chap1_6_meca_solide

UNIVERSITE IBN ZOHR FACULTE DES SCIENCES

DEPARTEMENT DE PHYSIQUE AGADIR

MECANIQUE DU SOLIDE

Pr : H.FATMAOUI

Notes de cours de Mcanique du solide, FSA : SM3, SMI3, SMP4 2

..

L'avant-bras et le poignet sont galement lis au bras et l'avant bras par des liaisons pivot d'axe ),( 23 yO et ),( 24 yO .

On peut donc poser des repres R3 et R4 et les angles 23 et 34.

De la mme manire :

2232233 sincos zxx =

2232233 cossin zxz += et

{ }3

3 0 223

2/3O

OyV

=

&

3343344 sincos zxx =

3343344 cossin zxz +=

{ }4

4 0 223

3/4O

OyV

=

&


Chapitre 1 Torseurs

1.1 Bases 1.1.1 Pointeur / Vecteur Glissant et moments Un Pointeur est un vecteur

V li un point A. on le note (A,

V ) .

On appelle Moment en P du pointeur (A,

V ) le vecteur

= VPAVAM P ),(rr

Un Vecteur Glissant est un vecteur

V li une droite //

V . on le note (,

V ) Pour une droite //

V fixe, on a :

BA,

==+== ),()(),( VBMVPBVVPBVPAVAM PPrrrr

pour A qcq

1.1.2 Relation fondamentale des moments

QP,

+== VPAVQPVQAVAM Q ),(rr

soit : QP,

+= VQPVAMVAM PQ ),(),(rrrr

Vr

P A

),( VAM Prr

A

B

),( VM Prr

Vr


1.2 Torseurs

Etant donn un champ de pointeurs { }niVAM ii ...1),( == r

ou un champ de vecteurs glissants { }niVVAM iii ...1)),,(( == rr on dfinit le Torseur T associ au champ M au point P comme le couple dun vecteur et dun vecteur li P :

{ }

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Pen rsultant Moment

RsultanteR avec

),(1

1

1

1

PP

n

iiiP

n

ii

P

n

iiiPP

n

ii

P

MVPAM

VR

VAMM

VRT

r

rr

r

On appelle Rr

la Rsultante du torseur et PMr

le Moment rsultant en P, ce sont les 2 Elments de rduction en P.

1.2.1 Proprits

1.2.1.1 Dplacement

QP, Qn

ii

n

iii

n

ii

n

iiiP MVPQVQAVPQVPAM

rr+=+==

=

=

=

=

1111 soit :

QP,

+=+= QPRMRPQMM QQPrrr


1.2.1.2 Invariant Scalaire

Le produit scalaire I =

RM P est indpendant du point P, on l'appelle Invariant Scalaire du Torseur.

Dmonstration : QP, I =

=+= RMRRPQRMRM QQP )(

Corollaire

La projection de

PM sur

R est donc indpendante du point P.

1.2.2 Somme

La somme de 2 torseurs revient la runion de leurs 2 champs de vecteurs, elle sobtient par sommes des lments de rduction au mme point P.

{ } { }

21

21

2

2

1

121

PPPPPPPP

PP

MMM

RRR

M

R

M

RTTP

+=

+==

+

=+

Dmonstration

{ } { } { } ),(),( 21

21

1 12211

1 121

2121

PPPPP

n

i

n

iiiPiiPP

n

i

n

iii

PPP

MMM

RRR

VAMVAMM

VVRTTTTP

+=

+==

+=

+=

==+

= =

= =

1.2.3 Comoment

Le Comoment de 2 torseurs est dfini par le calcul suivant.

1221

2

2

1

1

+=

= PP

PPPP

P MRMRM

R

M

RP ce calcul est indpendant de P !


Dmonstration : PPP

PPQQQ

PRQPRRQPRPRQPRRQPRP

RQPMRRQPMRMRMRP

=

+

+=

+

+=

++

+=+=

12211221

1122211221

,,,,

1.2.4 Axe central

Thorme et dfinition Si

0R le lieu de tous les points Q tels que

QMR // existe et est une droite

R// appele Axe

central du torseur :

=

RQ ,0 Dmonstration

+=

+

=

+=

+=

+==

ROQOQ

RR

OQR

R

MROQ

ROQRMROQR

RQORQORMR

RQORMRMRMR

o

O

O

O

OQQ

22

2

20

0//

rr

r

r

ou : si un tel point Q0 existe les autres vrifient

+==

RQQRMRMR QQ 000 soit :

===

=

=

RQQRRR

QQRQQRQQRQQRRQQR ,0 02 00002

0 rr

- calcul de Q0 dans le plan

=

RO, soit tel que : 00

= OQR

0

2

000 0//

=

== OQRMRROQRMRMRMR OOQQ

r

On a donc :

+

=

= R

R

MROQR

MROQ OO 220 rr

Proprits

Le moment est constant sur laxe central, et sa norme y est minimum, plus prcisment il vient :

= RR

IMQ Q 2r et RIM Q r=

est le moment minimum du torseur


Dmonstration

=+=

+=

+

+=+=

RR

IMRR

IM

MR

RRRR

MRMRR

MRRMRQOMMQ

OO

OO

OO

OOQ

22

222

rr

rrr

P

( ) 000

0 2

0

22

00

0

0et ,//QpQp

Q

QPMMRPQMM

RPQRRPQRMRPQMM

>+=

+=

1.2.5 Equiprojectivit

Un champ de vecteurs lis ( ){ }3, REPVP P est dit quiprojectif ssi il vrifie :

PM VMPVMPEPM = ,

Cela revient dire que EPM , les projections de MV et PV sur la droite (MP) sont gales.

Thorme Le champ ( ){ }3, RPMP P des moments dun torseur est quiprojectif :

PM MMPMMPPM = ,

Dmonstration : ( ) ( ) 0, === RMPMPMMMPMMPMMPPM PMPM

Thorme rciproque


Tout champ ( ){ }3, RPVP P quiprojectif est le champ des moments dun torseur.

Lemme tout champ V quiprojectif vrifie ( ) ( ) OMVVOPVVPMO OPOM = ,,

Dmonstration du Lemme : ( ) ( ) ( )OPMOVVVVMPVVPMO POOMPM ++== 0,, Soit ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) OMVVOPVVOPVVOPVVMOVVMOVV opOMPOOMPOOM +=+++=0

Dmonstration du thorme :

Soit un repre orthonorm ( )ZYXO ,,, et 3 points ( )ZYX ,, tels que XOX = , YOY = , ZOZ = . Ce repre fix, posons par ailleurs OPP VVAP = . Avec cette notation le lemme devient :

OMAOPAPM PM = , Cherchons maintenant lexpression de PA dans la base ( )ZYX ,,

OP

A

A

A

OPA

OPA

OPA

OZA

OYA

OXA

A

Z

Y

X

Z

Y

X

P

P

P

P

=

=

=

posons maintenant

====

====

====

YAOYAOZAZAa

ZAOZAOXAXAa

XAOXAOYAYAa

ZZYYyz

XXZZzx

YYXXxy

Il vient

=

=

=

xy

zx

yz

xy

zx

yz

yzzx

yzxy

zxxy

P

a

a

a

POOPa

a

a

OPaa

aa

aa

A0

00

Soit RPOVVP OP += avec

=

xy

zx

yz

a

a

a

R

Ainsi V est bien le champ des moments du torseur dont les lments de rduction en O sont :

La rsultante ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

==

==

==

=

XVVYVVaZVVXVVaYVVZVVa

R

OYOXxy

OXOZzx

OZOYyz

ZYX ),,' et le moment en O : OV


1.3 Classification et Dcomposition

Torseur Invariant Scalaire nul

. 0,0 == OMR : le moment est nul en tout point cest le Torseur Nul

. 0R : I tant nul 0, = QMQ le Torseur est un vecteur glissant ou Glisseur R sur son axe . 0,0 = OMR : R tant nul OP MMP = , le Torseur est un Couple.

Torseurs Gnraux Invariant Scalaire non nul

Dcomposition comme somme dun Glisseur sur son axe et dun Couple de moment parallle son axe :

QQ

Q

Q RR

IRRR

IM

R

Q

+

=

=

22

0

0,


Chapitre 2 Cinmatique du solide

2.1 Dfinition du solide indformable, repres associs; 2.1.1 Solide rel Il est important de dfinir correctement la notion de solide et d'apprhender les limites du modle reprsentant les solides rels. caractristiques d'un solide rel: Masse? constante mais rosion, usure, corrosion,... Dimensions? constantes mais dformations locales de contact, lasticit du matriaux Evolution dans le temps: inconnu dans le temps. Nous nous apercevons que le modle que nous allons utiliser peut difficilement prendre en compte tous ces phnomnes. Dans le cadre de la mcanique gnrale nous utiliserons le modle du solide indformable.

2.1.2 Solide indformable

En mcanique gnrale, un corps solide est un ensemble de points matriels dont les distances mutuelles sont indpendantes du temps.

Constante,2

1 = ABSBA

Le solide indformable est un solide possdant une masse constante et un volume dont les limites sont invariantes quelles que soient les actions extrieures. On associe au solide S1

un repre R1. Nous choisirons comme axes du repre des axes caractristiques du solide (axe de symtrie, axe de rotation, support d'une translation,...)

2.2 Mouvement d'un milieu continu par rapport un rfrentiel

On considre le mouvement du solide S1 par rapport au repre R0. Chaque point M S1 possde une vitesse par rapport R0

L'ensemble des vecteurs vitesses )/( 01 RSMV constitue le champ des vecteurs vitesses du solide S1/ R0

.

Chaque point M S1

possde une acclration par rapport R0. L'ensemble des vecteurs acclrations )/( 01 RSM constitue le champs des vecteurs acclrations de solide S1/ R0.


2.3 Mouvement relatif de deux solides

2.3.1 Paramtrage

Pour connatre la position d'un solide dans l'espace, il suffit de connatre la position de trois de ses points, soit 9 paramtres.

Mais les trois points tant des distances invariables les uns par rapport aux autres, il convient d'ajouter 3 quations de liaison des paramtres. En dfinitive, la position d'un solide dans l'espace dpend donc de 6 paramtres indpendants qui caractrisent les 6 degrs de libert du solide (3 translations + 3 rotations) par rapport un rfrentiel : x,y,z,x, y, z.

6 ddl d'un solide indformable

2.3.2 Position d'un rfrentiel par rapport un autre : angle d'Euler

Dfinition Le positionnement d'un solide par rapport un solide est dfini lorsque les 6 paramtres indpendants x,y,z,x, y, z appels paramtres de position sont dtermins.

De faon gnrale, soient deux rfrentiels ),,,( iiiii zyxOR et ),,,( jjjjj zyxOR , l'un li au solide Si, l'autre li au solide Sj.

