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André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

Chaînes de Markovet systèmes d’équations

Chaînes de Markovet systèmes d’équations

Introduction

Nous présentons ici les notions de chaîne de Markov et de point invariant d’une telle chaîne.

Nous utilisons la mise en situation que vous trouverez dans le volume à la page 40.

Supposons que, pour le cours que vous suivez actuellement, il y a deux livres sur le marché; représentons-les par A et B. Supposons de plus que 50% des professeurs qui donnent présentement ce cours se servent du livre A et 50% se servent du livre B.

Mise en situation

La répartition du marché entre ces deux livres peut être représentée par un vecteur probabilité :

w0 = (0,5 0,5)

ou par un diagramme comme celui ci-contre.

Supposons de plus que les probabilités de changement d’état sont celles du tableau ci-dessous.

Évolution du marché

On peut déterminer la répar-tition du marché pour les années suivantes en ajoutant de nouvelles branches à chaque extrémité du diagramme.

SS

Vecteur probabilité

Définitions

On appelle vecteur probabilité toute matrice 1xn constituée d’éléments non négatifs dont la somme est égale à 1.

Matrice de transition On appelle matrice de transition toute matrice carrée dont les éléments sont non négatifs et telle que la somme des éléments de chaque ligne est égale à 1.

(0,2 0,4 0,4) est un vecteur probabilité.

0,2 0,5 0 ,30 , 6 0, 2 0 ,20 ,1 0 ,8 0 ,1

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ est une matrice de transition.

Représentons les probabilités de change-ment d’état par une matrice de transi-tion.

Matrice de transition

On peut déterminer la répartition du marché pour les années suivantes par des produits de matrices.

w0P = w1 w1P = w2

RemarqueL’associativité du produit des matrices donne :

w2 = w1P = (w0P )P = w0P2

SS

Le tableau ci-contre donne la répar-tition du marché après n changements d’état.

Évolution du marché

Il semble qu’à long terme le produit A occupera 25 % du marché et le produit B 75 %.

Autrement dit, il s’agit de savoir s’il existe un vecteur probabilité w = (t1 t2) tel que :

Le marché va-t-il vraiment se sta-biliser avec le temps?

t1 t2( )0 , 4 0, 60, 2 0, 8 ⎛ ⎝

⎞ ⎠ = t1 t 2( )

On a une équation matricielle, mais elle n’est pas sous la forme qui permet de la résoudre par la méthode de Gauss-Jordan. Utilisons les propriétés pour la transformer.

Établir l’équation matricielle

t1 t2( )0 , 4 0, 60, 2 0, 8 ⎛ ⎝

⎞ ⎠ = t1 t 2( )

t1 t2( )0 , 4 0, 60, 2 0, 8 ⎛ ⎝

⎞ ⎠ = t1 t 2( )

1 00 1 ⎛ ⎝

⎞ ⎠

t1 t2( )0 , 4 0, 60, 2 0, 8 ⎛ ⎝

⎞ ⎠ – t 1 t 2( )

1 00 1 ⎛ ⎝

⎞ ⎠ = 0 0( )

t1 t2( )0, 4 0, 60 ,2 0, 8 ⎛ ⎝

⎞ ⎠ –

1 00 1 ⎛ ⎝

⎞ ⎠

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥= 0 0( )

t1 t2( )–0, 6 0, 60, 2 –0, 2

⎛ ⎝

⎞ ⎠ = 0 0( )

t1 t2( )–0 , 6 0 , 6

0 ,2 –0 ,2 ⎛ ⎝

⎞ ⎠

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

t= 0 0( )t

, produit par l’identité;

, en regroupant;

, par la distributivité;

, par transposition.

SS

, par l’addition des matrices.

SS

Établir l’équation matriciellet1 t2( )

–0 , 6 0 , 60 ,2 –0 ,2

⎛ ⎝

⎞ ⎠

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

t= 0 0( )t

, transposition du produit;

–0,6 0,60,2 –0,2

⎛ ⎝

⎞ ⎠

tt1 t 2( )t = 0 0( )t

–0,6 0,20,6 –0,2

⎛ ⎝

⎞ ⎠t 1t2 ⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟=

00 ⎛ ⎝

⎞ ⎠

On a manifestement deux contraintes équivalentes et l’une d’elles peut être éliminée. Cependant, on a une autre contrainte. En effet, puisque le vecteur cherché est un vecteur probabilité, on doit avoir :

t1 + t2 = 1

1 10,6 –0 ,2 ⎛ ⎝

⎞ ⎠t1t 2 ⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟=

10 ⎛ ⎝

⎞ ⎠

En substituant à la première contrainte, on a donc :

SSS

SolutionIl faut résoudre le système d’équations :

1 10,6 –0 ,2 ⎛ ⎝

⎞ ⎠t1t 2 ⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟=

10 ⎛ ⎝

⎞ ⎠

On trouve donc :

(t1 t2) = (0,25 0,75)

dont la matrice augmentée est :

1 1 10,6 –0 ,2 0 ⎛ ⎝

⎞ ⎠

En résolvant, on trouve :

≈L1L2 – 6L1

1 1 10 –8 –6 ⎛ ⎝

⎞ ⎠

≈8L1 +L2L2

8 0 20 –8 –6

⎛ ⎝

⎞ ⎠ ≈

L1 8L2 (–8 )

1 0 2 80 1 –6 –8 ⎛ ⎝

⎞ ⎠ ≈

1 0 0,250 1 0, 75 ⎛ ⎝

⎞ ⎠

1 1 10,6 –0 ,2 0 ⎛ ⎝

⎞ ⎠≈

L110L2

1 1 16 –2 0 ⎛ ⎝

⎞ ⎠

La solution du système d’équations confirme qu’à long terme, le livre A aura 25 % du marché et le livre B 75 %.

