT

eRR

ax:eeT

axa:eBeAe

ax:eeRe

En crivant la continuit de la pression dynamique et du dbit)xddh( aux singularits ax&ax == on obtient un systme 4

quations pour 4 inconnues; il en rsulte alors

A

BCD x

( )( )

( ) ( ) ll

lll

kcos1421

2A

ksinibkcosbb2

A

2

21

1

+==

+=

1

2bb1

21l

incidenteonde

rflchieondetransmiseonde

1h2h

SWL

==

22

11

ghc

ghco

2211

11

2211

2211cbcb

cb2T&cbcbcbcbR +=+

=



( ) ( )( ) ( )( ) ( ) iKa22iKa22/

iKa22iKa22

iKa2iKa22/

es1es1

s4T

es1es1

ees1R

+=

+=

La relation 1TR 22 =+ nexprime rien dautre que la conservationdnergie. Le maximum de rflexion et le minimum de transmission sont

obtenus pour : L25,

23,

21

La4

21nKa21Ka2sin

2=

+== .

On tient signaler que les modles ondes planes donnent plus ou moins

une reprsentation physique des coefficients de transmission et de

rflexion mais une correction est ncessaire pour tenir compte de leffetde bord cest dire de lacclration dclration du fluide par lessingularits principalement lexcitation des modes verticaux vanescents

par les discontinuits brusque de la profondeur deau : ces faits se

traduisent dans la pratique par une augmentation apparente de la

longueur de la marche [ aaaapparente += ] ce fait est gnralementdsign par la masse ajoute.

Le coefficient de transmission pour une contraction brusque, si laprofondeur deau est uniforme et constante dans les 2 domaines, estdonn par :

1h 1h2h

a2

kK ( )

( )( ) Ka2sins1s4 Ka2sins1RKa2sins1s4

s4T

2222

2222

2222

22

+=

+=

1TR 22 =+a a 21

Khkhs =

zx

+

b Bc

2

41

41

TBb1R

bB

bcT

incidenteonde'ldeamplituderflchieonde'ldeamplitude

incidenteonde'ldeamplitudetransmiseonde'ldeamplitude

==

==



Ce coefficient de transmission est bas sur des rsultats exprimentaux. Contraction expansion dans un canal : La continuit de la pression dynamique et du dbit de par et dautredes discontinuits de la largueur du canal conduit la matrice detransfert pour ondes planes et dterminer les facteur de rflexion et detransmission : on pose ( )10nn bb15,0

( )( ) ( )

( )( ) ( )

1TR:

ksin1421ksin14R

ksin142121T

2n

2n

n22

n2n

2n

n22

n2n2

n

n22

n2n

2n

2n2

n

=+

+=

+=

ll

l

lexcitation des modes transversaux est responsable dune augmentationapparente de la longueur de la contraction expansion : Effet de Bord(ou la masse ajoute) :

nnapparenten lll += ; ?n =l

Rsonance ctire : On va prsenter 2 casOn suppose que llvation de la surface libre vrifie lquation donde

ttxx2c =

nA

nB

1nA +

1nB +

mA

mB

( )( )

++=

+

+

n

n

ni21

nni2

1

n

ni21

nni2

1

n

1n

1n

B

A

e1e

ee1

B

A

( )( )

( )nnnn

22nn

nn2n

n

n2

2n

2n

2n

n

x2ktg1tg

ksin221kcosksin2tg

ksin21

14

l

lll

l

+=+

==

nx nnx l+

0b nb

x

1h2h

llcontinentaplateaudugomtriedeModle



Un exemple est celui de l'onde tsunamis (voir ch02 Hyd Maritime)La continuit de llvation de la surface libre et du dbit en l=x :

( ) ( ) ( ) ( )t,ct,c&t,t, x22x21 ++ == llllLonde incidente est suppose de la forme :

+

2cxti

ae . La condition la limite qui exprime pas de dbit en 0x = scrit : ( ) 0t,0x .La condition de radiation linfini et la condition de jus nul sont satisfaitepar la solution suivante :

( )

+

++

=

+

+=

xpourcxti

Becxti

ae

x0pourcxti

ecxti

eAt,x

22

11

l

l

On obtient alors

2

12

1

1

12

1

1

12

1

1

2

c2ie

csin

cci

ccos

csin

cci

ccos

aB

csin

cci

ccos

ciaeA

l

ll

ll

ll

l

+

=

+

=

Ainsi on dduit le facteur damplification la cte :( )

+

=

1

22

2

1

1

2

csin

cc

ccos

2a

t,0

ll

On observe que londe incidente et celle rflchie ont la mme amplitudemais elles sont dphases. Les frquences de rsonances sont

donnes par : ( ) Ll 3,2,1n;2

1n2c1

== . Les pics la rsonance

sont donns par : ( )

1

2

1

2hh2

cc2

a

t,0Max =

=



Les solutions sont 2me cas : talus en pente

( )

+

++

=

=

xpourcxti

Becxti

ae

x0pourc

x2AJt,x

22

10

l

ll

On obtient alors

+

=

11

2

1

10

2

c2J

cci

c2J

ciae2All

l

2

11

2

1

10

11

2

1

10

c2ie

c2J

cci

c2J

c2J

cci

c2J

aBl

ll

ll

+

=

Ainsi on dduit le facteur damplification la cte :

x

1h2h

llcontinentaplateauduegomtriquModle2me

( )a

t,0 1,0hh

2

1 =

5,0hh

2

1 =

1ghl

2

4

6

10987654321

marcheuneparionamplificat



( )

+

=

1

21

2

2

1

1

20 c

2Jcc

c2J

2a

t,0

ll

Les premiers termes du D.L. de 10 JetJ nous permettent dcrire alors( )12

2

2

12c

2avec

4sin

cc

4cos

2a

t,0 l=

+

=

N. B. : A propos d'quation diffrentielle :0FEDCBA yxyyxyxx =+++++

qui est similaire l'quation algbrique de 2ime degr en x & y :0FyExDyCxyBxA 22 =+++++

par application en gomtrique d'une rotation et puis d'une translation onpeut dmontrer que notre quation est du type :

( )( )( )uehyperboliqhyperboleuneestquation'lalors0AC4Bsi

eparaboliquparaboleuneestquation'lalors0AC4Bsi

elliptiquellipseuneestquation'lalors0AC4Bsi

2

2

2

=

( )a

t,01,0

hh

2

1 =

5,0hh

2

1 =

1gh2 l

4

8

10

10987654321

talusunparnamplificio

talus



Submersions par franchissements - Saint-Malo

Submersions par franchissements - Saint-Malo

Voir Ch05 HM

Onde Tsumani prise en photoAmplitude 32 mRsonance ctire

Sumatra Colombo en Asie du SudVoir Ch02 dHM



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