Soit un point li au solide Sj. D'aprs l'quivalence rfrentiel-solide, tudier la position du solide Sj par rapport au rfrentiel Ri revient tudier la position du rfrentiel Rj par rapport au rfrentiel Ri.

X

Y

Z

O

S1

S2 x

y

z

x

y

z


La position du point , fixe dans le repre Rj, peut tre exprime :

soit par le vecteur

jAjAjAj zzyyxxAO ... ++= dfini dans le repre Rj

soit par le vecteur

iAiAiAi zzyyxxAO ... ++= dfini dans le repre Ri

2.3.3 Changement de rfrentiels, repres d'espace

En mcanique, il est frquent de changer de rfrentiel pour exprimer, sous une autre forme, la position, la vitesse ou l'acclration d'un point ou toute autre grandeur vectorielle. La mcanique newtonienne, base sur la relativit galilenne selon laquelle le temps ne dpend pas du rfrentiel, permet de considrer qu'un changement de rfrentiel se limite un changement d'espace.

On se propose de dfinir les coordonnes du vecteur iAiAiAi zzyyxxAO ... ++= dans le repre Ri, c'est--dire de raliser un changement de repre de Rj vers Ri.

Un cas lmentaire frquemment rencontr correspond une simple rotation des deux repres autour d'un axe. Le cas plus complexe d'une rotation autour d'un point peut alors tre considr comme la succession de trois rotations autour d'axes distincts. Ces deux cas sont tudis ci-aprs.

Changement de repre d'un vecteur dans le cas d'une rotation autour d'un axe Considrons que le repre Rj a pivot d'un angle autour de l'axe ix par rapport au repre Ri.

Dans ces conditions, les vecteurs unitaires de Ri peuvent s'exprimer dans le repre Rj de la faon suivante :

+=

=

=

jji

jji

ji

zyz

zyy

xx

cossin

sincos

On peut ainsi crire la matrice de passage Pi,j du repre Rj au repre Ri pour la rotation d'angle dans laquelle l'axe jx reste confondu avec ix de la faon suivante :

=

cossin0sincos0001

, jiP

ix

jx

iy

iz

jy

jz

Reprage du point A d


Un vecteur V s'exprimera par RjjiRi

VPV .,

=

soit pour le vecteur AOV i= dans le changement de repre de Rj vers Ri :

+

=

=

cos.sin.sincos.

cossin0sincos0001

AA

AA

A

A

A

A

A

A

A

zyzy

x

z

yx

z

yx

Inversement, si l'on veut effectuer un changement de repre de Ri vers Rj pour le vecteur connu V dans le repre Ri, celui-ci s'exprimera par :

Riij

RjVPV .

,= avec 1

,,

= jiij PP

(matrice inverse). REMARQUE : Ici jitji PP ,1, = (matrice transpose).

2.3.4 Changement de base d'un vecteur dans le cas d'une rotation autour d'un point - Angles d'Euler

Si la rotation autour d'un point se fait par l'intermdiaire des 3 rotations lmentaires prcdentes dont les matrices de passage sont Pi,j, Pj,k et Pk,l , le passage du repre Rl vers le repre Ri s'exprimera par :

li Rli

RVPV .

,= avec Pi,l= Pi,j . Pj,k . Pk,l

Pour dfinir 3 rotations lmentaires il est frquent d'utiliser 3 angles appels angles d'Euler . Ces angles sont couramment utiliss en astronomie pour dfinir la position d'une plante par rapport un rfrentiel donn.

Par convention, ces angles sont dfinis de la faon suivante :

(psi) : angle de prcesssion (theta) : angle de nutation (phi) : angle de rotation propre

oy

ox oz

u v

oz

v u

w z

w

u z

x y


Les changements de repres successifs sont :

0R

),,( 000 zyx 0, z

1R

),,( 0zvu u,

2R

),,( zwu z,

3R

),,( zyx

2.3.5 Changement de base d'un vecteur dans le cas gnral

Dans le cas gnral de la figure ci-dessous o l'on passe du repre Rj au repre Ri par la combinaison d'une translation et d'une rotation, le vecteur AOV i= a pour expression

AOOOAO jjii +=

La projection dans Ri donne : Ri

jRi

jiRi

i AOOOAO +=

il vient donc : RjjjiRijiRii

AOPOOAO +=,

+

=

A

A

A

ji

A

A

A

z

yx

Pz

yx

z

yx

,

v

u

0x

0z

0y

x

z y

w

Angles dEuler


2.4 Equiprojectivit du champ des vecteurs vitesses d'un solide indformable, torseur distributeur;

2.4.1 Equiprojectivit Soient A et B deux points d'un solide S1 :

Constante2

=AB , Constante= ABAB , on a en drivant par rapport au temps

0

22

RdtABdAB

dtABd

=

On a aussi

OBAOAB += 000 RRR

dtOBd

dtAOd

dtABd

+

=

000 RRRdtOAd

dtOBd

dtABd

=

donc )/()/( 0101

0

RSAVRSBVdtABd

R

=

En effectuant le produit scalaire avec AB on obtient :

( ) 0)/()/( 01010

==

RSAVRSBVAB

dtABdAB

R

)/()/( 0101 RSAVABRSBVAB =

Le Champ des vitesses est quiprojectif, c'est dire que les projections du vecteur vitesse de deux point A et B sur la droite joignant ces deux points sont gales en valeur algbrique.

Cette proprit est trs importante elle nous permettra de dterminer graphiquement la vitesse d'un point d'un solide connaissant la vitesse d'un autre point.

2.4.2 Torseur distributeur des vitesses de S1 par rapport R0.

Le champ des vitesses d'un solide tant quiprojectif, ce champ est le champ des moments d'un torseur appel torseur distributeur des vitesses de S1

par rapport R0.

Elment de rduction du Torseur distributeur des vitesses.

Nous recherchons une relation entre )/( 01 RSBV et )/( 01 RSAV


Nous avons montr que : )/()/( 01010

RSAVRSBVdtABd

R

=

A et B tant deux points de S1

donc AB est un vecteur fixe de R1. Si le vecteur rotation de R1/R0 est )/( 01 RR , on peut donc crire (drive d'un vecteur):

ABRRdtABd

R

=

)/( 010

donc ABRRRSAVRSBV = )/()/()/( 010101

ou ABRRRSAVRSBV += )/()/()/( 010101

Cette relation est la relation caractristique entre les vecteurs moments dun torseur (voir chapitre 1), le vecteur )/( 01 RR est la rsultante gnrale du torseur. Le torseur distributeur des vitesse, ou torseur cinmatique, a donc pour lments de rduction en A :

{ }A

ARSAV

RRRSV

=

)/()/()/(

01

0101

2.4.3 Proprits du torseur distributeur des vitesses S1/R0

L'axe central du torseur {V(S1/R0) }A est appel axe instantan de rotation ().

Un point P situ sur laxe () est tel que sa vitesse )/( 01 RSPV est colinaire )/( 01 RR . On peut dfinir le mouvement de S1/R0 comme tant la combinaison de deux mouvements : un mouvement de translation )/( 01 RSPV // () et un mouvement de rotation autour de () de vecteur rotation )/( 01 RR .

2.5 Champ des vecteurs acclrations d'un solide.

A et B deux points d'un solide S1

en mouvement par rapport R0 Nous avons entre les vitesses de A et de B par rapport R0

la relation: ABRRRSAVRSBV += )/()/()/( 010101

en drivant par rapport au temps on obtient : ( )

000

)/()/()/( 010101RRR

dtABRRd

dtRSAVd

dtRSBVd

+

=

( ) ( )0000

)/()/()/()/( 01010101RRRR

dtABdRRAB

dtRRd

dtRSAVd

dtRSBVd

+

+

=

La drivation compose nous permet dcrire :

ABRRdtABd

dtABd

RR

+

=

)/( 0110


or 01

=

RdtABd

car A et B sont fixes dans le repre li au solide S1.

Ainsi la relation entre les vecteurs acclrations de deux points dun solide scrit : ( ) ( )ABRRRRABdt

RRdRSARSB

R

+

+= )/()/()/()/()/( 0101010101

0

Le champ des acclrations nest pas quiprojectif. Ce nest donc pas le champ des moments dun torseur.

2.6 Composition des mouvements de solides indformables 2.6.1 Notation a) Repres R0 : repre fixe de rfrence ),,,( kjiO R1 : repre mobile par rapport R0

),,,( 1111 kjiO M un point de S mobile dans R1

b) Dfinition des mouvements on appellera : Mouvement absolu: le mouvement de M par rapport R0 Mouvement relatif: le mouvement de M par rapport R1 Mouvement dentranement: le mouvement de M suppos attacher R1 par rapport R0.

Par dfinition :

Vitesse absolue

0

)/( 0R

dtOMdRSMV

=

Vitesse relative

1

11)/(

Rdt

MOdRSMV

=

Vitesse dentranement

)/( 01 RRMV

Acclration absolue

0

)/()/( 00R

dtRSMVd

RSM

=

Acclration relative

1

)/()/( 11R

dtRSMVdRSM

=

Acclration dentranement

)/( 01 RRM

2.6.2 Composition des vitesses

0

)/( 0R

dtOMdRSMV

= avec MOOOOM 11 +=

00

110 )/(

RRdt

MOddtOOdRSMV

+

= do

0

10110 )/()/(

Rdt

MOdRROVRSMV

+=

La relation de drivation compose nous donne 0

1

Rdt

MOd


MORRdt

MOddt

MOd

RR

10111 )/(

10

+

=

donc :

MORRdt

MOdRROVRSMVR

1011

0110 )/()/()/(1

+

+=

MORRRSMVRROVRSMV 10110110 )/()/()/()/( ++=

MORRRROVRSMVRSMV 10101110 )/()/()/()/( ++= Vabsolue= Vrelative+ Ventranement

Avec la vitesse dentranement : MORRRROVRRMV 10101101 )/()/()/( +=

2.6.3 Gnralisation de la formule de composition des vitesses

Soit M appartenant (S) mobile par rapport R3 lui mme mobile par rapport R2 , mobile / R1 , mobile / R0.

)/()/()/( 0110 RRMVRSMVRSMV += )/()/()/( 1221 RRMVRSMVRSMV += )/()/()/( 2332 RRMVRSMVRSMV +=

on dduit des trois galits :

)/()/()/()/()/( 01122330 RRMVRRMVRRMVRSMVRSMV +++=

2.6.4 Composition des Torseurs cinmatiques.

Pour un solide S2 en mouvement par rapport un repre R1 lui mme en mouvement par rapport un repre R0.