SS

Point invariant

Un vecteur probabilité w est appelé point invariant d’une chaîne de Markov si w = w • P, où P est la matrice de transi- tion de la chaîne.

Point invariant d’une chaîne de Markov

2. Utiliser le produit matriciel pour établir les équations du point invariant et substituer à la première équation la ligne représentant l’équation t1 + t2 + ...+ tn = 1.

Procédure pour trouver le point invariant1. Établir la matrice de transition.

3. Résoudre le système d’équations.

4. Interpréter le résultat selon le contexte.

S

Part de marchéTrois compagnies de téléphone se disputent le marché. Une enquête a permis de déter-miner le diagramme de tran-sition ci-contre.

a) Construire la matrice de transition.

d) Trouver le point invariant.

e) Interpréter le résultat selon le contexte.

b) Trouver la répartition du marché dans un mois.

c) Trouver la répartition du marché dans deux mois.

Actuellement, l’état du marché est donné par :

(0,3 0,4 0,3)

S

Solutionsa) La matrice de transition est :

d) Le point invariant est :

e) Cela signifie qu’à long terme, la compagnie Telquel aura 36,25% du marché, ComTel 33,75% et PlacoTel 30%.

b) La répartition du marché dans un mois sera :

c) La répartition du marché dans deux mois sera :

0,4 0 ,3 0 ,30 ,2 0 ,5 0 ,30 ,5 0 ,2 0 ,3

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

(0,35 0,35 0,30)

(0,36 0,34 0,30)

(0,3625 0,3375 0,30)

SSSS

Application à la génétiqueLes chaînes de Markov sont très utiles dans le domaine de la génétique.

Dans l’étude de croisement de porcs, on a constaté que certains avaient un poil long et que d’autres avaient un poil court. La longueur du poil est contrôlée par une paire de gènes que l’on notera A et a. Il y a trois types de génotypes possibles, soit AA, Aa (qui est le même que aA) et aa. Le gène A domine le gène a.

On dira donc que le génotype AA est dominant, que le génotype Aa est hybride et que le génotype aa est récessif. Les porcs du type AA et Aa ont le poil long tandis que celui de type aa ont le poil court.

Application à la génétique

a) Si un troupeau est constitué de 45% de porcs de type AA, de 15% de porcs de type Aa et de 40% de type aa, quel devrait être la distribution des génotypes suite à un croisement avec un porc dominant.

Si on croise un porc quelconque avec un porc dominant, le tableau suivant décrit la matrice de transition à chaque croisement.

SS

b) Déterminer l’état stable de ce processus.

Application à la génétique

c) Si on croise les porcs uniquement avec des porcs hybrides, la matrice de transition devient 

Quel serait alors l’état stable d’un troupeau à long terme?

Solutions

a) (0,525 0,475 0). Tous les porcs auront le poil long. 52,5 % auront le génotype AA et 47,5% auront le génotype Aa.

b) L’état stable sera (1 0 0), ce qui signifie qu’à long terme tous les porcs auront le génotype AA.

c) L’état stable sera (0,25 0,5 0,25), ce qui signifie qu’à long terme 25% des porcs auront le génotype AA, 50% le génotype Aa et 25% le génotype aa.

Application au comportement

On place une souris dans le compartiment A du labyrinthe illustré. Chaque fois qu’elle en-tend une sonnerie, apeurée, elle change de compartiment en choisissant au hasard une des portes du compartiment où elle se trouve.

a) Après trois périodes de temps, quelle est la probabilité que la souris se retrouve à nouveau dans le compartiment de départ?

b) Sur une longue période de temps, quelle sera la distribution des visites dans chaque compartiment?

Sourissimo

a) Les vecteurs probabilité pour les trois périodes sont :

(0 1 0 0), (0,3333 0 0,3333 0,3333) et

(0 0,6666 0,16665 0,1666665)

Il est impossible que la souris soit dans le compartiment A après trois périodes, sauf si elle y fait un infarctus en entendant la sonnerie lors d’une de ses visites précédentes.

b) Le point invariant est :

(0,1250 0,3750 0,2499 0,2499)

À long terme, la souris devrait être dans la case A 12,5% des fois, dans la case B 37,5%, dans la case C 24,9% et dans la case D 24,9% des fois.

Exercices

Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 11.4, p. 364 et 367.

Lecture

Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 11.3, p. 335 à 340.