Ch2- Lois de Snell-Descartes 07

7/22/2019 Ch2- Lois de Snell-Descartes 07

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Les lois deSnell-Descartes

Filires SM et SMI, anne 2006-2007

H. EL RHALEBUniversit Mohammed V, Rabat, AgdalFacult des Sciences,Dpartement de Physique,

Laboratoire de Spectronomie Molculaire, dOptique etdInstrumentation [email protected]


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Ces lois sont relatives l'tude

"gomtrique" de la lumire lorsqu'ellerencontre une surface sparant deux

milieux diffrents.

Willebrord Snell

(1580 1626)

Ren Descartes

(1596 1650)


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La normale la surface

est la perpendiculaire auplan tangent en I (point

d'incidence) la surface S.

Le plan d' inc idenceest le plan form par le rayon

incident et la normale.

Lorsque de la lumire arrive sur la surface de

sparation (ou diopt re) entre deux milieux d'indice de

rfraction diffrents, on constate qu'une partie de la

lumire est rflchie et que l'autre partie est transmise.

S

plan dincidence

n1

n2

normale

I

rayonincident


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I Enonc des lois

I.1 Rflexion1re loi relative la rflexion :"Le rayon incident, le rayon rflchi et la normale

appartiennent au mme plan, le plan d'incidence"

rayonincident

I

rayonrflchi

plandincidence

n1

Sn2

1q

1q


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Si on oriente les angles par rapport la normale, on

crit :1 = - 1

"L'angle de rflexion 1 est gal l'angle

d'incidence 1"

2me loi relative la rflexion :

rayonincident

I

rayonrflchi

plandincidence

n1S

n2

1q1

q


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6/24I.2 Rfraction1re loi relative la rfraction :

"Le rayon incident, le rayon rfract et la

normale appartiennent au mme plan, le pland'incidence"

rayonincident

Normale

I

S

rayon

rfract

plan dincidence

n1

n2

rayon

rflchi

2q

1q1q


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On remarquera que cette relation peut s'crire

galement :

C'est l'invariant de

Snell-Descartes.

2me loi relative la rfraction :

"Il y a un rapport constant entre les sinus des

angles d'incidence et de rfraction"

n21 tant lindice relatif du milieu 2 par rapport aumilieu 1.

21n1n2n ==

2sin1sin

cte=sinn


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I

1q

R1R2

La construction de Descartes, appele aussi

construction par les surfaces dindices, permet dobtenir

graphiquement le rayon rfract.

I.2.1 Construction de Descartes

On trace les deux cercles de rayon

R1 = n1 et R2 = n2 centrs sur le

point d'incidence I. Le rayonincident est prolong dans le milieu

2 et coupe le cercle 1 en un pointA

dont la projection H est telle que,

par construction, IH = n1sin1.

2q

Pour satisfaire la relation de Snell-Descartes, le rayon

rfract doit couper le cercle 2 en un point B ayant

mme projection. Il suffit donc de prolonger la droiteAH

jusqu' son intersection avec le cercle 2.

H

A

B

n2 > n1


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9/24I.2.2 Construction d'Huygens

L'ondelette la plus grandecorrespond sur la figure la

position du front d'onde s'il n'y

avait pas de dioptre, tandis

que le cercle le plus petitcorrespond donc au front de

l'onde diffracte. Le rayon

rfract est donc bien selon

IB.

Elle s'appuie sur la comparaison des clrits.

Les rayons tracer sont alors en R1 = R2n1/n2 et le

raisonnement gomtrique repose sur l'intersection

commune des plans d'onde (point B), qui, par nature

doivent tre tangents aux ondelettes.

I

R1R2 H

A B

n2 < n1

1q


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n2 > n1rayons

perpendiculairesaux plans donde plans donde

nouveau

plan donde

ondelettes

rayons

rfracts


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II Le principe de Fermat contient

les lois de Snell-DescartesII

.1

Justification de la premire loi

I

Source

Miroir

Observateur

Le chemin optique suivi

par la lumire est :

LSO = n[SI + IO]

Le trajet effectivement suivi par la lumire doit

tre minimal (Princ ipe de Fermat).


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12/24Si on introduit le point S, on doit

obtenirSI + IO = SI + IO : minimal, ce qui implique

que SO est un segment de droite.

Par raison de symtrie, on

retrouve lgalit :

11 = I

Source

S

Miroir

NObservateur

1q 1q

1q

1q

Le point Iest donc lintersection de SO avec le miroir

plan.

II.2 Justification de la deuxime loiVoir exercice 5 srie 1


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III Rfraction limite, rflexion totale

Il existe donc une zone dans le milieu 2 dans laquelle

aucun rayon provenant du milieu 1 et passant par un

point d'incidence I ne peut aller.

III.1 Le rayon se dirige vers le milieu leplus rfringent : n2 > n1

D'aprs la deuxime loi de Snell-Descartes, 2 < 1.

n1

n2I

2m


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2m

n1

n2

I

Les milieux tant isotropes, les rayons rfracts ne

peuvent se trouver qu' l'intrieur d'un cne de

sommet I et de demi-angle au sommet 2m, valeur de

2 qui correspond la valeur maximale de 1= /2.