)/()/()/( 011202 RRRRRR +=

De la mme manire pour tout point de S2 nous avons :

{ } { } ,)/(

)/()/(,)/(

)/()/(00 12

1212

02

0202

R

A

R

A RSAVRRRSV

RSAVRRRSV

=

=

{ }0

)/()/()/(

01

0101

R

A RRAVRRRRV

=

On a donc :

{ } { } { }AAA RRVRSVRSV )/()/()/( 011202 +=


2.6.5 Composition des vecteurs acclrations.

Nous avons dmontr la relation de composition des vitesses:

MORRRROVRSMVRSMV 10101110 )/()/()/()/( ++=

Drivons cette relation par rapport au temps dans R0.

0

01

0

01

0

011

0

1

0

0 1)/(1)/()/()/()/(

R

RR

R

RR

R

RRO

R

RSM

R

RSM

dtMOdMO

dtd

dtVd

dtVd

dtVd

+

+

+

=

)/( 0)/(0

0 RSMdt

Vd

R

RSM=

acclration absolue

)/()/()/()/(

101

1

1

0

1RSMRR

R

RSM

R

RSM Vdt

Vddt

Vd

+

=

drivation compose de )/( 1RSMV

)/( 1)/(1

1 RSMdt

Vd

R

RSM=

: Acclration relative

)/( 011)/(1

011 RROdt

Vd

R

RRO=

MORRRSMVMORRdt

MOddt

MOd

RR

101110111 )/()/()/(

10

+=+

=

En remplaant dans la premire quation

( )MOVMO

dtdRROV

RRRSMRR

R

RRRSMRRRSMRSM

1)/()/()/(

1)/(

011)/()/()/()/(

01101

0

0110110

)/(

++

+

+++=

( ))/()/(

1)/()/(1)/(

)/()/()/(

101

0101

0

01

01110

2 RSMRR

RRRR

R

RRRRORSMRSM

V

MOMOdt

d

+

++

++=

( )MOMOdt

dRRRR

R

RRRRO 1)/()/(1

)/()/( 0101

0

01

011+

+ : Acclration dentranement

)/()/( 1012 RSMRR V : Acclration de Coriolis

)/()/()/()/()/( 10101110 2 RSMRRRRMRSMRSM V ++=

Coriolisntentrainemerelativeabsolue ++=


a) cas particuliers

- Si R1 est en translation / R0 : 0)/( 01 = RR alors 0)/()/(2 001 == RSMVRRCoriolis

- Si 0)/( 0 = RSMV alors 0=Coriolis - Si )/(//)/( 010 RRRSMV alors 0=Coriolis 2.7 Mouvement d'un solide S1 en contact ponctuel avec un solide S2

Soit deux solides S1 en contact ponctuel avec un S2, en mouvement par rapport un rfrentiel Ro.

A l'instant t, les deux surfaces frontires 1 et 2 sont en contact en un point I(t). En fait ce point I(t) correspond un point I1 sur la surface 1 qui concide avec un point I2 sur 2. Le point I(t) est not I. On suppose que les deux surfaces admettent un plan tangent commun () en I. Soit n la normale au plan tangent.

Le mouvement de S2/S1 est dfini par le torseur cinmatique en I :

{ }I

I SSIVSSSSV

=

)/()/()/(

12

1212

2.7.1 Roulement et pivotement Le vecteur instantan de rotation )/( 12 SS admet des composantes sur la normale au plan tangent et sur le plan (). On appelle la projection sur n de )/( 12 SS le vecteur de pivotement de S2/S1 ( )nnSSSSP = )/()/( 1212

On appelle la projection sur le plan tangent le vecteur de roulement de S2/S1.


)/()/()/( 121212 SSSSSS PR =

2.7.2 Glissement

On appelle vitesse de glissement de S2/S1 : )/( 12 SSIV . On dit que S2 roule (ou pivote) sans glisser sur S1 si : 0)/( 12 = SSIV Le vecteur vitesse de glissement de S2/S1 au point I est parallle au plan tangent commun S2 et S1.

)/()/()/( 1122 oo RSIVSSIVRSIV += Vabsolue = Vrelative + Ventranement

Do : )/()/()/( 1212 oo RSIVRSIVSSIV = Or le point I dcrit sur 1 une courbe C1 et )/( 1 oRSIV appartient au plan tangent la courbe, ici le plan () (par dfinition de la vitesse de dplacement d'un point). On dmontre de mme que

)/( 2 oRSIV appartient au mme plan tangent.

2.7.3 Les diffrents types de contact

Contact Ponctuel:

Contact Linique:

Contact Surfacique:


2.7.4 Tableau des liaisons usuelles

Le tableau ci-dessous prsente les symboles et caractristiques de l'ensemble des liaisons usuelles ainsi qu'une visualisation des degrs de libert qu'elles autorisent :

Nom de la liaison Reprsentations planes Perspective Degrs de libert

Translation Rotation

mobilits

Liaison encastrement de centre B

0 0 0 0 0 0

Aucun mouvement possible

Liaison glissire de centre A et d'axe X

Tx 0 0 0 0 0

Liaison pivot de centre A et d'axe X

0 Rx 0 0 0 0

Liaison Pivot Glissant de centre C et d'axe X

Tx Rx 0 0 0 0

Liaison hlicodale de centre B et d'axe Y

0 0 Ty Ry=Ty*2pipipipi/p 0 0

Liaison Appui Plan de centre D et de

normale Z

Tx 0 Ty 0 0 Rz

Liaison rotule de centre O

0 Rx 0 Ry 0 Rz

Liaison rotule doigt de centre O d'axe X

0 0 0 Ry 0 Rz

Liaison linaire annulaire

de centre B et d'axe X

Tx Rx 0 Ry 0 Rz

Liaison linique rectiligne

de centre C, d'axe X et de normale Z

Tx Rx Ty 0 0 Rz

Liaison ponctuelle de centre O et de

normale Z

Tx Rx Ty Ry 0 Rz


Chapitre 3 Gomtrie des masses

3.1 Masse d'un systme matriel

Dfinitions La masse dun corps caractrise lamplitude avec laquelle ce corps interagit avec dautres corps par le biais de la force gravitationnelle.

La masse est une proprit additive de la matire : pour un systme de N points matriels de masses mi (i=1,..., N), la masse totale est : ==

N

i itotmM

1. De mme, pour une rpartition continue en

volume de la masse dun systme de volume total V :

==V

tot dVAMm )(

o (A) est la masse volumique du systme au point A,

Dfinition : on dit quun systme est homogne si sa masse volumique est la mme en tout point de son volume.

Remarques - On dfinit aussi parfois une masse surfacique (ou densit surfacique de masse) pour des systmes quasiment sans paisseur et une masse linique (ou densit linique de masse) pour des systmes de section ngligeable devant leur longueur On a alors (S tant une surface et s une abscisse curviligne) :

==S

tot dSAMm )( ou

=== dssdsAMm tot )()(

De mme que prcdemment, le systme sera alors dit homogne si sa masse surfacique (ou linique) est la mme en tout point du systme.

3.2. Centre d'inertie (ou centre de masse) 3.2.1 Dfinition et Thorme

Dfinition : Le centre de masse, G, dune rpartition continue de matire de masse totale Mtot, est donn par :

dmOAM

OGOStot

= 1,

Remarque : O est a priori un point quelconque, bien que lon applique souvent cette formule en prenant lorigine du repre choisi comme point O.

Cette intgrale sera le plus souvent une intgrale trois dimensions :


dVAOAM

OGVtot

)(1

=

Mais on crira plutt : dSAOAM

OGStot

)(1

= pour une rpartition surfacique,

dsAOAM

OGtot

)(1

= pour une rpartition linique

et =

=

N

ii

tot

OAmM

OG1

1 pour des systmes composs de N points matriels de

masses mi (i=1..N).

Remarque : le centre de masse dun objet n'appartient pas forcment son volume (ou sa surface, ou sa longueur) (ex : Cerceau, boomerang).

Si on utilise un repre cartsien (O,x,y,z), on a, pour un objet tridimensionnel :

=

=

=

dxdydzzyxzM

z

dxdydzzyxyM

y

dxdydzzyxxM

x

VtotG

VtotG

VtotG

),,(1

),,(1

),,(1

Pour un objet plan, on aura de mme

=

=

dxdyyxyM

y

dxdyyxxM

x

StotG

StotG

),(1

),(1

et dxxxM

xtot

G )(1

= , pour un objet rectiligne.

Thorme :

Il suffit de faire O G, pour montrer que 0r

=

dmGAS

3.2.2. Dtermination pratique

3.2.2.1 Associativit du centre de masse

Si le systme matriel peut tre dcompos en plusieurs parties dont les centres de masse sont faciles situer, le centre de masse du systme global s'obtiendra par composition des centres de masse (cest une consquence directe de la linarit de lintgrale vis vis du domaine dintgration D, celui-ci pouvant tre aussi bien un volume quune surface ou une courbe).

Corollaire : soit un objet de masse M1, de centre de masse G1, occupant un domaine D1 et un objet de masse M2, de centre de masse G2, occupant un domaine D2, alors le systme constitu par la


runion de ces deux objets occupe un domaine D = D1 + D2. Sa masse est M = M1 + M2 et son centre de masse G est donn par :

}{ { } }{,, 2211

2121

+=

+=+== OGMOGMdmOAdmOAdmOAOGMODADADDDA

Soit ,, 221

21

21

1

+

++

= OGMM

MOGMM

MOGO

Exemples :

(i) Centre de masse d'un disque avec un trou excentr :

- C est le centre de masse du disque complet de masse M =M1+ M2 - C1 celui de la partie restante de masse M1 =M- M2. - C2 celui de la partie que l'on a enleve de masse M2

Daprs ce qui prcde.

+=+ 221121 ), OCMOCMOCMMO ( . En prenant, O C, il vient

= 2211 CCMCCM , ce qui permet de placer C1, puisque lon connat M1, M2, C et C2.

3.2.2.2 Utilisation des symtries

Dfinition : on dit qu'un systme a une symtrie matrielle par rapport un point ou une droite ou un plan, si pour tout point A1 du systme, il existe un point A2 symtrique de A1 par rapport au point, ( la droite, au plan de symtrie), tel que A2 appartient galement au systme et que de plus

( )()( 21 AA = ), (ou ( )()( 21 AA = ), ou ( )()( 21 AA = ), suivant les cas).

Remarque : Si le systme est homogne, la symtrie matrielle se rduit la symtrie gomtrique.

Thorme : si le systme possde des lments de symtrie matrielle (point, droite, plan), le centre de masse est ncessairement situ sur cet lment de symtrie

Dmonstration : Il suffit dutiliser lassociativit du centre de masse en dcomposant le systme en couples de points matriellement symtriques. Le centre de masse de chaque couple sera sur llment de symtrie, donc le centre de masse de tous les couples aussi (vident pour le point et d au fait que la somme de deux vecteurs parallles une mme droite (respectivement un mme plan) est un troisime vecteur parallle cette droite (respectivement ce plan)).


3.2.2.3 Thormes de Guldin

Paul Guldin est un scientifique suisse n en 1577, mort en 1643.

3.2.2.3.1 centre de masse d'une plaque plane

Thorme : Soit une plaque plane (P), homogne, d'une paisseur ngligeable devant ses autres distances caractristiques. Soit G son centre de masse et une droite situe dans le plan de la plaque (P) et ne traversant pas la plaque On a alors :

SVHGpi2

=

o H est la projection orthogonale de G sur , S la surface de la plaque et V le volume engendre par la rotation de la plaque autour de .

Dmonstration : choisissons un systme daxes orthogonaux {(Ox), (Oy), (Oz)}, tel que (Oz) = et (Ox) perpendiculaire au plan de la plaque, qui se retrouve donc tre (yOz). On choisit alors de calculer le volume engendr par la rotation de la plaque autour de (Oz), en adoptant des coordonnes cylindriques daxe (Oz) :

= dzrdrdV . Daprs linvariance par symtrie de rvolution autour de , les limites du domaine dintgration ne dpendent pas de . On peut donc faire lintgrale sur , indpendamment des deux autres :

== ydydzrdrdzV pipi 22

o lintgrale double porte sur la surface de la plaque prise dans le plan y>0 (par choix du sens de laxe des y). Or dydzzyyyM

SGtot ),(= (cf. ci dessus). Comme la plaque est homogne, on a

= Cte

et Mtot = S. Il vient donc dydzyySS

G = et donc V = 2 S yG. Comme yG est la distance

de G laxe des z, cest--dire , yG = HG o H est le projet orthogonal de G sur ..

Remarque : Inversement, si lon connat le centre de masse de la plaque, on peut sen servir pour calculer le volume engendr par rotation autour dune droite situe dans le plan de plaque et ne la coupant pas.

Consquence : Si lon munit le plan de la plaque d'un repre ( jiO rr,, ), tel que la plaque est entirement dans le premier quadrant, on peut prendre successivement comme axe l'axe des x puis l'axe des y. On obtient alors :

SV

yetS

Vx xG

yG pipi 22

==

o Vx est le volume engendr par la rotation de la plaque autour de laxe (Ox) et Vy le volume engendr par la rotation de la plaque autour de laxe (Oy).


Exemple : Soit dterminer le centre de masse d'un quart de disque homogne, de rayon R. On commence par choisir un repre dans le plan du quart de disque avec des axes orthogonaux ne coupant pas le quart de disque ! La droite dquation x = y est une droite de symtrie matrielle, puisque le quart de disque est homogne. On a donc xG = yG. De plus, par rotation autour de (Ox) ou (Oy)le quart de disque engendre une demi-boule...

On a donc :

0. Ds lors,

.))(()( AAxzzAyA yyuuuzuysr ==+=rrrr

Or, dssOAOGM tot )(=

(cf. ci dessus). Comme le fil est homogne, on a = Cte et Mtot = L. Il vient donc : == dssrdsyyL AG )(

soit L yG =S /2 et donc S = 2 L yG. Comme yG est la distance de G laxe des z, cest--dire , yG = HG o H est le projet orthogonal de G sur .

Consquence : De mme que prcdemment, si l'on munit le plan d'un repre ( jiO rr,, ) on a :


LS

yetL

Sx xG

yG pipi 22

==

Exemple : soit dterminer le centre de masse d'un quart de cercle homogne, de rayon R.

On commence par choisir un repre dans le plan du quart de cercle avec des axes orthogonaux ne coupant pas le quart de cercle ! La droite dquation x = y est une droite de symtrie matrielle, puisque le quart de cercle est homogne. On a donc xG = yG. De plus, par rotation autour de (Ox) ou (Oy), le quart de cercle engendre une demi-sphre. On a donc :

24 2RSS yxpi

== ,

42 RL pi= , donc

pipipi

pi RR

Ryx GG

2

422

24 2

=

== et RROG 9,022 =pi

3.2.2.4 Exprimentalement

Pour un solide plan, il suffit de le suspendre par plusieurs points. Le point de concours des verticales traces sur le solide est le centre de pesanteur (gal au centre de masse si gr est uniforme).

3.3 - Moments dinertie

De mme que la masse caractrise la rsistance dun systme en translation, un changement de vitesse, le moment dinertie par rapport un axe caractrise la rsistance dun systme en rotation autour dun axe, un changement de sa vitesse de rotation autour de cet axe. On verra ainsi, dans un autre chapitre, que lon peut dcomposer lnergie cintique dun solide en la somme dune nergie cintique de translation )/,()2/1( 2

,RSGMVE Tc = et dune nergie cintique de rotation

)/()2/1( 2),(, RSIE GRc = , puis en dduire toutes les caractristiques du mouvement, grce au thorme de lnergie cintique.

3.3.1 Moment d'inertie par rapport un axe

Dfinition : Le moment d'inertie d'un systme matriel S par rapport une droite () est par dfinition :

{ }dmHAI

SA

=2

o lintgration porte sur tous les petits lments de matire de masse dm (situ autour du point courant A) constituant S mais o H est cette fois ci, la projection orthogonale du point A sur la droite .

Rappel : Lintgrale est en fait une intgrale triple sur tout le volume de lobjet si dm = dV, une intgrale double sur toute la surface dun objet dpaisseur ngligeable (dm = dS) ou une intgrale simple sur toute la longueur dun objet de section ngligeable (dm = ds).


Lien entre HA2 et la coordonne perpendiculairement la droite :

Si lon prend un un plan (P) perpendiculaire la droite, par rapport laquelle on veut calculer le moment dinertie. On appelle O, le point dintersection de et de (P) et on prend un repre orthonorm ( wvuO rrr ,,, ) avec ( vuO rr,, ) , repre du plan (P) et donc wr suivant , on a toujours HA2=OA2OH2 (Pythagore). Mais cette fois,si lon note wvuOA rrr ++= , on na plus que

wOH r=

, puisque H est maintenant la projection orthogonale de A sur , H et O

//OH , donc wOH r colinaire

. ),,,( wvuO rrr tant orthonorm, il vient 2222 ++=OA et 22 =OH , donc 22

2222 sinOAwOAHA ==+=

r.

Si lon utilise des coordonnes cartsiennes, on a donc en particulier : dmzyI

SOx += )( 22 , dmzxI

SOy += )( 22 et dmyxI

SOz += )( 22

Remarque :

En comparant les dfinitions prcdentes, on peut remarquer que : IOx=IxOz + IxOy, (Ox) est lintersection de (xOz) et (xOy) et de mme pour IOy et IOz. Ce ne sont en fait que des cas particuliers du thorme suivant :

Thorme : Le moment d'inertie d'un systme par rapport un axe est gal la somme des moments d'inertie du mme systme par rapport deux plans perpendiculaires se coupant suivant cet axe.

3.3.2 Moment d'inertie par rapport un plan

Dfinition : Le moment d'inertie d'un systme matriel S par rapport un plan (P) est par dfinition :

{ }dmHAI

SAP

=2

o lintgration porte sur tous les petits lments de matire de masse dm (situ autour du point courant A) constituant S et o H est la projection orthogonale du point A sur le plan (HA est donc la distance entre le point A et le plan).

Lien entre HA2

et la coordonne perpendiculairement au plan :

Si lon prend un repre orthonorm ( wvuO rrr ,,, ) avec ( vuO rr,, ) , repre du plan (P) et donc wr perpendiculaire (P), on a HA2=OA2OH2 (Pythagore). Or si lon note wvuOA rrr ++= , on a

vuOH rr += , puisque H est la projection orthogonale de A sur ( vuO rr,, ). ),,,( wvuO rrr tant orthonorm, il vient 2222 ++=OA et 222 +=OH , donc 222 )( wOAHA r==

dmzIS

xOy =2

, dmyIS

xOz =2

et dmxIS

yOz =2


C'est--dire, par exemple,

dxdydzzyxzIV

xOy ),,(2 = ou SdzyxzIS

xOy22 ),,(= ou dszyxzI xOy ),,(2

=

Remarque :

Dans les formules ci dessus, on trouve toujours les 3 coordonnes, soit dans le nom du plan, soit dans lintgrant.

3.3.3 Moment d'inertie par rapport un point

Dfinition : Le moment d'inertie d'un systme matriel S par rapport un point quelconque N est par dfinition :

{ }dmNAI

SAN

=2

o lintgration porte sur tous les petits lments de matire de masse dm (situ autour du point courant A) constituant S.

Remarque :

Il sagit en fait de la mme dfinition que dans les deux paragraphes ci-dessus, puisque la projection orthogonale dun point A quelconque sur N est toujours N !.

En particulier si NO est l'origine d'un repre cartsien :

dmzyxIS

O ++= )( 222

On en dduit en comparant les expressions dj obtenues que :

)(21

OzOyOxxOyxOzxOyO IIIIIII ++=++=

Exemple : moment d'inertie d'une sphre (creuse) homogne, de rayon R, par rapport un axe passant par le centre de masse

= dSRIO 2

, avec dRRddS sin = , donc pipi sin 4200

RddIO = et

pi pi pi == 02

044 4sin RddRIO

Il nous reste maintenant liminer au profit de la masse de la sphre : 24 RSdSdSM pi ==== do : 24 R

Mpi

= et 222

44 MR

RMRIO ==pi

pi ,

{ } ====

2222 MRdmRdmRdmOAISphreA

O !

Du fait de la symtrie sphrique aucune direction ne doit tre privilgie. Tous les moments dinertie de la sphre par rapport des axes passant par O doivent toujours tre gaux (de mme que tous les moments dinertie par rapport des plans passant par O doivent tre gaux). Si lon choisit trois axes orthogonaux (Ox), (Oy) et (Oz), on doit donc avoir :


2

32

32

o d' ,23)(

21 MRIIIIIIIIIIII OOzOyOxOxOzOyOxOOzOyOx =====++===

De

mme :33

o d' ,3)(2MRIIIIIIIIIIII OyOzxOyxOzxOyyOzxOyxOzOyOzxOyxOz =====++===

3.3.4 Rayon de giration

Un moment dinertie I est homogne une masse fois une longueur au carr. On pose donc (que ce soit pour I(P) I(),ou IO), I = m2, o I est le moment d'inertie d'un systme de masse m (par rapport au plan (P) ou laxe ou le point O). est appel rayon de giration du solide (autour de (P), ou O).

3.3.5 Thorme d'Huygens Christian Huygens tait un scientifique hollandais n en 1629, mort en 1695.

Thorme - Soit un systme (S) de centre d'inertie G et de masse m. - Soit I le moment d'inertie de ce systme par rapport un axe () quelconque (de vecteur directeur ur ). - Soit G l'axe parallle (donc de mme vecteur directeur) passant par G. - Soit d la distance entre ces deux axes (comptes sur n'importe quelle perpendiculaire commune.