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15/24

2m vrifie donc l'galit :

II faut ici noter que pour tout rayon incident, il existe

un rayon rfract; n1/n2 tant infrieur 1, il existe

une valeur de 2 vrifiant la deuxime loi de Snell-

Descartes quel que soit 1 dans l'intervalle [0, /2].

n2

n1sin =q2m

Ce cne est le cne de

rfraction et son demi-angle

au sommet 2m est l'angle

de rfrac t ion l im ite.

2m

n1

n2

I

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16/25

16/24

En appliquant le principe du retour inverse au casprcdent et en y permutant les indices 1 et 2, nous

dduisons que tous les rayons incidents l'intrieur

d'un cne de sommet I, de demi-angle au sommet 1m,

vrifiant sin1m = n2/n1, sont rfracts dans le milieu 2.

III.2 Le rayon se dirige vers le milieu lemoins rfringent : n2 < n1

rayon subissant

la rflexion totalen1

n2

I

1m

En particulier un rayon

incident faisant un angle1 = 1m avec la normale au

dioptre en I ressort en

incidence rasante (2 = /2).

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17/24Que se passe-t-il pour les rayons incidents

l'extrieur de ce cne (1 > 1m) ?

Ceci impose : et donc :

1 < 1m

et

Nous pouvons retrouver ces rsultats directement

partir de la deuxime loi de Snell-Descartes: il y a un

rayon rfract s'il existe une valeur de 2

vrifiant :

Ils ne peuvent pas tre rfracts; il suffit d'utiliser une

nouvelle fois le principe du retour inverse pour s'enconvaincre. Ils ne peuvent donc tre que totalement

rflchis; aucune nergie lumineuse ne se propage

dans le milieu 2. C'est ce qu'on appelle la rflex ion

totale.

1


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VI.1 Dioptres et miroirsCe sont les applications les plus importantes de ces

lois puisqu'elles sont la base de toute l'optique

gomtrique. Les dioptres et miroirs font l'objet du

chapitre IV.

VI Applications

VI.2 Lame faces parallles et prismeSeront traits aux chapitre V lors de lassociation de

deux dioptres.

VI.3 Propagation non rectiligneLa rsolution de ce problme est gnralement

complexe.

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19/25

19/24

On aborde ici le cas o l'indice ne dpend que d'une

seule variable. Le milieu est dit stratifi :

n croissant

n1

n2 > n1n3 > n2

n4 > n3

n1

n2 < n1n3 < n2

n4 < n3

n croissant

Ce phnomne est lorigine des mirages.

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Lorsque la temprature de lair est plus leve au

niveau du sol quen altitude, lindice de l'air augmenteavec l'altitude; les mirages que lon peut observer sont

dits mirages infrieurs. Ils peuvent tre observs par

exemple sur les routes surchauffes ou dans les

dserts chauds. Les images associes aux mirages

infrieurs sont situes au-dessous de lhorizon, d'o

leur nom; elles sont gnralement dformes et

peuvent tre droites ou inverse.

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21/25

21/24

mer

L'indice optique dcrot avec l'altitude et les rayons

sont courbs dans l'autre sens. Ces mirages sont dits

mirages suprieurs.

Les conditions d'inversion de temprature peuventtre ralises par exemple dans les rgions polaires,

au-dessus de la mer. Les images associes aux

mirages suprieurs sont situes au-dessus de

lhorizon et peuvent tre droites ou inverses.

Un autre type de mirage

intervient quand les

conditions de temprature

sont inverses; latemprature de lair est

plus leve en altitude

qu'au niveau du sol.

22/24II 4 L fib ti


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22/24II.4 Les fibres optiques

Gaine protectrice

Gaine

Coeur

II.4.1Fibres saut dindiceCette fibre prsente donc un cur d'indice de

rfraction nc

entour d'une gaine d'indice de

rfraction ng < nc.

Une application de la rflexion totale est le pigeage

dun faisceau lumineux dans des fibres optiques.

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23/25

23/24

La transmission du rayon lintrieur de la fibre se fait

par rflexion totale linterface cur gaine. La gaine

doit donc tre moins rfringente que le curng < nc.

ngnc

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24/25

24/24

Remarque : La lumire ne peut se propager dans

une fibre que suivant des valeurs discrtes de l'angle

de rflexion. Ces diffrentes valeurs correspondent

des modes de propagation. D'un mode depropagation un autre, la longueur du trajet diffre; la

dure de propagation n'est donc pas la mme et la

sortie, ces diffrents modes peuvent interfrer entre

eux, entranant un largissement du signal lumineux.

On a donc intrt raliser r1


25/25

25/24

La trajectoire d'un rayon lumineux

est une sinusode la place d'une

ligne brise.

Une telle fibre permet de rduire les

fuites latrales.

Il sagit de fibres transparentes cylindriques dont

l'indice de rfraction varie au fur et mesure que lon

sloigne de laxe (coeur) de la fibre.

II.4.2Fibres gradient dindice

air

n1

n2

n

0

FIN

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