On a alors : 2mdIIG

+=

Dmonstration :

Appelons H la projection orthogonale dun point A du systme sur () et H, sa projection orthogonale sur (G). Il est crucial de remarquer que A systme, H, A, et H forment un triangle dans un plan perpendiculaire aux deux droites, puisque celles-ci sont parallles. Toute droite de ce plan est donc perpendiculaire () et (G). (HH) est donc une perpendiculaire commune aux deux droites, ce qui veut dire que HH = d, A : lorsque lon prend un autre point A du solide, H et H changent aussi mais la nouvelle distance HH est toujours gale d !!!

Si lon introduit 22 )(

+= AHHHHA dans dmHAI 2)(

= , il vient :

dmAHAHHHHHI

++=

22 )(2)( ,


do

++= dmAHdmAHHHdmHHI 22 )(2)( .

Or teCdHH ==

22)( , dmAHIG

=2)( et

=teCHH ,

donc G

IdmAHHHdmdI

++= 22

dmGAHHdmGHHHdmAHHHGAGHAH

+=+= ,

Et A, H et H sont dans un plan perpendiculaire aux deux autres donc (G). On en dduit que A 0=

GHHH et donc la premire intgrale est nulle. La deuxime lest galement daprs le thorme du centre dinertie vu au paragraphe I-1). On a donc bien finalement :

2MdIIG

+=

Consquences :

(i) Le moment d'inertie d'un solide par rapport un ensemble d'axes parallles est minimal lorsque l'axe passe par le centre d'inertie. (ii) Si l'on sait calculer le moment d'inertie par rapport n'importe quel axe passant par G, on saura calculer le moment d'inertie par rapport n'importe quel axe.

3.4 Matrice d'inertie

3.4.1 Dfinition

Problme pos : Calculer les composantes du moment d'inertie d'un systme par rapport n'importe quel axe passant par un point O, a priori quelconque. Soit ur le vecteur unitaire directeur de l'axe () par rapport auquel on calcule le moment d'inertie du systme. Comme, on la vu au paragraphe 2-2),

2222 sin uOAOAHA r==

, o est langle entre

(OA) et . Ds lors,

{ } { } { }dmOAuOAudmuOAuOAdmuOAI

SA wSA wSAuO

===

43421

rrr

43421

rr

rr

r )()()(2

),(

Daprs les proprits dinvariance par permutation circulaire du produit mixte des vecteurs

uOAw rr et ,

. Comme ur est un vecteur ne dpendant pas du point A dintgration, on peut le sortir de lintgrale :

{ }dmOAuOAuI

SAuO

= )(),(

rrr

que lon peut encore noter : { }

dmOAuOAvvuISA

uO

== )( avec ),(

rrrrr

.

On peut vrifier que si lon remplace urpar 21 uurr

+ , on obtiendra un rsultat 21 vvvrrr

+= , grce la linarit de lintgrale et du produit vectoriel. Lapplication qui ur associe vr est donc une application linaire qui peut tre reprsente, dans une base B donne, par une matrice :

uSOvu rrr BI ))/,((= . La matrice BI ))/,(( SO est la matrice dinertie du systme par rapport au point O, dans la base B. On dit quelle reprsente loprateur dinertie pris en O, dans la base B.


Le moment dinertie dun systme par rapport un axe () de vecteur unitaire ur est donc donn par :

[ ]uSOuIO uO rrr ))/,(, ),( BI( = Cette expression est en fait indpendante de la base B employe pour calculer les lments de matrice de I(O,S), tant que lon utilise la mme base pour crire les composantes de ur .

Le problme est donc maintenant de pouvoir calculer les lments de la matrice I(O,S), pour une base B donne. Soit un repre ),,,( kjiO

rrrtel que ),( OuO r . (O est donc maintenant choisi

comme origine du repre !). On pose :

kjiurrrr ++= et kzjyixOA rrr ++=

En utilisant le fait quun produit vectoriel puisse tre reprsent par une matrice antisymtrique :

=

00

0

xyxz

yzuOA r

On a

=

=

22

22

22

00

0

00

0)(

yxyzxzyzxzxy

xzxyyz

xyxz

yz

xyxz

yzuOAOA r

Puis :

{ }

+

+

+

==

dmyxdmyzdmxzdmyzdmzxdmxydmxzdmxydmzy

dmuOAOAuSOSA )()()(

)()()()()()(

)()/,(22

22

22

rrBI ,

Puisque les coordonnes de ur sont indpendantes du point A dintgration et que lintgrale dun vecteur est gale au vecteur dont les composantes sont les intgrales des composantes du vecteur intgrer. Dans lexpression ci-dessus de la matrice dinertie, on reconnat les lments diagonaux : il sagit tout simplement des moments dinertie du systme par rapport aux axes de la base. On appelle produit dinertie les lments non-diagonaux de la matrice et on les note :

= ,dmxyI xy = ,dmxzI xz = ,dmyzI yz

On a donc :

=

Ozyzxz

yzOyxy

xzxyOx

IIIIIIIII

SO )/,( BI

3.4.2 Thorme de Kenig (ou de Huygens gnralis)

Comme on la vu prcdemment, la matrice dinertie dpend de lorigine de repre choisi. Etudions ce qui se passe si lon change cette origine, sans changer les directions des axes : on considre un repre ),,,( kjiOR

rrr

de mmes vecteurs unitaires que ),,,( kjiOrrr

- Appelons (x,y,z) les coordonnes dun point A quelconque dans R et (x,y,z) ses coordonnes dans R


- On appelle (a,b,c) les coordonnes de O dans R

=

=

=

=

OOOAAOpuisqueczz

byyaxx

On a alors :

{ }

+++++=

+++=+=

dmbdmybdmadmxadmyx

dmbyaxdmyxIA

Oz

2222

2222

22)(

))()(()(

Soit : ++++= dmybdmxabaMII zOOz 22)( 22

Or, si O concide avec le centre de masse G, alors 0r

=

dmGAA

donc

=

=

=

000

dmzdmydmx

On en dduit alors )( 22 cbMII xGOx ++= et de mme )( 22 caMII yGOy ++= et

)( 22 baMII zGOz ++= avec kzjyixkcjbiaOG GGGrrrrrr

++=++=

- On retombe sur le thorme dHuygens vu prcdemment puisque )( 22 ba +

est la distance au

carr entre les axes (Oz) et (Gz) et de mme pour )( 22 cb + = distance2

entre (Ox) et (Gx) et )( 22 ca + = distance

2 entre (Oy) et (Gy)

- Si lon sintresse maintenant aux produits dinertie, il vient :

=++== dmabdmxbdmyadmyxdmbyaxdmxyI xy ))((

Do, si O concide avec G : MabII yxxy = *

, MacII zxxz = *

et MbcII zyyz = *

Si lon rsume ce qui prcde sous forme matricielle, on a :

avec kzjyixkcjbiaOG GGGrrrrrr

++=++=

+

+

+

+=

)()(

)()/,()/,(

22

22

22

GGGGGG

GGGGGG

GGGGGG

yxMzMyzMxzMyzxMyMxzMxyMxzyM

SGSO BIBI

3.4.3 Axes principaux d'inertie

3.4.3.1 Dfinition La matrice d'inertie tant relle et symtrique, on montre en mathmatique qu'il est toujours possible de trouver trois directions perpendiculaires, de vecteurs directeurs ),,( 321 eee

rrrtelles que :


),(00

0000

),(3

2

1

),,/( 321 SOI

II

SO eee I I

=rrr est diagonale et i = 1 3, iii eIeSOrr

=),(I

Le repre ),,( 321 eeerrr

est appel repre (ou tridre) principal d'inertie et les trois axes passant par O et respectivement parallles 21 ,ee

rret 3e

rsont appels axes principaux d'inertie. Dans ce

repre ),( SOI prend le nom de matrice principale d'inertie. Si de plus O G, on parlera de matrice centrale d'inertie (ou de tenseur central dinertie).

3.4.3.2 Utilisation des symtries Daprs ce qui prcde, les ie

rsont des vecteurs propres de ),( SOI pour les valeurs propres Ii (i = 1

3). Il suffit donc, a priori dutiliser les mthodes mathmatiques de diagonalisation pour les obtenir. En fait, on n'a pratiquement jamais le faire car on se laisse guider par la symtrie du systme : on va voir avec les thormes suivants que s'il existe des axes ou des plans de symtrie pour la distribution de masse, les axes d'inertie sont faciles trouver. De plus le systme est en gnral suffisamment simple (ou dcomposable en lments suffisamment simples ...) pour que ces axes soient vidents.

Thorme 1 : Si le systme possde un plan de symtrie matrielle (i.e. (A) = (A ') si A symtrique de A' par rapport au plan) alors tout axe perpendiculaire ce plan est axe principal d'inertie dune matrice dinertie par rapport lun de ses points.

Dmonstration :

Choisissons un repre (xOy) dans le plan par rapport auquel le systme a une distribution de masse symtrique et un axe (Oz) perpendiculaire ce plan. Pour calculer xzdm ou yzdm , groupons les points par deux, symtriques par rapport (xOy) c'est--dire tels que AA zz = , mais aussi

AA xx = et AA yy = . On a alors 0=+ AAAA zxzx et de mme 0=+ AAAA zyzy , cest--dire, puisque dm(A) = dm(A) (symtrie matrielle) que toutes les contributions de paires de points symtriques sont nulles, ce qui implique : 0== yzxy II , cest dire que laxe des z est direction principale dinertie !

Thorme 2 : Si le systme possde un axe de symtrie matrielle alors cet axe est axe principal d'inertie de toute matrice dinertie par rapport lun de ses points. Dmonstration :

Choisissons comme axe (Oz) laxe de symtrie. De mme que ci-dessus, on a calculer xzdm = 0= yzdm car si lon groupe les points par paire A et A symtrique par rapport (Oz), on a AA xx = et AA yy = mais AA zz = , donc toujours 0=+ AAAA zxzx et de mme 0=+

AAAA zyzy .

Thorme 3 : Si un systme admet un axe de symtrie de rvolution pour sa distribution de masse, alors tout tridre orthogonal incluant l'axe de rvolution, est tridre principal d'inertie. Le systme matriel est


alors dit cylindrique et dans le tridre principal d'inertie, sa matrice d'inertie prend la

forme

II

I

000000

(en supposant que l'axe de rvolution est le 3e axe du tridre).

Dmonstration : Si (Oz) est un axe de symtrie, tout plan comprenant Oz est plan de symtrie et toute droite (Oz) est donc axe principal d'inertie. De plus toutes ces droites (Oz) sont quivalentes.

Dfinition :

Si la matrice d'inertie en O d'un systme matriel est du type

1

1

1

000000

II

Ion dit que le systme est

sphrique (ou symtrie sphrique).

3.4.3.3 Ellipsode dinertie

Lorsque les moments d'inertie d'un solide sont connus dans les directions des axes principaux d'inertie, nous pouvons facilement dterminer le moment d'inertie J par rapport n'importe quel autre axe passant par le centre de gravit en utilisant ce que nous nommons un "ellipsode d'inertie" ( ne pas confondre avec le moment d'inertie d'une ellispode (forme gomtrique)).

Dmonstration:

Soient trois axes, centrs sur G, parallles aux axes principaux. Dans leurs directions, portons des longueurs proportionnelles :

zyx IC

IB

IA 1,1,1 ===

Dans cet espace des phases des moments d'inertie, tout point P(x,y,z) dsigne un moment d'inertie I tel que :

IzyxGP 1222

2

=++=

Pour dterminer I en fonction des Ix, Iy, Iz, sans devoir calculer x, y, z, nous identifions les cosinus

directeurs de l'axe de rotation ceux de la droite

GP .

Ainsi, nous avons : ),,(1,1,1,,)cos,cos,(cos zyxI

I

z

I

y

I

x

GP

z

GP

y

GP

x=

=

=


Iz

Iy

Ix

cos,

cos,

cos=== , soit : 1222

2

=++=

IzIyIxGPI

Nous pouvons maintenant calculer les conditions de normalisation de cette relation. Ainsi, si

y,z = 0 et x = A, nous avons :xII

AIAIzIyIx 111 22222 ====++

Respectivement nous aurons : zy II

CII

B 11,11 22 ====

Puisque : zyy I

CI

BI

A 1,1,1 222 ===

Ce qui nous amne crire : 12

2

2

2

2

2222

=++=++Cz

By

Ax

zIyIxI zyx

Par substitution, nous obtenons :

( ) 2222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2coscoscos

1coscoscos1zyx IIIICBAIC

z

By

Ax

++=

++=++

Donc finalement : IIII zyx =++ 222 coscoscos

Ainsi, en connaissant les moment d'inertie d'un corps par rapport ses axes principaux Ix, Iy, Iz nous pouvons connatre son moment d'inertie par rapport n'importe quel axe ayant un angle ,, par rapport aux axes principaux.


Chapitre 4 Cintique

Lobjectif est daller vers lcriture du Principe fondamental de la dynamique pour des systmes de solides. Dans un premier temps il nous faut introduire les quantits de mouvement.

4.1 Torseur cintique

4.1.1 Rsultante cintique

Pour un point matriel M de masse lmentaire dm la quantit de mouvement associe au mouvement de ce point par rapport un repre R est : dmRMVRMp )/()/( rr = .Pour un systme matriel continu on a un instant t quelconque :

dmRMVRSpSM

= )/()/( rr (4.1)

Si le solide est homogne de masse volumique (resp. surfacique ou linique ) on a : dVRMVRSp

SM

= )/()/(rr

(4.2)

Remarque. La quantit de mouvement tant calcule partir du vecteur vitesse, elle dpend du repre par rapport auquel on travaille.

4.1.2 Moment cintique

4.1.2.1 Dfinition

On appelle moment cintique au point A la quantit :

dmRMVAMRSASM

= )/()/,(r

(4.3)

Remarques. Le moment cintique dpend lui aussi du repre par rapport auquel on travaille. Le point A de calcul de ce moment est un point quelconque, pas ncessairement appartenant au solide S.

Proprit. On montre aisment la relation caractristique dun torseur :

)/()/,(

)/( )/(

)/( )/(

)/()(

)/()/,(

RSpAMRS

dmRMVAMdmRMVBA

dmRMVAMdmRMVBA

dmRMVAMBA

dmRMVBMRSB

SMSM

SMSM

SM

SM

+=

+=

+=

+=

=

A

(4.4)


On peut donc en conclure quil existe un torseur appel torseur cintique de S par rapport R qui est not :

{ }

=

=

=

SA

SA

dmRMVAMRSA

dmRMVRSpRSAC

)/()/,(

)/()/()/,(

(4.5)

Comme pour tous les torseurs son expression varie selon le point o il est calcul. En particulier on peut dcider de le calculer au point G centre de masse du solide S.

4.1.3 Autre expression de ce torseur cintique

Nous allons utiliser le centre de masse G dfini dans le chapitre prcdent repris ci dessous :

AdmAMAGMSM

S =

(4.6)

Nous allons choisir un point A particulier : lorigine O du repre R. Drivons les deux membres de lgalit :

RSMRS dmOMdt

dOGMdtd

=

(4.7)

Principe de conservation de la masse : Lorsque lon sintresse un systme de masse constante on peut montrer quil est possible de permuter les oprateurs dintgration et de drivation.

En consquence :

)/()/(

dmRMVRGVM

dmOMdtdOG

dtdM

SMS

RSMRS

=

=

(4.8)

Donc on retient que :

)/()/( dmRMVRGVMSM

S

=

On peut alors crire plus simplement le torseur cintique au centre de masse du systme tudi :

{ }

==

SA

S

dmRMVGMRSG

RGVMRSGC

)/()/,()/(

)/,(

(4.9)

Remarque : pour un point matriel, il est vident que le moment cintique en G vaut 0.


4.1.4 Exemple : calcul du torseur cintique dune barre

Nous allons considrer une barre dpaisseur ngligeable, de longueur l, homogne de masse m en

liaison pivot daxe z avec le bti.

Figure 4.1

Question. Calculer le torseur cintique au centre de gravit et au point O origine du repre.

{ }

==

SA

dmRPVGPRSG

RGVmRSGC

)/()/,()/(

)/,(

Or le vecteur position

OG vaut 12

xl

ce qui donne : 12)/(

= ylRGV &

Pour calculer le moment cintique, il faut prendre un petit lment de longueur du situ une

distance u de O. Llment de masse dm vaut dulm

; lm

reprsente la masse linique de la tige.

On a alors :

u

du G

X

1X

Y

1Y

P A


12

1

00

2

011

12

2

)2

(

)/()()/(

=

=

=

=

zml

zduulduulm

dmyuxlu

dmRPVOGOPdmRPVGP

ll

lTPTP

&

&

&

r

Donc le torseur cintique au point G se rsume :

{ }

=

12

1

12

2)/,(z

ml

yml

RSGC

&

&

4.1.5 Moment cintique par rapport un axe

On appelle moment cintique par rapport un axe dans un rfrentiel R la quantit scalaire

= uRSA )/,( avec

u un vecteur unitaire de et A un point quelconque appartenant .

Justification. La relation caractristique (de torseur) du torseur cintique implique que : AA, ,

+=+= uRSpAAuRSAuRSpAARSAuRSA ))/(()/,())/()/,(()/,( r

Or on sait que A et A appartiennent donc le produit mixte est nul. Donc AA,

== uRSAuRSA )/,()/,( , ce quil fallait dmontrer.

4.2 nergie cintique

Par dfinition lnergie cintique T dun systme matriel S en mouvement par rapport R est donne par :

dmRMVRSTSM

)/(21)/( 2

= (4.10)

Exercice : calculez lnergie cintique de la barre de la figure 4.1 en rotation par rapport O. On crit :

220

21

2

6

)(21

)/(21)/(

&

r&

r

ml

dulm

xu

dmRMVRtigeT

l

tigeM

=

=

=


Remarque : le terme 3

2ml dans cette nergie cintique correspond au moment dinertie de la tige

par rapport un axe (O, z). Cela gnralise en fait la notion de masse utilise pour calculer lnergie cintique dun systme en translation un systme en rotation.

4.1.1 Calcul du moment cintique dun solide

Nous savons que le moment cintique est par dfinition :

dmRMVAMRSASM

)/()/,( rr =

(4.3)

Si nous supposons le point A comme tant li au solide S alors le champ des vitesses dans le solide permet dcrire :

dmAMRSRSAVAMRSASM

))/()/(()/,(

+= rrr

(4.11)

On peut alors r crire :

dmAMRSAMRSAVdmAMRSASMSM

))/(()/(()/,(

+

=

rrr

Le premier terme peut se transformer car )/( RSAV r ne dpend pas de lintgration et avec la dfinition du centre dinertie on obtient : )/( RSAVAGM S

r. On trouve finalement :

)/(),()/((

))/(()/(()/,(

RSSARSAVAGM

dmAMRSAMRSAVAGMRSA

S

SMS

+=

+=

rr

rrr

I

(4.12)

O )/(),( RSSA rI est lapplication de la matrice dinertie en A au vecteur vitesse de rotation de S par rapport R

Cas particuliers

Dans les deux cas particuliers dun point A fixe dans R ou de A pris en G on a :

1. Le point A est fixe dans R,

)/(),(I)/,( RSSARSA

= (4.13)

2. Le point A est pris comme G.

)/(),(I)/,( RSSGRSG

= (4.14)

4.1.2 Energie cintique dun solide

On a vu que lnergie cintique T dun solide S dans son mouvement par rapport un repre R est donne par :


dmRMVRSTSM

)/(21)/( 2

= (4.10)

Or nous pouvons crire en supposant que le point A appartient au solide S :

+= AMRSRSAVRSMV )/()/()/( rrr

Donc on a finalement comme expression de 2T :

444 3444 21

rr

44 344 21

rr

rrrr

rrr

rr )/,()/(

)/()/()/()/()/(2

)/())/(()/()/()/(2

)/())/()/(()/(2

RSA

SM

RSp

SM

SM SM

SM

dmRMVAMRSdmRMVRSAVRST

dmRMVAMRSdmRMVRSAVRST

dmRMVAMRSRSAVRST

+=

+=

+=

On reconnat dans cette dernire expression les lments de rduction du torseur cinmatique et du torseur cintique.

=

)/()/(

)/,()/()/(2

RSAVRS

RSARSp

RST rr

r

r

(4.15)

Thorme : Lnergie cintique dun solide est le comoment du torseur cinmatique et du torseur cintique (pris au mme point).

Nous allons videmment retrouver des cas particuliers de point fixe ou de calcul au centre de masse.

1. Cas dun point A fixe dans le repre R.

)/(),()/()/(2 RSSARSRST = rr I (4.16)

2. Cas du point A confondu avec G.

)/(),()/())/,(()/(2 2 RSSGRSRSGVMRST S +=rrr

I (4.17)


Chapitre 5 Dynamique

5.1 Torseur dynamique

5.1.1 Dfinition

On dfinit le torseur dynamique dun systme matriel en mouvement par rapport un repre R par :

{ }

=

=

SM

SM

dmRMAMRSA

dmRMRSAD

)/()/,(

)/()/,(

(5.1)

5.1.2 Autre expression Nous savons que :

=

SM

dmRMVRGVm )/()/( (5.2)

Si on drive chaque membre de cette galit par rapport au temps dans le repre R alors en utilisant la proprit issue de la conservation de la masse (quation 4.8) on obtient :

=SM

dmRMRGm )/()/( (5. 3)

On peut donc crire que le torseur dynamique :

{ }

=

=

SM

dmRMAMRSA

RGmRSAD

)/()/,()/(

)/,(

(5. 4)

5.2 Relation entre le torseur cintique et le torseur dynamique

On constate que ces deux torseurs sont construits de la mme manire avec dans lun les vitesses et dans le second les acclrations. Il est logique de voir si il nexiste pas des relations de drivation entre les deux. Nous allons le faire pour les moments car pour les rsultantes le travail est dj effectu.

Le moment cintique scrit :

dmRMVAMRSASM

)/()/,(

= (5.4)

Drivons chaque membre de lgalit par rapport au temps dans le repre R en utilisant la conservation de la masse.


dmRMVAMdtdRSA

dtd

RSMR

=

)/()/,( (5.6)

Mais la drive du produit vectoriel scrit :

RRR

RMVdtdAMRMVAM

dtdRMVAM

dtd

+

=

)/()/()/( (5.7) Mais on peut crire que :

)/()/( RAVRMVOAOMdtdAM

dtd

RR

=

=

(5.8)

Donc

)/()/()/()/( RMAMRMVRAVRMVAMdtd

R

+=

(5.9)

Au final la drive du moment cintique vaut :

dmRMAMdmRMVRAVRSAdtd

SMSMR)/()/()/()/,(

+=

(5.10)

Comme le point A est un point quelconque on peut sortir le terme )/( RAV

de lintgrale et en utilisant la relation 4.8 on a :

dmRMAMRGVRAVmRSAdtd

SMR)/()/()/()/,(

+=

(5.11)

On reconnat dans le second membre le moment dynamique. Donc la relation cherche est :

)/()/()/,()/,()/( RGVRAVmRSAdtdRSAdmRMAM

RSM

+

== (5.12)

Remarques. On peut choisir comme point A un point fixe dans le repre r ou le centre de masse G du solide. 1. Le point A est fixe dans R.

R

RSAdtdRSA

=

)/,()/,( (5.13)

2. Le point A est choisi comme tant G.

R

RSGdtdRSG

=

)/,()/,( (5.14)

Or dans ces deux cas nous avons une expression du moment cintique en fonction de loprateur dinertie (relations 4.13 et 4.14). Donc on peut crire :

R

RSRSGJdtdRSG

=

)/()/,()/,( (5.15)


Si A est un point fixe dans le repre R :

R

RSRSAJdtdRSA

=

)/()/,()/,( (5.16)

5.3 Principe fondamental de la dynamique

Ce principe est d Newton. Il nonce une relation entre les causes (les actions mcaniques) et les effets (le mouvement caractris par lacclration et non la vitesse). Il existe des rfrentiels privilgis dits galilens dans lesquels le mouvement dun point matriel isol est rectiligne uniforme ; ceci constitue le principe dinertie. Daprs Galile : Tout corps persvre dans ltat de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve moins que quelque force nagisse sur lui et ne le contraigne changer dtat. Pour le monde grec au contraire le mouvement devait sarrter ds que cessait la cause qui lui avait donn naissance. Un systme est dit isol si ses interactions avec lextrieur sont nulles. Comme les interactions dcroissent avec la distance, il suffit de considrer ce systme comme situ une distance suffisamment grande de tout autre systme (pour pouvoir ngliger ces interactions).

5.3.1 nonc

Nous rappelons que nous nous intressons des systmes nchangeant pas de matire avec lextrieur ; ce sont des systmes dits ferms. Il existe au moins un repre RG appel repre galilen et au moins une chronologie galilenne tels que pour tout sous ensemble matriel ( e ) dun ensemble matriel ( E ), le torseur dynamique des actions extrieures ( e ) est gal au torseur dynamique de e, dans son mouvement, par rapport au repre RG et ceci tout instant t.

{ } { } eeEeeeTReD G == )()/( (5.17) O ( e ) reprsente lextrieur de ( e ).

Remarques. La notion de repre et de chronologie galilens sont des notions locales en temps et en espace : le repre terrestre est galilen pour des expriences limites dans le temps (par rapport la rotation de la terre) et se droulant sur de faibles dimensions (par rapport au diamtre de la terre). Il est hors de question de vouloir prdire des mouvements de mare ou lancer un fuse avec ce repre. Autre nonc. On peut aussi trouver un nonc quivalent qui prcise quil existe au moins un rfrentiel galilen RG tel quen tout point fixe O de ce rfrentiel le mouvement de ce systme matriel E satisfait :

(e) ( E )

RG


{ }[ ] { })()/( eeTReCdtd

GRG= (5.18)

Rappelons que { })/( GReC est le torseur cintique du mouvement de (e) par rapport RG.

5.3.2 Thormes gnraux de la dynamique

En exprimant que les deux torseurs intervenant dans le principe fondamental de la dynamique ont mme rsultante gnrale et mme moment rsultant en tout point, on obtient dduire deux thormes appels thormes gnraux de la dynamique.

Soient m la masse et G le centre dinertie du sous ensemble (e) de lensemble matriel (E) en mouvement par rapport au repre galilen RG. Posons, en un point A quelconque :

{ }AG

GG

ReA

RGmReD

=

)/,()/()/(

et { }AeeAM

eeReeT

=

),()()(

5.3.2.1 Thorme de la rsultante dynamique

Pour tout sous ensemble matriel (e) de lensemble matriel (E) en mouvement par rapport au repre galilen RG, la rsultante dynamique de (e) dans son mouvement par rapport au repre galilen RG est gal la rsultante gnrale du torseur associ aux actions mcaniques extrieures (e).

Soit : ==

extG FeeRRGm )()/( (5.19)

5.3.2.2 Thorme du moment dynamique

Pour tout sous ensemble matriel (e) de lensemble matriel (E) en mouvement par rapport au repre galilen RG, le moment dynamique de (e) dans son mouvement par rapport au repre galilen RG est gal au moment rsultant du torseur associ aux actions mcaniques extrieures (e).

Soit : ARFAMeeAMRSA ext ==

)/,(),()/,( (5.20)

5.3.3 Thorme des actions rciproques

Soit (E) un ensemble matriel en mouvement par rapport au repre galilen RG Soit une partition de (E) en deux systmes ferms (E1) et (E2).

THEOREME Le torseur des actions extrieures exerces par un systme ferm E1 sur un autre systme ferm E2 est loppos de celui exerc par E2 sur E1.

{ } { })()( 1221 EETEET = (5.21)

(E1) ( E )

RG

(E2)


DEMONSTRATION Appliquons le PFD E1 :

{ } { })()/( 111 EETRED = (5.22) Or ce qui constitue lextrieur E1 est lextrieur E plus E2, donc : { } { } { })/()()( 1121 GREDEETEET =+ (5.23)

Si on considre maintenant le systme E2 : { } { } { })/()()( 2212 GREDEETEET =+ (5.24)

On ajoute les quations 5.23 et 5.24. Comme E1 et E2 forment le systme ferm E on obtient : { } { } { } { } { })/()()()()( 212121 GREDEETEETEETEET =+++ (5.25)

On peut rassembler les termes { })( 1EET et { })( 2EET pour crire { })( EET car EEE = 21 . { } { } { } { })/()()()( 2112 REDEETEETEET =++ (5.26)

Or on peut aussi appliquer le PFD au systme E : { } { })()/( EETRED G = ce qui me permet den conclure que :

{ } { })()( 2112 EETEET = (5.27)

5.4 Principe fondamental de la dynamique dans un repre non galilen

Dans la pratique lorsque nous devons nous intresser au mouvement de mcanismes (mouvement de solides par rapport dautres solides), il est parfois plus avantageux de se placer dans un repre non galilen. Soit R un repre ayant un mouvement quelconque, mais connu, par rapport RG un repre galilen RG. Le PFD appliqu un systme ferm (solides ou ensemble de solides) S par rapport RG scrit :

{ } { })()/( SSTRSD G = (5.28)

Par dfinition du torseur dynamique on a :

{ }

=

=

SMGG

SMG

G

dmRMAMRSA

dmRMRSAD

)/()/,(

)/()/,(

(5.29)

Or nous savons que lacclration, dun point MS, peut scrire :

)/,()/(2)/()/,()/,( RSMVRRRRMRSMRSM GGG

++= (5.30)


Ce qui nous permet de construire les torseurs dynamiques dentranement Die et de Coriolis Dic partir des acclrations dentranement et de Coriolis et par consquent:

{ } { } { } { })/()/()()/( RSDRRDSSTRSD icGie ++= (5.31)

avec :

{ }

=

SMG

SMG

Gie

dmRRMAM

dmRRMRRAD

)/(

)/()/,( (5.32)

{ }

=

SMG

SMG

Gic

dmRSMVRRAM

dmRSMVRRRSAD

))/,()/(2(

)/,()/(2)/,( (5.33)

On peut donc appliquer le PFD dans un repre non condition dajouter au torseur des efforts extrieurs, le torseur des effets dinertie dentranement et le torseur le torseur des effets dinertie de Coriolis.

Remarque.

Si le repre R est en translation rectiligne uniforme par rapport au repre galilen RG :

= 0)/( GRRM et

= 0)/( GRR

Par suite les deux torseurs des effets dinertie dentranement et de Coriolis sont nuls, et le PFD scrit alors dans le repre R :

{ } { })()/( SSTRSD = Ce qui conduit la conclusion que tout repre R en translation rectiligne uniforme par rapport au repre galilen, est aussi galilen.


Chapitre 6 nergtique

6.1 Puissance, travail, nergie potentielle 6.1.1. Puissance

6.1.1.1 Expressions gnrales

Dfinition : la puissance instantane P(t) du systme de forces de rsultante : dmAfF

SA=

)( sexerant sur le systme continu (ventuellement par morceaux) () est donne par :

dmRAVAf/R,FA

)/,(.)( =

)(P

Avec )(Af la densit massique de forces. La puissance dpend du rfrentiel utilis par le biais des vitesses. Lunit de puissance dans le SI est le Watt (symbole W). Comme la dimension de la puissance est [P]=MLT

-2LT

-1= ML

2T

-3, 1

W = 1 kg.m2.s

-3.

Grce la linarit de lintgrale, il est toujours possible de sparer la puissance totale, cest--dire celle de lensemble des forces exerces sur le systme, en une somme de puissances correspondant des ensembles de forces lmentaires diffrents : on peut par exemple calculer sparment la puissance du poids et celle des forces de contacts.

Thorme : la puissance des forces de pesanteur P exerce sur un systme quelconque est : )/(. Rpg/R,P = )(P

o : )/( RSp est la quantit de mouvement du systme. Plus gnralement, la puissance de tout systme de force de densit massique constante est simplement gale au produit scalaire de cette densit massique par la quantit de mouvement du systme.

Dmonstration Pour les forces de pesanteur CtegAf ==)( , donc : )/(.)/,(.)/,(. RpgdmRAVgdmRAVg/R,P

AA= ==

)(P

et mme )/,(. RGVgm/R,P = )(P puisque : )/,()/( RSGVmRSp =

Le torseur des forces intrieurs dun systme matriel continu tant nul, il est intressant de dcomposer )(Af en )()(int AfAf ext+ .On dcomposera donc de mme )(P /R,F en

dmRAVAf/R,FA

int )/,(.)(int int = )(P et dmRAVAfS/R,F A extext )/,(.)(ext = )(P . Dans le cas

gnral, bien que 0)(intint ==

dmAfFSA

, intP nest pas forcment nul !

Remarque 1: dans le cas particulier du contact ponctuel o la force de contact R ne sexerce quen un seul point I, la puissance de cette force est donne par )/,(. RIVR/R,R = )(P


Remarque 2: La puissance des forces de Coriolis est toujours nulle.

On peut poser )/,()/(2)/,()( RAVRRRAAf CC == On a donc : 0)/,())./,()(2()/,(.)(c = == dmRAVRAVAdmRAVAf/R,F SASA CC )(P

6.1.1.2 Puissance des forces exerces sur un solide

Dans le cas o le systme est un solide (S), on peut utiliser la relation caractristique du torseur des vitesses pour trouver une expression sans intgrale de P :

+ == SASA

dmBARSRSBVAfdmRSAVAfSB ))/()/,().(()/,().(, P

+= SASA

dmBARSAfdmRSBVAf ))/().(()/,().( P Soit :

),()./()/,(.))(()./()/,().)(( FBMRSRSBVFdmAfBARSRSBVdmAfSASA

+= +=

P Ce

qui veut dire que pour un solide :

=

)/,()/(

)/,(

RSBV

RS

RSBM

FP(S/R)

La puissance des forces exerces sur un solide est donc gale au comoment du torseur force par le torseur des vitesses. (Elle ne dpend donc pas du point utilis pour la calculer, pour peu quil appartienne au solide ou reste toujours distance constante de tous les points du solide conditions dapplicabilit de la formule du torseur cinmatique - !). Comme de plus le torseur dune rpartition de forces est la somme des torseurs correspondant chaque rpartition, on pourra ici aussi dcomposer la puissance totale en la somme des puissances correspondant chaque type de forces. Comme en outre, le comoment est indpendant du point o il est calcul, il est possible de le calculer au point dapplication du systme de forces concern. Or le moment dune rsultante de forces par rapport son point dapplication est toujours nul (par dfinition mme du point dapplication) ! Chaque comoment se simplifie donc en un produit de la rsultante par la vitesse du point dapplication (en particulier, on a :

)/(.)/,(. RSpgRGVgM/RS,Mg ==)(P puisque : )/,()/( RSGVmRSp = , ce qui est normal puisque, pour un solide, on peut toujours intervertir intgrale sur la masse du systme et drivation par rapport au temps !). On a donc finalement : Si = iFF alors : )/,( RPVF/RF, ii = )(P , o les points dapplication des forces iF .

Remarque : on en dduit facilement que la puissance des forces intrieures un solide est nulle puisque le torseur des forces intrieures est nul.

6.1.1.3 Puissance des forces de contact entre deux solides

Pour un systme de solides en mouvement les uns par rapport aux autres, on ne peut pas dfinir de rfrentiel dans lequel tous les points du systme restent immobiles ou distances constantes les uns des autres. La puissance des forces intrieures na alors aucune raison dtre nul. Toutefois, pour chaque solide pris individuellement, la puissance des forces intrieures ce solide est nulle ; le travail des forces intrieures au systme de solides est donc uniquement compos du travail des forces dinteractions entre les solides. Parmi ces forces, celles intervenant dans les contacts sont gnralement prdominantes.


Considrons donc le cas d'un solide S2 en contact avec un solide S1 fixe dans R. On note 12R , la rsultante des forces de contact exerces par S2 sur S1 et )12,( IM le moment des actions de contact de 2 sur 1 en un point I commun aux deux solides. D'aprs ce qui prcde la puissance des forces de contact exerces par S2 sur S1, scrit : ( ))/()12,()/,( 111212 RSIMRSIVR += P , o I est un point de contact quelconque (proprit du comoment !). Si l'on considre maintenant la puissance totale des forces de contact entre 1 et 2 dans le rfrentiel R, on a :

)/()21,()/,()/1()12,()/1,( 2221122112 RSIMRSIVRSIMRSIV RRcontact ++ +=+= PPP

Or, daprs le thorme de laction et de la raction, )21,()12,(et 2112 == IMIMRR . Comme de plus, les vitesses de glissement et de roulement de S2 par rapport S1 scrivent :

)/,()/,( 2121 )/( RSIVRSIVSSVg = et )/()/( 2121 )/( RSRSSS = , on en dduit que : )/()12,()/()

2/1()12,()2/1( 12122112 SSIMSSgVSSIMSSgV RRcontact +=+ =P

Ceci peut encore se simplifier en se rappelant que par dfinition :

121212 += TNR et )12,()12,()12,( + = IMIMIM tn o les notations tangentielles et normales se rapportent au plan tangent aux deux solides au point de contact considr. On a donc finalement (indpendamment du rfrentiel considr, puisque le torseur des forces et les vitesses relatives sont indpendants du rfrentiel !!!) :

)/()21,()/()21,()/(

)/()12,()/()12,()/(

12121221

21212112

SSn

In

MSSt

It

MSSgV

SSn

In

MSSt

It

MSSgV

T

Tcontact

++=

++

=P

Remarque : si les lois du frottement sec de Coulomb peuvent tre appliques, tous les produits scalaires ci-dessus sont ngatifs ou nuls ! On retrouve bien le fait que les forces de frottements font perdre de la puissance et dissipent de l'nergie. Si maintenant, on ne prend plus un point de contact quelconque, mais le point dapplication de la rsultante des forces exerces par S1 sur S2 (qui est le mme que celui des forces exerces par S1 sur S2, puisque les torseurs sont opposs !), le moment des forces de contact par rapport ce point est nul et il ne reste plus que le produit de la force de frottement par la vitesse de glissement au point dapplication :

=+=

12den applicatiod'point )/( 211221

21

)SS TSSgVTSetSentrecontactde

actionsdestotalepuissance

2112 PPP( 43421

Dfinition : On dira que la liaison entre S1 et S2 est parfaite si 0=contactP . Daprs la relation ci-dessus, cela se produit soit sil n'y a pas de glissement au point dapplication des forces de frottement, mme si les frottements sont non nuls, soit s'il n'y a aucun type de frottement.

6.2 Travail

6.2.1 Lien entre travail et puissance

Dfinition : on obtient le travail lmentaire partir de la puissance en multipliant P(t) par la dure lmentaire dt :

dttdttWWdttW ext )()()( int intext PPP +=+== .


Le travail total s'obtient aprs intgration par rapport au temps. Il dpend a priori du rfrentiel dans lequel on le calcule ainsi que de la trajectoire de tous les points du systme. Sil est positif, on parlera de travail moteur. Lunit de travail dans le SI est le Joule (symbole J). [W]=[P]T=ML

2T

-

3T= ML

2T

-2 donc 1 J = 1 kg.m

2.s

-2.

Remarque : dans le cas particulier dun systme en translation rectiligne (pas ncessairement uniforme !!!) de vecteur vitesse )(tV (c'est--dire que )()/,(,, tVRAVAt = , pour lequel on puisse intervertir intgrale sur la masse et intgrale par rapport au temps, on a :

dttVdmAfdtdmtVAfdtdmRAVAfWAAA

)()()()()/,()(

=

=

=

soit :

dltFdttVtFW == )()()( (La rsultante F peut dpendre du temps !). Cette galit nest toutefois pas vraie pour nimporte quel mouvement dun systme continu gnral. Dailleurs mme pour un solide, on a :

dtRSAV

RS

RFAM

FdtRWSA

==)/,(

)/( )/,(

)/(, P

dtRFAMRSdtRSAVFW )/,()/()/,( += qui nest donc gale quelque chose du type dlFW = quen considrant le point dapplication P de la rsultante de toutes les forces exerces sur le solide. En effet, pour ce point, par dfinition

0)( =PM donc pdlFdtRPVFW == )/,(

Comme pour la puissance, on peut toutefois dcomposer le travail de la totalit des forces en une somme des travaux de chaque systme de forces. En particulier pour un solide, pour lequel

=i

iFF alors dtRSPVFWi

ii )/,( = o les points Pi sont les points dapplication des

rsultantes iF . Si, de plus, ces rsultantes sont indpendantes du temps et que leur point

dapplication ne change pas au cours du temps, on aura simplement : =i

finiinitii PPFW ,, .

Remarque : dans un rfrentiel non-galilen, il ne faut pas oublier le travail de la force d'inertie d'entranement (celle de Coriolis ne travaille pas, puisque sa puissance est nulle)

6.2.2 Travail des forces intrieures

6.2.2.1 Indpendance par rapport au rfrentiel Thorme : la puissance, et donc le travail, des forces intrieures un systme ne dpendent pas du rfrentiel dans lequel ils sont calculs.

Dmonstration : calculons la puissance des forces intrieures un systme (pas forcment solide !!!), dans deux rfrentiels R (choisi comme rfrentiel absolu) et R' (choisi comme rfrentiel relatif) et montrons quelles sont gales : et dmRAVAfR/,F

Aint )/,(.)(int int = )(P , (rappelons

que les densits massiques de forces tout comme les forces sont indpendantes du rfrentiel). Ds lors ( ) dmRRAVAfdmRAVRAVAfR/,F/R,F

AAintint )/,(.)()/,()/,(.)(intint intint == )(-)( PP


o )/,( RRAV est la vitesse dentranement du point A. Or, on a vu que pour tout point de lespace, les vitesses dentranement forment un torseur. Si on appelle O lorigine de R', on a alors : ( )dmAORRRROVAfR//R

A+=

)/()/,(.)(intint int)(-)( PP soit :

( )( )0)()/()/,(

)()/()/,(.)(

)/()()/,(.)(intint

intint

intint

intint

=+=

+=

+=

OMRRRROVF

dmAfAORRRROVdmAf

dmAORRAfdmRROVAfR//R

AA

AA)(-)( PP

puisque le torseur des forces intrieurs est nul !

Remarque: ce nest pas parce quil ne dpend pas du rfrentiel dans lequel on le calcule, que le travail des forces intrieures est forcment nul ! Il ne le

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